Exercicios Resoltos 1_2

Tema 1: Matrices Exercicios e problemas de Selectividade: 0 0 1 3 4     1. Resolver matricialmente a ecuación A ·X – B = 0, sendo A =  1 0 0  e B =  5 6  0 1 0 1 2     t

Despexamos X da ecuación: X = (At)-1B. Calculamos (At)-1:

0 1 0   A t =  0 0 1  polo tanto a súa inversa polo método de Gauss será: 1 0 0    0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1     F −F   3 1  → 0 0 1 0 1 0    → 0 0 1 0 1 0  0 0 1 0 1 0  F     1 + F3 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 −1 0 −1 0 0       1 1 0 1 0 1 1 0 −1 0 −1 1   F −F   F2 − F3 1 2 → 0 1 1 1 1 0  → F  → 0 1 1 1 1 0   + F 3 2  0 −1 0 −1 0 0 0 0 1 0 1 0     1 0 0 0 0 1   → F  → 0 1 0 1 0 0   entón 2 − F3  0 0 1 0 1 0    0 0 1  3 4   1 2       X = AB =  1 0 0  5 6  =  3 4   0 1 0  1 2   5 6       F1 + F3

(A )

t −1

=A

2. Unha empresa fabrica xoguetes de tres tipos diferentes T1, T2 e T3. Os presos de coste de cada xoguete e os ingresos que obtén a empresa por cada xoguete vendido veñen dados pola seguinte táboa: T1 T2 T3 Precio de coste 4 € 6 € 9 € Ingreso 10 € 16 € 24 € O número de ventas anuais é de 4500 xoguetes T1, 3500 xoguetes T2 e 1500 xoguetes T3. Sabendo que a matriz de costes © e a matriz de ingresos (I) son matrices diagonais e que a matriz de ventas anuais (V) é una matriz fila: a) Determina as matrices C, I, V b) Obtén, utilizando as matrices anteriores, a matriz de costes anuais, a matriz de ingresos anuais e a matriz de beneficios anuais, correspondents aos tres tipos de xoguetes.

a) Para determinar as matrices sabemos que C e I son diagonais, segundo a información temos:

 4 0 0 10 0 0      C =  0 6 0  I =  0 16 0   0 0 9  0 0 24      Sabemos que V é unha matriz fila: V = (4500 3500 1500) b) Os costes anuais veñen dados polo nº de ventas anuais e o prezo de coste de cada xoguete:

 4 0 0   VC = (4500 3500 1500) 0 6 0  = (18000 21000 13500)  0 0 9   Os ingresos anuais virán dados pola matriz:

10 0 0    VI = (4500 3500 1500) 0 16 0  = (45000 56000 36000)  0 0 24    Os beneficios anuais serán os ingresos menos os costes:

(45000

56000 36000) − (18000 21000 13500) = (27000 35000 22500)

3. Determinar a matriz X da seguinte ecuación matricial A2X = ½ (A + BC), sendo:

 2 1  A =   0 1

 −1 3   C =  1 1  6 2  

 1 1 3  B =   − 1 3 1

( ) 12 ( A + BC )

Despexando na ecuación: X = A 2

−1

18 10   20 11  , polo que A + BC =   2  10 3   4 3  Calculamos A 2 = A· A =   0 1

Calculamos BC =  10

( )

E calculamos A 2

−1

−3   4 3 1 0  F1 − F2  4 0 1 − 3  14 F1  1 0 1   →  → 4 4 0 1 0 1 0 1 0 1  0 1 0  1       Logo:

− 3  20 11  − 10 1  1 8 4 4   = X =  2 0 1  10 3   5

1  4 3  2

 1 −1 2  1 1 0   0 − 1 − 3       4. Dadas as matrices A =  − 1 − 1 2  B =  a b c  C =  − 2 − 5 − 3  ,  2 1 − 1  0 1 − 1  3 6 2       calcula os valores de a, b e c para que se verifique a ecuación matricial A·Bt = C.

1 a 0    B =  1 b 1  entón débese verificar:  0 c − 1   t

 1 − 1 2  1 a 0   0 − 1 − 3        − 1 − 1 2  1 b 1  =  − 2 − 5 − 3  , polo que igualando debe de  2 1 − 1 0 c − 1  3 6 2      verificarse:

 a − b + 2c = −1  − a − b + 2c = −5 e resolvendo o sistema resulta: a=2, b=1 e c=-1  2a + b − c = 6  1 0 0  − 1 1 − 1     5. Dada a ecuación matricial X·A + B = 2X, sendo A =  0 3 1  B =  0 − 1 1  0 0 1  1 −1 0      t

a) Despexa a matriz X. b) Calcula a matriz inversa de A – 2I, sendo I a matriz identidade de orde 3. c) Resolve a ecuación matricial. a) XA-2X=-Bt X(A-2I) =-Bt, polo tanto X=-Bt(A-2I)-1 b) Calculo da inversa de A-2I

1 0 0  2 0 0  −1 0 0        A − 2I =  0 3 1  −  0 2 0  =  0 1 1   0 0 1   0 0 2   0 0 − 1       Calculemos a súa inversa:

 −1 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 0 0  1 0 0 −1 0 0    −F   F −F   1 2 3  0 1 1 0 1 0  → −→  0 1 1 0 1 0  → 0 1 0 0 1 1  F3  0 0 1 0 0 − 1  0 0 1 0 0 − 1  0 0 −1 0 0 1       −1 0 0  −1 0 1      −1 t polo que ( A − 2 I ) =  0 1 1  , por outra parte B =  1 − 1 − 1  0 0 − 1 −1 1 0     c) Calculamos X:

X = −B t (A − 2I )

−1

 − 1 0 1  − 1 0 0   − 1 0 1       = − 1 − 1 − 1 0 1 1  =  1 1 0 −1 1 0  0 0 − 1  − 1 − 1 − 1 