PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO INSTITUTO DE MATEMÁTICAS
EXAMEN. MAT 117
Problema Nº1. Calcule
∫
1 0
e 2 x f ´´(e x ) dx, donde f : \ → \ es una función dos veces
derivable tal que f ´´ es continua en \ , f ´(e) = 1 = f(e) y f ´(1) = f(1). Problema Nº2. Calcule el área de la región interior al círculo ρ =
1 a y exterior 2
a la lemniscata ρ 2 = a2 sen(2 θ ), (a > 0). Problema Nº3. Sea R = {(x, y) ∈ \ 2 / y ≤
4 x, y ≤ 3
25 − x 2 , y ≥ 0}. Exprese las
integrales que permiten calcular el (3.1)
volumen del sólido que se genera al rotar la región R en torno del eje x,
(3.2)
volumen del sólido que se genera al rotar la región R en torno de la recta x = 5,
(3.3)
perímetro de la región R,
(3.4)
área lateral del sólido que se genera al rotar la región R en torno del eje de las abscisas (eje x).
Problema Nº4. Determine si las series siguientes convergen o divergen. ∞
(4.1)
∑ n =1
n (n + 1) . 2n
∞
(4.2)
∑n
−2
e1/ n .
n =1
________________________________________________________________________ Tiempo Fecha Puntaje Coordinadora
: 100 minutos : 30 de Junio del 2005 : 15 puntos cada problema : Gladys Figueroa R.
Justifique sus afirmaciones