Exo

1

Préliminaires

Soient ϕ ∈ R, p ∈ N. Démontrer que : sin ((2p + 1)ϕ) =

p X

(−1)k

k=0

2



 2p + 1 . cos2p−2k (ϕ). sin2k+1 (ϕ) 2k + 1

Liminaires ( Lol !)

ϕ

Soient ϕ ∈ R, p ∈ N tel que 6∈ Z. π Démontrer que : sin ((2p + 1)ϕ) = sin2p+1 (ϕ).

p X

(−1)k

k=0



2p + 1 2k + 1




p−k cotan2 ϕ

Soient p ∈ N∗ et P le polynôme déni par : P (X) =

p X

k

(−1)

k=0



 2p + 1 .X p−k 2k + 1

 hπ a) Pour tout entier h ∈ [|1, p|], on pose αh = cotan . Calculer P (αh ) pour tout entier h ∈ [|1, p|]. 2p + 1   2 b) Montrer que la fonction cotan est strictement décroissante sur 0, π2 En déduire que P admet p racines 2



distinctes que l'on déterminera. c) En déduire :

p X

cotan2

k=1



kπ 2p + 1



=

p(2p − 1) 3

et p X

k=1

2

sin

1 

kπ 2p+1

=

-guigui-

1

2p(p + 1) 3