Exercicios De Repaso De Polinomios_resoltos

Exercicios de Repaso de Polinomios 1. Dado o polinomio P(x) = x3+2x2-x-3, calcula o seu valor numérico para x = -2 e x=1/2. (Fai cada un con un método distinto) ¿Que é -2 do polinomio? Como hai que facer cada un cun método distinto, o primeiro farémolo aplicando o teorema do resto e o segundo substituíndo: 1

2

-1

-3

1

-2 0

0 -1

2 -1

-2

entón P(-2)=-1 3

2

1 1 1 1 1 24 23 1 1 1 P  =   + 2  − − 3 = + − − 3 = − =− 2 8 2 2 8 8 8 2 2 2 2. Efectúa: (Divide polo método de Ruffini se é posible) a) (2x3 – 3x + 5)—(x2 – x –2) b) (7x2 + x – 3) – (4x4 + 3x3 – 6x2 – x + 3) c) (2x4 + 3x2 – x + 6):(x+5) d) (3x3 – x + 8 - 5x2):(x2-1) 3. Calcula aplicando as igualdades notables:

a ) ( x + x )·(x − x ) = x 2 −

( x)

2

= x2 − x

b) (3 − x 2 ) 2 = 9 − 6 x 2 + x 4 c)

(3x

2

+ 4 xy 3

)

2

= 9 x 4 + 24 x 3 y 3 + 16 x 2 y 6

4. ¿Que é un monomio? ¿E un polinomio?. Pon exemplos. ¿Que é o grao dun polinomio? ¿Que se entende por raíz dun polinomio?. ¿Cantas raíces pode ter como máximo un polinomio? Nos apuntes e/ou no libro 5. Factoriza os polinomios P(x) e Q(x). Indica cáles son as súas raíces.

P(x) = x4 − 3x3 + x2 + 3x − 2 Q(x) = x3 − 2x2 − x + 2

1

-3

1

3

-2

1

1 -2

-2 -1

-1 2

2 0

1

-1 -3

3 2

-2 0

1

1 -2

-2 0

1

2 0

1

-1

1

2

coeficientes de Q(x)

Entón P(x)=(x-1)2(x+1)(x-2) e Q(x)=(x+1)(x-1)(x-2) 6. Escribe un polinomio de cuarto grao que verifique: a) P(-3)=0 b) (x-2) é un factor c) 1 é unha raíz dobre d) O coeficiente principal é 3 a) b) c) d)

quere dicir que (x+3) é factor (x-2) é factor (x-1)2 é factor o coeficiente principal sempre aparece na descomposición

Polo tanto P(x)=3(x+3)(x-2)(x-1)2 7. Os seguintes polinomios teñen todas as raíces reais pero unha ou dúas non son enteiras. Calcula os factores e todas as raíces.

a) 2 x 3 − x 2 − 8 x + 4 b) 6 x 4 + 13x 3 + 6 x 2 − 3x − 2 a) 2

-1 4

-8 6

4 -4

2

3 -4 -1

-2 2 0

0

2

-2 2

2x-1 non ten raíces enteiras, pero é fácil calcular a súa raíz: 2x-1=0 x=1/2

1 2 x 3 − x 2 − 8 x + 4 = 2( x − 2)( x + 2)( x − ) 2

b) 6 -1 6 -1 6

13

6

-3

-2

-6 7 -6 1

-7 -1 -1 -2

1 -2 2 0

2 0

Este último polinomio cociente 6 x + x − 2 non ten raíces enteiras, pero podemos calcular as súas raíces resolvendo a ecuación: 2

− 2 − 1 ± 1 + 48  3 = 6x 2 + x − 2 = 0 ⇒ x = 12 1  2 2 1 2 Entón a descomposición é 6( x + 1) ( x + )( x − ) 3 2 8. Efectúa (se é posible divide polo método de Ruffini):

a)

(x

3

) (

)(

2

)

− 2 x + 3 = x 3 − 2 x + 3 x 3 − 2 x + 3 = x 6 − 2 x 4 + 3x 3 − 2 x 4 + 4 x 2 − 6 x

+ 3 x − 6 x + 9 = x − 4 x + 6 x + 4 x − 12 x + 9 3

b)

(x

6

2

4

)(

3

2

)

− 3x + 1 · x 3 + 2 x 2 − x − 3x + 5 = x 5 + 2 x 4 − x 3 − 3x 4 − 6 x 3 + 3x 2 + x 3

+ 2 x 2 − x − 3x + 5 = x 5 − x 4 − 6 x 3 + 5 x 2 − 4 x + 5

(

)

c) ( x 5 − 3 x 3 + x 2 − 2 x + 1) : x 3 − x + 1 Cociente : x 2 − 1 Re sto : 3

(x

)

1  − 2x + 3 :  x +  2  1 0 0 0 −1 −1 1 −1 2 2 4 8 −1 1 −1 1 2 4 8

d)

5

Cociente : x 4 −

−2 1 16 − 31 16

3 31 32 127 32

1 3 1 2 1 31 127 x + x − x− Re sto : 2 4 8 16 32