Exercicios Derivadas

MATEMÁTICAS

DERIVADAS. APLICACIÓNS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIÓNS

1.- Calcula a derivada das seguintes funcións, simplificando o resultado: a)

b)

 x2 + 1  y =   x  3x 2 y= x+ x

d) e)

y=

f) g) h)

x2 +1 y= 2 x +1 3

c)

e −2 x 4 y = 2x 2 − e x − 2

3

y = x + x +1

y=4

1 + 2x y= 1 − 2x

x +1

j)

y = e +1 y = e 4 x .( x − 1)

k)

)

2x

3

y=4 y = log 2 x 3 − 5 x 2

m)

(

(

p)

y = ln 3 − 4 x

q)

y = ln 1 − x 1+ x  y = L  1− x 

r)

x

l)

e y= ln( x + 1)

o)

y= 3

(

x

3 x

i)

1 x

y = log 2

n)

)

)

s)

1

y  ex

u)

y = ln x. 4 − x 2

v)

y=

3 5

w) x)

x y = ln x +1

4

t)

(

(1 − x ) 2

ex y = ln 2 (ln x) y = ln e x + 2

(

2

)

)

+3 x

y)

y = 5.e x

z)

1− x   y = L  1+ x 

2.- Determina o dominio de definición das seguintes funcións: a)

f ( x) =

x6 − 3x 4 x3 + 2 x 2 − 3x

b) g ( x )

= x2 − 4

c) h( x )

=

3x + 2

d) k ( x )

x −1 2

x x −1

=

e) l ( x )

= log 2 ( x 3 − 27)

f)

3

y = 4x

3.- Determina se as seguintes funcións teñen simetría par, impar ou se non son simétricas: a)

f ( x) = x 2 + 1

b)

f ( x) = x 2 − 6 x + 8

c)

x3 x2 −1

f ( x) =

f ( x) =

d)

4x 3 x −x

e)

f ( x) = 6 x 2 + x

f)

f ( x) =

x3 x2 −1

4.- Calcula as asíntotas das seguintes funcións: a)

y=

2x2 − x + 1 x 2 − 7 x + 10

b)

y=

x3 (10 + x ) 2

c)

y=

2x 2 x −4

d)

y=

x3 ( x − 1) 2

y = ln(e x + 1)

e)

f)

y = x2 −1

5.- Calcula os puntos de corte cos eixos das seguintes funcións: a)

f ( x) = x 2 − 4 x + 3

b)

f ( x) =

x2 − 4x − 5 x

c)

f ( x) =

x4 − 9 x2 x2 −1

6.- Estuda os intervalos de crecemento e decrecemento das seguintes funcións: a)

y = x 3 − 3x 2 + 5

b)

y=

2 x 2 − 3x 2− x

c)

y=

2 x 2 − 3x ex

3 2 7.- Máximos e mínimos de: a) y = x − 3 x + 9 x + 22

d)

y = x2 − 9

x 3 .( 3 x − 8) b) y = 12

8.- Estuda a concavidade e convexidade de: a) y = ( x − 2)

4

b)

y=

c)

2− x x +1

8 x ( x − 3)

e)

y = 2−x

f)

y=

y=

1 x +1

d)

y = e x ( x − 1)

c)

2

y = ln( x + 1)

d)

2

y = x.e −2 x

9.- Calcula os puntos de inflexión das funcións dos exercicios 7 e 8.

1

10.- Representa graficamente as seguintes funcións:

x2 x2 −1

a)

f ( x) =

f)

f ( x) = x 4 − 4 x 2

b)

f ( x) = x3 − 3x + 2 g)

f ( x) = − x 4 + 2 x 2

11.- Determina os puntos da curva y =

x x2 x2 − 5 d) f ( x ) = e) f ( x ) = 2 x −1 2− x x−3 3 x 4 x3 i) f ( x ) = j) f ( x ) = f ( x) = 2 2 2 ( x − 1) x −4 x −1

f ( x) =

c)

h)

x 1 − x2

onde a tanxente ten unha inclinación de 45º.

12.- Determina as ecuacións das rectas tanxente e normal no punto de inflexión das curvas: a)

y = x3 − 3x 2 + 7 x + 1

b)

y = x4 −1

3 2 13.- A función f ( x) = 2 x + ax + bx − 5 ten un máximo en x=1 e un mínimo en x=2. Calcula a e b.

14.- Acha un polinomio de 3º grado que teña 1 como coeficiente do termo de grado 3, un punto de inflexión en (1,1), e que como tanxente nese punto teña a recta: x+y=2. 3 2 15.- Da función f ( x) = ax + bx + cx + d sábese que: a ecuación da recta tanxente no seu punto de

inflexión (1,0) é: y=-3x+3, e que a función presenta un extremo no punto de abscisa x=0. Calcula a, b, c e d.

16.- Determina a función da que se sabe que: a súa segunda derivada é constante, pasa polo punto (-1,2), ten pendente 2 en dito punto e que é paralela á recta y=-x en x=0.

17.- Atopa dous números que sumen 100 e que o seu produto sexa máximo. 18.- Descompón o número 40 en dous sumandos tales que o triplo do cadrado do primeiro máis sete veces o cadrado do segundo sexa mínimo.

19.- Descompón o número 48 en dous sumandos tales que o quíntuplo do cadrado do primeiro máis o séxtuplo do cadrado do segundo sexa mínimo.

20.- Cunha cartolina cadrada de 12cm de lado queremos construír unha caixa sen tapa, para elo de cada esquina recortamos un cadrado de lado x. Calcular x para que o volume da caixa sexa máximo.

21.- Calcula as dimensións dunha fiestra de forma rectangular e de 16cm de perímetro para acadar a máxima luminosidade posible.

22.- Unha fiestra está formada por un rectángulo rematado por un semicírculo de raio 1 na súa parte superior. Se o marco ten que ter unha lonxitude de 10m, determinar as súas dimensións para que a superficie da fiestra sexa máxima.

23.- Temos unha chapa de aceiro para construír un depósito aberto de base cadrada e paredes verticais con capacidade para 13,5 m3. Calcular as dimensións do depósito para que o gasto en chapa sexa mínimo.

24.- Quérese pechar un campo rectangular que está xunto a un camiño. Se o muro do lado do camiño custa a 80€/m e os dos outros lados a 10€/m, calcula a área do maior campo que se pode pechar con 28.800€.

25.- Entre todos os rectángulos inscritos nunha circunferencia de raio 10cm, calcula as dimensións do que ten área máxima.

2