Exos Ms4-i
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1
Exercices de Mathématiques UE : MS4-I Licence de sciences
2ème
année
Parcours informatique
17 septembre 2008
Alexandre MIZRAHI
2
Programme détaillé du cours a. Complément d'algèbre linéaire (1 semaine) (1) Famille libre. base. (2) Opération élémentaire sur les matrices. (3) Matrice d'un endomorphisme relativement à une base. (4) Algèbre des matrices diagonales. b. Diagonalisation des endomorphismes (1,5 semaine) (1) Valeur propre, vecteur propre. (2) Endomorphisme diagonalisable. (3) Matrice de changement de bases. (4) Polynôme caractéristique. (5) CNS de diagonalisabilité, diagonalisation. c. Espace euclidien (1,5 semaine) (1) Dé nition de produit scalaire, espace euclidien, base orthonormale (bon). (2) Dé nition de matrice orthogonale et lien avec les matrices de passage des bon. (3) Méthode d'orthonormalisation de Schmidt. (4) Projection orthogonale sur un SEV, pythagore. d. Endomorphismes orthogonaux (0,5 semaine) (1) Dé nition (2) Rotations du plan et de l'espace e. Réduction des endomorphismes symétriques (1 semaine) (1) Dé nition des Matrices symétriques. (2) Propriétés élémentaires des matrices symétriques. f. Espace de probabilité (2 semaines) (1) Mesures de probabilités (2) Probabilité conditionnelle, indépendance (3) Dénombrement g. Variables aléatoires discrètes et à densités. (1 semaine) (1) Loi, Fonction de répartition. (2) Variables aléatoires discrètes, dé nition, espérance, variance. (3) Variables aléatoires à densités, dé nition, espérance, variance. h. Lois usuelles. (1 semaine) (1) Variables aléatoires discrètes : bernoulli, binomiale, poisson, géométrique. (2) Variables aléatoires à densité : uniforme, exponentielle, normale, student, khi deux. i. Introduction aux chaînes de Markov. (1 semaine) (1) Graphe et matrice de transition, loi invariante. (2) Théorème de Perron Frobenius, et convergence. j. Convergences des suites de variables aléatoires (1 semaine) (1) Loi des grands nombres (2) Théorème de la limite centrée, approximation centrale k. Statistiques : vraissemblablement supprimé (1 semaine) (1) Estimation ponctuelle et par intervalle de con ance (2) Tests statistiques
3
Compléments d'algèbre linéaire élémentaire
a. Montrer que
− − (→ u ;→ v)
b. La famille c. Notons
→ − − u = (1; 2; 3) et → v = (2; 3; 4) − − (→ u ;→ v ) est libre.
Soient
Exercice 1 :
H
est-elle une base de
deux vecteurs de
R3 .
R3 ?
le sous espace vectoriel engendré par
− − (→ u ;→ v ).
Quelle est sa dimension ?
− − H = {λ→ u + µ→ v ; λ, µ ∈ R} d. Déterminer une équation de
H.
→ − − w = (1; 1; 1), → w appartient-il → − Compléter w en une base de H .
e. Soit f.
g. Quelles sont les coordonnées de
→ − w
a
H?
dans la base
− − (→ u ;→ v )?
Lorsqu'elles sont possibles eectuer les opérations suivantes :
Exercice 2 :
AE; AB; AC; CA; CF ; F C; C −1 ; A−1 ; D−1 ; G−1 . A=
1 2 −2 1 2 0 ; B = 3 4 ; C = −3 3 −1 −2 −1 5 1 0 1 E = 3 ; F = G= 1 0 −5
1 2
0 2 0 ; D= 3 0 1 0 0 2
2 −1 −4 2
Calculer les matrices inverses des matrices suivantes :
Exercice 3 :
3 2 3 5 −1 5 3 2 7 −4 4 4 3 ; B= 8 5 7 ; C= A= ; D= ; 5 4 −3 2 3 3 3 4 −1 4
Soit
Exercice 4 :
1 −2 3 1 , P = 4 1 1 2 −2
on peut montrer que
P −1
4 −2 5 = −9 5 −11 −7 4 −9
a. Résoudre les systèmes :
x − 2y + 3z = 1 4x + y + z = −1 (S) : x + 2y − 2z = 3 b. On suppose de plus que
P
(S 0 ) :
x + 4y + z = 1 −2x + y + 2z = −1 3x + y − 2z = 3
est la matrice de passage d'une base
vecteur de matrice coordonnées
B
à une base
B0 .
Soit
→ − u
le
1 2 3
dans
B,
quelles sont les coordonnées de
dans
B0 ?
c. Soit dans
→ − v
le vecteur de matrice coordonnées
B?
1 2 3
→ − u
dans
B0 ,
quelles sont les coordonnées de
→ − v
4
Exercice 5 :
Soit
− → − → − → B=(i; j; k)
→ − → − → − B 0 = ( i0 ; j 0 ; k 0 )
et
deux bases telles que
→ −0 → − → − i =2i + j → −0 − → − → − → j = i + j − k −0 − → − → − → → k =−i + j + k et
f
l'application linéaire dé nie par
→ − → − → − → − → − → − f (x i + y j + z k ) = (x − y) i + (2y − z) j − (x + y + z) k
a. Déterminer la matrice
M
de
f
dans la base
B.
b. Déterminer la matrice
N
de
f
dans la base
B0 .
c. Quelles sont les relations qui lient les matrices Exercice 6 :
M,
et
N.
f (x, y, z) = x + 2y − z , g(x, y, z) = (2x − y, y − 2x). f et g . Pour chacun de ces 4 SEV on déterminera une base.
Déterminer les noyaux et les images de Exercice 7 :
Soit
f
dé nie par
f (x, y, z) = (2x − y + z, y + x).
a. Déterminer le noyau et l'image de
f.
b. Déterminer une base du noyau de
f
c. Écrire la matrice
M
de
f
puis une base de l'image de
relativement aux bases canoniques :
f.
(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)
et
(1; 0), (0; 1). Exercice 8 :
Soit
E
l'ensemble des solutions dé nies sur
00
R
de l'équation diérentielle
xy − y + xy = 0. a. Montrer que b. Écrire
E
Exercice 9 :
plan, soit
S
E
est un sous-espace vectoriel.
comme noyau d'un application linéaire. Soient
D0 les droites d'équation 2x − 3y = 0 0 d'axe D parallèlement à D .
D
la symétrie
et
a. Déterminer une base
B0
dans laquelle la matrice de
b. Déterminer la matrice de
S
dans
B0 .
c. Déterminer la matrice de
S
dans
B?
x − 7y = 0
dans une base
B
du
est très simple.
E
l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. On considère 0 l'endomorphisme Φ qui a un polynôme P associe le polynôme P + P . Déterminer la matrice de Φ 2 3 dans la base (1; X; X ; X ). déterminer le noyau et l'image de Φ. Exercice 10 :
Soit
S
et
h l'homothétie de centre 0 et de rapport 5, et p la projection sur le plan d'équation x + 2y + 3z = 0 parallèlement à au vecteur (−1; 1; 0). Déterminer la matrice de h ◦ p dans 3 la base canonique de R . Soit
Exercice 11 :
Determinant Exercice 12 :
Calculer les déterminants suivants :
a a2 ∆1 = 1 2
ab a2 a 1 1 1 ∆2 = b 2 6 ∆3 = a + b c + a b + c b 1 1 ab ac bc
2a 2a abc ∆4 = 2b abc 2b abc 2c 2c
5
Diagonalisation
−3 −2 6 Exercice 13 : Montrer sans utiliser le polynôme caractéristique que la matrice M = −4 −1 6 −2 0 2 admet 1 comme valeur propre et déterminer le sous espace propre associé à 1 : E1 . Montrer que 2 1 n'est pas valeur propre. Le vecteur U = 1 est-il un vecteur propre de M ? 1 Soient
Exercice 14 :
λ
a. Montrer que si
valeur propre de
A
et
B
des matrices carrées de même dimension.
est une valeur propre de
BA,
AB
associé au vecteur propre
on pourra considérer à part le cas ou
U
alors
λ
est une
BU = 0.
b. Montrer ce résultat en utilisant le polynôme caractéristique.
plication de
E
E
Soit
Exercice 15 :
dans
vecteurs propres de
E f.
l'espace de dimension in nie des polynômes à coe cients réels, et f l'ap0 dé nie par ∀P ∈ E, f (P ) = XP − P . Déterminer les valeurs propres et les
Diagonaliser les matrices suivantes :
Exercice 16 :
A=
3 −3 2 −4
D=
−4 −15 2 7
B=
3a + 1 −3a − 3 a + 1 −a − 3
1 4 4 7 8 F = 4 −4 −8 −9
C=
7 −10 4 −7
−3 −2 6 E = −4 −1 6 −2 0 2
−3 −8 −4 G = −5a − 11 −3a − 28 −2a − 14 10a + 24 6a + 62 4a + 31
Exercice 17 :
1 −5 −2 M = −5 1 −2 −2 −2 −2 1) Diagonaliser
M.
2) Donner une interprétation géométrique de la transformation associée à la matrice base
E
dans une
B. Soit
Exercice 18 :
de
M
qui à une suite
E l'espace vectoriel des suites réelles (un )n∈N associe la suite (un+1 )n∈N .
a. Soit la suite dé nie par
un = n.
b. Soit la suite dé nie par
un = 2n .
Quelle est son image par
[dur]
Soit
A
Φ?
Quelle est son image par
c. Déterminer les vecteurs propres de Exercice 19 :
indicée par
une matrice
Φ?
N.
Soit
Φ
l'endomorphisme
Écrire les premiers termes.
Φ?
Écrire les premiers termes.
Puis l'ensemble des valeurs propres de
n×n
Φ.
qui ne contient que des 0 sauf sur la première et la
dernière colonne ainsi que sur la première et la dernière ligne ou il y a des 1. a. Si
n = 2, A
b. Si
n ≥ 3,
est-elle diagonalisable ?
montrer que 0 est une valeur propre de
dimension supérieur à
(X 6= 0)
sont
et que le sous espace propre associé est de
n − 2.
c. Montrer que les seules valeurs non nulles de solutions
A,
λ1 = 1 +
√
2n − 3
et
λ pour lesquelles le √ λ2 = 1 − 2n − 3
système
AX = λX
a des
6
d. En déduire que
A
est diagonalisable.
Soit
E
un espace vectoriel de dimension ni et
Exercice 20 :
E
endomorphisme de
ayant la propriété :
p ◦ p = p.
p
un projecteur, c'est à dire un
Montrer que les seuls valeurs propres que peut
avoir un projecteur sont 1 et 0. Montrer qu'un projecteur est toujours diagonalisable. Pour cela on pourra montrer que tout vecteur s'écrit comme somme d'un vecteur propre associé à 1 et d'un vecteur propre associé à 0.
Espace euclidien
R2
ou
→ − v1 =
−1 2
→ − v2 =
1 −3
Les bases dé nies ci-après de
Exercice 21 :
→ − u1 =
1 2
→ − u2 =
3 1
√1 2 √1 2
!
→ − u3 =
1 → − u4 = 1 −4 1 → − u5 = 1 −4
R3
sont-elles orthogonales ? orthonormales ?
− √12
→ − v3 =
!
√1 2
2 → − v4 = 2 1 3 → − v5 = 1 1
−1 − →= 1 w 4 0 −1 − →= 1 w 5 0
Exercice 22 :
Déterminer une base orthonormale du plan vectoriel d'équation
Exercice 23 :
Déterminer une base orthonormale du plan vectoriel
P
2x − y + 3z = 0.
d'équation
x − y − z = 0.
Déterminer le projeté orthogonal du vecteur distance de
→ − u
à
Exercice 24 :
1 → − u = 3 2
sur le plan vectoriel
P.
En déduire la
P. Appliquer la méthode d'orthonormalisation de Schmidt pour orthonormaliser les
bases dé nies par :
→ − u1 =
1 → − u = 1 1 Soit E l'espace vectoriel R1 ∀P, Q ∈ E , < P, Q >= 0 P (x)Q(x) dx
Exercice 25 :
a. Calculer
3 1
→ − v1 =
1 → − v = 2 3
1 2
1 → − w = −1 3
des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. On pose
< X, 1 + X 2 >.
b. Montrer que
< ·, · >
dé ni un produit scalaire sur
E.
c. Appliquer la méthode d'orthonormalisation de Schmidt pour orthonormaliser la base 2 canonique de E : (1, X, X ).
7
[Distance d'un point à une droite] 2 la droite de R passant par le point A = (a, b) et de vecteur directeur
Exercice 26 :
D M0 = (x0 , y0 ) Soit
a.
D
et
H
le projeté orthogonal de
M0
sur
→ − u = (α, β),
D.
est-elle un sous espace vectoriel ?
−−→ → −−−→ − −−→ − − u )| = |Det(HM0 , → u )| = |HM ||→ u |.
b. Montrer que |Det(AM0 ,
c. En déduire que la distance de
M0
à
D
d= d. En déduire que la distance de
M0
est égale à :
|β(x0 − a) − α(y0 − b)| p α2 + β 2
à la droite d'équation
d= E l'espace k=0 P (k)Q(k) Soit
Exercice 27 :
< P, Q >=
ux + vy + w = 0
est :
|ux0 + vy0 + w| √ u2 + v 2
vectoriel des polynômes de degré inférieur à 2. On pose
∀P, Q ∈ E ,
P2
a. Rappeler la dé nition de la base canonique de b. Calculer
< X, X 2 >,
c. Montrer que
< ·, · >
puis
E.
Quelle est la dimension de
E?
< X − 1, X − 1 >. E.
dé ni un produit scalaire sur
d. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de
X2
sur le sous espace vectoriel
des polynômes de degré inférieur ou égal à 1. e. Déterminer une base orthonormale pour
E l'espace f (x)g(x) dx
Exercice 28 :
< f, g >=
R 2π 0
Soit
a. Soient les fonctions b. Montrer que
f
< ·, · >
et
g
< ·, · >.
vectoriel des fonctions continues sur
dé nies par
f (x) = x
et
g(x) = cos x4 , E.
dé ni un produit scalaire sur
[0; 2π],
on pose
calculer
∀f, g ∈ E ,
< f, g >.
Interpréter géométriquement la norme
associée. c. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de la fonction
g
sur le sous espace
vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1. Interprétation. d. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de la fonction vectoriel
Soit
E
M, N ∈ E
c. Montrer que
2 × 2, A =
l'espace vectoriel des matrices
a. Quelle est la dimension de b. Pour
sur le sous espace
H = {a0 + a1 cos +b1 sin, a0 , a1 , a2 ∈ R}.
Exercice 29 :
f
on pose
< ·; · >
3 −3 2 −4
et
B=
E?
< M ; N >= tr (tM N ).
est un produit scalaire sur
Calculer
< A; B >.
E.
d. Quelle est la norme associée ? e. Déterminer l'ensemble des vecteur orthogonaux à f. Déterminer le projeté orthogonal de
A
I.
sur le sous espace vectoriel
S
des matrices
symétriques. Exercice 30 :
Soit
E
l'espace vectoriel des fonctions continues sur
Z ∀f, g ∈ E, < f, g >=
π 2
f (x)g(x) dx 0
On admet que
< ·, · >
dé nit un produit scalaire sur
E.
[0, π2 ],
on pose
1 −1 −2 0
.
8
a. Soient les fonctions dé nies par
f0 (x) = 1, f1 (x) = x
et
g(x) = sin(x),
calculer
< f0 , g >
et
< f1 , g >. H = {h ∈ E | ∃m, p ∈ R, ∀x ∈ [0; 1], h(x) = mx + p} l'espace vectoriel a nes, déterminer une base de H , en déduire que H est de dimension 2.
b. Soit
c. Déterminer le projeté orthogonal
G
de la fonction
d. De toutes les fonctions linéaires (de la forme proche" de
g
sur
des fonctions
H.
v(x) = αx),
quelle est celle qui est "la plus
g.
Matrices orthogonales Exercice 31 :
a. Montrer que les valeurs propres réelles d'une matrice orthogonale appartiennent à
±1.
b. Montrer que le déterminant d'une matrice orthogonale est égal à Exercice 32 :
Soit
M
2 × 2.
une matrice orthogonale
a. On suppose que le déterminant de
M
est égal à -1.
(1) Montrer que le polynôme caractéristique de (2) Montrer que
M
{1; −1}.
M
possède deux racines réelles diérentes.
est diagonalisable.
(3) Montrer que deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres diérentes sont orthogonaux.
(4) Montrer qu'il existe
T
orthogonale tels que
b. On suppose que le déterminant de
M
M =P
1 0 0 −1
t
P.
est égal à 1. Montrer qu'il existe
cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)
M=
θ
tel que :
c. Donner une interprétation géométrique de ce qui précède. Exercice 33 :
Un invariant important la trace.
M une matrice note tr(M ).
Soit
carrée on appelle trace de
M
la somme des éléments diagonaux de
M.
On la
a. Calculer la trace des matrice suivantes :
−6
A=
6
−12 11
!
8 −4
B=
b. Montrer que pour deux matrices carrées
A
!
9 −4 et
B
3 −3 3
2 −1 0 C= 1 −2 3
on a tr(AB)
= tr(BA).
Exercice 34 :
Soit
E
l'ensemble des matrice
a. Montrer que
E
3×3
de la forme
α M = 0 0
0 0
N
avec
N=
a c b d
est un sous espace vectoriel dont on déterminera la dimension.
b. Montrer que le produit de deux matrices de c. Donner une CNS sur
N
déterminer son inverse.
et
α
E
appartient encore à
pour qu'une matrice
M
E.
de cette forme soit inversible et
.
9
d. Calculer lorsqu'il est dé ni le produit :
Exercice 35 :
Soit
f
α0 0 0
0 0
α 0 0
N
E.
N0
On suppose que
M
E
−1
0 0
α 0 0
N
(suite des exercices 31 : 32 :33 : et 34 :pour les matrices
un endomorphisme d'un espace euclidien
bon de
0 0
de dimension 3 et
M
3 × 3)
la matrice de
f
dans une
est orthogonale.
a. Montrer que contrairement au cas de l'exercice 32 : la matrice
M
a une valeur propre réelle,
on pourra étudier le degré de son polynôme caractéristique. En déduire que soit 1 soit -1 est
− M , notons ε une valeur propre de f et → u un → − → − → − ⊥ F = H = { v ∈ E; < u , v >= 0} l'orthogonal
une valeur propre de
vecteur propre associé. On
note
de
− H = R→ u
et
b. Si
M
est diagonalisable dans
c. Si
M
n'est pas diagonalisable dans
(1) Montrer que si
quelles sont les diagonales possibles.
R: − f (→ v ) ∈ H.
→ − v ∈ H alors → − − v ∈ F alors f (→ v ) ∈ F.
− − f (→ u +→ v ). → − → − → − → − → − Soit u2 , u3 une bon de F . Montrer que la matrice de f dans la base ( u , u2 , u3 ) appartient à E de l'exercice 34 :, montrer que la matrice N correspondante est orthogonale.
(2) Montrer que si (3)
R
(4) Montrer que si
N
d. Classer les matrices orthogonales
A
On pourra calculer la norme de
est diagonalisable alors
(5) En déduire que dans la base
e. Soit
H.
M
l'est aussi.
− − − (→ u ,→ u2 , → u3 ) la matrice de f est 0 0 0 cos(θ) − sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 3 × 3,
de la forme
interprétation géométrique.
la matrice d'une rotation, déterminer l'angle de cette rotation, expliquer comment l'on
pourrait trouver l'axe de la rotation.
A=
√1 3 √1 3 √1 3
− √12 √1 2
0
√1 6 √1 6 −2 √ 6
Réduction des matrices symétriques
Exercice 36 :
Soit la matrice
a.
M
est-elle symétrique ?
b.
M
est-elle orthogonale ?
c.
M
est-elle diagonalisable ?
d. Déterminer une matrice
P
M=
2
−2 −1
1 −2 −1 −2 . 3 −1 −2 2
orthogonale, et une matrice
D
diagonale telle que
e. Donner une interprétation géométrique à l'application linéaire de 3 est M dans la base canonique de R .
R3
dans
M = P DP −1 .
R3 ,
dont la matrice
10
5 une matrice symétrique telle que S = I , montrer que S = I . 4 2 une matrice symétrique telle que S = I , montrer que S = I , a-t-on toujours S
Exercice 37 :
Soit
S
Exercice 38 :
Soit
A
Soit
S
=I?
On pourra avec intérêt relire les énoncés des exercices 29 : et 33 :
une matrice carré
n × n.
a. Montrer que la matrice
S = tAA
est diagonalisable. On note
λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn
ses valeurs
propres. b. Montrer que tr(S)
=
n X k=1
c. Soit
X1
X
λk =
A2i,j .
1≤i,j≤n
un vecteur propre associé à
λ1 ,
en calculant
t
X1 SX1 ,
montrer que
λ1 ≥ 0.
d. En considérant une b.o.n. de vecteurs propres, montrer que pour toute matrice colonne
n×1
X,
on a :
p p λ1 kXk ≤ kAXk ≤ λn kXk e. Montrer qu'il existe des matrices colonnes non nulle pour lesquelles on a égalité. Exercice 39 :
Soit
Γ
la conique d'équation
√ 5x2 + 2 3xy + 7y 2 = 1 dans la base canonique. Déterminer une base orthonormée dans laquelle l'équation de
Exercice 40 :
Même question avec la conique d'équation
Exercice 41 :
Soit
S
Γ
est réduite.
x2 + 2xy − y 2 + x − 2y = 1.
une matrice symétrique.
a. En supposant que toutes les valeurs propres de
T
montrer qu'il existe une matrice symétrique b. Appliquer ce qui précède à la matrice
S1 =
S
sont positives, et en diagonalisant T 2 = S.
S
telle que
10 −6 −6 10
.
Exercice 42 :
a. Soit
S
une matrice symétrique à deux lignes, pour
b. Soit
S
une matrice symétrique à
des coe cients de c. Soit
S
X
et ceux de
X=
n lignes et X une matrice S la quantité : t XSX .
x1 x2
, calculer
colonne à
une matrice symétrique telle que pour toute matrice colonne
t
Montrer que toutes les valeurs propres de
n
X
t
XSX .
lignes, calculer à l'aide
on ait :
XSX ≥ 0
S
sont positives.
d. La réciproque est-elle vrai ? e. En écrivant la somme suivante comme une somme de carrées montrer que :
En déduire que les
∀x, y, z ∈ R, 6x2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy − 2yz ≥ 0 6 1 0 2 −1 sont positives. valeurs propres de S2 = 1 0 −1 2
f. En vous inspirant de la méthode précédente montrer que les valeurs propres de la matrice
3 2 0 T = 2 6 −3 0 −3 2
sont positives.
11
Représentation plane de Mohr d'une matrice symétrique.
Exercice 43 :
Soit
M
avec
A(a; b)
la matrice et
M=
a b b c
avec
det(M ) 6= 0
et
a > c.
On note
C
le cercle de diamètre
AB
B(c; −b).
a. Déterminer l'équation du cercle
C.
b. Montrer que les deux points d'intersections de propres de
M.
On note
L1
C
(Ox) ont pour abscisse abscisse et L2 l'autre.
et de l'axe
celui qui a la plus grande
les valeurs
− σ1 la plus grande valeur propre de M et → u un vecteur propre associé. Déterminer → − − \ tan((Ox) u ) à l'aide de a, b, c, on pourra commencer par déterminer un vecteur → u possible. −−→ \ − \→ Montrer que tan(Ox, L2 A) = tan((Ox), u ) interprétation pour trouver graphiquement l'angle − \→ ((Ox), u ).
c. Soit
d.
Espace de probabilité Exercice 44 :
4 joueurs jouent au poker, avec un jeu de 52 cartes. On distribue au hasard, une
main de 5 cartes à chaque joueur. a. Quelle est le nombre de mains diérentes qu'un joueur peut recevoir ? b. Quelle est la probabilité qu'un joueur donné reçoive un carré (4 cartes de même hauteur ?). c. Quelle est la probabilité pour qu'un joueur donné reçoive une "quinte oche" ( 5 cartes de même couleurs consécutives, sachant qu'il y a 4 couleurs). d. Quelle est la probabilité qu'un joueur reçoive un full (par exemple 2 valets et 3 as). e. Quelle est la probabilité qu'un joueur reçoive un brelan (par exemple 3 valets, un as et un sept). Exercice 45 :
On dispose de 10 billes que l'on veut aligner, combien peut-on former de gures
diérentes, si les billes de mêmes couleurs ne sont pas discernables et si : a. les 10 billes sont de couleurs diérentes. b. si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires. c. si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires, mais que les rouges doivent être groupées. Exercice 46 :
que la somme de leur carré soit et
y
x et y au hasard dans l'intervalle [0 ;1] quelle est la probabilité inférieur à 1. On pourra faire un schéma et représenter x en abscisse
On choisit deux points
en ordonnée.
Exercice 47 :
On marque n points sur un cercle, on en choisit deux au hasard, quelle est la
probabilité qu'ils soient voisins ? Exercice 48 :
On jette 3 fois un dé, quelle est la probabilité qu'au moins un trois sorte ? Et si on
le jette 6 fois ? 12 fois ? Exercice 49 :
Combien de triangles diérents peut-on constituer en prenant leur sommet parmi
10 points (Ces points n'étant pas alignés 3 par 3). Exercice 50 :
Si une personne sur 10 000 est centenaire, calculer la probabilité qu'il y ait au moins
un centenaire dans un échantillon de 100 personnes, de 1000 personnes, de 10 000 personnes.
Exercice 51 :
[dur]
Déterminer le nombre de solutions dans
N3
du système
x + y + z = 2n x≤y+z y ≤z+x z ≤x+y
12
Montrer que
Exercice 52 :
n p+1
=
n−1 X m m=p
p
.
X n 2 2n n = , on n m m=0 (0 ;0) au point (n; n).
Montrer que
Exercice 53 :
sants" allant dans
N2
du point
Une urne contient
Exercice 54 :
d'échantillons contenant
k
a. Montrer que
Sn0 =
n boules noires, combien y a-t-il n − k boules blanches. En déduire la formule suivante n 2 X n 2n = k n k=0
boules blanches et
boules noires et
Snp =
Pn
k=1 k n, calculer Sn1 .
On pose
Exercice 55 :
n
pourra calculer le nombre de "chemins crois-
p
b. En calculant de deux manières diérentes la quantité
∗
p
∀p ∈ N , (N + 1) = 1 +
PN
n=1 (n
Pn
k=1
k2,
Pn
k=1
+ 1)p − np
p−1 X p k=0
c. En déduire
:
k
montrer que :
k SN
k3.
(1−x)n −1 en calculant son intégrale de 0 à 1 de deux façons diérentes : x une fois à l'aide de la formule du binome de Newton et une fois à l'aide d'un changement de
Exercice 56 :
Soit
φ(x) =
variable, montrer que
n X n (−1)k k=1
Exercice 57 :
k
k
=−
n X 1 k=1
k
[Codes de correction d'erreur : code de répétition]
Chaque bit est envoyés 3 fois de suite chacun avec une probabilité
p
d'être mal transmis. Lorsque
l'on décode on ne reprend que le bit le plus fréquent (3 sur 3 ou 2 sur 3). Dans un tel paquet de 3 bits (c.a.d. 3 répétitions du bit de signal). On suppose que les erreurs sont indépendantes entre elles. a. Quelle est la probabilité que 0,1,2 ou 3 de ces 3 bits soient changés lors de la transmission ? b. Sachant qu'il y a au moins une erreur, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée ? c. Sachant qu'il y a au moins une erreur, quelle est la probabilité que l'erreur soit transmise sans être détectée ? d. Coder le message suivant : 01110 e. Décoder le message suivant : 001001111100010110011 f. Quel est le taux de transmission d'un tel algorithme. (Le taux de transmission est le rapport entre la longueur du message initial et la longueur du message après codage. Un excellent taux de transmission est donc proche de 1) ? Exercice 58 :
[Codes de correction d'erreur : Code de Hamming]
(b1 , b2 , b3 , b4 ), à la suite des 4 bits on envoie les 3 bits de contrôles b5 = b1 + b2 + b3 , b6 = b2 + b3 + b4 , b7 = b3 + b4 + b1 . Les 7 bits sont envoyés chacun avec probabilité p d'être mal transmis, on suppose que les erreurs sont indépendantes entres elles.
On cherche à envoyer 4 bits suivants une
Lorsque l'on décode on véri e que les relations sont bien véri ées.
13
a. Quel est le taux de transmission d'un tel algorithme. (Le taux de transmission est le rapport entre la longueur du message initial et la longueur du message après codage. Un excellent taux de transmission est donc proche de 1) ? b. Coder 0101, puis 1110. c. Si il y a une erreur sur
b1 ,
alors les bits de contrôle
(5)
et
(7)
sont faux, expliquer pourquoi.
d. Donner les autre relations équivalentes, pour une erreur sur chacun des 7 bits, expliquer comment on décode. e. Décoder 1000101 puis 1011001. Décoder 1010100 puis 1110101. f. Si il y a une seule erreur lors de la transmission, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée et corrigée ? g. Si il y a exactement 2 erreurs lors de la transmission, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée ? h. Si l'on suppose que l'on ne corrige bien que les cas ou il n'y a qu'une erreur, quelle est la probabilité que les 4 bits de départ soit bien transmis ? Exercice 59 :
Montrer que les
On note
pk
log
k = 1, 2, ...., 9 on note pk = log(1 + k1 ). Comparer p1 et p9 . Cette loi est appelée loi de
le logarithme décimal, et pour
dé nissent une loi de probabilité.
Benford, si vous prenez le premier chire de la valeurs des actions en euros, en dollars ou en yen du new york stock exchange ces chires suivent une loi très proche d'une loi de Benford.... Bien sur le premier chire des déclarations d'impôt, des prix des articles d'un supermarché, etc... suivent cette loi.
Conditionnement et indépendance Exercice 60 :
On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités
que l'on obtienne : a. Un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6. b. Un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6. c. Un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6. d. Au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10. Exercice 61 :
a)
A ={la
A, B et C les évènements suivants : B ={On obtient 4 au premier jet}, C ={la
On jette 2 fois un même dé. Soient
sommes des points obtenus vaut 6},
sommes
des points vaut 7}. b)
A ={le
1 er jet est impair},
B ={le
C ={la somme des points est impaire}. C sont indépendants 2 à 2, puis s'ils sont
2 ème jet est impair},
Dans chacun des cas a) et b) dire si les évènements
A, B
et
indépendants ("dans leur ensemble"). Exercice 62 :
Lors d'une étude sur les médecins américains, on posait à des enseignants et des
Étant donné une maladie dont la prévalence est de 0,1% et pour laquelle il existe un test de dépistage donnant 5% de faux positifs (c'est à dire la proportion de positif parmi les sains), quel est le risque qu'une personne dont le test est positif soit eectivement malade Il n'y a que 12% des personnes interrogées qui ont répondu correctement à la étudiants en médecine à Harvard la question :
question. Quelle est cette réponse ? Reformuler la question sans utiliser de pourcentage, mais en prenant l'exemple d'une population d'une million de personnes. On fait l'hypoyhèse que dans une famille les sexes des enfants sont indépendants 1 1 d'être un garçon et la probabilité d'être les uns des autres et que chaque enfant a la probabilité 2 2 une lle. Exercice 63 :
14
a. Une famille a deux enfants dont l'un au moins est un garçon . Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ? b. Une famille a deux enfants. L'aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ? c. Les nouveaux voisins ont deux enfants, je n'en ai vu qu'un, c'était un petit garçon ? quelle est la probabilité que les nouveaux voisins aient deux garçons ? Une machine automatique comprend trois dispositifs
Exercice 64 :
D1 , D2
D3 , D1 et D2 sont D3 n'a pas de de D1 , D2 et D3 , on
et
interchangeables et si l'un des deux et défectueux, l'autre prend le relais. Par contre remplaçant en cas de panne. On note
p1 , p2
et
p3
les probabilités de pannes
suppose que les pannes sont indépendantes les unes des autres. Calculer la probabilité que la machine tombe en panne. Exercice 65 :
[dur]
On note
pn
la probabilité que sur une suite de
n
piles ou faces, il y ait à un
moment 3 piles de suite ou trois face de suite, montrer en conditionnant sur les trois premiers résultats que l'on a la formule de récurrence suivante :
1 1 1 + pn−1 + pn−2 4 2 4
pn = Donner une valeur approchée de
p10 .
Variables aléatoires discrètes Exercice 66 :
Une urne contient 50 boules dont 10 blanches, on tire un lot de 3 boules, et on veut
modéliser le nombre de blanches dans ce lot, à l'aide d'une variable aléatoire raisonnable pour
H.
H,
déterminer une loi
Déterminer son espérance. Comparer cette espérance avec celle que l'on aurait
trouvée si on avait tiré les trois boules une à une avec remise dans l'urne après chaque tirage. Exercice 67 :
max(X; Y ).
On jette deux dés , on note
Déterminer la loi de
Exercice 68 :
Z,
X
le résultat du 1er et
Y
le résultat du 2ème.
Z =
son espérance et sa variance.
On suppose que le nombre d'appels téléphoniques arrivant à un standard pendant k (P (N = k) = e−20 20k! ).
un intervalle d'une heure suit une loi de Poisson de paramètre 20 a. Calculer le nombre moyen d'appels reçus en une heure.
b. Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure. Exercice 69 :
Soient
b, r ∈ N∗
et
c∈N
. Une urne contient
b
boules blanches et
r
boules rouges.
On eectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l'urne avec en plus
c
boules de la même couleur. On note
Xn
la variable aléatoire qui prend la
valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera
p= a. Déterminer la loi du couple
(X1 , X2 ).
b. Trouver les lois conditionnelles de c. Déterminer la loi de la variable d. Déterminer la loi de
X3
Xn+1
X3
q=
b b+r
En déduire la loi de sachant
X2
et de
X2
X2
la comparer à celle de
sachant
X1 .
S 2 = X1 + X2 .
sachant que
e. Déduire du 4) que la loi de f. Exprimer la loi de
X1
r b+r
S2 = k
pour
k ∈ N.
est la même que celle de
à l'aide de
X1 .
E(Sn ).
g. Montrer que toutes les variables aléatoires
Xn
ont même loi de probabilité.
X1 .
15
Exercice 70 :
On dit qu'une variable aléatoire
X
a la propriété de non vieillissement si
∀k, l P (X ≥ k + l|X ≥ l) = P (X ≥ k) a. Si
X
représente l'instant ou un certain événement se passe, justi er le nom de la propriété.
b. Montrer que la loi géométrique (P (X c. Montrer que la seule loi sur
N
= k) = p(1 − p)k−1 )
ayant la propriété de non vieillissement est la loi géométrique,
on pourra pour cela montrer que la suite Exercice 71 :
Soient
p ∈]0; 1[ ; X
Rk = P (X ≥ k)
Y
est une suite géométrique.
une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre
P (X = k) = e−λ et
a la propriété de non vieillissement.
λ
λk k!
telle que
n k P (Y = k|X = n) = p (1 − p)n−k k Déterminer la loi de Exercice 72 :
Y.
Un premier joueur lance un dé rouge, un deuxième joueur lance deux dés verts : Si
le dé rouge a une valeur supérieur à la somme des verts le deuxième joueur verse 1 euro au premier, si cette valeur est égal à la somme des verts il lui verse 11 euros, dans les autres cas c'est le premier joueur qui verse 1 euro au deuxième. a. Modéliser les gains algébriques du premier joueur. b. Quelle est la probabilité que le joueur 1 gagne. c. Quel est le "gain moyen" du premier joueur. d. Vaut-il mieux être le joueur 1 ou le joueur 2. Exercice 73 :
Une urne contient
a
boules blanches et
b
noires, on tire sans remise
on dit que
X
suit une loi hypergéométrique de paramètre
(n, a, b)
ou
a. Montrer que l'esperance d'une loi hypergéométrique de paramètre
boules, et on
X . Déterminer n ≤ a + b.
modélise le nombre de boules blanches obtenues par une variable aléatoire
X,
n
(n, a, b)
la loi de
est
an a+b b. On note
Xi
la variable aléatoire valant 1 si la ième boule blanche a été tirée, 0 sinon,
déterminer la loi de
Xi ,
retrouver le résultat de la question précédente.
Variables aléatoires à densité Exercice 74 :
Soit
X
une variable aléatoire de densité
fX (t) = a. Représenter la densité de b. Déterminer
t 0
si
t ∈]0, α]
X.
α. θ
tel que
P (X > θ) =
e. Calculer la fonction de répartition densité
fY .
avec
sinon
c. Calculer et représenter la fonction de répartition de d. Déterminer
fX
X.
1 . 2
FY
de la variable aléatoire
Y = 2 ∗ X − 1,
en déduire sa
16
X
Soit
Exercice 75 :
fX (t) = Kt2 a. Représenter la densité de
K
b. Déterminer
fX
une variable aléatoire de densité
t ∈ [−α; α],
si
:
0
sinon
X.
en fonction de
α.
c. Déterminer puis représenter la fonction de répartition de d. Calculer
P (X >
X
Soit
Exercice 76 :
α ) puis 2
:
FX .
E(X). fX
une variable aléatoire de densité
1+t K fX (t) = 0 a. Représenter la densité de
avec
t ∈ [−1; 0] t ∈]0, 2]
si si sinon
X.
K.
b. Déterminer
c. Calculer et représenter la fonction de répartition de d. Calculer
X
P (X > 21 )
puis
X.
E(X).
e. Calculer la fonction de répartition
FY
de la variable aléatoire
Y = X 2,
en déduire sa densité
fY . f. Représenter les deux fonctions g. Calculer
E(Y )
Exercice 77 :
fY
et
FY .
d'une part à l'aide de
fY
d'autre part à l'aide de
fX .
La densité de probabilité
fX
d'une variable aléatoire
X
fX (t) =
c.
c. Montrer que pour tout d. Calculer
P (X >
e. Montrer que f. Déterminer
c 1 + t2
fX .
a. Représenter b. Déterminer
est donnée par
X
h
√
α ∈ R, P (X ≥ α) = P (X ≤ −α).
3).
ne possède pas d'espérance.
tel que
P (X < h) = 0, 1.
On considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantes X1 et X2 de −a t paramètres a1 et a2 , fX1 (t) = a1 e 1 si t > 0, 0 sinon . On pose Y = min(X1 ; X2 ). On note Exercice 78 :
FX1 , FX2
et
FY
a. Calculer
leur fonction de répartition.
P (Y ≥ t)
b. Déterminer
en fonction de
FX1
de
Y,
Soit
X
a. Calculer
Soit
Y.
une V.A. uniforme sur [-1,2] et
en déduire sa densité, calculer
Exercice 80 :
FX2 .
FY
c. Calculer la densité, et l'espérance de Exercice 79 :
et
X
Y = X 2 , déterminer la fonction de répartition
P (X ≤ Y ).
une V.A. Gaussienne de paramètres
(3; 4)
P (X < 4) ; P (X < 1) ; P (X > 2) ; P (|X| < 4) ; P (|X| < 4|X > 2).
b. Déterminer
α
le plus grand possible tel que
c. Quelle est la loi de
X−1 . 3
P (X − 2 > α) > 10−2 .
17
L'éclairage d'une commune est assurée par 2000 lampes dont la durée de vie
Exercice 81 :
moyenne est 10000 heures. Cette durée de vie suit une distribution normale d'écart type
σ = 2000.
a. Quel est le nombre de lampes hors d'usage au bout de 5000 H ? de 7500 H ? de 15000 H ? b. Au bout de combien d'heure 5% sont hors d'usage ? c. D'autres ampoules ont une durée de vie qui suit une loi
N (10500; 30002 ).
Quelles ampoules
faut-il choisir si l'on veut : (1) que la durée de vie moyenne soit maximale. (2) que la durée durant laquelle 95% des ampoules fonctionnent soit maximale. Les notes d'un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre
Exercice 82 :
(8, 5; 22 ). a. Quelle est la proportion d'étudiants ayant la moyenne. b. On veut améliorer les notes à l'aide d'un transformation a ne
Y = aX + b.
Déterminer
a, b
pour que 50% des étudiants aient la moyenne et 75% ait une note supérieur à 8. c. Comment peut-on faire pour garder la même moyenne et avoir 80% des étudiants entre 5 et 15. Si
Exercice 83 :
paramètres que
suit une loi normale on dit que
X = eZ
suit une loi log-normale, de mêmes
Z.
a. Déterminer b. calculer
Z
E(X)
et var (X) en fonction de
P (2 < X < 4)
sachant que
E(X) = 2
c. On suppose que la distribution des revenus généralisée c'est à dire
R : (a; m; σ)
E(Z)
R = a + X (X
et var Z .
et var X
R
= 2.
d'une population suit une loi log-normale
suivant une loi log normale), calculer les paramètres de
sachant que la moitié gagne moins de 1100 euros , 10% gagne plus de 2000 euros
et 10% gagne moins de 200 euros. Exercice 84 :
X une variable aléatoire de loi exponentielle de X , puis déterminer son espérance.
Soit
de la partie entière
de paramètre 1. Déterminer la loi
Couples de variables aléatoires Exercice 85 :
Une urne contient
N
jetons numérotés de 1 à
au hasard, successivement et sans remise. On appelle
Xi
N.
On tire dans cette urne p jetons
la V.A. qui au cours d'une succession de
tirages modélise le numéro du jeton extrait au tirage de rang i. a. Déterminer la loi de probabilité de b. Les variables aléatoires c. On pose
Xi
et
Xj
Xi .
sont-elles indépendantes ?
S = X1 + X2 + ... + Xp .
(1) Calculer
E(Xi )
puis
E(S).
(2) Calculer var (Xi ). (3) Calculer (4) Pour Exercice 86 :
P (Xi = k, Xj = k 0 ),
n = 2, Soit
puis cov(Xi , Xj ).
calculer var(S).
(X; Y )
un couple de variables aléatoires de loi
− 1 f (x; y) = e 2πσ1 σ2 a. Déterminer les lois marginales de
X
et
Y.
(x−µ1 )2 (y−µ2 )2 + 2 2 2σ1 2σ2
18
b. Montrer que
X
et
Y
c. Déterminer la loi de Exercice 87 :
x ∈ [0; 1]
et
1. Soit
y ∈ [0; x], 0
sont indépendantes ?
X +Y.
(X; Y )
un couple de variables aléatoires de densité
a. Déterminer la fonction de répartition de b. Calculer
si
X
:
FX ,
en déduire une densité de
X.
E(X).
c. Même question pour
Y.
d. Calculer
P (X < 12 ).
e. Calculer
P (X < 12 |Y > 12 ). X
f. Calculer
P (X + Y > 1).
X1 , ..., Xn λi (λi > 0, i = 1, ...n).
Exercice 88 :
respectifs
f (x; y) = 8xy
sinon.
Soient
et
Y
sont-elles indépendantes ?
des v.a. indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètres
a. Calculer la fonction génératrice de b. Quelle est la loi de c. On suppose que Exercice 89 :
Soit
Sn = X1 + ... + Xn .
Sn .
λ1 = λ2 = λ, (X, Y )
déterminer la loi de
X1 + X 2 ,
puis de
X1 + X 1 .
un couple de v.a. suivant la loi uniforme sur le disque de centre
O
et
de rayon 1. a. Quelle est la densité du couple b. Quelles sont les lois de c. Montrer que
X
et
Y
d. Déterminer la loi de Exercice 90 :
Soit
X
et de
(X, Y ) ? Y
?
ne sont pas indépendantes ?
X +Y.
(X, Y )
un couple de variable aléatoire de densité :
f (x, y) = α(x + y) a. Déterminer
si
0 < x, y < 1
sinon0
α.
b. Déterminer la loi de
X
et celle de
Y.
c. Montrer que les variables aléatoires d. Déterminer la loi de
X
et
Y
ne sont pas indépendantes.
X +Y.
Convergence des suites de variables aléatoires Exercice 91 :
1. On jette 10 pièces, non truquées, soit
X
le nombre de pile, déterminer la loi de
X. Tracer la fonction de répartition de
X
puis comparer là à la fonction de répartition de l'approximation
centrale. Exercice 92 :
Dans une société, les employés d'un bâtiment A ont souvent besoin d'appeler au
téléphone un bâtiment B. Le bâtiment A contient 200 employés et l'on constate que chacun d'entre eux veut téléphoner en moyenne 3mn par heure au bâtiment B. Quel nombre de lignes, minimal k faut-il établir entre les 2 bâtiments pour qu'un employé de A, désirant téléphoner en B, ait une probabilité inférieur à 1% que toutes les lignes soient occupées. Exercice 93 :
On possède une réserve de 50 ampoules, on suppose que la durée de vie d'une λ = 10−3 h−1 . Si l'on
ampoule électrique est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre
19
remplace une ampoule dès qu'elle " claque ". Quelle est la probabilité qu'au bout de 45 000 heures on se retrouve dans le noir ? Exercice 94 :
Soit
(Xn )
une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre
n,
montrer
que cette suite converge en probabilité vers la variable aléatoire nulle. Exercice 95 :
b. c. d. e.
(Un )
une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même
Mn = max(U1 , . . . , Un ) et Xn = n(1 − Mn ). Déterminer la fonction de répartition de Mn . Étudier la convergence en loi de la suite (Mn ). Comment faut-il choisir n0 pour que P (Mn0 ≥ 0, 99) ≥ 95% ? Déterminer la fonction de répartition de Xn . Étudier la convergence en loi de la suite (Xn ).
loi uniforme sur a.
Soit
[0; 1].
On note
Démontrer la formule de Bienaymé Tchebychev pour une variable aléatoire à 2 densité de moyenne m et de variance σ : Exercice 96 :
∀ > 0, P (|X − m| > ) ≤
σ2 2
On pourra partir de la dé nition de la variance et l'écrire à l'aide d'une intégrale puis découper cette intégrale en trois, suivant que
x>m+
ou
x−m<m−
ou sinon.
Exercice 97 :
Soit
(Xn )
une suite de variable aléatoire telle que
∀n ∈ N∗
:
P (Xn = −n) = 2n1 2 P (Xn = n) = 2n1 2 P (Xn = 0) = 1 − n12 a. Calculer l'espérance de b. Calculer la variance de
Xn , Xn .
on la note
m.
(Xn ). réels E(|Xn − m|) .
c. Étudier la convergence en probabilité de d. Étudier la convergence de la suite de Exercice 98 :
On considère une suite
Bernoulli de paramètre
p
(Xn )
de variables aléatoires indépendantes de même loi de
et on pose :
Yn = Xn−1 PnXn 1 Zn = n k=1 Yk a. Déterminer la loi de
Yk
b. Calculer l'espérance de
d. e. f.
Zn .
Yk+1 ne sont pas indépendantes ? Montrer que et Yk+m sont indépendantes lorsque m ≥ 1. Calculer la variance de Zn en fonction de n et p. Étudier la convergence en loi de la suite (Zn ).
c. Montrer que
Yk Yk
déterminer son espérance et sa variance.
et
(Xn ) une suite de variables aléatoires à valeurs dans N de fonctions génératrices GXn , telle que ∀x ∈] − 1; 1[ (GXn (x)) converge vers GX (x), GX étant la fonction génératrice d'une variable aléatoire X . Montrer qu'alors ∀k ∈ N, limn→∞ P (Xn = k) = P (X = k). Exercice 99 :
Exercice 100 :
Soit
Suite de l'exercice 57 :
On modélise la bonne transmission du ième bit à transmettre (et non le ième bit du message codé) à l'aide d'une variable aléatoire
Xi
valant 1 si ce ième bit après décodage est erroné et 0 si il
correspond bien au bit avant encodage. On suppose que
p = 1/1000.
20
a. Montrer que la loi de
Xi
3.10−6 .
suit une loi de Bernoulli de paramètre proche de
b. On veut transmettre 10Mb d'information, quel est le nombre moyen de bits erroné après décodage. c. Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 100 bits faux. Suite de l'exercice 58 :
Exercice 101 :
On décompose notre message de
n
bits en
n/4
blocs de 4 bits. On modélise la bonne transmission
du ième blocs à transmettre (et non le ième bit du message codé) à l'aide d'une variable aléatoire
Yi
valant 1 si ce ième bloc après décodage est erroné et 0 si il correspond bien au bloc avant
p = 1/1000.
transmission. On suppose que a. Montrer que la loi de
Yi
suit une loi de Bernoulli de paramètre proche de
2.10−5 .
b. On veut transmettre 10Mb d'information, quel est le nombre moyen de bits erroné après décodage. c. Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 100 bits faux.
Chaînes de Markov Soit
Exercice 102 :
transition
Π
(Xn )n
une chaîne de Markov à valeurs dans
:
1 1 1 Π= 0 2 0 On suppose de plus que
1 1 1 0
[−1; 0; 1; 2],
de matrice de
0 0 1 1
0 0 0 1
P (X0 = −1) = P (X0 = 0) = P (X0 = 1) =
1 . 6
a. Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov. b. Quelle est la loi de
X3 .
c. Montrer qu'il existe une unique mesure invariante et la déterminer. d. Déterminer :
lim P (Xn = k)
n→∞ e. Calculer : Exercice 103 :
E(X0 ), E(X1 )
et
limn E(Xn ).
Une urne contient
N
boules blanches. En une étape on tire une boule et on la
remplace par une autre boule (blanche avec la probabilité On veut modéliser le nombre de boules blanches après
n
p
q = 1 − p). aléatoires Xn .
et noire avec la probabilité
étapes, à l'aide de variables
a. Pourquoi est-il raisonnable de choisir une chaîne de Markov pour modéliser ce problème. b. Représenter le graphe de transition. c. Comment choisir la matrice de transition de
(Xn ).
d. Montrer qu'il existe une unique mesure invariante e. Calculer la limite de f. En déduire que
(Xn )
P (Xn = k)
quand
µ,
montrer que
µk =
N k
pk (1 − p)N −k .
n → ∞.
converge en loi vers une loi binomiale.
1 et considérons une chaîne de Markov (X0 , X1 , ...Xn ) telle que 2 chacune des variables aléatoires Xi prend ses valeurs dans {1, 2, 3} et telle que sa matrice de
Exercice 104 :
Soit
0≤p≤
transition soit donnée par
Π=
1 2
−p 1 2
p
1 2 1 2
p 0 0 1−p
21
a. Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov.
Π.
b. Trouver une loi stationnaire pour la matrice
Pour quelles valeurs de
p,
cette loi est-elle
unique ? c. On suppose que
P (X0 = 1) = 0,
(1) Calculer l'espérance (2) Selon les valeurs de Soit
Exercice 105 :
Xn
E(X1 ) p,
et
P (X0 = 2) = P (X0 = 3) =
1 . 2
et la variance var (X1 ).
déterminer
limn→∞ E(Xn ).
une suite des variables aléatoires indépendantes, de même loi telle que :
1 P Xn = 1 = P Xn = −1 = . 2 Posons
Sn =
Pn
k=1
a. Montrer que
Xk . (Sn )
est une chaîne de Markov.
b. Déterminer la loi de
(Sn ).
c. Déterminer la matrice de transition Soit
Exercice 106 :
a
M,
c'est une matrice in ni.
un réel appartenant à
1 ]0, [. 2
Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable ou baisser. Dans un modèle mathématique, on considère que : le premier jour le titre est stable. si un jour
n
le titre monte, le jour
n + 1,
il montera avec la probabilité
1 − 2a,
restera stable avec
a et baissera avec la probabilité a. n le titre est stable, le jour n + 1 il montera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité 1 − 2a et baissera avec la probabilité a. si un jour n le titre baisse, le jour n + 1 il montera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité 1 − 2a. On note Mn (resp. Sn , resp. Bn ) l'événement le titre donné monte (resp. reste stable, resp. baisse) le jour n . On pose pn = P (Mn ), qn = P (Sn ) et rn = P (Bn ). la probabilité
si un jour
a. Quelle hypothèse supplémentaire faut-il faire pour modéliser ce problème à l'aide d'une chaîne de Markov. Sous cette hypothèse on tracera le graphe de transition. On note
A
la matrice de
transition. b. Expliciter
pn+1 , qn+1
c. Diagonaliser
A,
et
rn+1
en déduire
en fonction de
pn , q n
puis
rn
pn , qn , r n
et
en fonction de
A. n.
d. Donner la limite de ces trois suites et interpréter le résultat. Exercice 107 :
Soit (Xn )
une chaine de Markov à valeur dans
[1, 2, 3],
de matrice de transition
0 1 1 A = 12 2 0 0 . 2 0 0
a. Représenter le graphe de transition de
(Xn ).
b. Déterminer l'unique mesure invariante de
(Xn ).
Les hypothèse de Perron Frobenbius
sont-elles remplies ?
α = P (X1 = 1), β = P (X1 = 2), γ = P (X1 = 3), montrer que P (X2n = 1) = β + γ P (X2n+1 = 1) = α, en déduire que si γ 6= 21 alors (Xn ) ne converge pas en loi.
c. Soit
et
22
Exercices corrigés Exercice 108 :
Dans le plan soient une droite
que la distance entre
M0
et la droite
D
D : ax + by + c = 0
et un point
M0 (x0 ; y0 ).
Montrer
est égale à
d(M0 ; D) =
|ax0 + by0 + c| √ a2 + b2
On pourra pour cela étudier la fonction dé nie par
f (y)
: le carré de la distance de
M (−by − c; y)
à
A. Exercice 109 :
On constitue une le d'attente en attribuant au hasard des numéros d'ordre à n
personnes. On note
D
la variable aléatoire représentant le nombre de personnes se trouvant entre
deux amis dans la queue. a. Déterminer
P (D = k).
b. Pour quelle valeur de
k , P (D = k)
c. Déterminer l'espérance de
D.
est-il maximum ?
On pourra utiliser les formules classiques suivantes :
n X
1 k = n(n + 1) 2 k=1
Exercice 110 :
n X
k2 =
k=1
1 n (n + 1) (2 n + 1) 6
On jette un dé, et on s'intéresse au nombre de jets nécessaire pour qu'un 6
apparaisse, on modélise ce nombre à l'aide d'une variable aléatoire N. a. Quelle loi peut-on choisir pour
N?
b. Déterminer la fonction génératrice de c. Calculer
E(N ).
Exercice 111 :
Soit
X
Quelle est la dé nition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?
une variable aléatoire telle que pour
Calculer
E(X)
N.
p ∈ [0; 1], P (X = −1) = p,
et
P (X = 1) = 1 − p.
et var(X).
Exercice 112 :
Soit un jeu de dominos (chaque domino porte 2 nombres, élément de
{0; 1; . . . ; 6},
éventuellement identiques, on parle alors de double) a. Combien existe-t-il de dominos diérents ? Cela forme un jeu de Dominos. b. Quelle est la 'probabilité' que dans une poignée de 5 dominos pris au hasard dans un jeu, il n'y ait aucun double ? c. En tirant deux dominos au hasard, quelle est la 'probabilité' qu'ils soient compatibles c'est à dire qu'ils aient un nombre commun ? Exercice 113 :
Soient
n
un entier strictement positif,
indépendantes de même loi uniforme sur
{0; . . . ; n}
X
et
Y
deux variables aléatoires
:
∀k ∈ {0; . . . ; n}, P (X = k) = P (Y = k) = En utilisant les probabilités conditionnelles, calculer
P (X = Y ).
1 n+1
23
Corrigés
Deux preuves sont possibles en utilisant le projeté orthogonal ou en déterminant le minimum de la distance. On suppose que a 6= 0 et quitte à diviser par a on peut considérer que l'équation de la droite est x + by + c = 0, D = {(−by − c; y)/y ∈ R} posons alors f (y) le carré de la distance de M (−by − c; y) à A. Corrigé de l'exercice 108 :
f (y) = (−by − c − x0 )2 + (y − y0 )2 = (1 + b2 )y 2 + 2(bc + bx0 − y0 )y + ((c + x0 )2 y02 )
Cette fonction polynôme de degré deux possède un minimum en α=−
2(bc + bx0 − y0 ) 2(1 + b2 )
La valeur de ce minimum est donc f (α) =
(bc + bx0 − y0 )2 (bc + bx0 − y0 )2 − 2 + ((c + x0 )2 y02 ) (1 + b2 ) (1 + b2 )
on peut faire les calculs mais on peut aussi remarquer astucieusement que f 0 (α) = 0 et donc que 2b(bα + c + x0 ) + 2(α − y0 ) = 0
on a donc f (α) =
1 1 + b2 2 2 (α − y ) + (α − y ) = (α − y0 )2 0 0 b2 b2
on a donc bien la distance de D à A qui vaut : √ p d(A; D) = f (α) =
1 + b2 −2(bc + bx0 − y0 ) − 2y0 − 2b2 y0 |x0 + by0 + c| = p(1 + b2 ) b 2(1 + b2 )
Le cas ou b = 0 se fait directement en remarquant que α = y0 : f (α) = (c + x0 )2
d'ou le résultat, le cas a = 0 se traite de la même façon. Corrigé de l'exercice 109 : a) Il y a plusieurs modélisations possibles, par exemple, on prend pour Ω l'ensemble des parties à deux éléments de {1; 2; · · · ; n − 1; n}, correspondant aux deux numéros des deux amis, on raisonne donc sans ordre et sans remise, on pourrait aussi raisonner avec ordre et sans remise. Sur cet ensemble Ω de cardinal n2 on pose l'équiprobabilité. D est donc une fonction de Ω dans R, en regardant un petit peu sur des exemples on peut prendre D({ω1 , ω2 }) = |ω1 − ω2 | − 1 = max(ω1 , ω2 ) − min(ω1 , ω2 ) − 1, par exemple si les deux amis ont les numéros 6 et 9, il y a entre eux 9-6-1=2 personnes.
(D = 0) = {1, 2}, {2, 3}, . . . , {n − 1, n}
Donc P (D = 0) = n−1 = n2 . De même (n2 ) (D = 1) = {1, 3}, {2, 4}, . . . , {n − 2, n} n−k−1 Donc P (D = 1) = n−2 et ainsi de suite P (D = k) = n−k−1 = 2 n(n−1) (n2 ) (n2 ) n−k−1 b) 2 n(n−1) est décroissant en k, donc le maximum est atteint en k = 0. Remarque : Pour n = 100 P (D = 0) = 0, 02 et P (D = 98) ' 0, 0002, donc la loi de D n'est pas du tout uniforme. P Pn−2 2 n−k−1 k2 c) E(D) = n−2 k=0 2k n(n−1) = k=0 k n − 2 n(n−1) . Il su t alors d'appliquer les formules qui sont rappelées, pour obtenir E(D) = n−2 3 , qui correspond à la distance moyenne entre les deux amis.
a) (N = 1) correspond au fait que le premier lancé est un 6.P (N = 1) = (N = 2) correspond à : "Le premier lancé est tout sauf un 6, le deuxième est un 6, on peut donc poser P (N = 2) = 65 × 61 . De même P (N = k) = 56 k−1 × 16 .
Corrigé de l'exercice 110 :
1 6.
24
b) Voir le dernier exo du cours sur les fonctions génératrices. P 5 k−1 c) Il faut calculer ∞ × 61 , c'est la somme d'une série k=1 k 6 P quen l'on 1ne connaît pas mais si l'on réécrit la somme d'une série géométrique on obtient : ∀x ∈] − 1; 1[, ∞ n=0 x = 1−x , en utilisant les résultat sur les séries entières, on peut dériver cette série entière : ∀x ∈] − 1; 1[,
∞ X
nxn−1 =
n=1
On a donc
∞
1X k 6 k=1
1 (1 − x)2
k−1 5 1 1 =6 = × 6 6 (1 − 56 )2
Soit X discrète X(Ω) = {xi , i ∈ N} ou P X(Ω) ni avec i 6= j ⇒ xi 6= xj xi P (X = xi ) converge absolument on pose E(X) = k∈N xk P (X = xk ) E(X) = −1.p + 1.(1 − p) = 1 − 2p var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = (−1)2 .p + 12 .(1 − p) − (1 − 2p)2 = 4p − 4p2 = 4p(1 − p)
Corrigé de l'exercice 111 :
Lorsque la série
P
Corrigé de l'exercice 112 :
a. Il y a 7 dominos double et 72 dominos simples, d'ou 7+21=28 dominos diérents. b. Il y a 28 5 poignées diérentes de dominos, on peut supposer l'équiprobabilité sur ces poignées Il y a 21 5 poignées diérentes de dominos qui ne contiennent pas de double, d'on une probabilité de
21 5 28 5
c. Deux dominos diérents ne peuvent avoir qu'un nombre en commun, ce nombre peut prendre 7 7 valeurs. Pour chacune de ces valeurs il y a 2 paires de domino possédant cette valeur et comme il y a 28 paires de domino, la probabilité demandée est : 2 7
7 2 28 2
Corrigé de l'exercice 113 :
P (X = Y ) = = = =
n X k=0 n X k=0 n X k=0 n X k=0
=
P (X = Y ) ∩ (X = k) P (Y = k) ∩ (X = k)
(1) (2)
P (Y = k)P (X = k) car X et Y sont indépendantes
(3)
1 (n + 1)2
(4)
1 n+1
(5)
25
MS4-I Juin 2006 Durée 2 heures
Examen de rattrapage de Mathématiques Calculatrice et document sont interdits. Barème indicatif : 9+6+6
Exercice 1 : E
Soit
[0; 1],
l'espace vectoriel des fonctions continues sur
Z
on pose
1
∀f, g ∈ E, < f, g >=
f (x)g(x) dx 0
On admet que
< ·, · >
dé nit un produit scalaire sur
a. Soient les fonctions dé nies par
E.
f0 (x) = 1, f1 (x) = x
et
g(x) = ex ,
calculer
< f1 , g >.
H = {h ∈ E | ∃m, p ∈ R, ∀x ∈ [0; 1], h(x) = mx + p} l'espace vectoriel a nes, déterminer une base de H , en déduire que H est de dimension 2.
b. Soit
c. Déterminer le projeté orthogonal
P
de la fonction
d. De toutes les fonctions linéaires (de la forme de
g
des fonctions
sur H.
v(x) = αx), quelle est celle qui est "la plus proche"
g.
Exercice 2 : Un sac contient trois jetons, le premier a deux faces blanches, le deuxième a deux faces noires, le troisième une blanche et une noire. Dans chacune des questions suivantes, on explicitera soigneusement le raisonnement utilisé. a. On tire un jeton au hasard, on le lance quelle est la probabilité que la face visible soit noire ? b. On tire 2 jetons au hasard, on les lance quelle est la probabilité que les deux faces visibles soient noires ? c. On tire un jeton au hasard, on le lance on le remet dans le sac et on recommence, on eectue ainsi 10 lancés, si on modélise le nombre de faces noires obtenues par une variable aléatoire
N
quelle est sa loi ? d. On tire un jeton au hasard, on le lance, la face visible est noire, quelle est la probabilité que l'autre face soit noire ?
Exercice 3 : Soit
X
une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre
λ (fX (t) = λe−λt
si
t > 0, 0 sinon).
a. Calculer son espérance, sa variance et sa fonction de répartition. b. Démontrer que c. Soient
Y = 5X
suit une loi exponentielle, dont on déterminera le paramètre.
X1 , X2 , . . . , X100 , P des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de S = 100 i=1 Xi leur somme, déterminer une valeur approchée de P (S < 110).
paramètre 1 notons
26
MS4-I Mai 2007 Durée 3 heures
Examen de Mathématiques
Calculatrice et document sont interdits. Seule une table de loi normale est autorisée. Barème indicatif : 6+6+10
Exercice 1 : Diagonalisation
Soit la matrice dé nie par
a. Diagonaliser
A,
0 2 2 A = 2 −1 0 2 0 1
c'est à dire déterminer une matrice
P
inversible et une matrice diagonale
D
telles que
A = P DP −1 . b. Montrer l'existence puis déterminer
Q
orthogonale telle que
A = QD tQ.
Exercice 2 : Projection orthogonale E
Soit
Z
l'espace vectoriel des fonctions continues sur
f (x)g(x) dx,
< ·, · >
on admet que
on pose
dé nit un produit scalaire sur
∀f, g ∈ E , < f, g >=
et
g
f0 (x) = 1, f1 (x) = x
dé nies par
a. Calculer
et
E.
Soient les fonctions
f0 ,
√ x.
0
f1
[0; 1],
1
g(x) =
< f1 , g >.
b. Déterminer la norme de c. Montrer rapidement que
f1 . (f0 , f1 )
est une base du sous espace vectoriel
d. Déterminer le projeté orthogonal
h
g
de
e. Déterminer une base orthonormale de
sur
A
des fonctions a nes.
A.
A.
Exercice 3 : Étude de certaines fréquences dans les génomes Les brins d'ADN sont une longue succession de nucléotides pouvant porter l'une des 4 bases : adénine
a,
cytosine
c,
guanine
g,
et thymine
t.
L'ADN peut être considéré comme un texte écrit
sur un alphabet de 4 lettres, chaque mot ayant une longueur de 3 lettres que l'on appelle codon. On peut comparer diérents modèles pour modéliser la structure de l'ADN, on étudie un texte de lettres (c'est à dire une suite de
N
3N
codons). Les trois parties peuvent être traitées dans l'ordre que
l'on veut. Les valeurs numériques sont fantaisistes. Modèle 1 : On suppose que le choix de chaque nucléotide est indépendant des autres, l'adénine a une
probabilité d'apparition
pa ,
la cytosine
pc ,
la guanine
pg ,
et la thymine
pt .
aaa ?
(1) Si
N = 1,
quelle est la probabilité d'obtenir le codon :
(2) Si
N = 2,
quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois la séquence :
(3) Pour
k ∈ {1, 2, . . . , N }
(4) Pour
N
aaa ?
quelle est la probabilité que le
k -ième
codon soit
aaaaa ?
aaa ?
quelconque, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un des codons qui soit
27
(5) Combien y a-t-il de codons diérents ? (6) Si
N = 2,
et
pa = pc = pg = pt =
1 quelle est la probabilité d'obtenir deux fois de suite le 4
même codon ?
N = 10000 et pa = aaa et 0 sinon.
Modèle 2 : On garde le même modèle mais
valant 1 si le
i-ème
codon est
(1) Quelle est la loi de
X1 ?
de
q 3
1 . On note 10
Xi
une variable aléatoire
Xi ?
(2) Justi er rapidement pourquoi les
Xi
sont indépendants.
(3) Énoncer le théorème de la limite centrée. (4) En déduire une valeur approchée de la probabilité d'avoir plus de 1050 fois le codon
aaa.
j -ème nucléotide à l'aide de variables aléatoires Yj à valeur dans {a,c,g,t}. Le a ce qui se modèlise par P (Y1 =a) = 1. On fait l'hypothèse que (Yj ) est Markov de matrice de transition M : 0, 5 0, 5 0 0 0, 1 0 0, 1 0, 8 M = 0 0, 5 0 0, 5 0, 1 0 0, 9 0
Modèle 3 : On modélise le
premier nucléotide est une chaîne de
(1) Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov. (2) Quelle est la loi de (3) Calculer
Y2 ?
P (Y3 = a).
(4) Si
N = 1,
quelle est la probabilité d'obtenir le codon :
aaa ?
(5) Si
N = 1,
quelle est la probabilité d'obtenir le codon :
act ?
(6) Pour
k ∈ {2, . . . , N }
quelle est la probabilité que le
le résultat en fonction de puissance de
M.
k -ième
codon soit
aaa ?
On donnera
28
MS4-I Mai 2008 Durée 3 heures
Examen de Mathématiques Calculatrice et document sont interdits, seule une table de loi normale est autorisée. Les exercices peuvent être traités dans l'ordre que l'on veut et ne sont pas rangés par di culté croissante. Barème indicatif :6+4+6+6
Exercice 1 : Espace euclidien Soit
E
l'espace vectoriel des polynômes à coe cients réels, on pose
Z
1
∀P, Q ∈ E, < P, Q >=
P (x)Q(x) dx −1
On admet que
< ·, · >
dé nit un produit scalaire sur
a. Soient les fonctions dé nies par
E.
P0 (X) = 1, P1 (X) = X , montrer que P0 et P1 sont orthogonaux,
calculer leur norme. b. Déterminer un polynôme
P
de degré 2 orthogonal à
P0
et à
P1
et tel que
P (1) = 1.
c. Parmi toutes les fonctions a nes (de la forme h(X) = αX + β ), quelle est celle qui est "la plus 4 proche" de la fonction dé nie par g(X) = X , au sens de la norme associée à < ·, · >. d. Montrer que
∀P, Q ∈ E, < XP, Q >=< P, XQ >.
(Pn )n une suite de polynômes qui sont orthogonaux deux à deux pour le produit scalaire < ·, · > et tels que Pn soit de degré n pour tout n. On rappelle que (P0 , P1 , . . . , Pn ) forme une base du sous espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
e. Soit
(1) Quel est le degré de (2) Montrer que
XPn ?
< XPn , X k >= 0
(3) Montrer qu'il existe des réels
pour tout
an , bn
et
cn
k ≤ n − 2. tel que
XPn = an Pn+1 + bn Pn + cn Pn−1 .
Exercice 2 : Variables aléatoires discrètes On jette un dé, et on s'intéresse au nombre de jets nécessaire pour qu'un 6 apparaisse, on modélise ce nombre à l'aide d'une variable aléatoire a. Quelle loi peut-on choisir pour
N.
N?
b. Déterminer la fonction génératrice de
N.
On pourra utiliser l'expression de la somme d'une
série géométrique. c. Calculer
E(N ).
Exercice 3 : Variables aléatoires à densité Soient
α
un réel positif et
X
une variable aléatoire à densité dont une densité est donnée par
f (x) = a. Représenter b. Déterminer
K(α2 − x2 ) 0
f. K
en fonction de
α.
c. Calculer l'espérance et la variance de
X.
si sinon
x ∈ [−α; α]
29
d. Déterminer la densité de
|X|.
e. Dans cette question on suppose que dantes de même loi que
X,
α = 1. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépen-
déterminer une valeur approchée de
β=P
125 X
! Xn ≥ 10
k=1
Exercice 4 : Chaînes de Markov Une urne contient 3 boules qui peuvent être noires ou blanches, on en tire 2 au hasard. Si elles ont la même couleur, on remet l'une des deux et une blanche dans l'urne, si elles n'ont pas la même couleur on remplace la troisième boule (celle qui est restée dans l'urne) par une boule noire. a. Justi er rapidement que l'on peut modéliser le nombre de boules blanches par une chaîne de Markov
(Xn ).
b. Représenter le graphe de transition et la matrice de transition de cette chaîne de Markov. c. Déterminer deux mesures invariantes diérentes pour cette chaîne de Markov. d. Peut-on appliquer le théorème de Perron Frobenius à cette chaîne de Markov ? On justi era la réponse. e. On suppose dans cette question qu'au départ il n'y a que des boules noires, montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une loi que l'on déterminera. Calculer
lim E(Xn ).
n→∞
Exercices de Mathématiques UE : MS4-I Licence de sciences
2ème
année
Parcours informatique
17 septembre 2008
Alexandre MIZRAHI
2
Programme détaillé du cours a. Complément d'algèbre linéaire (1 semaine) (1) Famille libre. base. (2) Opération élémentaire sur les matrices. (3) Matrice d'un endomorphisme relativement à une base. (4) Algèbre des matrices diagonales. b. Diagonalisation des endomorphismes (1,5 semaine) (1) Valeur propre, vecteur propre. (2) Endomorphisme diagonalisable. (3) Matrice de changement de bases. (4) Polynôme caractéristique. (5) CNS de diagonalisabilité, diagonalisation. c. Espace euclidien (1,5 semaine) (1) Dé nition de produit scalaire, espace euclidien, base orthonormale (bon). (2) Dé nition de matrice orthogonale et lien avec les matrices de passage des bon. (3) Méthode d'orthonormalisation de Schmidt. (4) Projection orthogonale sur un SEV, pythagore. d. Endomorphismes orthogonaux (0,5 semaine) (1) Dé nition (2) Rotations du plan et de l'espace e. Réduction des endomorphismes symétriques (1 semaine) (1) Dé nition des Matrices symétriques. (2) Propriétés élémentaires des matrices symétriques. f. Espace de probabilité (2 semaines) (1) Mesures de probabilités (2) Probabilité conditionnelle, indépendance (3) Dénombrement g. Variables aléatoires discrètes et à densités. (1 semaine) (1) Loi, Fonction de répartition. (2) Variables aléatoires discrètes, dé nition, espérance, variance. (3) Variables aléatoires à densités, dé nition, espérance, variance. h. Lois usuelles. (1 semaine) (1) Variables aléatoires discrètes : bernoulli, binomiale, poisson, géométrique. (2) Variables aléatoires à densité : uniforme, exponentielle, normale, student, khi deux. i. Introduction aux chaînes de Markov. (1 semaine) (1) Graphe et matrice de transition, loi invariante. (2) Théorème de Perron Frobenius, et convergence. j. Convergences des suites de variables aléatoires (1 semaine) (1) Loi des grands nombres (2) Théorème de la limite centrée, approximation centrale k. Statistiques : vraissemblablement supprimé (1 semaine) (1) Estimation ponctuelle et par intervalle de con ance (2) Tests statistiques
3
Compléments d'algèbre linéaire élémentaire
a. Montrer que
− − (→ u ;→ v)
b. La famille c. Notons
→ − − u = (1; 2; 3) et → v = (2; 3; 4) − − (→ u ;→ v ) est libre.
Soient
Exercice 1 :
H
est-elle une base de
deux vecteurs de
R3 .
R3 ?
le sous espace vectoriel engendré par
− − (→ u ;→ v ).
Quelle est sa dimension ?
− − H = {λ→ u + µ→ v ; λ, µ ∈ R} d. Déterminer une équation de
H.
→ − − w = (1; 1; 1), → w appartient-il → − Compléter w en une base de H .
e. Soit f.
g. Quelles sont les coordonnées de
→ − w
a
H?
dans la base
− − (→ u ;→ v )?
Lorsqu'elles sont possibles eectuer les opérations suivantes :
Exercice 2 :
AE; AB; AC; CA; CF ; F C; C −1 ; A−1 ; D−1 ; G−1 . A=
1 2 −2 1 2 0 ; B = 3 4 ; C = −3 3 −1 −2 −1 5 1 0 1 E = 3 ; F = G= 1 0 −5
1 2
0 2 0 ; D= 3 0 1 0 0 2
2 −1 −4 2
Calculer les matrices inverses des matrices suivantes :
Exercice 3 :
3 2 3 5 −1 5 3 2 7 −4 4 4 3 ; B= 8 5 7 ; C= A= ; D= ; 5 4 −3 2 3 3 3 4 −1 4
Soit
Exercice 4 :
1 −2 3 1 , P = 4 1 1 2 −2
on peut montrer que
P −1
4 −2 5 = −9 5 −11 −7 4 −9
a. Résoudre les systèmes :
x − 2y + 3z = 1 4x + y + z = −1 (S) : x + 2y − 2z = 3 b. On suppose de plus que
P
(S 0 ) :
x + 4y + z = 1 −2x + y + 2z = −1 3x + y − 2z = 3
est la matrice de passage d'une base
vecteur de matrice coordonnées
B
à une base
B0 .
Soit
→ − u
le
1 2 3
dans
B,
quelles sont les coordonnées de
dans
B0 ?
c. Soit dans
→ − v
le vecteur de matrice coordonnées
B?
1 2 3
→ − u
dans
B0 ,
quelles sont les coordonnées de
→ − v
4
Exercice 5 :
Soit
− → − → − → B=(i; j; k)
→ − → − → − B 0 = ( i0 ; j 0 ; k 0 )
et
deux bases telles que
→ −0 → − → − i =2i + j → −0 − → − → − → j = i + j − k −0 − → − → − → → k =−i + j + k et
f
l'application linéaire dé nie par
→ − → − → − → − → − → − f (x i + y j + z k ) = (x − y) i + (2y − z) j − (x + y + z) k
a. Déterminer la matrice
M
de
f
dans la base
B.
b. Déterminer la matrice
N
de
f
dans la base
B0 .
c. Quelles sont les relations qui lient les matrices Exercice 6 :
M,
et
N.
f (x, y, z) = x + 2y − z , g(x, y, z) = (2x − y, y − 2x). f et g . Pour chacun de ces 4 SEV on déterminera une base.
Déterminer les noyaux et les images de Exercice 7 :
Soit
f
dé nie par
f (x, y, z) = (2x − y + z, y + x).
a. Déterminer le noyau et l'image de
f.
b. Déterminer une base du noyau de
f
c. Écrire la matrice
M
de
f
puis une base de l'image de
relativement aux bases canoniques :
f.
(1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)
et
(1; 0), (0; 1). Exercice 8 :
Soit
E
l'ensemble des solutions dé nies sur
00
R
de l'équation diérentielle
xy − y + xy = 0. a. Montrer que b. Écrire
E
Exercice 9 :
plan, soit
S
E
est un sous-espace vectoriel.
comme noyau d'un application linéaire. Soient
D0 les droites d'équation 2x − 3y = 0 0 d'axe D parallèlement à D .
D
la symétrie
et
a. Déterminer une base
B0
dans laquelle la matrice de
b. Déterminer la matrice de
S
dans
B0 .
c. Déterminer la matrice de
S
dans
B?
x − 7y = 0
dans une base
B
du
est très simple.
E
l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. On considère 0 l'endomorphisme Φ qui a un polynôme P associe le polynôme P + P . Déterminer la matrice de Φ 2 3 dans la base (1; X; X ; X ). déterminer le noyau et l'image de Φ. Exercice 10 :
Soit
S
et
h l'homothétie de centre 0 et de rapport 5, et p la projection sur le plan d'équation x + 2y + 3z = 0 parallèlement à au vecteur (−1; 1; 0). Déterminer la matrice de h ◦ p dans 3 la base canonique de R . Soit
Exercice 11 :
Determinant Exercice 12 :
Calculer les déterminants suivants :
a a2 ∆1 = 1 2
ab a2 a 1 1 1 ∆2 = b 2 6 ∆3 = a + b c + a b + c b 1 1 ab ac bc
2a 2a abc ∆4 = 2b abc 2b abc 2c 2c
5
Diagonalisation
−3 −2 6 Exercice 13 : Montrer sans utiliser le polynôme caractéristique que la matrice M = −4 −1 6 −2 0 2 admet 1 comme valeur propre et déterminer le sous espace propre associé à 1 : E1 . Montrer que 2 1 n'est pas valeur propre. Le vecteur U = 1 est-il un vecteur propre de M ? 1 Soient
Exercice 14 :
λ
a. Montrer que si
valeur propre de
A
et
B
des matrices carrées de même dimension.
est une valeur propre de
BA,
AB
associé au vecteur propre
on pourra considérer à part le cas ou
U
alors
λ
est une
BU = 0.
b. Montrer ce résultat en utilisant le polynôme caractéristique.
plication de
E
E
Soit
Exercice 15 :
dans
vecteurs propres de
E f.
l'espace de dimension in nie des polynômes à coe cients réels, et f l'ap0 dé nie par ∀P ∈ E, f (P ) = XP − P . Déterminer les valeurs propres et les
Diagonaliser les matrices suivantes :
Exercice 16 :
A=
3 −3 2 −4
D=
−4 −15 2 7
B=
3a + 1 −3a − 3 a + 1 −a − 3
1 4 4 7 8 F = 4 −4 −8 −9
C=
7 −10 4 −7
−3 −2 6 E = −4 −1 6 −2 0 2
−3 −8 −4 G = −5a − 11 −3a − 28 −2a − 14 10a + 24 6a + 62 4a + 31
Exercice 17 :
1 −5 −2 M = −5 1 −2 −2 −2 −2 1) Diagonaliser
M.
2) Donner une interprétation géométrique de la transformation associée à la matrice base
E
dans une
B. Soit
Exercice 18 :
de
M
qui à une suite
E l'espace vectoriel des suites réelles (un )n∈N associe la suite (un+1 )n∈N .
a. Soit la suite dé nie par
un = n.
b. Soit la suite dé nie par
un = 2n .
Quelle est son image par
[dur]
Soit
A
Φ?
Quelle est son image par
c. Déterminer les vecteurs propres de Exercice 19 :
indicée par
une matrice
Φ?
N.
Soit
Φ
l'endomorphisme
Écrire les premiers termes.
Φ?
Écrire les premiers termes.
Puis l'ensemble des valeurs propres de
n×n
Φ.
qui ne contient que des 0 sauf sur la première et la
dernière colonne ainsi que sur la première et la dernière ligne ou il y a des 1. a. Si
n = 2, A
b. Si
n ≥ 3,
est-elle diagonalisable ?
montrer que 0 est une valeur propre de
dimension supérieur à
(X 6= 0)
sont
et que le sous espace propre associé est de
n − 2.
c. Montrer que les seules valeurs non nulles de solutions
A,
λ1 = 1 +
√
2n − 3
et
λ pour lesquelles le √ λ2 = 1 − 2n − 3
système
AX = λX
a des
6
d. En déduire que
A
est diagonalisable.
Soit
E
un espace vectoriel de dimension ni et
Exercice 20 :
E
endomorphisme de
ayant la propriété :
p ◦ p = p.
p
un projecteur, c'est à dire un
Montrer que les seuls valeurs propres que peut
avoir un projecteur sont 1 et 0. Montrer qu'un projecteur est toujours diagonalisable. Pour cela on pourra montrer que tout vecteur s'écrit comme somme d'un vecteur propre associé à 1 et d'un vecteur propre associé à 0.
Espace euclidien
R2
ou
→ − v1 =
−1 2
→ − v2 =
1 −3
Les bases dé nies ci-après de
Exercice 21 :
→ − u1 =
1 2
→ − u2 =
3 1
√1 2 √1 2
!
→ − u3 =
1 → − u4 = 1 −4 1 → − u5 = 1 −4
R3
sont-elles orthogonales ? orthonormales ?
− √12
→ − v3 =
!
√1 2
2 → − v4 = 2 1 3 → − v5 = 1 1
−1 − →= 1 w 4 0 −1 − →= 1 w 5 0
Exercice 22 :
Déterminer une base orthonormale du plan vectoriel d'équation
Exercice 23 :
Déterminer une base orthonormale du plan vectoriel
P
2x − y + 3z = 0.
d'équation
x − y − z = 0.
Déterminer le projeté orthogonal du vecteur distance de
→ − u
à
Exercice 24 :
1 → − u = 3 2
sur le plan vectoriel
P.
En déduire la
P. Appliquer la méthode d'orthonormalisation de Schmidt pour orthonormaliser les
bases dé nies par :
→ − u1 =
1 → − u = 1 1 Soit E l'espace vectoriel R1 ∀P, Q ∈ E , < P, Q >= 0 P (x)Q(x) dx
Exercice 25 :
a. Calculer
3 1
→ − v1 =
1 → − v = 2 3
1 2
1 → − w = −1 3
des polynômes de degré inférieur ou égal à 2. On pose
< X, 1 + X 2 >.
b. Montrer que
< ·, · >
dé ni un produit scalaire sur
E.
c. Appliquer la méthode d'orthonormalisation de Schmidt pour orthonormaliser la base 2 canonique de E : (1, X, X ).
7
[Distance d'un point à une droite] 2 la droite de R passant par le point A = (a, b) et de vecteur directeur
Exercice 26 :
D M0 = (x0 , y0 ) Soit
a.
D
et
H
le projeté orthogonal de
M0
sur
→ − u = (α, β),
D.
est-elle un sous espace vectoriel ?
−−→ → −−−→ − −−→ − − u )| = |Det(HM0 , → u )| = |HM ||→ u |.
b. Montrer que |Det(AM0 ,
c. En déduire que la distance de
M0
à
D
d= d. En déduire que la distance de
M0
est égale à :
|β(x0 − a) − α(y0 − b)| p α2 + β 2
à la droite d'équation
d= E l'espace k=0 P (k)Q(k) Soit
Exercice 27 :
< P, Q >=
ux + vy + w = 0
est :
|ux0 + vy0 + w| √ u2 + v 2
vectoriel des polynômes de degré inférieur à 2. On pose
∀P, Q ∈ E ,
P2
a. Rappeler la dé nition de la base canonique de b. Calculer
< X, X 2 >,
c. Montrer que
< ·, · >
puis
E.
Quelle est la dimension de
E?
< X − 1, X − 1 >. E.
dé ni un produit scalaire sur
d. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de
X2
sur le sous espace vectoriel
des polynômes de degré inférieur ou égal à 1. e. Déterminer une base orthonormale pour
E l'espace f (x)g(x) dx
Exercice 28 :
< f, g >=
R 2π 0
Soit
a. Soient les fonctions b. Montrer que
f
< ·, · >
et
g
< ·, · >.
vectoriel des fonctions continues sur
dé nies par
f (x) = x
et
g(x) = cos x4 , E.
dé ni un produit scalaire sur
[0; 2π],
on pose
calculer
∀f, g ∈ E ,
< f, g >.
Interpréter géométriquement la norme
associée. c. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de la fonction
g
sur le sous espace
vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 1. Interprétation. d. Déterminer pour ce produit scalaire le projeté orthogonal de la fonction vectoriel
Soit
E
M, N ∈ E
c. Montrer que
2 × 2, A =
l'espace vectoriel des matrices
a. Quelle est la dimension de b. Pour
sur le sous espace
H = {a0 + a1 cos +b1 sin, a0 , a1 , a2 ∈ R}.
Exercice 29 :
f
on pose
< ·; · >
3 −3 2 −4
et
B=
E?
< M ; N >= tr (tM N ).
est un produit scalaire sur
Calculer
< A; B >.
E.
d. Quelle est la norme associée ? e. Déterminer l'ensemble des vecteur orthogonaux à f. Déterminer le projeté orthogonal de
A
I.
sur le sous espace vectoriel
S
des matrices
symétriques. Exercice 30 :
Soit
E
l'espace vectoriel des fonctions continues sur
Z ∀f, g ∈ E, < f, g >=
π 2
f (x)g(x) dx 0
On admet que
< ·, · >
dé nit un produit scalaire sur
E.
[0, π2 ],
on pose
1 −1 −2 0
.
8
a. Soient les fonctions dé nies par
f0 (x) = 1, f1 (x) = x
et
g(x) = sin(x),
calculer
< f0 , g >
et
< f1 , g >. H = {h ∈ E | ∃m, p ∈ R, ∀x ∈ [0; 1], h(x) = mx + p} l'espace vectoriel a nes, déterminer une base de H , en déduire que H est de dimension 2.
b. Soit
c. Déterminer le projeté orthogonal
G
de la fonction
d. De toutes les fonctions linéaires (de la forme proche" de
g
sur
des fonctions
H.
v(x) = αx),
quelle est celle qui est "la plus
g.
Matrices orthogonales Exercice 31 :
a. Montrer que les valeurs propres réelles d'une matrice orthogonale appartiennent à
±1.
b. Montrer que le déterminant d'une matrice orthogonale est égal à Exercice 32 :
Soit
M
2 × 2.
une matrice orthogonale
a. On suppose que le déterminant de
M
est égal à -1.
(1) Montrer que le polynôme caractéristique de (2) Montrer que
M
{1; −1}.
M
possède deux racines réelles diérentes.
est diagonalisable.
(3) Montrer que deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres diérentes sont orthogonaux.
(4) Montrer qu'il existe
T
orthogonale tels que
b. On suppose que le déterminant de
M
M =P
1 0 0 −1
t
P.
est égal à 1. Montrer qu'il existe
cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ)
M=
θ
tel que :
c. Donner une interprétation géométrique de ce qui précède. Exercice 33 :
Un invariant important la trace.
M une matrice note tr(M ).
Soit
carrée on appelle trace de
M
la somme des éléments diagonaux de
M.
On la
a. Calculer la trace des matrice suivantes :
−6
A=
6
−12 11
!
8 −4
B=
b. Montrer que pour deux matrices carrées
A
!
9 −4 et
B
3 −3 3
2 −1 0 C= 1 −2 3
on a tr(AB)
= tr(BA).
Exercice 34 :
Soit
E
l'ensemble des matrice
a. Montrer que
E
3×3
de la forme
α M = 0 0
0 0
N
avec
N=
a c b d
est un sous espace vectoriel dont on déterminera la dimension.
b. Montrer que le produit de deux matrices de c. Donner une CNS sur
N
déterminer son inverse.
et
α
E
appartient encore à
pour qu'une matrice
M
E.
de cette forme soit inversible et
.
9
d. Calculer lorsqu'il est dé ni le produit :
Exercice 35 :
Soit
f
α0 0 0
0 0
α 0 0
N
E.
N0
On suppose que
M
E
−1
0 0
α 0 0
N
(suite des exercices 31 : 32 :33 : et 34 :pour les matrices
un endomorphisme d'un espace euclidien
bon de
0 0
de dimension 3 et
M
3 × 3)
la matrice de
f
dans une
est orthogonale.
a. Montrer que contrairement au cas de l'exercice 32 : la matrice
M
a une valeur propre réelle,
on pourra étudier le degré de son polynôme caractéristique. En déduire que soit 1 soit -1 est
− M , notons ε une valeur propre de f et → u un → − → − → − ⊥ F = H = { v ∈ E; < u , v >= 0} l'orthogonal
une valeur propre de
vecteur propre associé. On
note
de
− H = R→ u
et
b. Si
M
est diagonalisable dans
c. Si
M
n'est pas diagonalisable dans
(1) Montrer que si
quelles sont les diagonales possibles.
R: − f (→ v ) ∈ H.
→ − v ∈ H alors → − − v ∈ F alors f (→ v ) ∈ F.
− − f (→ u +→ v ). → − → − → − → − → − Soit u2 , u3 une bon de F . Montrer que la matrice de f dans la base ( u , u2 , u3 ) appartient à E de l'exercice 34 :, montrer que la matrice N correspondante est orthogonale.
(2) Montrer que si (3)
R
(4) Montrer que si
N
d. Classer les matrices orthogonales
A
On pourra calculer la norme de
est diagonalisable alors
(5) En déduire que dans la base
e. Soit
H.
M
l'est aussi.
− − − (→ u ,→ u2 , → u3 ) la matrice de f est 0 0 0 cos(θ) − sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 3 × 3,
de la forme
interprétation géométrique.
la matrice d'une rotation, déterminer l'angle de cette rotation, expliquer comment l'on
pourrait trouver l'axe de la rotation.
A=
√1 3 √1 3 √1 3
− √12 √1 2
0
√1 6 √1 6 −2 √ 6
Réduction des matrices symétriques
Exercice 36 :
Soit la matrice
a.
M
est-elle symétrique ?
b.
M
est-elle orthogonale ?
c.
M
est-elle diagonalisable ?
d. Déterminer une matrice
P
M=
2
−2 −1
1 −2 −1 −2 . 3 −1 −2 2
orthogonale, et une matrice
D
diagonale telle que
e. Donner une interprétation géométrique à l'application linéaire de 3 est M dans la base canonique de R .
R3
dans
M = P DP −1 .
R3 ,
dont la matrice
10
5 une matrice symétrique telle que S = I , montrer que S = I . 4 2 une matrice symétrique telle que S = I , montrer que S = I , a-t-on toujours S
Exercice 37 :
Soit
S
Exercice 38 :
Soit
A
Soit
S
=I?
On pourra avec intérêt relire les énoncés des exercices 29 : et 33 :
une matrice carré
n × n.
a. Montrer que la matrice
S = tAA
est diagonalisable. On note
λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λn
ses valeurs
propres. b. Montrer que tr(S)
=
n X k=1
c. Soit
X1
X
λk =
A2i,j .
1≤i,j≤n
un vecteur propre associé à
λ1 ,
en calculant
t
X1 SX1 ,
montrer que
λ1 ≥ 0.
d. En considérant une b.o.n. de vecteurs propres, montrer que pour toute matrice colonne
n×1
X,
on a :
p p λ1 kXk ≤ kAXk ≤ λn kXk e. Montrer qu'il existe des matrices colonnes non nulle pour lesquelles on a égalité. Exercice 39 :
Soit
Γ
la conique d'équation
√ 5x2 + 2 3xy + 7y 2 = 1 dans la base canonique. Déterminer une base orthonormée dans laquelle l'équation de
Exercice 40 :
Même question avec la conique d'équation
Exercice 41 :
Soit
S
Γ
est réduite.
x2 + 2xy − y 2 + x − 2y = 1.
une matrice symétrique.
a. En supposant que toutes les valeurs propres de
T
montrer qu'il existe une matrice symétrique b. Appliquer ce qui précède à la matrice
S1 =
S
sont positives, et en diagonalisant T 2 = S.
S
telle que
10 −6 −6 10
.
Exercice 42 :
a. Soit
S
une matrice symétrique à deux lignes, pour
b. Soit
S
une matrice symétrique à
des coe cients de c. Soit
S
X
et ceux de
X=
n lignes et X une matrice S la quantité : t XSX .
x1 x2
, calculer
colonne à
une matrice symétrique telle que pour toute matrice colonne
t
Montrer que toutes les valeurs propres de
n
X
t
XSX .
lignes, calculer à l'aide
on ait :
XSX ≥ 0
S
sont positives.
d. La réciproque est-elle vrai ? e. En écrivant la somme suivante comme une somme de carrées montrer que :
En déduire que les
∀x, y, z ∈ R, 6x2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy − 2yz ≥ 0 6 1 0 2 −1 sont positives. valeurs propres de S2 = 1 0 −1 2
f. En vous inspirant de la méthode précédente montrer que les valeurs propres de la matrice
3 2 0 T = 2 6 −3 0 −3 2
sont positives.
11
Représentation plane de Mohr d'une matrice symétrique.
Exercice 43 :
Soit
M
avec
A(a; b)
la matrice et
M=
a b b c
avec
det(M ) 6= 0
et
a > c.
On note
C
le cercle de diamètre
AB
B(c; −b).
a. Déterminer l'équation du cercle
C.
b. Montrer que les deux points d'intersections de propres de
M.
On note
L1
C
(Ox) ont pour abscisse abscisse et L2 l'autre.
et de l'axe
celui qui a la plus grande
les valeurs
− σ1 la plus grande valeur propre de M et → u un vecteur propre associé. Déterminer → − − \ tan((Ox) u ) à l'aide de a, b, c, on pourra commencer par déterminer un vecteur → u possible. −−→ \ − \→ Montrer que tan(Ox, L2 A) = tan((Ox), u ) interprétation pour trouver graphiquement l'angle − \→ ((Ox), u ).
c. Soit
d.
Espace de probabilité Exercice 44 :
4 joueurs jouent au poker, avec un jeu de 52 cartes. On distribue au hasard, une
main de 5 cartes à chaque joueur. a. Quelle est le nombre de mains diérentes qu'un joueur peut recevoir ? b. Quelle est la probabilité qu'un joueur donné reçoive un carré (4 cartes de même hauteur ?). c. Quelle est la probabilité pour qu'un joueur donné reçoive une "quinte oche" ( 5 cartes de même couleurs consécutives, sachant qu'il y a 4 couleurs). d. Quelle est la probabilité qu'un joueur reçoive un full (par exemple 2 valets et 3 as). e. Quelle est la probabilité qu'un joueur reçoive un brelan (par exemple 3 valets, un as et un sept). Exercice 45 :
On dispose de 10 billes que l'on veut aligner, combien peut-on former de gures
diérentes, si les billes de mêmes couleurs ne sont pas discernables et si : a. les 10 billes sont de couleurs diérentes. b. si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires. c. si il y a 3 billes rouges, 4 billes vertes et 3 noires, mais que les rouges doivent être groupées. Exercice 46 :
que la somme de leur carré soit et
y
x et y au hasard dans l'intervalle [0 ;1] quelle est la probabilité inférieur à 1. On pourra faire un schéma et représenter x en abscisse
On choisit deux points
en ordonnée.
Exercice 47 :
On marque n points sur un cercle, on en choisit deux au hasard, quelle est la
probabilité qu'ils soient voisins ? Exercice 48 :
On jette 3 fois un dé, quelle est la probabilité qu'au moins un trois sorte ? Et si on
le jette 6 fois ? 12 fois ? Exercice 49 :
Combien de triangles diérents peut-on constituer en prenant leur sommet parmi
10 points (Ces points n'étant pas alignés 3 par 3). Exercice 50 :
Si une personne sur 10 000 est centenaire, calculer la probabilité qu'il y ait au moins
un centenaire dans un échantillon de 100 personnes, de 1000 personnes, de 10 000 personnes.
Exercice 51 :
[dur]
Déterminer le nombre de solutions dans
N3
du système
x + y + z = 2n x≤y+z y ≤z+x z ≤x+y
12
Montrer que
Exercice 52 :
n p+1
=
n−1 X m m=p
p
.
X n 2 2n n = , on n m m=0 (0 ;0) au point (n; n).
Montrer que
Exercice 53 :
sants" allant dans
N2
du point
Une urne contient
Exercice 54 :
d'échantillons contenant
k
a. Montrer que
Sn0 =
n boules noires, combien y a-t-il n − k boules blanches. En déduire la formule suivante n 2 X n 2n = k n k=0
boules blanches et
boules noires et
Snp =
Pn
k=1 k n, calculer Sn1 .
On pose
Exercice 55 :
n
pourra calculer le nombre de "chemins crois-
p
b. En calculant de deux manières diérentes la quantité
∗
p
∀p ∈ N , (N + 1) = 1 +
PN
n=1 (n
Pn
k=1
k2,
Pn
k=1
+ 1)p − np
p−1 X p k=0
c. En déduire
:
k
montrer que :
k SN
k3.
(1−x)n −1 en calculant son intégrale de 0 à 1 de deux façons diérentes : x une fois à l'aide de la formule du binome de Newton et une fois à l'aide d'un changement de
Exercice 56 :
Soit
φ(x) =
variable, montrer que
n X n (−1)k k=1
Exercice 57 :
k
k
=−
n X 1 k=1
k
[Codes de correction d'erreur : code de répétition]
Chaque bit est envoyés 3 fois de suite chacun avec une probabilité
p
d'être mal transmis. Lorsque
l'on décode on ne reprend que le bit le plus fréquent (3 sur 3 ou 2 sur 3). Dans un tel paquet de 3 bits (c.a.d. 3 répétitions du bit de signal). On suppose que les erreurs sont indépendantes entre elles. a. Quelle est la probabilité que 0,1,2 ou 3 de ces 3 bits soient changés lors de la transmission ? b. Sachant qu'il y a au moins une erreur, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée ? c. Sachant qu'il y a au moins une erreur, quelle est la probabilité que l'erreur soit transmise sans être détectée ? d. Coder le message suivant : 01110 e. Décoder le message suivant : 001001111100010110011 f. Quel est le taux de transmission d'un tel algorithme. (Le taux de transmission est le rapport entre la longueur du message initial et la longueur du message après codage. Un excellent taux de transmission est donc proche de 1) ? Exercice 58 :
[Codes de correction d'erreur : Code de Hamming]
(b1 , b2 , b3 , b4 ), à la suite des 4 bits on envoie les 3 bits de contrôles b5 = b1 + b2 + b3 , b6 = b2 + b3 + b4 , b7 = b3 + b4 + b1 . Les 7 bits sont envoyés chacun avec probabilité p d'être mal transmis, on suppose que les erreurs sont indépendantes entres elles.
On cherche à envoyer 4 bits suivants une
Lorsque l'on décode on véri e que les relations sont bien véri ées.
13
a. Quel est le taux de transmission d'un tel algorithme. (Le taux de transmission est le rapport entre la longueur du message initial et la longueur du message après codage. Un excellent taux de transmission est donc proche de 1) ? b. Coder 0101, puis 1110. c. Si il y a une erreur sur
b1 ,
alors les bits de contrôle
(5)
et
(7)
sont faux, expliquer pourquoi.
d. Donner les autre relations équivalentes, pour une erreur sur chacun des 7 bits, expliquer comment on décode. e. Décoder 1000101 puis 1011001. Décoder 1010100 puis 1110101. f. Si il y a une seule erreur lors de la transmission, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée et corrigée ? g. Si il y a exactement 2 erreurs lors de la transmission, quelle est la probabilité que l'erreur de transmission soit détectée ? h. Si l'on suppose que l'on ne corrige bien que les cas ou il n'y a qu'une erreur, quelle est la probabilité que les 4 bits de départ soit bien transmis ? Exercice 59 :
Montrer que les
On note
pk
log
k = 1, 2, ...., 9 on note pk = log(1 + k1 ). Comparer p1 et p9 . Cette loi est appelée loi de
le logarithme décimal, et pour
dé nissent une loi de probabilité.
Benford, si vous prenez le premier chire de la valeurs des actions en euros, en dollars ou en yen du new york stock exchange ces chires suivent une loi très proche d'une loi de Benford.... Bien sur le premier chire des déclarations d'impôt, des prix des articles d'un supermarché, etc... suivent cette loi.
Conditionnement et indépendance Exercice 60 :
On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités
que l'on obtienne : a. Un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6. b. Un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6. c. Un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6. d. Au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10. Exercice 61 :
a)
A ={la
A, B et C les évènements suivants : B ={On obtient 4 au premier jet}, C ={la
On jette 2 fois un même dé. Soient
sommes des points obtenus vaut 6},
sommes
des points vaut 7}. b)
A ={le
1 er jet est impair},
B ={le
C ={la somme des points est impaire}. C sont indépendants 2 à 2, puis s'ils sont
2 ème jet est impair},
Dans chacun des cas a) et b) dire si les évènements
A, B
et
indépendants ("dans leur ensemble"). Exercice 62 :
Lors d'une étude sur les médecins américains, on posait à des enseignants et des
Étant donné une maladie dont la prévalence est de 0,1% et pour laquelle il existe un test de dépistage donnant 5% de faux positifs (c'est à dire la proportion de positif parmi les sains), quel est le risque qu'une personne dont le test est positif soit eectivement malade Il n'y a que 12% des personnes interrogées qui ont répondu correctement à la étudiants en médecine à Harvard la question :
question. Quelle est cette réponse ? Reformuler la question sans utiliser de pourcentage, mais en prenant l'exemple d'une population d'une million de personnes. On fait l'hypoyhèse que dans une famille les sexes des enfants sont indépendants 1 1 d'être un garçon et la probabilité d'être les uns des autres et que chaque enfant a la probabilité 2 2 une lle. Exercice 63 :
14
a. Une famille a deux enfants dont l'un au moins est un garçon . Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ? b. Une famille a deux enfants. L'aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ? c. Les nouveaux voisins ont deux enfants, je n'en ai vu qu'un, c'était un petit garçon ? quelle est la probabilité que les nouveaux voisins aient deux garçons ? Une machine automatique comprend trois dispositifs
Exercice 64 :
D1 , D2
D3 , D1 et D2 sont D3 n'a pas de de D1 , D2 et D3 , on
et
interchangeables et si l'un des deux et défectueux, l'autre prend le relais. Par contre remplaçant en cas de panne. On note
p1 , p2
et
p3
les probabilités de pannes
suppose que les pannes sont indépendantes les unes des autres. Calculer la probabilité que la machine tombe en panne. Exercice 65 :
[dur]
On note
pn
la probabilité que sur une suite de
n
piles ou faces, il y ait à un
moment 3 piles de suite ou trois face de suite, montrer en conditionnant sur les trois premiers résultats que l'on a la formule de récurrence suivante :
1 1 1 + pn−1 + pn−2 4 2 4
pn = Donner une valeur approchée de
p10 .
Variables aléatoires discrètes Exercice 66 :
Une urne contient 50 boules dont 10 blanches, on tire un lot de 3 boules, et on veut
modéliser le nombre de blanches dans ce lot, à l'aide d'une variable aléatoire raisonnable pour
H.
H,
déterminer une loi
Déterminer son espérance. Comparer cette espérance avec celle que l'on aurait
trouvée si on avait tiré les trois boules une à une avec remise dans l'urne après chaque tirage. Exercice 67 :
max(X; Y ).
On jette deux dés , on note
Déterminer la loi de
Exercice 68 :
Z,
X
le résultat du 1er et
Y
le résultat du 2ème.
Z =
son espérance et sa variance.
On suppose que le nombre d'appels téléphoniques arrivant à un standard pendant k (P (N = k) = e−20 20k! ).
un intervalle d'une heure suit une loi de Poisson de paramètre 20 a. Calculer le nombre moyen d'appels reçus en une heure.
b. Calculer la probabilité que le standard reçoive moins de 5 appels en une heure. Exercice 69 :
Soient
b, r ∈ N∗
et
c∈N
. Une urne contient
b
boules blanches et
r
boules rouges.
On eectue des tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l'urne avec en plus
c
boules de la même couleur. On note
Xn
la variable aléatoire qui prend la
valeur 1 si la boule obtenue au nième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera
p= a. Déterminer la loi du couple
(X1 , X2 ).
b. Trouver les lois conditionnelles de c. Déterminer la loi de la variable d. Déterminer la loi de
X3
Xn+1
X3
q=
b b+r
En déduire la loi de sachant
X2
et de
X2
X2
la comparer à celle de
sachant
X1 .
S 2 = X1 + X2 .
sachant que
e. Déduire du 4) que la loi de f. Exprimer la loi de
X1
r b+r
S2 = k
pour
k ∈ N.
est la même que celle de
à l'aide de
X1 .
E(Sn ).
g. Montrer que toutes les variables aléatoires
Xn
ont même loi de probabilité.
X1 .
15
Exercice 70 :
On dit qu'une variable aléatoire
X
a la propriété de non vieillissement si
∀k, l P (X ≥ k + l|X ≥ l) = P (X ≥ k) a. Si
X
représente l'instant ou un certain événement se passe, justi er le nom de la propriété.
b. Montrer que la loi géométrique (P (X c. Montrer que la seule loi sur
N
= k) = p(1 − p)k−1 )
ayant la propriété de non vieillissement est la loi géométrique,
on pourra pour cela montrer que la suite Exercice 71 :
Soient
p ∈]0; 1[ ; X
Rk = P (X ≥ k)
Y
est une suite géométrique.
une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre
P (X = k) = e−λ et
a la propriété de non vieillissement.
λ
λk k!
telle que
n k P (Y = k|X = n) = p (1 − p)n−k k Déterminer la loi de Exercice 72 :
Y.
Un premier joueur lance un dé rouge, un deuxième joueur lance deux dés verts : Si
le dé rouge a une valeur supérieur à la somme des verts le deuxième joueur verse 1 euro au premier, si cette valeur est égal à la somme des verts il lui verse 11 euros, dans les autres cas c'est le premier joueur qui verse 1 euro au deuxième. a. Modéliser les gains algébriques du premier joueur. b. Quelle est la probabilité que le joueur 1 gagne. c. Quel est le "gain moyen" du premier joueur. d. Vaut-il mieux être le joueur 1 ou le joueur 2. Exercice 73 :
Une urne contient
a
boules blanches et
b
noires, on tire sans remise
on dit que
X
suit une loi hypergéométrique de paramètre
(n, a, b)
ou
a. Montrer que l'esperance d'une loi hypergéométrique de paramètre
boules, et on
X . Déterminer n ≤ a + b.
modélise le nombre de boules blanches obtenues par une variable aléatoire
X,
n
(n, a, b)
la loi de
est
an a+b b. On note
Xi
la variable aléatoire valant 1 si la ième boule blanche a été tirée, 0 sinon,
déterminer la loi de
Xi ,
retrouver le résultat de la question précédente.
Variables aléatoires à densité Exercice 74 :
Soit
X
une variable aléatoire de densité
fX (t) = a. Représenter la densité de b. Déterminer
t 0
si
t ∈]0, α]
X.
α. θ
tel que
P (X > θ) =
e. Calculer la fonction de répartition densité
fY .
avec
sinon
c. Calculer et représenter la fonction de répartition de d. Déterminer
fX
X.
1 . 2
FY
de la variable aléatoire
Y = 2 ∗ X − 1,
en déduire sa
16
X
Soit
Exercice 75 :
fX (t) = Kt2 a. Représenter la densité de
K
b. Déterminer
fX
une variable aléatoire de densité
t ∈ [−α; α],
si
:
0
sinon
X.
en fonction de
α.
c. Déterminer puis représenter la fonction de répartition de d. Calculer
P (X >
X
Soit
Exercice 76 :
α ) puis 2
:
FX .
E(X). fX
une variable aléatoire de densité
1+t K fX (t) = 0 a. Représenter la densité de
avec
t ∈ [−1; 0] t ∈]0, 2]
si si sinon
X.
K.
b. Déterminer
c. Calculer et représenter la fonction de répartition de d. Calculer
X
P (X > 21 )
puis
X.
E(X).
e. Calculer la fonction de répartition
FY
de la variable aléatoire
Y = X 2,
en déduire sa densité
fY . f. Représenter les deux fonctions g. Calculer
E(Y )
Exercice 77 :
fY
et
FY .
d'une part à l'aide de
fY
d'autre part à l'aide de
fX .
La densité de probabilité
fX
d'une variable aléatoire
X
fX (t) =
c.
c. Montrer que pour tout d. Calculer
P (X >
e. Montrer que f. Déterminer
c 1 + t2
fX .
a. Représenter b. Déterminer
est donnée par
X
h
√
α ∈ R, P (X ≥ α) = P (X ≤ −α).
3).
ne possède pas d'espérance.
tel que
P (X < h) = 0, 1.
On considère deux variables aléatoires exponentielles indépendantes X1 et X2 de −a t paramètres a1 et a2 , fX1 (t) = a1 e 1 si t > 0, 0 sinon . On pose Y = min(X1 ; X2 ). On note Exercice 78 :
FX1 , FX2
et
FY
a. Calculer
leur fonction de répartition.
P (Y ≥ t)
b. Déterminer
en fonction de
FX1
de
Y,
Soit
X
a. Calculer
Soit
Y.
une V.A. uniforme sur [-1,2] et
en déduire sa densité, calculer
Exercice 80 :
FX2 .
FY
c. Calculer la densité, et l'espérance de Exercice 79 :
et
X
Y = X 2 , déterminer la fonction de répartition
P (X ≤ Y ).
une V.A. Gaussienne de paramètres
(3; 4)
P (X < 4) ; P (X < 1) ; P (X > 2) ; P (|X| < 4) ; P (|X| < 4|X > 2).
b. Déterminer
α
le plus grand possible tel que
c. Quelle est la loi de
X−1 . 3
P (X − 2 > α) > 10−2 .
17
L'éclairage d'une commune est assurée par 2000 lampes dont la durée de vie
Exercice 81 :
moyenne est 10000 heures. Cette durée de vie suit une distribution normale d'écart type
σ = 2000.
a. Quel est le nombre de lampes hors d'usage au bout de 5000 H ? de 7500 H ? de 15000 H ? b. Au bout de combien d'heure 5% sont hors d'usage ? c. D'autres ampoules ont une durée de vie qui suit une loi
N (10500; 30002 ).
Quelles ampoules
faut-il choisir si l'on veut : (1) que la durée de vie moyenne soit maximale. (2) que la durée durant laquelle 95% des ampoules fonctionnent soit maximale. Les notes d'un contrôle de probabilité suivent une loi normale de paramètre
Exercice 82 :
(8, 5; 22 ). a. Quelle est la proportion d'étudiants ayant la moyenne. b. On veut améliorer les notes à l'aide d'un transformation a ne
Y = aX + b.
Déterminer
a, b
pour que 50% des étudiants aient la moyenne et 75% ait une note supérieur à 8. c. Comment peut-on faire pour garder la même moyenne et avoir 80% des étudiants entre 5 et 15. Si
Exercice 83 :
paramètres que
suit une loi normale on dit que
X = eZ
suit une loi log-normale, de mêmes
Z.
a. Déterminer b. calculer
Z
E(X)
et var (X) en fonction de
P (2 < X < 4)
sachant que
E(X) = 2
c. On suppose que la distribution des revenus généralisée c'est à dire
R : (a; m; σ)
E(Z)
R = a + X (X
et var Z .
et var X
R
= 2.
d'une population suit une loi log-normale
suivant une loi log normale), calculer les paramètres de
sachant que la moitié gagne moins de 1100 euros , 10% gagne plus de 2000 euros
et 10% gagne moins de 200 euros. Exercice 84 :
X une variable aléatoire de loi exponentielle de X , puis déterminer son espérance.
Soit
de la partie entière
de paramètre 1. Déterminer la loi
Couples de variables aléatoires Exercice 85 :
Une urne contient
N
jetons numérotés de 1 à
au hasard, successivement et sans remise. On appelle
Xi
N.
On tire dans cette urne p jetons
la V.A. qui au cours d'une succession de
tirages modélise le numéro du jeton extrait au tirage de rang i. a. Déterminer la loi de probabilité de b. Les variables aléatoires c. On pose
Xi
et
Xj
Xi .
sont-elles indépendantes ?
S = X1 + X2 + ... + Xp .
(1) Calculer
E(Xi )
puis
E(S).
(2) Calculer var (Xi ). (3) Calculer (4) Pour Exercice 86 :
P (Xi = k, Xj = k 0 ),
n = 2, Soit
puis cov(Xi , Xj ).
calculer var(S).
(X; Y )
un couple de variables aléatoires de loi
− 1 f (x; y) = e 2πσ1 σ2 a. Déterminer les lois marginales de
X
et
Y.
(x−µ1 )2 (y−µ2 )2 + 2 2 2σ1 2σ2
18
b. Montrer que
X
et
Y
c. Déterminer la loi de Exercice 87 :
x ∈ [0; 1]
et
1. Soit
y ∈ [0; x], 0
sont indépendantes ?
X +Y.
(X; Y )
un couple de variables aléatoires de densité
a. Déterminer la fonction de répartition de b. Calculer
si
X
:
FX ,
en déduire une densité de
X.
E(X).
c. Même question pour
Y.
d. Calculer
P (X < 12 ).
e. Calculer
P (X < 12 |Y > 12 ). X
f. Calculer
P (X + Y > 1).
X1 , ..., Xn λi (λi > 0, i = 1, ...n).
Exercice 88 :
respectifs
f (x; y) = 8xy
sinon.
Soient
et
Y
sont-elles indépendantes ?
des v.a. indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètres
a. Calculer la fonction génératrice de b. Quelle est la loi de c. On suppose que Exercice 89 :
Soit
Sn = X1 + ... + Xn .
Sn .
λ1 = λ2 = λ, (X, Y )
déterminer la loi de
X1 + X 2 ,
puis de
X1 + X 1 .
un couple de v.a. suivant la loi uniforme sur le disque de centre
O
et
de rayon 1. a. Quelle est la densité du couple b. Quelles sont les lois de c. Montrer que
X
et
Y
d. Déterminer la loi de Exercice 90 :
Soit
X
et de
(X, Y ) ? Y
?
ne sont pas indépendantes ?
X +Y.
(X, Y )
un couple de variable aléatoire de densité :
f (x, y) = α(x + y) a. Déterminer
si
0 < x, y < 1
sinon0
α.
b. Déterminer la loi de
X
et celle de
Y.
c. Montrer que les variables aléatoires d. Déterminer la loi de
X
et
Y
ne sont pas indépendantes.
X +Y.
Convergence des suites de variables aléatoires Exercice 91 :
1. On jette 10 pièces, non truquées, soit
X
le nombre de pile, déterminer la loi de
X. Tracer la fonction de répartition de
X
puis comparer là à la fonction de répartition de l'approximation
centrale. Exercice 92 :
Dans une société, les employés d'un bâtiment A ont souvent besoin d'appeler au
téléphone un bâtiment B. Le bâtiment A contient 200 employés et l'on constate que chacun d'entre eux veut téléphoner en moyenne 3mn par heure au bâtiment B. Quel nombre de lignes, minimal k faut-il établir entre les 2 bâtiments pour qu'un employé de A, désirant téléphoner en B, ait une probabilité inférieur à 1% que toutes les lignes soient occupées. Exercice 93 :
On possède une réserve de 50 ampoules, on suppose que la durée de vie d'une λ = 10−3 h−1 . Si l'on
ampoule électrique est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre
19
remplace une ampoule dès qu'elle " claque ". Quelle est la probabilité qu'au bout de 45 000 heures on se retrouve dans le noir ? Exercice 94 :
Soit
(Xn )
une suite de variables aléatoires exponentielles de paramètre
n,
montrer
que cette suite converge en probabilité vers la variable aléatoire nulle. Exercice 95 :
b. c. d. e.
(Un )
une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même
Mn = max(U1 , . . . , Un ) et Xn = n(1 − Mn ). Déterminer la fonction de répartition de Mn . Étudier la convergence en loi de la suite (Mn ). Comment faut-il choisir n0 pour que P (Mn0 ≥ 0, 99) ≥ 95% ? Déterminer la fonction de répartition de Xn . Étudier la convergence en loi de la suite (Xn ).
loi uniforme sur a.
Soit
[0; 1].
On note
Démontrer la formule de Bienaymé Tchebychev pour une variable aléatoire à 2 densité de moyenne m et de variance σ : Exercice 96 :
∀ > 0, P (|X − m| > ) ≤
σ2 2
On pourra partir de la dé nition de la variance et l'écrire à l'aide d'une intégrale puis découper cette intégrale en trois, suivant que
x>m+
ou
x−m<m−
ou sinon.
Exercice 97 :
Soit
(Xn )
une suite de variable aléatoire telle que
∀n ∈ N∗
:
P (Xn = −n) = 2n1 2 P (Xn = n) = 2n1 2 P (Xn = 0) = 1 − n12 a. Calculer l'espérance de b. Calculer la variance de
Xn , Xn .
on la note
m.
(Xn ). réels E(|Xn − m|) .
c. Étudier la convergence en probabilité de d. Étudier la convergence de la suite de Exercice 98 :
On considère une suite
Bernoulli de paramètre
p
(Xn )
de variables aléatoires indépendantes de même loi de
et on pose :
Yn = Xn−1 PnXn 1 Zn = n k=1 Yk a. Déterminer la loi de
Yk
b. Calculer l'espérance de
d. e. f.
Zn .
Yk+1 ne sont pas indépendantes ? Montrer que et Yk+m sont indépendantes lorsque m ≥ 1. Calculer la variance de Zn en fonction de n et p. Étudier la convergence en loi de la suite (Zn ).
c. Montrer que
Yk Yk
déterminer son espérance et sa variance.
et
(Xn ) une suite de variables aléatoires à valeurs dans N de fonctions génératrices GXn , telle que ∀x ∈] − 1; 1[ (GXn (x)) converge vers GX (x), GX étant la fonction génératrice d'une variable aléatoire X . Montrer qu'alors ∀k ∈ N, limn→∞ P (Xn = k) = P (X = k). Exercice 99 :
Exercice 100 :
Soit
Suite de l'exercice 57 :
On modélise la bonne transmission du ième bit à transmettre (et non le ième bit du message codé) à l'aide d'une variable aléatoire
Xi
valant 1 si ce ième bit après décodage est erroné et 0 si il
correspond bien au bit avant encodage. On suppose que
p = 1/1000.
20
a. Montrer que la loi de
Xi
3.10−6 .
suit une loi de Bernoulli de paramètre proche de
b. On veut transmettre 10Mb d'information, quel est le nombre moyen de bits erroné après décodage. c. Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 100 bits faux. Suite de l'exercice 58 :
Exercice 101 :
On décompose notre message de
n
bits en
n/4
blocs de 4 bits. On modélise la bonne transmission
du ième blocs à transmettre (et non le ième bit du message codé) à l'aide d'une variable aléatoire
Yi
valant 1 si ce ième bloc après décodage est erroné et 0 si il correspond bien au bloc avant
p = 1/1000.
transmission. On suppose que a. Montrer que la loi de
Yi
suit une loi de Bernoulli de paramètre proche de
2.10−5 .
b. On veut transmettre 10Mb d'information, quel est le nombre moyen de bits erroné après décodage. c. Quelle est la probabilité qu'il y ait plus de 100 bits faux.
Chaînes de Markov Soit
Exercice 102 :
transition
Π
(Xn )n
une chaîne de Markov à valeurs dans
:
1 1 1 Π= 0 2 0 On suppose de plus que
1 1 1 0
[−1; 0; 1; 2],
de matrice de
0 0 1 1
0 0 0 1
P (X0 = −1) = P (X0 = 0) = P (X0 = 1) =
1 . 6
a. Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov. b. Quelle est la loi de
X3 .
c. Montrer qu'il existe une unique mesure invariante et la déterminer. d. Déterminer :
lim P (Xn = k)
n→∞ e. Calculer : Exercice 103 :
E(X0 ), E(X1 )
et
limn E(Xn ).
Une urne contient
N
boules blanches. En une étape on tire une boule et on la
remplace par une autre boule (blanche avec la probabilité On veut modéliser le nombre de boules blanches après
n
p
q = 1 − p). aléatoires Xn .
et noire avec la probabilité
étapes, à l'aide de variables
a. Pourquoi est-il raisonnable de choisir une chaîne de Markov pour modéliser ce problème. b. Représenter le graphe de transition. c. Comment choisir la matrice de transition de
(Xn ).
d. Montrer qu'il existe une unique mesure invariante e. Calculer la limite de f. En déduire que
(Xn )
P (Xn = k)
quand
µ,
montrer que
µk =
N k
pk (1 − p)N −k .
n → ∞.
converge en loi vers une loi binomiale.
1 et considérons une chaîne de Markov (X0 , X1 , ...Xn ) telle que 2 chacune des variables aléatoires Xi prend ses valeurs dans {1, 2, 3} et telle que sa matrice de
Exercice 104 :
Soit
0≤p≤
transition soit donnée par
Π=
1 2
−p 1 2
p
1 2 1 2
p 0 0 1−p
21
a. Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov.
Π.
b. Trouver une loi stationnaire pour la matrice
Pour quelles valeurs de
p,
cette loi est-elle
unique ? c. On suppose que
P (X0 = 1) = 0,
(1) Calculer l'espérance (2) Selon les valeurs de Soit
Exercice 105 :
Xn
E(X1 ) p,
et
P (X0 = 2) = P (X0 = 3) =
1 . 2
et la variance var (X1 ).
déterminer
limn→∞ E(Xn ).
une suite des variables aléatoires indépendantes, de même loi telle que :
1 P Xn = 1 = P Xn = −1 = . 2 Posons
Sn =
Pn
k=1
a. Montrer que
Xk . (Sn )
est une chaîne de Markov.
b. Déterminer la loi de
(Sn ).
c. Déterminer la matrice de transition Soit
Exercice 106 :
a
M,
c'est une matrice in ni.
un réel appartenant à
1 ]0, [. 2
Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable ou baisser. Dans un modèle mathématique, on considère que : le premier jour le titre est stable. si un jour
n
le titre monte, le jour
n + 1,
il montera avec la probabilité
1 − 2a,
restera stable avec
a et baissera avec la probabilité a. n le titre est stable, le jour n + 1 il montera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité 1 − 2a et baissera avec la probabilité a. si un jour n le titre baisse, le jour n + 1 il montera avec la probabilité a, restera stable avec la probabilité a et baissera avec la probabilité 1 − 2a. On note Mn (resp. Sn , resp. Bn ) l'événement le titre donné monte (resp. reste stable, resp. baisse) le jour n . On pose pn = P (Mn ), qn = P (Sn ) et rn = P (Bn ). la probabilité
si un jour
a. Quelle hypothèse supplémentaire faut-il faire pour modéliser ce problème à l'aide d'une chaîne de Markov. Sous cette hypothèse on tracera le graphe de transition. On note
A
la matrice de
transition. b. Expliciter
pn+1 , qn+1
c. Diagonaliser
A,
et
rn+1
en déduire
en fonction de
pn , q n
puis
rn
pn , qn , r n
et
en fonction de
A. n.
d. Donner la limite de ces trois suites et interpréter le résultat. Exercice 107 :
Soit (Xn )
une chaine de Markov à valeur dans
[1, 2, 3],
de matrice de transition
0 1 1 A = 12 2 0 0 . 2 0 0
a. Représenter le graphe de transition de
(Xn ).
b. Déterminer l'unique mesure invariante de
(Xn ).
Les hypothèse de Perron Frobenbius
sont-elles remplies ?
α = P (X1 = 1), β = P (X1 = 2), γ = P (X1 = 3), montrer que P (X2n = 1) = β + γ P (X2n+1 = 1) = α, en déduire que si γ 6= 21 alors (Xn ) ne converge pas en loi.
c. Soit
et
22
Exercices corrigés Exercice 108 :
Dans le plan soient une droite
que la distance entre
M0
et la droite
D
D : ax + by + c = 0
et un point
M0 (x0 ; y0 ).
Montrer
est égale à
d(M0 ; D) =
|ax0 + by0 + c| √ a2 + b2
On pourra pour cela étudier la fonction dé nie par
f (y)
: le carré de la distance de
M (−by − c; y)
à
A. Exercice 109 :
On constitue une le d'attente en attribuant au hasard des numéros d'ordre à n
personnes. On note
D
la variable aléatoire représentant le nombre de personnes se trouvant entre
deux amis dans la queue. a. Déterminer
P (D = k).
b. Pour quelle valeur de
k , P (D = k)
c. Déterminer l'espérance de
D.
est-il maximum ?
On pourra utiliser les formules classiques suivantes :
n X
1 k = n(n + 1) 2 k=1
Exercice 110 :
n X
k2 =
k=1
1 n (n + 1) (2 n + 1) 6
On jette un dé, et on s'intéresse au nombre de jets nécessaire pour qu'un 6
apparaisse, on modélise ce nombre à l'aide d'une variable aléatoire N. a. Quelle loi peut-on choisir pour
N?
b. Déterminer la fonction génératrice de c. Calculer
E(N ).
Exercice 111 :
Soit
X
Quelle est la dé nition de l'espérance d'une variable aléatoire discrète ?
une variable aléatoire telle que pour
Calculer
E(X)
N.
p ∈ [0; 1], P (X = −1) = p,
et
P (X = 1) = 1 − p.
et var(X).
Exercice 112 :
Soit un jeu de dominos (chaque domino porte 2 nombres, élément de
{0; 1; . . . ; 6},
éventuellement identiques, on parle alors de double) a. Combien existe-t-il de dominos diérents ? Cela forme un jeu de Dominos. b. Quelle est la 'probabilité' que dans une poignée de 5 dominos pris au hasard dans un jeu, il n'y ait aucun double ? c. En tirant deux dominos au hasard, quelle est la 'probabilité' qu'ils soient compatibles c'est à dire qu'ils aient un nombre commun ? Exercice 113 :
Soient
n
un entier strictement positif,
indépendantes de même loi uniforme sur
{0; . . . ; n}
X
et
Y
deux variables aléatoires
:
∀k ∈ {0; . . . ; n}, P (X = k) = P (Y = k) = En utilisant les probabilités conditionnelles, calculer
P (X = Y ).
1 n+1
23
Corrigés
Deux preuves sont possibles en utilisant le projeté orthogonal ou en déterminant le minimum de la distance. On suppose que a 6= 0 et quitte à diviser par a on peut considérer que l'équation de la droite est x + by + c = 0, D = {(−by − c; y)/y ∈ R} posons alors f (y) le carré de la distance de M (−by − c; y) à A. Corrigé de l'exercice 108 :
f (y) = (−by − c − x0 )2 + (y − y0 )2 = (1 + b2 )y 2 + 2(bc + bx0 − y0 )y + ((c + x0 )2 y02 )
Cette fonction polynôme de degré deux possède un minimum en α=−
2(bc + bx0 − y0 ) 2(1 + b2 )
La valeur de ce minimum est donc f (α) =
(bc + bx0 − y0 )2 (bc + bx0 − y0 )2 − 2 + ((c + x0 )2 y02 ) (1 + b2 ) (1 + b2 )
on peut faire les calculs mais on peut aussi remarquer astucieusement que f 0 (α) = 0 et donc que 2b(bα + c + x0 ) + 2(α − y0 ) = 0
on a donc f (α) =
1 1 + b2 2 2 (α − y ) + (α − y ) = (α − y0 )2 0 0 b2 b2
on a donc bien la distance de D à A qui vaut : √ p d(A; D) = f (α) =
1 + b2 −2(bc + bx0 − y0 ) − 2y0 − 2b2 y0 |x0 + by0 + c| = p(1 + b2 ) b 2(1 + b2 )
Le cas ou b = 0 se fait directement en remarquant que α = y0 : f (α) = (c + x0 )2
d'ou le résultat, le cas a = 0 se traite de la même façon. Corrigé de l'exercice 109 : a) Il y a plusieurs modélisations possibles, par exemple, on prend pour Ω l'ensemble des parties à deux éléments de {1; 2; · · · ; n − 1; n}, correspondant aux deux numéros des deux amis, on raisonne donc sans ordre et sans remise, on pourrait aussi raisonner avec ordre et sans remise. Sur cet ensemble Ω de cardinal n2 on pose l'équiprobabilité. D est donc une fonction de Ω dans R, en regardant un petit peu sur des exemples on peut prendre D({ω1 , ω2 }) = |ω1 − ω2 | − 1 = max(ω1 , ω2 ) − min(ω1 , ω2 ) − 1, par exemple si les deux amis ont les numéros 6 et 9, il y a entre eux 9-6-1=2 personnes.
(D = 0) = {1, 2}, {2, 3}, . . . , {n − 1, n}
Donc P (D = 0) = n−1 = n2 . De même (n2 ) (D = 1) = {1, 3}, {2, 4}, . . . , {n − 2, n} n−k−1 Donc P (D = 1) = n−2 et ainsi de suite P (D = k) = n−k−1 = 2 n(n−1) (n2 ) (n2 ) n−k−1 b) 2 n(n−1) est décroissant en k, donc le maximum est atteint en k = 0. Remarque : Pour n = 100 P (D = 0) = 0, 02 et P (D = 98) ' 0, 0002, donc la loi de D n'est pas du tout uniforme. P Pn−2 2 n−k−1 k2 c) E(D) = n−2 k=0 2k n(n−1) = k=0 k n − 2 n(n−1) . Il su t alors d'appliquer les formules qui sont rappelées, pour obtenir E(D) = n−2 3 , qui correspond à la distance moyenne entre les deux amis.
a) (N = 1) correspond au fait que le premier lancé est un 6.P (N = 1) = (N = 2) correspond à : "Le premier lancé est tout sauf un 6, le deuxième est un 6, on peut donc poser P (N = 2) = 65 × 61 . De même P (N = k) = 56 k−1 × 16 .
Corrigé de l'exercice 110 :
1 6.
24
b) Voir le dernier exo du cours sur les fonctions génératrices. P 5 k−1 c) Il faut calculer ∞ × 61 , c'est la somme d'une série k=1 k 6 P quen l'on 1ne connaît pas mais si l'on réécrit la somme d'une série géométrique on obtient : ∀x ∈] − 1; 1[, ∞ n=0 x = 1−x , en utilisant les résultat sur les séries entières, on peut dériver cette série entière : ∀x ∈] − 1; 1[,
∞ X
nxn−1 =
n=1
On a donc
∞
1X k 6 k=1
1 (1 − x)2
k−1 5 1 1 =6 = × 6 6 (1 − 56 )2
Soit X discrète X(Ω) = {xi , i ∈ N} ou P X(Ω) ni avec i 6= j ⇒ xi 6= xj xi P (X = xi ) converge absolument on pose E(X) = k∈N xk P (X = xk ) E(X) = −1.p + 1.(1 − p) = 1 − 2p var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = (−1)2 .p + 12 .(1 − p) − (1 − 2p)2 = 4p − 4p2 = 4p(1 − p)
Corrigé de l'exercice 111 :
Lorsque la série
P
Corrigé de l'exercice 112 :
a. Il y a 7 dominos double et 72 dominos simples, d'ou 7+21=28 dominos diérents. b. Il y a 28 5 poignées diérentes de dominos, on peut supposer l'équiprobabilité sur ces poignées Il y a 21 5 poignées diérentes de dominos qui ne contiennent pas de double, d'on une probabilité de
21 5 28 5
c. Deux dominos diérents ne peuvent avoir qu'un nombre en commun, ce nombre peut prendre 7 7 valeurs. Pour chacune de ces valeurs il y a 2 paires de domino possédant cette valeur et comme il y a 28 paires de domino, la probabilité demandée est : 2 7
7 2 28 2
Corrigé de l'exercice 113 :
P (X = Y ) = = = =
n X k=0 n X k=0 n X k=0 n X k=0
=
P (X = Y ) ∩ (X = k) P (Y = k) ∩ (X = k)
(1) (2)
P (Y = k)P (X = k) car X et Y sont indépendantes
(3)
1 (n + 1)2
(4)
1 n+1
(5)
25
MS4-I Juin 2006 Durée 2 heures
Examen de rattrapage de Mathématiques Calculatrice et document sont interdits. Barème indicatif : 9+6+6
Exercice 1 : E
Soit
[0; 1],
l'espace vectoriel des fonctions continues sur
Z
on pose
1
∀f, g ∈ E, < f, g >=
f (x)g(x) dx 0
On admet que
< ·, · >
dé nit un produit scalaire sur
a. Soient les fonctions dé nies par
E.
f0 (x) = 1, f1 (x) = x
et
g(x) = ex ,
calculer
< f1 , g >.
H = {h ∈ E | ∃m, p ∈ R, ∀x ∈ [0; 1], h(x) = mx + p} l'espace vectoriel a nes, déterminer une base de H , en déduire que H est de dimension 2.
b. Soit
c. Déterminer le projeté orthogonal
P
de la fonction
d. De toutes les fonctions linéaires (de la forme de
g
des fonctions
sur H.
v(x) = αx), quelle est celle qui est "la plus proche"
g.
Exercice 2 : Un sac contient trois jetons, le premier a deux faces blanches, le deuxième a deux faces noires, le troisième une blanche et une noire. Dans chacune des questions suivantes, on explicitera soigneusement le raisonnement utilisé. a. On tire un jeton au hasard, on le lance quelle est la probabilité que la face visible soit noire ? b. On tire 2 jetons au hasard, on les lance quelle est la probabilité que les deux faces visibles soient noires ? c. On tire un jeton au hasard, on le lance on le remet dans le sac et on recommence, on eectue ainsi 10 lancés, si on modélise le nombre de faces noires obtenues par une variable aléatoire
N
quelle est sa loi ? d. On tire un jeton au hasard, on le lance, la face visible est noire, quelle est la probabilité que l'autre face soit noire ?
Exercice 3 : Soit
X
une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre
λ (fX (t) = λe−λt
si
t > 0, 0 sinon).
a. Calculer son espérance, sa variance et sa fonction de répartition. b. Démontrer que c. Soient
Y = 5X
suit une loi exponentielle, dont on déterminera le paramètre.
X1 , X2 , . . . , X100 , P des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de S = 100 i=1 Xi leur somme, déterminer une valeur approchée de P (S < 110).
paramètre 1 notons
26
MS4-I Mai 2007 Durée 3 heures
Examen de Mathématiques
Calculatrice et document sont interdits. Seule une table de loi normale est autorisée. Barème indicatif : 6+6+10
Exercice 1 : Diagonalisation
Soit la matrice dé nie par
a. Diagonaliser
A,
0 2 2 A = 2 −1 0 2 0 1
c'est à dire déterminer une matrice
P
inversible et une matrice diagonale
D
telles que
A = P DP −1 . b. Montrer l'existence puis déterminer
Q
orthogonale telle que
A = QD tQ.
Exercice 2 : Projection orthogonale E
Soit
Z
l'espace vectoriel des fonctions continues sur
f (x)g(x) dx,
< ·, · >
on admet que
on pose
dé nit un produit scalaire sur
∀f, g ∈ E , < f, g >=
et
g
f0 (x) = 1, f1 (x) = x
dé nies par
a. Calculer
et
E.
Soient les fonctions
f0 ,
√ x.
0
f1
[0; 1],
1
g(x) =
< f1 , g >.
b. Déterminer la norme de c. Montrer rapidement que
f1 . (f0 , f1 )
est une base du sous espace vectoriel
d. Déterminer le projeté orthogonal
h
g
de
e. Déterminer une base orthonormale de
sur
A
des fonctions a nes.
A.
A.
Exercice 3 : Étude de certaines fréquences dans les génomes Les brins d'ADN sont une longue succession de nucléotides pouvant porter l'une des 4 bases : adénine
a,
cytosine
c,
guanine
g,
et thymine
t.
L'ADN peut être considéré comme un texte écrit
sur un alphabet de 4 lettres, chaque mot ayant une longueur de 3 lettres que l'on appelle codon. On peut comparer diérents modèles pour modéliser la structure de l'ADN, on étudie un texte de lettres (c'est à dire une suite de
N
3N
codons). Les trois parties peuvent être traitées dans l'ordre que
l'on veut. Les valeurs numériques sont fantaisistes. Modèle 1 : On suppose que le choix de chaque nucléotide est indépendant des autres, l'adénine a une
probabilité d'apparition
pa ,
la cytosine
pc ,
la guanine
pg ,
et la thymine
pt .
aaa ?
(1) Si
N = 1,
quelle est la probabilité d'obtenir le codon :
(2) Si
N = 2,
quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois la séquence :
(3) Pour
k ∈ {1, 2, . . . , N }
(4) Pour
N
aaa ?
quelle est la probabilité que le
k -ième
codon soit
aaaaa ?
aaa ?
quelconque, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins un des codons qui soit
27
(5) Combien y a-t-il de codons diérents ? (6) Si
N = 2,
et
pa = pc = pg = pt =
1 quelle est la probabilité d'obtenir deux fois de suite le 4
même codon ?
N = 10000 et pa = aaa et 0 sinon.
Modèle 2 : On garde le même modèle mais
valant 1 si le
i-ème
codon est
(1) Quelle est la loi de
X1 ?
de
q 3
1 . On note 10
Xi
une variable aléatoire
Xi ?
(2) Justi er rapidement pourquoi les
Xi
sont indépendants.
(3) Énoncer le théorème de la limite centrée. (4) En déduire une valeur approchée de la probabilité d'avoir plus de 1050 fois le codon
aaa.
j -ème nucléotide à l'aide de variables aléatoires Yj à valeur dans {a,c,g,t}. Le a ce qui se modèlise par P (Y1 =a) = 1. On fait l'hypothèse que (Yj ) est Markov de matrice de transition M : 0, 5 0, 5 0 0 0, 1 0 0, 1 0, 8 M = 0 0, 5 0 0, 5 0, 1 0 0, 9 0
Modèle 3 : On modélise le
premier nucléotide est une chaîne de
(1) Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov. (2) Quelle est la loi de (3) Calculer
Y2 ?
P (Y3 = a).
(4) Si
N = 1,
quelle est la probabilité d'obtenir le codon :
aaa ?
(5) Si
N = 1,
quelle est la probabilité d'obtenir le codon :
act ?
(6) Pour
k ∈ {2, . . . , N }
quelle est la probabilité que le
le résultat en fonction de puissance de
M.
k -ième
codon soit
aaa ?
On donnera
28
MS4-I Mai 2008 Durée 3 heures
Examen de Mathématiques Calculatrice et document sont interdits, seule une table de loi normale est autorisée. Les exercices peuvent être traités dans l'ordre que l'on veut et ne sont pas rangés par di culté croissante. Barème indicatif :6+4+6+6
Exercice 1 : Espace euclidien Soit
E
l'espace vectoriel des polynômes à coe cients réels, on pose
Z
1
∀P, Q ∈ E, < P, Q >=
P (x)Q(x) dx −1
On admet que
< ·, · >
dé nit un produit scalaire sur
a. Soient les fonctions dé nies par
E.
P0 (X) = 1, P1 (X) = X , montrer que P0 et P1 sont orthogonaux,
calculer leur norme. b. Déterminer un polynôme
P
de degré 2 orthogonal à
P0
et à
P1
et tel que
P (1) = 1.
c. Parmi toutes les fonctions a nes (de la forme h(X) = αX + β ), quelle est celle qui est "la plus 4 proche" de la fonction dé nie par g(X) = X , au sens de la norme associée à < ·, · >. d. Montrer que
∀P, Q ∈ E, < XP, Q >=< P, XQ >.
(Pn )n une suite de polynômes qui sont orthogonaux deux à deux pour le produit scalaire < ·, · > et tels que Pn soit de degré n pour tout n. On rappelle que (P0 , P1 , . . . , Pn ) forme une base du sous espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
e. Soit
(1) Quel est le degré de (2) Montrer que
XPn ?
< XPn , X k >= 0
(3) Montrer qu'il existe des réels
pour tout
an , bn
et
cn
k ≤ n − 2. tel que
XPn = an Pn+1 + bn Pn + cn Pn−1 .
Exercice 2 : Variables aléatoires discrètes On jette un dé, et on s'intéresse au nombre de jets nécessaire pour qu'un 6 apparaisse, on modélise ce nombre à l'aide d'une variable aléatoire a. Quelle loi peut-on choisir pour
N.
N?
b. Déterminer la fonction génératrice de
N.
On pourra utiliser l'expression de la somme d'une
série géométrique. c. Calculer
E(N ).
Exercice 3 : Variables aléatoires à densité Soient
α
un réel positif et
X
une variable aléatoire à densité dont une densité est donnée par
f (x) = a. Représenter b. Déterminer
K(α2 − x2 ) 0
f. K
en fonction de
α.
c. Calculer l'espérance et la variance de
X.
si sinon
x ∈ [−α; α]
29
d. Déterminer la densité de
|X|.
e. Dans cette question on suppose que dantes de même loi que
X,
α = 1. Soit (Xn ) une suite de variables aléatoires indépen-
déterminer une valeur approchée de
β=P
125 X
! Xn ≥ 10
k=1
Exercice 4 : Chaînes de Markov Une urne contient 3 boules qui peuvent être noires ou blanches, on en tire 2 au hasard. Si elles ont la même couleur, on remet l'une des deux et une blanche dans l'urne, si elles n'ont pas la même couleur on remplace la troisième boule (celle qui est restée dans l'urne) par une boule noire. a. Justi er rapidement que l'on peut modéliser le nombre de boules blanches par une chaîne de Markov
(Xn ).
b. Représenter le graphe de transition et la matrice de transition de cette chaîne de Markov. c. Déterminer deux mesures invariantes diérentes pour cette chaîne de Markov. d. Peut-on appliquer le théorème de Perron Frobenius à cette chaîne de Markov ? On justi era la réponse. e. On suppose dans cette question qu'au départ il n'y a que des boules noires, montrer que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une loi que l'on déterminera. Calculer
lim E(Xn ).
n→∞
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