Expresii Algebrice

EXPRESII ALGEBRICE. PRIMELE NOŢIUNI DESPRE ECUAŢII 1. Cu ce trebuie să înceapă cursul de algebră 2. Locul ecuaţiilor 3. Obiectivele acestui capitol 1. Cu ce trebuie să înceapă cursul de algebră. La începutul algebrei apar două lucruri noi pentru elevi: 1) se introduc numerele relative şi 2) numerele se notează prin litere. În privinţa ordinii în care se predau aceste două teme, există două posibilităţi. Prima: se introduc de la început numerele relative, apoi se trece la calculul algebric. În acest caz, când se introduc expresiile algebrice, se înţelege că fiecare literă reprezintă un număr raţional oarecare, deci pozitiv sau negativ (sau zero). A doua: se începe cu un capitol special, Expresii algebrice, în care elevii învaţă să exprime operaţii cu numere nedeterminate, notate prin litere, să rezolve probleme simple în care unele dintre date sau toate sunt reprezentate prin litere, dând rezultatul sub formă de formulă, deci să alcătuiască expresii algebrice simple, şi să afle valoarea numerică a unei asemenea expresii când se dau literelor valori determinate. Apoi se introduc numerele negative şi pe urmă se trece la calculul algebric. Înainte de reforma învăţământului din 1948 era la noi în vigoare prima ordine. În prezent se manifestă tendinţa de a introduce ordinea a doua. Care dintre aceste două ordini este preferabilă? Nu este indicat ca noţiunea de expresie algebrică să fie introdusă în mod subit, printr-o definiţie, mai mult sau mai puţin corectă însoţită de exemple luate la întâmplare. Dacă se procedează astfel, noţiunea de expresie algebrică nu se leagă de cunoştinţele anterioare ale elevilor şi elevii nu o înţeleg destul de bine. Însuşi cuvântul expresie este pentru ei gol. Elevul nu vede că o expresie algebrică exprimă ceva, şi anume: un ansamblu de operaţii care se fac cu numerele respective. Pentru ca elevii să înţeleagă bine calculul algebric, este foarte important ca ei să-şi formeze de la început, nu pe parcurs, o idee justă despre rostul expresiilor algebrice. Ei trebuie să ştie că expresiile algebrice îşi au originea în practică. Primele expresii algebrice pe care le văd elevii trebuie să fie expresii compuse de ei, pentru a exprima soluţiile unor probleme, proprietăţi ale operaţiilor sau reguli de calcul. Pentru a asigura înţelegerea completă a folosirii literelor în algebră, este util ca în acelaşi timp cu introducerea expresiilor algebrice să se trateze şi valoarea numerică a unei expresii algebrice. Nici această chestiune nu trebuie tratată formal, numai prin lucrări ca: Să se afle valoarea expresiei.... pentru x = .... Elevii trebuie să-şi dea seama de la început de rostul acestei lucru, şi anume: dacă o expresie algebrică reprezintă - sub forma sa primitivă - soluţia unei probleme cu date exprimate prin litere, a afla valoarea numerică a acestei expresii algebrice înseamnă a găsi soluţia acelei probleme pentru cazul în care literele iau valorile corespunzătoare. Aflarea valorii numerice a expresiei algebrice revine deci la particularizarea problemei respective - operaţie inversă a generalizării,

care constă în trecerea de la problema cu date numerice la aceeaşi problemă, dar cu date literale. Dacă rezolvarea problemelor cu date în litere reprezintă o trecere de la concret la abstract, aflarea valorii numerice a expresiei obţinute reprezintă întoarcerea la concret. Tratând valoarea numerică a unei expresii algebrice în acelaşi timp cu introducerea expresiilor algebrice şi în strânsă legătură cu problemele cu date în litere, asigurăm legătura dus şi întors de la aritmetică la algebră, construim o temelie solidă pentru tot cursul de algebră. Pentru a atinge acest scop atât de important, nu avem nevoie de numerele negative, căci nu există probleme de aritmetică în care datele să fie exprimate prin numere negative. Dacă începem cursul de algebră cu numerele relative, acţionăm împotriva trecerii fireşti de la aritmetică la algebră. În concluzie, cursul de algebră trebuie să înceapă cu tema Expresii algebrice şi această temă trebuie tratată în strânsă legătură cu aritmetica. De altfel, această ordine este adoptată în cele mai multe ţări. O vom urma şi în cadrul acestei lucrări. Mai mult, se poate lua în consideraţie şi procedeul următor: să se predea întâi calculul algebric, inclusiv ecuaţiile liniare cu o singură necunoscută, şi abia pe urmă să se introducă numerele negative. Această ordine ar corespunde şi ordinii istorice în care s-a format algebra. La noi, ea a fost adoptată în scurt timp, în anii 1946-1948, în programa gimnaziului unic. Problema nu s-ar mai pune dacă literele s-ar folosi pe scară largă la aritmetică, ceea ce este de dorit şi posibil. Trecerea de la aritmetică la algebră s-ar face pe nesimţite şi când se începe calculul algebric noţiunea de expresie algebrică ar fi o noţiune cu care elevii sunt familiarizaţi de mult.

2. Locul ecuaţiilor. O problemă foarte importantă este următoarea: când trebuie predate ecuaţiile în şcoala generală? De multă vreme, încă de la începutul acestui secol, sa introdus la noi (în clasa a IV-a a gimnaziului) ordinea următoare: se tratează întâi complet calculul algebric cu expresii raţionale, apoi se predau ecuaţiile şi sistemele de ecuaţii, iar la sfârşit se rezolvă probleme cu ajutorul ecuaţiilor. Această ordine este în aparenţă logică. Se dau întâi o serie de cunoştinţe teoretice, calculul algebric, pe baza acestor cunoştinţe se predă un alt capitol, de asemenea teoretic - ecuaţiile -, iar la urmă vin aplicaţiile - rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor. Experienţa de câteva decenii arată că această ordine are două dezavantaje: pe de o parte capitolele consacrate calculului algebric şi rezolvării ecuaţiilor sunt lipsite de finalitate, iar pe de altă parte, cei mai mulţi elevi sunt mai slabi în rezolvarea problemelor. Întradevăr, un timp îndelungat (circa un an şi jumătate din doi), elevii învaţă să facă fel de fel de calcule algebrice, fără să vadă măcar în parte la ce folosesc. Ei efectuează calculele algebrice ca un joc ce se desfăşoară după anumite reguli, dar nu-şi dau seama de semnificaţia lor. Este adevărat că la vârsta de 14-15 ani, când învaţă începuturile calculului algebric, elevii nu-şi pun prea multe probleme. Ei simt o reală plăcere să facă calcule chiar complicate, să le scrie frumos; când iese rezultatul din carte e un adevărat triumf. Aceste exerciţii sunt pentru ei un fel de sport. Nu este rău să folosim această înclinare a elevilor pentru a-i lăsa să-şi formeze tehnica de calcul - după cum este bine să-i facem pe copii să 2

înveţe la o anumită vârstă poezii - dar nu trebuie să ne facem iluzia că prin aceasta atingem efectiv scopul acestei părţi din învăţământ. Aceasta, pe de o parte, în ceea ce priveşte calculul algebric. Pe de altă parte, când, în cele din urmă, se ajunge la rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, elevii întâmpină mari greutăţi la punerea problemelor în ecuaţie. În această etapă greşelile făcute până atunci se răzbună. Elevul ştie să facă operaţii algebrice - când i se spune ce operaţii are de făcut; el ştie să rezolve ecuaţii date, dar nu ştie să formeze ecuaţii. Calculul algebric este pentru el ca un avion care zboară foarte bine, dar n-are teren de aterizare. Până la urmă, elevii învaţă şi să pună problemă în ecuaţie, dar pregătirea lor nu este armonioasă. Prin acest mod de predare se separă oarecum teoria de practică. Se face un timp îndelungat numai teorie, iar la sfârşit se fac numai aplicaţii. Un asemenea procedeu devine de cele mai multe ori necesar pe treptele mai înalte ale învăţământului matematic, dar în şcoala generală această separaţie nu este bună. Aici lucrurile se pot organiza în aşa fel încât elevii să vadă cum practica duce la probleme teoretice şi să aplice în practică cunoştinţele teoretice pe măsură ce le dobândesc, nu mai târziu. Pentru aceasta este necesar ca ecuaţiile să fie predate cât mar devreme, imediat după ce se introduc literele, şi să se rezolve probleme ce duc la ecuaţii foarte simple. Pe măsură ce se înaintează cu calculul algebric, se rezolvă ecuaţii în care intervin calculele corespunzătoare: după reducerea termenilor asemenea - ecuaţii în care intervin reduceri de termeni asemenea, după înmulţirea polinoamelor - ecuaţii în care intervin înmulţiri de polinoame, la fel după fracţiile algebrice, şi se rezolvă probleme care duc la astfel de ecuaţii. Mai mult, tot calculul algebric se poate subordona ecuaţiilor, iar acestea problemelor. Pentru a începe predarea diferitelor chestiuni de calcul algebric, se poate arăta că există ecuaţii - sau chiar probleme - care necesită astfel de calcule. S-ar părea că prin aceste introduceri ne abatem de la tema propriu-zisă a lecţiei. Dar să ne gândim că ele ne răpesc o parte infimă din timpul prevăzut pentru această temă şi că merită să facem acest mic sacrificiu, căci prin aceasta învăţământul capătă un orizont mai larg. De altfel, aceste introduceri nu sunt necesare la fiecare temă de calcul algebric - este vorba în total de 3-4 astfel de introduceri, deci de 3-4 ori câte 5-10 minute. Subordonând calculul algebric ecuaţiilor, respectăm şi legea biogenetică. În istoria algebrei nu a existat o epocă în care să se fi dezvoltat calculul algebric, apoi o altă epocă în care acesta să fie aplicat la rezolvarea ecuaţiilor. Dimpotrivă, ecuaţiile sunt mai vechi decât calculul algebric. Însuşi numele algebrei vine de la metoda de a rezolva ecuaţii. La început s-a folosit un simbol numai pentru necunoscută, încolo se lucra cu coeficienţi numerici deci nu exista un calcul algebric independent de ecuaţii - ca în manualele noastre de algebră. Abia către sfârşitul sec. al XV-lea, calculul cu litere începe să fie tratat separat. Făcând ca ecuaţiile să străbată ca un fir roşu tot cursul de algebră şi subordonând calculul algebric ecuaţiilor, acesta apare în lumina sa adevărată, ca un mijloc de a rezolva 3

probleme, nu ca un scop în sine. Prin aceasta, creşte interesul pentru calculul algebric şi elevii îl înţeleg mai bine. Cât despre pregătirea practică, în sensul că elevii să ştie să aplice la probleme concrete cunoştinţele de algebră, este ştiut că o deprindere se formează mai bine dacă exerciţiile corespunzătoare sunt eşalonate în timp. De aceea problemele care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, ca şi ecuaţiile, trebuie eşalonate pe o perioadă de timp cât mai lungă. Deci, prin acest mod de organizare a cursului de algebră câştigă, atât calculul algebric cât şi aplicaţiile. Învăţământul devine mai echilibrat. În concluzie, este bine ca noţiunea de ecuaţie să fie dată la începutul algebrei, iar pe măsură ce se înaintează cu calculul algebric să se rezolve ecuaţii în care intervin calculele învăţate şi să se rezolve probleme corespunzătoare. Mai menţionăm că ordinea preconizată aici este astăzi adoptată în cele mai multe ţări. La noi ea a fost introdusă în 1957 şi a fost în vigoare un timp. Mulţi profesori care au respectat-o au recunoscut superioritatea ei.

3. Obiectivele acestui capitol. Din cele ce precedă rezultă că este necesar să se introducă la începutul cursului de algebră un capitol special despre expresiile algebrice şi despre ecuaţii. Obiectivele ce trebuie urmărite în privinţa expresiilor algebrice sunt următoarele: 1) elevii să poată da sub formă de formulă răspunsul la o problemă de aritmetică simplă (care se rezolvă prin cel mult patru-cinci operaţii) cu date literale; 2) să ştie să afle valoarea numerică a unei expresii algebrice şi să cunoască semnificaţia concretă a acestei lucrări, în sensul arătat; 3) să ştie să exprime prin semne algebrice rezultatul unui complex de operaţii dat în cuvinte. Totodată, aceste lecţii reprezintă o revedere la un nivel superior a unor chestiuni învăţate la aritmetică. Unele lucruri care în aritmetică se exprimau prin fraze destul de lungi se exprimă acuma prin formule simple şi datorită acestui fapt ele devin mai clare. Apoi, cunoştinţele elevilor cu privire la ordinea operaţiilor şi folosirea parantezelor se consolidează, pentru că aici se vede necesitatea lor. În privinţa ecuaţiilor, obiectivele sunt următoarele: 1) elevii să-şi formeze noţiunea de ecuaţie; 2) să înveţe să rezolve ecuaţii fără a folosi regulile de transpoziţie; 3) să înveţe să rezolve probleme uşoare cu ajutorul ecuaţiilor.

4

PRIMELE LECŢII DE ALGEBRĂ 1. Diferite căi de a introduce expresiile algebrice 2. Prima lecţie de algebră 3. Valoarea numerică a unei expresii algebrice 4. Alt material potrivit pentru primele expresii algebrice 5. Recomandări didactice 1. Diferite căi de a introduce expresiile algebrice. Ca punct de plecare pentru introducerea expresiilor algebrice se pot folosi: probleme cu date literale sau formulele pentru arii şi volume pe care elevii le cunosc. În unele manuale se foloseşte exprimarea în litere a proprietăţilor operaţiilor (de exemplu, a + b = b + a). Considerăm că acest din urmă procedeu nu este fericit, pentru că nu dă elevilor o imagine justă despre importanţa expresiilor algebrice. Ele apar aici numai ca mijloc de exprimare a unor lucruri învăţate, elevii nu le construiesc. Pe de altă parte, ele au un caracter prea abstract. Prima dintre aceste obiecţiuni este valabilă şi în cazul formulelor pentru arii şi volume, totuşi ele prezintă unele avantaje. Considerăm că lucrul cel mai indicat este să se folosească probleme de aritmetică cu date în litere. Ele oferă avantajul că elevii sunt puşi în situaţia să alcătuiască formulele. Aici nu se dă numai o exprimare nouă unui conţinut vechi; de data aceasta atât conţinutul cât şi forma de exprimare sunt noi. Elevii văd că posibilitatea de a alcătui expresii algebrice este practic nemărginită. Înafară de aceasta, problemele au un conţinut concret, din viaţa de toate zilele, şi datorită acestui fapt elevii văd de la început legătura algebrei cu practica. În cele ce urmează, considerăm cazul că se adoptă acest punct de vedere. Celelalte teme pot fi folosite ulterior şi ca material pentru exerciţii. 2. Prima lecţie de algebră. Prima lecţie de algebră ar putea decurge cam astfel: într-o introducere scurtă, profesorul arată elevilor că, datorită faptului că acum sunt mai mari, ei vor putea învăţa o disciplină matematică nouă, superioară aritmeticii, şi pune mâna pe cretă. În acest moment nu este indicat să se vorbească elevilor despre importanţa algebrei, ce înseamnă o problemă generală sau particulară, nici ce înseamnă a generaliza şi a particulariza. Elevii să fie puşi să facă aceste lucruri şi, făcându-le, le vor înţelege. Cu alte cuvinte, să nu se vorbească despre algebră, ci să se facă algebră. La început profesorul propune o problemă foarte uşoară, de exemplu: am două grămezi de nuci, în prima sunt 18 nuci, iar într-a doua 12. Câte nuci am în total? Nu este nevoie să cerem de la elevi răspunsul - e prea simplu. Profesorul scrie pe tablă răspunsul: 18 + 12 = 30. Apoi continuă: „Dar dacă prima grămadă conţine 15 nuci, iar a doua 10?” Pe tablă apare suma 15 + 10. Se mai dă un exemplu sau două, apoi urmează: „în toate problemele acestea trebuie să facem o adunare, să adunăm cele două numere date. Dar prima grămadă poate conţine un număr oarecare de nuci, a doua de asemenea. De aceea punem problema astfel: „Avem două grămezi de nuci, primă conţine a nuci, iar a doua b 5

nuci. Câte nuci conţin amândouă grămezile împreună? Aici a poate fi un număr oarecare, 18, 15 sau orice alt număr, b de asemenea. Răspunsul este: a + b. Printr-un singur exemplu ca acesta, elevii au trecut pragul dintre aritmetică şi algebră, ei şi-au dat seama ce rost au literele în matematică. Orice comentariu este în acest moment de prisos. Sub îndrumarea profesorului, ei trebuie să cucerească treptat terenul pe care au pus piciorul. De aceea este indicat să se treacă imediat la un sistem de probleme din ce în ce mai complicate, care să cuprindă, pe rând, fiecare dintre cele patru operaţii, apoi la probleme a căror rezolvare cere două şi mai multe operaţii. Datele din probleme să nu fie numai literale; este util să se propună şi probleme în care unele dintre date să fie exprimate prin litere, iar altele prin numere determinate. Acest sistem de probleme poate fi conceput astfel: a) Probleme care duc la o expresie de forma a + b. Exemple: - în clasa a VIl-a A sunt a elevi, iar în clasa a VII-a B sunt b elevi; câţi elevi sunt în ambele clase a VIl-a? - un elev are x lei şi mama îi mai dă 3 lei; cât are acum? - un camion parcurge în prima oră 46 km, iar în a doua x km. Câţi kilometri a făcut camionul în aceste două ore? b) Probleme care duc la expresii de forma a + b + c. Exemple: - avem trei pungi cu bomboane, prima conţine a grame, a doua b grame, iar a treia c grame; câte grame de bomboane avem în cele trei pungi? Eventual se dă şi o problemă care duce la o sumă de patru sau chiar cinci termeni, dintre care unul să fie numeric. c) probleme care duc la expresii de forma a – b, a + b – c, a – b – c. Unii ţin să facă distincţie între expresie algebrică şi formulă. De exemplu 2a + 3b este o expresie algebrică, în timp ce s = 2a+3b (apare şi semnul „=”) este o formulă. Socotim că această distincţie nu are nici o importanţă. Într-o ordine de idei apropiată, menţionăm că nu este necesar să se dea o definiţie a expresiei algebrice. Orice formulare este atacabilă, de cele mai multe ori necompletă. Datorită numeroaselor exemple, elevii îşi dau foarte bine seama ce este o expresie algebrică, nu se simte nevoia unei definiţii. Este suficient ca, după ce s-au rezolvat câteva probleme, profesorul să reia rezultatele obţinute, ca: a + b, ab: c etc. şi să spună că se numesc expresii algebrice. Exemple: Într-o clasă sunt a elevi şi într-o zi, lipsesc b elevi; câţi elevi sunt prezenţi? Într-un autobuz au fost a călători, la prima staţie s-au urcat x călători şi aucoborât 3 călători; câţi călători sunt acum în autobuz? a ab a d) Probleme care duc la expresii de forma a ⋅ b; a ⋅ b ⋅ c; , , . b c bc Aici trebuie explicat că în algebră punctul de înmulţire nu se mai pune când măcar unul din factori este literal, iar dacă un produs este format dintr-un factor numeric şi unul literal, se scrie întâi factorul numeric. Ca semn de împărţire se preferă linia de fracţie. 6

Exemple: Într-o livadă sunt a rânduri de câte b pomi; câţi pomi sunt în livadă? Dar dacă în fiecare rând sunt câte 35 de pomi? La o unitate de Aprozar s-au adus 15 lăzi cu mere, fiecare ladă conţine (în medie) câte x kg de mere, iar 1 kg de mere costă y lei. Cât valorează toată cantitatea de mere? O sumă de a lei se împarte la 3 persoane; cât revine fiecăreia din ele? Dar dacă sunt 5 persoane? b persoane? O sumă de 120 de lei se împarte la x persoane; cât revine fiecăreia din ele? O grădină de zarzavat are forma de dreptunghi cu dimensiunile de a metri şi b metri; pe acest teren se fac c straturi; ce arie are fiecare strat? (Locul dintre straturi se neglijează.) În lecţia următoare se trece la probleme mai complexe, care duc la expresii ca: b a+b a ab + c, a + bc, a + , , ş.a. c c b+c Aici apare o problemă în legătură cu expresia de forma a : b ⋅ c. La aritmetică, elevii învaţă că, dacă avem de făcut mai multe operaţii de acelaşi ordin, le efectuăm în ordinea în care sunt scrise. De exemplu, 24 : 2 ⋅ 3 = 12 ⋅ 3 = 36, iar 24 : ( 2 ⋅ 3) = 24 : 6 = 4. . În algebră se procedează altfel. Prin 10 xy : 2 x, de exemplu, se înţelege monomul 10xy împărţit la monomul 2x; al doilea monom nu se pune între paranteze. Deci, 10 xy : 2 x = 5 y. Dacă s-ar 2 aplica regula din aritmetică, ar însemna să spunem că 10 xy : 2 x = 5 xy ⋅ x = 5 x y. Ar fi mai bine să nu se dea elevilor o regulă la aritmetică şi alta la algebră. Din fericire, în prezent acest fapt nu produce prea multă confuzie; elevii au grijă să uite repede regula învăţată la aritmetică, fiindcă nu au ocazia s-o aplice. Ar trebui ca uniformizarea să se facă după regula din algebră, şi anume să se dea o singură regulă: într-un şir de înmulţiri şi împărţiri se fac întâi înmulţirile. Regula cealaltă se dă prin analogie cu şirul de adunări şi scăderi, unde operaţiile se efectuează în ordinea în care sunt scrise. Dar această analogie este prea puţin folositoare, pe când la algebră împărţirea unui monom printr-un monom este o operaţie curentă şi regula unanim acceptată este ca împărţitorul să nu fie pus între paranteze, în afară de cazul când are semnul „-”, ca în 10 xy : ( − 2 x ). 3. Valoarea numerică a unei expresii algebrice. Această temă trebuie predată în strânsă legătură cu rezolvarea problemelor, dacă nu în prima lecţie, cel mult în lecţia a doua. Se poate proceda astfel: S-a rezolvat, de exemplu, problema: O cisternă are capacitatea de a litri. Ea este alimentată prin două ţevi, din care una dă m litri/minut, iar cealaltă n litri pe minut. În câte minute se umple cisterna? a . Apoi se pun întrebările: „în cât timp s-ar umple Se obţine formula t = m+n cisterna dacă capacitatea ei ar fi de a = 5000 l, iar debitele ţevilor ar fi de m = 12 l/min şi n = 8 l/min? Dar dacă capacitatea cisternei este de a = 4000 l, iar debitele ţevilor sunt m = 15, n = 10 l/min?” ş.a.m.d. Aici apare uneori o greutate. Elevii dau răspunsul corect, dar nu pe baza formulei, ci refăcând judecata. Situaţia poate fi descrisă cu ajutorul schemei următoare: 7

1 formula  →

problema cu date literale

↓2

3 răspuns →

problema cu date numerice

ul numeric

Răspunsul la problema generală este formula, iar răspunsul la problema particulară, cu date numerice, este un număr. Elevii, manifestă uneori tendinţa să meargă pe drumul indicat de săgeata 3. Ei trebuie să ajungă la răspunsul numeric pe drumul indicat de săgeţile 1 şi 2; drumul 1 a fost parcurs o dată pentru totdeauna şi rămâne ca, de fiecare dată, să se parcurgă numai drumul 2. De aceea este bine ca problema de la care se porneşte să nu fie simplă, să nu le fie elevilor prea uşor să refacă raţionamentul. Apoi trebuie, să se ceară de la elevi, după ce au dat răspunsul, să arate cum l-au obţinut, în sfârşit, calea de urmat este sugerată şi de modul în care sunt formulate întrebările. Se spune: „Capacitatea cisternei este de a = 4000 l”, nu: „... este de 4000 l”; de asemenea: „Debitele ţevilor sunt m = 12 l/min...”, nu: „....sunt de 12 l/min...”. Literele a, m, n dirijează elevii spre formulă.

4. Alt material potrivit pentru primele expresii algebrice. Am arătat mai sus că formulele pentru perimetre, arii şi volume pot fi luate ca punct de plecare pentru a explica rostul expresiilor algebrice. Acest material prezintă două avantaje: În primul rând, elevii au învăţat în clasele anterioare să calculeze aceste mărimi şi au exprimat regulile corespunzătoare sub diferite forme: întâi în cuvinte, apoi printr-un amestec de cuvinte şi semne matematice (aria = baza x înălţimea), apoi prin formula (A = b • i). Ei au parcurs întrucâtva etapele prin care a trecut algebra însăşi în dezvoltarea ei, de la algebra retorică la cea sincopată, iar de aici la algebra simbolică. Se poate porni de aici pentru a arăta cum se folosesc în general literele. Pentru a afla aria dreptunghiului, se notează laturile lui cu b şi i, se face judecata o dată pentru totdeauna şi se obţine formul A = b ⋅ i. Pentru a afla aria unui anumit dreptunghi, nu se mai face judecata din nou, ci se foloseşte formula. Rezolvarea problemelor cu date literale apare astfel ca o extindere a procedeului folosit pentru a stabili formulele care dau ariile şi volumele. În al doilea rând, trecerea de la concret la abstract, de la particular la general, se face mai uşor când litera reprezintă măsura unei mărimi vizibile. Elevul înţelege mai bine ce înseamnă „acest segment are x cm” decât „un camion încarcă x kg de ciment”. În primul caz, litera x reprezintă nu numai numărul respectiv, ci, într-o oarecare măsură, şi segmentul însuşi. Gândirea elevului se sprijină pe ceva concret. 8

Acest material ar putea fi folosit chiar din prima lecţie. În tot cazul, însă, formulele de geometrie constituie un material preţios pentru exerciţii. Pentru ca elevii să vadă în literele care se folosesc simboluri matematice, nu iniţiale (b - bază, i - înălţime ş.a.m.d.), este bine să se folosească mereu alte litere. De exemplu: să se afle aria unui triunghi cu baza de x cm şi înălţimea de p cm; să se afle aria unui trapez cu baza mare de 8 m, baza mică de c metri şi înălţimea de y metri. Dăm, în continuare, alt material pentru exerciţii. a) Proprietăţile operaţiilor şi regulile operaţiilor cu fracţii ordinare. Se consideră formulele: a b a + b a c ac a c ad a + b = b + a, ab = ba, ( a + b ) c = ac + bc, + = , ⋅ = , : = şi unele proprietăţi n n n b d bd b d bc ale proporţiilor. Procedeul ar fi următorul: pentru formula (a + b)c = ac + bc, de exemplu, profesorul aminteşte cum se înmulţeşte o sumă cu un număr, folosind un exemplu numeric cum ar fi: 12 ⋅ 3 = 36 ( 5 + 7 ) ⋅ 3 =  şi formulează regula în cuvinte; apoi cere elevilor să 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 3 = 15 + 21 = 36,

exprime acest lucru printr-o formulă în care termenii sumei sunt a şi b, iar al doilea factor este c. După aceea se poate cere elevilor să exprime printr-o formulă cum se înmulţeşte o diferenţă printr-un număr, eventual se trece şi la cazul când între paranteze figurează o expresie de forma a + b + c sau a + b – c sau a– b–c. b) Un gen de exerciţii apropiat de acestea sunt cele cu privire la schimbarea unităţii de măsură, ca de exemplu: Câţi centimetri sunt în 4 dm şi 7 cm? în 4 dm şi a cm? în x dm şi y cm? în a m şi b cm? etc. Transformări analoge în legătură cu unităţile de suprafaţă, de volum şi de greutate. De asemenea, transformări de unităţi care nu fac parte din sistemul metric: Câte minute sunt în a ore şi b minute? Câte secunde au a minute şi b secunde? Dar x ore y minute şi z secunde? Câte minute sunt în a zile (de câte 24 de ore) şi b ore? Câte zile sunt în a săptămâni şi b zile? etc. Deosebit de utile sunt exerciţiile în care se cere expresia unui număr natural ale cărui cifre sunt reprezentate prin litere, ca: să se scrie numărul care are 3 zeci şi a unităţi; x zeci şi a unităţi; a sute b zeci şi c unităţi etc. Aceste exerciţii duc la deplina înţelegere a sistemului poziţional. Trebuie insistat asupra acestor chestiuni, căci mereu se găsesc elevi pentru care numărul format din cifrele a şi b este ab. În sfârşit, menţionăm exerciţii ceva mai grele, în care se cere expresia generală a unor numere care au o anumită proprietate: numere pare, impare, pătrate perfecte etc. Este util totodată să se facă şi unele exerciţii ca următoarele: scrieţi suma numerelor a şi b, diferenţa lor etc. Apoi: scrieţi produsul sumei numerelor a şi b cu numărul c, câtul dintre numărul c şi suma (diferenţa) numerelor b şi c etc. Se poate da şi ceea ce ar putea fi numită retroversiune: Ce exprimă formula a – bc? (diferenţa dintre numărul a şi produsul numerelor b şi c). Pe lângă faptul principal că elevii învaţă să alcătuiască expresii algebrice, aceste exerciţii sunt utile şi prin aceea că ei ajung să cunoască bine sensul cuvintelor: sumă, diferenţă, produs, cât, termen şi factor - ceea ce nu se realizează în 9

mod satisfăcător la aritmetică. Aici trebuie explicat elevilor că o expresie algebrică poartă numele după ultima operaţie. Astfel, a + bc este o sumă, termenii ei sunt a şi bc, (a + b)c este un produs, factorii săi sunt (a + b) şi c, a: (b + c) este un cât, a este deîmpărţitul iar b + c este împărţitorul.

5. Recomandări didactice. a) Exerciţiile de alcătuire a unoi expresii algebrice ne dau posibilitatea să consolidăm cunoştinţele elevilor despre ordinea operaţiilor şi folosirea parantezelor. Din păcate, la aritmetică aceste chestiuni se învaţă în mod formal în sensul că se efectuează o serie de calcule indicate într-o expresie dată ca atare. Aici lucrurile se prezintă în mod firesc, expresiile ce se obţin nu mai sunt arbitrare, ele exprimă soluţia unei probleme. De aceea sunt utile problemele care duc la expresii ca: ( a ± b ) c, ( a ± b ) : c etc. Pentru a pune în evidenţă rostul parantezelor este bine să se pună faţă în faţă câte două probleme care duc la expresii asemănătoare, dar una să conţină paranteze, iar cealaltă nu. De exemplu: Avem c lăzi cu mere şi b lăzi cu pere; fiecare ladă cântăreşte c kg; câte kilograme de fructe avem în total? Răspuns (a + b)c. Avem o ladă mare care conţine a kg de mere şi b lăzi mici de câte c kg; câte kilograme de fructe avem în total? Răspuns a + bc. b) Nu este cazul să se meargă cu aceste chestiuni prea departe, să se dea probleme prea complicate. Să nu uităm că scopul acestor probleme nu este să-i învăţăm pe elevi să rezolve probleme de aritmetică, ci să folosească date literale. Problemele trebuie să fie foarte uşoare, încât dacă datele ar fi numerice ele ar fi banale. Ori de câte ori se iveşte o greutate, o întrebare ca: dacă în locul lui x ai avea, de exemplu, 15, iar în locul lui b ai avea 3, ce operaţie ai face? să aducă lumină. În cadrul unora dintre aceste grupuri de probleme trebuie propuse mai multe probleme care duc la aceeaşi expresie. În felul acesta elevii îşi dau seama din prima lecţie de caracterul general al algebrei: aceeaşi formulă rezultă din probleme cu conţinut cu totul diferit. Poate nu este cazul să se vorbească despre acest lucru, să-i facem pe elevi să-l vadă singuri! De asemenea, după un prim exemplu, dat de profesor, este bine să se ceară elevilor să compună ei probleme care să ducă la o expresie dată. Prin aceasta contribuim la dezvoltarea imaginaţiei elevilor şi, totodată, ei îşi dau şi mai bine seama că expresiile algebrice sunt generale. c) După ce elevii au înţeles care este semnificaţia valorii numerice a unei expresii algebrice, se pot face şi exerciţii în care se cere să se afle valoarea numerică a unei expresii date. Sunt utile exerciţiile în care se dă o expresie care conţine o singură literă şi se cere să se afle valorile ei pentru diferite valori ale literei. Se dă astfel elevilor o idee despre funcţia definită printr-o formulă. Exemplu: numărul orelor (din 24 de ore) cât trebuie să doarmă un copil este dat de formula:

10

18 − V , unde V reprezintă vârsta lui, exprimată în ani. Să se calculeze câte ore 2 trebuie să doarmă un copil de 1, 2, 3,..., 18 ani şi să se alcătuiască un tabel. Apoi se poate trece la exerciţii formale, ca: să se afle valoarea numerică a unei expresii algebrice date, 2x + 3 , pentru x = 4. de exemplu 5x − 1 Experienţa arată că nu este indicat să se dea expresii complicate sau valorile ce se dau literelor să fie numere mixte sau cu multe zecimale. Apar greutăţi care nu sunt legate de tema care se predă, elevii fac greşeli de calcul şi activitatea este îndrumată într-o direcţie greşită. În cursul anului, algebra oferă suficiente ocazii de desăvârşire a calculului numeric. Aici este suficient să ne limităm la expresii ca 3x + 7, 2x2, 2x + 3y, x +1 x − 2y , ş.a. Ultimul dintre aceste exemple poate fi considerat ca un maxim. 2 x − 1 3x + y În cadrul acestor exerciţii este cazul să arătăm elevilor că unele expresii nu au sens pentru toate valorile literelor. Este vorba de două excepţii: într-o diferenţă, descăzutul trebuie să fie cel puţin egal cu scăzătorul, iar într-o împărţire, împărţitorul trebuie să fie diferit de zero. Este bine ca aceste fapte să nu fie date de la început sub formă de reguli, ci elevii să se izbească de o imposibilitate. Se recomandă exerciţii ca următoarele: să se afle valoarea numerică a expresiei 3x – 15 pentru x = 4, x = 5 şi x = 6, x sau a expresiei pentru x = 2 şi x = 3. La aceasta se pot adăuga exerciţii de tipul 2x − 6 următor: care este cea mai mică valoare pe care poate să o aibă x ca expresia 7x – 35 să 100 ? aibă sens? Pentru ce valori ale lui x îşi pierde sensul expresia x−3 Elevii întâlnesc aici pentru prima oară operaţii imposibile; în aritmetică astfel de operaţii nu apar, pentru că se porneşte de la situaţii concrete. Se contribuie la înţelegerea algebrei dacă se arată faptul următor: cazul când expresia îşi pierde sensul corespunde unei situaţii imposibile în problema respectivă. Exemple: - Un copil primeşte în fiecare zi x lei. El strânge banii timp de 7 zile şi cheltuieşte 35 de lei. Câţi bani îi rămân? Expresia 7x – 35 are sens numai pentru x ≥ 5 - copilul poate cheltui 35 de lei numai dacă primeşte în fiecare zi cel puţin 5 lei. - O cadă are o capacitate de 100 l. În cadă intră câte x litri de apă pe minut şi se 100 scurg câte 3 l de apă pe minut. După cât timp se umple cada? Expresia îşi pierde x−3 sensul pentru x = 3; când x = 3 se scurge mereu tot atâta apă cât intră, cada nu se umple niciodată. d) Metoda care ar trebui să predomine în predarea acestei teme este metoda exerciţiului. Aşa cum s-a arătat la început, profesorul arată pe un exemplu foarte simplu ce înseamnă a rezolva o problemă cu date literale şi, apoi, elevii rezolvă, sub îndrumarea sa, probleme din ce în ce mai complexe. La celelalte teme se procedează astfel: profesorul S =8+

11

dă un model, apoi se cere elevilor să facă lucrări analoge. De exemplu, profesorul arată cum se scrie regula de adunare a fracţiilor ordinare (care au acelaşi numitor): prima a b , a doua cu ; regula cunoscuta din aritmetica se scrie: fracţie se notează cu n n a b a+b + = . Apoi cere elevilor să exprime regula după care se adună trei şi mai multe n n n fracţii care au acelaşi numitor, cum se scade o fracţie dintr-alta, cum se face operaţia a b c + − etc. La unele lucrări se pot face „dictări” matematice, adică profesorul dictează, n n n a+b . de exemplu: „câtul dintre suma numerelor a şi b şi numărul 5” – şi elevii scriu 5 Exerciţiile inverse (retroversiunile) se fac oral. Toate lucrările acestea fiind foarte scurte, este uşor să antrenezi toată clasa. e) Problemele cu conţinut geometric nu se pot face în clasă decât pe baza unor planşe pregătite dinainte. Dacă se fac desenele pe tablă, activitatea elevilor este îndreptată pe o cale falsă, spre desen. Se folosesc 5 minute sau chiar mai mult pentru a face figura, care nu este esenţială, şi mai puţin de 1 minut pentru ceea ce este esenţial: compunerea expresiei respective. În figura următoare se vede un exemplu de astfel de planşă. Planşa se afişează într-un loc vizibil; profesorul spune ce se cere (perimetrul, aria), elevii răspund, iar răspunsurile se scriu pe tablă.

Numai pentru unele exerciţii foarte simple, când şi figura este de prisos ne putem lipsi de planşă. De exemplu: să se afle perimetrul unui pătrat cu latura a, sau: să se afle perimetrul unui triunghi cu laturile a, b, c. Pe expresiile care reprezintă perimetrul sau aria unei figuri se vede foarte clar sensul valorii numerice a unei expresii algebrice. 12

De exemplu, într-un atelier se găsesc multe piese care au forma asemănătoare cu cea din figura de mai jos (un pătrat şi două dreptunghiuri). Expresia a2 + 2ab ne dă aria oricăreia dintre piese dacă înlocuim a şi b prin valorile corespunzătoare. a b

b

Ca teme pentru acasă, se pot da în medie circa 10 exerciţii, căci ele sunt foarte scurte - cu condiţia să nu cerem elevilor să copieze enunţurile. Numai la aflarea valorii numerice a unei expresii algebrice, când intervin calcule mai lungi, nu se pot da mai mult decât 4-5 exerciţii. Sunt recomandabile în special exerciţii de tipul următor: se dă o problemă cu date literale şi se cere să se dea răspunsul sub formă de expresie algebrică şi să se afle valorile acestei expresii pentru anumite valori ale literelor, arătându-se la ce probleme corespund fiecare dintre valorile numerice obţinute. Această temă poate fi parcursă uşor în circa cinci lecţii. Dacă se adoptă ordinea propusă în cele ce precede (care nu este singura posibilă), materia poate fi distribuită pe lecţii astfel: 1) Introducere. Probleme cu date în litere ca cele de la a) la d) inclusiv. 2) Recapitularea regulilor cu privire la ordinea operaţiilor şi folosirea parantezelor. Probleme în care intervin operaţii de ambele speţe. 3) Exerciţii la tema precedentă. 4) Proprietăţile operaţiilor şi unele reguli de aritmetică exprimate folosind notaţiile algebrice. 5) Exerciţii de folosire a termenilor sumă, diferenţă etc. (dictări).

ORIGINEA REGULILOR CU PRIVIRE LA ORDINEA OPERAŢIILOR 1. Caracterul acestor reguli 2. Cum s-a ajuns la aceste reguli 3. Observaţii din şcoală Intercalăm acest paragraf pentru a lămuri de ce se efectuează operaţiile în ordinea ştiută şi nu într-o altă ordine? De ce, de exemplu, în expresia 5 + 2 ⋅ 3 se dă întâietate înmulţirii ( 2 ⋅ 3 − 6, 5 + 6 = 11, nu 5 + 2 = 7, 7 ⋅ 3 = 21 ?

1. Caracterul acestor reguli. Regulile despre ordinea operaţiilor nu exprimă adevăruri obiective, ci arată cum se exprimă în scris un şir de operaţii. La nevoie s-ar putea adopta 13

foarte bine alte reguli. De exemplu, s-ar putea inversa ordinea operaţiilor, în sensul ca, într-o expresie care conţine adunări şi înmulţiri, să se efectueze întâi adunările, apoi înmulţirile. Atunci ar însemna că 5 + 2 ⋅ 3 = 7 ⋅ 3 = 21, iar 2 ⋅ 3 + 5 = 2 ⋅ 8 = 16. . Ordinul „adună 5 cu produsul 2 ⋅ 3 ” s-ar scrie 5 + ( 2 ⋅ 3) , , iar în expresia ( 5 + 2 ) ⋅ 3 parantezele ar fi de prisos. Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare s-ar exprima astfel: a + bc = (ac) + (bc).

2. Cum s-a ajuns la aceste reguli. Se spune deseori că aşa se procedează prin convenţie. Termenul convenţie ar putea da impresia că ar fi avut loc cândva o conferinţă, sau ceva asemănător, în care participanţii ar fi convenit, ar fi căzut de acord să adopte aceste reguli. O asemenea conferinţă nu a avut loc niciodată. Regulile cu privire la ordinea operaţiilor s-au format în mod firesc, de la sine, în cursul dezvoltării algebrei, şi anume în procesul trecerii de la algebra sincopată la cea simbolică. Astăzi, fiind dată expresia 5 + 3x, de exemplu, ar părea poate firesc să se efectueze operaţiile în ordinea în care sunt scrise: întâi adunarea, apoi înmulţirea. Cei care au creat algebra simbolică, de la Diofante până la Vieté şi Descartes, vedeau lucrurile altfel. În algebra sincopată şi la începutul algebrei simbolice se folosea un semn special (o prescurtare, respectiv un simbol) nu numai pentru necunoscută, ci şi pentru a arăta că numărul respectiv reprezintă „unităţi”. Pentru 5 + 3x, de exemplu, Diofante ar fi scris: 5 unităţi + 3 necunoscute (evident, aceasta este o traducere în limbajul de azi; Diofante nu a cunoscut cifrele, nici semnul „+”), iar un algebrist din sec. al XV-lea ar fi scris 5 σ + 3 ϕ . Când se foloseşte o asemenea notaţie, problema ordinii operaţiilor nu se pune. Este clar că trebuie efectuată întâi înmulţirea - e ca şi cum s-ar scrie 5 metri + 3 baloturi (de postav). Aceasta era situaţia cu privire la operaţiile de ordinul I şi II. În privinţa operaţiilor de ordinul II şi III, lucrurile sunt şi mai simple. Simbolurile x2, x3,... s-au format mai târziu decât toate celelalte; înainte se folosea câte un termen şi câte un simbol deosebit pentru fiecare putere a necunoscutei (x-radix, x2-census, x3-cubus etc.). Cu acest mod de exprimare, o expresie ca 3℘ (3 census, adică 3x2) nu conţine nici un fel de ambiguitate: numărul 3 trebuie înmulţit cu pătratul necunoscutei. În fond, expresia 3℘ nici nu indică mai mult decât o singură operaţie, înmulţirea necunoscutei cu ea însăşi este ascunsă în simbolul ℘ problema ordinii operaţiilor se pune abia când, în locul lui 3℘ apare 3x2. Expresiile mai complexe arătau, de asemenea, prin ele însele, atât operaţiile de efectuat cât şi ordinea lor. Să luăm, de exemplu, expresia 5 τ +7℘ (5 cubus + 7 census, adică 5x3+7x2). Puterile necunoscutei erau socotite întrucâtva ca fiind calitativ diferite. Puterea a doua - un pătrat, puterea a treia - un cub. Datorită acestui fapt este clar că, dacă cunoaştem valoarea necunoscutei, trebuie să aflăm întâi cubul şi pătratul ei, să înmulţim cu 5, respectiv cu 7 şi, la urmă, să facem adunarea. Cu alte cuvinte, această expresie reprezintă o sumă şi, înainte de a o efectua, trebuie aflaţi termenii ei. Lucrurile stau şi astăzi întrucâtva la fel în cazul funcţiilor transcendente elementare. De exemplu, în logax sau sinax se efectuează întâi înmulţirea şi apoi se ia logaritmul sau sinusul - nu se scrie log(ax), nici sin(ax). În clasă nu se simte nevoia unei explicaţii speciale, nu se dă nici o regulă cu privire la ordinea operaţiilor în cazul funcţiei 14

logaritmice sau al funcţiilor trigonometrice. Elevii ştiu singuri, pe baza contextului, în ce ordine trebuie efectuate operaţiile. Când s-a trecut la notaţiile simbolice de azi, simbolurile noi au adus cu ele, ca un fel de moştenire de la notaţia căreia i-a luat locul, şi indicaţia cu privire la ordinea operaţiilor, şi astfel s-a ajuns la regulile corespunzătoare. Aceste reguli nu au fost adoptate pe baza unei convenţii şi nici nu sunt arbitrare. Ele sunt rezultatul unei evoluţii.

3. Observaţii din şcoală. Este interesant de observat că unele forme ale modului de a gândi din perioada algebrei sincopate apar şi astăzi spontan în şcoală, ce-i drept rareori. În algebra sincopată, semnul care se folosea pentru necunoscută nu era privit ca un simbol, ci ca prescurtarea unui cuvânt obişnuit şi, în consecinţă, era supus flexiunii; şi astăzi apare la unii elevi (nu din cei mai străluciţi!) tendinţa de a pune x şi y la plural („5 icşi, 3 igreci”); apare şi nevoia de a face acordul („tangentă pătrată de x” pentru tg2x). Poate acest mod de exprimare primitiv îi ajută pe elevi să învingă greutăţile legate de începuturile calculului algebric. Legea biogenetică îşi face loc în învăţământ şi fără voia noastră! Urme ale modului în care se exprimau complexele de operaţii înainte de formarea simbolismului de azi se regăsesc în modul în care se citesc expresiile algebrice. De exemplu, 5x3 – 8x2 se citeşte: „5x3 (pauză) minus (pauză) 8x2”, nu: „5 (pauză) x3 – 8 (pauză)x2”. Expresii ca 2x, x3 se citesc ca un singur cuvânt: „2 (pauză)x” sau „x(pauză) la a treia” ar semăna cu silabisirea. Pauzele arată că înmulţirea „leagă mai strâns” decât adunarea, şi ridicarea la putere mai strâns decât înmulţirea. Pentru a lega două expresii mai strâns decât cere operaţia respectivă, se folosesc parantezele, ca în (a + b)c de exemplu. Parantezele exprimă acest fapt şi prin forma lor grafică; ele leagă totul într-un pachet - în acest sens se folosesc deseori parantezele în matematică, de exemplu: (A,B,C) ⇒ D - propoziţiile A, Bşi C împreună implică propoziţia D. Cuvântul paranteză are o etimologie interesantă. El este compus din para (deasupra) şi teză (ceea ce se pune). Iniţial, paranteza reprezintă un adaos făcut de cel care copia un manuscris, adaos care se scria deasupra rândului respectiv din textul original. Ulterior a apărut obiceiul de a include adaosul în text şi, pentru a-l deosebi, el se despărţea prin semnele (...). Cu timpul, denumirea de paranteză a trecut asupra semnului grafic. În matematică, parantezele au apărut relativ târziu. În sec. al XVII-lea se folosea o bară întinsă asupra întregii expresii pe care noi o închidem între paranteze - se ajunge chiar la bare repetate. De exemplu, la Newton se găseşte expresia y − 4 × y + 5 × y − 12 × y + 17 = 0, care înseamnă, cu notaţiile de azi: { [ ( y − 4 ) y + 5] y − 12} y + 17 = 0. Bara se foloseşte şi astăzi la radicali (dacă s-ar folosi consecvent parantezele, ar trebui să se scrie, de exemplu, ( x + y ) , în loc de x + y ), iar de unii autori la geometrie:

A şi B fiind două puncte, segmentul care are aceste puncte ca extremităţi se notează cu AB (fără bară), dar se scrie AB 2 (cu bară).

15

PRIMA ETAPĂ DE REZOLVARE A ECUAŢIILOR 1. Necesitatea de a preda ecuaţiile în două etape 2. Introducerea noţiunii de ecuaţie 3. Rezolvarea ecuaţiilor 4. Critica unui procedeu 5. Desfăşurarea predării 6. Ecuaţii care se rezolvă în prima etapă 1. Necesitatea de a preda ecuaţiile în două etape. S-a arătat că la terminarea şcolii generale elevul mijlociu ştie să rezolve ecuaţii, dar nu ştie să justifice regulile pe care le foloseşte. Această lipsă se datoreşte modului în care se predă de obicei algebra. În mod obişnuit, ecuaţiile se predau astfel: într-o singură lecţie, cel mult în două lecţii, se dă noţiunea de ecuaţie şi se explică regulile după care se trec termenii dintr-o parte în cealaltă a unei ecuaţii, apoi se fac timp de câteva săptămâni foarte multe exerciţii. Se rezolvă ecuaţii din ce în ce mai complicate în care aceste reguli se aplică, iar elevii învaţă destul de bine să le aplice, dar asupra originii regulilor nu se revine. În felul acesta se formează la elevi destul de bine automatismul corespunzător, ei aplică corect regulile, dar nu le înţeleg - pentru că se încredinţează automatismului lucruri care nu au fost înţelese suficient. Şi este firesc ca elevii să nu le înţeleagă. Elevii din şcoala generală judecă frumos când rezolvă probleme de aritmetică, unde raţionamentul are un caracter dinamic (ca să aflăm ..... trebuie mai întâi să aflăm..., iar pentru aceasta trebuie să....). Gândirea este mereu stimulată de întrebarea: ce am de făcut? La geometrie, ei se obişnuiesc într-o oarecare măsură şi cu raţionamente cu caracter static, prin care se stabilesc proprietăţi, dar aici judecata este înlesnită de faptul că elevul are în faţa ochilor o figură, un lucru vizibil. În cazul regulilor despre care este vorba aici, însă, lucrurile merg greu, pentru că nu este îndeplinită nici una dintre aceste condiţii: se stabileşte o proprietate, deci raţionamentul are un caracter static, iar obiectul nu este o figură vizibilă, ci o ecuaţie. Elevii urmăresc greu explicaţiile profesorului, până şi cei mai buni se întreabă: „Unde vrea să ajungă?”. Abia către sfârşitul lecţiei, când i se arată elevului ce are de făcut pentru a rezolva o ecuaţie, când se fac operaţii, elevul se simte în elementul lui. O regulă deosebit de importantă cere ca „.... elevul să capete mai întâi experienţa fiinţelor şi relaţiilor matematice şi să-l iniţiem abia pe urmă în raţionamentul deductiv”. În cazul de faţă, aceasta înseamnă că elevul tebuie să se familiarizeze întâi cu noţiunea de ecuaţie şi abia pe urmă se pot demonstra regulile de rezolvare sub forma generală. Din aceste motive, nu este bine să stabilim mai întâi regulile de rezolvare a ecuaţiilor şi apoi să le aplicăm. Este mai bine să se adopte o altă cale. Ecuaţiile să se predea în două etape: în prima etapă, elevii să rezolve ecuaţiile raţionând în fiecare caz în parte, iar în etapa a doua, aceste raţionamente să fie înlocuite prin reguli tehnice. În felul acesta, ei vor înţelege că aceste reguli nu sunt absolute, că, dacă este cazul, ne putem lipsi de ele. Acesta este un motiv în plus, pe lângă cele invocate anterior, de a introduce ecuaţiile la începutul cursului de algebră. 16

2. Introducerea noţiunii de ecuaţie. Se spune uneori că, de fapt, elevii rezolvă ecuaţii încă din clasa I, căci o lucrare ca 8 + ? = 12 revine în fond la rezolvarea ecuaţiei 8 + x = 12, singura deosebire ar fi că în locul semnului întrebării se pune simbolul x, şi că acest fapt ar putea fi folosit ca punct de plecare pentru a preda rezolvarea ecuaţiilor. Considerăm că acest punct de vedere nu poate fi acceptat. Nu este vorba de o simplă schimbare de notaţie, ci de un alt mod de a aborda problema. Întradevăr, 8 + ? = 12 este o propoziţie interogativă, pe când 8 + x = 12 este o propoziţie afirmativă (de fapt o formă propoziţională). În ambele cazuri se pune problema de a găsi numărul care, adunat cu 8, să dea 12, dar prima formulare se întreabă care este acest număr, iar în formularea a doua se afirmă că acest număr este x. Între aceste două formulări există o deosebire esenţială. Prima corespunde metodei aritmetice de a rezolva probleme, iar a doua, celei algebrice. Unii recomandă procedeul următor, foarte interesant, de a introduce noţiunea de ecuaţie. Se porneşte de la două expresii, de exemplu 4x – 5 şi 2x + 9, se dau variabilei x diferite valori, se construieşte tabelul următor: x 4x-5 2x+9

2 3 13

3 7 15

4 11 17

5 15 19

6 19 21

7 23 23

8 27 25

9 31 27

Şi se caută valoarea lui x care dă celor două expresii valori egale. Se găseşte că x = 7. Acest procedeu are marele merit că foloseşte noţiunea de funcţie. Se dau două funcţii de o variabilă şi se pune problema de a găsi valoarea variabilei pentru care ambele funcţii iau aceeaşi valoare. În felul acesta elevii au un câmp vizual mai larg: când x ia diferite valori, ambele părţi ale ecuaţiei variază, pentru unele valori ale lui x partea întâi este mai mare, pentru altele partea a doua; pentru ce valoare a lui x devin ele egale? Acest mod de a defini ecuaţia ar putea fi folosit ulterior sau într-o altă organizare a introducerii în algebră. În condiţiile actuale, el este prea abstract. Procedeul cel mai răspândit de a introduce noţiunea de ecuaţie este de a porni de la o problemă şi de a o pune în ecuaţie. Aşa a procedat şi L. Euler. Acest procedeu este bun, deoarece în felul acesta elevii văd de la început care este rostul ecuaţiilor. Dăm două exemple: 1) Într-o magazie se găseşte un număr de lăzi de zahăr de câte 50 kg şi o ladă începută care conţine 17 kg zahăr. În total sunt 967 kg de zahăr. Câte lăzi pline sunt în magazie? Se obţine ecuaţia: 50x + 17 = 967. 2) Un elev are o sumă de bani şi se duce să cumpere caiete. Dacă cere 8 caiete, îi mai trebuie 3 lei ca sâ le poată plăti, iar dacă cere 6 caiete, îi mai rămân 2 lei. Cât costă un caiet? 17

Se obţine ecuaţia: 8x – 3 = 6x + 2. Se pare că problema a doua este preferabilă, căci ea se rezolvă destul de greu pe cale aritmetică. În cazul unei probleme mai simple, ca prima, s-ar putea întâmpla ca unii elevi să nu participe cu interes la munca din clasă, căci o rezolvă şi fără ecuaţii.

3. Rezolvarea ecuaţiilor. În această etapă nu se folosesc regulile obişnuite. Ecuaţiile se rezolvă aplicând direct următoarele propoziţii, în care a, b şi n sunt numere oarecare. Dacă a = b, atunci: 1) a + n = b + n; 2) a – n = b – n; 3) an = bn; 4) a:n = b:n (n ≠ 0). În unele cărţi, aceste propoziţii poartă denumirea de proprietăţile egalităţilor. Această denumire nu corespunde cu cea întrebuinţată în ştiinţă. În matematică se foloseşte termenul de relaţie de egalitate şi proprietăţile formale ale acestei relaţii sunt: reflexivitatea (a = a), simetria (dacă a = b, atunci b = a) şi tranzitivitatea (dacă a = b şi b = c urmează, a = c). Aceste propoziţii sunt aplicaţii ale principiului identităţii, după care orice lucru este egal cu el însuşi, şi al faptului că adunarea asociază la două numere date o singură sumă. Fie, de exemplu, a = b. Să comparăm a + n cu b + n. Prin ipoteză, a şi b reprezintă acelaşi număr, semnul „+” din cele două expresii reprezintă aceeaşi operaţie, iar n este acelaşi număr în ambele părţi. Rezultă că a + n şi b + n reprezintă acelaşi număr, a + n = b + n. De acest fapt trebuie să se ţină seama în predarea acestor propoziţii. Arătăm pe un exemplu mai complicat cum se procedează. Considerăm ecuaţia: x − 1 5( x + 1) x−5 + = 16 − . 4 2 12 O presupunem rezolvată, x fiind un număr care o satisface. Aceasta înseamnă că, dacă înlocuim x cu acest număr şi efectuăm calculele, obţinem în ambele părţi acelaşi rezultat, deci cele două părţi ale ecuaţiei reprezintă două numere egale. Atunci, înmulţind ambele părţi cu 12 (c.m.m.m.c. al numitorilor), vom obţine rezultate egale (propoziţia 3). Calculul dă: 3(x – 1) + 30(x + 1) = 192 – (x – 5); 33x + 27 = 197 – x. Am obţinut o altă ecuaţie. Facem acelaşi raţionament: cele două părţi ale ecuaţiei reprezintă două numere egale. Dacă adăugăm x la ambele părţi, obţinem tot numere egale (propoziţia 1). Calculul dă: 34x + 27 = 197. Repetăm raţionamentul. Dacă din ambele părţi ale acestei ecuaţii scădem 27, obţinem rezultate egale (propoziţia 2). Calculul dă: 34x = 170. În sfârşit, împărţim ambele părţi prin 34 şi scriem că rezultatele sunt egale (proprietatea 4): x = 5. Ecuaţia este rezolvată. Se ridică următoarea obiecţiune justificată. Acum raţionamentul nu ne dă dreptul să spunem că valoarea aflată pentru x reprezintă rădăcina ecuaţiei. Întradevăr, am pornit de la ipoteza că x satisface ecuaţia şi am ajuns la concluzia că x este egal cu 5; aceasta înseamnă că nici un număr diferit de 5 nu satisface ecuaţia, dar valoarea x = 5 poate să satisfacă ecuaţia sau nu. În general, dacă A implică B, nu înseamnă că şi, invers, B implică 18

A, ci numai non B implică non A. Totuşi, acest mod de a raţiona poate fi admis într-o primă etapă, urmând ca el să fie completat ulterior. 4. Critica unui procedeu. În ultimul timp a apărut tendinţa de a rezolva, într-o primă etapă, ecuaţiile de gradul I printr-un procedeu numit rezolvarea ecuaţiilor pe baza „proprietăţilor operaţiilor”. Vom arăta printr-un exemplu despre ce este vorba. 18 − 3 x = 2. Relaţia dintre deîmpărţit, împărţitor şi cât (definiţia Fie ecuaţia: 3 împărţirii) dă: 18 – 3x = 6. Dacă într-o scădere cunoaştem descăzutul şi diferenţa, scăzătorul se obţine scăzând diferenţa din descăzut, deci: 3x = 18 – 6; 3x = 12. Dacă cunoaştem produsul şi unul din factori, celălalt factor se află printr-o împărţire, deci: x = 12 :3; x = 4. Împotriva folosirii acestui procedeu se ridică două obiecţiuni, una cu caracter principial şi cealaltă bazată pe o anumită situaţie concretă. Prima: acest procedeu este cu totul deosebit de cel obişnuit pentru rezolvarea ecuaţiilor. El nu contribuie cu nimica la înţelegerea regulilor după care se rezolvă efectiv ecuaţiile. Mai mult, acest procedeu este chiar dăunător într-o oarecare măsură, pentru că el imprimă gândirii elevilor o direcţie diferită de cea în care se merge în algebră. A doua: în cadrul aritmeticii nu se insistă asupra definiţiei formale a operaţiilor inverse; predomină punctul de vedere concret. Elevii nici nu învaţă la aritmetică tot ce este necesar pentru a aplica acest procedeu (de exemplu: proprietatea scăderii folosită mai sus). Pentru aceste motive nu este indicat ca acest procedeu să fie folosit. 5. Desfăşurarea predării. a) După ce s-a pus în ecuaţie o problemă simplă şi pe tablă apare, de exemplu, ecuaţia 50x + 17 = 967, profesorul spune elevilor următoarele: „Ceea ce vedeţi aici este o ecuaţie. Ea exprimă că, dacă numărul x se înmulţeşte cu 50 şi se adaugă 17, se obţine 967. Rămâne să aflăm cât este x, adică să rezolvăm ecuaţia. Deocamdată eu vă spun că x = 19” - se face proba. Apoi se dă lui x o altă valoare, de exemplu x = 20 şi se constată că ea „nu este bună”. Urmează alte câteva exemple de x x ecuaţii, cum ar fi: 2x + 1 = x + 8, + = 5 ş.a. Eventual, se cere elevilor să dea şi ei 2 3 exemple de ecuaţii. Abia după ce elevii şi-au dat seama, pe baza exemplelor, ce este o ecuaţie, se explică originea cuvântului ecuaţie (din cuvântul latin aequus - egal, care se regăseşte în cuvintele echilibru, echidistant), se arată că fiecare ecuaţie este formată din două părţi sau doi membri şi se explică sensul cuvintelor rădăcină sau soluţie, a satisface, a rezolva. Explicaţia se face pe exemple, fără a insista asupra definiţiilor. Pentru ca elevii să înţeleagă bine ce este o rădăcină a unei ecuaţii, sunt necesare câteva exerciţii ca următorul: profesorul scrie pe tablă o ecuaţie, de exemplu, 3x – 1 = 2x + 6, şi cere elevilor să examineze dacă x = 8 o satisface, apoi x = 6, x = 7 ş.a.m.d. Aceste exemple trebuie alese astfel încât calculele să fie uşoare; să nu acoperim ideea cu greutăţi tehnice. 19

Dacă se consideră că trebuie dat ceva care seamănă cu o definiţie, s-ar putea spune: o ecuaţie exprimă că, pentru anumite valori ale necunoscutei, care urmează a fi aflate, expresia din stânga semnului „=” ia aceeaşi valoare numerică cu cea din dreapta lui. Deci, nu se spune ce este o ecuaţie, se spune numai ce exprimă, ocolindu-se dificultatea. După ce elevii şi-au însuşit aceste noţiuni, profesorul anunţă că trece la rezolvarea ecuaţiilor. Ca pregătire, este util să scrie pe tablă câteva ecuaţii, să ceară elevilor să afle rădăcinile lor. Elevii le vor ghici cu greu; atunci profesorul spune rădăcina fiecăreia. Prin aceasta îi facem pe elevi să fie curioşi („Cum aţi făcut?”). Apoi profesorul le spune că, pentru a putea rezolva ecuaţii, trebuie să înveţe întâi patru reguli foarte simple şi trece la predarea celor patru propoziţii de la § 4.3. Predarea lor nu întâmpină nici un fel de dificultate. Elevii le înţeleg foarte uşor şi le acceptă pe baza principiului următor foarte general, care nu se enunţă: dacă avem două lucruri egale (nu neaparat în sens matematic) şi le supunem la aceleaşi modificări, obţinem tot lucruri egale. Pentru a le învedera ajunge un exemplu sau două. Cel mai răspândit este exemplul, bine cunoscut, cu balanţa: dacă pe cele două talere ale unei balanţe avem greutăţi egale şi adăugăm pe fiecare taler aceeaşi greutate, balanţa rămâne în echilibru; la fel dacă scoatem de pe ambele talere aceeaşi greutate ş.a.m.d. Nu este nevoie de nici un fel de material didactic - eventual se schiţează pe tablă un cântar. Elevii îşi imaginează destul de uşor situaţiile. Un alt exemplu ar fi următorul: Ion şi Gheorghe au aceeaşi sumă de bani, de exemplu câte 50 de lei fiecare. Fiecare dintre ei primeşte aceeaşi sumă de bani, de exemplu 10 lei. Care din ei are acum mai mult? Dar dacă fiecare din ei cheltuieşte aceeaşi sumă de bani, de exemplu 7 lei? Dacă fiecare din ei şi-ar mări „averea” de un număr oarecare de ori, de exemplu de 3 ori, care ar avea mai mult? Fiecare din ei cumpără câte o carte care costă un sfert din banii pe care-i are. Care din ei a cumpărat o carte mai scumpă? Elevii se miră că li se pun întrebări atât de simple. Ei răspund întrucâtva jigniţi: „Nici unul din ei nu va avea mai mult”. Dovadă că ei sunt deplin convinşi de adevărul propoziţiilor care se deduc de aici. Unii consideră că este necesar ca aceste propoziţii să fie verificate pe exemple numerice. Acest lucru este de prisos. Luăm două numere egale, de exemplu 352 şi 352, adică de două ori acelaşi număr, şi adunăm la fiecare acelaşi număr, de exemplu 176. Care din cele două rezultate va fi mai mare? Nici un elev nu simte nevoie să efectueze operaţia. Eventual se folosesc pentru prima propoziţie toate trei mijloace (interpretarea cu ajutorul balanţei, exemplul cu banii şi exemplul cu numere abstracte), iar la propoziţiile următoare se lasă elevilor libertatea să dea una sau alta dintre justificări, după preferinţă. („Avem două numere egale şi din fiecare scădem acelaşi număr. Care dintre rezultate va fi mai mare? Răspunde elevul X! - De ce este aşa?”). După fiecare întrebare sau exemplu, propoziţia se enunţă în cuvinte, cam astfel: dacă la două numere egale adăugăm acelaşi număr, obţinem numere egale (după modelul din Elementele lui Euclid: „Şi dacă la egale se adună egale, cele întregi sunt egale”). Analog celelalte. Elevii înclină către un enunţ mai desfăşurat: dacă avem două numere egale şi .... obţinem numere egale. Acest enunţ corespunde mai bine cu ceea ce se petrece efectiv: 20

întâi avem două numere egale, apoi facem o anumită operaţie şi la urmă obţinem rezultate egale. E bine să nu forţăm lucrurile, să-i lăsăm să se exprime cum vor. Numai elevii mai buni, în urma unui anumit efort, adoptă enunţul mai scurt. Unii folosesc aici cuvântul cantitate, în cărţile mai vechi se găseşte cuvântul câtime. Aceşti termeni trebuie evitaţi, căci sunt obscuri. În algebră (în cea şcolară) se lucrează cu numere; să spunem lucrurilor pe nume! Se aude deseori formularea următoare: dacă adunăm la ambele părţi ale unei egalităţi acelaşi număr, egalitatea nu se schimbă. Acest enunţ este greşit. Avem egalitatea a = b; dacă adăugăm la ambele părţi numărul n, obţinem a + n = b + n; aceasta este o altă egalitate. Însuşi scopul acestor transformări este de a înlocui ecuaţia propusă cu o altă ecuaţie, mai simplă. Se pare că cei care folosesc acest enunţ vor să spună că felul relaţiei dintre cei doi termeni nu se schimbă; între termenii iniţiali a existat o relaţie de egalitate, iar între cei obţinuţi există de asemenea o relaţie de egalitate. Să-i obişnuim pe elevi să se exprime corect! La ultima relaţie trebuie explicat de ce se pune condiţia n ≠ 0: prin zero nu se poate împărţi. La sfârşit, se pot rezuma cele patru propoziţii în una singură. Dacă două numere sunt egale şi le adunăm cu acelaşi număr sau scădem din ele acelaşi număr, sau le înmulţim cu acelaşi număr, sau le împărţim prin acelaşi număr (diferit de zero), obţinem numere egale. Este foarte util să se scrie acest lucru şi cu semne matematice, sub formă de tablou, aşa cum s-a arătat la § 4.3. Tabloul se scrie într-un colţ al tablei, frumos pus în chenar, ca elevii să-l aibă în faţa ochilor în cele ce urmează. Se mai fac câteva exerciţii de fixare, ca: „să enunţe prima regulă în cuvinte elevul X! Regula a patra elevul V” ş.a.m.d. „Să formuleze cele patru reguli în litere elevul Z (fără să se uite la tablă). Cine poate enunţa cele patru reguli în cuvinte?” Subliniem că în toată explicaţia care precedă se înţelege de la sine că este vorba de numere cu care se lucrează în aritmetică. Chestiunea va trebui reluată după introducerea numerelor relative.

b) Înainte de a trece la rezolvarea ecuaţiilor se mai face o pregătire, care se va dovedi îndată ca foarte utilă. Se aminteşte elevilor că cele patru operaţii se împart în două grupe. Prima grupă conţine adunarea şi scăderea, iar a doua înmulţirea şi împărţirea. Scăderea este operaţia inversă a adunării, iar adunarea este operaţia inversă a scăderii. Dacă la un număr oarecare adunăm un alt număr, iar din sumă scădem acelaşi număr, obţinem numărul de la care am plecat; de asemenea, dacă facem aceste operaţii în ordinea inversă. De exemplu, 17 + 3 – 3 = 17; 25 – 4 + 4 = 25. În acelaşi sens, împărţirea este operaţia inversă a înmulţirii, iar înmulţirea este operaţia inversă a împărţirii. De exemplu, 5⋅7 5 = 5, ⋅ 7 = 5. Acest lucru se exprimă sugestiv prin tabelul următor: 7 7

Grupa I

Operaţia directă + — 21

Operaţia inversă — +

Grupa a II-a

• :

: •

Apoi se fac o serie de exerciţii, ca următoarele: profesorul scrie pe tablă, de exemplu, 358 + 417 şi întreabă: „Ce ar trebui să facem să obţinem 358?” (trebuie să scădem 417) „Dar ca să obţinem 417?” (scădem 358). Pe tablă apare: 358 + 417 – 417 = 358; 358 + 417 – 358 = 417. „Avem scăderea 285 – 148. Ce trebuie să facem să obţinem 285?” (adunăm 148.) Pe tablă apare: 285 – 148 + 148 = 285. Pentru înmulţire şi împărţire trebuie folosite fracţiile. „Avem înmulţirea 32 ⋅ 47. Ce operaţie trebuie să facem aici ca să obţinem 32? Dar ca să obţinem 47?” Pe tablă apare: 32 ⋅ 47 32 ⋅ 47 = 32, = 47. 47 32 15 . Ce operaţie trebuie să facem să obţinem 15?” Pe În sfârşit: „Avem fracţia 29 15 ⋅ 29 = 15. tablă apare: 29

c) După această pregătire se trece la rezolvarea unor ecuaţii simple. Este firesc să se adopte ordinea următoare: 1) Ecuaţii care se rezolvă printr-o singură transformare, de forma: a ) x + a = b; b) a + x = b; c) b = x + a; d ) b = a + x; e) x − a = b; f ) a − x = b; g ) b = x − a; x a x a h) b = a − x; i ) ax = b; j ) b = ax; k ) = b; l ) = b; m) b = ; n) b = . a x a x (bineînţeles, în locul literelor a şi b apar numere cunoscute, exprimate prin cifre) 2) Ecuaţii care cer două transformări, de forma: x x a a ) ax ± b = c; b) b + ax = c; c) ± b = c; d ) b ± = c; e) ± b = c; a a x a ax a f ) b ± = c; g ) = c; h) = c, x b bx şi ecuaţii ce se obţin din acestea schimbând între ele cele două părţi. 3) Ecuaţii care se rezolvă prin trei sau mai mult de trei transformări, cum ar fi: ax ± b ax ± b ax ± b a) = d ; b) m = d ; c) ± d = e; ş.a. c c c Ecuaţiile care conţin necunoscuta la numitor sunt mai grele, ele pot lipsi în această etapă. În cadrul acestor exerciţii este bine să se dea o atenţie deosebită ecuaţiilor de x b a b a x a c forma: = ; = ; = şi = , pentru ca elevii să vadă că aflarea unei necunoscute a c x c b c b x 22

dintr-o proporţie înseamnă de fapt rezolvarea unei ecuaţii. Regula izolată, pe care elevii au învăţat-o la aritmetică, este astfel absorbită de un procedeu general. La primele exemple, unii elevi au tendinţa să afle valoarea necunoscutei prin mijloacele pe care ei le cunosc din artitmetică De exemplu, în cazul unei ecuaţii ca x + 13 = 22, ei îşi dau destul de uşor seama că trebuie să facă scăderea 22 – 13. Este bine ca profesorul să nu respingă în mod brutal procedeul pe care elevii încearcă să-l folosească. Trebuie să li se explice că acest procedeu este întradevăr bun pentru a rezolva ecuaţii foarte simple, dar se va ajunge îndată la ecuaţii mai complicate, care nu se mai pot rezolva prin procedeul lor, dar se pot rezolva prin metoda pe care o vor învăţa acum. Această explicaţie este utilă chiar dacă nu s-a înregistrează din partea elevilor încercarea de a rezolva ecuaţiile pe cale aritmetică. Firul conducător în toată explicaţia trebuie să fie următorul: trebuie să ajungem la x = un număr cunoscut, de exemplu x = 3, x = 17 ş.a.m.d.; pentru aceasta este necesar să schimbăm lucrurile în aşa fel încât la stânga să rămână numai x, iar la dreapta un număr cunoscut. Această idee trebuie repetată mereu, în special când se trece la o ecuaţie de formă nouă. În cazul în care se ia ecuaţia de mai sus x + 13 = 22, profesorul poate da explicaţia următoare: în partea stângă a acestei ecuaţii se găseşte expresia x + 13. Ca ecuaţia să fie rezolvată, trebuie ca termenul + 13 să dispară şi să rămână numai x. Dacă s-au făcut exerciţiile preliminare indicate mai sus, elevii îşi dau seama că trebuie scăzut 13. Dacă scădem din partea stângă a ecuaţiei numărul 13, cele doi părţi ale ei nu vor mai fi egale; trebuie să scădem 13 şi din partea dreaptă. Se obţine astfel: x + 13 – 13 = 22 – 13. Dar, dacă la un număr oarecare x adunăm 13, iar din rezultate scădem 13, obţinem din nou numărul x; iar 22 – 13 = 9. Deci, la stânga rămâne x, iar la dreapta 9, adică x = 9. Ecuaţia este rezolvată. O explicaţie mai sugestivă, dar totodată mai primitivă, ar fi următoarea: să ne închipuim un cântar; pe talerul din stânga se găseşte un obiect de greutate necunoscută (x) şi o greutate de 13 g, pe celălalt taler sunt 22 g şi cântarul este în echilibru. Cum putem afla greutatea acelui obiect? Dacă luăm de pe ambele talere câte 13 g, cântarul rămâne în echilibru. Dar atunci la stânga rămâne numai obiectul (x), iar la dreapta rămâne 22 – 13 = 9 g, deci obiectul cântăreşte 9 g, x = 9. Această explicaţie este mai primitivă în sensul că nu se procedează sistematic, se renunţă la propoziţiile stabilite la început (dacă a = b, atunci a – n = b – n). Eventual s-ar putea da ambele explicaţii, întâi cea sugestivă, apoi cealaltă. Fiecare elev va reţine explicaţia care-i este mai potrivită. Ne găsim aici la o cotitură - introducerea unui mod de a rezolva problemele specific algebrei. Trebuie insistat asupra primelor exemple - dacă pornirea este bună, tot restul merge bine. De aceea este necesar să se repete judecata de mai multe ori. Pentru aceasta, se scoate câte un elev la tablă şi i se cere să rezolve o ecuaţie ca: x + 7 = 31, 38 + x = 53 ş.a.m.d. Nu este necesar ca elevul să facă o expunere, cum a făcut profesorul la primul exemplu. Este suficient dacă spune (ne referim la ecuaţia x + 7 =31): „Scădem din ambele părţi 7” şi scrie aşa cum s-a arătat la exemplul precedent. 23

După 2-3 exemple se poate face o mică discuţie: „De ce scădem 7?” (Ca să dispară termenul +7.) „Cu ce drept facem această scădere?” (Dacă scădem din ambele părţi 7, obţinem tot numere egale.) Elevii întâmpină greutăţi reale când se trece la ecuaţii de forma a = 6 + x, unde necunoscuta figurează în partea dreaptă. Ecuaţia li se pare scrisă „invers”. Greutăţile dispar dacă ecuaţia se transcrie de la început, intervertindu-se cele două părţi ale ei. De exemplu, în loc de 37 = 15 + x, se scrie x + 15 = 37. Este însă mai bine să nu facem acest lucru. Obligând elevii să raţioneze pe ecuaţie sub forma iniţială, facem ca gândirea lor să fie mai mlădioasă. La ecuaţiile care se rezolvă prin două sau mai multe operaţii, se pune problema ordinii operaţiilor. De exemplu, în cazul ecuaţiei 3x + 8 = 20 trebuie să scăpăm de 3 şi de 8; de care scăpăm întâîi? Răspunsul este următorul: dacă am vrea să calculăm valoarea numerică a acestei expresii cunoscând valoarea lui x, ar trebui să înmulţim întâi cu 3 şi apoi să adunăm 8; aici procedăm invers: scăpăm întâi de 8 şi apoi de 3. În mod analog se procedează în cazul ecuaţiilor mai complicate. Se poate da regula condensat: se fac operaţiile inverse în ordinea inversă. După ce se rezolvă o ecuaţie, este bine să se facă proba. Aceasta întăreşte încrederea elevilor în metoda care se foloseşte şi, pe de altă parte, se înlătură (măcar formal) lipsa logică a acestui procedeu semnalat mai sus. În alegerea ecuaţiilor trebuie să respectăm următoarea regulă, care se aplică deseori în predarea matematicii: când vrem ca elevii să-şi însuşească un anumit mod de a raţiona, să nu-i împovărăm cu lucruri secundare. În cazul de faţă trebuie să le dăm la început ecuaţii în care coeficienţii sunt numere naturale mici, ca să nu-i împovărăm cu calcule. O atenţie deosebită trebuie acordată redactării. Un mod de redactare foarte sugestiv este următorul: se trage la stânga ecuaţiei o linie verticală, la stânga acestei linii se scrie ce operaţie se face în ambele părţi ale ecuaţiei, iar la dreapta ei, ecuaţia ce se obţine. Este bine ca numărul de la stânga liniei verticale să cadă între rândurile respective.

Exemple:

24

1)

x − 5 = 12 + 5 x − 5 + 5 = 12 + 5 x = 17

2)

3 x = 18 3 x 18 :3 = 3 3 x=6

2x − 1 + 8 = 28 −8 3 2x − 1 4⋅ = 20 3 ⋅3 : 4 4( 2 x − 1) = 60 + 1 2 x − 1 = 15 : 2 2 x = 16 4⋅

3)

x =5 ⋅7 7 x = 35

4)

x=8

La început se indică în fiecare parte a ecuaţiei operaţia, apoi se efectuează (ca în primele două exemple), iar cu timpul se renunţă la această etapă (ca în ultimele două exemple). Acest mod de redactare are şi un alt avantaj, şi anume: la ecuaţii mai complicate apar două feluri de transformări, transformarea unei ecuaţii într-o altă ecuaţie echivalentă cu ea şi schimbări care provin de la efectuarea calculelor în fiecare parte a ecuaţiei luată separat. În această schemă se deosebesc bine cele două feluri de transformări. În rândurile care rezultă dintr-o transformare de primul fel apare la stânga liniei verticale o indicaţie ca: - 8, • 3, iar în celelalte rânduri nu apare nimic.

d) Ecuaţiile de forma celor indicate mai sus pot fi rezolvate la începutul cursului de algebră, înainte de calculul algebric. Pentru predarea lor sunt necesare 3-4 lecţii. În prima lecţie se introduce noţiunea de ecuaţie, iar ca temă pentru acasă se dau, pe lângă exerciţiile legate de tema interioară, câteva exerciţii ca următorul: să se cerceteze dacă x = 3 şi x = 4 sunt rădăcini ale ecuaţiei x(x + 8) = 33. Se pot da şi unele exerciţii mai grele, ca: se dă ecuaţia 8x – 1 = 2(x + 4) + a; ce valoare trebuie să aibă litera a ca x = 3 să fie o rădăcină a ecuaţiei date? În lecţia a doua se predau cele patru reguli şi se rezolvă ecuaţii care cer o singură transformare, în lecţia a treia se reiau ecuaţiile de acelaşi tip şi se trece la forme mai complicate, care cer două sau mai multe transformări, iar în lecţia a patra se continuă, eventual cu exerciţii mai complicate. 6. Ecuaţii ce se pot rezolva în prima etapă. Prima etapă de rezolvare a ecuaţiilor ţine, aşa cum s-a propus, până la sfârşitul calculului algebric. După ce s-au predat numerele relative trebuie rezolvate câteva ecuaţii cu soluţii negative. Trebuie revăzute cele patru propoziţii fundamentale, pentru a arăta că numărul n poate fi şi negativ. Propoziţia a doua este absorbită de prima (a scădea numărul pozitiv n înseamnă a aduna -n). 25

Pe măsură ce se înaintează cu calculul algebric, se pot rezolva ecuaţii în care intervin calculele predate, aproape fără nici o explicaţie suplimentară. Intervin foarte puţine lucruri noi. Când apare pentru prima dată o ecuaţie în care necunoscuta figurează în ambele părţi, se simte nevoia de a aminti elevilor că trebuie să transformăm ecuaţia în aşa fel încât să avem la stânga numai termeni care conţin necunoscute, iar la dreapta numai termeni cunoscuţi. La început, elevii se orientează mai greu, de aceea trebuie lucrat pe îndelete. De exemplu, în cazul ecuaţiei: 5x – 3 = 8x + 15 se iau, pe rând, toţi termenii: 5x conţine necunoscuta, locul lui este în partea stângă a ecuaţiei, deci acest termen rămâne pe loc; -3 este un termen cunoscut, locul lui este în partea dreaptă a ecuaţiei, nu în partea stângă, termenul se subliniază ş.a.m.d. După această analiză rămâne stabilit că termenii 8x şi -3 trebuie să dispară. La început, transformarea se face în două etape, aşa cum se arată în prima schemă de mai jos. Cu timpul, elevii învaţă să facă ambele transformări dintr-o odată, aşa cum se arată în schema a doua de mai jos. 5 x − 3 = 8 x + 15 5 x − 3 = 8 x + 15 +3 + 3 − 8x 5 x = 8 x + 18 5 x − 8 x = 15 + 3 − 8x − 3 x = 18 − 3 x = 18 ⋅ ( − 1) ⋅ ( − 1) 3 x = −18 3 x = −18 :3 :3 x = −6 x = −6 În sfârşit, la ecuaţiile în care intervin fracţii (cu numitorul numeric) se înmulţesc ambele părţi cu c.m.m.m.c. al numitorilor. Elevii înţeleg uşor că după fiecare transformare trebuie sa desfacă parantezele, dacă există, şi să reducă termenii asemenea. Momentele în care se rezolvă ecuaţii ar fi următoarele: 1) după operaţiile cu numere negative, 2) după adunareai şi scăderea polinoamelor, 3) după înmulţirea polinoamelor, 4) după calculul prescurtat, 5) după fracţiile algebrice. Dăm mai jos două exemple:

( x + 2) 2 − ( 2 x + 1)( x − 3) = ( x + 3)( x − 3) − 2 x 2 + 7 x + 18

(

)

x 2 + 4 x + 4 − 2 x 2 + x − 6 x − 3 = x 2 − 9 − 2 x 2 + 7 x + 18 − x 2 + 9x + 7 = −x 2 + 7x + 9 + x2 − 7x − 7 2x = 2 :2 x =1 3x − 1 x + 1 x −1 − =6+ 4 2 3 ⋅ 12 3( 3 x − 1) − 6( x + 1) = 72 + 4( x − 1) 9 x − 3 − 6 x − 6 = 72 + 4 x − 4 3 x − 9 = 4 x + 68 − 4x + 9 − x = −77 ⋅ ( − 1) x = 77 Menţionăm că acest procedeu este suficient pentru a rezolva orice ecuaţie de gradul I cu o necunoscută (chiar mai mult, pentru a aduce orice ecuaţie raţională la forma canonică) şi nu este mai lung decât cel obişnuit. La o lucrare scrisă, dacă se face 26

abstracţie de indicaţiile din stânga liniei verticale - cu timpul elevii renunţă singuri la ele nici nu se cunoaşte dacă elevul a lucrat după acest procedeu sau după cel obişnuit. Acest procedeu nici nu este mai greu, căci nu este mai greu să spui: „Trecem termenul... în partea cealaltă” decât: „Adunăm la ambele părţi ale ecuaţiei....”, dar el are avantajul că elevii judecă la fiecare pas şi prin aceasta se asigura deplina înţelegere a regulilor obişnuite pe care elevii le vor învăţa în etapa a doua. Făcându-i pe elevi să rezolve ecuaţii după acest procedeu înainte de a le preda regulile uzuale, respectăm şi legea biogenetică - aşa au procedat întemeietorii algebrei. Este chiar recomandabil ca profesorul să facă la momentul potrivit o scurtă observaţie istorică în care să explice elevilor originea cuvântului algebră. Elevii primesc cu multă plăcere aceste lucruri. Mai mult, pe unii îi amuză şi să adopte terminologia arabă. În cazul ecuaţiei 3x – 8 = 29, de exemplu, ei spun: „Aici facem al-geabr, adăugăm în ambele părţi 8”, iar în cazul ecuaţiei 3x + 8 = 29: „Facem al-mucabala, scădem 8”.

PROBLEME CE SE REZOLVĂ ÎN PRIMA ETAPĂ DE PREDARE A ECUAŢIILOR 1. Consideraţii generale 2. Exemple 3. Interpretarea soluţiilor negative 1. Consideraţii generale. S-a arătat că rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor nu trebuie lăsată la urmă. Pe măsură ce se înaintează în predarea calculului algebric şi în rezolvarea ecuaţiilor, trebuie să se rezolve şi probleme care duc la ecuaţii de forma corespunzătoare. Prin aceasta cultura matematică a elevilor capătă o bază mai largă, predarea algebrei devine mai omogenă. Totuşi, în această perioadă, câînd elevii încă nu sunt familiarizaţi cu calculul algebric şi cu rezolvarea ecuaţiilor, ar fi o greşeală să adăugăm la greutăţile proprii ale acestei discipline şi greutăţile legate de aplicaţii. Ar însemna să concentrăm greutăţile. De aceea trebuie alese probleme care se pun uşor în ecuaţie. Evident, nu se poate trasa o linie care să despartă cu stricteţe problemele uşoare de cele grele. Se pot da, totuşi, unele indicaţii. Astfel, trebuie evitate în această etapă problemele în care intervin noţiuni cu care elevii nu sunt familiarizaţi, cum ar fi: densitatea (greutatea specifică), concentraţia unei soluţii, titlul unui aliaj etc. Mărimile care intervin în probleme trebuie alese astfel încât relaţiile dintre ele să fie foarte bine cunoscute, de exemplu: costul = preţ pe unitate x cantitatea, producţia totală = producţia zilnică x X numărul zilelor, drumul parcurs = viteza x timp ş.a. Apoi problemele trebuie formulate astfel ca relaţia dintre mărimile concrete necesare pentru a scrie ecuaţia să se vadă uşor, ea fiind indicată direct în enunţul problemei, de exemplu prin cuvintele: „fac 27

împreună”, „au produs în total”, „a mai rămas” ş.a. Problemele în care se dă că o mărime este cu atât mai mare sau mai mică decât o alta mărime pot fi lăsate pentru la urmă. Etapele din calculul algebric la care se pot rezolva probleme cu ajutorul ecuaţiilor sunt aceleaşi cu cele indicate pentru ecuaţii. Pentru toate etapele sunt indicate problemele de tipul următor: mă gândesc la un număr, fac cu el operaţiile... şi obţin rezultatul... La ce număr m-am gândit? Operaţiile se aleg potrivit cu expresiile algebrice din etapa respectivă. Este drept că aceste probleme sunt artificiale. Unii profesori le condamnă cu asprime. Dar ele nu sunt mai artificiale decât exerciţiile obişnuite, în care se dă de rezolvat o ecuaţie oarecare, şi ele sunt utile, pentru că punerea lor în ecuaţie este foarte uşoară, din următoarele motive: în primul rând, operaţiile care trebuie făcute cu x şi numerele date sunt date nemijlocit. Punerea în ecuaţie se reduce la scrierea cu semne matematice a operaţiilor indicate în enunţ, adică la o simplă traducere din algebra retorică în cea simbolică; în al doilea rând, la cele mai multe probleme întrebarea se pune la sfârşit. Pentru a pune o problemă în ecuaţie, trebuie s-o citim până la capăt, să alegem necunoscuta şi apoi s-o luăm iarăşi de la început. La aceste probleme însă necunoscuta este indicată de la început. Ele pot fi puse în ecuaţie după dictare, fără o parcurgere prealabilă a textului întreg. Dăm două exemple, unul foarte simplu, celălalt destul de complicat. a) Mă gândesc la un număr, îl înmulţesc cu 18, scad (adun) 23 şi obţin 149. Să se afle numărul. [18 x + 23 = 149; x = 7 ] b) Mă gândesc la un număr, îl adun cu 6 şi împart suma la 4, scad din el 3 şi împart diferenţa la 3, apoi îl adun cu 24 şi împart suma la 6; în sfârşit scad din această fracţie 1. Suma primelor două fracţii este egală cu ultima diferenţă. Să se afle numărul.  x + 6 x − 3 x + 24   4 + 3 = 6 − 1; x = 6 Este foarte uşor să compui astfel de exerciţii. Scrii ecuaţia la care vrei să ajungi şi o formulezi în cuvinte, iar ecuaţia se compune astfel ca să aibă ca rădăcină un număr ales dinainte. De exemplu, am predat reducerea termenilor asemenea, s-au rezolvat primele ecuaţii care conţin necunoscuta în ambele părţi şi vrem să compunem o problemă corespunzătoare. Scriem la întâmplare o ecuaţie de forma ax + b = cx, de exemplu 5x + 13 = 8x, apoi alegem rădăcina, de exemplu 10; partea stângă dă 63, iar partea dreaptă dă 80; deci trebuie să scădem din partea dreaptă 17; scriem după 8x termenul -17 şi avem ecuaţia, adică 5x + 13 = 8x – 17. Acum dăm problema: mă gândesc la un număr, îl înmulţesc cu 5 adaug 13.... În clasă, aceste exerciţii sunt foarte antrenante. Este frumos să vezi cum apare pe tablă câte un termen al ecuaţiei, cum aceşti termeni se leagă între ei prin câte un semn „+”, „-” ş.a.m.d. De multe ori, elevul nu lasă suficient spaţiu între termeni şi nu rămâne loc pentru semnul respectiv sau pentru un factor care apare mai târziu, ceea ce-l obligă să scrie totul de la început. Se poate lucra cu un singur elev la tablă, iar după câteva exerciţii se poate lucra, ca la dictare, cu toată clasa. 28

2. Exemple. Dăm în continuare exemple de probleme corespunzătoare etapelor succesive de predare a calculului algebric. 1) După predarea temei Expresii algebrice se consideră ecuaţii care conţin necunoscute numai într-un singur termen. La început trebuie să se dea probleme foarte simple, care să ducă la ecuaţii de tipul celor indicate la §4.5c, cum ar fi: a) Un elev are la C.E.C. x lei. Dacă ar mai depune 28 de lei, ar avea în total 173 de lei. Ce sumă are la C.E.C.? [ x + 28 = 173; x = 145] b) La o fermă s-au adus x cutii de conserve. După ce s-a vândut 73 de cutii, au mai rămas 122 de cutii. Câte cutii de conserve s-au adus? [ x − 73 = 122; x = 195] x Urmează probleme tot atât de simple, care duc la ecuaţii de forma ax = b, = b şi a a = b. La elevi apare din nou tendinţa de a rezolva problemele pe cale aritmetică. Trebuie x să insistăm să-şi însuşească metoda nouă, să nu-şi pună, ca la artimetică, întrebarea: Ce operaţie trebuie să facem pentru a afla ceea ce se cere? Să judece numai atât cât este necesar pentru a scrie ecuaţia, apoi să rezolve ecuaţia prin metoda cunoscută. La început este util să formulăm problemele astfel ca x-ul să figureze în enunţ, aşa cum am procedat aici. Ultima problemă se putea formula şi astfel: La o fermă s-a adus o cantitate de conserve. După ce s-a vândut ş.a.m.d. Situaţia din clasă arată când se poate trece de la prima formă la a doua. În cele ce urmează vom alterna cele două forme. c) Un biciclist a mers timp de 3 ore pe bicicletă, apoi a făcut 2 kn şi a parcurs în total 29 km. Cu ce viteză a mers pe bicicletă? [ 3 x + 2 = 29; x = 9] d) Un muncitor ia salariul pentru 15 zile. I se opresc 52 de lei pentru cantină. El depune la C.E.C. jumătate din banii rămaşi apoi mai cheltuieşte 15 lei şi vine acasă cu 259 15 x − 52  − 15 = 259; x = 40 de lei. Cât cîştigă acest muncitor pe zi?  2   Primele probleme sunt foarte uşoare, problema c) este de greiutate mijlocie, iar ultima reprezintă un maxim. În clasă trebuie intercalate multe probleme de greutate intermediară. Rezolvarea acestor probleme, în care nu intervine nici un calcul literal, reprezintă o prelungire firească a rezolvării problemele cu date literale. Elevii au învăţat să dea răspunsul la o problemă sub formă de expresie algebrică; acum ei învaţă să folosească aceste expresii; egalând expresia algebrică pe care au format-o cu un număr dat, ei formează o ecuaţie pe care o rezolvă. 2) După ce s-a predat Reducerea termenilor asemenea se pot da probleme ce duc la ecuaţii de forma ax + b = cx + d, ca următoarele: a) Un muncitor trebuie să facă x piese pe zi. În 6 zile el face 24 de piese peste normă şi în felul acesta el produce cât ar trebui să producă în 8 zile. Câte piese trebuie să facă acest muncitor într-o zi? [ 6 x + 24 = 8 x; x = 12]

29

b) Andrei are 217 lei la C.E.C. şi depune în fiecare săptămână câte 10 lei. Barbu are 132 de lei la C.E.C. şi depune în fiecare săptămână câte 15 lei. După câte săptămâni vor avea ei sume egale la C.E.C? [ 217 + 10 x = 132 + 15 x; x = 17] Tot în această etapă se pot da probleme care conţin mai multe necunoscute şi fiecare din ele să se exprime ca funcţia liniară a uneia dintre ele. Pentru a nu lăsa pe seama elevilor greutatea de a alege necunoscuta, este bine ca problema să conţină o singură întrebare, urmată de întrebări suplimentare. De exemplu, în problema următoare să nu se întrebe: „Cât câştigă fiecare din ei?” c) Într-o familie, salariul soţului este x lei pe lună, iar al soţiei este cu 275 mai mic. Amândoi împreună câştigă 2875 de lei pe lună. Ce salariu are soţul? Dar soţia? [ x + ( x − 275) = 2875; x = 1575] d) Patru elevi, A, B, C, D, strâng bani la C.E.C. Pionierul A are x lei, B are dublul lui A şi încă 15 lei, C are cu 10 lei mai puţin decât triplul lui A, iar D are cu 10 lei mai mult decât triplul lui A. Ei au împreună 285 de lei. Cât are A? Cât are fiecare din ceilalţi? [ x + ( 2 x + 15) + ( 3x − 10) + ( 3x + 10) = 285; x = 30]

În aceste probleme, toate mărimile sunt exprimate în funcţie de prima; problema următoare este ceva mai grea, pentru că fiecare mărime (în afară de prima) se exprimă în funcţie de cea precedentă, deci indirect în funcţie de prima. e) Ţările cu cea mai numeroasă populaţie din Europa sunt: U.R.S.S., R.F.G., Anglia, Italia, Franţa. Italia are cu 4 milioane mai mulţi locuitori decât Franţa, Anglia are cu 3 milioane mai mulţi locuitori decât Italia, R.F.G. are cu 2 milioane mai mulţi locuitori decât Anglia, iar U.R.S.S. (partea europeană) are cu 5 milioane de locuitori mai mult decât R.F.G., Anglia şi Italia la un loc. Populaţia totală a acestor ţări este de 353 de milioane de locuitori. Câţi locuitori are Franţa? Câţi locuitori are fiecare dintre celelalte ţări? În acest caz, este greu să se scrie ecuaţia. Este mai uşor să se exprime mai întâi populaţia tuturor ţărilor în funcţie de populaţia Franţei, astfel (în clasă, lucrările se aşează în formă de tabel, fiecare ţară într-un rând separat): Franţa: x; Italia: x + 4; Anglia: (x + 4) + 3 = x + 7; R.F.G.: (x + 7) + 2 = x + 9; U.R.S.S.: (x + 4) + (x + 7) + (x +9) + 5 = 3x + 25. Ecuaţia problemei: x + (x + 4) + (x + 7) + (x + 9) + (3x + 25) = 353; x= 44. După modelul ultimelor două probleme se pot compune uşor alte probleme, schimbându-se conţinutul şi datele numerice. Ca teme se pot lua: producţia de grâu, porumb, cartofi ş.a. a unei ferme, producţia de grâu sau porumb la hectar în mai mulţi ani consecutivi, vânzarea la diferite raioane ale unei cooperative, numărul elevilor din diferitele clase ale unei şcoli ş.a. 3) În legătură cu înmulţirea unui polinom cu un monom se pot rezolva probleme ca următoarele:

30

a) Baza unui dreptunghi (paralelogram) este de 7,5 m, iar înălţimea de 5,4 m. Cu cât trebuie să se mărească baza ca să se obţină un dreptunghi (paralelogram) cu aria de 59,4 m2? [ ( 7,5 + x ) 5,4 = 59,4; x = 3,5]

b) Cu cât trebuie să se micşoreze înălţimea aceluiaşi dreptunghi ca să se obţină un dreptunghi cu aria de 45 m2? [ 7,5( 5,4 − x ) = 45; x = 0,6] c) Doi strungari fac piese de acelaşi fel şi au aceeaşi normă zilnică. Unul din ei depăşeşte zilnic norma cu 6 piese, iar celălalt cu două piese. Primul face în 4 zile atâtea piese câte face al doilea în 5 zile. Care este norma zilnică? [ 4( x + 6 ) = 5( x + 2 ) ; x = 14] Un număr mare de probleme se pot compune după modelul problemelor anterioare în care fiecare se exprimă în funcţie de una dintre mărimile precedente, iar funcţia are forma a(x + b) ca în exemplul următor: d) La o excursie iau parte 20 de bărbaţi, 15 femei şi 12 copii. O femeie plăteşte cu 2 lei mai puţin ca un bărbat, iar un copil plăteşte cu 5 lei mai puţin ca un bărbat. În total s-au plătit 380 de lei. Cât a plătit fiecare bărbat? Dar o femeie? Un copil? [ 20 x + 15( x − 2) + 12( x − 5) = 380; x = 10] Semnificaţia factorilor se poate inversa (se obţin două variante de aceeaşi greutate, potrivite pentru două serii la o lucrare de control). e) La o excursie iau parte bărbaţi, femei şi copii. Numărul femeilor este cu 2 mai mic decât al bărbaţilor, iar numărul copiilor este cu 5 mai mic decât al bărbaţilor. Fiecare bărbat dă 20 de lei, fiecare femeie 15 lei, iar fiecare copil 12 lei. În total s-au strâns 380 de lei. Câţi bărbaţi au fost? Câte femei şi câţi copii? 4) La înmulţirea polinoamelor şi la calculul prescurtat se pot da probleme cu conţinut geometric, în special în legătură cu ariile figurilor: a) Dacă mărim latura unui pătrat cu 2 m, aria sa creşte cu 32 m2. Se cere aria pătratului. ( x + 2) 2 = x 2 + 32; x = 7

[

]

În locul numerelor 2 şi 32 se pot lua două numere oarecare. b) O coroană circulară lată de 3 cm are o arie de 57 π cm2. Se cere raza interioară 2 (mică) a coroanei circulare. π ( x + 3) − πx 2 = 57π ; x = 8

[

]

c) Dintr-o foaie de tablă în formă de pătrat se scoate o parte, care are de asemenea forma de pătrat şi are acelaşi centru ca primul. Se ştie că fiecare dintre părţile laterale rămase are o lăţime de 3 cm, iar aria piesei rămase este de 60 cm2. Se 2 cere latura foii iniţiale. x 2 − ( x − 6) = 60; x = 8

[

]

d) Avem un dreptunghi cu lungimea de 20 cm şi lăţimea de 12 cm. Dacă mărim lungimea cu un segment oarecare şi micşorăm lăţimea cu acelaşi segment, obţinem un alt dreptunghi; dacă micşorăm lungimea şi mărim lăţimea cu acelaşi segment ca mai înainte, obţinem iarăşi un dreptunghi. Diferenţa dintre ariile celor două dreptunghiuri ce se obţin

31

astfel este de 144 cm2. Se cere lungimea acelui segment. [ (12 + x )( 20 − x ) − (12 − x )( 20 + x ) = 144; x = 9] Variante: Se dau dimensiunile dreptunghiului iniţial, ambele laturi ale dreptunghiului se măresc cu acelaşi segment sau se micşorează cu acelaşi segment şi se dă diferenţa dintre ariile dreptunghiurilor obţinute. La aceeaşi temă se pot da probleme în care intervin relaţiile metrice într-un triunghi dreptunghic, ca următoarele: e) Într-un triunghi dreptunghic, unul din segmentele în care înălţimea împarte ipotenuza este cu 1 cm mai mare decât celălalt. Dacă mărim ambele segmente cu câte 1 cm, pătratul înălţimii creşte cu 12. Să se afle segmentul mai mic. [ ( x + 1)( x + 2) − x( x + 1) = 12; x = 5] f) Într-un triunghi dreptunghic, una dintre catete este cu 1cm mai lungă decât cealaltă. Dacă mărim ambele catete cu câte 1 cm, pătratul ipotenuzei creşte cu 16. Se 2 2 2 cere cateta mică a triunghiului ( x + 1) + ( x + 2 ) = x 2 + ( x + 1) + 16; x = 3 Recunoaştem că aceste probleme au ceva nefiresc; firesc este să intervină creşterea ipotenuzei (respectiv a înălţimii), nu creşterea pătratului ei, dar trebuie evitate ecuaţiile iraţionale. Variante: Catetele sau segmentele de pe ipotenuză se micşorează cu acelaşi segment sau una dintre ele se măreşte şi cealaltă se micşorează; probleme analoge în legătură cu teorema catetei.

[

]

5) La tema Fracţii algebrice considerăm probleme care duc la ecuaţii cu numitorul numeric, ca următoarele: a) Un copil spune: „Dacă, pe lângă banii pe care îi am, aş mai avea o jumătate şi o treime şi un sfert din cât am, aş avea 100 lei”. Câţi bani are copilul? (După modelul: O raţă sălbatică spune unui stol de raţe: „Bună dimineaţa, vouă, o sută de raţe!” La care una răspunde...). x x x    x + 2 + 3 + 4 = 100; x = 48 b) Un muncitor cheltuieşte o treime din salariu pentru hrană şi o cincime pentru x x   alte nevoi şi-i rămân 420 de lei. Ce salariu are acest muncitor?  x − − = 420; x = 900 3 5   c) Într-un triunghi, unghiul B este 3/4 din unghiul A, iar unghiul C este jumătate din 3x x   unghiul A. Să se afle unghiurile triunghiului.  x + + = 180; x = 80 4 2   d) Un copil vrea să-şi cumpere o carte şi face socoteala următoare: „Dacă cheltuiesc 4 lei, trebuie să dau pentru carte jumătate din banii pe care-i am; dacă mama mi-ar da 6 lei, aş cumpăra cartea cu o treime din banii pe care i-aş avea”. Câţi bani are x − 4 x + 6  = ; x = 24 copilul?  3  2  32

La acest capitol se pot da probleme în care trebuie să se afle o fracţie dintr-un număr, ca următoarele. Ele sunt importante datorită semnificaţiei deosebite pe care o are înmulţirea unui număr cu o fracţie. e) Într-o clasă sunt x băieţi, iar numărul fetelor este cu 2 mai mic decât al băieţilor. La o lucrare de control s-a dat o problemă. Au rezolvat-o 3/4 din băieţi şi 5/6 dintre fete. În total au fost 30 de lucrări. Câţi băieţi sunt în acea clasă ?  3 x 5( x − 2 )  = 30; x = 20  4 + 6  Variantă: Numărul băieţilor care au rezolvat problema este egal cu numărul fetelor care au rezolvat-o. f) Trei ferme vecine se unesc. Prima are o anumită întindere de pământ, din care 3/4 este arabil; a doua are cu 80 ha mai mult ca prima, din care 7/8 este arabil; a treia are cu 20 ha mai puţin ca prima, din care 2/3 este arabil. Ferma care va rezulta din unirea lor va avea 790 ha de pământ  3 x 7( x + 80 ) 2( x − 20 )  + = 790; x = 320 arabil. Cât pământ are prima fermă?  + 8 3 4  Tot aici este locul pentru aşa-zisele probleme de suta mărită şi sută micşorată. g) Am la C.E.C. o sumă de bani. Peste un an, când se va adăuga dobânda de 5%, voi 5x   = 294; x = 280 avea 294 de lei. Cât am acum?  x +  100  h) La bocanci s-a redus preţul cu 15%. Acum o pereche de bocanci costă 187 de lei.  15 x  = 187; x = 220 Cât au costat aceşti bocanci înainte de reducerea preţurilor?  x −  100  Ca teme pentru probleme de acest tip se pot lua depăşirea normei sau a planului de producţie, scăzămintele pe care le suferă diferitele mărfuri prin uscare ş.a.

3. Interpretarea soluţiilor negative. Este util ca, la fiecare din etapele descrise în cele ce precedă, să se rezolve şi câteva probleme care au soluţii negative şi să se interpreteze soluţiile. Dăm mai jos câteva exemple. Primele două din ele par absurde la prima vedere. Se vede imediat că ele sunt imposibile - dacă se iau cuvintele peste câţiva ani şi a cheltui în sensul lor obişnuit. Ele sunt utile tocmai datorită faptului că sunt foarte simple, căci în felul acesta iese mai bine în evidenţă semnificaţia concretă a numerelor negative. Când profesorul propune cu un aer serios o asemenea problemă, elevii sunt surprinşi, un elev mai impulsiv va exclama: „Nu se poate!” - „Ai dreptate, va spune profesorul, să vedem totuşi ce iese!” a) Un copil are 13 ani. Peste câţi ani va avea el 8 ani? (13 + x = 8; x = - 5. Copilul nu va avea niciodată 8 ani; el a avut 8 ani cu 5 ani în urmă.) b) Am 125 de lei. Cât trebuie să cheltuiesc ca să am 140 de lei? [125 - x = 140; x = -15. Nu am voie să cheltuiesc nici un ban; dimpotrivă trebuie, să mai primesc 15 lei.]

33

Problemele următoare nu mai sunt atât de străvezii. Este util ca, după ce s-a dat interpretarea soluţiei negative, să se dea şi o explicaţie aritmetică; de asemenea, să se schimbe enunţul problemei astfel încât să se obţină o soluţie pozitivă - aşa cum se arată aici la primele două. c) Într-un internat au fost 85 de copii şi cîţiva din ei au plecat. Se dă la fiecare copil 12 nuci şi se distribuie astfe 1056 de nuci. Câţi copii lipsesc? [12(85— x) = 1056; x = -3 „Au plecat -3 copii” înseamnă că au venit 3 copii. Explicaţie: 85•12 = 1020, deci trebuiau împărţite 1020 de nuci. Faptul că s-au împărţit 1056 de nuci, adică mai mult ca 1020, arată că au fost mai mult decât 85 de copii. Dacă în enunţul problemei se înlocuiesc cuvintele au plecat prin au venit, se obţine x=3] d) Doi muncitori fac anumite piese. Unul din ei trebuie să facă 15 piese pe zi, iar celălalt 18 piese pe zi. Fiecare din ei face în fiecare zi acelaşi număr de piese peste normă. În 4 zile ei fac împreună 116 piese. Cu cât au depăşit ei norma în fiecare zi?[4(15 + x +18 + x) = 116; x =-2. Fiecare din ei a făcut în fiecare zi două piese sub normă. Explicaţie: (15+ 18)•4 = 132. Ei trebuiau să facă în 4 zile 132 de piese şi au făcut numai 116 piese. Dacă în enunţul problemei se înlocuiesc cuvintele peste normă cu sub normă, se obţine x = 2] e) Baza unui dreptunghi este de 83 m, iar înălţimea sa este de 62 m. Cu cât trebuie să-i mărim baza ca să obţinem un dreptunghi cu aria de 4960 m 2? [(83 + x)62 = 4960; x = -3. Baza trebuie micşorată cu 3 m] f) Bazele unui trapez sunt de 31 m şi 17 m, iar înălţimea este de 14 m. Cu cât trebuie să micşorăm baza mare ca să obţinem un trapez cu aria de 350 m2?  ( 31 − x + 17 )14  = 350; x = −2 baza mare trebuie mărită cu 2 m.  2  181 g) Cât trebuie să adăugăm la numărătorul fracţiei ca să obţinem o fracţie 358 1 181 + x 1  = ; x = −2 Trebuie să micşorăm numărătorul cu 2. egală cu ?  2 2  358  Este necesar să explicăm elevilor că nu totdeauna se poate da o interpretare soluţiei negative; în unele cazuri, soluţia negativă arată că problema nu are soluţie - ca în exemplele următoare: h) Înălţimea unui dreptunghi este de 12 cm. Dacă-i mărim baza cu 183 cm, obţinem un dreptunghi cu aria de 2100 m2. Se cere baza dreptunghiului [(x + 183)12 = 2100; x = -8, lungimea bazei nu poate fi un număr negativ] i) Un grup de elevi face o excursie cu autobuzul. A doua zi ei merg cu 2 ore mai mult decât în prima zi, iar în ziua a treia ei merg de 2 ori mai mult decât în ziua a doua. Viteza medie a autobuzului este de 50 km/oră şi se parcurg în total 280 km. Câte ore au mers ei în prima zi? [ [ x + ( x + 2) + 2( x + 2) ]50 = 280; x = −0,1] . Durata nu poate fi exprimată printr-un număr negativ. 34

Ar fi de dorit ca, înainte de a pune o problemă în ecuaţie, să se precizeze ce fel de număr esle x: „oarecare”, pozitiv sau natural.

35