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EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica contiene letras, números y signos. La manipulación de expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades que la manipulación de expresiones numéricas, ya que las letras se comportan como si fuesen números. Las expresiones algebraicas que se tratarán en este curso tendrán, por lo general, una o dos letras. Un ejemplo de expresión con una única letra es: 3x2+4x−2−x2+7x Ante cualquier expresión, lo primero que debe hacerse es simplificarla, utilizando las propiedades de las expresiones, que son equivalentes a las propiedades de los números. En el caso del ejemplo, deben agruparse los términos con las mismas letras. Por un lado, debemos sumar 3x2 y −x2, mientras que, por otro lado, se debe sumar 4x y 7x: 3x2−x2=2x2 4x+7x=11x Así pues, la expresión de segundo grado 3x2+4x−2−x2+7x es igual a 2x2+11x−2. El valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo la letra por un número de terminado. Por ejemplo, el valor numérico de 2x2+11x−2 cuando x=3 es igual a 2·32+11·3−2=18+33−2=49. El grado de una expresión algebraica con una única letra es el exponente máximo de esta letra en la expresión. Por ejemplo, el grado de 2x2+11x−2 es 2. POLINOMIOS En matemáticas, un polinomio (del latín polynomium, y este del griego, πολυς polys ‘muchos’ y νόμος nómos ‘regla’, ‘prescripción’, ‘distribución’)123 es una expresión algebraica constituida por una suma finita de productos entre variables(valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos llamados coeficientes), o bien una sola variable. Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio. Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc. Polinomios de una indeterminada[editar] Para

constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como

los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y grado n en la variable x es un objeto de la forma

Un polinomio

no es más que una sucesión matemática finita

una sucesión infinita cada

o

, en cuyo caso

, entonces un polinomio

tal que

entendiendo que a partir de un cierto término

.

Representado como:

el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:

de

. También puede considerarse

podemos considerar

para

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado. OPERACIONES ENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En la suma de expresiones algebraicas se suman los términos semejantes, es decir, las incógnitas que sean iguales, y los números enteros. Si existen varias incógnitas en las expresiones algebraicas, también se suman por separado.

Resta de expresiones algebraicas Tal y como ocurre en la suma, para restar expresiones algebraicas se deben juntar los términos semejantes de las expresiones en cuestión. Te pueden servir los ejemplos de operaciones con expresiones algebraicas. Multiplicación de expresiones algebraicas Para multiplicar expresiones algebraicas se deben seguir las propiedades de las potencias. Para ello, multiplicamos los coeficientes, y si se multiplican dos incógnitas, se suman los exponentes de cada una.

División de expresiones algebraicas En el caso de la división de las expresiones algebraicas, también debemos seguir las reglas de las potencias. Pero en este caso, al contrario que en la multiplicación, para dividir monomios se realiza el cociente de los coeficientes y se restan los exponentes de las incógnitas.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS El Producto de un Monomio y un Polinomio La Propiedad Distributiva puede ser usada para multiplicar un polinomio por un monomio. Sólo recuerda que el monomio debe ser multiplicado por cada término en el polinomio. Considera la expresión 2x(2x2 + 5x + 10). Esta expresión puede ser modelada con un esquema como el mostrado abajo. Este modelo se llama modelo de área porque las piezas rectangulares representan el área creada por la multiplicación de un monomio y un polinomio.

2x

2x2

5x

10

4x3

10x2

20x

Podemos ver que el producto del ancho, 2x, y el largo, 2x2 + 5x + 10, es el área de toda la región sombreada. El área puede dividirse en tres piezas más pequeñas. Cada una de esas piezas tiene un ancho de 2x y el largo está representado por uno de los términos del polinomio. Los modelos de área son una manera útil de visualizar un problema de multiplicación. Pero también podemos encontrar el producto de dos polinomios algebraicamente, aplicando la Propiedad Distributiva. Recuerda que la Propiedad Distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumarlos: a(b + c) = ab + ac. No importa cuántos términos haya: a(b + c + d) = ab + ac + ad. Intentemos una:

Ejemplo Problema 5x3(4x2 + 3x + 7) Distribuir el monomio a cada término del polinomio Sumar los productos Solución

Producto de Dos Binomios Ahora exploremos la multiplicación de dos binomios. Una vez más, podemos dibujar un modelo de área para ayudarnos a entender el proceso. Usaremos cada binomio como una de las dimensiones del rectángulo, y su producto como el área El siguiente modelo muestra (x + 4)(2x + 2): x

1

1

1

1

x

x2

x

x

x

x

x

x2

x

x

x

x

1 1

x x

1 1

1 1

1 1

1 1

Cada binomio es expandido en variables individuales y números, x + 4 sobre la parte de arriba del modelo y 2x + 2 sobre el lado izquierdo. El producto de cada par de términos es un rectángulo sombreado. El área total es la suma de todos estos pequeños rectángulos, los cuales son también el producto final de multiplicar los binomios. Si combinamos todos los términos semejantes podemos escribir el producto, o el área, como 2x2 + 10x + 8. También podemos usar álgebra para determinar el producto de dos binomios. Simplemente multiplica cada término en un binomio por todos los términos en el otro binomio como se muestra abajo: Ejemplo Problema

(x + 4)(2x + 2)

x(2x + 2) + 4(2x + 2) 2x2 + 2x + 8x + 8

Multiplicar cada término en un binomio por cada termino en el otro binomio Reescribir para agrupar los términos semejantes

2x2 + 10x + 8 Solución

Combinar términos semejantes

2x2 + 10x + 8

Mira de nuevo el rectángulo e identifica de dónde viene cada pieza de 2x2 + 2x + 8x + 8 ¿Puedes ver dónde multiplicamos x por 2x + 2, y dónde obtuvimos 2x2 de x(2x)? Como la multiplicación es conmutativa, los términos pueden ser multiplicados en cualquier orden. La expresión (2x + 2)(x + 4) tiene el mismo producto que (x + 4)(2x + 2), ambas tienen un producto de 2x2 + 10x + 8. El orden en el cual multiplicamos los binomios no importa. Lo que importa es que multipliquemos cada término en un binomio por cada término en el otro binomio. El último paso en la multiplicación de polinomios es combinar los términos semejantes. Recuerda que un polinomio está simplificado sólo cuando ya no quedan términos semejantes. Encuentra el producto: (a + 10)(2a – 7) A) 2a2 + 19a – 70 B) 3a + 3 C) 2a2 – 70 D) 2a2 + 13a – 70 Mostrar/Ocultar la Respuesta

La multiplicación de binomios es usada a veces para resolver problemas de geometría. Supón que queremos encontrar el área de un triángulo con base 4x – 10 y altura 2x + 3. Para encontrar el área del triángulo, encontramos el producto de ½ de la base y la altura (esa es la fórmula del área de un triángulo). Esto se puede mostrar con la siguiente expresión

(4x – 10)(2x + 3). Ejemplo Problema (4x – 10)(2x + 3) Distribuir la multiplicación [4x(2x + 3) – 10(2x + 3)]

[8x2 + 12x – 20x – 30]

[8x2 – 8x – 30]

Multiplicar. Ten cuidado con el signo negativo cuando distribuyes –10 a 2x + 3. Combinar términos semejantes

Simplificar –

–

Solución 4x2 – 4x –15 SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS En esta ocasión, vamos a repasar la simplificación de expresiones algebraicasde manera detallada, ofreciéndoles una serie de ejercicios resueltos muy útiles para realizar vuestras propias actividades. ¿Qué es una fracción algebraica? Cuando nos encontramos con un cociente entre dos polinomios P(x) y Q(x) estamos frente a una fracción algebraica. P(X) / Q(x) Por ejemplo: x+1/x2+2 ¿Cómo debemos simplificar expresiones algebraicas? Nos interesa saber cómo podemos simplificar fracciones algebraicas, esto nos será muy útil para el desarrollo de nuestros ejercicios. En este caso, debemos recordar algunas trucos y saberlos identificar para poder factorizar nuestros polinomios. En primer lugar, no nos podemos olvidar de las Identidades Notables.

Por ejemplo: (x+1)2 = x2+2x+1 También, si nos encontramos con un polinomio de segundo grado con una solo incógnita podemos igualarlo a cero e intentar resolver, si es posible, la ecuación de segundo grado resultante:

Por otro lado, también podemos intentar simplificar aplicando la Regla de Ruffini.

Además y muy importante, debemos siempre que se pueda extraer factor común. Para ello, debemos tener en cuenta lo siguiente: a x+b x+c x= x. ( a +b +c) Por ejemplo: 6x3+4x2+2x = 2x. (3x2+2x+1) Veamos el siguiente ejemplo, teniendo la siguiente fracción algebraica:

En primer lugar factorizamos el numerador, 2x³+4x²+2x Vemos cómo se puede sacar factor común: 2x³+4x²+2x = 2x. ( x²+2x +1) Posteriormente, procedemos a factorizar la expresión x2 +2x+1, si nos fijamos, podemos identificar una identidad notable: (x+1)2 = x2 +2x+1 De este modo tenemos el numerador factorizado: 2x³+4x²+2x = 2x.(x+1).(x+1) En segundo lugar, procedemos a factorizar el denominador: 6x³-6x= 6x. (x²-1) Así, continuamos factorizando la expresión x2-1. Del mismo modo que nos ocurrió con el numerador, en este caso también podemos identificar una identidad notable. (x²-1)= (x+1).(x-1) Por último:

DIVISIÓN DE POLINOMIOS En álgebra, la división de polinomios (también división polinomial o división polinómica) es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo. El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños. Sean los polinomios polinomios

y

y tal que:

, donde

no es el polinomio nulo, entonces existe un único par de

o la más conocida

con el grado de de g (para

menor que el grado de en el caso general

resto dado un dividendo [cita requerida] algebraico:

y el grado de

es la diferencia entre el grado de de f y

). La división sintética permite obtener el cociente y un divisor

y el

. El problema se expresa como un problema de división no

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben escribirse explícitamente, incluso si sus coeficientes son cero. DIVISIÓN SINTÉTICO La división sintética.se puede utilizar para dividir una función polinómica por un binomio de la forma x-c. Esto nos permite, por ejemplo hallar el cociente y el resto que se obtiene al dividir el polinomio por x-c. Además, por el teorema del resto al aplicar la división sintética se obtiene el valor funcional del polinomio. También permite encontrar los factores y ceros de un polinomio. Al encontrar los ceros de un polinomio, éste se puede factorizar completamente y expresar como el producto de sus factores lineales. En resumen, la división sintética juega un papel preponderante en la división de un polinomio por un factor lineal de la forma x-c. . Ejemplos 1. Dividir 8 x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6 por x+1 Solución Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de c=-1. -1 8

3

-2

0

4

-6

-2

0

4

-6

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila. -1 8

3

↓ 8

Paso 3 Multiplique -1 por el coeficiente principal 8. -1 8

3

-2

0

4

-6

-2

0

4

-6

↓ ↗ -8 8

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna. -1 8

3

↓ ↗ -8 8

-5

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante -6. -1 8

3

-2

0

4

-6

↓ ↗ -8 ↗ 5 ↗ -3 ↗ 3 ↗ -7 8

-5

3

-3

7

-13

Paso 6 Escriba el cociente y resto Cociente: q(x)=8 x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7 Residuo: r=-13 Por el algoritmo de la división se tiene: P(x)=8 x5 +3 x4 -2 x3 +4x-6=(8 x4 -5 x3 +3 x2 -3x+7)(x+1)-13

2. Dividir 2 x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18 por x-3 Solución Paso 1 Establezca la división sintética colocando los coeficiente del dividendo y el valor de c=3. 3

2

-9

11

-6

-6

11

-6

-6

18

Paso 2 Baje el coeficiente principal a la tercera fila. 3

2

-9

1 8

↓ 2

Paso 3 Multiplique 3 por el coeficiente principal 2. 3 2

-9

11

-6

-6

18

11

-6

-6

18

↓↗ 6 2

Paso 4 Sume los elementos de la segunda columna. 3 2

-9

↓↗ 6 2

-3

Paso 5 Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante 18. 3 2

-9

11

-6

-6

18

↓ ↗ 6 ↗ -9 ↗ 6 ↗ 0 ↗ -18 2

-3

2

0

-6

0

Paso 6 Escriba el cociente y resto Cociente: q(x)=2 x4 -3 x3 +2 x2 -6 Residuo: r=0 Por el algoritmo de la división se tiene: P(x)=2 x5 -9 x4 +11 x3 -6 x2 -6x+18=(2 x4 -3 x3 +2 x2 -6)(x-3)

En este caso como el residuo es 0, entonces c=3 es un cero del polinomio y x-3 es un factor. TEOREMA DE RESIDUO Generalmente cuando un polinomio es dividido entre un binomio hay un residuo. Considere la función polinomial f ( x ) = x 2 - 8 x + 6. Divida el polinomio entre el binomio x - 2. Podemos realizar la división en cualquier método. Método 1: División larga . El residuo es -6. Método 2: División sintética El residuo es -6. Ahora compare el residuo de -6 en f (2). Dese cuenta que el valor de f (2) es el mismo que el residuo cuando el polinomio es dividido entre el binomio x - 2. Esto ilustra el teorema del residuo. Si un polinomio f ( x ) es dividido entre x - a , el residuo es la constante f ( a ), y , donde q ( x ) es un polinomio con un grado menor que el grado de f ( x ). En otras palabras, el dividendo es igual al cociente por el divisor mas el residuo. La división sintética es un proceso más sencillo para dividir un polinomio entre un binomio. Cuando es utilizada la división sintética para evaluar una función, es llamada la sustitución sintética.