Sommaire Objectifs et motivations: mettre en œuvre et comparer des méthodes d'évaluation et stratégies de couverture d ’options complexes en utilisant des méthodes numériques à développer en C++
Rappels sur les options exotiques: digitales, barrière, lookback, asiatiques, etc … Européennes et Américaines
Projet Couverture des Produits Dérivés
Distributions associées: temps de passage, maximum, minimum, … Méthodes d'évaluations: formes explicites, méthode binomiale, par simulation de Monte Carlo
Couverture (hedging): Statique vs Dynamique Programmation : VBA ou R, C/C++, librairies open source (GNU Public Licence): Financial Recipes in C/C++, fOptions (R),
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Daniel HERLEMONT
Travaux Pratiques
Caractéristiques des options exotiques
TP1: Pricing Options Exotiques Digitales et barrières, étude des grecques
Nom générique donné à des dérivés avec des paiements plus complexes que les options vanilles
TP2: Pricing par simulation de Monte Carlo: application aux options Asiatiques et Lookback
Utilisées en gestion de risque ou en spéculatif, certaines options peuvent avoir des leviers très élevés (options barrière par exemple).
TP3: Pricing par la méthode binomiale: applications aux options américaines complexes
Traitées principalement sur un marché de gré à gré (OTC = Over The Counter)
TP4: Stratégies de couverture
S'adressent plutôt à des investisseurs "sophistiqués" ou hedge fund.
pour options Barrières, Digitales et Lookback comparaison hedging dynamique vs hedging statique
Les "producteurs" d'options exotiques sont généralement des banques qui se couvrent (hedging) par des positions les sous jacents : hedging dynamique et/ou d'autres options : hedging statique 3
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Pricing dans l'économie de Black & Scholes - rappel
Difficultés techniques
Hypothèses
La gestion de couverture est plus délicate que dans le cas d'options vanilles:
Le marché est sans friction:
il peut y avoir des problèmes de liquidité certaines options ont des payoffs difficiles à répliquer en raison de discontinuités (exemple options barrières) avec des Deltas et Gammas élevés, connu sous le nom de "pin risk".
pas de coût de transaction, ni fourchette de marché (bid/ask), ni impôts, … pas de restriction sur les ventes à découvert les actifs sont divisibles le marché est liquide: on peut vendre et acheté à tout instant et immédiatement les quantités voulues.
Les taux sont constants Il n'y a pas d'opportunité d'arbitrage: pas de stratégie de coûts nul et risque nul (no free lunch) Le marché est complet:
Certaines options dépendent du chemin (path dependent) (Asiatique, Lookback, toute option américaine) dépendent du chemin, il n'existe pas, en général, de formules explicites pour ces options
Rappel théorème fondamental: dans le un marché complet, sans arbitrage, la valeur d'un actif contingent est égale à l'espérance actualisée des paiements sous la probabilité risque neutre Q : Tout actif contingent peut être répliqué (donc couvert) par un portefeuille auto finançant composés d'actifs risqués et de l'actif sans risque.
approximations méthode binomiale simulation de Monte Carlo, Daniel HERLEMONT
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Grecques - rappel
Options Exotiques classiques
Digitales payoff en tout ou rien
Barrières le payoff dépend du franchissement d'une barrière
Asiatiques le payoff dépend d'une moyenne des prix du sous jacent
Lookback le payoff dépend du maximum (ou du minimum) du prix du sous jacent
Autres Options: Gap, Chooser, Correlation (entre 2 actifs), Rainbow, ...
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Options Digitales - Cash || Nothing
Options Digitales Européennes - Asset || Nothing Une option digitale "Asset or Nothing" call paye 1 "action" si le prix à échéance ST ≥ K
Cash or nothing call
Les options digitales (ou bianires)
1€
payoff =
1{ST ≥ K }
0€
K
payoff =
ST
Digitale Européenne S
ST 1{ST ≥ K }
K
Digitale Américaine S
payoff=1
payoff=1
K
K
K
ST
payoff=0 payoff=1 S0
S0 T
T
L'option paye ssi le prix du sous jacent est plus grand que K à l'échéance
L'option paye ssi le prix du sous jacent est plus grand que K à tout instant avant l'échéance aussi appelée option "one-touch"
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Options Digitales Européennes - Asset || Nothing - pricing B&S
Options Digitales Européennes - Cash || Nothing - pricing B&S V ( S0 , T ) = e − rT EQ [1ST ≥ K ] = e − rT
∫ dQ = e
− rT
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PQ [ ST ≥ K ]
− rT V ( S0 , T ) = e− rT EQ [ ST 1{ ST ≥ K } ] = e
ST ≥ K
ST = S 0 e
( r − 12 σ 2 )T +σzT
Pr( ST ≥ K )
sous Q
= Pr( S0e
( r − 12 σ 2 ) T +σzT
avec
≥ K)
z ln( K S0 ) − ( r − 12 σ 2 )T = Pr T ≥ σ T T
∫ S dQ T
z ln( S0 K ) + ( r − 12 σ 2 )T = Pr T ≤ Par symétrie σ T T ln(S 0 K ) + (r − 12 σ 2 )T d2 = = N ( d 2 ) avec σ T
∫S
T
dQ
ST ≥ K
zT ~ N (0,1) T
=
ST ≥K
( r − 12 σ 2 )T +σzT
0
dQ
ST ≥ K
= N( ) est la fonction de distribution d'une Gaussienne standard.
∫S e
dS = rSdt + σSdz sous Q
=
∫S e
( r − 12 σ 2 )T +σzT
0 zT ≥ − T d 2
∫S e
0 zT ≥ − T d 2
( r − 12 σ 2 ) T +σzT
Ré-écrivons en terme de zT. voir calcul précédent pour le cash or zT ≥ − T d 2 nothing ST ≥ K <=>
dQ
qZ ( zT )dzT
où qZ ( zT ) =
1 2πT
2
e − ( zT /( 2T ))
VCashOrNothingCall ( S0 , T ) = e − rT N ( d 2 ) Daniel HERLEMONT
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Asset || Nothing - pricing B&S (suite)
∫ S dQ T
=
ST ≥K
=
∫S e
( r − 21 σ 2 )T +σzT
0 zT ≥ − T d 2
∫S e
rT
0 zT ≥ − T d 2
1 2πT
e
−
1 2πT
2
e − ( zT /( 2T )) dzT
( zT −σT ) 2T
2
dzT
= S 0e rT Pr( zT ≥ − T d 2 ) z − σ T − T d 2 − σT = S 0e rT Pr T ≥ T T z − σ T T d + σ T 2 = S 0e rT Pr T ≤ T T = S0 e rT N (d1 )
avec
Options Digitales - relations avec les options vanilles
gaussienne de moyenne σT et variance T. z − σT T ~ N(0,1)
Call Européen Vanilla = 1 AssetOrNothingCall- K CashOrNothingCall ( ST − K )+
T
e
− rT
Q
E [( ST − K ) ]
-
ST 1{ST ≥ K }
= +
e
=
− rT
=
Q
E [ ST 1{ST ≥ K } ]
S0 N ( d1 )
K1{ST ≥ K }
-
Ke− rT E Q [ 1{ST ≥ K } ]
-
Ke− rt N ( d 2 )
par symétrie
d1 = d 2 + σ T =
d1 =
ln( S0 K ) + ( r + 12 σ 2 )T σ T
ln( S 0 / K ) + ( r + 12 σ 2 )( T )
d 2 = d1 − σ
σ T
T
Les options digitales ne posent donc pas de problème d'évaluation. En revanche, les payoffs sont discontinus, ce qui rend la couverture délicate et très risquée
VAssetOrNothingCall ( S0 , T ) = S0 N ( d1 ) 13
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Options digitales - grecques - risque de hedging
Options Digitales - Delta & Gamma
Exemples à reproduire en TP …
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Options Asiatiques (Asian Options)
Options Asiatiques (suite)
Payoff related to average stock price (geometric or arithmetic average)
Normally, we do not have closed form solutions for Asian options. The exception is when the option is on a geometric average:
Average Price options pay: max(Save – K, 0) (call), or max(K – Save , 0) (put)
T
Geometric Average: I T = exp( Note that under Q, S follows:
Average Strike options pay: max(ST – Save , 0) (call), or max(Save – ST , 0) (put)
1 ln( St )dt ) T ∫0
dS = rSdt + σSdz
or
St = S0 exp((r − 12 σ 2 )t + σzt ) T
hence
No analytic solution in general (the exception is when the option is on a geometric average)
I T = S0 exp(
1 (( r − 12 σ 2 )t + σzt ) dt ) T ∫0
T
where
Can be valued by assuming (as an approximation) that the average stock price is log-normally distributed and Monte Carlo Simulation
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∫ ((r −
1 2
σ 2 )t + σzt ) dt
is Gaussian
0
so IT is actually log-normally distributed!
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Options Asiatiques (suite)
The geometric average IT is
Options Asiatiques (suite)
(r − 12 σ 2 )T σ 2T , e X where X ~ N 2 3
You may check that this is the same as if It follows the geometric Brownian Motion: dI = 12 ( r − 16 σ 2 ) Idt + 1 σIdz 3 in a risk neutral world. = ( r − ( 1 (r + 1 σ 2 ))) Idt + 1 2
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3
The majority of Asian options involve arithmetic means: T
IT =
σIdz
In this case, IT, is not log-normally distributed, and hence we cannot fit it into the Black-Scholes formula framework.
+ Therefore, to price an average price call whose payoff is: ( I T − K ) we just need to compute: e − rT E Q [( I T − K ) + ]
where dI = (r − ( 12 (r + 16 σ 2 ))) Idt +
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1 St dt T ∫0
However, it is common to compute the first two moments of IT and assume that its distribution is log-normal with the same first two moments.
σIdz
In this case, the Black-Scholes formula provides a quick and closed form approximation to the true price.
Which just looks like Black-Scholes on an asset paying a continuous dividend of q = 12 (r + 16 σ 2 ) and with volatility of 13 σ
This is sometimes referred to as the method of moments in pricing.
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Basket Options
Options Barrières x
A basket option is an option to buy or sell a portfolio of assets Barrier options are like normal European options, except that they are either activated, or become worthless when the underlying asset hits a pre-specified barrier.
This can be valued by calculating the first two moments of the value of the basket and then assuming it is lognormal
The basic types are: Knock-outs: The option is worthless if it hits the barrier. Knock-ins: The option is worthless until it hits the barrier. Knock-in + Knock-out = Vanilla Also, the barrier can be hit on the way down (down-and-out, down-and-in) or it can be hit on the way up (up-and-out, up-and-in). 21
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Lookback Options
American Digitals $1
max
time 0
K
time 0
time T
Lookback options depend on the maximum or minimum price achieved during the life of the option. A European lookback call option pays off:
American digital options payoff $1 the moment the strike price is hit.
ST − min St
price = E[e − rτ ]
0 ≤t ≤T
A European lookback put option pays off:
max S t − ST
where τ represent the first hitting time of the strike price K.
0 ≤t ≤T
To price these, we need to be able to compute the statistics of the maximum and minimum...
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time T
To evaluate this, we need to know the statistics of the hitting time...
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American Digital
Distributions associées Les distributions utiles pour les options barrières, lookback et digitales (américaines) sont relatives aux temps de passage, lois du maximum et du minimum
B
date 0
τ
T
Probabilité que le maximum soit ≥ B entre les dates 0 et T = Probabilité de toucher la barrière avant la date T (le temps τ est appelé le premier temps de passage (First Hitting Time)
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Principe de réflexion Soit
zt
Notons
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Temps de passage (First Hitting Time)
un brownien
temps pour atteindre un niveau donné x:
zˆT = max zt
Brownien sans drift : en application du principe de réflexion
2B-C
0 ≤ t ≤T
x
B
densité du temps de passage
C
date 0
date T
pour C < B, calculons la loi jointe du maximum et de la valeur terminale ∞
P (zˆT ≥ B ; zT ≥ C ) = P ( zˆT ≥ B; zT ≥ 2 B − C ) = P ( zT ≥ 2 B − C ) =
∫ 2 B −C
2B-C étant > B
2
1 − 2zT e dz 2πT
Mais le temps le plus fréquent ne dépend que de la volatilité et la barrière
Exemple: un stop à -3% avec une volatilité de 32% (0.02/jour) temps typique = 0.032/3* 0.022= 0.75 d ’une journée de trading, soit 6 heures … Trailing stop à temps constant T est proportionnel à σ : TrailingStop ≈ 1.73 T σ
Puis par différentiation par rapport à C:
P (zˆT ≥ B; C < zT ≤ C + dC ) =
1 e 2πT
( 2 B −C ) 2 − 2T
Le temps typique de passage peut être vu comme l ’horizon optimal d ’investissement étant donné un objectif
dC
Pour brownien avec drift, on montre que 27
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Méthode d'évaluation numériques
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Méthode de Monte Carlo
Méthode de Monte Carlo en quelques mots: On génère des chemins de manière aléatoires Pour chaque chemin, on calcule la valeur de l'option On effectue la moyenne Voir présentation nspécifique sur la Méthode de Monte Carlo
Ne fonctionne que pour les options européennes
Méthode Binomiale en quelques mots On découpe la durée jusqu'à échéance en n sous périodes à deux états (voire 3) par période => arbre Le prix de l'option est calculé de proche en proche, en commençant par les noeds terminaux de l'arbre, …
Bien adapté pour les options américaines
Méthodes numériques : solution de facilité, mais consommatrice en temps de calcul. Daniel HERLEMONT
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Simulation de variables aléatoires lognormales
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Monte Carlo - option vanille - programme C++
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Monte Carlo - option vanille - programme C++ (suite)
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Monte Carlo - Grecques
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Monte Carlo - Delta - programme C++
Monte Carlo - Généralisation à des payoffs arbitraires
Options Digitales
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Monte Carlo - payoffs arbitraires - programme C++
Monte Carlo - options européennes - path dependent payoffs La fonction payoff prend maintenant un vecteur en paramètre représentant le chemin de l'actif
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Génération d'un chemin lognormal
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Monte Carlo - path dependent payoffs - exemples Options Asiatiques
Options lookback
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Méthode binomiale
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Méthode binomiale (suite)
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Méthode binomiale - C++
Méthode binomiale - options américaines - exemple
E A
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Méthode binomiale - options américaines - méthode générale
G
Méthode Binomiale - call américain - en C++
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Méthode binomiale - code R
Références
John Hull, "Options, Futures, and Other Derivative Securities", 5th Ed. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. Existe aussi en version Française: "Options, futures et autres actifs dérivés" Editions Pearson Education, 2004 La Référence !
Haug, "The complete guide to option pricing formulas ", 1997 De nombreux exemples sont tirés de ce livre (qui comprend aussi des feuilles excel et VBA prêtes à l'emploi …)
Peter Zhang , "Exotic Options: A Guide to the Second Generations Options", 1998 (Nassim Taleb, "Dynamic Hedging", Wiley, 1996) B. A. Odegaard « Financial Numerical Recipes in C++ », 2004. http://finance.bi.no/~bernt/gcc_prog/recipes
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