Exercicios De Repaso Dos Temas 1 E 2 Resoltos

Exercicios de repaso para preparación do exame. Temas 1 e2 1. Na seguinte táboa indícase una audiencia (en miles de espectadores) de tres canles de TV (A, B, C) nunha determinada semana e en cada unha das tres franxas horarias (M: mañá, T: tarde, N: noite): A B C M 40 60 20 N 60 40 30 T 100 80 90 Sen embargo, como consecuencia da calidade dos programas emitidos, hai unha estimación dunha redución das audiencias en todas as franxas horarias do 10% para a canle A, unha redución do 5% para a canle B e un aumento do 20% para a canle C. a) Obtén a matriz que representa a nova a nova audiencia das canles nas tres franxas horarias. b) Sabendo que o beneficio que obtén cada canle por espectador é de 3 euros pola mañá, 4 euros pola tarde e 6 euros pola noite; obtén mediante o cálculo matricial os beneficios para cada unha das canles. Resolución a) Canle A (redución dun 10%) 10% de 40 = 4; 40-4=36 10% de 60 = 6; 60-6=54 10% de 100 = 10; 100-10=90 Canle B (redución dun 5%) 5% de 60 = 3; 60-3=57 5% de 40 = 2; 40-2=38 5% de 80 = 4; 80-4=76 Canle C (aumento do 20%) 20% de 20 = 4; 20+4=24 20% de 30 = 6; 30+6=36 20% de 90 = 18; 90+18=108 Nova matriz de audiencia:

 36 57 24     54 38 36   90 76 108    b) O beneficio podémolo expresar coa matriz (mañá, noite, tarde):

(3

6 4)

Polo tanto os cálculos son:

 36 57 24   Beneficio A = 792000€   (3 6 4) 54 38 36  = (792 703 720) ⇒ Beneficio B = 703000€  90 76 108   Beneficio C = 720000€    (xa que a matriz de audiencias está expresada en miles de espectadores)

2. Dadas as matrices:

 − 4 0  A =   1 1

 −1 2  B =   2 0

 2 0  C =   −1 2

Calcula a matriz X que verifica a ecuación: A·X·B = 2·C Resolución:

|A|=-4 e |B|=-4, polo tanto A e B son regulares. -1 -1 A ecuación matricial resólvese así: X = A 2CB -1 -1 Calculamos A e B , resultando:

 1   0 − 0 −1 − 1 4  e B = A =  1 1   1  4  2

1  2 1  4

Polo que:

 1 − X = 4  1  4 −1  0  2  =  2 1   2 

  0   2 0  0 2  1 1   − 1 2   2

1  1  − 2 =  4 1  1   4  4

  0  4 0  0   1 1  − 2 4   2

1    − 1 0  0 2 =   1   − 1 4  1   4 2

3. Dada a matriz:

0 0 0   A = 1 0 0 0 1 0   Calcula: a) a matriz inversa, se existe, das matrices I + A e I - A -1 b) a expresión (I + A)(I - A) Resolución:

1 0 0   a) I + A =  1 1 0  0 1 1  

0 0 1   I − A =  −1 1 0  0 −1 1  

Teñen inversa xa que o determinante da primeira e o da segunda é 1 Cálculo da adxunta de I+A:

( I + A)11 = 1 ( I + A)12 = −1 ( I + A)13 = 1 ( I + A) 21 = 0 ( I + A) 22 = 1 ( I + A) 23 = −1 ( I + A) 31 = 0 ( I + A) 32 = 0 ( I + A) 33 = 1 0 0 1 −1 1  1     1 t −1 Adx( I + A) =  0 1 − 1 ⇒ ( I + A) = [adx( I + A)] =  − 1 1 0  I+A 0 0 1   1 −1 1     Cálculo da adxunta de I-A:

1  2 = 1  4

( I − A)11 = 1 ( I − A)12 = 1 ( I − A)13 = 1 ( I − A) 21 = 0 ( I − A) 22 = 1 ( I − A) 32 = 1 ( I − A) 31 = 0 ( I − A) 32 = 0 ( I − A) 33 = 1  1 1 1 1 0 0      1 t −1 Adx( I − A) =  0 1 1 ⇒ ( I − A) = [Axd ( I − A)] = 1 1 0  ( I − A)  0 0 1 1 1 1      b)

( I + A)( I − A)

−1

 1 0 0 1 0 0   1 0 0       =  1 1 0 1 1 0  =  2 1 0   0 1 1 1 1 1   2 2 1      

4. Resolve a ecuación matricial (N - I) X = C, onde

 3   4      A = (2 1 − 1), B =  − 2 , C =  − 2   1   0      e N=B·A

Resolución:

3 − 3  3   6     N =  − 2 (2 1 − 1) =  − 4 − 2 2   1   2 1 − 1     3 − 3  5   −1 N − I =  − 4 − 3 2  ⇒ N − I = 2 ≠ 0 ⇒ ∃( N − I )  2 1 − 2   Polo tanto a ecuación matricial resólvese deste xeito: -1

X = (N-I) C -1

t

Calculemos (N-I) =1/2 [Adx(N-I)]

Calculamos previamente Adx(N-I):

( N − I )11 = 4 ( N − I )12 = −4 ( N − I )13 = 2 ( N − I ) 21 = 3 ( N − I ) 22 = −4 ( N − I ) 23 = 1 ( N − I ) 31 = −3 ( N − I ) 32 = 2 ( N − I ) 33 = −3 3  3 − 3  2  4  4 −4 2  2     1 Adx( N − I ) =  3 − 4 1  ⇒ ( N − I ) −1 =  − 4 − 4 2  =  − 2 − 2 2 1  − 3 2 − 3 1 − 3   1  2   2 

− 3  2  1  − 3 2 

Entón:

3   2 2  X = ( N − I ) −1 C =  − 2 − 2 1  1  2 

− 3  4   5  2     1  − 2  =  − 4  − 3      0   3  2 

5. Hacha os valores de k para os cales a matriz:

4 5 6 − k   1 2 3 − k A= −k −k 0 − 1    − k − k − k − 1   a) non ten inversa b) ten rango 3 Resolución: a)

4 5 6 4 5 6 − k − k     −k 1 2 3  F4 − F3  − k 1 2 3 − k →  = −( − k ) − k − k − k 0 − 1 −k −k 0 − 1     −k  − k − k − k − 1  0  0 − k 0     1

4

= k (−k ) 1 1 1 −k

4 1 −k

6 3 = −1

6 3 = − k 2 (−1 + 12 − 6k − 6 + 3k + 4) = − k 2 (−3k + 9) −1

 −k2 = 0 ⇔ k = 0 − k (−3k + 9) = 0 ⇔  Entón para estes valores de k a matriz non ten − 3k + 9 = 0 ⇔ k = 3 2

inversa. b) A única posibilidade de que a matriz teña rango menor que 4 e que k=0 ou k=3. Estudemos os dous casos:

Se k=0 a matriz queda:

 0 4 5 6   3 0 1 2 A= e o menor 0 0 0 − 1    0 0 0 − 1  

4 5 6 1 2 3 = −8 + 5 = −3 ≠ 0 , polo que o rango é 3 0 0 −1

Se k=3 a matriz queda:

 - 3 4 5 6   3  -3 1 2 A= e o menor - 3 - 3 0 − 1    − 3 - 3 - 3 − 1   rango volve a ser 3.

4 1

5 2

6 3 = −8 − 30 + 36 + 5 = 3 ≠ 0 . Polo que o

− 3 0 −1