Exercicios E Problemas Tema 4 Do Libro_resoltos

•

Problema 10 (páx. 91)

x kg de P1 e y kg de P2 Temos que optimizar (minimizando) a función z=3x+2y coas seguintes restricións:

2 x + y ≥ 7 2 x + 2 y ≥ 12    x + 3 y ≥ 10  x ≥ 0, y ≥ 0 Como podemos observar na imaxe (a linea discontinua verde representa a función obxectivo) oa solución mínima está no vértice (1, 5). É dicir, débese mesturar 1 kg de P1 con 5 de P2. O coste será de 13 unidades monetarias.

•

Exercicio 19 (páx. 95) a) Os vértices son A(0,5); B(3,2); C(1,1) e D(0,2)

zA = 5 z B = 29 zC = 8 zD = 2 O mínimo obtense en x=0 e y=2 e vale 2.

b) Vértices:

 10 8  A ,  B(0,8) C (10,0)  3 3 80 z A = , z B = 40, z C = 40 3

O mínimo obtense en A.

•

Exercicio 20 (páx. 95) a) Os vértices están en A(36,12) B(40,8) C(40,0) e na orixe de coordenadas D(0,0) A función obxectivo nos vértices toma os valores zA=228, zB=232, zC=200 e zD=0 Polo que o máximo obtense en x=40 e y=8 e vale 232.

b) Vértices en

 12 12  A ,  B (10,10) C (20,10) D(20,−12) 7 7 zA = 2

35 3 50 zC = 3 zD = 2 zB =

Polo que, ao estar o mínimo en A e en D, o mínimo alcánzase en todo o segmento AD e vale 2.

•

Exercicio 21 (páx. 95) a) Función obxectivo pintade de verde descontinuo. Mínimo no vértice (3,0) e vale 36

b) O máximo (como se pode observar na gráfica está no punto (4,4) e vale 160.

•

Exercicio 22 (páx. 95) a) A rexión factible é non acoutada. O mínimo obtense no vértice (2,7) e vale z=11. Non existe o máximo.

b) A rexión factible volve a ser non acoutada. O mínimo obtense en todos os puntos do segmento AC e vale 5. Non hai máximo.

•

Exercicio 24 (páx. 95)

A rexión factible é acoutada e a pendente da función obxectivo é positiva. Polo tanto o mínimo o alcanza en (2,5) e vale -8. O máximo en (7,0) e vale 7.

•

Exercicio 25 (páx. 95)

A rexión factible é non acoutada. A pendente da función obxectivo é positiva, polo que non existe mínimo e o máximo alcánzase en (0,0) e vale 0.

•

Problema 26 (páx. 95) x guitarras G1 e y guitarras G2. Función obxectivo: z=75x+75y, para maximizar coas seguintes restricións:

3x + 4 y ≤ 120   x + y ≤ 32 x ≥ 0 y ≥ 0  O máximo obtense en todos os punto s do segmento A(32,0) e B(8,24), sendo o beneficio de 2400 euros.

•

Problema 27 (páx. 95) x paquetes de gama alta e y paquetes de gama media. Función obxectivo z=20x+30y coas restricións:

3 x + y ≤ 105 2 x + 2 y ≤ 110    x + 2 y ≤ 85  x ≥ 0 y ≥ 0 O máximo está no vértice (25,30), polo tanto débense fabricar 25 paquetes de gama alta e 30 de gama media, obténdose un beneficio de 1400 euros.

•

Problema 28 (páx. 95) x revistas de cultura e y revistas deportivas. Función obxectivo a maximizar z=5x+3y, coas restricións:

2 x + 2 y ≤ 500  2 x + y ≤ 500 x ≥ 0 y ≥ 0  O máximo está no vértice (250,0) Polo que o máximo beneficio obtense con 250 revistas culturais e ningunha de información deportiva e ascende a 1250 €.

•

Problema 29 (páx. 96) x bombillas tradicionais e y bombillas de baixo consumo. Función a minimizar z=x+5y coas restricións:

90 x + 60 y ≥ 1440  x + y ≤ 20   y ≥ x  x ≥ 0 y ≥ 0 O mínimo dáse no vértice

 48 48   ,  polo que o problema non  5 5  ten un mínimo axeitado para que a solución sexa enteira (cousa que debe ocorrer coas bombilas). A solución enteira máis cercana e 9 bombillas de cada.

•

Problema 30 (páx. 96) x ordenadores tipo A e y ordenadores tipo B Función a maximizar: z=150x+250y

 x ≤ 40  y ≤ 30  Restricións:   x + 2 y ≤ 80  x ≥ 0 y ≥ 0 Mellor decisión: 40 ordenadores A e 20 B. Beneficios z=11000 Excedente de 10 unidades de memoria de alta capacidade.

•

Problema 31 (páx. 96) x traxes de cociñeiro e y traxes de camareiro. Obxectivo maximizar z=20x+30y

x ≥ 1 y ≥ 2  y ≥ x  Restricións:  x + y ≤ 20  x + 2 y ≤ 30  2 x + y ≤ 10 2 x + y ≤ 20 

Óptimo en (1,8), é dicir 1 traxe de cociñeiro e 8 de camareiro. O beneficio é de 260 €. Sobran 13 m2 de algodón e 10 m2 de la. As restricións redundantes son:

 x + y ≤ 20   x + 2 y ≤ 30 2 x + y ≤ 20  •

Problema 32 (páx.. 96)

x cartos invértense nas accións tipo A e y cartos nas tipo B. Maximizamos z=0,06x+0,04y coas restricións:

 x + y ≤ 7500  x ≤ 5000   y ≥ 1500  x ≥ 2,5 y   x ≥ 0 máximo en (5000,2000) O beneficio obtido nese caso é de 380 euros.

•

Problema 33 (páx.. 96)

x unidades de A1 e y unidades de A2. Función obxectivo para maximizar: z=125x+250y

Restricións:

10 + 40 y ≤ 1000 20 x + 50 y ≤ 880   50 x + 60 y ≤ 1160  x ≥ 0 y ≥ 0 O máximo está no vértice (4,16) Entón o máximo beneficio (4500 unidades monetarias) obtense cando se producen 4 unidades de A1 e 16 unidades de A2. Non hai excedentes Se se produce a rebaixa, a nova función obxectivo é z=125x+150y e nese caso o máximo obtense en calquera punto do segmento que une (4,16) con (23,0) e vale 2900 unidades monetarias.

•

Problema 34 (páx.. 96)

x nº de horas que traballa A e y nº de horas que traballa B. Min z=210x+180y Restricións:

75 x + 75 y ≥ 1125 150 x + 225 y ≥ 1350   75 x + 90 y ≥ 1875  x ≥ 0 y ≥ 0 Mínimo en (0, 20.83) Non deben traballar ningunha hora en A e 20,83 horas en B. O coste mínimo será de 3749,4 euros.