Exercicios De Repaso Dos Temas 3 E 4 Resoltos

Exercicios de repaso dos temas 3 e 4 1. Estudar, dependendo do parámetro m, o sistema de ecuacións: x + y = 1  Resólveo para m=2 my + z = 0  x + (1 + m) y + mz = m + 1  1 1 0 1    A* =  0 m 1 0   1 1 + m m m + 1  

1

1

0

A=0 m 1 = m2 − m 1 1+ m m

m = 0 m2 − m = 0 ⇔  m = 1 Se m=0 ou m=1 rg(A)<3. Estudemos que pasa neses casos: Se m=0 1 1 0 1   A* =  0 0 1 0  como F3 = F1 podemos eliminar unha delas e o 1 1 0 1   1 0 sistema resulta compatible indeterminado xa que o menor ≠0 0 1 e polo tanto rg(A)=rg(A*)=2
Se m=1 1 1 0 1 1 1 1   A* =  0 1 1 0  ⇒ 0 1 0 = 1 ≠ 0 ⇒ rg ( A*) = 3 ≠ rg ( A) 1 2 1 2 1 2 2  

Resolvámolo cando m=2: 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1   F −F   F −F   3 2 3 A* =  0 2 1 0   1 → 0 2 1 0  1 → 0 2 1 0   1 3 2 3 0 2 2 2 0 0 1 2       Entón z=2 2y +2 =0, polo que y=-1 x-1=1, polo que x=2

2. Resolver e clasificar o sistema: x − y + z = 1  2 x − y + 2 z = 3 x + y + z = 0  1 −1 1 1   A* =  2 − 1 2 3  , O determinante de A é cero xa que ten a iguais a  1 1 1 0   primeira e terceira columnas. 1 −1 Como ≠ 0 , rg(A)=2, vexamos o rango de A* 2 −1

1 −1 1 2 − 1 3 ≠ 0 ⇒ rg(A*)=3 polo tanto o sistema non ten solución é 1 1 0 Incompatible. 3. Maximizar a función F(x,y)=2x+y sobre a rexión delimitada polo sistema: 5 x + 7 y ≥ 35 6 x − y ≤ 42   3 x + 2 y ≤ 36 − 2 x + 3 y ≤ 15 O máximo dáse no vértice x=8 y=6 e a función nese punto vale z=22.

4. Nun depósito caben 200 bidóns, dos cales sempre debe haber 10 de petróleo e 20 de gasolina como mínimo, pero sempre 50 bidóns como mínimo. Calcular o reparto para que o gasto de almacén sexa mínimo, sabendo que un bidón de gasóleo xera un gasto de 0,12 euros e un de gasolina 0,18. Debemos minimizar z=0,12x+0,18y As restricións son:  x + y ≤ 200  x ≥ 10    y ≥ 20  x + y ≥ 50 O mínimo dáse en x=30 e y=20. Polo tanto o reparto é de 30 bidóns de petróleo e 20 de gasolina; sendo o custo de 7,2 euros.

5. Optimizar F(x,y)=3x+2y no recinto solución do sistema de inecuacións 2 y ≥ x   y ≤ 2x − 3 x ≥ 0  A rexión non é acoutada e a función obxectivo é decrecente (pendente negativa) polo que non hai máximo e o mínimo está no único vértice: (2,1) é vale F(2,1)=8

6. Unha fábrica de doces ten 200 kg de polvoróns, 130 de mantecadas e 104 de roscóns. Lánzanse ao mercado dous tipos de surtidos. O primeiro véndese a 2,7 euros e leva 150 gramos de polvoróns, 100 de mantecadas e 80 de roscóns. O segundo véndese a 3,36 euros e consta de 200 gramos de polvoróns, 100 de mantecadas e 100 de roscóns. Se só dispón de 1200 caixas, calcular como debe fabricar os surtidos para gañar o máximo. Debemos de maximizar as ganancias: z=2,7x+3,36y Coas seguintes restricións (coidado con mesturar gramos e kilos): 0,15 x + 0,2 y ≤ 200 15 x + 20 y ≤ 20000 0,1x + 0,1 y ≤ 130 10 x + 10 y ≤ 13000   0 , 08 x 0 , 1 y 104 + ≤ ⇔  8 x + 10 y ≤ 10400  x + y ≤ 1200  x + y ≤ 1200    x ≥ 0 y ≥ 0  x ≥ 0 y ≥ 0 A rexión queda:

Mirando o que vale a función obxectivo nos tres vértices, vemos que o máximo dáse en x=800 e y=400 e vale z=3504. 800 caixas do surtido 1 e 400 do surtido 2.

7. Resolver o sistema 3x + 2 y − z = 0  x + 3y − 4z = 0 8 x + 5 y − 3z = 0 

3 2

−1

A = 1 3 − 4 ≠ 0 , polo que o sistema é Compatible Determinado 8 5 −3 e,como é homoxéneo, a única solución é a trivial (x=0, y=0, z=0) 8. Clasificar, en función do número de solucións, os seguintes sistemas: x + y + z = 3 x + y + z = 3 x + y + z = 3    a )  x + y − z = 3 b )  x + y − z = 3 c ) 2 x − y + z = 2 z = 0 2 x + 2 y = 5 x − y + z = 1    a) O sistema é Compatible Indeterminado (infinitas solucións), xa que se z=0, substituíndo nas outras ecuacións, resulta que son iguais, polo que podemos prescindir dunha delas. Rg(A)=rg(A*)=2<3=nº incógnitas. b) 1 1

1

1 1 − 1 = 0 ⇒ rg ( A) < 3 2 2

0

3 1

1

polo tanto é un sistema Incompatible

3 1 − 1 ≠ 0 ⇒ rg ( A*) = 3 5 2

0

(non ten solución). c) É un sistema Compatible Determinado, xa que: 1 1 1

2 − 1 1 ≠ 0 ⇒ rg ( A) = 3 = rg ( A*) = nº incógnitas 1 −1 1

9. Un grupo de persoas reúnense para ir de excursión, xuntándose un total de 20 entre homes, mulleres e nenos. Contando homes e mulleres xuntos, o seu número resulta ser o triple do número de nenos. Ademais, se acudira unha muller máis, o número de mulleres e homes sería o mesmo. Pídese plantear un sistema para averiguar cantos homes, mulleres e nenos foron de excursión. x=homes, y=mulleres e z=nenos Sistema:  x + y + z = 20  x + y + z = 20   ⇔  x + y − 3z = 0  x + y = 3z x = y + 1 x − y = 1   1 1 1 1 1 20  1 20    F −F   2 1 A* = 1 1 − 3 0  → F  → 0 0 − 4 − 20   − F 3 1 1 − 1 0 1   0 − 2 − 1 − 19      Polo tanto -4z=-20 polo que z=5 -2y-5=-19, polo que y=-7 X+7+5=20 polo que x=8 8 homes, 7 mulleres e 5 nenos. 10. Discutir e resolver cando sexa posible o seguinte sistema linear: ax + y + z = 1   x + ay + z = 1  x + y + az = 1 

a 1 1 1 a 1 = a 3 − 3a + 2 = (a − 1) 2 (a + 2). , determinante que é cero cando 1 1 a a=1 ou a=-2 Entón neses valores de a rg(A)<3 Se a=-2, imos calcular o rango de A*

−2 1 1

1

1

− 2 1 ≠ 0 entón 1 1

incompatible.

o

rg(A*)=3

polo

que

o

sistema

é

Se a=1 as tres filas do sistema son iguais polo rg(A)=rg(A*)=1 e o sistema e Compatible Indeterminado. As solucións son z=λ, y=µ, x=1-λ-µ. Se a≠1 e a≠-2 o sistema é Compatible Determinado: 1 1 1 1 a 1 1 1 a a 2 − 2a + 1 (a − 1) 2 1 x= = 3 = = 2 A a − 3a + 2 (a − 1) (a + 2) a + 2 Calculando de xeito análogo y e z, vemos que son iguais a x.

que