Exercicios De Analise Matematica I/ii (ist/2003)

Exerc´ıcios de An´alise Matem´atica I/II Departamento de Matem´atica do Instituto Superior T´ecnico 10 de Setembro de 2003

´Indice

1 N´ umeros Reais. Sucess˜ oes.

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2 S´ eries 2.1 S´eries num´ericas elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Convergˆencia absoluta e crit´erio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 S´eries de potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 25 31

3 Fun¸ co ˜es. Continuidade e Limites.

35

4 C´ alculo Diferencial. 4.1 No¸ca ˜o de derivada. Primeiras propriedades. 4.2 Teoremas de Rolle e Lagrange. Corol´ arios. . 4.3 Regras de Cauchy. Indetermina¸co ˜es. . . . . 4.4 Teorema de Taylor. Estudo de fun¸co ˜es . . . 4.5 S´erie de Taylor. Desenvolvimentos em s´eries

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de potˆencias.

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5 Primitiva¸ c˜ ao

53 53 58 67 76 91 99

6 Integral de Riemann 111 6.1 Defini¸ca ˜o e primeiras propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2 Teorema fundamental. Regra de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3 C´ alculo de a ´reas, comprimentos de linha e volumes de s´ olidos de revolu¸ca ˜o . . . . . 127 7 Introdu¸ c˜ ao ` a An´ alise em Rn 7.1 Topologia e sucess˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Continuidade e limites . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Teorema da deriva¸ca ˜o da fun¸ca ˜o composta . . . . 7.5 Teoremas do valor m´edio e de Taylor . . . . . . . 7.6 Teoremas da fun¸ca ˜o inversa e da fun¸ca ˜o impl´ıcita 7.7 Estudo de extremos . . . . . . . . . . . . . . . .

3

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137 137 140 144 151 159 162 167

4

Nota pr´ evia Este texto foi objecto de publica¸ca ˜o por parte da IST Press1 em Setembro de 2003. Excepto as f´ ormulas nas diversas figuras, que sofreram um “percal¸co” n˜ ao particularmente grave de ordem t´ecnica na edi¸ca ˜o tipogr´ afica que se espera corrigir em edi¸co ˜es posteriores, aquela vers˜ ao passou a ser a vers˜ ao autoritativa e haver´ a pequenas correc¸co ˜es que ali estar˜ ao presentes mas aqui n˜ ao. Al´em disso faz-se notar que a edi¸ca ˜o tipogr´ afica e esta introduzem relativamente a vers˜ oes anteriores a Agosto de 2003 uma altera¸ca ˜o de numera¸ca ˜o no cap´ıtulo 4: o pseudo exerc´ıcio 4.60 foi eliminado pelo todos os 4.x com x > 60 passam a 4.(x − 1). O pre¸co da edi¸ca ˜o tipogr´ afica compara-se muito favoravelmente com pre¸co de uma impress˜ ao do texto pelo que tamb´em por isso se desaconselha a impress˜ ao desta vers˜ ao embora se mantenha o acesso livre nos moldes tradicionais.

1 Ver

http://www.istpress.ist.utl.pt/lexerc´ ıciosmath.htm .

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Introdu¸c˜ ao Aquilo que vai come¸car a ler tem uma hist´ oria algo fora de vulgar no que respeita a textos de Matem´ atica a n´ıvel universit´ ario. Esta nota tenta explicar a sua g´enese, dar cr´edito por forma provavelmente incompleta a quem para ele contribuiu e fazer algumas observa¸co ˜es em nome da entidade algo difusa a que se pode chamar autor neste caso. A origem da maior parte do texto s˜ ao enunciados de perguntas de provas de avalia¸ca ˜o nas disciplinas de An´ alise Matem´ atica do Instituto Superior T´ecnico no 1o ano dos cursos ali leccionados entre 1970 e 1980. O u ´ltimo cap´ıtulo corresponde a material que, por vezes, s´ o ´e leccionado no 2 o ano. O ano de 1967 ficou assinalado no IST pela admiss˜ ao como Professor Catedr´ atico de Matem´ atica de Jaime Campos Ferreira que cedo se rodeou nas disciplinas de An´ alise Matem´ atica I e II de um n´ umero consider´ avel de Monitores e Assistentes que, alunos dos cursos de Engenharia, tinham adquirido um gosto consider´ avel pela Matem´ atica. Alguns s˜ ao hoje professores de Matem´ atica no IST e noutras escolas. Um acontecimento not´ avel no pa´ıs na d´ecada de 70 foi a revolu¸ca ˜o do 25 de Abril que teve consequˆencias variad´ıssimas na vida das universidades portuguesas. Uma destas foi a multiplica¸ca ˜o do n´ umero de provas de avalia¸ca ˜o de conhecimentos por disciplina que a ` luz dos padr˜ oes actuais passaram a ser em n´ umero exagerad´ıssimo. Isto obrigou o corpo docente de Matem´ atica, e em particular Jaime Campos Ferreira e a sua equipa, a um esfor¸co consider´ avel na produ¸ca ˜o de enunciados de exame. Estes enunciados formaram um conjunto extremamente coeso de material de qualidade que o ent˜ ao jovem Assistente Francisco Viegas coleccionou, ordenou, seleccionou e reescreveu com a sua excelente caligrafia, tendo como objectivo reciclar para material de apoio a `s aulas pr´ aticas o que de outra forma teria sido esquecido. O empenho e cuidado nesta opera¸ca ˜o n˜ ao trivial rapidamente tornaram o texto assim produzido uma referˆencia para as aulas pr´ aticas destas disciplinas. A primeira metade da d´ecada de 80 assistiu, gra¸cas a ` existˆencia do 12 o ano do ensino secund´ ario e a ` habitual press˜ ao numa escola de Engenharia para a Matem´ atica ser introduzida t˜ ao cedo quanto poss´ıvel, a ` introdu¸ca ˜o da An´ alise de fun¸co ˜es de mais de uma vari´ avel real na parte final do curr´ıculo de An´ alise Matem´ atica II. Isto teve como consequˆencia o aparecimento de um apˆendice (com a caligrafia do signat´ ario) englobando um conjunto de exerc´ıcios oriundo de provas de An´ alise Matem´ atica III. Por outro lado Paulo de Almeida denodadamente escreveu um conjunto de solu¸co ˜es de alguns dos exerc´ıcios. Na in´ıcio da d´ecada de 90 o rec´em-doutorado Francisco Teixeira percebeu que o material que assim se tinha constru´ıdo valia a pena ser revisto para ser disponibilizado num formato mais perene e que tal era vi´ avel com um investimento de tempo e esfor¸co n˜ ao exagerado e feito localmente gra¸cas aos avan¸cos tecnol´ ogicos no campo dos computadores pessoais e do processamento de texto matem´ atico. O pr´ oprio Jaime Campos Ferreira reviu a vers˜ ao final. Perdeu-se a bela caligrafia mas ganhou-se em legibilidade e em capacidade de actualizar o texto. Isto n˜ ao impediu que o texto come¸casse a ganhar apˆendices v´ arios e a ter um ar antiquado em termos gr´ aficos. O ser respons´ avel por alguns dos cursos de An´ alise Matem´ atica I/II no in´ıcio do novo s´eculo motivou o meu envolvimento numa nova grande revis˜ ao incidindo sobre o aspecto tipogr´ afico, reordenamento de exerc´ıcios, clarifica¸ca ˜o de um grande n´ umero de solu¸co ˜es, alguma uniformiza¸ca ˜o de nota¸ca ˜o, refazer de todas as ilustra¸co ˜es,. . . Tal teria introduzido uma nova gera¸ca ˜o de gralhas n˜ ao fosse a revis˜ ao cuidada de Lu´ısa Ribeiro. 7

Os avan¸cos tecnol´ ogicos permitiram a disponibiliza¸ca ˜o via web num formato de hipertexto. Este facto n˜ ao impede com certeza que esta edi¸ca ˜o pela IST Press venha a ser muito bem vinda por parte dos alunos devido a ` dificuldade e custo da impress˜ ao de um texto desta dimens˜ ao. Mantiveram-se as referˆencias a ` prova em que cada pergunta foi apresentada e respeitou-se tanto quanto poss´ıvel o texto original excepto em casos de conflitos de nota¸ca ˜o, gralhas, etc., servindo assim de mem´ oria de um trabalho colectivo para o qual contribuiram in´ umeros colegas desde o assinalar de gralhas a enunciados de problemas ou solu¸co ˜es. Espero que esta introdu¸ca ˜o n˜ ao peque demasiado por omiti-los. Finalmente fa¸co notar que quem usar este texto deve ter presente que: o incluir um pequeno n´ umero de solu¸co ˜es ´e uma op¸ca ˜o consciente para por um lado manter o desafio do desconhecido e por outro dar alguns exemplos de como se redige Matem´ atica; a ordena¸ca ˜o das mat´erias ´e uma das poss´ıveis correspondendo a uma ordena¸ca ˜o popular no IST; dada a dificuldade em escrever exerc´ıcios razo´ aveis sobre alguns t´ opicos, geralmente introdut´ orios, h´ a assuntos que aparecer˜ ao subrepresentados (e outros sobrerepresentados). Instituto Superior T´ecnico, 4 de Abril de 2003, Jo˜ ao Palhoto Matos

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Cap´ıtulo 1

N´ umeros Reais. Sucess˜ oes. 1.1 Indique, se existirem, os majorantes, os minorantes, o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo de cada um dos conjuntos: a) V (a) (onde a ´e um real e  um real positivo). b) {x : x ∈ R ∧ x4 − 3x3 + 2x2 ≤ 0}. (Grupo I do 1o Teste de 24/2/79)

1.2 Considere os seguintes subconjuntos de R: n o x A = x ∈ R : |x| ≥ + 2 , 2

B = [−3, 4],

C = R \ Q.

a) Mostre que A ∩ B = [−3, − 34 ] ∪ {4}.

b) Indique, se existirem em R, sup A, min(A ∩ B), max(A ∩ B), inf(A ∩ B ∩ C), sup(A ∩ B ∩ C) e min(A ∩ B ∩ C). ´ (Pergunta 1 do Grupo I do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

1.3 Considere os seguintes subconjuntos de R:   1 : n ∈ N1 , A= B = R \ Q, n

C = {x ∈ R : log x ≥ 0}.

Indique, se existirem em R, o inf A, min(A∪C), sup(A∪C), inf(A∩C), min(B ∩C) e o sup(A∩B).

´ de 7/2/97) (Pergunta 1 do Grupo I do Exame de 2a Epoca

1.4 Considere os seguintes subconjuntos de R: A = {x : x ∈ R \ Q ∧ x > 0},

B=



 x−1 x: ≤0 , 2x + 3

C = A ∩ B.

Para cada um dos conjuntos A, B e C: a) Indique o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes. b) Indique o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo, no caso de existirem. (Grupo I do 1o Teste de 7/4/79)

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´ ˜ CAP´ITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES. 1.5 Considere os conjuntos   x−1 A= x∈R: ≥ 0 , x2

B=



x ∈ R : log

 1 ≥1 . x

Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo. (Pergunta 1 do Grupo I do 2o Exame de 6/2/95)

1.6 Considere os conjuntos  A= x∈R:

 x ≤0 , ex (x + 1)

 B = x ∈ R : ex ≥ e−x .

Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo. ´ de 24/2/95) (Grupo I da 2a Epoca

1.7 Considere os conjuntos   ex ≥0 , A= x∈R: |x|

B = {x ∈ R : | lim xn | ≤ 1},

C = A ∩ B.

Para cada um dos conjuntos A e C, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo. (Pergunta 1 do Grupo I do 1o Exame de 23/1/95)

1.8 Considere os conjuntos  A= x∈R:

 1 ≥1 , log x

B=



 (−1)n 1− : n ∈ N1 . n

Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo. (Pergunta 1 do Grupo I do 2o Exame de 9/2/94)

1.9 Indique se s˜ ao majorados, minorados, limitados os seguintes subconjuntos de R:   y y−1 A = {x : |x − 3| = 2|x|}, B= y: . < y−1 y Indique ainda (se existirem, em R) o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo de cada um desses conjuntos. (Grupo Ia da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

Resolu¸ c˜ ao: A = {x ∈ R : |x − 3| = 2|x|} = {x ∈ R : |x − 3| = |2x|} = {x ∈ R : x − 3 = 2x ou x − 3 = −2x} = {−3, 1},     y y y−1 y−1 = y∈R: B= y∈R: < − <0 y−1 y y−1 y   1 y− 2 <0 = y∈R:2 y(y − 1)

= {y ∈ R : y < 1/2, y < 0, y < 1} ∪ {y ∈ R : y < 1/2, y > 0, y > 1}

∪ {y ∈ R : y > 1/2, y < 0, y > 1} ∪ {y ∈ R : y > 1/2, y > 0, y < 1} = ] − ∞, 0[ ∪ ]1/2, 1[ . 10

Como A = {−3, 1} e B = ] − ∞, 0[ ∪ ]1/2, 1[ conclui-se que A ´e limitado e B ´e apenas majorado. Portanto sup A = 1, inf A = −3, sup B = 1, B n˜ ao tem ´ınfimo em R, max A = 1, min A = −3 e B n˜ ao tem m´ aximo nem m´ınimo em R. 1.10 Seja A um subconjunto de R, majorado e n˜ ao vazio e seja m um majorante de A, distinto do supremo deste conjunto. Mostre que existe  > 0 tal que V (m) ∩ A = ∅. (Grupo Ib do Exame Final de 30/4/80)

1.11 Sendo A um subconjunto majorado e n˜ ao vazio de R e α = sup A, prove que, para qualquer  > 0, o conjunto V (α) ∩ A ´e n˜ ao vazio. Na hip´ otese de α n˜ ao pertencer a A, o conjunto V  (α) ∩ A pode ser finito? Justifique a resposta. (Grupo IVa do Exame Final de 10/5/79)

1.12 Sendo U e V dois subconjuntos majorados e n˜ ao vazios de R, tais que sup U < sup V , justifique (de forma precisa e abreviada) as afirma¸co ˜es seguintes: 1. Se x ∈ U , ent˜ ao x < sup V . 2. Existe pelo menos um y ∈ V tal que y > sup U . (Grupo Ib da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

1.13 Prove que, se X e Y s˜ ao dois subconjuntos de R tais que sup X > inf Y , existem x ∈ X e y ∈ Y tais que y < x. (Grupo IVa da Prova de 26/7/78)

1.14 Sejam A e B dois subconjuntos de R. 1. Prove que, se sup A < inf B, A e B s˜ ao disjuntos; 2. Mostre, por meio de exemplos, que se for sup A > inf B ∧ sup B > inf A, A e B podem ser ou n˜ ao ser disjuntos. (Pergunta 1b do Ponto no 2, Exame Final de 17/7/71)

1.15 Sejam A e B dois subconjuntos majorados e n˜ ao vazios de R e sejam α = sup A, β = sup B. Justifique que o conjunto C = A∪B tem supremo e, designando-o por γ, prove que γ = max{α, β}. (Grupo IVa do Exame Final de 4/5/79)

1.16 Considere os seguintes subconjuntos de R: A = {x : sen x ≥ 0},

B = {x : |x| < 2π},

C = A ∩ B.

1. Para cada um dos conjuntos A, B e C: (a) Indique se o conjunto tem ou n˜ ao majorantes e minorantes (em R) e, se existirem, quais s˜ ao. (b) Indique o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo dos mesmos conjuntos, no caso de existirem. 2. Apenas para o conjunto C: 11

´ ˜ CAP´ITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES. (a) Indique o menor intervalo que cont´em esse conjunto (de forma mais precisa: indique um intervalo I que contenha o conjunto C e esteja contido em qualquer intervalo que contenha C). (b) Dˆe um exemplo de uma sucess˜ ao convergente, cujos termos perten¸cam a C e cujo limite n˜ ao perten¸ca ao mesmo conjunto. (Grupo I do 1o Teste de 11/3/78)

1.17 Prove que, para todo o n´ umero natural n ≥ 4, se tem (n!)2 > 2n n2 . ´ (Pergunta 2 do Grupo I do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

1.18 Demonstre pelo princ´ıpio da indu¸ca ˜o matem´ atica as seguintes identidades: a) 1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 , ∀n ∈ N1 . b)

1 1.2

+

1 2.3

+···+

1 n(n+1)

=

n n+1 ,

∀n ∈ N1 .

1.19 Demonstre que a) n! ≥ 2(n−1) , ∀n ∈ N1 . b)

3n−1 n!

<

19 n2

para qualquer n´ umero natural n ≥ 4.

1.20 Demonstre a desigualdade de Bernoulli: Sendo a > −1, n ∈ N, (1 + a) n ≥ 1 + na. 1.21 Demonstre, pelo princ´ıpio da indu¸ca ˜o matem´ atica, o bin´ omio de Newton: (a + b)n =

n   X n p=0

Recorde que

n p




p

an−p bp ,

∀n ∈ N,

∀a, b ∈ R.

designa, em an´ alise combinat´ oria, as combina¸co ˜es de n elementos p a p, e tem-se   n n! = p p!(n − p)!

(1.1)

(n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 4 · 3 · 2 · 1). Uma propriedade importante ´e a seguinte,       n+1 n n = + , k k−1 k cuja demonstra¸ca ˜o se reduz ao c´ alculo destes valores por aplica¸ca ˜o da express˜ ao (1.1). 1.22 Calcule os limites das sucess˜ oes de termos gerais  n [(−1)n + 3]n 1 , vn = un = 1 + . 2n (2n)! (Pergunta 2 do Grupo I do 2o Exame de 9/2/94)

1.23 Calcule, se existir, o limite de cada uma das sucess˜ oes definidas como se segue: a) vn =

n

√1 , n2

12

b) wn =

an n ,

onde a ∈ R. ´ (Perguntas 1bc do Grupo I do Exame A da Epoca Especial de 17/11/95)

1.24 Indique, justificando abreviadamente, o conjunto dos sublimites de cada uma das sucess˜ oes de termo geral 1 n nπ nπ an = sen + cos , bn = e(1− n ) . 2 2 ´ (Pergunta 3 do Grupo I do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

1.25 Diga, justificando, se s˜ ao verdadeiras ou falsas as proposi¸co ˜es seguintes: a) Qualquer sucess˜ ao crescente de termos em ] − 1, 1[ converge. b) Se (un ) e (vn ) s˜ ao sucess˜ oes limitadas, o conjunto dos sublimites da sucess˜ ao (un + vn ) ´e n˜ ao vazio. c) Se (un ) ´e uma sucess˜ ao tal que, para todo o n ∈ N, u2n ∈ ]0, 1[ e u2n+1 ∈ ]1, 2[, ent˜ ao (un ) ´e divergente. (Pergunta 2 do Grupo I do 1o Exame de 26/1/94)

1.26 Sejam (xn ) e (yn ) sucess˜ oes tais que (xn ) ´e crescente e, para todo o n ∈ N, xn ≤ yn . Mostre que, se (yn ) ´e convergente, o mesmo acontece com (xn ) e estabele¸ca, nesse caso, uma rela¸ca ˜o entre lim xn e lim yn . ´ (Pergunta 2 do Grupo I do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

1.27 Sejam (xn ) e (yn ) duas sucess˜ oes reais tais que, para qualquer n ∈ N1 , xn ≤ yn . Mostre que se lim xn = +∞ ent˜ ao tamb´em lim yn = +∞. (Pergunta 3 do Grupo I do 2o Exame de 9/2/94)

1.28 Considere os conjuntos   x−1 ≥ 0 , A= x∈R: x2

B=



x ∈ R : log

 1 ≥1 . x

1o Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo. 2o Indique, justificando, quais das proposi¸co ˜es seguintes s˜ ao verdadeiras e quais s˜ ao falsas: a) Toda a sucess˜ ao mon´ otona de termos em B ´e convergente. b) O conjunto dos sublimites de uma sucess˜ ao de termos em A ´e n˜ ao vazio. c) Se (xn ) ´e sucess˜ ao de termos em A, xnn ´e divergente. P+∞ n d) Se a ∈ B, a s´erie n=1 an ´e convergente.

(Grupo I do 2o Exame de 6/2/95)

1.29 Considere os seguintes subconjuntos de R:     1 2x − 2 . ≤1 , B = x : ∃n∈N |x − n| < A= x: x−2 10 13

´ ˜ CAP´ITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES. 1. Indique, justificando, se A e B s˜ ao majorados, minorados, limitados e se tˆem m´ aximo, m´ınimo, supremo ou ´ınfimo. 2. Dˆe um exemplo de uma sucess˜ ao cujos termos perten¸cam ao conjunto B e que n˜ ao seja limitada. Seria poss´ıvel dar o exemplo pedido se, em vez de B, se considerasse o conjunto A? Justifique. (Grupo I do 1o Teste de 6/3/80)

1.30 Seja A um subconjunto de R, com supremo s. Prove que existe uma sucess˜ ao xn , de termos em A, convergente para s. Prove ainda que, se A n˜ ao tem m´ aximo, a sucess˜ ao x n pode ser escolhida por forma que seja estritamente crescente. (Grupo IVa do Exame Final de 21/9/79) 1 1.31 Considere un = sen[(−1)n ( π2 − n+1 )]. Determine o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes do conjunto dos termos da sucess˜ ao. Diga se tem ´ınfimo, supremo, m´ınimo ou m´ aximo o conjunto dos termos da sucess˜ ao.

(Grupo Ib do Exame O.S. de 11/2/80)

1.32 Considere as sucess˜ oes de termos gerais un =

(−1)n , n2

vn = [1 + (−1)n ]n,

wn =

2n+1 2n + 1

e indique, justificando abreviadamente as respostas: 1. as que s˜ ao mon´ otonas, as que s˜ ao limitadas e as que s˜ ao convergentes; 2. o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo (se existirem) do conjunto dos termos de cada uma das sucess˜ oes consideradas. (Grupo Ia do Exame Final de 30/4/80)

n 1 e limitada. (un ) Resolu¸ c˜ ao: Quanto a (un ), |un | = (−1) n2 = n2 < 2 para qualquer n, logo (un ) ´ n˜ ao ´e crescente, pois, por exemplo, u3 < u2 ; nem ´e decrescente pois, por exemplo, u2 > u1 . (un ) ´e convergente para 0 pois |un | ≤ n12 e n12 tende para 0. Quanto a (vn ), |vn | = |(1 + (−1)n )n| = |1 + (−1)n |n, logo (vn ) n˜ ao ´e limitada pois dado M ´e sempre poss´ıvel encontrar n0 tal que |vn0 | > M ; com efeito, escolhendo n0 par tal que n0 > M 2 ao ´e decrescente, pois, por exemplo v1 < v2 , nem crescente pois vir´ a |vn0 | = 2n0 > M . (vn ) n˜ v2 > v3 . (vn ) n˜ ao ´e convergente pois se o fosse seria limitada e n˜ ao o ´e. Quanto a (wn ), wn = 1+22−n o que permite reconhecer que (wn ) ´e uma sucess˜ ao de termos crescente e com todos os termos menores que o seu limite que ´e 2 e todos os termos maiores ou iguais ao primeiro que vale 4/3. 1.33 Das sucess˜ oes de termos gerais an = (−1)n ,

bn =

3n3 + 3n2 + 1 , 2n3 − 3

cn = a n bn ,

dn =

2n + 4 n 3n+1

indique, justificando as respostas, as que s˜ ao limitadas e as que s˜ ao convergentes (indicando neste caso os respectivos limites). (Grupo IIa do 1o Teste de 7/4/79)

14

1.34 Das sucess˜ oes de termos gerais un =

(−1)n+1 , n

vn =

nn+1 , nn + 1

wn = u n vn

indique, justificando abreviadamente as respostas, as que s˜ ao limitadas e as que s˜ ao convergentes. (Grupo IIa do 1o Teste de 11/3/78)

1.35 Calcule (se existirem) os limites das sucess˜ oes de termos gerais: un =

cos(nπ) + cos(2nπ) , n

vn =

(n + 1)! − n! , n!(n + 2)

wn =

n2 . 1 + 2n

(Grupo IIa da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

Resolu¸ c˜ ao: un ´e da forma an bn onde an = cos(nπ) + cos(2nπ) ´e limitada (pois |an | = | cos(nπ) + cos(2nπ)| ≤ | cos(nπ)| + | cos(2nπ)| ≤ 1 + 1 = 2) e bn = n1 → 0. Logo un → 0. n!((n + 1) − 1) n (n + 1)! − n! = = . Logo vn → 1. vn = n!(n + 2) n!(n + 2) n+2 n2 n2 n2 Como 0 ≤ wn = < e, como → 0, tamb´em wn → 0. 1 + 2n 2n 2n 1.36 Indique, justificando abreviadamente a resposta, o conjunto dos valores reais de a para os an quais a sucess˜ ao de termo geral xn = 1+2n ´e: 2 i) convergente; ii) divergente, mas limitada. (Grupo IIb da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

1.37 Para cada a ∈ R determine, quando existam, os limites das sucess˜ oes de termos gerais: a)

an − 1 , an2 + 1

b)

an − 2 . a2n + 1 (Grupo II do 1o Teste de 24/2/79)

Resolu¸ c˜ ao: an − 1 = −1 e lim un = −1. an2 + 1 an 1 an − 1 Se a 6= 0 tem-se1 un = ∼ = → 0 . Logo un → 0. 2 2 an + 1 an n

a) Se a = 0 vem un =

an − 2 an ∼ = a−n → 0 e lim un = 0. a2n + 1 a2n an − 2 ∼ −2 e lim un = −2. Se |a| < 1 tem-se un = 2n a +1 1 1 Se a = 1 vem un = − e lim un = − . 2 2 1 3 Se a = −1 vem u2n = − e u2n+1 = − . Logo un n˜ ao tem limite. 2 2

b) Se |a| > 1 tem-se un =

15

´ ˜ CAP´ITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES. 1.38 Estude, do ponto de vista da convergˆencia, as sucess˜ oes de termos gerais: an2 − n b2n 2 , vn = 2 , wn = arctg(cn) 2 n +1 n π onde a, b e c s˜ ao constantes; em caso de convergˆencia, determine o limite. un =

(Grupo Ia do Exame Final de 4/5/79)

1.39 Considere as sucess˜ oes seguintes: an2 + n + 1 com a ∈ R, (a + 1)n2 + 3 an + 1 vn = 2n com a, b ∈ R, b +3 (sen n)n . wn = 3n−1 Estude-as quanto a ` existˆencia de limite, obtendo os respectivos limites quando existirem. Indique quais s˜ ao as limitadas. un =

1.40 Estude, quanto a ` convergˆencia, as sucess˜ oes de termos gerais: un = cos(n!π),

vn =

n cos(nπ) , 2n + 1

wn =

1 + an 1 + a2n

(a ∈ R).

(Grupo Ia do Exame Final de 21/9/79)

1.41 Das sucess˜ oes de termos gerais n(2 + cos(nπ)) un = 1 + n(1 − cos(nπ))

e

vn =



a+1 a

n

indique, justificando, as que s˜ ao limitadas e as que s˜ ao convergentes (no caso de v n a resposta depender´ a naturalmente do valor de a, que deve supor-se real e diferente de 0). (Grupo Ia da Prova de 26/7/78)

1.42 Determine os limites das sucess˜ oes de termos gerais: s  n (3n)! a a) un = , b) vn = n , 1 + |a| (n!)3 onde a ´e um n´ umero real. (1971)

Resolu¸ c˜ ao: a) De a |a| 1 + |a| = 1 + |a| < 1 conclui-se imediatamente que lim un = 0.

b) Sabe-se que se an ≥ 0 para todo n e lim aan+1 = α ent˜ ao lim n

Logo lim

√ n

√ n

an = α. Com an =

(3n)! (n!)3

tem-se

an+1 (3(n + 1))! (n!)3 (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) 27n3 = · = ∼ 3 = 27 . 3 3 an ((n + 1)!) (3n)! (n + 1) n an = 27.

1 Sendo u e v duas sucess˜ oes de termos n˜ ao nulos, escreveremos un ∼ vn sse lim(un /vn ) = 1; ´e claro que n n a tamb´em para α. sendo un ∼ vn , se uma das sucess˜ oes tiver o limite α ∈ R, a outra tender´

16

1.43 Prove que a soma de duas sucess˜ oes limitadas ´e uma sucess˜ ao limitada. (Grupo IIb do 1o Teste de 6/3/80)

1.44 Seja an o termo geral de uma sucess˜ ao tal que, para todo o n ∈ N, 0 < an < an+1 < 1. 1. Justifique que a sucess˜ ao ´e convergente e indique um intervalo (de comprimento t˜ ao pequeno quanto poss´ıvel) que contenha o limite de qualquer sucess˜ ao que satisfa¸ca as condi¸co ˜es impostas a an . 2. Indique o supremo e o ´ınfimo do conjunto dos termos da sucess˜ ao; este conjunto ter´ a m´ aximo? E m´ınimo? Justifique abreviadamente as respostas. (Grupo Ia do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

1.45 Justifique que, se as condi¸co ˜es un > 0

un+1 <1 un

e

s˜ ao verificadas qualquer que seja n ∈ N, un ´e convergente. Mostre ainda, recorrendo directamente a ` defini¸ca ˜o de limite, que o limite de un n˜ ao pode ser um n´ umero negativo. (Grupo IIb do 1o Teste de 11/3/78)

1.46 Supondo 0 < a1 < a2 < · · · < an−1 < an < · · · e bn = 1/an , justifique que bn ´e convergente; indique ainda, se existirem, o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo do conjunto de todos os termos bn (n ∈ N1 ). Justifique as respostas. (Grupo IIb da Prova de 26/7/78)

1.47 Sendo xn o termo geral de uma sucess˜ ao mon´ otona, yn o termo geral de uma sucess˜ ao limitada e supondo verificada a condi¸ca ˜o ∀n∈N1

|xn − yn | <

1 n

prove em primeiro lugar que xn ´e limitada e depois que as duas sucess˜ oes s˜ ao convergentes para o mesmo limite. (Pergunta 2b do Exame Final (Ponto no 2) de 17/7/71)

1.48

1. Prove que se A e B s˜ ao subconjuntos de R tais que A ⊂ B e se A ´e n˜ ao vazio e B majorado, ent˜ ao sup A ≤ sup B.

2. Suponha que, para todo o n ∈ N, Xn designa um subconjunto majorado e n˜ ao vazio de R, tal que Xn ⊂ Xn+1 . Mostre que, para que a sucess˜ ao de termo geral sn = sup Xn seja convergente ´e necess´ ario e suficiente que exista um conjunto X, majorado em R, tal que Xn ⊂ X,

∀n ∈ N .

3. Dˆe exemplos de conjuntos Xn nas condi¸co ˜es indicadas no primeiro per´ıodo da al´ınea b) e tais que (a) todos os conjuntos Xn sejam infinitos e a sucess˜ ao de termo geral sn = sup Xn seja convergente; 17

´ ˜ CAP´ITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES. (b) todos os subconjuntos Xn sejam finitos e a sucess˜ ao dos respectivos supremos seja divergente. (Pergunta 4 da Prova de 19/9/72)

1.49 Supondo que, para cada n ∈ N1 , Xn ´e um subconjunto n˜ ao vazio de R e ainda que: (i) ∀n∈N1 Xn+1 ⊂ Xn ; (ii) X1 ´e um conjunto limitado. a) Justifique que existem o supremo e o ´ınfimo de cada um dos conjuntos Xn . b) Pondo an = inf Xn , bn = sup Xn , mostre que as sucess˜ oes an e bn s˜ ao convergentes e que lim an ≤ lim bn . (Grupo IV do 1o Teste de 24/2/79)

1.50 Seja un o termo geral de uma sucess˜ ao limitada; para cada n ∈ N, designe-se por Un o conjunto formado pelos termos da sucess˜ ao cuja ordem ´e maior do que n: Un = {up : p > n}. 1. Justifique que Un tem supremo e ´ınfimo. 2. Sendo αn = inf Un , βn = sup Un , prove que as sucess˜ oes αn e βn convergem e que, designando por α e β os seus limites, se tem α ≤ β. 3. Prove que un tem subsucess˜ oes convergentes para β e que nenhuma subsucess˜ ao de un converge para um n´ umero maior do que β (portanto, β ´e o limite m´ aximo de un ). (Grupo IV do 1o Teste de 6/3/80)

Resolu¸ c˜ ao: 1. Se (un ) ´e limitada, o conjunto U dos seus termos ´e limitado e Un ⊂ U tamb´em o ser´ a; o conjunto Un ´e n˜ ao vazio por defini¸ca ˜o de sucess˜ ao; Un , limitado e n˜ ao vazio tem pois um supremo e um ´ınfimo, como consequˆencia do axioma do supremo. 2. Como Un+1 ⊂ Un resulta que a sucess˜ ao de termo geral αn = inf Un ´e crescente e a sucess˜ ao de termo geral βn = sup Un ´e decrescente; mostremos que a primeira sucess˜ ao ´e majorada e a segunda minorada; com efeito, de Un ⊂ U e de U ser limitado sai que αn = inf Un ≤ sup Un ≤ sup U e βn = sup Un ≥ inf Un ≥ inf U ; como (αn ) ´e crescente e limitada superiormente, ent˜ ao (αn ) converge e como βn ´e decrescente e limitada inferiormente, (βn ) converge; da rela¸ca ˜o αn ≤ βn sai α = lim αn ≤ lim βn = β. 3. Come¸camos por provar que existem subsucess˜ oes de (un ) convergentes para β. Fa¸camo-lo definindo uma subsucess˜ ao (ukn ) de (un ) por indu¸ca ˜o. Consideramos uk0 = u0 e supostos definidos uk0 , . . . , ukn escolhemos m ∈ N tal que 0 < βm − β < 1/n (gra¸cas a lim βm = β) e m > kn (esta u ´ltima condi¸ca ˜o destina-se a garantir que estamos de facto a construir uma subsucess˜ ao). Por defini¸ca ˜o de supremo existe uq com q > m tal que 0 < βm − uq = sup Um − uq < 1/n. Tomamos ukn+1 = uq . Assim |ukn+1 − β| ≤ |ukn+1 − βm | + |βm − β| = (βm − uq ) + (βm − β) < 2/n. ao de (un ) e para n ∈ N1 temos |ukn − β| < 2/n A sucess˜ ao (ukn ) ´e de facto uma subsucess˜ o que garante que o seu limite ´e β. 18

Para provar que nenhuma subsucess˜ ao de un converge para um n´ umero maior do que β suponhamos, por absurdo, que existe um sublimite de un , β 0 , tal que β 0 > β. Tomando 0 <  < β 0 − β, tem-se ∀p∈N ∃n>p |un − β 0 | < . Portanto para todo o p ∈ N existe un ∈ Up tal que un > β 0 − . Desta forma, para todo o p ∈ N, βp = sup Up > β 0 − . Mas ent˜ ao dev´ıamos ter lim βn ≥ β 0 −  > β.

1.51 Justifique as afirma¸co ˜es seguintes: 1. Se un ´e uma sucess˜ ao limitada, qualquer subsucess˜ ao de un tem subsucess˜ oes convergentes. 2. Se un n˜ ao ´e limitada, existem subsucess˜ oes de un sem qualquer subsucess˜ ao convergente. (Grupo IVa da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

Resolu¸ c˜ ao: 1. Sendo un limitada, qualquer subsucess˜ ao de un sˆe-lo-´ a tamb´em e ter´ a, portanto, subsucess˜ oes convergentes (teorema de Bolzano-Weierstrass). 2. A sucess˜ ao un , sendo ilimitada, ter´ a uma subsucess˜ ao upn tal que |upn | → +∞ (para obter uma tal subsucess˜ ao bastar´ a escolher p1 tal que |up1 | > 1, depois p2 > p1 tal que |up2 | > 2, a ilimitada (visto que em valor absoluto tender´ a etc). Qualquer subsucess˜ ao de upn ser´ tamb´em para +∞) e n˜ ao poder´ a portanto ser convergente.

1.52 Seja A=



 x x∈R: 2 >0 . x −1

1. Diga se o conjunto A ´e majorado ou minorado e indique (caso existam) o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo de A. 2. Justifique que o conjunto dos sublimites de uma qualquer sucess˜ ao de termos em ]−∞, 0[ ∩ A ´e n˜ ao vazio. 3. Mostre, por meio de exemplos, que o conjunto dos sublimites de uma sucess˜ ao de termos em ]0, +∞[ ∩ A pode ser ou n˜ ao ser vazio.

19

´ ˜ CAP´ITULO 1. NUMEROS REAIS. SUCESSOES.

20

Cap´ıtulo 2

S´ eries 2.1

S´ eries num´ ericas. S´ eries elementarmente som´ aveis e s´ eries de termos com sinal fixo

2.1 Calcule (se existirem) os limites das sucess˜ oes de termos gerais: un =

2n+1 , 2n + 1

vn =

(−1)n , 2n + 1

wn =

n X 1 . k k=1

Nos casos em que conclua que n˜ ao existe limite (finito ou infinito), justifique essa conclus˜ ao. (Grupo IIa do 1o Teste de 6/3/80)

2.2 Sendo a, r ∈ R considere a sucess˜ ao definida por: ( x0 = a, xn = xn−1 + rn . a) Indique o conjunto dos valores de r para os quais a sucess˜ ao ´e convergente, e, para cada r pertencente a esse conjunto, determine o lim xn . [Sugest˜ ao: pode ser-lhe u ´til determinar uma outra express˜ ao para o termo geral xn da sucess˜ ao]. b) Justifique que para todo o r ≥ 0 a sucess˜ ao xn ´e mon´ otona e, considerando separadamente os casos 0 ≤ r < 1 e r ≥ 1, calcule lim arctan xn . (Grupo II1 do Exame de 2a ´ epoca de 24/9/80)

2.3 Calcule a soma da s´erie

2.4 Mostre que a s´erie

Resolu¸ c˜ ao: A s´erie

P∞

P+∞

n=1

n=2


2 n−1 . 5

un com un =

(Pergunta 2 do Grupo II do 1o Exame de 26/1/94)

√ √ n + 1 − n n ´e convergente e calcule a sua soma.

n+1

(Pergunta 2 da Prova de 12/3/74)

P∞

n=1 (an+1

− an ) estuda-se a partir de

Sn = (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) + · · · + (an+1 − an ) = an+1 − a1 . No nosso caso Sn =

n X k=1

√

k+1

k+1−

√ k k=

21

√ n+1−1

n+1

´ CAP´ITULO 2. SERIES e

√ √ lim Sn = lim( n+1 n + 1 − 1) = lim( m m − 1) = 0.

Este u ´ltimo resultado deve-se a que se lim(vn+1 /vn ) = α (e vn > 0) ent˜ ao lim P∞ dizer que n=1 un converge e tem soma nula. 2.5 Determine a natureza da s´erie

√ n

vn = α. Quer

∞ X n+1 . n! n=1

(Pergunta 1 da Prova de 22/3/74)

2.6 Estude, quanto a ` convergˆencia, as s´eries de termos gerais a)

n2 2n

e

b)

1 1 + a2n

(a > 0). (Grupo Ib do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

Resolu¸ c˜ ao: a) un =

n2 > 0 e como 2n

un+1 (n + 1)2 2n 1 = lim = <1 un 2n+1 n2 2 P resulta do crit´erio de d’Alembert que un ´e convergente. lim

b) Se |a| ≤ 1 a s´erie diverge, visto que ent˜ ao un n˜ ao tende para 0 (un → 1 se |a| < 1, un → 12 se |a| = 1). P 1 1 , sendo erie Se |a| > 1 a s´erie converge, visto que se tem nesse caso un ∼ a2n a2n uma s´ geom´etrica (de raz˜ ao a12 < 1) convergente.

2.7 Estude, quanto a ` convergˆencia, as s´eries ∞ X

n3 1 + n! n=0

e

∞  X

n=0

1 1 + |x|

n

.

Para esta u ´ltima, depois de determinar o conjunto dos valores de x para os quais a s´erie converge, calcule a respectiva soma num ponto x desse conjunto. (Pergunta 2a da Prova de 8/1/73)

2.8 Determine a natureza de cada uma das s´eries +∞ √ X n+1 n + n2 n=1

+∞ X 1−e , en n=0

e calcule a soma de uma delas. (Pergunta 1 do Grupo II do 2o Exame de 6/2/95)

22

´ ´ 2.1. SERIES NUMERICAS ELEMENTARES 2.9 Estude quanto a ` natureza (convergˆencia absoluta, convergˆencia simples, divergˆencia) cada uma das s´eries seguintes: +∞ X

(−1)n e−n ,

n=1

+∞  (−1) X 1

n

n

n=1

+∞ X 1 + (−1)n . n3 n=1

,

´ (Pergunta 1 do Grupo II do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

2.10 Estude a natureza de cada uma das s´eries seguintes: +∞ X 2n , 3n+1 n=1

+∞ X arctg(n3 ) √ , n + n2 n=1

+∞ X

cos(n2 π),

n=1

+∞ X nn . (2n)! n=1

Determine a soma de uma destas s´eries. ´ de 26/1/96) (Grupo II do Exame de 1a Epoca

2.11 Determine a natureza de cada uma das s´eries seguintes: +∞ X

n=1

[1 + (−1)n ],

+∞ X n3 + 1000 , log 2n + n4 n=1

+∞ X

+∞ X

2n (2n)! . 3n (2n + 1)! n=1

1 , n(n − 2) n=3

´ de 28/2/96) (Pergunta 1 do Grupo II do Exame de 2a Epoca

2.12 Determine a natureza de cada uma das s´eries +∞ X (n!)2 . 3n (2n)! n=1

+∞ X

4n , 1 + arctg n n=0

(Pergunta 1 do Grupo II do 1o Exame de 23/1/95)

2.13 Determine a natureza de cada uma das s´eries +∞ X 1 + (−1)n , 2n n=1

+∞ X 2 + n! , n! n=1

2n +∞  X 2n − 1

n=1

3n + 1

.

´ (Pergunta 1 do Grupo II do Exame de 2a Epoca de 24/2/95)

2.14 Determine a natureza de cada uma das s´eries +∞ √ X n+1 , 2+1 n n=1

+∞ X

1

e−n log n,

n=1

 +∞  X 1 n . n2 n=1

(Pergunta 1 do Grupo II do 2o Exame de 9/2/94)

2.15 Sendo an o termo geral de uma sucess˜ ao de termos positivos, indique, justificando, a natureza das s´eries: X X 1 (1 + an ) e . n2 + a n (Grupo IIIb do 1o Teste de 6/3/80)

23

´ CAP´ITULO 2. SERIES P P 2.16 Sendo an e bn duas s´eries de termos positivos, a primeira convergente e a segunda divergente, indique, justificando, a natureza das s´eries: X X an (an + bn ), . 1 + bn (Pergunta 2b da Prova de 1/8/72)

2.17 Seja (an ) uma sucess˜ ao de termos positivos e (bn ) uma sucess˜ ao limitada. P+∞ P+∞ a) Mostre que a convergˆencia da s´erie n=1 an implica a convergˆencia da s´erie n=1 an bn . P+∞ b) Use o resultado da al´ınea anterior para provar que se a s´erie n=1 an converge ent˜ ao tamb´em P+∞ 2 converge n=1 an . c) Mostre, por meio de um exemplo, que a rec´ıproca da proposi¸ca ˜o anterior ´e falsa.

(Pergunta 3 do Grupo II do 1o Exame de 26/1/94)

2.18 Sendo an o termo geral de uma sucess˜ ao de termos positivos, com limite +∞, indique qual ´e a natureza das s´eries: X X an 1 e . 1 + an 3n + a n Justifique.

(Grupo IIIb da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

2.19 Seja (an ) uma sucess˜ ao de termos positivos tal que lim verdadeiras ou falsas as seguintes proposi¸co ˜es: P+∞ √ n a a) e uma s´erie convergente. n ´ n=1 P+∞ an e uma s´erie divergente. b) n=1 n ´ P+∞ c) A s´erie n=1 (an − an+1 ) ´e convergente.

an+1 an

> 1. Diga, justificando, se s˜ ao

(Pergunta 2 do Grupo II do 2o Exame de 9/2/94)

2.20 Sendo s´eries:

P

an e

P

bn s´eries convergentes de termos positivos, indique, justificando, quais das   X 1 X 1 X 1 1 a) + , b) − , c) a n bn . an bn an bn

s˜ ao necessariamente convergentes ou divergentes e quais podem ser convergentes P necessariamente P ou divergentes consoante as s´eries an e bn consideradas. (Pergunta 3b da Prova de 4/9/72)

Resolu¸ c˜ ao: P P a) A s´erie diverge pois se an e bn convergem tem-se an → 0 e bn → 0 e como an > 0 e bn > 0 1 1 tem-se an → +∞ e bn → +∞ e portanto a1n + b1n → +∞. Ora se a s´erie fosse convergente o seu termo geral teria de tender para 0. b) A  s´erie pode  ser convergente ou divergente: por exemplo, se for an = bnP´e claro que  P 1 1 1 1 1 1 1 − converge, mas se for ≤ − , ou seja, se for 2a ≤ b vir´ a − n n an bn bn an bn an bn divergente, pois a s´erie de termos positivos

1 bn

24

o ´e, j´ a que

1 bn

6→ 0.

ˆ ´ 2.2. CONVERGENCIA ABSOLUTA E CRITERIO DE LEIBNIZ

c)

P

P an bn ´e necessariamente convergente. Com efeito, convergindo bn dever´ a ter-se bn → 0 e portanto, a partir de certa ordem n0 , bn ≤ 1; multiplicando ambos os membros desta desigualdade porP an (positivo por hip´ otese) conclui-se que, para n > n0 , se ter´ a a n bn ≤ a n . A convergˆencia de an bn resulta ent˜ ao da de an , pelo crit´erio de compara¸ca ˜o.

2.21 Sendo

P

an e

P

bn duas s´eries convergentes, de termos positivos, indique quais das s´eries:  X X 1 X an 1 − a2n , , an bn 1 + bn

s˜ ao necessariamente convergentes ou divergentes e quais podem ser convergentes P necessariamente P ou divergentes consoante as s´eries an e bn consideradas. (Pergunta 3b do Ponto no 6 de 25/10/71)

2.22 Seja un o termo geral da sucess˜ ao de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . definida por un+1 = un + un−1 para n ≥ 2, e u1 = u2 = 1. Estude a natureza da s´erie ∞ X un . 3n n=1

(Grupo IIa da Prova de 7/74)

2.23 Estude a natureza da s´erie

∞ X

arctan vn

n=2

sendo v2 = K > 0 e vn+1 = vn sen nπ para n ≥ 2.

2.2

(Pergunta no 5 da Prova de 12/3/74)

S´ eries num´ ericas. Convergˆ encia absoluta e crit´ erio de Leibniz

2.24 Dˆe exemplos de sucess˜ oes an de termos n˜ ao nulos e para as quais a s´erie +∞ X (−1)n an 1 + nan n=1

a) converge simplesmente; b) converge absolutamente. ´ (Pergunta 2 do Grupo II do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

2.25 Prove que s˜ ao necessariamente verdadeiras ou mostre, por meio de exemplos, que podem ser falsas, as afirma¸ c o ˜ es correspondentes a `s al´ıneas a), b) e c) seguintes. P Sendo an uma s´erie convergente de termos positivos, a s´erie X X √ X n a) (−1)n an , b) an , c) a2n+1 . ´e necessariamente convergente.

(Pergunta 3b do Ponto no 3 de 1/10/71)

25

´ CAP´ITULO 2. SERIES 2.26 Seja un o termo geral de uma sucess˜ ao convergente e tal que un un+1 < 0

∀n∈N

a) Indique, justificando, qual ´e o limite de un . b) Prove que, se for ainda verificada a condi¸ca ˜o un+1 ∀n∈N un ≤ 1 P∞ a s´erie n=1 un ser´ a convergente, estando a sua soma compreendida entre u1 e u1 + u2 .

(Pergunta 1 do Exame Final de 20/2/71)

Resolu¸ c˜ ao: a) Sendo (un ) convergente, seja u o seu limite. De un un+1 < 0 sai u2 ≤ 0; ora como um quadrado ´e sempre maior ou igual a 0, s´ o pode ser u = 0. P b) A condi¸ca ˜o un un+1 < 0 implica que a s´erie ∞ e alternada e, sem perda de generalidade, n=1 un ´ podemos supor que ∞ X

n=1

un =

∞ X

n=1

(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·

com an > 0 (isto ´e, que u1 > 0). Ora sabe-se que an+1 = |un+1 | ≤ |un | = an , por hip´ otese. Logo (an ) ´e P decrescente. Como se viu que un → 0, tamb´em an → 0; logo, pelo n+1 an converge. crit´erio de Leibniz, a s´erie ∞ n=1 (−1)

´ f´ E acil ver que ser˜ ao tamb´em convergentes — e com a mesma soma, s — as s´eries: (a 1 − a2 ) + (a3 − a4 ) + (a5 − a6 ) + · · · e a1 − (a2 − a3 ) − (a4 − a5 ) − · · · . Assim, se designarmos por s0 e s00 , respectivamente, as somas das s´eries (a3 − a4 ) + (a5 − a6 ) + · · · e (a2 − a3 ) + (a4 − a5 ) + · · · cujos termos s˜ ao todos n˜ ao negativos (por an ser decrescente), ter-se-´ a evidentemente s0 ≥ 0, 00 s ≥ 0 e tamb´em s = (a1 − a2 ) + s0 = u1 + u2 + s0 ≥ u1 + u2 , s = a1 − s00 = u1 − s00 ≤ u1 , isto ´e, u1 + u2 ≤ s ≤ u1 . ´ claro que, se em lugar de u1 > 0 tiv´essemos suposto u1 < 0, concluir´ıamos de modo an´ E alogo, n˜ ao s´ o a convergˆencia da s´erie, como a rela¸ca ˜o u1 ≤ s ≤ u1 + u2 .

2.27 Indique, justificando, se s˜ ao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as s´eries ∞ ∞ X X n2 1 (−1)n 2 , (a ∈ R). n + 1 (2 + a 2 )n n=1 n=0 Calcule a soma das que forem convergentes. (Pergunta 3a da Prova de 1/8/72)

26

ˆ ´ 2.2. CONVERGENCIA ABSOLUTA E CRITERIO DE LEIBNIZ 2.28 Diga, justificando, se ´e simplesmente convergente, absolutamente convergente ou divergente, cada uma das s´eries seguintes: +∞ p X

n=1

n2 + 1 −

+∞ X (−π)−n . n n=1

+∞ X

√  n ,

1 , (n + 1)(n + 2) n=1

(Pergunta 1 do Grupo II do 1o Exame de 26/1/94)

2.29 Indique o limite de cada uma das seguintes sucess˜ oes un = (−1)n

n , n2 + 1

vn =

3n , n!

wn = cos

1 . n

e estude, quanto a ` convergˆencia, as s´eries de termos gerais un , vn e wn . (Grupo I2 do Exame de 2a ´ epoca de 24/9/80)

2.30 Analise a natureza das s´eries ∞ X

n=1

cos

∞ X

π , n2

n=1

(−1)n p

n(n + 1)

,

∞ X

n=2

1 . log n

n2

´ (Pergunta 1 do Grupo II do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

2.31 Determine a natureza das s´eries X log n n

,

X

(−1)n

n , 2 n +1

nos casos de convergˆencia, indique se ´e simples ou absoluta.

X n3 en

;

(Grupo IIa do Exame Final de 30/4/80)

2.32 Determine para que valores de α s˜ ao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes as s´eries de termos gerais (1 + sen α)n ,

(−1)n

n2 . nα + 1 (Pergunta 3a da Prova de 4/9/72)

Resolu¸ c˜ ao: a) Trata-se de uma s´erie geom´etrica de raz˜ ao 1+sen α logo haver´ a convergˆencia sse |1+sen α| < 1, isto ´e, sse −2 < sen α < 0 ou ainda sse sen α < 0, ou enfim, sse α ∈ ](2k − 1)π, 2kπ[ com k ∈ Z. ´ claro que para esses valores de α a s´erie ser´ E a absolutamente convergente. b) Ponha-se n2 . un = (−1)n α n +1 P Se α ≤ 2, un n˜ ao tende para 0 e portanto, un ´e divergente. Se α > 2, consideremos a sucess˜ ao (vn ) definida por vn = |un | =

n2 1 ∼ α−2 . +1 n

nα

27

´ CAP´ITULO 2. SERIES P 1 e convergente sse α > 3, pode concluir-se que un ´e absolutamente Como a s´erie nα−2 ´ convergente sse α > 3.

Para estudar se a s´erie ´e simplesmente convergente para α ∈]2, 3] notamos que v n → 0 e, exclu´ıdos termos iniciais em n´ umero finito dependente de α, a sucess˜ ao (vn ) ´e decrescente (para o reconhecer pode observar-se que, sendo α > 2, a derivada da fun¸ca ˜o definida em 2 ]0, +∞[ pela f´ ormula ϕ(x) = xαx+1 , ϕ0 (x) =

x [2 + (2 − α)xα ], (xα + 1)2

´e negativa para x > (2/(2 − α))1/α ).

O crit´erio de Leibniz permite ent˜ ao concluir que

P

un converge simplesmente para α ∈ ]2, 3].

2.33 Seja I o conjunto de todos os pontos x ∈ R para os quais a s´erie ∞ X (−1)n (1 − 4x)n n(n + 2) n=1

´e convergente. Mostre que I ´e um intervalo. Indique, justificando, a natureza da s´erie em cada um dos extremos daquele intervalo e, em caso de convergˆencia, calcule a soma da s´erie correspondente. (Grupo IIIa da Prova de 28/2/74)

Resolu¸ c˜ ao: A s´erie de potˆencias

∞ X

(−1)n

n=1

1 yn n(n + 2)

´e absolutamente convergente para |y| < R onde R= lim

1 q n

1 n(n+2)

= lim

p n

n(n + 2) = lim

(n + 1)(n + 3) = 1. n(n + 2)

A s´erie obtida ´e ainda absolutamente convergente para |y| = 1. Logo, os pontos x ∈ R para os quais a s´erie do enunciado ´e convergente, s˜ ao os pontos tais que |1 − 4x| ≤ 1, ou seja, −1 ≤ 1 − 4x ≤ 1, isto ´e, 21 ≥ x ≥ 0. Tem-se pois I = [0, 1/2]. J´ a vimos que a s´erie dada converge se x = 0 e x = 12 . No primeiro caso a s´erie ´e:   ∞ 1X 1 1 1 n (−1) . (−1) = − n(n + 2) 2 n=1 n n+2 n=1 ∞ X

n

Designando por (Sn )n∈N a sucess˜ ao de somas parciais da s´erie podemos repetir o racioc´ınio para obter a soma de uma s´erie de Mengoli:         1 1 1 1 1 1 1 2Sn = − 1 − + − + −··· − − − 3 2 4 3 5 4 6     1 1 1 1 − − · · · + (−1)n−1 + (−1)n n−1 n+1 n n+2     1 1 1 = − 1 + + (−1)n−1 − + (−1)n − . 2 n+1 n+2 Assim lim Sn = − 41 ; logo − 14 ´e a soma da s´erie dada quando x = 0. 28

ˆ ´ 2.2. CONVERGENCIA ABSOLUTA E CRITERIO DE LEIBNIZ

Se x =

1 2

a s´erie ´e procedemos de forma an´ aloga para obter  ∞  ∞ X 1X 1 1 1 (−1)n , = = − (−1) n(n + 2) n=1 n(n + 2) 2 n=1 n n + 2 n=1 ∞ X

n



     1 1 1 1 1 1 + + + +··· − − − 2 4 3 5 4 6    1 1 1 1 + − − n−1 n+1 n n+2 1 1 1 =1 + − − . 2 n+1 n+2

1 2Sn = 1 − 3  ··· +

e lim Sn = 34 ; logo

3 4





´e a soma da s´erie dada quando x = 12 .

2.34 Determine para que valores reais de x s˜ ao absolutamente convergentes, simplesmente convergentes e divergentes as s´eries n ∞  ∞ X X x nxn . e x+1 n2 + 1 n=0 n=0 (Pergunta 3a da Prova de 2a ´ epoca de 18/12/72)

2.35 Determine o conjunto dos pontos em que ´e absolutamente convergente e o conjunto dos pontos em que ´e simplesmente convergente a s´erie:  n ∞ X 1 x−2 . 2n x n=1 (Pergunta 3a do Ponto no 3 de 1/10/71)

2.36 Determine o conjunto dos pontos em que ´e absolutamente convergente e o conjunto dos pontos em que ´e simplesmente convergente a s´erie:  n ∞ X x−2 n . n2 + 1 x + 4 n=1 (Pergunta 3a do Ponto no 4 de 1/10/71)

2.37 Seja I o conjunto de todos os pontos x ∈ R para os quais a s´erie X 1  −6x + 4 n n 3x + 5

´e convergente. Mostre que I ´e um intervalo e determine os seus extremos. (Pergunta 4 da Prova de 21/10/74)

2.38 Mostre que a s´erie

∞ X 2n (n!)2 2 (x − x)n (2n)! n=1

converge em todos os pontos x de um intervalo e determine os extremos desse intervalo (n˜ ao se preocupe em verificar se a s´erie converge ou n˜ ao nos referidos extremos). (Pergunta 3a do Ponto no 6 de 25/10/71)

29

´ CAP´ITULO 2. SERIES 2.39 a) Determine o conjunto dos valores reais de k para os quais s˜ ao convergentes e o conjunto dos valores de k para os quais s˜ ao limitadas as sucess˜ oes de termos gerais: un =

k 2n , 2 + kn

vn = (−1)n

n2k . 1 + nk

b) Quais s˜ ao os valores de k que tornam absolutamente convergente, simplesmente convergente e P P divergente cada uma das s´eries un e vn ? (Pergunta 3 do Ponto no 5, Exame integrado de 25/10/71)

2.40 Sendo an o termo geral de uma ao de termos P sucess˜ P reais e, para cada n ∈ N1 , b2n−1 = an , bP erie ∞ b . Prove que bn ´e convergente se e s´ o se lim an = 0 e que 2n = −an , considere a s´ n n=1 P bn ´e absolutamente convergente se e s´ o se an o for. (Pergunta 4 de uma Prova de An´ alise Matem´ atica II)

2.41 Sejam

P∞

n=0

an e

P∞

n=0 bn

s´eries num´ericas absolutamente convergentes.

a) Mostre que, para todo x ∈ R, a s´erie ∞ X

(an cos(nx) + bn sen(nx))

n=0

´e convergente. b) Sendo f : R → R a fun¸ca ˜o definida por f (x) =

∞ X

(an cos(nx) + bn sen(nx))

n=0

mostre que i) f ´e peri´ odica. ii) Se f for par f (x) =

P∞

n=0

an cos(nx) e se f for ´ımpar f (x) =

P∞

n=0 bn sen(nx).

(Grupo III1 do Exame de 2a ´ epoca de 24/9/80)

Resolu¸ c˜ ao: a) Tem-se |an cos(nx) + bn sen(nx)| ≤ |an cos(nx)| + |bn sen(nx)| ≤ |an | + |bn |. P P P∞ Ora, |an | e |bn | convergem, logo (|an | + |bn |) converge e n=0 (an cos nx + bn sin nx) ´e absolutamente convergente e portanto, convergente. P

b)

i) Como cos(nx) = cos(nx + n2π) = cos(n(x + 2π)) e sen(nx) = sen(nx + n2π) = sen(n(x + 2π)) resulta que f (x) ´e peri´ odica. ii) f (x) = f (−x) =

∞ X

n=0 ∞ X

(an cos(nx) + bn sen(nx)) =

∞ X

an cos(nx) +

n=0

(an cos(−nx) + bn sen(−nx)) =

n=0

bn sen(nx)

n=0 ∞ X

n=0

30

∞ X

an cos(nx) −

∞ X

n=0

bn sen(nx)

´ ˆ 2.3. SERIES DE POTENCIAS P∞ P∞ Se f ´e P par de f (x) = f (−x) sai 2 n=0 bn sen(nx) = 0. Logo n=0 bn sen(nx) = 0 e ∞ f (x) = n=0 an cos(nx). P∞ P∞ Se f ´e ´ımpar P∞ de f (x) = −f (−x) sai 2 n=0 an cos(nx) = 0. Logo n=0 an cos(nx) = 0 e f (x) = n=0 bn sen(nx). 2.42 Seja f uma aplica¸ca ˜o de R em si mesmo e g a fun¸ca ˜o definida pela igualdade: g(x) =

∞ X

(−1)n+1 f (nx)

n=1

no conjunto de todos os pontos x para os quais ´e convergente a s´erie que figura no 2 o membro. a) Indique (referindo-se ao valor de f num ponto conveniente) uma condi¸ca ˜o necess´ aria e suficiente para que 0 perten¸ca ao dom´ınio de g. b) Prove que, se f for diferenci´ avel em R e verificar as condi¸co ˜es f 0 (x) < 0 ∀x∈R

e

lim f (x) = 0

x→+∞

o dom´ınio de g ´e um intervalo. Indique esse intervalo. c) Prove que, na hip´ oteses da al´ınea b), as rela¸co ˜es f (x) − f (2x) < g(x) < f (x) s˜ ao verificadas em todos os pontos do dom´ınio de g. (Pergunta 4 da Prova de 20/7/71)

2.3

S´ eries de potˆ encias

2.43 Determine o raio de convergˆencia da s´erie de potˆencias: ∞ X (x − 3)n n+1 n=0

e indique, justificando, os valores reais de x para os quais a s´erie ´e absolutamente convergente e aqueles para que ´e simplesmente convergente. (Grupo IIIa do 1o Teste de 6/3/80)

2.44 Determine todos os valores de x para os quais ´e convergente a s´erie X 2n (x − 1)n 1 + 8n

Para quais desses valores pode garantir que a convergˆencia ´e absoluta? Porquˆe? (Pergunta 3a de uma Prova de An´ alise Matem´ atica II)

2.45 Sendo k um n´ umero natural, determine o intervalo de convergˆencia da s´erie ∞ X (x − 2)n n(n + k) n=1

e calcule a soma da s´erie no extremo superior do seu intervalo de convergˆencia. (Grupo Ic do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

31

´ CAP´ITULO 2. SERIES 2.46 Estude quanto a ` natureza (convergˆencia absoluta, convergˆencia simples, divergˆencia) cada uma das s´eries seguintes, onde x designa um parˆ ametro real: +∞ X

n n=1

√

+∞ X (nx)n , (n + 1)n n=1

1
, √ n+3+ n+1

+∞ X

n1/n (x2 + 1)n .

n=1

´ (Pergunta 1 do Grupo II do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

2.47 Considere a s´erie de potˆencias de x:

onde c ´e um n´ umero real positivo.

X cn+1 xn n+1

1. Determine o raio de convergˆencia da s´erie. 2. Estude a natureza da s´erie nos extremos do seu intervalo de convergˆencia. 3. Justifique que existe um u ´nico valor de c para o qual a s´erie ´e simplesmente convergente no ponto x = −3 e determine-o. (Grupo IIIa da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

2.48 Determine o intervalo de convergˆencia da s´erie  ∞  X n+p p

n=1

xn .

Estude a natureza da s´erie nos extremos desse intervalo. (Grupo IIb da Prova de 7/74)

P 2.49 Suponha que a s´erie an xn ´e simplesmente convergente em certo ponto c < 0. Indique, justificando, o raio de convergˆencia da s´erie e esclare¸ca, para os valores reais P de nK para os quais seja poss´ıvel fazˆe-lo com a informa¸ca ˜o de que disp˜ oe, a natureza da s´erie an K , indicando, nos casos de convergˆencia, se ´e simples ou absoluta. (Pergunta 4a da Prova de 8/1/73)

2.50 Suponha que a s´erie de potˆencias de x X

a n xn

´e convergente no ponto −3 e divergente no ponto 3: 1. indique, justificando, se a convergˆencia da s´erie no ponto −3 ´e simples ou absoluta. 2. indique o conjunto dos valores de x para os quais a s´erie ´e absolutamente convergente e o conjunto dos valores de x para os quais ´e divergente. 3. dˆe um exemplo de uma s´erie que verifique as condi¸co ˜es requeridas no enunciado. (Grupo IIIa do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

32

´ ˆ 2.3. SERIES DE POTENCIAS P 2.51 Prove que, se o raio de convergˆencia da s´erie an xn ´e maior do que 1, ent˜ ao lim an = 0. Mostre que, se o raio de convergˆencia da s´erie for igual a 1, a sucess˜ ao a n pode tender para qualquer limite (finito ou infinito) ou n˜ ao ter limite. Prove ainda que, na hip´ otese de o raio de convergˆencia ser menor do que 1, a sucess˜ ao an n˜ ao ´e limitada. (Grupo IVb da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 19/4/80)

2.52 a) Prove que, sendo P (x) um polin´ omio em x (de qualquer grau, mas n˜ ao identicamente nulo): P (x + 1) lim = 1. x→+∞ P (x) b) Supondo que P (x) ´e um polin´ omio nas condi¸co ˜es da al´ınea a) e que Q(x) ´e tamb´em um polin´ omio tal que ∀x∈N Q(x) 6= 0 utilize o resultado da al´ınea a) para determinar o raio de convergˆencia da s´erie de potˆencias ∞ X P (n) n x . Q(n) n=1

c) Obtenha uma condi¸ca ˜o (fazendo intervir os graus dos polin´ omios P e Q) necess´ aria e suficiente para que a s´erie seja absolutamente convergente nos extremos do seu intervalo de convergˆencia. Justifique. (Pergunta 4 da Prova de 19/7/71)

2.53 Designando por r e r 0 os raios de convergˆencia das s´eries X X a n xn e b n xn indique, justificando, o raio de convergˆencia da s´erie seguintes:

P (an + bn )xn em cada uma das hip´ oteses

1. r = r0 = +∞; 2. r ∈ R, r0 = +∞; 3. r, r0 ∈ R e r < r0 . P O que pode afirmar sobre o raio de convergˆencia de (an + bn )xn se for r = r0 ∈ R? Justifique e dˆe exemplos que ilustrem as hip´ oteses que podem verificar-se. (Pergunta 4b da Prova de 23/1/73)

33

´ CAP´ITULO 2. SERIES

34

Cap´ıtulo 3

Fun¸co ˜es. Continuidade e Limites. 3.1 Considere os conjuntos  A= x∈R:

 x ≤0 , ex (x + 1)

B = {x ∈ R : ex ≥ e−x }.

1o Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo. 2o Indique, justificando, quais das proposi¸co ˜es seguintes s˜ ao verdadeiras e quais s˜ ao falsas: a) Se f ´e uma fun¸ca ˜o definida e limitada em B e (xn ) ´e sucess˜ ao de termos em B, (f (xn )) tem subsucess˜ oes convergentes. Nas al´ıneas seguintes, suponha que (an ) ´e uma sucess˜ ao decrescente de termos em A. b) A sucess˜ ao (−1)n an ´e convergente. c) A sucess˜ ao aa2n ´e convergente. n P+∞ d) A s´erie n=1 (an − an+1 ) ´e convergente. 3.2 Considere os conjuntos  A= x∈R:

 1 ≥1 , log x

´ (Grupo I da 2a Epoca de 24/2/95)

B=



1−

 (−1)n : n ∈ N1 . n

a) Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de existirem (em R), o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo. b) Indique, justificando, quais das proposi¸co ˜es seguintes s˜ ao verdadeiras e quais s˜ ao falsas: i) Toda a sucess˜ ao de termos em A tem subsucess˜ oes convergentes. ii) Toda a sucess˜ ao mon´ otona de termos em B ´e convergente e o seu limite est´ a em B. iii) Toda a fun¸ca ˜o cont´ınua em A tem m´ aximo (em A). (Pergunta 1 do Grupo I do 2o Exame de 9/2/94)

3.3 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e designe por K o conjunto dos zeros de f . Diga, justificando, se ´e verdadeira ou falsa cada uma das proposi¸co ˜es seguintes∗ : a) Se K= ∅ ent˜ ao f > 0 ou f < 0. 35

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES. b) Se K= Z ent˜ ao f ´e limitada. c) Se { n1 : n ∈ N1 } ⊂ K ent˜ ao 0 ∈ K. d) Se Q ⊂ K ent˜ ao K = R. *Nota: Sempre que afirme que uma proposi¸ca ˜o ´e falsa dˆe um exemplo que o comprove. Sempre que afirme que uma proposi¸ca ˜o ´e verdadeira justifique, abreviadamente, porque chegou a tal conclus˜ ao. ´ (Pergunta 2 do Grupo I do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

3.4 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R. Indique, justificando, a natureza da s´erie +∞ X f (cos n) . n2 n=1

(Pergunta 1 do Grupo IV do 2o Exame de 6/2/95)

3.5 Seja φ : [a, b] → R (a, b ∈ R, a < b) uma fun¸ca ˜o cont´ınua e suponha que existe uma sucess˜ ao (xn ), de termos em [a, b], tal que lim φ(xn ) = 0. Prove que φ tem, pelo menos, um zero em [a, b]. ´ (Pergunta 1 do Grupo IV do Exame de 2a Epoca de 28/2/96)

3.6 Seja f : [0, +∞[ → R uma fun¸ca ˜o cont´ınua e sejam, para cada n ∈ N, Mn = max{f (x) : x ∈ [n, n + 1]},

mn = min{f (x) : x ∈ [n, n + 1]}.

Suponha ainda que Mn − m n ≤

1 , n

0 ≤ Mn − Mn−1 ≤

1 para todo o n ∈ N1 . n2

a) Prove que, para todo o n ∈ N1 , se tem Mn ≤ M 0 +

n X 1 . k2 k=1

b) Prove que existe, em R, lim Mn . c) Sendo b = lim Mn , prove que limx→+∞ f (x) = b. ´ de 7/2/97) (Grupo IV do Exame de 2a Epoca

3.7 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R para a qual existem (em R) os limites limx→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x). Seja ainda A o subconjunto de R definido por A = {x : x = f (x)}. Nestas condi¸co ˜es, prove que: a) A ´e n˜ ao vazio. [Pode ser-lhe u ´til considerar a fun¸ca ˜o g(x) = x − f (x) com x ∈ R.] b) A ´e limitado. c) A tem m´ aximo e m´ınimo. (Grupo IV do 1o Exame de 23/1/95)

3.8 Justifique que, se f ´e uma fun¸ca ˜o limitada em R, para qualquer sucess˜ ao de termos reais, x n , a sucess˜ ao f (xn ) tem subsucess˜ oes convergentes. (Grupo Ib do Exame final de 4/5/79)

36

3.9 Considere os subconjuntos A e B de R, definidos pelas f´ ormulas: A = {x : |x2 − 1| < 1},

B = {x : 2x2 − 1 > 0}.

1. Determine a reuni˜ ao e a intersec¸ca ˜o dos conjuntos A e B. 2. Sendo f a aplica¸ca ˜o de A em B definida por f (x) = x1 , indique, justificando, se f ´e bijectiva. (Pergunta 1a e c da Prova de 1/9/72)

3.10 Seja g a fun¸ca ˜o definida no intervalo ] − ∞, e − 1] pela f´ ormula   x + |x| . g(x) = log 1 + 2 1. Esboce o gr´ afico de g. 2. Mostre que g ´e crescente mas n˜ ao estritamente crescente no seu dom´ınio e indique o “maior” intervalo em que g ´e estritamente crescente (isto ´e, um intervalo I no qual g seja estritamente crescente sem que o mesmo se passe em qualquer intervalo J que contenha I e seja distinto de I). 3. Indique, justificando, se g ´e ou n˜ ao limitada e se tem m´ aximo e m´ınimo. (Grupo Ib do 2o Teste de 12/4/80)

Resolu¸ c˜ ao: 1. O gr´ afico de g est´ a representado1na figura 3.1. Para esbo¸car o gr´ afico basta observar que ( 0, se x ≤ 0, g(x) = log(1 + x), se 0 ≤ x ≤ e − 1. e que portanto a fun¸ca ˜o ´e constante se x ≤ 0 e se 0 ≤ x ≤ e − 1 o gr´ afico ´e uma transla¸ca ˜o de 1 para a esquerda do gr´ afico do logaritmo. 2. Relembrando que o logaritmo ´e uma fun¸ca ˜o estritamente crescente e a express˜ ao que obtivemos para g na al´ınea anterior facilmente se conclui que g ´e crescente, n˜ ao ´e estritamente crescente pois ´e constante em ] − ∞, 0] e o maior intervalo onde ´e estritamente crescente ´e [0, e − 1]. 3. Sendo g constante em ] − ∞, 0] e crescente em [0, e − 1] temos 0 = g(0) ≤ g(x) ≤ g(e − 1) = 1 para todo o x no seu dom´ınio. Portanto a fun¸ca ˜o ´e g limitada, o seu m´ aximo ´e 1 e o seu m´ınimo 0 ocorrendo respectivamente em e − 1 e em ] − ∞, 0].

3.11 Seja f uma fun¸ca ˜o definida em R e tal que f ◦ f = IR onde IR designa a aplica¸ca ˜o idˆentica de R em si mesmo (IR (x) = x, ∀x∈R ). 1. Recorrendo directamente a `s defini¸co ˜es de aplica¸ca ˜o injectiva e sobrejectiva, prove que f ´e necessariamente bijectiva. 1O

gr´ afico que se apresenta foi gerado numericamente. Obviamente o que se pretende neste e noutros gr´ aficos ´e uma representa¸ca ˜o aproximada das caracter´ısticas mais importantes que se esbo¸cam com facilidade. Por vezes, como neste caso, a escala dos dois eixos n˜ ao ´e a mesma.

37

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES.

1

y

PSfrag replacements y = log(1 +

x+|x| 2 )

x e−1

0

Figura 3.1: O gr´ afico de g(x) = log(1 +

x+|x| ) 2

no exerc´ıcio 3.10.

2. Mostre, por meio de exemplos, que uma fun¸ca ˜o f nas condi¸co ˜es acima indicadas pode ser: (a) cont´ınua em todos os pontos de R; (b) cont´ınua num u ´nico ponto de R; (c) descont´ınua em todos os pontos de R. (Pergunta 4 do Exame Final (Ponto no 2) de 17/7/71)

3.12 Seja f : R → R uma fun¸ca ˜o cont´ınua no ponto 0 e xn o termo geral de uma sucess˜ ao convergente; indique (expresso em fun¸ca ˜o de um dos valores assumidos por f ) o limite da sucess˜ ao f (x3n − x2n ). Justifique abreviadamente a resposta. (Grupo IIa do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

3.13 Sendo an o termo geral de uma sucess˜ ao convergente tal que, qualquer que seja n ∈ N, a2n > 2

e

a2n+1 < 2,

indique, justificando, qual ´e o limite de an . Existir´ a alguma fun¸ca ˜o f , cont´ınua no ponto 0 e tal que, para todo o n, verifique a igualdade: f ( n1 ) = (−1)n an ? Justifique a resposta. (Grupo Ib do Exame Final de 21/9/79)

Resolu¸ c˜ ao: O limite de an tem de ser 2 pois se (an ) converge para um certo α ∈ R, qualquer sua subsucess˜ ao tem o mesmo limite e a partir de a2n > 2 e a2n+1 < 2 obt´em-se α = lim a2n ≥ 2 e α = lim a2n+1 ≤ 2 ou seja α = 2. Se f ´e cont´ınua em 0 tem-se para qualquer sucess˜ ao xn → 0, que lim f (xn ) = f (lim xn ) = f (0). Em particular ter-se-ia   1 = lim(−1)2n a2n = lim a2n = 2 f (0) = lim f 2n 38

e tamb´em f (0) = lim f



1 2n + 1



= lim(−1)2n+1 a2n+1 = lim(−a2n+1 ) = −2

e viria 2 = −2, o que ´e absurdo. Logo n˜ ao pode existir uma tal fun¸ca ˜o. 3.14 Sendo g : [0, 1] → R uma fun¸ca ˜o cont´ınua, justifique que: 1. n˜ ao existe qualquer sucess˜ ao xn (de termos em [0, 1]) tal que g(xn ) = n (∀n∈N1 ) 2. se existe uma sucess˜ ao xn (de termos em [0, 1]) tal que g(xn ) = c ∈ [0, 1] tal que g(c) = 0.

1 n

(∀n∈N ), ent˜ ao existe

(Grupo IIb da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 19/4/80)

3.15 Sendo f : R → R uma fun¸ca ˜o cont´ınua no ponto 1, em que ponto(s) ser´ a necessariamente cont´ınua a fun¸ca ˜o g(x) = f (sen x)? Justifique. (Grupo Ic da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 19/4/80)

3.16 Seja ϕ uma fun¸ca ˜o definida em R e verificando as condi¸co ˜es seguintes: 1. Para qualquer x ∈ R, ϕ(x) ´e um n´ umero inteiro. 2. ϕ(x) tende para um limite finito, c, quando x → +∞. Recorrendo directamente a ` defini¸ca ˜o de limite, justifique que c ´e um n´ umero inteiro e que existe α ∈ R tal que ϕ(x) = c sempre que x > α. (Grupo Ib do Exame Final de 10/5/79)

3.17 Mostre que se un ´e uma sucess˜ ao mon´ otona, arctg un ´e uma sucess˜ ao convergente. (Grupo IIb do 1o Teste de 7/4/79)

3.18 Suponha que, para todo o n ∈ N1 , a fun¸ca ˜o f verifica a condi¸ca ˜o     1 1 f − =1−f . n n Se existirem os limites laterais f (0− ) e f (0+ ) quanto valer´ a a sua soma? Se existir limx→0 f (x) qual ser´ a o seu valor? Justifique abreviadamente as respostas. (Grupo IVa do Exame Final de 30/4/80)

3.19 Seja f : R → R uma fun¸ca ˜o com limite finito quando x → 0 e tal que f (x) >0 x

∀x6=0 .

Indique, justificando, o valor de limx→0 f (x). (Grupo Ic do 2o Teste de 12/4/80))

Resolu¸ c˜ ao: Tem de ter-se limx→0 f (x) = 0 pois se fosse limx→0 f (x) = α 6= 0 com, por exemplo, α > 0, resultaria que, para x suficientemente pr´ oximo de 0 mas menor que 0, f (x)/x < 0. Caso fosse α < 0, ter-se-ia para x suficientemente pr´ oximo de 0 mas maior que 0, f (x)/x < 0. Concretamente, no caso α > 0, escolha-se  > 0 tal que 0 < α − ; como lim x→0 f (x) = α existir´ a δ > 0 tal que se x ∈ ] − δ, δ[ ent˜ ao f (x) ∈ ]α − , α + [. Logo para x ∈ ] − δ, δ[ vir´ a f (x) > 0 e em particular se −δ < x < 0 vir´ a f (x)/x < 0. 39

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES. 3.20 Calcule lim

x→1

x2 − x , x2 − 3x + 2

lim

x→0

tg 5x . x arccos x (Grupo I3 do Exame de 2a ´ epoca de 24/9/80)

3.21 Calcule os limites

sen x2 . x→0 x sen 3x

x cos ex , x→+∞ x2 + 1 lim

lim

(Grupo IIb do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

Resolu¸ c˜ ao: O primeiro dos limites pedidos ´e 0. De facto, tem-se x cos(ex ) ≤ |x| ; 0 ≤ 2 x + 1 x2 + 1 x

) como x2|x| em x cos(e tende para 0 quando x → +∞. +1 tende para 0 quando x → +∞, tamb´ x2 +1 Quanto ao segundo limite, quando x → 0, quer o numerador quer o denominador da frac¸ca ˜o tendem para 0. No entanto:

sen(x2 ) 1 sen(x2 ) 3x sen(x2 ) x = = x sen(3x) x2 sen(3x) 3 x2 sen(3x) e como limu→0

sen u u

= 1 resulta que a express˜ ao do lado direito tende para 31 .

3.22 Considere a fun¸ca ˜o f , definida no intervalo ] − 1, 1[ pela f´ ormula f (x) =

x−2 . x+1

1. Calcule limx→1 f (x) e limx→−1 f (x). 2. Mostre que f ´e estritamente crescente e indique, justificando, se ´e majorada ou minorada e se tem m´ aximo ou m´ınimo (em ] − 1, 1[). 3. Se xn for uma sucess˜ ao convergente para 1, com termos em ] − 1, 1[, qual ser´ a o limite de f (xn )? Justifique. 4. Dˆe um exemplo de uma sucess˜ ao yn , de termos em ] − 1, 1[, tal que a sucess˜ ao f (yn ) n˜ ao seja limitada. (Grupo Ia do 2a Teste de 12/4/80)

3.23 Considere as fun¸co ˜es ϕ(x) = log(1 + ex ),

ψ(x) = arctg(x) sen(x2 ).

1. Indique, justificando, se ϕ e ψ s˜ ao majoradas, minoradas, limitadas (em R). 2. A fun¸ca ˜o ψ tem m´ aximo (em R)? Qual ´e o seu supremo? Justifique. 3. Existe o limx→−∞ (ϕ(x)ψ(x))? E o limx→+∞ (ϕ(x)ψ(x))? Justifique. (Grupo III do Exame Final de 21/9/79)

40

Resolu¸ c˜ ao: 1. Para qualquer x ∈ R tem-se ex > 0, logo 1 + ex > 1 e portanto, ϕ(x) = log(1 + ex ) > 0 ´e minorada; como limx→+∞ ϕ(x) = +∞, ϕ(x) n˜ ao ´e majorada e portanto n˜ ao ´e limitada. π π Quanto a ψ(x) tem-se |ψ(x)| = | arctg x| · | sen x2 | < · 1 = . Logo ψ(x) ´e limitada. 2 2 2. ψ n˜ ao tem m´ aximo embora o supremo de ψ seja π2 . Para ver que π2 = supx∈ R ψ(x) basta observar que π2 ´e um majorante de ψ(x) para todo x ∈ R, como se viu e que dado  > 0 p existe x ∈ R tal que: π2 −  < ψ(x). Para este efeito observe-se que, pondo xn = 2nπ + π2 , a decerto se tem ψ(xn ) = arctg xn → π2 ; assim, escolhendo n suficientemente grande, ter-se-´ ψ(xn ) > π2 − . Mostr´ amos que supx∈R ψ(x) = ψ n˜ ao tem m´ aximo.

3. Tem-se

lim ϕ(x) =

x→−∞

π 2

e como n˜ ao existe ξ ∈ R tal que ψ(ξ) =

lim log(1 + ex ) = log

x→−∞

ψ(x) ´e limitada pois |ψ(x)| <

π 2,



lim (1 + ex )

x→−∞



π 2

conclui-se que

= log 1 = 0. Viu-se que

∀x∈ R . Logo limx→−∞ ϕ(x)ψ(x) = 0. Mas

lim ϕ(x) = lim log(1 + ex ) = +∞.

x→+∞

x→+∞

Mostremos que limx→+∞ ϕ(x)ψ(x) n˜ ao existe. Basta encontrar duas sucess˜ oes (xn ) e (yn ) tais que lim ϕ(xn )ψ(xn ) = α, lim ϕ(yn )ψ(yn ) = β e α 6= β. n→∞

n→∞

Por exemplo, com

tem-se

r π xn = 2nπ + , 2

yn =

√

2nπ

  π  lim ϕ(xn )ψ(xn ) = lim ϕ(xn ) arctg xn sen 2nπ + 2 = lim(ϕ(xn ) arctg xn ) = +∞, lim ϕ(yn )ψ(yn ) = lim(ϕ(yn ) arctg yn sen(2nπ)) = 0.

1. Para cada x ∈ R, calcule

3.24

1 − |x|n . n→∞ 1 + |x|n lim

(Considere separadamente os casos |x| < 1, |x| = 1 e |x| > 1.) 2. Estude do ponto de vista da continuidade uma das fun¸co ˜es seguintes (` a sua escolha): 1 − |x|n n→∞ 1 + |x|n

ϕ(x) = (x2 − 1) lim ou ψ(x) =

(

x2 − 1, 1 − x2 ,

se |x| ≤ 1, se |x| > 1.

Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o escolhida e indique, justificando, os seus extremos absolutos e locais (se existirem) e o seu contradom´ınio. (Pergunta 1 do Exame Final de 6/5/78)

41

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES. 3.25 a) Para cada x ∈ R \ {1} calcule

1 + x2n . n→+∞ 1 − x2n−1 lim

(Considere separadamente os casos: |x| < 1, x = −1 e |x| > 1). b) Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o f , definida em R \ {1} pela f´ ormula 1 + x2n . n→+∞ 1 − x2n−1

f (x) = lim

Nota: se n˜ ao resolver a al´ınea a), considere a fun¸ca ˜o f definida, n˜ ao pela f´ ormula anterior, mas por: ( −x, se x < −1 ou x > 1, f (x) = 1, se −1 ≤ x < 1. c) Esboce ainda o gr´ afico da fun¸ca ˜o g, definida no mesmo conjunto pela igualdade: g(x) = |f (x)|. d) Estude as fun¸co ˜es f e g, do ponto de vista da continuidade, em cada ponto x ∈ R. Indique ainda se algumas destas fun¸co ˜es tem m´ aximo ou m´ınimo (em todo o seu dom´ınio) e, no caso de existir m´ aximo ou m´ınimo, indique o seu valor e os pontos do dom´ınio da fun¸ca ˜o em que ´e atingido. (Grupo III do 1o Teste de 11/3/78)

f (x)

g(x)

1

1

1

−1

x

−1

PSfrag replacements

PSfrag replacements

1

1

Figura 3.2: Os gr´ aficos das fun¸co ˜es f e g = |f | no exerc´ıcio 3.25.

Resolu¸ c˜ ao: 1 + x2n 1 = = 1. n→+∞ 1 − x2n−1 1 1 + (−1)2n 1+1 Se x = −1: lim = lim = lim 1 = 1. n→+∞ 1 − (−1)2n−1 n→+∞ 1 + 1 n→+∞

a) Se |x| < 1:

Se |x| > 1:

lim

x2n 1 + x2n = lim = lim −x = −x. 2n−1 n→+∞ −x2n−1 n→+∞ n→+∞ 1 − x lim

42

1

x

b) f (x) =

(

g(x) =

(

1, se |x| < 1 ou x = −1, −x, se |x| < 1.

c) 1, |x|,

se |x| < 1 ou x = −1, se |x| > 1.

d) f ´e cont´ınua em R \ {1}. g ´e cont´ınua em R \ {1} mas ´e prolong´ avel por continuidade ao ponto 1, bastando pˆ or g(1) = 1. f n˜ ao tem m´ aximo nem m´ınimo em R \ {1}. g tem m´ınimo em R \ {1}, em todos os pontos de [−1, 1[. 3.26 Considere a fun¸ca ˜o f definida em R pela f´ ormula f (x) = onde ϕ(x) =

(

x + |x| ϕ(x), 2

1, se x ∈ Q, 0, se x ∈ R \ Q.

1. Indique o contradom´ınio de f . A fun¸ca ˜o ´e majorada (em R)? E minorada? 2. Quais dos limites limx→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x) existem? 3. Em que pontos ´e que f ´e cont´ınua? Justifique as respostas. (Grupo II do 1o Teste de 24/2/79)

3.27 Sendo f a fun¸ca ˜o definida em R, cont´ınua no 
π  K sen 2 x , f (x) = arcsen x,   0,

ponto 1, dada por se x ≥ 1, se −1 < x < 1, se x ≤ −1.

1. Determine K.

2. Estude a fun¸ca ˜o f do ponto de vista da continuidade, em cada ponto x ∈ R. Indique o contradom´ınio da fun¸ca ˜o f ; indique ainda se a fun¸ca ˜o tem m´ aximo, m´ınimo, supremo ou ´ınfimo (em todo o seu dom´ınio) e, no caso de existˆencia, indique o seu valor. 3. Diga se existem e, no caso de existˆencia, calcule os seguintes limites: lim f (x)

e

x→−∞

lim f (x).

x→+∞

Justifique as respostas. (Grupo III do 1o Teste de 7/4/79)

3.28 Considere a fun¸ca ˜o ψ definida em R pela forma seguinte: ( e−x , se x ≥ 0, ψ(x) = K − arctg x, se x < 0, 43

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES. onde K ´e um n´ umero real. Determine K por forma que ψ seja cont´ınua em R e, fixando K no valor determinado (para o qual a fun¸ca ˜o fica estritamente mon´ otona em R) calcule sup ψ(x)

e

inf ψ(x).

x∈R

x∈R

(Grupo IIIa do Exame Final de 30/4/80)

3.29

1. Estude, quanto a ` continuidade em cada ponto do seu dom´ınio, as fun¸co ˜es definidas em R \ {0} pelas f´ ormulas: 1

ϕ(x) = e− x2 , ψ(x) = x sen

1 1 − cos . x x

2. Indique, justificando, se cada uma das fun¸co ˜es ϕ e ψ ´e prolong´ avel por continuidade ou descont´ınua no ponto 0. 3. Mostre que as func˜ oes ϕ e ψ s˜ ao limitadas. (Grupo IIa do 2o Teste de 12/4/80)

3.30 Seja ϕ uma fun¸ca ˜o majorada no intervalo [a, b] e, para cada x ∈ [a, b], designe-se por ψ(x) o supremo da fun¸ca ˜o no intervalo [a, x]: ψ(x) = sup ϕ(t). t∈[a,x]

Nestas condi¸co ˜es, prove que a fun¸ca ˜o ψ ´e crescente e limitada em [a, b] e que ψ ´e cont´ınua em qualquer ponto c ∈ [a, b] no qual ϕ seja cont´ınua; mostre que ψ pode ser cont´ınua em [a, b] sendo ϕ descont´ınua em todos os pontos deste intervalo. (Grupo IIIb do 2o Teste de 12/4/80)

3.31 Prove que se f : R → R ´e uma fun¸ca ˜o cont´ınua e limitada e se P (x) ´e um polin´ omio em x de grau ´ımpar, a equa¸ca ˜o: f (x) = P (x) tem pelo menos uma raiz real. Dˆe exemplos de fun¸co ˜es f e polin´ omios P , nas condi¸co ˜es referidas no enunciado, para os quais a equa¸ca ˜o indicada: 1. Tenha apenas uma raiz real. 2. Tenha infinitas ra´ızes reais. (Grupo IVb da Prova de 26/7/78)

3.32 Considere a fun¸ca ˜o f definida (no conjunto dos pontos x ∈ R para os quais a express˜ ao designa um n´ umero real) pela f´ ormula √ x f (x) = . x−1 1. Indique, sob a forma de uma reuni˜ ao de intervalos disjuntos, o dom´ınio de f . 2. Calcule lim f (x),

x→+∞

lim f (x)

x→1−

44

e

lim f (x).

x→1+

√ x x−1

3. Justificando abreviadamente a resposta, indique o contradom´ınio de f . 4. Dˆe exemplos de sucess˜ oes un e vn , de termos no dom´ınio de f e tais que un e f (vn ) sejam convergentes e vn e f (un ) sejam divergentes. (Grupo Ia da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 19/4/80)

3.33 Considere as fun¸co ˜es f e g definidas em ]0, +∞[ pelas f´ ormulas f (x) = log log(1 + x), √ 1 g(x) = x sen 2 . x 1. Estude f e g quanto a ` continuidade, em cada ponto do seu dom´ınio. 2. Calcule limx→+∞ f (x) e limx→+∞ g(x). 3. Indique, justificando, se f ou g s˜ ao prolong´ aveis por continuidade ao ponto 0. 4. Indique, justificando, o contradom´ınio de f . (Grupo IIIb do Exame Final de 30/4/80)

3.34 Considere a fun¸ca ˜o ϕ : R → R definida da forma seguinte: ( se x < 0, arctg x1 , ϕ(x) = 1 + e1−x , se x ≥ 0. 1. Justifique que ϕ ´e cont´ınua para qualquer ponto x 6= 0. 2. Calcule os limites laterais de ϕ no ponto 0 e indique, justificando, se ϕ ´e cont´ınua, cont´ınua a ` direita ou cont´ınua a ` esquerda nesse ponto. 3. Justifique que ϕ ´e mon´ otona em cada um dos intervalos ] − ∞, 0[ e [0, +∞[. Sˆe-lo-´ a tamb´em na reuni˜ ao desses dois intervalos? Justifique a resposta. 4. Calcule limx→+∞ ϕ(x) e limx→−∞ ϕ(x) e indique, justificando, o contradom´ınio de ϕ. (Grupo Ic do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

3.35 Considere a fun¸ca ˜o g, definida em R \ {0} pela f´ ormula g(x) =

1 1/x e . x

1. Usando a nota¸ca ˜o usual para representar intervalos, represente os conjuntos: {x : g(x) > 0}

e

{x : g(x) < 0}

como uma uni˜ ao de intervalos disjuntos. 2. Observe que g assume valores positivos e valores negativos, mas n˜ ao assume o valor 0; explique porque ´e que este facto n˜ ao est´ a em contradi¸ca ˜o com o teorema do valor interm´edio. 3. Calcule limx→0+ g(x) e limx→+∞ g(x) e indique, justificando sinteticamente a resposta, o transformado pela fun¸ca ˜o g do intervalo ]0, +∞[ . 4. Calcule limx→−∞ g(x) e limx→0− g(x) e justifique que g n˜ ao tem m´ aximo no intervalo ] − ∞, 0[; indique ainda um subconjunto deste intervalo no qual g tenha m´ aximo. 45

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES. (Grupo Ib da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 19/4/80)

3.36 Seja f a fun¸ca ˜o real de vari´ avel real definida por

f (x) =

(

1

−e x , 1 log 1+x 2,

se x < 0, se x > 0.

1. Calcule lim f (x) e lim f (x). x→−∞

x→+∞

2. Justifique que f ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio.

3. Mostre que f ´e prolong´ avel por continuidade ao ponto 0.

4. Sendo g a fun¸ca ˜o que resulta de f por prolongamento por continuidade ao ponto 0, justifique que g tem m´ aximo e m´ınimo em qualquer intervalo [−, ] com  > 0. Indique, justificando, o valor de max g(x). x∈[−,]

(Grupo II2 do Exame de 2a ´ epoca de 24/9/80)

3.37 Sendo K um n´ umero real diferente de zero, considere a fun¸ca ˜o f , definida em R \ {0} por f (x) =

(

sen(πx) Kx , arctg x1 ,

se x < 0, se x > 0.

1. Estude a fun¸ca ˜o, do ponto de vista da continuidade, em cada ponto do seu dom´ınio.

2. Calcule os limites laterais de f no ponto 0 e indique, justificando, os valores de K para os quais f ´e prolong´ avel por continuidade ao ponto 0.

3. Calcule os limites de f (x) quando x → +∞ e quando x → −∞ e indique, justificando, se a fun¸ca ˜o ´e limitada (em todo o seu dom´ınio).

(Grupo IIa da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 19/4/80)

46

Resolu¸ c˜ ao: 1. Para x 6= 0 a fun¸ca ˜o ´e cont´ınua pois obt´em-se fun¸co ˜es cont´ınuas.

1 x,

sen x e arctg x o s˜ ao e compondo fun¸co ˜es cont´ınuas

2. Para que f seja prolong´ avel por continuidade em 0 basta que lim

x→0−

1 sen(πx) = lim arctg . Kx x x→0+

Ora: π 1 = lim arctg y = , x y→+∞ 2 sen(πx) π π π π sen(πx) sen(πx) lim = lim− = lim = ·1= . Kx πx K x→0− πx K K x→0− x→0 K lim arctg

x→0+

Logo, ter´ a de ser

π 2

=

π K

ou seja K = 2.

3. 1 = arctg 0 = 0 x sen(πx) lim f (x) = lim =0 x→−∞ x→−∞ Kx lim f (x) = lim arctg

x→+∞

pois

1 Kx

x→+∞

→ 0 e sen(πx) ´e limitada.

π 2. sen(πx) Kx

Se x > 0 tem-se 0 < arctg x1 <

π Se x < 0 viu-se que limx→0− = K , logo sen(πx) ´e limitada nalgum intervalo ] − , 0[ Kx (com  > 0). Fora desse intervalo, isto ´e, se x ∈ ] − ∞, −] tem-se sen(πx) 1 1 1 Kx ≤ |Kx| = |K||x| < |K| ,

pois ent˜ ao |x| > . Logo f (x) ´e limitada para x < 0 e para x > 0, ou seja, ´e limitada no seu dom´ınio.

3.38 Seja f : [a, +∞[ → R uma fun¸ca ˜o cont´ınua e suponha que existe b ∈ [a, +∞[ tal que, para qualquer x > b, se tem f (x) < f (a). Prove que f tem m´ aximo em [a, +∞[. (Grupo IIb do 2o Teste de 12/4/80)

Resolu¸ c˜ ao: Se for b = a ent˜ ao para todo x > a tem-se f (x) < f (a) o que significa que f atinge um valor m´ aximo em a. Se for b 6= a e portanto, b > a, f (x) se tiver m´ aximo h´ a-de tˆe-lo em [a, b] pois para x > b, f (x) < f (a). Ora sendo f cont´ınua em [a, +∞[ a sua restri¸ca ˜o f 1 ao intervalo limitado e fechado [a, b] ´e cont´ınua e pelo teorema de Weierstrass f1 tem m´ aximo em [a, b] que ´e portanto m´ aximo de f .

3.39 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em [a, b], tal que f (x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b]. Prove que existem n´ umeros positivos α e β tais que, quaisquer que sejam x e y pertencentes a [a, b], α ≤ f (x)f (y) ≤ β. (Grupo IIIa do 2o Teste de 12/4/80)

47

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES.

Resolu¸ c˜ ao: Sendo f cont´ınua em I = [a, b] e f (x) 6= 0 para cada x ∈ I, todos os valores assumidos por f em I ser˜ ao do mesmo sinal (como resulta do teorema do valor interm´edio). Designando por m o m´ınimo e por M o m´ aximo de f em I (que existem, pelo teorema de Weierstrass) e supondo x, y ∈ I, ter-se-´ a ent˜ ao, na hip´ otese de serem positivos os valores de f em I 0 < m ≤ f (x) ≤ M,

0 < m ≤ f (y) ≤ M

e, no caso de esses valores serem negativos, m ≤ f (x) ≤ M < 0,

m ≤ f (y) ≤ M < 0.

Tomando α = m2 , β = M 2 no primeiro caso e α = M 2 , β = m2 no segundo ter-se-´ a portanto em qualquer dos casos 0 < α ≤ f (x)f (y) ≤ β.

3.40

a) Sendo g : [0, +∞[ → R cont´ınua no seu dom´ınio, mostre que a fun¸ca ˜o ϕ(x) = g(1 − x2 ) tem m´ aximo e m´ınimo.

b) Se na al´ınea a) consider´ assemos g definida e cont´ınua em ]0, +∞[ poder´ıamos continuar a garantir para ϕ a existˆencia de m´ aximo e m´ınimo? Justifique. (Grupo IV do 1o Teste de 7/4/79)

3.41 Sejam f e g fun¸co ˜es cont´ınuas no intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b). a) Justifique que existem n´ umeros reais α e β tais que, para todo o x ∈ [a, b], α ≤ (f (x) + g(x))2 ≤ β. b) Prove que, se existirem x1 , x2 ∈ [a, b] tais que f (x1 ) > g(x1 ) e f (x2 ) < g(x2 ), a equa¸ca ˜o f (x) = g(x) tem pelo menos uma solu¸ca ˜o em [a, b]. c) Quais das proposi¸co ˜es expressas nas al´ıneas a) e b) continuariam a ser verdadeiras se, em vez do intervalo fechado [a, b] consider´ assemos o intervalo aberto ]a, b[ (no qual f e g continuariam a supor-se cont´ınuas)? Justifique cuidadosamente a resposta. (Grupo V do 1o Teste de 24/2/79)

3.42 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R, com limites positivos quando x → +∞ e quando x → −∞ e tal que f (0) < 0. Nestas condi¸co ˜es prove que: 1o A equa¸ca ˜o f (x) = 0 tem pelo menos duas ra´ızes reais. 2o Existe um ponto c ∈ R tal que, qualquer que seja x ∈ R, f (c) ≤ f (x). Dˆe ainda um exemplo de uma fun¸ca ˜o que verifique todas as condi¸co ˜es exigidas no enunciado — excepto a continuidade em R, que deve ser substitu´ıda pela continuidade em ] − ∞, 0[ e em ]0, +∞[ — e para a qual as afirma¸co ˜es expressas em 1o e 2o sejam ambas falsas. (Grupo IIIb do Exame de 2a ´ epoca de 8/9/80)

48

Resolu¸ c˜ ao: 1. Sendo limx→+∞ f (x) = α > 0 e limx→−∞ f (x) = β > 0 seja  > 0 tal que 0 < α −  e 0 < β − . Existem x0 < 0 e x1 > 0 tais que, se x ≤ x0 , se tem |f (x) − α| <  e, em particular, 0 < α −  < f (x) e, se x ≥ x1 , se tem |f (x) − β| <  e em particular 0 < β −  < f (x). Quer dizer f (x0 ) > 0 e f (x1 ) > 0; por´em f (0) < 0 pelo que, como f ´e cont´ınua, existem c0 e c1 tais que: x0 < c0 < 0,

0 < c 1 < x1 ,

f (c0 ) = 0

e

f (c1 ) = 0

pelo teorema do valor interm´edio. 2. Com as nota¸co ˜es anteriores, f tem um valor m´ınimo em [x0 , x1 ] atingido em certo c ∈ [x0 , x1 ], de acordo com o teorema de Weierstrass, e f (c) < 0 pois f (0) < 0 e 0 ∈ [x 0 , x1 ]. Ora, fora de [x0 , x1 ], f (x) ´e sempre positiva como se viu, logo o valor m´ınimo de f (x) em R ´e de facto f (c). Quanto ao contra-exemplo basta considerar   se x < 0, 1, 1 f (x) = − 2 , se x = 0,   arctg(x − 1), se x > 0. 3.43 Sejam a, b ∈ R, a < b e g : ]a, b[ → R uma fun¸ca ˜o cont´ınua em ]a, b[, tal que lim g(x) = − lim g(x) = −∞.

x→a

x→b

Mostre que existe uma e uma s´ o fun¸ca ˜o cont´ınua h definida em [a, b] tal que h(x) = arctg[g(x)]2

∀x∈ ]a,b[

e determine o seu contradom´ınio. Justifique cuidadosamente a resposta. (Grupo III2 do Exame de 2a ´ epoca de 24/9/80)

3.44 Suponha que f ´e uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R. 1. Recorrendo directamente a ` defini¸ca ˜o de continuidade prove que, se f (a) > 0, existe  > 0 tal que x ∈ V (a) ⇒ f (x) > 0. 2. Designando por g a fun¸ca ˜o definida em R por ( f (x), se f (x) ≥ 0, g(x) = 0, se f (x) < 0, prove que g ´e cont´ınua em qualquer ponto a ∈ R.

[Sugest˜ ao: considere separadamente as hip´ oteses f (a) > 0, f (a) < 0 e f (a) = 0; na primeira pode ser-lhe u ´til o resultado da al´ınea a); a segunda pode tratar-se analogamente; na terceira recorra directamente a ` defini¸ca ˜o de continuidade]. 3. Prove que, se a equa¸ca ˜o g(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real e se g n˜ ao ´e a fun¸ca ˜o nula, a equa¸ca ˜o f (x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. 4. Prove que, se os limites de f (x) quando x → +∞ e quando x → −∞ existem e s˜ ao ambos negativos, a fun¸ca ˜o g tem m´ aximo e m´ınimo absolutos. (Grupo IV da Prova de 2/12/76)

49

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES. 3.45 Sejam a e b dois n´ umeros reais tais que a < b, f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em [a, b] e admita-se que qualquer dos conjuntos: A = {x : x ∈ [a, b] ∧ f (x) > 0},

B = {x : x ∈ [a, b] ∧ f (x) < 0}

´e n˜ ao vazio. Justifique as proposi¸co ˜es seguintes: 1. A ∪ B 6= [a, b]. 2. Se xn ´e o termo geral de uma sucess˜ ao convergente tal que, para todo o n ∈ N, x 2n ∈ A e x2n+1 ∈ B, ent˜ ao f (xn ) converge e o seu limite ´e zero. 3. O conjunto f (A) tem m´ aximo e n˜ ao tem m´ınimo; o conjunto f (B) tem m´ınimo e n˜ ao tem m´ aximo. Dˆe ainda um exemplo de uma fun¸ca ˜o f (cont´ınua em [a, b]), para a qual seja igual a a o ´ınfimo de qualquer dos conjuntos A e B. (Grupo IV do 1o Teste de 11/3/78)

3.46 Sendo f e g duas fun¸co ˜es cont´ınuas em R, considere os conjuntos: U = {x : f (x) > g(x)},

V = {x : f (x) < g(x)},

W = {x : f (x) = g(x)}.

1. Prove que, se U e V s˜ ao n˜ ao vazios, W ´e n˜ ao vazio. 2. Prove que, se xn ´e uma sucess˜ ao convergente e se x2n ∈ U e x2n+1 ∈ V (∀n∈ N ), ent˜ ao lim xn ∈ W . 3. Prove que, se a ∈ U , existe  > 0 tal que a vizinhan¸ca  de a est´ a contida em U ; esta afirma¸ca ˜o ficaria ainda verdadeira se substitu´ıssemos U por W ? Justifique. 4. Se existirem os limites f (+∞) e g(+∞) e se for verificada a desigualdade f (+∞) > g(+∞), quais dos conjuntos U , V , W ser˜ ao necessariamente majorados? Justifique. 5. Em cada um dos casos seguintes dˆe um exemplo – ou prove que n˜ ao ´e poss´ıvel fazˆe-lo – de fun¸co ˜es f , g cont´ınuas em R, tais que f (+∞) = g(+∞) e para as quais, dos trˆes conjuntos U, V , W : a) S´ o U e V sejam majorados. b) S´ o U e W sejam majorados. c) S´ o W seja majorado. d) S´ o U seja majorado. e) Nenhum seja majorado. (Grupo III da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 19/4/80)

3.47 Seja f uma fun¸ca ˜o definida em R, verificando a condi¸ca ˜o ∃K∈R ∀x,y∈R

|f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|.

(3.1)

1. Prove que f ´e cont´ınua em R. 2. Prove que, qualquer que seja a > 0, a fun¸ca ˜o |f | tem m´ aximo no intervalo [−a, a] e que esse m´ aximo n˜ ao excede o n´ umero |f (0)| + Ka. 3. Prove que, sendo α > 1, lim

x→+∞

f (x) = 0. xα 50

4. Indique, justificando, quais s˜ ao as fun¸co ˜es polinomiais que verificam a condi¸ca ˜o (3.1). (Grupo IVb do Exame Final de 30/4/80)

Resolu¸ c˜ ao: 1. Seja x0 ∈ R e prove-se que f ´e cont´ınua em x0 . Dado  > 0 ter-se-´ a com efeito |f (x)−f (x0 )| < ao  desde que |x − x0 | < K , pois ent˜ |f (x) − f (x0 )| ≤ K|x − x0 | < K

 = . K

2. Dados dois reais u, v tem-se sempre ||u| − |v|| ≤ |u − v| da´ı que para qualquer x ∈ [−a, a] ||f (x)| − |f (0)|| ≤ |f (x) − f (0)| ≤ K|x| ≤ Ka e portanto, |f (x)| ≤ |f (0)|+Ka e da´ı que o m´ aximo de f em [−a, a] (que existe pelo teorema de Weierstrass) seja inferior a |f (0)| + Ka. 3. Tem-se

f (x) |f (x)| |f (0)| + K|x| |f (0)| 1 = + K α−1 . xα = |x|α ≤ |x|α |x|α |x|

Como α > 1 o lado direito tende para 0 quando x → +∞.

4. Se f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an (a0 6= 0) tem-se f (x) a 0 xn = lim = lim a0 xn−α . α x→+∞ x x→+∞ xα x→+∞ lim

Se f verifica a condi¸ca ˜o este limite ter´ a de ser nulo para qualquer α > 1 e ele s´ o ´e nulo se n − α < 0. Logo tem de ser n ≤ 1 e f tem de ter grau menor ou igual a um.

51

˜ CAP´ITULO 3. FUNC ¸ OES. CONTINUIDADE E LIMITES.

52

Cap´ıtulo 4

C´ alculo Diferencial. 4.1

No¸ c˜ ao de derivada. Primeiras propriedades.

4.1 Considere a fun¸ca ˜o f , definida em R, cont´ınua no ponto 0 e tal que x f (x) = ∀x6=0 . 2 + e−1/x Calcule as derivadas laterais de f no ponto 0. (Grupo IIa do Teste de 7/4/79)

4.2 Determine as derivadas laterais, no ponto 0, da fun¸ca ˜o f cont´ınua em R e cujos os valores para x 6= 0 s˜ ao determinados pela igualdade: f (x) = x

1 + e1/x . 2 + e1/x

[Sugest˜ ao: estude primeiramente os limites laterais, no ponto 0, da fun¸ca ˜o e1/x .] (Pergunta 2a do Ponto no 6 de 25/10/71)

4.3 Considere a fun¸ca ˜o definida em R pela forma seguinte: ( x2 − 1, se |x| ≤ 1, g(x) = 1 − x2 , se |x| > 1. a) Sendo |a| < 1 e |b| > 1, calcule g 0 (a) e g 0 (b) (num dos casos, recorra directamente a ` defini¸ca ˜o de derivada; no outro, use as regras de deriva¸ca ˜o adequadas). b) Calcule as derivadas laterais de g nos pontos em que a fun¸ca ˜o n˜ ao ´e diferenci´ avel. c) Esboce o gr´ afico de g 0 e justifique que n˜ ao h´ a, no gr´ afico de g, dois pontos (distintos) nos quais as tangentes a este u ´ltimo gr´ afico sejam paralelas. (Pergunta 1∗ do Exame Final de 6/5/78)

Resolu¸ c˜ ao: a) Vamos calcular g 0 (a) recorrendo a ` defini¸ca ˜o: ((a + h)2 − 1) − (a2 − 1) g(a + h) − g(a) = lim = h→0 h→0 h h 2ah + h2 = lim = lim (2a + h) = 2a. h→0 h→0 h

g 0 (a) = lim

53

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. y 2

−1

1

x

PSfrag replacements 1 −2

Figura 4.1: O gr´ afico da fun¸ca ˜o g 0 no exerc´ıcio 4.2.

Vamos calcular g 0 (b) usando as regras de deriva¸ca ˜o: sendo |x| > 1 tem-se g 0 (x) = (1 − x2 )0 = −2x. Logo g 0 (b) = −2b. b) Nos pontos 1 e −1 a fun¸ca ˜o n˜ ao ´e diferenci´ avel. As derivadas laterais existem e s˜ ao: 1 − (1 + h)2 − 0 −2h − h2 g(1 + h) − g(1) = lim+ = lim+ = −2, h h h h→0 h→0 h→0 g(1 + h) − g(1) (1 + h)2 − 1 − 0 2h + h2 ge0 (1) = lim = lim = lim = 2, − − − h h h h→0 h→0 h→0 (−1 + h)2 − 1 − 0 −2h + h2 g(−1 + h) − g(1) = lim = lim = −2, gd0 (−1) = lim h h h h→0+ h→0+ h→0+ g(−1 + h) − g(1) 1 − (−1 + h)2 − 0 2h − h2 ge0 (−1) = lim− = lim− = lim− = 2. h h h h→0 h→0 h→0 gd0 (1) = lim+

c) Dois pontos distintos x1 , x2 teriam tangentes paralelas ao gr´ afico de g se as derivadas g 0 (x1 ) 0 e g (x2 ) tivessem um valor comum α. Isso implicaria que a recta paralela ao eixo dos x com pontos de ordenada α cortasse o gr´ afico de g 0 em dois pontos. Mas n˜ ao h´ a nenhum α nessas condi¸co ˜es.

4.4 Sendo C a curva plana de equa¸ca ˜o y = x2 − 5x + 6.

1o Determine o ponto de C no qual a tangente a ` curva ´e paralela a ` bissectriz dos quadrantes ´ımpares;

2o Justifique que, dada arbitrariamente uma recta do plano n˜ ao paralela ao eixo das ordenadas, existe um e um s´ o ponto de C no qual a tangente ´e paralela a ` recta dada. (Grupo Ib do 1o Teste de 21/6/80)

54

˜ DE DERIVADA. PRIMEIRAS PROPRIEDADES. 4.1. NOC ¸ AO 4.5 Seja g uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R, tal que g(0) = 3 e seja f a fun¸ca ˜o definida pela igualdade f (x) = 1 + xg(x)

∀x∈R .

Prove que f ´e diferenci´ avel no ponto 0 (note que n˜ ao se sup˜ oe que g o seja) e determine uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f no ponto de intersec¸ca ˜o com o eixo das ordenadas. Mostre ainda que, se g for estritamente mon´ otona, o gr´ afico de f e a tangente cuja equa¸ca ˜o determinou s´ o se intersectam no ponto de tangˆencia. (Pergunta 1b da Prova de 20/7/71)

Resolu¸ c˜ ao: 1 + xg(x) − 1 f (x) − f (0) = lim = lim g(x) = g(0). x→0 x→0 x→0 x x

f 0 (0) = lim

Ou ´ltimo passo decorre de g ser cont´ınua em 0. A equa¸ca ˜o pedida ´e y = f 0 (0)x + f (0) ou seja y = g(0)x + 1. Um ponto de intersec¸ca ˜o da tangente com o gr´ afico de f dever´ a ter uma abcissa x verificando: f (x) = f 0 (0)x + f (0) ou seja, 1 + xg(x) = g(0)x + 1 ou ainda xg(x) = g(0)x. Se for x 6= 0 ter-se-´ a g(x) = g(0) e sendo g estritamente mon´ otona viria por outro lado g(x) 6= g(0) pois g seria injectiva. Ora isto ´e absurdo, pelo que tem de ser x = 0. 4.6 Seja f ∈ C 2 (R) e sejam ϕ e ψ as fun¸co ˜es reais definidas em R por ϕ(x) = f (ex ),

ψ(x) = f (sen x).

Mostre que ϕ00 (0) + ψ 00

π  2

= f 00 (1).

´ (Pergunta 1 do Grupo III do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

4.7 Seja f (x) =

(

x2 + x − 1, se x > 0, 2 1 se x < 0. π arctg x ,

a) Sendo a < 0 e b > 0, justifique que f ´e diferenci´ avel nos pontos a e b e determine uma equa¸ca ˜o da recta tangente ao gr´ afico da fun¸ca ˜o f no ponto (a, f (a)). b) Mostre que f ´e prolong´ avel por continuidade ao ponto 0 e, designando por f˜ a fun¸ca ˜o que se obt´em prolongando f por continuidade ao ponto 0, indique, justificando, o dom´ınio de diferenciabilidade de f˜. (Grupo I1 da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 18/9/80)

4.8 Seja g(x) =

(

ex −1 x

1

1o Calcule g 0 (x), para x 6= 0. 2o Calcule g 0 (0) (recorra a ` defini¸ca ˜o de derivada). 55

se x 6= 0, se x = 0.

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 3o Escreva uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de g no ponto de abcissa 0. (Grupo I do Exame de 2/10/80)

4.9 Determine o dom´ınio, o dom´ınio de diferenciabilidade e calcule a derivada das seguintes fun¸co ˜es: ex . a) log(x sh x), b) arcsen(arctg x), c) 1+x (Grupo I1 do Exame de 23/3/77)

4.10 Determine o dom´ınio, o dom´ınio de diferenciabilidade e calcule a derivada das seguintes fun¸co ˜es: x+1 a) f (x) = e x−1 , b) g(x) = log | log x|. (Grupo I do Exame de 2a ´ epoca de 19/7/77)

4.11 Determine o dom´ınio, o dom´ınio de diferenciabilidade e a derivada de cada uma das seguintes fun¸co ˜es: ( 1 p e− x2 , se x 6= 0, 3 2 b) g(x) = sen log(x − 1), c) h(x) = a) f (x) = 4 − x , 0, se x = 0. (Grupo I1 da Prova de 25/7/77) x+1 ; determine o dom´ınio de f , o dom´ınio 4.12 1o Seja f a fun¸ca ˜o definida por f (x) = log arcsen x−1 de diferenciabilidade de f e calcule a sua derivada.

2o Determine ˜o definida √ o dom´ınio, o dom´ınio de diferenciabilidade e calcule a derivada da fun¸ca por y = ch x − 1. Calcule as suas derivadas laterais no ponto x = 0. 3o Determine uma equa¸ca ˜o da recta tangente ao gr´ afico da fun¸ca ˜o definida em R por y = e arctg x , no ponto de abcissa nula. (Grupo I da Prova de 18/7/77)

4.13 Sendo f : R → R a fun¸ca ˜o definida pela f´ ormula f (x) = x4 e−x e sendo g : R → R uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel, calcule (g ◦ f )0 (x).

4.14 Considere a fun¸ca ˜o f : R → R definida por: ( a + bx, f (x) = arctg x1 ,

(Grupo IIb do Exame de 26/7/78)

se x ≤ 0, se x > 0.

a) Escreva uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f no ponto de abcissa 1. b) Determine a e b por forma que f seja diferenci´ avel no ponto 0 e verifique se (com esses valores de a e b) a fun¸ca ˜o f 0 fica cont´ınua em R. (Grupo II do Teste de 10/4/79)

56

˜ DE DERIVADA. PRIMEIRAS PROPRIEDADES. 4.1. NOC ¸ AO 4.15 Seja g : R → R a fun¸ca ˜o cont´ınua no ponto 0 e tal que, para todo o x ∈ R \ {0}   1 . g(x) = x 2 + x sen2 x a) Determine uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de g no ponto de abcissa 0 e mostre que nenhum ponto do gr´ afico da fun¸ca ˜o est´ a situado “abaixo” dessa tangente. b) Estude, do ponto de vista da continuidade, a fun¸ca ˜o g 0 (primeira derivada de g). (Grupo III do Exame Final de 4/5/79)

4.16 Sendo f : R → R uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel e supondo que f 0 ´e cont´ınua (mas possivelmente n˜ ao diferenci´ avel) no ponto a ∈ R, prove que a fun¸ca ˜o g(x) = (x − a)f (x) ´e duas vezes diferenci´ avel no ponto a e exprima g 00 (a) em fun¸ca ˜o de f 0 (a). (Grupo IIIb do Exame de 26/7/78))

4.17 Sendo f uma fun¸ca ˜o duas vezes diferenci´ avel em R e designando por g : R → R a aplica¸ca ˜o definida por g(x) = f (ex ), mostre que g 00 (0) − g 0 (0) = f 00 (1). (Grupo I2 da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 18/9/80)

Resolu¸ c˜ ao: Temos g 0 (x) = f 0 (ex )ex , g 00 (x) = f 00 (ex )e2x + f 0 (ex )ex . Logo g 00 (0) − g 0 (0) = f 00 (1) + f 0 (1) − f 0 (1) = f 00 (1).

4.18 Sendo g : R → R uma fun¸ca ˜o duas vezes diferenci´ avel, considere a fun¸ca ˜o ϕ : ]0, +∞[ → R definida por ϕ(x) = eg(log x) e (supondo conhecidos os valores de g, g 0 e g 00 em pontos convenientes) determine: 1o Uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de ϕ no ponto de abcissa 1. 2o ϕ00 (e). (Grupo IVa do Teste de 24/4/79)

4.19 Determine para que valores k ∈ R+ a fun¸ca ˜o ( xk sen x12 , se x 6= 0, fk (x) = 0, se x = 0, ´e diferenci´ avel em R, mas a derivada n˜ ao ´e cont´ınua em x = 0. Justifique. ´ (Grupo IV do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

57

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL.

4.2

Teoremas de Rolle e Lagrange. Corol´ arios.

4.20 Considere os seguintes subconjuntos de R: A = {x ∈ R : 5|x + 1| ≥ 11 + 3x}, C = {x ∈ R+ : log x ≤ 1},

  1 Bn = 0, n

(n ∈ N1 ),

D = ∩n∈N1 Bn .

(Note que D ´e o conjunto dos n´ umeros reais que pertencem a todos os Bn .) 1. Mostre que A = ] − ∞, −2] ∪ [3, +∞[. 2. Indique, se existirem em R, o m´ aximo, o m´ınimo, o supremo e o ´ınfimo dos conjuntos A, C e D. 3. Diga, justificando, se s˜ ao verdadeiras ou falsas cada uma das proposi¸co ˜es seguintes dando um exemplo sempre que afirmar que a proposi¸ca ˜o ´e falsa e jutificando abreviadamente sempre que afirmar que a proposi¸ca ˜o ´e verdadeira: a) Toda a sucess˜ ao crescente de termos em A ∩ R− ´e convergente (em R). b) Toda a sucess˜ ao (xn ) tal que xn ∈ Bn para qualquer n ∈ N1 , ´e convergente (em R).

c) Sejam x0 ∈ A ∩ R− e y0 ∈ A ∩ R+ . Toda a fun¸ca ˜o cont´ınua em A tal que f (x0 ) < 0 e f (y0 ) > 0, tem pelo menos um zero.

d) Toda a fun¸ca ˜o cont´ınua em C ∪ D tem m´ aximo.


e) Seja f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R tal que f (0) = 0 e f n1 = 0 para qualquer n ∈ N1 . 0 Ent˜ ao f tem, para cada n ∈ N1 , pelo menos um zero em Bn . ´ (Grupo I do Exame de 1a Epoca de 26/1/96)

4.21 Considere a fun¸ca ˜o F definida em R da forma seguinte: ( x , se x < 0, F (x) = 1−x arctg x, se x ≥ 0. a) Sendo a < 0 e b > 0, calcule F 0 (a) e F 0 (b) e escreva equa¸co ˜es das tangentes ao gr´ afico de F nos pontos de abcissas a e b. b) Justifique que F 0 (0) = 1. ao tem extremos locais. c) Utilize os resultados de a) e b) para justificar que F n˜ (Pergunta 1 do Teste de 22/4/78)

4.22 Sendo f uma fun¸ca ˜o real definida em R, designe-se por Γ o gr´ afico de f num dado referencial (ortonormado) e por ϕ a fun¸ca ˜o definida pela forma seguinte: para cada x ∈ R, ϕ(x) ´e igual a ` distˆ ancia da origem ao ponto de Γ cuja abcissa ´e x. 1. Exprima ϕ(x) (em fun¸ca ˜o de f (x) e x) por meio de uma f´ ormula e aproveite-a para justificar que ϕ ´e cont´ınua em qualquer ponto em que f o seja; mostre, por meio de um exemplo, que ϕ pode ser cont´ınua num ponto de descontinuidade de f . 58

´ 4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROLARIOS. 2. Reconhece-se facilmente que, se f for cont´ınua em R, ϕ tem m´ınimo (absoluto); sem demonstrar este resultado, aproveite-o para provar que, qualquer que seja a fun¸ca ˜o f diferenci´ avel em R, a equa¸ca ˜o x + f (x)f 0 (x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. [Sugest˜ ao: Considere a fun¸ca ˜o (ϕ(x))2 .] (Grupo IVb do Exame Final de 10/5/79)

4.23 Sendo f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel num intervalo I que contenha os pontos −1 e 1, considere a fun¸ca ˜o ϕ : R → R definida por ϕ(x) = f (cos x)f (sen x). Calcule ϕ0 (x) e mostre que, em qualquer ponto (a, b) do gr´ afico de ϕ tal que tg a = 1, a tangente a esse gr´ afico ´e horizontal. Admitindo que f era duas vezes diferenci´ avel em I, o que poder´ıamos dizer sobre o n´ umero de ra´ızes da equa¸ca ˜o ϕ00 (x) = 0? (Grupo IVa do Teste de 7/4/79)

Resolu¸ c˜ ao: ϕ0 (x) = f 0 (cos x)(− sen x)f (sen x) + f (cos x)f 0 (sen x) cos x A condi¸ca ˜o tg a = 1 significa sen a = cos a e portanto ϕ0 (a) = f 0 (sen a)(− sen a)f (sen a) + f (sen a)f 0 (sen a) sen a = 0, ou seja, a tangente ao gr´ afico de ϕ no ponto de abcissa a ´e horizontal. A fun¸ca ˜o ϕ 0 anula-se nos π pontos a tais que tg a = 1 ou seja, nos pontos da forma 4 + kπ onde k ∈ Z. Para cada k ∈ Z temos ent˜ ao que ϕ00 ter´ a que se anular em ]π/4 + kπ, 5π/4 + kπ[. Logo, a equa¸ca ˜o ϕ00 (x) = 0 tem infinitas ra´ızes. 4.24 Seja g uma fun¸ca ˜o trˆes vezes diferenci´ avel em R, a, b e c trˆes n´ umeros reais tais que a < b < c. Prove que, se g tem extremos locais (m´ aximos ou m´ınimos) em cada um dos pontos a, b e c, a equa¸ca ˜o g 000 (x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. Indique um intervalo que contenha essa raiz. (Pergunta 1b da Prova de 19/7/71)

Resolu¸ c˜ ao: Se x0 ´e um extremo local de g ´e porque g 0 (x0 ) = 0. Logo g 0 (a) = g 0 (b) = g 0 (c) = 0. Pelo teorema de Rolle, existem α ∈ ]a, b[ e β ∈ ]b, c[ tais que g 00 (α) = 0 e g 00 (β) = 0; de novo pelo teorema de Rolle existe γ ∈ ]α, β[ tal que g 000 (γ) = 0. A maior precis˜ ao para γ ´e: γ ∈ ]a, c[. 4.25 Sendo ϕ : ]0, +∞[→ R uma fun¸ca ˜o indefinidamente diferenci´ avel verificando a condi¸ca ˜o ∀r,s∈N1

ϕ(r) = ϕ(s),

prove que, para todo o natural n, a equa¸ca ˜o ϕ(n) (x) = 0 tem infinitas ra´ızes. Para cada k ∈ N1 indique um natural p tal que possa garantir-se a existˆencia de uma raiz da equa¸ca ˜o ϕ (k) (x) = 0 no intervalo ]1, p[; justifique a resposta. (Pergunta 4a do Teste de 22/4/78)

4.26 Mostre que, se a fun¸ca ˜o f definida em R por f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−2 x2 tem um zero positivo, isto ´e, se existe b > 0 tal que f (b) = 0, ent˜ ao a segunda derivada de f ter´ a pelo menos um zero no intervalo ]0, b[. Justifique cuidadosamente a resposta. (Pergunta 1b do Exame Final (Ponto no 1) de 5/7/71))

59

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 4.27 Seja g uma fun¸ca ˜o cont´ınua em [a, b], diferenci´ avel em ]a, b[ e tal que g(a) = g(b) = 0

e

g(x) 6= 0,

∀x∈ ]a,b[ .

Seja ainda h(x) = g 0 (x)/g(x), para todo o x ∈ ]a, b[. Mostre que h(]a, b[) = R. [Sugest˜ ao: Dado α ∈ R, para provar que existe c ∈ ]a, b[ tal que h(c) = α, aplique (justificando que pode fazˆe-lo) o Teorema de Rolle a ` fun¸ca ˜o g(x)e−αx , no intervalo [a, b].] (Pergunta 4a∗ do Exame Final de 6/5/78)

Resolu¸ c˜ ao: H´ a que provar que h : ]a, b[ → R ´e sobrejectiva, ou seja, que dado α ∈ R existe c ∈ ]a, b[ tal que h(c) = α, ou ainda, g 0 (c)/g(c) = α. Ora G(x) = g(x)e−αx ´e cont´ınua em [a, b], diferenci´ avel em ]a, b[ e anula-se em a e em b, logo existe c ∈ ]a, b[ tal que G0 (c) = 0. Como 0 G (x) = (g 0 (x) − αg(x))e−αx isso significa que g 0 (c) − αg(c) = 0 ou g 0 (c)/g(c) = α. 4.28 Seja f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em ]0, 1[ e tal que   1 = 0, ∀n∈N1 f n+1 Diga, justificando, se ´e verdadeira ou falsa cada uma das proposi¸co ˜es seguintes 1 : h i 1 a) Para qualquer n ≥ 2, a fun¸ca ˜o f tem m´ aximo no intervalo n+1 , n1 .

b) A fun¸ca ˜o f ´e limitada em ]0, 1[.

c) A fun¸ca ˜o f 0 tem infinitos zeros em ]0, 1[. ´ (Pergunta 4 do Grupo I do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

4.29 Sendo f uma fun¸ca ˜o indefinidamente diferenci´ avel em R, suponha que existe uma sucess˜ ao xn , estritamente decrescente e tal que: lim xn = 0

e

f (xn ) = 0,

∀n∈N .

1. Prove que, qualquer que seja o inteiro k ≥ 0, f (k) (0) = 0. 2. Dˆe um exemplo de uma fun¸ca ˜o, distinta da fun¸ca ˜o nula, que verifique todas as condi¸co ˜es referidas no enunciado. (Grupo IIIc do 1o Teste de 21/6/80)

4.30 Seja φ uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel no intervalo ]0, 1[, verificando a condi¸ca ˜o     1 1 =φ , para todo o inteiro n > 0. φ n+1 n+2 Supondo que existe o limx→0 φ0 (x), indique, justificando, o valor deste limite. ´ (Pergunta 1 do Grupo IV do Exame de 2a Epoca de 24/2/95)

4.31 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua num intervalo aberto que contenha os pontos 0 e 1 e tal que, para todo o n ∈ N1 , 1 f (1/n) = 3 − 2 . n Justificando cuidadosamente todas as respostas: 1 Nota: Sempre que afirme que uma proposi¸ ca ˜o ´e falsa dˆe um exemplo que o comprove. Sempre que afirme que uma proposi¸ca ˜o ´e verdadeira justifique, abreviadamente, porque chegou a tal conclus˜ ao.

60

´ 4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROLARIOS. 1. Calcule f (0). 2. Prove que o contradom´ınio de f cont´em o intervalo [2, 3]. 3. Supondo agora, suplementarmente, que f ´e indefinidamente diferenci´ avel nalguma vizinhan¸ca da origem, determine f (k) (0) para todo o k ∈ N e indique se o ponto 0 ´e ou n˜ ao ponto de extremo de f . [Sugest˜ ao: poder´ a ser-lhe u ´til considerar a fun¸ca ˜o ϕ(x) = f (x) + x2 − 3]

(Grupo IVb do Exame Final de 4/5/79)

4.32 Seja φ uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R tal que φ(n) = (−1)n n

∀n ∈ N.

Prove que n˜ ao existe o limite limx→+∞ φ0 (x). [Sugest˜ ao: Pode ser-lhe u ´til aplicar o teorema de Lagrange.] (Pergunta 2 do Grupo IV do 2o Exame de 6/2/95)

4.33 Seja (xn ) uma sucess˜ ao estritamente crescente, de termos positivos, e A = {xn : n ∈ N1 }. Diga, justificando, se s˜ ao verdadeiras ou falsas cada uma das proposi¸co ˜es seguintes: a) Se A ´e um conjunto majorado, toda a subsucess˜ ao de (xn ) ´e convergente (em R). P+∞ xn b) A s´erie n=1 n ´e convergente.

c) Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e suponha que A ´e um conjunto majorado. Ent˜ ao existe (em R) lim f (xn ).

d) Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R, tal que f (xn ) = (−1)n . Ent˜ ao a equa¸ca ˜o f (x) = 0 tem infinitas solu¸co ˜es. e) Seja f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R, tal que f (xn ) = f (xm ) para quaisquer m, n ∈ N1 . Ent˜ ao a equac˜ ao f 0 (x) = 0 tem infinitas solu¸co ˜es. ´ (Grupo I do Exame de 2a Epoca de 28/2/96)

4.34 Prove que, se g ´e uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R e se a fun¸ca ˜o g 0 ´e injectiva (isto ´e ∀x1 ,x2 ∈R 0 0 x1 6= x2 ⇒ g (x1 ) 6= g (x2 )) ent˜ ao nenhuma tangente ao gr´ afico de g tem mais de um ponto comum com esse gr´ afico [Sugest˜ ao: use o teorema de Lagrange]. Mostre ainda que se alguma tangente ao gr´ afico de uma fun¸ca ˜o ψ com 2a derivada cont´ınua em R intersecta o gr´ afico de ψ em dois pontos distintos, ent˜ ao a equa¸ca ˜o ψ 00 (x) = 0 tem pelo menos uma raiz real. (Grupo IVb do Teste de 10/4/79)

4.35 Sendo I um intervalo de R e f : I → R, diz-se que x0 ∈ I ´e um ponto fixo de f sse f (x0 ) = x0 . Supondo que f ´e indefinidamente diferenci´ avel em I mostre que: a) Se f tem dois pontos fixos distintos, existe c1 ∈ I tal que f 0 (c1 ) = 1. b) Se f tem n pontos fixos distintos (n > 2), existe c2 ∈ I tal que f (n−1) (c2 ) = 0. (Grupo III3 da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 21/6/80)

4.36 Seja f : [0, 1] → R uma fun¸ca ˜o cont´ınua, cujo contradom´ınio est´ a contido em [0, 1]. 61

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. a) Mostre que existe um x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x.

b) Supondo agora adicionalmente que f ´e diferenci´ avel em ]0, 1[ com f 0 (x) 6= 1 para qualquer x ∈ ]0, 1[, prove que a equa¸ca ˜o anterior tem uma s´ o raiz naquele intervalo. (Grupo IV do 2o Exame de 9/2/94)

4.37 Seja f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R tal que f (0) = 0 e cuja derivada ´e uma fun¸ca ˜o crescente. Demonstre que a fun¸ca ˜o g(x) = f (x)/x ´e crescente em R+ . [Sugest˜ ao: Aplique o teorema de Lagrange a f num intervalo adequado para mostrar que g 0 (x) > 0 para qualquer x ∈ R+ .] (Grupo IV do 1o Exame de 26/1/94)

4.38 Use o teorema de Lagrange para mostrar que | sen x−sen y| ≤ |x−y| para quaisquer x, y ∈ R.

(Pergunta 2 do Grupo III do 2o Exame de 9/2/94)

4.39 Uma fun¸ca ˜o f : R → R diz-se lipschitziana se e s´ o se verifica a condi¸ca ˜o: ∃c∈R ∀x,y∈R

|f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|.

Utilize o teorema de Lagrange para provar que se f : R → R ´e diferenci´ avel e f 0 ´e limitada em R, f ´e lipschitziana. Dˆe exemplos que mostrem que a diferenciabilidade de f em todos os pontos de R n˜ ao ´e condi¸ca ˜o necess´ aria, nem suficiente, para que f seja lipschitziana. (Pergunta 4b do Teste de 22/4/78)

4.40 Supondo que f ´e uma fun¸ca ˜o com derivada cont´ınua em todos os pontos do intervalo [a, b] (a, b ∈ R, a < b), prove que existe K ∈ R tal que, quaisquer que sejam x, y ∈ [a, b], |f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|. (Grupo IIIa do Exame Final de 18/9/80)

4.41 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua e positiva no intervalo [a, b] e diferenci´ avel em ]a, b[. Mostre que existe um ponto c ∈ ]a, b[ tal que f 0 (c) f (b) = e(b−a) f (c) f (a) (Pergunta 1b do Exame Final (Ponto no 2) de 6/7/71)

Resolu¸ c˜ ao: Como f ´e positiva, h(x) = log(f (x)) est´ a definida em [a, b]; como f ´e cont´ınua em [a, b] e diferenci´ avel em ]a, b[, o mesmo se passa com log(f (x)), pois log : R+ → R ´e cont´ınua e diferenci´ avel em R+ . Pelo teorema de Lagrange: h(b) − h(a) = h0 (c)(b − a),

para algum c ∈ ]a, b[.

Ora como h0 (x) = f 0 (x)/f (x) isto significa log(f (b)) − log(f (a)) = ou ainda log

f 0 (c) (b − a) f (c)

  f 0 (c) f (b) = log e(b−a) f (c) . f (a)

Como log : R+ → R ´e injectiva conclui-se que

f 0 (c) f (b) = e(b−a) f (c) . f (a)

62

´ 4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROLARIOS. 4.42 Seja f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel no intervalo [1, +∞[. Prove que, se f 0 (x) ´e limitada no mesmo intervalo, f (x)/x tamb´em o ´e. [Sugest˜ ao: aplique o teorema de Lagrange, no intervalo [1, x]]. (Pergunta 4b do Exame Integrado (Ponto no 5) de 25/10/71)

4.43 Sejam f e g duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis no intervalo ]a, +∞[, cont´ınuas no ponto a e verificando as condi¸co ˜es: i) f (a) < g(a). ii) g ´e majorada em ]a, +∞[. iii)

lim f (x) = +∞.

x→+∞

Prove que s˜ ao verdadeiras as proposi¸co ˜es: 1. Existe um α tal que f (α) = g(α); 2. Qualquer que seja β existe um γ > β tal que f 0 (γ) > g 0 (γ). Mostre ainda, por meio de um exemplo adequado, que n˜ ao pode garantir-se a existˆencia de um δ tal que f 0 (x) > g 0 (x) para todo o x > δ. (Grupo IVb do Exame Final de 21/9/79)

4.44 Seja f uma fun¸ca ˜o definida no intervalo ]a, +∞[, diferenci´ avel em todos os pontos desse intervalo e tal que f (x)f 0 (x) < 0 ∀x>a .

Prove que existem limx→a f (x) e limx→+∞ f (x) sendo o segundo limite necessariamente finito. Sˆe-lo-´ a tamb´em o primeiro? (Pergunta 4b do Exame Final (Ponto no 1) de 1/10/71)

Resolu¸ c˜ ao: A condi¸ca ˜o f (x)f 0 (x) < 0 significa que f (x) e f 0 (x) tˆem sinais contr´ arios. Suponhamos por exemplo que f (x) > 0 e f 0 (x) < 0 para todo o x > a. A fun¸ca ˜o f seria decrescente e minorada em ]a, +∞[; o limx→+∞ f (x) seria ent˜ ao α = inf f (x) = inf f (]a, +∞[) x>a

e α seria um real pois o conjunto f (]a, +∞[) ⊂ ]0, +∞[ sendo minorado tem o seu ´ınfimo em R. Mostremos ent˜ ao que limx→+∞ f (x) = α ou seja, que dado ε > 0 existe x0 tal que se x > x0 se tem |f (x) − α| < ε. Como f (x) > α = inf x>a f (x) pode suprimir-se o valor absoluto. Por defini¸ca ˜o de ´ınfimo, dado ε > 0 existe x0 > a tal que α ≤ f (x0 ) < α + ε e em particular f (x0 ) < α + ε; como f ´e decrescente, se x > x0 vem f (x) ≤ f (x0 ) < α + ε e portanto, para x > x0 ter-se-´ a: f (x) − α < ε. Ainda na hip´ otese de ser f (x) > 0 e f 0 (x) < 0 para x > a, vamos mostrar que limx→a f (x) existe2 em R. Seja β = supx>a f (x), podendo ser β = +∞ se f n˜ ao for majorada. Se β ∈ R mostra-se que limx→a f (x) = β como anteriormente, utilizando a no¸ca ˜o de supremo: dado ε > 0 existe x0 tal que β − ε < f (x0 ) ≤ β. Logo β − ε < f (x0 ) e para x tal que a < x < x0 vir´ a β − ε < f (x) pois f ´e decrescente; quer dizer que dado ε > 0 se ter´ a β − f (x) < ε desde que o est´ a definida para x > a, x − a < x0 o que significa que limx→a− f (x) = β. Como f s´ lim f (x) = lim f (x). x→a

x→a−

Se β = supx>a f (x) = +∞ tamb´em limx→a f (x) = +∞ pois dado M existe x0 > a tal que f (x0 ) > M j´ a que f n˜ ao ´e majorada e portanto para x tal que a < x < x0 vir´ a f (x) > M pois f ´e decrescente. O caso f (x) < 0 e f 0 (x) > 0 tratava-se de maneira an´ aloga. 63

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 4.45 Sejam ϕ e ψ duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis em R, verificando as condi¸co ˜es: x(ϕ0 (x) − ψ 0 (x)) > 0 ∀x6=0

e ϕ(0) > ψ(0).

Prove que, para todo o x ∈ R, ϕ(x) > ψ(x). Mostre ainda, por meio de um exemplo que retirando apenas a hip´ otese ϕ(0) > ψ(0), poderia ter-se ϕ(x) < ψ(x) para todo o x ∈ R. (Pergunta 4b do Ponto no 3 de 1/10/71)

4.46 Seja f ∈ C 1 (R) tal que ∀x,y∈R

x < y =⇒ f 0 (x) > f 0 (y).

(4.1)

a) Dˆe um exemplo de uma fun¸ca ˜o f ∈ C 1 (R) satisfazendo a (4.1) e tal que lim f (x) = lim f (x) = −∞.

x→−∞

x→+∞

b) Prove que n˜ ao existe nenhuma fun¸ca ˜o f ∈ C 1 (R) satisfazendo a (4.1) e tal que lim f (x) = lim f (x) = +∞.

x→−∞

x→+∞

c) Prove que n˜ ao existe nenhuma fun¸ca ˜o f ∈ C 1 (R) satisfazendo a (4.1) e tal que lim f (x) = a

e

x→−∞

lim f (x) = b

x→+∞

onde a e b designam dois n´ umeros reais. ´ (Grupo IV do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

4.47 Sendo f e g fun¸co ˜es diferenci´ aveis em R, verificando as condi¸co ˜es: f (0) = g(0) e f 0 (x) > g 0 (x) prove que x(f (x) − g(x)) > 0 para todo o x ∈ R \ {0}.

∀x∈R , (Grupo IIc do 1o Teste de 21/6/80)

4.48 Seja f uma fun¸ca ˜o definida numa vizinhan¸ca de 0, Vε (0), diferenci´ avel em todos os pontos dessa vizinhan¸ca excepto possivelmente no ponto 0 e tal que xf 0 (x) > 0, ∀x ∈ Vε (0) \ {0}. 1. Prove que, se f ´e cont´ınua no ponto 0, f (0) ´e um extremo de f e indique, justificando, se ´e um m´ aximo ou um m´ınimo; no caso de f ser diferenci´ avel no ponto 0, qual ser´ a o valor de f 0 (0)? Porquˆe? 2. Mostre por meio de um exemplo que, sem a hip´ otese de continuidade de f no ponto 0, n˜ ao pode garantir-se que f (0) seja um extremo de f . (Grupo IVb do Teste de 24/4/79)

4.49 Seja ϕ a fun¸ca ˜o definida em R por: ϕ(x) =

1 . 1 + |x|

a) Indique o dom´ınio de diferenciabilidade de ϕ e fa¸ca um esbo¸co do seu gr´ afico. 2E ´

claro que este limite pode ser finito (ex: e−x ) ou infinito (ex: 1/(x − a)).

64

´ 4.2. TEOREMAS DE ROLLE E LAGRANGE. COROLARIOS. b) Para todo o a > 0 seja Ua o quadril´ atero de v´ertices (a, 0), (a, ϕ(a)), (−a, 0), (−a, ϕ(−a)): mostre que se trata de um rectˆ angulo. De todos os rectˆ angulos Ua (com a > 0) determine aquele que tem a ´rea m´ axima ou, caso n˜ ao exista tal rectˆ angulo, o supremo das a ´reas dos rectˆ angulos Ua . (Grupo IVa e b do Exame de 23/3/77)

Resolu¸ c˜ ao: a) ϕ ´e claramente diferenci´ avel para x > 0 sendo ent˜ ao: 0

ϕ (x) =



1 1+x

0

Para x < 0 tem-se: 0

ϕ (x) = Para x = 0 tem-se



1 1−x

=−

0

=

1 . (1 + x)2

1 . (1 − x)2

1 |x| ϕ(x) − ϕ(0) 1+|x| − 1 = lim = lim − = −1, + + + x x x(1 + |x|) x→0 x→0 x→0 ϕ(x) − ϕ(0) |x| lim = lim − = 1. − − x x(1 + |x|) x→0 x→0

lim

Logo ϕ0 (0) n˜ ao existe. O dom´ınio de diferenciabilidade ´e pois R \ {0}.

˜o par, cont´ınua em R, Para esbo¸car o gr´ afico3 usamos os seguintes factos: ϕ ´e uma fun¸ca decrescente e com derivada crescente em [0, +∞[ ; ϕ(0) = 1, ϕ0d (0) = −1, ϕ0e (0) = 1, limx→+∞ ϕ(x) = limx→−∞ ϕ(x) = 0.

b) Basta observar que sendo P1 , P2 , P3 , P4 os pontos (a, 0), (a, ϕ(a)), (−a, 0) e (−a, ϕ(−a)) se tem: o segmento P1 P2 ´e paralelo a P3 P4 (pois s˜ ao paralelos ao eixo dos yy j´ a que P1 , P2 tˆem a mesma abcissa a e P3 , P4 tˆem a mesma abcissa −a), o segmento P1 P3 ´e paralelo a P2 P4 (pois s˜ ao paralelos ao eixo dos xx j´ a que P1 , P3 tˆem a mesma ordenada 0 e P2 , P4 a ordenada ϕ(a) = ϕ(−a)) e por serem os eixos dos xx e dos yy escolhidos perpendiculares (por hip´ otese). A a ´rea do rectˆ angulo Ua ´e A(a) = 2aϕ(a) = 2a

1 . 1+a

Se existisse um a0 tal que A(a0 ) fosse m´ axima deveria ter-se A0 (a0 ) = 0, pois A ´e diferenci´ avel + em R . Ora  0 2a 2(1 + a) − 2a 2 A0 (a) = = = 2 1+a (1 + a) (1 + a)2 e portanto nunca se anula. N˜ ao h´ a pois nenhum Ua com a ´rea m´ axima. Por outro lado vˆe-se que, por ser A0 > 0, A ´e crescente e lim A(a) = lim

a→+∞

a→+∞

2a = 2. 1+a

Logo o supremo das a ´reas dos rectˆ angulos Ua ´e 2.

3O

gr´ afico que se apresenta foi, em parte, gerado numericamente. As escalas dos dois eixos s˜ ao distintas.

65

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. y

1

PSfrag replacements

ϕ(x) =

1 1+|x|

















ϕ(a) 



 



















U
(a)
 −10

−a

0

x 10

a

Figura 4.2: O gr´ afico de ϕ no exerc´ıcio 4.49.

4.50 Obtenha uma equa¸ca ˜o da recta que passa pelo ponto (3, 1) e determine, com os eixos coordenados, um triˆ angulo contido no 1o quadrante e de a ´rea m´ınima. (Pergunta 3b do Exame Final de 6/5/78)

4.51 Seja P o ponto de coordenadas x0 > 0 e y0 > 0 num certo referencial cartesiano ortogonal. Para cada recta r que cont´em P e n˜ ao ´e paralela a nenhum dos eixos coordenados designem A r e Br os pontos de intersec¸ca ˜o de r com OX e com OY respectivamente. Seja dr a distˆ ancia de Ar a Br . Quais os extremos locais de dr ? [Sugest˜ ao: Se tiver dificuldade em resolver uma equa¸ca ˜o cujas ra´ızes s˜ ao os pontos de estacionaridade, utilize o facto de um deles se obter imediatamente a partir do enunciado.] (Pergunta 4 da Prova de 22/3/74)

4.52 De entre todos os rectˆ angulos de a ´rea S, determine as dimens˜ oes daquele que admite o menor c´ırculo circunscrito. (Grupo III2 da Prova de 19/9/77)

4.53 Mostre que o menor valor que pode √ ter o raio de uma esfera circunscrita a um cilindro com uma dada a ´rea lateral, S, ´e o produto de 2 pelo raio da base do cilindro. (Grupo IV do Exame de 2a ´ epoca de 25/7/77)

Resolu¸ c˜ ao: A a ´rea lateral de um cilindro de altura a e raio da base r ´e dada por 2πra. Por hip´ otese 2πra = S. Sendo R o raio da esfera tem-se, em raz˜ ao da esfera circunscrever o cilindro: ( a2 )2 + r2 = R2 . Quer dizer: s s  r  2 2 1 1 S S a 2 R= + r2 = + r2 = + r2 . 2 2πr 2 4π r2 S 2 ) . R ´e pois fun¸ca ˜o de r e s´ o poder´ a ser m´ınima no ponto r0 se R0 (r0 ) = 0. Vamos pˆ or K = ( 4π Ora:   21 !0  − 21   2 1 1 1 0 2 2 R (r) = K 2 +r = −K 3 + 2r K 2 +r r 2 r r

66

˜ 4.3. REGRAS DE CAUCHY. INDETERMINAC ¸ OES.

S e R0 (r) = 0 s´ o ´e poss´ıvel se −K r23 + 2r = 0 ou seja se r 4 = K ou r2 = 4π ou r = valor r0 de r, R(r), teremos: q q q 1 1S 1S 1S S 2 π ) 4 + + ( √ R(r0 ) 1 2 4π S 4π 4π 4π q q = = = 1 = q = 2. r0 1 1 S 1 S 2 2

π

2

1 2

q

S π.

Para este

2

π

Quer dizer que, para a esfera de raio m´ınimo (que ´e R(r0 )), se ter´ a R(r0 ) =

√ 2r0 .

4.54 Sendo g(x) = xex para todo o x ∈ R e n ∈ N, determine o conjunto dos valores reais de x que verificam a condi¸ca ˜o g (n) (x) > 0. Indique um intervalo no qual todas as derivadas g (n) sejam crescentes. Existir´ a algum intervalo no qual todas essas derivadas sejam decrescentes? Justifique a resposta. (Pergunta 3b do Teste de 22/4/78)

4.3

Regras de Cauchy. Indetermina¸ co ˜es.

Em geral, nas solu¸co ˜es dos exerc´ıcios desta sec¸ca ˜o apresentam-se duas maneiras de resolver os problemas relativos ao c´ alculo de limites: usando as regras de Cauchy e usando alguns desenvolvimentos de Taylor not´ aveis. 4.55 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua no intervalo I = ]a − ε, a + ε[ e diferenci´ avel em todos os pontos de I \ {a}. Prove que, se existe e ´e finito limx→a f 0 (x), f ´e diferenci´ avel no ponto a e f 0 ´e cont´ınua no mesmo ponto. Mostre ainda, por meio de um exemplo, que uma fun¸ca ˜o pode ser diferenci´ avel em todos os pontos de ]a − ε, a + ε[ sem que a sua derivada seja cont´ınua no ponto a. (Pergunta 4a do Exame Final de 6/5/78)

4.56 Calcule os limites:

sen x − x , x→0 x − tg x

1

lim (cos x) x2 .

lim

x→0

(Grupo Ia do Exame Final de 10/5/79)

Resolu¸ c˜ ao: a) Como limx→0 (sen x−x) = 0 e limx→0 (x−tg x) = 0 vamos aplicar a regra de Cauchy e tentar x−x)0 calcular limx→0 (sen (x−tg x)0 . Temos para as derivadas (sen x − x)0 = cos x − 1,

(x − tg x)0 = 1 −

1 . cos2 x

Mas, de novo, lim (cos x − 1) = 0

x→0

e

lim

x→0



1 1− cos2 x



= 0.

No entanto, simplificando4 o limite a que fomos conduzidos, obtemos lim

x→0

cos x − 1 1 1 (cos x − 1) = lim cos2 x 2 = 1 lim = . x→0 cos x + 1 cos x − 1 2 (1 − cos12 x ) x→0 67

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 2

b) Para calcular limx→0 (cos x)1/x encontramos uma indetermina¸ca ˜o do tipo 1+∞ . Vamos cal2 cular limx→0 log(cos x)1/x .   1 1 log (cos x) x2 = 2 log(cos x). x

A indetermina¸ca ˜o ´e agora do tipo 00 . Vamos tentar calcular limx→0 (log(cos x))0 /(x2 )0 . x − sen 1 1 sen x 1 1 (log cos x)0 cos x = =− →− ·1·1=− . 2 0 (x ) 2x 2 cos x x 2 2   2 2 Logo limx→0 log(cos x)1/x = − 21 e portanto limx→0 (cos x)1/x = e−1/2 .

Resolu¸ c˜ ao alternativa: a) Como5 sen x = x −

x3 3!

+ o(x3 )

(x → 0), e tg x = x +

x3 3

+ o(x3 )

(x → 0) vem

3

−x sen x − x 1 ∼ x3!3 = x − tg x 2 −3 Logo lim

x→0

(x → 0).

sen x − x 1 = . x − tg x 2

b) Como cos x = 1 − tem-se

x2 + o(x2 ) 2!

x2 log cos x = log 1 − + o(x2 ) 2 

Logo (log cos x) e portanto

2

e da´ı limx→0 (cos x)1/x = e−1/2 .

(x → 0) 

=−

x2 + o(x2 ). 2

x2 1 1 1 ∼− =− 2 2 x 2 x 2

  1 1 lim log (cos x) x2 = − x→0 2

4.57 Calcule, justificando, o valor de lim

x→0

ch x − cos x . x2 (Pergunta 2 do Grupo III do 1o Exame de 26/1/94)

4 Era tamb´ em poss´ıvel aplicar de novo a regra de Cauchy. Em geral, entre aplica¸co ˜es sucessivas da regra de Cauchy, conv´em tentar simplificar as express˜ oes, isolar factores com limite finito e n˜ ao nulo,. . . 5 Na sequˆ encia, dever´ a entender-se que uma express˜ ao da forma f (x) ∼ g(x) (x → a), tem o sentido de limx→a f (x)/g(x) = 1 e que uma express˜ ao do tipo ϕ(x) = ψ(x) + o(xα ) (x → a) equivale a limx→a (ϕ(x) − ψ(x))/xα = 0.

68

˜ 4.3. REGRAS DE CAUCHY. INDETERMINAC ¸ OES. 4.58 Calcule 1

sen x + cos x − ex lim x→0 log(1 + x2 )

e

1

ax + bx 2

lim

x→+∞

!x

(onde a e b s˜ ao reais positivos). (Grupo 3a do Exame Final de 6/5/78)

Resolu¸ c˜ ao: ´ uma indetermina¸ca a) E ˜o do tipo 00 . Ponha-se f (x) = sen x + cos x − ex e g(x) = log(1 + x2 ). 2x 1 + x2 2 f 0 (x) (cos x − sen x − ex )(1 + x2 ) x 1+x = (cos x − sen x − e ) = g 0 (x) 2x 2x

f 0 (x) = cos x − sen x − ex

e g 0 (x) =

Para calcular limx→0 f 0 (x)/g 0 (x) ca´ımos em nova indetermina¸ca ˜o do tipo h(x) = (cos x − sen x − ex )(1 + x2 ) e k(x) = 2x. Temos:

0 0.

Vamos pˆ or

h0 (x) (− sen x − cos x − ex )(1 + x2 ) + (cos x − sen x − ex )2x −2 + 0 = → = −1. 0 k (x) 2 2 ´ uma indetermina¸ca b) E ˜o do tipo 1+∞ . Vamos calcular !x 1 1     1 1 ax + bx lim log = lim x log a x + b x − log 2 x→+∞ x→+∞ 2 recaindo numa indetermina¸ca ˜o do tipo +∞ · 0. Vamos fazer f (x) = log(a1/x + b1/x ) − log 2 e g(x) = 1/x. Logo 1 1 a x log a(− x12 ) + b x log b(− x12 ) 0 f (x) = a1/x + b1/x e g 0 (x) = −1/x2 , pelo que 1

1

a x log a + b x log b 1 log a + log b f 0 (x) = = log(ab) quando x → +∞. → g 0 (x) 2 2 a1/x + b1/x Logo lim log

x→+∞

e portanto lim

x→+∞



a1/x + b1/x 2

x

=



a1/x + b1/x 2

x

= (ab) 2 .

1 log(ab) 2 1

Resolu¸ c˜ ao alternativa: a) x2 x2 + o(x2 )) − (1 + x + + o(x2 )) 2 2 (x → 0).

sen x + cos x − ex = (x + o(x2 )) + (1 − = −x2 + o(x2 ) 69

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. Logo:

sen x + cos x − ex −x2 ∼ = −1 log(1 + x2 ) x2

e o limite ´e −1. b) Como atr´ as, o que importa ´e conhecer lim x log

x→+∞



a1/x + b1/x 2



.

Ora   1 1 log a + o (x → +∞) x x   1 1 1 1 b x = e x log b = 1 + log b + o (x → +∞) x x   1 1 1 1 (x → +∞) a x + b x = 2 + log(ab) + o x x !    1 1 1 log(ab) ax + bx 1 = x log 1 + = +o 2 x 2 x    log(ab) 1 log(ab) log(ab) 1 =x = +o + o(1) ∼ . x 2 x 2 2 1

1

a x = e x log a = 1 +

x log

Como atr´ as, daqui resulta que o limite pedido ´e (ab)1/2 .

4.59 Determine os seguintes limites: 10x − 5x . x→0 x

a) lim

b) lim+

x2 sen x1 . sen x

c) lim+

e− x . x

x→0

1

x→0

d)

1

lim x x−1 .

x→+∞

(Grupo II1 da Prova de 2/12/76)

4.60 Calcule

ax − b x x→0 x lim

(a, b > 0)

e

lim xsen x .

x→0+

(Pergunta 3a do Teste de 22/4/78)

4.61 Calcule os limites 2x , x→+∞ x2 lim

2x , x→−∞ x2 lim

lim xlog log x .

x→1+

(Grupo IIIa do Exame de 26/7/78)

70

˜ 4.3. REGRAS DE CAUCHY. INDETERMINAC ¸ OES. 4.62 Calcule lim+ xlog(x−1) ,

a)

(1 − cos x)2 . x→0 tg x − x

b)

x→1

lim

(Grupo II1 do Exame O.S. de 11/2/80)

4.63 Calcule lim (sen x)sen x

e

x→0+

1

lim (log x) x .

x→+∞

(Grupo I3 da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 18/9/80)

4.64 Calcule lim x log

x→+∞

4.65 Calcule lim

x→0+



x+1 . x−1

1 log x

x

(Grupo I2b da Prova de 25/7/77)

. (Grupo I2b da Prova de 19/9/77)

4.66 Calcule lim x sen

x→+∞

1 x

e

lim (tg x)tg 2x .

x→ π 4

(Grupo Ia do Exame Final de 18/9/80)

4.67 Calcule os limites barctg x − carctg x x→0 x lim

(b, c > 0),

lim

x→0

 sen x 

1 x2

x

.

(Grupo I do Teste de 24/4/79)

4.68 Calcule os limites log(1 + e3x ) x→+∞ x

e

lim

lim

x→0

 sen x 

1 sen2 x

x

.

(Grupo IIa do 1o Teste de 21/6/80)

4.69 Calcule os limites cos( π2 cos x) x→0 sen2 x lim

e

lim

x→0



1 1 − x sen x x2



.

(Grupo I do Teste de 10/4/79)

Resolu¸ c˜ ao: ´ uma indetermina¸ca a) E ˜o do tipo 00 . Pondo f (x) = cos( π2 cos x) e g(x) = sen2 x vem f 0 (x) = π π − sen( 2 cos x) 2 (− sen x) e g 0 (x) = 2 sen x cos x. Logo sen( π2 cos x) π2 (sen π2 ) π2 π f 0 (x) = → = g 0 (x) 2 cos x 2 4 e portanto o limite pedido ´e π/4. 71

quando x → 0

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. ´ uma indetermina¸ca b) E ˜o do tipo ∞ − ∞. Temos:   1 x − sen x 1 − 2 = lim 2 lim x→0 x sen x x→0 x sen x x transformando-a numa indetermina¸ca ˜o do tipo 0/0. Com f (x) = x − sen x e g(x) = x 2 sen x 0 (x) x vem fg0 (x) = 2x sen1−cos x+x2 cos x e sen x f 00 (x) = g 00 (x) 2 sen x + 2x cos x + 2x cos x − x2 sen x sen x = . 2 sen x + 4x cos x − x2 sen x Para calcular o limite deste quociente reca´ımos numa indetermina¸ca ˜o cos x f 000 (x) = g 000 (x) 2 cos x + 4 cos x − 4x sen x − 2x sen x − x2 cos x cos x 1 = → quando x → 0. 6 cos x − 6x sen x − x2 cos x 6 Logo o limite pedido ´e 1/6.

Resolu¸ c˜ ao alternativa: a)   π  π x2 π 2 cos 1− cos x = cos + o(x ) = cos − · x2 + o(x2 ) 2 2 2 2 4  π  π  π 2 2 2 · x + o(x2 ) ∼ x2 . = − sen − · x + o(x ) = sen 4 4 4 π

Logo





cos( π2 · cos x) ∼ sen2 x

π 4

· x2 π = 2 x 4

e da´ı que o limite seja π/4. b) Como 1 = x sen x x x−

1

1


=

x3 3!

2


=

1 x2



x2 1 − x6 + o(x2 ) + o(x3 )   1 x2 1 1 1 1 1 2 − 2 = 2 1+ + o(x ) − 2 = + o(1) → x sen x x x 6 x 6 6

1+

x2 + o(x2 ) 6



(x → 0)

(x → 0).

Logo lim

x→0



1 1 − 2 x sen x x

4.70 Calcule 1

lim x 1−x

x→1

e

lim

x→0+



=

log tg(ax) log tg(bx)

1 . 6

(a, b > 0). (Grupo I do Teste de 7/4/79)

72

˜ 4.3. REGRAS DE CAUCHY. INDETERMINAC ¸ OES. 4.71 Calcule lim

x→0

sen x − x . arcsen x − x

(Grupo Ia da Prova de 7/74)

4.72 Calcule lim (ch x)coth x

e

x→0

lim

log x

x→0+

2 x2 elog x

.

[Sugest˜ ao: para o segundo caso x2 = e2 log x .] (Pergunta 1a do Exame Final (Ponto no 1) de 5/7/71)

4.73 Calcule

   1 lim log x log 1 − . x→+∞ x (Pergunta 1a da Prova de 20/7/71)

4.74 Calcule

 x tg πx 2a lim 2 − x→a a onde a ´e um n´ umero real diferente de zero. (Pergunta 2b do Ponto no 6 de 25/10/71)

´ uma indetermina¸ca Resolu¸ c˜ ao: E ˜o do tipo 1∞ . Vamos calcular    πx x x tg πx 2a = lim tg log 2 − lim log 2− x→a x→a a 2a a recaindo numa indetermina¸ca ˜o do tipo ∞0. Vamos fazer  x f (x) = log 2 − a

e

g(x) =

1 tg πx 2a

de forma que o limite pedido ´e limx→a f (x)/g(x). Ora − a1 f (x) = 2 − xa 0

0

g (x) = −

e

Logo f 0 (x) lim 0 = lim x→a g (x) x→a Conclui-se que

1 −a 2− x a

−

π 1 cos2 πx 2a 2a 2 tg πx 2a

(

= lim

1 π cos2 πx 2a 2a
2 tg πx 2a

1 −a 2− x a

1 x→a − π 2a sen2

)

= πx 2a

.

− a1 2 . π = − 2a π

 2 x tg πx 2a = eπ . lim 2 − x→a a

Resolu¸ c˜ ao alternativa: Vamos calcular      x a+y x tg πx π(a + y) πx 2a log 2 − log 2 − = lim tg lim log 2− = lim tg x→a x→a y→0 a 2a a 2a a     π π π  1 π  1 = lim tg + y log 1 − y = lim tg + y − y . y→0 y→0 2 2a a 2 2a a 73

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. Fizemos a mudan¸ca de vari´ avel x = a + y para reduzir o problema a uma vizinhan¸ca de 0, onde,
π em geral, ´e mais c´ omodo trabalhar. H´ a que determinar uma fun¸ca ˜o equivalente a tg π2 + 2a y quando y → 0. Ora


π π π π sen π2 cos 2a y y + cos π2 sen 2a y π  sen π2 + 2a


tg = + y = π π π 2 2a y y − sen π2 sen 2a y cos π2 + 2a cos π2 cos 2a
π cos 2a y 1
∼ π = quando y → 0. π − 2a y y − sen 2a Logo

    π  1 2 1 1 + y − y = lim π lim tg − y = . y→0 y→0 2 2a a − 2a y a π π

Conclui-se que o limite pedido ´e e2/π . 4.75 Calcule

 1  πx  1−x . tg x→1 4 lim

(Grupo Ia da Prova de 28/2/74)

4.76 Calcule

√ √ √ x− a+ x−a √ lim . x→0 x2 − a 2 (Pergunta 1 da Prova de 12/3/74)

4.77 Calcule 1

lim nsen n . [Sugest˜ ao: determine em primeiro lugar, limx→+∞ xsen(1/x) .] (Pergunta 3a do Exame Integrado (Ponto no 2) de 1/10/71)

4.78 Calcule

 sen n1 1 lim . n

[Sugest˜ ao: determine em primeiro lugar, limx→0 xsen x .] (Pergunta 3a do Exame Integrado (Ponto no 1) de 1/10/71)

4.79 Sendo f uma fun¸ca ˜o cont´ınua no intervalo [0, π2 [ e tal que, para todo o x ∈ ]0, π2 [, f (x) = (tg x)tg x , calcule f (0). (Pergunta 1a da Prova de 19/7/71)

4.80 Calcule, em R, os seguintes limites: 2

lim xx ,

x→0+

lim

x→+∞

log x , e1/x

lim (log x)1/x .

x→+∞

´ (Pergunta 1 do Grupo III do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

74

˜ 4.3. REGRAS DE CAUCHY. INDETERMINAC ¸ OES. 4.81 Considere as fun¸co ˜es f e g definidas em R pela forma seguinte: ( x2 log x2 , se x 6= 0, 1 . f (x) = g(x) = lim n→+∞ 1 + x2n 0, se x = 0, a) Estude f e g do ponto de vista da continuidade. b) Justifique que, qualquer que seja a > 0, ambas as fun¸co ˜es f e g tˆem m´ aximo e m´ınimo no intervalo [−a, a]. (Grupo III do Exame de 10/5/79)

4.82 Considere a fun¸ca ˜o seguinte: ( f (x) =

a sen x + 1 se x ≤ 0, x2 log x + b se x > 0,

(a, b ∈ R)

a) Determine a e b tais que f (x) seja diferenci´ avel no ponto x = 0. b) Para b = 1 diga quais os valores de a para os quais f (x) n˜ ao tem extremo no ponto 0. Justifique a resposta. [Sugest˜ ao: estude o crescimento da restri¸ca ˜o de f a ]0, +∞[.] (Grupo II2 do Exame O.S. de 11/2/80)

f (x) PSfrag replacements

f (x)

1 a=0 PSfrag replacements

1

x

a>0

x a=0

a>0 a<0

a<0 f (x) 1

PSfrag replacements

a<0

x a=0 a>0 Figura 4.3: Os casos a = 0, a > 0 e a < 0.

Resolu¸ c˜ ao: a) Se f for diferenci´ avel em 0, as derivadas laterais em 0 existem e tˆem de ser iguais: fd0 (0) = lim+ h→0

f (0 + h) − f (0) h2 log h + b − 1 = lim+ . h h h→0 75

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. Para que exista este limite ter´ a de ser b = 1 e ent˜ ao fd0 (0) = 0 fe0 (0) = lim

h→0−

sen h a sen h + 1 − 1 f (0 + h) − f (0) = lim = lim a = a. h h h h→0− h→0−

Ter´ a pois de ter-se a = 0 e b = 1. b) Supondo b = 1 e a = 0 vimos que f 0 (0) = 0 e portanto pode haver um extremo em 0. Vamos estudar o crescimento de f na vizinhan¸ca de 0. F´ a-lo-emos atrav´es do estudo do sinal de f 0 . Se x > 0 tem-se: f 0 (x) = (x2 log x)0 = 2x log x + x = x(2 log x + 1). Se x < 0 tem-se f 0 (x) = 0. Quer dizer que para ε > 0 suficientemente pequeno f 0 (ε) = ε(2 log ε + 1) < 0 e f ´e decrescente do lado direito de 0 e constante do lado esquerdo. Se b = 1 e a = 0 o gr´ afico de f (x) ´e do tipo representado na figura 4.3. Se b = 1 e a 6= 0 teremos consoante a > 0 ou a < 0: fe0 (0) > 0 ou fe0 (0) < 0. Tem-se sempre por outro lado fd0 (0) = 0 e para ε suficientemente pequeno, f 0 (ε) = ε(2 log ε + 1) < 0. Logo, se a > 0 haver´ a um m´ aximo em 0 e se a < 0 n˜ ao haver´ a extremo em 0. Se a = 0 h´ a um m´ aximo em 0, como se viu.

4.4

Teorema de Taylor. Extremos, concavidades e inflex˜ oes. Ass´ımptotas. Estudo de fun¸ co ˜es.

4.83 Prove, usando a f´ ormula de MacLaurin com resto de Lagrange, que se tem

para qualquer x ∈ [0, 1].

  2 −x e − 1 − x + x ≤ 1 2 6 (Pergunta 3 do Grupo III do 2o Exame de 9/2/94)

4.84 Seja I um intervalo de R n˜ ao vazio nem reduzido a um ponto e seja f : I → R uma fun¸ca ˜o com segunda derivada finita e maior do que zero em todos os pontos de I. a) Sendo a ∈ I e y = g(x) a equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f no ponto (a, f (a)), determine g(x).

b) Mostre que ∀x∈I\{a} , f (x) > g(x).

(Grupo IV do Exame O.S. de 11/2/80)

76

˜ 4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNC ¸ OES

Resolu¸ c˜ ao: a) A equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f em (a, f (a)) ´e y = f 0 (a)(x − a) + f (a) pelo que g(x) = f 0 (a)(x − a) + f (a). b) Pela f´ ormula de Taylor com resto de Lagrange, dado x ∈ R: 1 f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + f 00 (ξ)(x − a)2 2 com ξ entre x e a, ou seja, f (x) − g(x) = Se f 00 (ξ) > 0 vem f (x) > g(x)

1 00 f (ξ)(x − a)2 . 2

(x ∈ I \ {a}).

4.85 Prove que, se a fun¸ca ˜o f : R → R verifica a condi¸ca ˜o f (n) (x) = 0

∀x∈R ,

ent˜ ao f (x) ´e um polin´ omio em x de grau menor do que n. [Sugest˜ ao: recorra a ` f´ ormula de Mac-Laurin.] (Grupo IIIb do 1o Teste de 21/6/80)

4.86 Suponhamos que f e g s˜ ao aplica¸co ˜es do intervalo I = ]a, b[ em R que admitem derivadas cont´ınuas de todas as ordens nesse intervalo. Diz-se que f e g tˆem um contacto de ordem n ∈ N 1 no ponto c ∈ I se f (c) = g(c), f (k) (c) = g (k) (c) para k = 1, 2, . . . , n e f (n+1) (c) 6= g (n+1) (c). a) De que ordem ´e o contacto das fun¸co ˜es definidas por f (x) = ex

e

g(x) = 1 + x +

x2 2

no ponto 0? b) Mostre que se f e g tˆem um contacto de ordem par no ponto c ent˜ ao os gr´ aficos destas fun¸co ˜es “cruzam-se” no ponto de abcissa c e que se o contacto ´e de ordem ´ımpar n˜ ao h´ a “cruzamento”. (Pergunta 5 da Prova de 22/3/74)

4.87 Sendo ϕ e ψ duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis em R e f = ϕ ◦ ψ, calcule f 0 (x) e f 00 (x) (expressos √ em valores de derivadas de ϕ e ψ em pontos convenientes). Supondo agora ϕ(x) = log 1 + x2 e ψ(x) = x(1 + cos(2x)), aproveite o resultado precedente para indicar, justificando, se a fun¸ca ˜o f = ϕ ◦ ψ tem um m´ aximo ou um m´ınimo (local) na origem. (Grupo IIb do 1o Teste de 21/6/80)

4.88 Seja f : ]0, +∞[ → R uma fun¸ca ˜o com segunda derivada cont´ınua em R+ e suponha que f 0 (1) = 0, f 00 (1) = −2. Nestas condi¸co ˜es, sendo ϕ(x) = f (ex ), calcule ϕ0 (0) e ϕ00 (0). Poder´ a garantir-se que ϕ tem um extremo local no ponto 0? M´ aximo ou m´ınimo? Justifique. Escreva a f´ ormula de Mac-Laurin para a fun¸ca ˜o ϕ (com resto de 1a ordem) e aproveite-a para calcular ϕ(x) − ϕ(0) . lim x→0 x2 (Grupo IV do 2o Teste de 10/4/79)

77

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. Resolu¸ c˜ ao: ϕ0 (x) = f 0 (ex )ex e ϕ00 (x) = f 00 (ex )e2x + f 0 (ex )ex . Logo ϕ0 (0) = f 0 (1) = 0

ϕ00 (0) = f 00 (1) + f 0 (1) = −2 + 0 = −2.

e

Para que 0 seja um ponto de extremo local de ϕ (duas vezes continuamente diferenci´ avel em R) ´ o caso. Como ϕ00 (0) < 0 pode concluir-se que 0 ´e um ponto basta que ϕ0 (0) = 0 e ϕ00 (0) 6= 0. E de m´ aximo. Tem-se a seguinte f´ ormula de Mac-Laurin (com resto de 1a ordem): 1 ϕ(x) = ϕ(0) + ϕ0 (0)x + ϕ00 (ξ)x2 2 ou seja: ϕ(x) = ϕ(0) + Logo:

e

(ξ entre 0 e x),


1 00 ξ 2ξ f (e )e + f 0 (eξ )eξ x2 . 2


1 00 ξ 2ξ ϕ(x) − ϕ(0) = f (e )e + f 0 (eξ ) eξ . 2 x 2


ϕ(x) − ϕ(0) 1 1 00 ξ 2ξ f (e )e + f 0 (eξ ) eξ = (f 00 (1) + f 0 (1)) = −1. = lim 2 x→0 ξ→0 2 x 2 lim

Como ξ est´ a entre 0 e x us´ amos o facto de que se x → 0 tamb´em ξ → 0.

4.89 Prove que se g : R → R ´e trˆes vezes diferenci´ avel e se g 000 (x) > 0, ∀x ∈ R, ent˜ ao g n˜ ao pode ter mais de dois pontos de extremo local. Admitindo agora que g tem de facto extremos locais nos pontos α e β, com α < β, indique se g(α) e g(β) s˜ ao m´ aximos ou m´ınimos da fun¸ca ˜o. Justifique. Escreva a f´ ormula de Taylor para g em rela¸ca ˜o ao ponto β e com resto (de Lagrange) de 2 a ordem e aproveite-a para mostrar que g(x) > g(β) para x > β. (Grupo IVb do 2o Teste de 7/4/79)

4.90 Seja f uma fun¸ca ˜o de classe C 2 (R) e considere a fun¸ca ˜o g, definida por g(x) = xf (x), para 00 todo o x ∈ R. Se g ´e estritamente crescente em R e g 00 (0) = 0, prove que f (0) ´e m´ınimo absoluto de f . [Sugest˜ ao: Pode ser-lhe u ´til considerar a f´ ormula de Mac-Laurin.] ´ de 24/2/95) (Pergunta 2 do Grupo IV do Exame de 2a Epoca

4.91 Seja ψ : ] − 1, 1[ → R uma fun¸ca ˜o de classe C 2 em ] − 1, 1[. Suponha ainda que:   i) Existe uma sucess˜ ao (xn ), de termos em − 21 , 21 , tal que ψ 0 (xn ) = n1 para qualquer n ∈ N1 . ii) ψ 00 (x) > 0,

∀x∈ ]−1,1[ .

Prove que ψ tem, pelo menos, um m´ınimo local. ´ de 28/2/96) (Pergunta 2 do Grupo IV do Exame de 2a Epoca

4.92 Considere a fun¸ca ˜o f definida em R pela f´ ormula: f (x) = aex + be−x onde a e b s˜ ao constantes reais n˜ ao conjuntamente nulas. a) Mostre que, para que f tenha um extremo local, ´e necess´ ario e suficiente que se verifique a condi¸ca ˜o ab > 0. 78

˜ 4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNC ¸ OES b) Supondo esta condi¸ca ˜o verificada, determine o extremo de f e indique, justificando, em que condi¸co ˜es esse extremo ´e um m´ aximo e em que condi¸co ˜es ´e um m´ınimo. c) Em cada um desses dois casos indique, justificando, o contradom´ınio da fun¸ca ˜o e estude o sentido da concavidade do seu gr´ afico. (Pergunta 2 da Prova de 2a ´ epoca de 18/12/72)

4.93 Determine o conjunto dos pontos x ∈ ]0, 2π[ onde a concavidade do gr´ afico de f definida por f (x) = x +

sen x cos x − cos x 2

est´ a “voltada para cima”. (Pergunta 3 da Prova de 22/3/74)

4.94 Sendo g a fun¸ca ˜o definida no intervalo ]1, +∞[ pela igualdade r x3 g(x) = x−1 determine as ass´ımptotas do gr´ afico de g. (Pergunta 1b da Prova de 11/10/72)

Resolu¸ c˜ ao: A fun¸ca ˜o g tem uma ass´ımptota vertical para x = 1 pois limx→1+ g(x) = +∞. N˜ ao h´ a ass´ımptotas horizontais pois limx→+∞ g(x) = +∞ (n˜ ao h´ a lugar a considerar limx→−∞ g(x) pois g s´ o est´ a definida em ]1, +∞[). Para determinar ass´ımptotas obl´ıquas, se as houver, vamos calcular: r r 1 1 x3 x3 g(x) = lim = lim = 1. lim x→+∞ x x→+∞ x x − 1 x→+∞ x x Por outro lado: ! r x3 2 x3 x−1 − x lim (g(x) − x) = lim − x = lim q x→+∞ x→+∞ x→+∞ x−1 x3 x−1 + x = lim q x→+∞

Logo, y = x +

1 2

x x−1

x x−1

+1

=

1 . 2

´e uma ass´ımptota obl´ıqua a ` direita.

4.95 Considere a fun¸ca ˜o f , definida em R, cont´ınua no ponto no ponto 0 e tal que f (x) =

x 2 + e−1/x

∀x6=0 .

Verifique se o gr´ afico de f tem ass´ımptotas verticais ou n˜ ao verticais e, se existirem, determine-as. (Grupo IIb do Teste de 7/4/79))

4.96 Considere a fun¸ca ˜o F , definida pela f´ ormula F (x) = a) Calcule Fd0 (2).

p x(x − 2).

b) O gr´ afico de F admite duas ass´ımptotas, ambas n˜ ao verticais. Determine uma delas. 79

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. c) Justifique que o gr´ afico de F ´e sim´etrico em rela¸ca ˜o a ` recta de equa¸ca ˜o x = 1; aproveite esta simetria (mesmo que a n˜ ao tenha justificado) para indicar o valor Fe0 (0) e para escrever uma equa¸ca ˜o da ass´ımptota ao gr´ afico de F que n˜ ao determinou na al´ınea (b). (Grupo II do Teste de 24/4/79)

´ dada a fun¸ca 4.97 E ˜o f definida por f (x) =

(

x2 (1 + sen2 x1 ), se x 6= 0, 0, caso contr´ ario.

a) Estude-a quanto a ` existˆencia de ass´ımptotas. b) Mostre que existe uma fun¸ca ˜o g : R → R da forma g(x) = ax2 + b com a e b constantes, verificando a condi¸ca ˜o limx→+∞ (f (x) − g(x)) = 0. (Grupo II da Prova de 28/2/74)

Resolu¸ c˜ ao: a) N˜ ao h´ a ass´ımptotas verticais, pois f ´e cont´ınua em R. Como a fun¸ca ˜o ´e par o estudo das ass´ımptotas horizontais e obl´ıquas pode reduzir-se a `s ass´ımptotas “` a direita”. Como   1 lim f (x) = lim x2 1 + sen2 = +∞ x→+∞ x→+∞ x n˜ ao h´ a ass´ımptotas horizontais. Como   f (x) 1 = +∞ = lim x 1 + sen2 x→+∞ x x→+∞ x lim

tampouco h´ a ass´ımptotas obl´ıquas. b) Como 1 lim x sen = lim x2 x→+∞ x x→+∞ 2

2

 2 1 =1 x

resulta que: lim (f (x) − x2 ) = lim x2 sen2

x→+∞

x→+∞

1 =1 x

e portanto limx→+∞ (f (x) − (x2 + 1)) = 0. Assim g(x) = x2 + 1 ´e uma solu¸ca ˜o (que facilmente se reconhece ser u ´nica).

4.98 O gr´ afico da fun¸ca ˜o f , definida em R pela f´ ormula f (x) =

2x3 − x2 + 1 x2 + 1

tem uma inflex˜ ao no ponto de abcissa −1. a) Determine os outros pontos de inflex˜ ao e indique os intervalos em que o gr´ afico de f tem a concavidade voltada para cima; 80

˜ 4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNC ¸ OES b) O gr´ afico de f tem alguma ass´ımptota vertical? Porquˆe? Determine uma equa¸ca ˜o da u ´nica ass´ımptota n˜ ao vertical do mesmo gr´ afico e estude a localiza¸ca ˜o deste em rela¸ca ˜o a `quela ass´ımptota, determinando os intervalos em que est´ a “por baixo” ou “por cima” da mesma. (Pergunta 2 da Prova de 1/8/72)

4.99 Considere a fun¸ca ˜o f , definida em ]0, +∞[ pela f´ ormula: f (x) =

1 . xx

Obtenha uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f no ponto de abcissa 1 e indique, no caso de existirem, o supremo, o ´ınfimo, o m´ aximo e o m´ınimo da fun¸ca ˜o (em todo o dom´ınio). Indique ainda o contradom´ınio da fun¸ca ˜o. (Pergunta 1 do Exame Integrado (Ponto no 5) de 25/10/71)

4.100 a) Determine a constante K por forma a que a fun¸ca ˜o f definida em R \ {0} pela f´ ormula f (x) = (x + K)e1/x tenha um extremo no ponto 2. Indique, justificando, se se trata de um m´ aximo ou de um m´ınimo e se a fun¸ca ˜o tem algum outro extremo local. ao resolver essa al´ınea, por b) Depois de substituir K pelo valor calculado na al´ınea (a) – ou, se n˜ um n´ umero positivo a ` sua escolha – estude ainda a fun¸ca ˜o sob os aspectos seguintes: sentido da concavidade do seu gr´ afico, pontos de inflex˜ ao, ass´ımptotas obl´ıquas e ass´ımptotas verticais. (Pergunta 1 de uma Prova de An´ alise II)

4.101

a) Determine a derivada de ordem n da fun¸ca ˜o f (x) = xe−x .

b) Mostre que, qualquer que seja n, f (n) tem um s´ o extremo local e verifique se esse extremo ´e um m´ aximo ou um m´ınimo. c) Indique justificando se esse extremo ´e absoluto. d) Determine os pontos de inflex˜ ao do gr´ afico de f (n) . Nota: Para algumas das respostas, poder´ a convir-lhe considerar separadamente as hip´ oteses “n par” e “n ´ımpar”. (Pergunta 1 da Prova de 2a ´ epoca de 8/1/73)

4.102 a) Estude a fun¸ca ˜o f definida em R pela f´ ormula f (x) =

|x| 1 + |x|

considerando em particular os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, contradom´ınio. Escreva uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f num ponto (` a sua escolha) onde esse gr´ afico tenha tangente. b) Verifica a fun¸ca ˜o f considerada na al´ınea a) as condi¸co ˜es expressas na hip´ otese do Teorema de Rolle, em rela¸ca ˜o ao intervalo [−3, 3]? E as da hip´ otese do Teorema de Lagrange, relativamente ao intervalo [0, 3]? Justifique as respostas. (Pergunta 2 da Prova de 1/9/72)

81

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 4.103 a) Estude a fun¸ca ˜o definida em R \ {−1, 1} pela f´ ormula: f (x) =

|x| 1 − |x|

considerando em especial os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, crescimento, m´ aximos e m´ınimos, concavidades, ass´ımptotas. b) Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Pergunta 1 do Exame Integrado (Ponto no 2) de 1/10/71)

4.104 a) Estude a fun¸ca ˜o definida em R pela f´ ormula: f (x) =

1 − |x| 1 + |x|

considerando em especial os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, crescimento, m´ aximos e m´ınimos, concavidades, ass´ımptotas. b) Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Pergunta 1 do Exame Integrado (Ponto no 1) de 1/10/71)

Resolu¸ c˜ ao: a) A fun¸ca ˜o ´e par, isto ´e, f (x) = f (−x). Vamos tirar partido deste facto notando, por exemplo, que a derivada ser´ a ´ımpar no seu dom´ınio, isto ´e, f 0 (x) = −f 0 (−x) se f for diferenci´ avel em x, a segunda derivada ser´ a par,. . . A fun¸ca ˜o ´e cont´ınua em R. Para x > 0 ´e diferenci´ avel (logo tamb´em para x < 0) com 0

f (x) =



1−x 1+x

0

=

−(1 + x) − (1 − x) 2 =− <0 (1 + x)2 (1 + x)2

(se x > 0).

Do facto da derivada ser ´ımpar conclu´ımos que se a derivada existir em 0 ter´ a de ser nula. No entanto   f (x) − f (0) 1 1−x −2 fd0 (0) = lim = lim − 1 = lim = −2 x 1+x x→0+ x→0+ x x→0+ 1 + x pelo que f n˜ ao ´e diferenci´ avel em 0. A fun¸ca ˜o ser´ a ent˜ ao decrescente em [0, +∞[ (e crescente em ] − ∞, 0]). Nos pontos em que ´e diferenci´ avel n˜ ao h´ a extremos pois a´ı a derivada ´e n˜ ao nula. A continuidade em 0 e o sinal da derivada para x 6= 0 implicam que 0 ´e um ponto de m´ aximo. A concavidade ser´ a estudada a partir do sinal de f 00 (x). Ora f 00 (x) =

4 (1 + x)3

se x > 0

pelo que a concavidade estar´ a voltada para cima em [0, +∞[ (e portanto tamb´em em ] − ∞, 0]).

N˜ ao h´ a ass´ımptotas verticais. Como limx→+∞ f (x) = −1 (e limx→−∞ f (x) = −1) a recta y = −1 ´e ass´ımptota horizontal a ` esquerda e a ` direita. b) O esbo¸co do gr´ afico de f est´ a representado na figura 4.4. A paridade de f implica a simetria em rela¸ca ˜o ao eixo dos y.

82

˜ 4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNC ¸ OES y 1 f (x) =

PSfrag replacements

−1

0

1 − |x| 1 + |x|

1

x

−1

Figura 4.4: Gr´ afico de f .

4.105 Considere a fun¸ca ˜o f : R \ {1} → R definida por f (x) =

x2 − 2x + 2 . x−1

a) Seja (xn ) uma sucess˜ ao de termos em R \ {1}, convergente para α ∈ R. Justifique que se α 6= 1 a sucess˜ ao f (xn ) converge para f (α). b) Ser´ a f prolong´ avel por continuidade ao ponto x = 1? Justifique. c) Calcule a fun¸ca ˜o derivada de f e determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f. d) Escreva a equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f no ponto de abcissa x = −1. e) Indique, justificando, o contradom´ınio de f . (Pergunta 1 do Grupo III do 1o Exame de 26/1/94)

4.106 Estude a fun¸ca ˜o definida por y = xex e esboce o seu gr´ afico. (Pergunta 3 da Prova de 21/10/74)

4.107 Considere a fun¸ca ˜o definida em R pela f´ ormula f (x) = (x − 1)ex . a) Estude a fun¸ca ˜o f , considerando especialmente os aspectos seguintes: intervalos de monotonia, extremos locais e absolutos, convexidade, inflex˜ oes, contradom´ınio, ass´ımptotas. b) Prove que, para todo o x ∈ R e todo o n ∈ N, se verifica a rela¸ca ˜o: f (n) (x) = f (x + n)e−n . (Pergunta 1 de uma Prova de An´ alise II)

83

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 4.108 Estude a fun¸ca ˜o f definida em R pela f´ ormula: f (x) = x2 e−x e esboce o respectivo gr´ afico (n˜ ao se preocupe com a determina¸ca ˜o da direc¸ca ˜o das tangentes nos pontos de inflex˜ ao). (Grupo Ia do 1o Teste de 21/6/80)

4.109 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o f : R → R definida pela f´ ormula: f (x) = x4 e−x e esboce o respectivo gr´ afico. (Grupo IIa do Exame de 26/7/78)

4.110 Fa¸ca o estudo da fun¸ca ˜o definida por y = xe1/x . (Determine o dom´ınio, o dom´ınio de diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, concavidades, ass´ımptotas e fa¸ca um esbo¸co do respectivo gr´ afico). (Grupo III da Prova de 18/7/77)

` medida que avan¸camos no estudo da fun¸ca Resolu¸ c˜ ao: A ˜o inscrevemos num quadro as informa¸co ˜es obtidas. −∞ −∞

x y y0 y 00

% + −

0

0 | | |

1 & −

+∞

e 0

+∞ % + +

+∞

O dom´ınio da fun¸ca ˜o ´e R \ {0}, ˜o a´ı cont´ınua. O dom´ınio de diferenciabilidade ´e
sendo a fun¸ca R \ {0} sendo y 0 = e1/x 1 − x1 . A derivada anula-se para x = 1; ´e positiva para x > 1 ou x < 0 e negativa para 0 < x < 1. Logo h´ a crescimento da fun¸ca ˜o para x > 1 ou x < 0 e decrescimento para 0 < x < 1. Em x = 1 h´ a pois um m´ aximo, sendo o valor correspondente y = e. Para estudar a concavidade determina-se y 00 = e1/x x13 e vem y 00 > 0 se x > 0 e y 00 < 0 se x < 0; logo para x < 0 a concavidade est´ a voltada para baixo e para x > 0 voltada para cima. N˜ ao h´ a pontos de inflex˜ ao. Para x = 0 h´ a uma ass´ımptota, tendo-se como limites laterais a ` esquerda e a ` direita: 1

1

lim xe x = 0,

lim xe x = +∞.

x→0+

x→0−

Como lim xe1/x = +∞

x→+∞

lim xe1/x = −∞

e

x→−∞

n˜ ao h´ a ass´ımptotas horizontais. Como lim

x→+∞

y 1 = lim e x = 1, x→+∞ x

e

lim

x→−∞

1

1

lim (y − x) = lim x(e x − 1) = 1,

x→+∞

y 1 = lim e x = 1 x→−∞ x

lim (y − x) = lim x(e x − 1) = 1

x→+∞

x→−∞

resulta que y = x + 1 ´e ass´ımptota obl´ıqua a ` esquerda e a ` direita. O gr´ afico est´ a esbo¸cado na figura 4.5.

4.111 Estude a fun¸ca ˜o definida em R pela f´ ormula f (x) = xe−x 84

2

/2

x→−∞

˜ 4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNC ¸ OES

y y = xe1/x

e y =x+1

1 PSfrag replacements

0 1

x

Figura 4.5: O gr´ afico de y = xe1/x no problema 4.110.

considerando em especial os aspectos seguintes: intervalos de monotonia, m´ aximos e m´ınimos, concavidade, inflex˜ oes. Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Pergunta 1a da Prova de 11/10/72)

4.112 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o F definida pela f´ ormula 1

F (x) = e x2 −1 e esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Grupo II do Exame Final de 10/5/79)

4.113 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o f definida pela f´ ormula x

f (x) = (x − 1)e x−1 e esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Grupo II da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 18/9/80)

4.114 Considere a fun¸ca ˜o f , definida em R pela f´ ormula 2

f (x) = |x|e1−x . a) Estude a fun¸ca ˜o do ponto de vista da continuidade e da diferenciabilidade. Em cada ponto em que f n˜ ao seja diferenci´ avel, calcule as derivadas laterais. b) Complete o estudo da fun¸ca ˜o, considerando em particular os aspectos seguintes: crescimento, extremos, concavidade, inflex˜ oes, ass´ımptotas. Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Grupo II do Exame de 21/9/79)

85

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 4.115 a) Fa¸ca um estudo anal´ıtico, t˜ ao completo quanto poss´ıvel, da fun¸ca ˜o f definida em R pela f´ ormula: 2 f (x) = xe−|1−x | (em particular, determine os eventuais m´ aximos e m´ınimos, inflex˜ oes e pontos em que a fun¸ca ˜o n˜ ao seja diferenci´ avel). b) Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Pergunta 2 da Prova de 19/7/71)

4.116 a) Estude a fun¸ca ˜o definida em R pela f´ ormula: f (x) = xe−|4−x

2

|

considerando especialmente os aspectos seguintes: continuidade, diferenciabilidade, crescimento, m´ aximos e m´ınimos, concavidades, inflex˜ oes e ass´ımptotas. b) Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Pergunta 2 do Ponto no 4 de 1/10/71)

4.117 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o g : R → R cont´ınua no ponto 0 e 2 tal que, para todo o x 6= 0, g(x) = xe−1/x . Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Grupo IV do Teste de 10/4/79)

2

4.118 Fa¸ca o estudo da fun¸ca ˜o definida por: f (x) = e− log x . (Determine o dom´ınio, dom´ınio de diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, concavidades, pontos de inflex˜ ao, ass´ımptotas e fa¸ca um esbo¸co do respectivo gr´ afico). (Grupo II do Exame de 23/3/77)

4.119 a) Estude a fun¸ca ˜o f , definida pela f´ ormula: f (x) =

x 1 + log x

no conjunto de todos os valores reais x tais que f (x) ∈ R. Considere especialmente os aspectos seguintes: intervalos de monotonia, m´ aximos e m´ınimos, convexidade, inflex˜ oes, ass´ımptotas. b) Sendo g a fun¸ca ˜o definida em R \ {− e1 , 1e } e verificando as condi¸co ˜es: i) g ´e ´ımpar e ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio; ii) em todo o ponto x positivo e distinto de 1/e, g(x) = f (x). Esboce o gr´ afico de g e determine equa¸co ˜es das tangentes a esse gr´ afico em cada um dos seus pontos de inflex˜ ao. (Pergunta 1 da Prova de 4/11/72)

4.120 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o f : R \ {− e1 , 0, 1e } → R definida pela f´ ormula: x2 f (x) = 2 + log x2 e esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Grupo Ib do Exame de 2/10/80)

86

˜ 4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNC ¸ OES 4.121 a) Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o f , definida pela f´ ormula f (x) =

x log |x|

b) Esboce o gr´ afico da mesma fun¸ca ˜o. (Pergunta 2 do Exame Final de 6/5/78)

4.122 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o g definida pela f´ ormula: g(x) =

x 1 + log |x|

e esboce o respectivo gr´ afico. (Grupo III do Teste de 7/4/79)

4.123 Estude a fun¸ca ˜o f , definida pela f´ ormula f (x) =

x 1 − log |x|

(no conjunto dos pontos x tais que f (x) ∈ R) e esboce o respectivo gr´ afico.

(Pergunta 2 do Exame Final de 20/2/71)

4.124 Fa¸ca o estudo da fun¸ca ˜o definida por y=

1 − log |x| . 1 + log |x|

(Determine o dom´ınio, dom´ınio de diferenciabilidade, intervalos de monotonia, extremos, concavidades, pontos de inflex˜ ao, ass´ımptotas e fa¸ca um esbo¸co do respectivo gr´ afico). (Grupo II da Prova de 25/7/77)

4.125 a) Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o f , definida em R, cont´ınua no ponto 0 e tal que, em qualquer ponto x 6= 0, se verifica a igualdade: f (x) = x2 log x2 . b) Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Pergunta 2 do Teste de 22/4/78)

4.126 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o f , definida por: f (x) =

sen x . 1 − sen x

Esboce o gr´ afico da restri¸ca ˜o de f ao intervalo [0, 2π]. (Grupo III do Teste de 24/4/79)

4.127 Estude do modo mais completo que lhe seja poss´ıvel a fun¸ca ˜o definida pela f´ ormula: y = arctg x −

x . 1 + x2

Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o. (Grupo III do Exame OS de 11/2/80)

87

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 4.128 Considere a fun¸ca ˜o f definida pela f´ ormula f (x) = x + 2 arctg

1 x

no conjunto de todos os pontos x tais que f (x) ∈ R. a) Estude a fun¸ca ˜o, determinando em especial os pontos de descontinuidade, os intervalos de monotonia, os m´ aximos e os m´ınimos locais e o sentido da concavidade do gr´ afico de f . Verifique se existem pontos de inflex˜ ao. b) O gr´ afico de f admite alguma ass´ımptota vertical? Justifique. Obtenha uma equa¸ca ˜o da u ´nica ass´ımptota n˜ ao vertical do mesmo gr´ afico e determine os intervalos em que este est´ a situado “por cima” e por “por baixo” dessa ass´ımptota. (Pergunta 2 da Prova de 4/9/72)

4.129 Fa¸ca um estudo t˜ ao completo quanto poss´ıvel da fun¸ca ˜o F definida em R\{1} pela f´ ormula: F (x) = arctg Esboce o gr´ afico da fun¸ca ˜o.

x . x−1 (Grupo II do Exame Final de 10/5/79)

4.130 Estude analiticamente a fun¸ca ˜o real definida pela express˜ ao 1 + x f (x) = arctg 1 − x e represente a sua imagem geom´etrica aproximada.

(Pergunta 3 do Exame Final (Ponto no 2) de 6/7/71)

4.131 Seja f : R → R a fun¸ca ˜o definida por f (x) = arctg(2x2 − x). a) Calcule limx→−∞ f (x) e limx→+∞ f (x) e indique os zeros da fun¸ca ˜o f . b) Estude f quanto a ` diferenciabilidade e calcule a sua derivada. c) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia de f . d) Determine o contradom´ınio de f . ´ (Pergunta 2 do Grupo III do Exame de 2a Epoca de 7/2/97)

4.132 Seja f : R → R a fun¸ca ˜o diferenci´ avel em 0, dada por ( xe−x , se x ≥ 0, f (x) = arctg(αx), se x < 0, onde α ∈ R. a) Calcule α. b) Calcule limx→−∞ f (x) e limx→+∞ f (x) (se n˜ ao conseguiu calcular α, suponha doravante que α = 1). c) Estude f quanto a ` diferenciabilidade e calcule a sua derivada. d) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia de f . 88

˜ 4.4. TEOREMA DE TAYLOR. ESTUDO DE FUNC ¸ OES e) Determine o contradom´ınio de f . ´ (Pergunta 2 do Grupo III do Exame de 1a Epoca de 8/1/97)

4.133 Considere a fun¸ca ˜o definida por f (x) =

(

k1 sh



x 1−x



, se x < 0,

k2 + arctg x,

se x ≥ 0,

onde k1 e k2 s˜ ao n´ umeros reais. a) Justifique que f ´e cont´ınua em R \ {0}. b) Determine k1 e k2 de modo a que a fun¸ca ˜o f fique cont´ınua e diferenci´ avel em R. c) Mostre que, para os valores de k1 e k2 calculados na al´ınea anterior, a fun¸ca ˜o f n˜ ao tem extremos locais. (Pergunta 1 do Grupo III do 2o Exame de 9/2/94)

4.134 Considere a fun¸ca ˜o f : R → R tal que f (0) = π2 e definida por   1+x , se x 6= 0. f (x) = arctg x a) Estude f quanto a ` continuidade e a ` existˆencia dos limites quando x → +∞ e quando x → −∞. b) Estude a fun¸ca ˜o f quanto a monotonia e extremos. c) Indique, justificando, o contradom´ınio da restri¸ca ˜o de f ao intervalo [0, +∞[. d) Determine o sentido da concavidade e as inflex˜ oes do gr´ afico de f . e) Esboce o gr´ afico de f . (Grupo III do 1o Exame de 23/1/95)

4.135 a) Fa¸ca um estudo anal´ıtico, t˜ ao completo quanto poss´ıvel, da fun¸ca ˜o definida em R\{0} pela f´ ormula: log |x| f (x) = xn onde n ´e um n´ umero natural. b) Esboce o gr´ afico de f , na hip´ otese de ser n = 1. (Pergunta 2 da Prova de 20/7/71)

4.136 Considere a fun¸ca ˜o f definida em ] − 1, +∞[ por ( √ log 1 − x2 , se x ∈ ] − 1, 0], f (x) = 2 x2 e1−x , se x ∈ ]0, +∞[. a) Estude quanto a ` continuidade a fun¸ca ˜o f . Determine lim x→−1 f (x) e limx→+∞ f (x). b) Determine o dom´ınio de diferenciabilidade de f . Calcule a fun¸ca ˜o derivada f 0 . c) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia da fun¸ca ˜o f . 89

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. d) Calcule a segunda derivada de f . e) Justifique que existem exactamente trˆes pontos de inflex˜ ao e determine o sentido das concavidades do gr´ afico de f . (Casopn˜ ao saiba determinar os pontos de inflex˜ ao , pode utilizar, na √ ao zeros de f 00 ). sequˆencia do racioc´ınio, que 12 5 ± 17 s˜ f) Esboce o gr´ afico de f .

´ (Grupo III do Exame de 1a Epoca de 26/1/96)

4.137 Considere a fun¸ca ˜o f definida em R por ( x log x, se x > 0, f (x) = ex −1 se x ≤ 0. e , a) Estude, do ponto de vista de continuidade e diferenciabilidade, a fun¸ca ˜o f . Calcule f 0 (x) nos pontos x em que f seja diferenci´ avel e, em cada ponto que o n˜ ao seja, calcule (se existirem) as derivadas laterais. b) Determine os intervalos de monotonia f e os seus extremos locais. Calcule limx→+∞ f (x) e limx→−∞ f (x). c) Qual ´e o contradom´ınio de f ? Justifique cuidadosamente a resposta. ´ (Pergunta 1 do Grupo III do Exame de Epoca Especial de 17/11/95)

4.138 Considere a fun¸ca ˜o f : R → R, cont´ınua em R e tal que f (x) = x log

1 , x2

se x 6= 0.

a) Indique, justificando o valor de f (0). Verifique se o gr´ afico da fun¸ca ˜o apresenta alguma simetria, estude o sinal de f e os limites de f quando x → +∞ e x → −∞. b) Estude a fun¸ca ˜o f quanto a ` diferenciabilidade e determine os intervalos de monotonia e extremos. c) Determine o sentido da concavidade e as inflex˜ oes do gr´ afico de f . d) Indique uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f no ponto de abcissa x = e. e) Esboce o gr´ afico de f . (Grupo III do 2o Exame de 6/2/95)

4.139 Considere a fun¸ca ˜o f : R → R definida por f (x) = |1 − x|e1−x ,

∀x ∈ R.

a) Estude a fun¸ca ˜o f quanto a ` continuidade e a ` existˆencia dos limites de f quando x → +∞ e x → −∞. b) Estude a fun¸ca ˜o f quanto a ` diferenciabilidade, monotonia e extremos. c) Determine o sentido da concavidade e as inflex˜ oes do gr´ afico de f . d) Indique uma equa¸ca ˜o da tangente ao gr´ afico de f no ponto de abcissa x = 3. 90

´ ´ ˆ 4.5. SERIE DE TAYLOR. DESENVOLVIMENTOS EM SERIES DE POTENCIAS. e) Esboce o gr´ afico de f . ´ (Grupo III do Exame de 2a Epoca de 24/2/95)

4.140 Considere a fun¸ca ˜o f definida em R \ {−2} por |x−1|

f (x) = e |x+2| . a) Estude a fun¸ca ˜o f quanto a ` continuidade. Determine limx→−2 f (x), limx→−∞ f (x) e limx→+∞ f (x). b) Determine o dom´ınio de diferenciabilidade de f . Calcule a fun¸ca ˜o derivada f 0 . c) Determine os extremos locais e os intervalos de monotonia da fun¸ca ˜o f . d) Calcule a segunda derivada de f . e) Determine o sentido das concavidades do gr´ afico de f . f) Esboce o gr´ afico de f . ´ de 28/2/96) (Grupo III do Exame de 2a Epoca

4.5

S´ erie de Taylor. Desenvolvimentos em s´ eries de potˆ encias.

4.141 a) Determine o raio de convergˆencia da s´erie ∞ X

(−1)n+1

n=1

xn . (2n − 1)(2n + 1)

b) Estude a natureza da s´erie nos extremos do seu intervalo de convergˆencia. Em caso de convergˆencia, verifique se ´e simples ou absoluta. c) Designando por f a fun¸ca ˜o definida pela f´ ormula: f (x) =

∞ X

(−1)n+1

n=1

xn , (2n − 1)(2n + 2)

no conjunto de todos os pontos em que a s´erie ´e convergente, calcule f (1) e indique, justificando, o valor de f 00 (0). (Pergunta 3 da Prova de 11/10/72)

4.142 Considere a s´erie de potˆencias ∞ X

x2n (n + 1)(n + 2) n=0 e, em cada ponto x em que a s´erie convirga, designe por ϕ(x) a sua soma. Nestas condi¸co ˜es: 1. Justifique que o dom´ınio de ϕ ´e um intervalo I, e indique os extremos desse intervalo. 2. Justifique que, em qualquer ponto x ∈ I, ϕ(−x) = ϕ(x); mostre ainda que a restri¸ca ˜o de ϕ ao conjunto I ∩ [0, +∞[ ´e uma fun¸ca ˜o crescente. 91

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 3. Calcule o m´ aximo da fun¸ca ˜o ϕ. (Grupo IIb do Exame Final de 30/4/80)

Resolu¸ c˜ ao: 1. Uma s´erie de potˆencias de x converge absolutamente no intervalo ] − R, R[, onde 1

R= lim

q

n

1 (n+1)(n+2)

= lim

p

n

(n + 1)(n + 2) = 1.

Nos pontos 1 e −1 a s´erie toma a forma ∞ X

1 (n + 1)(n + 2) n=0 e como

1 1 ∼ 2 (n + 1)(n + 2) n

a s´erie converge. Logo o dom´ınio de ϕ ´e [−1, 1]. 2. ϕ(x) =

∞ X (−x)2n x2n = = ϕ(−x). Para ver que ϕ(x) restrita a [0, 1] (n + 1)(n + 2) n=0 (n + 1)(n + 2) n=0 ∞ X

´e crescente basta notar que se 0 ≤ x < y ≤ 1 ent˜ ao, para todo o n ∈ N, x 2n ≤ y 2n pelo que ϕ ´e crescente em [0, 1]. 3. Acab´ amos de ver que ϕ ´e uma fun¸ca ˜o par — donde decorre que o seu contradom´ınio, ϕ([−1, 1]), coincide com ϕ([0, 1]) — e tamb´em que ϕ ´e crescente em [0, 1]. Deve ter-se portanto: ∞ X 1 max ϕ = ϕ(1) = . (n + 1)(n + 2) n=0 Designando por Sn a soma dos n primeiros termos desta s´erie, tem-se:

1 1 1 + +··· + 1·2 2·3 n(n + 1)       1 1 1 1 1 1 − − = 1− + +···+ =1− 2 2 3 n n+1 n+1

Sn =

e portanto, max ϕ = lim Sn = 1.

4.143 Indique, sob a forma de um intervalo, o conjunto dos ponto de R onde a s´erie ∞ X (x − 1)2n−1 n2 − n n=2

´e absolutamente convergente, e determine, se poss´ıvel, a soma da s´erie nos extremos do intervalo. Esta s´erie define uma fun¸ca ˜o no mesmo intervalo; determine uma express˜ ao da derivada dessa fun¸ca ˜o. (Pergunta 1a do Exame Final (Ponto no 2) de 6/7/71)

4.144 a) Determine o raio de convergˆencia da s´erie que figura no segundo membro da igualdade: f (x) =

∞ X

(−1)n

n=0

92

xn+2 . (n + 1)(n + 2)

´ ´ ˆ 4.5. SERIE DE TAYLOR. DESENVOLVIMENTOS EM SERIES DE POTENCIAS. b) Estude a natureza da s´erie nos extremos do seu intervalo de convergˆencia e calcule a soma num desses extremos. c) Mostre que, em qualquer ponto x interior ao intervalo de convergˆencia da s´erie se verifica a igualdade: f (x) = (x + 1) log(x + 1) − x e aproveite esta igualdade para verificar se f ´e cont´ınua naquele extremo do intervalo de convergˆencia em que calculou a soma da s´erie. [Sugest˜ ao: pode derivar a s´erie termo a termo duas vezes] 4.145 Supondo igual a 2 o raio de convergˆencia da s´erie de potˆencias P 1. Indique, justificando, a natureza da s´erie |an |.

P∞

n=0

a n xn ,

2. Definindo uma fun¸ca ˜o ϕ, no intervalo de convergˆencia da s´erie de potˆencias, pela f´ ormula ϕ(x) =

∞ X

a n xn ,

n=0

justifique que ϕ ´e integr´ avel no intervalo [−1, 1] e prove que se verifica necessariamente a desigualdade Z 1 ∞ X ≤2 |an |. ϕ(x) dx −1

n=0

(Grupo IIIb do Exame de 2/10/80)

Resolu¸ c˜ ao: P 1. Se 2 ´e o raio de convergˆeP ncia de an xn , h´ a convergˆencia absoluta em ]−2, 2[ e em particular para x = 1 e portanto, |an | converge.

2. ϕ ´e integr´ avel em [−1, 1] pois ´e a´ı cont´ınua. Para cada x ∈ [−1, 1] tem-se:

∞ ∞ ∞ X X X n |ϕ(x)| = an x ≤ |an ||xn | ≤ |an |, n=0

donde Z

1 −1

Z ϕ(x) dx ≤

n=0

1

−1

|ϕ(x)| dx ≤

Z

n=0

1

∞ X

−1 n=0

|an | dx = 2

∞ X

n=0

|an |.

4.146 a) Determine o raio de convergˆencia da s´erie de potˆencias X (x − 1)n √ 3n n

e indique, justificando, em que pontos a s´erie converge absolutamente e em que pontos converge simplesmente. b) Supondo que a fun¸ca ˜o g ´e definida pela igualdade g(x) =

∞ X (x − 1)n √ 3n n n=1

93

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. no conjunto de todos os pontos em que a s´erie ´e convergente, calcule g(1) e g 00 (1) e escreva a s´erie de Taylor, no ponto 1, da fun¸ca ˜o x + g 0 (x). (Pergunta 3 da Prova de 23/1/73)

4.147 Considere as fun¸co ˜es g que podem ser desenvolvidas em s´erie de potˆencias de x com raio de convergˆencia infinito. Quais dessas fun¸co ˜es satisfazem a ` rela¸ca ˜o xg 0 (x) = g(x) ∀x∈R ? (Pergunta 4b da Prova de 5/7/71)

4.148 Justificando cuidadosamente a resposta, mostre que ex ´e a u ´nica fun¸ca ˜o que satisfaz a `s condi¸co ˜es seguintes: f (n) (x) = f (x) ∀n∈N ∀x∈R , f (0) = 1. [Sugest˜ ao: Pode-lhe ser u ´til recorrer a um desenvolvimento em s´erie de Mac-Laurin]. (Grupo III2 da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 18/9/80)

4.149 Sendo f uma fun¸ca ˜o anal´ıtica na origem e verificando as condi¸co ˜es f (0) = 3

e

f 0 (x) = f (x) + x ∀x∈R .

Determine o desenvolvimento de Mac-Laurin de f e indique, justificando, para que valores de x ´e que esse desenvolvimento representa a fun¸ca ˜o. (Pergunta 3b duma Prova de An´ alise II)

4.150 Sejam f e g duas fun¸co ˜es com derivadas f 0 e g 0 satisfazendo as seguintes condi¸co ˜es: f 0 (x) = g(x), g 0 (x) = −f (x)

∀x∈R

e tais que f (0) = 0 e g(0) = 1. 1. Prove que a) f e g s˜ ao indefinidamente diferenci´ aveis. b) Qualquer das fun¸co ˜es f e g ´e desenvolv´ıvel em s´erie de Mac-Laurin, s´erie essa que representa a fun¸ca ˜o considerada para todo o ponto x ∈ R. 2. Utilize o m´etodo dos coeficientes indeterminados para obter os desenvolvimentos de MacLaurin de f e g. 3. Prove que [f (x)]2 + [g(x)]2 = 1 ∀x∈R . 4.151

1. Prove que qualquer solu¸ca ˜o (definida em R) da equa¸ca ˜o diferencial dx = kx, dt

com k constante

a) ´e indefinidamente diferenci´ avel, b) ´e desenvolv´ıvel em s´erie de Mac-Laurin, s´erie essa que representa a fun¸ca ˜o para todo o t pertencente a R. Aproveite os resultados para verificar (recorrendo a s´erie de Mac-Laurin com “coeficientes indeterminados”) que a express˜ ao geral das referidas solu¸co ˜es ´e x = a 0 ekt . 94

´ ´ ˆ 4.5. SERIE DE TAYLOR. DESENVOLVIMENTOS EM SERIES DE POTENCIAS. 2. Com base nas conclus˜ oes obtidas em 1) resolva a seguinte quest˜ ao: Uma substˆ ancia radioactiva desintegra-se a um ritmo que, em cada instante, ´e proporcional a ` quantidade de substˆ ancia existente nesse instante (tendo todos os a ´tomos a mesma probabilidade de desintegrar-se, a desintegra¸ca ˜o total ´e proporcional ao n´ umeros de a ´tomos remanescente). Se x(t) designa a quantidade de subtˆ ancia existente no instante t, ter-se-´ a portanto x0 (t) = kx(t) com k constante. Sendo x0 a quantidade de substˆ ancia existente no instante t = 0, determine x(t) e prove que existe um n´ umero τ (a vida m´edia do elemento radioactivo) tal que x(t + τ ) =

1 x(t) 2

para todo o t > 0. (Problema 3 do Grupo IV do Trabalho de 1974)

Resolu¸ c˜ ao: 1. a) Para provar que qualquer fun¸ca ˜o que seja solu¸ca ˜o da equa¸ca ˜o x0 (t) = kx(t) ´e indefinidamente diferenci´ avel - isto ´e, n vezes diferenci´ avel, qualquer n ∈ N - pode usar-se o m´etodo de indu¸ca ˜o. Sendo solu¸ca ˜o da equa¸ca ˜o considerada, ´e claro que x ter´ a que ser diferenci´ avel (isto ´e, n vezes diferenci´ avel, para n = 1); por outro lado, admitindo (como hip´ otese de indu¸ca ˜o) que x(t) - e portanto tamb´em o segundo membro da equ¸ca ˜o x0 (t) = kx(t) - ´e n vezes diferenci´ avel, logo se conclui que o primeiro membro, x0 (t), ´e tamb´em n vezes diferenci´ avel e portanto, que x(t) ´e n + 1 vezes diferenci´ avel. b) A equa¸ca ˜o implica por indu¸ca ˜o que para todo o n ∈ N tenhamos x(n) (t) = k n x(t) e em particular x(n) (0) = k n x(0). Assim se uma solu¸ca ˜o da equa¸ca ˜o for represent´ avel pala sua s´erie de Mac-Laurin numa vizinhan¸ca de 0 ent˜ ao essa solu¸ca ˜o ser´ a nessa vizinhan¸ca +∞ n X k x(0)tn = x(0)ekt . n! n=0

(4.2)

Reciprocamente qualquer fun¸ca ˜o deste tipo ´e solu¸ca ˜o da equa¸ca ˜o. Resta provar que as u ´nicas solu¸co ˜es s˜ ao definidas em R por x(t) = x(0)e kt . Para isso vamos provar que o resto de ordem n da f´ ormula de Taylor de uma solu¸ca ˜o (n˜ ao necessariamente da forma (4.2)) num ponto t tende para 0 quando n → ∞ qualquer que seja t ∈ R. Com efeito a equa¸ca ˜o implica x(t) = em que

n−1 X

x(0)k m tm + Rn (t) m! m=0

x(n) (τ )tn k n x(τ )tn = n! n! n )tn = 0 concluimos que para algum τ ∈ ]0, 1[ dependente de n e t. Como limn→∞ k x(τ n! Rn (t) → 0 quando n → ∞ e qualquer solu¸ca ˜o ´e representada pela s´erie de Mac-Laurin respectiva. Como j´ a vimos ter´ a de ter a forma (4.2). Rn (t) =

2. Queremos provar que existe τ tal que x(t + τ ) = x(0)ek(t+τ ) = 1

1 1 x(0)ekt = x(t). 2 2

Quer dizer que ek(t+τ ) = elog 2 ekt , isto ´e, k(t + τ ) = log 21 + kt ou ainda τ =

95

1 k

log 12 .

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL. 4.152 Desenvolva em s´erie de Mac-Laurin a fun¸ca ˜o 2x +

1 2+x

e indique, justificando, o intervalo de convergˆencia da s´erie obtida. (Pergunta 3b da Prova de 2a ´ epoca de 18/12/72)

Resolu¸ c˜ ao: x

2 =e

(log 2)x

1 1 1 = 2+x 21+

x 2

∞ X 1 (log 2)n xn = n! n=0

=

∞  x n 1X (−1)n 2 n=0 2

(x ∈ R), (|x| < 2).

Logo: 2x +

∞ ∞ X X 1 xn 1 = (log 2)n xn + (−1)n n+1 2 + x n=0 n! 2 n=0  ∞  X 1 1 = (log 2)n + (−1)n n+1 xn . n! 2 n=0

Esta s´erie converge (e representa a fun¸ca ˜o considerada) no intervalo ]−2, 2[, visto que em qualquer 1 ponto x tal que |x| < 2 convergem as s´eries de Mac-Laurin das fun¸co ˜es 2x e 2+x . Para qualquer x tal que |x| ≥ 2 converge apenas uma destas s´eries, divergindo portanto a s´erie obtida por adi¸ca ˜o das duas. 4.153 Desenvolva em s´erie de Mac-Laurin a fun¸ca ˜o   x2 f (x) = log 1 + 4 e indique o maior intervalo aberto em que a s´erie representa a fun¸ca ˜o. (Pergunta 2b da Prova de 1/10/71)

4.154 Desenvolva em s´erie de Mac-Laurin a fun¸ca ˜o ϕ(x) = x log(1 + x3 ) e aproveite o desenvolvimento para justificar que a fun¸ca ˜o tem um m´ınimo no ponto 0 (mostre que ϕ0 (0) = ϕ00 (0) = ϕ000 (0) = 0 e observe o sinal de ϕ(4) ). (Pergunta 2b da Prova de 8/1/73)

4.155 Desenvolva em s´erie de Mac-Laurin a fun¸ca ˜o x2 9 e indique o maior intervalo aberto em que a s´erie representa a fun¸ca ˜o. f (x) = arctg

(Pergunta 2b da Prova (Ponto no 2) de 1/10/71)

4.156 Desenvolva a fun¸ca ˜o log x em s´erie de potˆencias de x − 2 e indique um intervalo aberto no qual a fun¸ca ˜o coincida com a soma da s´erie obtida. (Grupo Ic do Exame Final de 18/9/80)

96

´ ´ ˆ 4.5. SERIE DE TAYLOR. DESENVOLVIMENTOS EM SERIES DE POTENCIAS.

Resolu¸ c˜ ao:      x−2 x−2 log x = log(2 + (x − 2)) = log 2 1 + = log 2 + log 1 + 2 2  n ∞ ∞ X X 1 x−2 1 = log 2 + (−1)n+1 = log 2 + (−1)n+1 n (x − 2)n . n 2 2 n n=1 n=1 P∞ Us´ amos log(x + 1) = n=1 (−1)n+1 n1 xn para |x| < 1 o que implica que a s´erie obtida converge e e, para 0 < x < 4. representa a fun¸ca ˜o para | x−2 2 | < 1, isto ´ 4.157 Desenvolva em s´erie de potˆencias de x−1 as fun¸co ˜es log(3−x) e x12 . Em cada um dos casos, indique o “maior” intervalo aberto em que o desenvolvimento representa a fun¸ca ˜o considerada. (Grupo IIIa do 1o Teste de 21/6/80)

4.158 Desenvolva em s´erie de potˆencias de x − 1 a fun¸ca ˜o ϕ(x) = (x − 1)e x e indique os pontos em que a soma da s´erie obtida ´e igual ao valor da fun¸ca ˜o. Aproveitando o desenvolvimento — ou independentemente — calcule ϕ(n) (1) (n natural arbitr´ ario). (Grupo Ic do Exame de 2/10/80)

4.159 Obtenha os desenvolvimentos em s´erie de Mac-Laurin e em s´erie de Taylor relativa ao ponto 1, da fun¸ca ˜o 3 g(x) = e5x + 3 + 5x e indique, para cada um desses desenvolvimentos, o “maior” intervalo aberto onde cada uma das s´eries representa a fun¸ca ˜o. Aproveite um dos desenvolvimentos obtidos para indicar uma express˜ ao para g (n) (0). (Grupo III1 da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 18/9/80)

4.160 Seja f a fun¸ca ˜o definida em R\{0} por f (x) = x2 log x2 . Desenvolva f em s´erie de potˆencias de x − 1 e indique o “maior” intervalo aberto onde esse desenvolvimento representa a fun¸ca ˜o. (Grupo IV da Prova de 2/12/76)

97

´ CAP´ITULO 4. CALCULO DIFERENCIAL.

98

Cap´ıtulo 5

Primitiva¸c˜ ao

5.1 Determine uma express˜ ao geral de todas as primitivas das seguintes fun¸co ˜es. a) (1 − x)5 ,

b)

|x|. (Grupo III2 da Prova de 25/7/77)

5.2 Para cada uma das fun¸co ˜es definidas em R pelas express˜ oes   2 π x cos 2x − , , xe−x 4 4 1+x (todas elas imediatamente primitiv´ aveis) obtenha, se poss´ıvel: a) A primitiva que se anula no ponto x = 0. b) A primitiva que tende para 1 quando x → +∞. Se nalgum caso for imposs´ıvel obter uma primitiva que verifique a condi¸ca ˜o requerida explique a raz˜ ao dessa impossibilidade. (Pergunta 1 da Prova de 20/7/78)

Resolu¸ c˜ ao:
Designando por F uma primitiva de cos 2x − π4 temos: Z Z    π 1 π 1 π F (x) ≡ cos 2x − dx = cos 2x − 2 dx = sen 2x − + K. 4 2 4 2 4 a) Se F (0) = 0 ´e porque K =

1 √ ; 2 2

a primitiva que se anula para x = 0 ´e pois:

F (x) =

 1 π 1 sen 2x − + √ . 2 4 2 2

b) Para nenhum valor de K existe o limite limx→+∞ F (x) pelo que n˜ ao existe nenhuma primitiva tal que limx→+∞ F (x) = 1. Designando por G uma primitiva de G(x) ≡

Z

x 1+x4

temos:

x 1 dx = 4 1+x 2

Z

2x 1 dx = arctg x2 + K. 2 2 1 + (x ) 2 99

˜ CAP´ITULO 5. PRIMITIVAC ¸ AO

a) Se G(0) = 0 ´e porque K = 0; a primitiva que se anula em 0 ´e pois: G(x) =

arctg x2 . 2

b) π arctg x2 + K = + K. x→+∞ 2 4

lim G(x) = lim

x→+∞

Se limx→+∞ F (x) = 1 ´e porque K = 1 − π4 , logo a primitiva pedida ´e: G(x) =

 π 1 . arctg x2 + 1 − 2 4

2

Designando por H uma primitiva de xe−x Z Z 2 2 1 1 −x2 H(x) ≡ xe dx = − e−x (−2x) dx = − e−x + K. 2 2 a) Se H(0) = 0 ´e porque K = 12 . Logo, a primitiva pedida ´e: H(x) =

 2 1 1 − e−x . 2

  2 b) limx→+∞ H(x) = limx→+∞ − 21 e−x + K = K. limx→+∞ H(x) = 1 ´e: 2 1 H(x) = − e−x + 1. 2

Logo a primitiva que verifica

5.3 a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸co ˜es: x2 cos(x3 + 1),

1+x √ , 1 − x2

ex sen x.

b) Determine a fun¸ca ˜o F definida em R \ {1} que obedece a `s seguintes condi¸co ˜es: F 0 (x) =

1 , (x − 1)2

F (2) = 0,

lim F (x) = 10.

x→−∞

(Grupo I da Prova de 11/9/78)

5.4 Obtenha uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸co ˜es (todas elas elementarmente primitiv´ aveis). x 1 sen(2x) cos(2x), ex+e . 2 , x(2 − 3 log x) 3 (Grupo Ia da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 18/9/80) d Resolu¸ c˜ ao: Notando que a derivada de dx (sen(2x)) = 2 cos(2x): Z Z 1 1 sen(2x) cos(2x)2 dx = sen2 (2x). sen(2x) cos(2x) dx = 2 4

100

Notando que

1 x

´e a derivada de log x: Z 1

2 3

dx =

x(2 − 3 log x) Z 2 1 (2 − 3 log x)− 3 =− 3 1

1

1 dx (2 − 3 log x) x   1 3 1 − dx = − 3(2 − 3 log x) 3 x 3

Z

2 3

= −(2 − 3 log x) 3 .

Finalmente H(x) =

Z

x

ex+e dx =

Z

x

x

ex ee dx = ee .

5.5 Para cada umas das fun¸co ˜es (todas elas imediatamente primitiv´ aveis) definidas pelas express˜ oes: ex 1 x sen x2 , , x 2 2+e (1 + x )[1 + (arctg x)2 ] determine, se poss´ıvel: 1. Uma primitiva que se anule no ponto x = 0; 2. Uma primitiva que tenda para 0 quando x → +∞. Nos casos em que n˜ ao seja poss´ıvel obter uma primitiva nas condi¸co ˜es requeridas explique sucintamente a raz˜ ao dessa impossibilidade. (Grupo Ib do 2o Teste de 28/7/80)

5.6 Determine uma primitiva de

log x x(log2 x + 1)

no intervalo ]0, +∞[. (Pergunta 1b da Prova de 7/74)

5.7 a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸co ˜es: tg x sec2 x;

sen x 2cos x ;

1 . x + x log2 x

b) Determine a fun¸ca ˜o f , definida em R \ {0} que verifica as seguintes condi¸co ˜es:  0  f (x) = 4x log |x|, f (−1) = 1,   f (1) = −1.

(Grupo Ia e b do Exame de 2a ´ epoca de 11/2/80)

Resolu¸ c˜ ao: a) Designamos por F (x) uma primitiva de tg x sec2 x. Z 1 F (x) = tg x sec2 x dx = tg2 x. 2 101

˜ CAP´ITULO 5. PRIMITIVAC ¸ AO Designemos por G(x) uma primitiva de sen x2cos x . Z Z G(x) = sen x2cos x dx = 2cos x sen x dx Z −1 e(log 2) cos x 2cos x = e(log 2) cos x (− log 2 sen x) dx = − =− . log 2 log 2 log 2 Designemos por H(x) uma primitiva de H(x) =

1 x+x log2 x

1 dx = x + x log2 x

Z

Z

1 1 2 x dx. 1 + log x

Usando primitiva¸ca ˜o por substitui¸ca ˜o com y = log x e portanto Z 1 dy = arctg y 1 + y2

dy dx

= 1/x consideramos

donde H(x) = arctg(log x). b) Trata-se de determinar em R \ {0} uma primitiva J(x) de 4x log |x| de forma que: ( f (−1) = 1, f (1) = −1. Se x > 0 devemos ter para alguma constante K1 :   Z Z Z 1 21 1 2 J(x) = 4x log x dx = 4 x log x dx = 4 x log x − x dx 2 2 x Z = 2x2 log x − 2 x dx = 2x2 log x − x2 + K1 = x2 (2 log x − 1) + K1 Se x < 0 devemos ter para alguma constante K2 :   Z Z 1 2 1 2 1 J(x) = 4x log(−x) dx = 4 x log(−x) − x (−1) dx 2 2 −x = x2 (2 log(−x) − 1) + K2 .

Assim J(x) ter´ a de ser da forma: ( J(x) =

x2 (2 log x − 1) + K1 , x2 (2 log(−x) − 1) + K2

se x > 0, se x < 0.

Para obter f (1) = −1 e f (−1) = 1 as constantes K1 e K2 tˆem de escolher-se assim: K1 = 0,

K2 = 2.

5.8 Determine a fun¸ca ˜o f , definida no intervalo ]0, +∞[ e que satisfaz as condi¸co ˜es: f 0 (x) = x5 log x −

π 1 sen 2 x x

∀x>0

e

f (1) = 0. (Pergunta 1a da Prova de 18/12/72)

102

5.9 Estabele¸ca uma f´ ormula de recorrˆencia para o c´ alculo de P tgn x,

n ∈ N1 . (Pergunta 3 da Prova de 12/3/74)

tgn x dx. Se n = 1: Z Z sen x J1 (x) = tg x dx = dx = cos x Z 1 (− sen x) dx = − log | cos x| =− cos x

Resolu¸ c˜ ao: Ponha-se Jn (x) =

Se n = 2: J2 (x) = Se n > 2: Z

Z

tg2 x dx =

Z

(sec2 x − 1) dx = tg x − x.

Z

tgn−2 x tg2 x dx = Z Z = tgn−2 x(sec2 x − 1) dx = tgn−2 x sec2 x dx − Jn−2 (x) =

Jn (x) =

n

R

tg x dx =

1 tgn−1 x − Jn−2 (x). n−1

Temos pois: 1 tgn−1 x − Jn−2 (x), n−1 J1 (x) = − log | cos x|, J2 (x) = tg x − x.

Jn (x) =

5.10 Primitive x log x +

se n > 2,

log x 1 1 + + . x x log x x log x log(log x) (Pergunta 2 da Prova de 21/10/74)

5.11 Determine a fun¸ca ˜o f que verifica: ( f 00 (x) = sen x sen 2x, para todo o x ∈ R, f (0) = f 0 (0) = 1. (Pergunta 3a da Prova de 19/7/71)

5.12 Determine a fun¸ca ˜o f : ] − 1, +∞[ → R que verifica: ( 1 f 00 (x) = 1+x , qualquer que seja x > −1, 0 f (0) = f (0) = 1. (Grupo IIa da Prova de 18/9/79)

103

˜ CAP´ITULO 5. PRIMITIVAC ¸ AO 5.13 Determine a fun¸ca ˜o ϕ, definida em R e que verifica as condi¸co ˜es seguintes:  x+1 00  ϕ (x) = x2 +1 qualquer que seja x ∈ R, ϕ(0) = 1,   0 ϕ (0) = 0.

(Pergunta 2b de uma Prova de An´ alise II)

5.14 Calcule Z

x4 dx. x4 − 1 (Grupo Ia da Prova de 23/2/79)

Resolu¸ c˜ ao: Escrevamos

x4 x4 −1

como soma de frac¸co ˜es simples:

1 x4 =1+ 4 −1 x −1

e

x4

1 Ax + B C D = 2 + + . x4 − 1 x +1 x−1 x+1

Determinemos A, B, C e D: 1 = (Ax + B)(x2 − 1) + C(x2 + 1)(x + 1) + D(x2 + 1)(x − 1)

1 = (A + C + D)x3 + (B + C − D)x2 + (−A + C + D)x + (−B + C − D)

Quer dizer que: Z

 A+C +D =0    B + C − D = 0  −A + C + D = 0    −B + C − D = 1 x4 dx = 4 x −1

Z Z 1 1 1 1 1 dx + dx − dx x2 + 1 4 x−1 4 x+1 1 1 1 = x − arctg x + log |x − 1| − log |x + 1| 2 4 4 x − 1 1 1 . = x − arctg x + log 2 4 x + 1 Z

1 dx −

1 2

 A=0    B = − 1 2 ⇐⇒ 1  C =  4   D = − 41

Z

5.15 Obtenha a primitiva da fun¸ca ˜o 12x + 8 x4 − 4x2

definida no intervalo ]2, +∞[ e que tende para 1 quando x tende para +∞. (Grupo Ib da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 18/9/80)

5.16 Determine: a) Uma express˜ ao geral das primitivas da fun¸ca ˜o definida em R pela f´ ormula: f (x) = (x + 1)ex 104

2

+2x

.

b) A primitiva G, da fun¸ca ˜o g(x) =

x+3 x4 − x 2

definida no intervalo ]1, +∞[ e que verifica a condi¸ca ˜o lim x→+∞ G(x) = 3. (Grupo I da Prova de 28/6/79)

5.17 a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸co ˜es: f (x) = cos(2x) cos x,

g(x) =

log arcsen x √ , 1 − x2

h(x) = p

b) Considere a fun¸ca ˜o: f (x) =

x3 (x4 − 1)3

.

3x2 + 7 (x2 + 4)(x2 − 1)

definida em R\{−1, 1}. Obtenha uma primitiva F de f que satisfa¸ca as trˆes condi¸co ˜es seguintes: i) ii)

π , 2 lim F (x) = 0, lim F (x) =

x→−∞ x→+∞

iii) F (0) = 1. (Grupo I da Prova de 11/9/79)

5.18 a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸co ˜es: ex

2

+2 sen x

(1 + 2 arctg x)3 , 1 + x2

(x + cos x),

x2 sh x.

b) Calcule: Z

4x2 − 3x + 5 dx. (x − 1)2 (x + 2) (Grupo I da Prova de 22/9/78)

5.19 Calcule uma primitiva de cada uma das fun¸co ˜es seguintes: arcotg x x2

3x + 4 . (x − 5)2 + 3

e

(Pergunta 2a da Prova de 6/7/71)

5.20 Calcule

Z

x4 dx. x4 − 5x2 + 4 (Grupo II1a da Prova de 18/7/77)

5.21 Determine: a) Uma fun¸ca ˜o f , definida em R, e verificando as condi¸co ˜es: f 0 (x) =

arctg x 1 + x2

∀x∈R 105

e

lim f (x) = 0.

x→+∞

˜ CAP´ITULO 5. PRIMITIVAC ¸ AO b) Decida justificadamente se existe uma fun¸ca ˜o g, definida no intervalo I = ]16, +∞[ e tal que: √ 1+ x √ g 0 (x) = ∀x∈I e lim g(x) = 1. x→+∞ x(4 − x) (Pergunta 3 da Prova de 20/2/71)

5.22 Calcule uma primitiva de cada uma das fun¸co ˜es log x √ 1+x

5x − 6 . x[(x − 1)2 + 2]

e

(Pergunta 2a da Prova de 5/7/71)

Resolu¸ c˜ ao: a) Primitivando por partes de

log x √ 1+x

para x > 0:

Z Z 1 log x 1 1 1 √ dx = (1 + x)− 2 log x dx = 2(1 + x) 2 log x − 2 (1 + x) 2 dx. x 1+x R 1 avel tentar de novo uma primitiva¸ca ˜o Para calcular J(x) = (1+x) 2 x1 dx poderia parecer razo´ por partes. No entanto tal conduz sempre a primitivas envolvendo potˆencias fraccion´ arias de 1 + x a multiplicar por uma potˆencia inteira e n˜ ao nula de x ou conduz-nos de novo a ` primitiva com que t´ınhamos come¸cado. I(x) =

Z

Como as potˆencias fraccion´ arias de 1+x s˜ ao um problema tentamos uma mudan¸ca de vari´ avel 1 para elimin´ a-las. Para tal consideramos a substitui¸ca ˜o y = (1 + x) 2 , onde x > 0 e portanto y > 1, cuja inversa ´e x = y 2 − 1 que por sua vez tem derivada dx dy = 2y, conduzindo ao c´ alculo de: Z Z Z Z 1 y2 1 1 y 2 2y dy = 2 dy = 2 (1 + 2 ) dy = 2y + 2 dy. (5.1) 2 2 y −1 y −1 y −1 y −1 A B Decompondo y21−1 = y+1 + y−1 e determinando as constantes A e B atrav´es de 1 = A(y − 1) + B(y + 1) obt´em-se A = − 21 e B = 21 , quer dizer   1 1 1 1 , = − y2 − 1 2 y−1 y+1

pelo que

Substituindo em (5.1)

Da´ı que:

Z

1 1 y−1 dy = log y2 − 1 2 y+1 Z

(se y > 1).

y2 1 y−1 dy = y + log . y2 − 1 2 y+1 1

1

J(x) = 2(1 + x) 2 + log

(1 + x) 2 − 1 1

(1 + x) 2 + 1

.

Voltando a I(x): 1

1 2

1 2

I(x) = 2(1 + x) log x − 4(1 + x) − 2 log

(1 + x) 2 − 1 1

(1 + x) 2 + 1 1

1

= 2(1 + x) 2 (log x − 2) − 2 log 106

(1 + x) 2 − 1 1

(1 + x) 2 + 1

.

Em conclus˜ ao: Z

√   √ log x 1+x−1 √ 1 + x(log x − 2) − log √ + K. dx = 2 1+x 1+x+1

R 5x−6 b) A primitiva x[(x−1) ca de vari´ avel 2 +2] dx calcula-se mais comodamente efectuando a mudan¸ y = x − 1 o que conduz a: Z 5y − 1 dy. (y + 1)(y 2 + 2) Decompondo a frac¸ca ˜o racional:

5y − 1 A By + C = + 2 (y + 1)(y 2 + 2) y+1 y +2 obt´em-se calculando A, B e C, −2 2y + 3 5y − 1 = + (y + 1)(y 2 + 2) y + 1 y2 + 2 e da´ı: Z

5y − 1 dy = −2 log |y + 1| + (y + 1)(y 2 + 2)

2y + 3 dy y2 + 2 Z Z 1 2y dy + 3 dy = −2 log |y + 1| + y2 + 2 y2 + 2 Z 1 3 = −2 log |y + 1| + log(y 2 + 2) + dy  2 2 √y + 1 2 Z

3 y = −2 log |y + 1| + log(y 2 + 2) + √ arctg √ . 2 2

Invertendo a mudan¸ca de vari´ avel: Z x−1 3 5x − 6 dx = −2 log |x| + log((x − 1)2 + 2) + √ arctg √ . x[(x − 1)2 + 2] 2 2

5.23 Calcule Z

1 dx x 1+x √ 4

(Grupo III da Prova de 19/9/77)

5.24 Determine as fun¸co ˜es f e g, definidas em R e que verificam as condi¸co ˜es: f 00 (x) = (1 + sen x) cos x, f 0 (0) = 1, 1 , lim g(x) = 1. g 0 (x) = x→+∞ 1 + e2x

f (0) = 3;

(Pergunta 2a do Ponto no 5 de 25/10/71)

107

˜ CAP´ITULO 5. PRIMITIVAC ¸ AO 5.25 Obtenha uma primitiva φ da fun¸ca ˜o ϕ(x) =

2e−x , 1 − e2x

definida no intervalo ]0, +∞[ e tal que ϕ(+∞) = 1. Seria poss´ıvel obter uma primitiva Ψ de ϕ definida em ] − ∞, 0[ e com limite finito quando x → −∞ ? Justifique abreviadamente a resposta. (Grupo IIc do Exame de 2/10/80)

R 2e−x Resolu¸ c˜ ao: Vamos fazer a mudan¸ca de vari´ avel y = ex em 1−e 2x dx. Notando que x = log y e dx 1 1 = obtemos dy y Z Z Z 2e−x 2y −1 1 1 dx = dy = 2 dy. 1 − e2x 1 − y2 y y 2 (1 − y 2 ) Tem-se:

A B C D 1 = 2+ + + ; y 2 (1 − y 2 ) y y 1−y 1+y

A, B, C e D calculam-se a partir de:

1 = A(1 − y 2 ) + By(1 − y 2 ) + Cy 2 (1 + y) + Dy 2 (1 − y) atribuindo por exemplo a y os valores 0, 1, −1 e 2:  1=A    1 = 2C  1 = 2D    1 = −3A − 6B + 12C − 4D

⇔

Vem, desta forma:

Z

Portanto:

1 dy = 2 y (1 − y 2 )

 A=1    C = 1 2 1  D =  2   B=0

Z Z 1 1 1 1 1 dy + dy + dy 2 y 2 1−y 2 1+y 1 + y 1 + C. = −y −1 + log 2 1 − y Z

x 1 + y 2e−x 2 + K = − 2 + log 1 + e + K. dx = − + log 1 − y 1 − ex 1 − e2x y ex 1+ex e ainda a forma geral Se limx→+∞ φ(x) = 1 ´e porque K = 1. Assim − e2x + log 1−e x + K ´ das primitivas de ϕ para x < 0. Por´em, seja qual fˆ or o valor da constante K, tem-se sempre limx→−∞ φ(x) = −∞ pelo que ´e imposs´ıvel encontrar uma primitiva Ψ de ϕ em ]−∞, 0[ verificando limx→−∞ Ψ(x) = α com α ∈ R. φ(x) =

5.26 Calcule

Z

Z

e3x dx. (1 + e2x )(ex − 2)2 (Grupo Ia do Exame de 2a ´ epoca de 7/2/79)

1 Nesta

R R solu¸ca ˜o e nalgumas outras deste cap´ıtulo uma igualdade entre primitivas f (x) dx = g(y) dy significa −1 de facto que consider´ amos uma mudan¸ca de vari´ avel y = θ(x) com inversa x = θ (y) e que a fun¸ca ˜o de y do lado direito da igualdade composta com θ iguala o lado esquerdo da igualdade como fun¸ca ˜o de x. Este pequeno abuso de nota¸ca ˜o revelar-se-´ a pr´ atico ao n´ıvel do c´ alculo.

108

5.27 Calcule Z

e3t + 3e2t + 6 dt. e3t + 3et (Grupo II da Prova de 9/10/78)

5.28 Calcule a primitiva G da fun¸ca ˜o g(x) =

2 log x − 1 x log x(log x − 1)2

definida no intervalo ]e, +∞[ e que verifica a condi¸ca ˜o: lim G(x) = 7.

x→+∞

(Grupo Ib da Prova de 25/9/79)

5.29 a) Obtenha uma primitiva de cada uma das seguintes fun¸co ˜es: y=

1 , x log x2

y= √

x , 1 + 3x2

y = 3x cos x

b) Calcule uma primitiva F (x) de f (x) =

sen 2x (2 + sen x)2

tal que F (0) = 0. Haver´ a outra primitiva de f (x) que se anule para x = 0? Justifique. (Grupo Ia e b do Exame de 2a ´ epoca de 4/2/80)

5.30 Primitive as fun¸co ˜es √

1 , 1+x

arcsen

1 x

e

1 . sen x cos2 x (Pergunta 1a do Ponto no 3 de 1/10/71)

5.31 Primitive as fun¸co ˜es:

arctg 2x 1 + 4x2

e

1 . sen2 x cos x (Pergunta 1a do Ponto no 4 de 1/10/71)

5.32 Determine o conjunto de todas as primitivas da fun¸ca ˜o f definida por f (x) =

1 1 − sen x − cos x

no intervalo ]0, π/2[. (Pergunta 2 da Prova de 22/3/74)

Resolu¸ c˜ ao: Vamos considerar a mudan¸ca de vari´ avel tg sen x =

2t , 1 + t2

cos x =

1 − t2 , 1 + t2

109

x 2

= t que conduz a: dx =

2 dt. 1 + t2

˜ CAP´ITULO 5. PRIMITIVAC ¸ AO Note-se que ao variar x em ]0, π2 [ a vari´ avel t percorre ]0, 1[. Z Z 1 1 2 dx = dt 2t 1−t2 1 + t2 1 − sen x − cos x 1 − 1+t2 − 1+t2 Z Z Z 1 1 1 = dt = dt − dt t(t − 1) t−1 t = log |t − 1| − log |t| = log(1 − t) − log t 1−t = log (por ser sempre 0 < t < 1). t Quer dizer: Z

1 − tg 1 dx = log 1 − sen x − cos x tg x2

110

x 2

+ K.

Cap´ıtulo 6

Integral de Riemann 6.1

Defini¸ c˜ ao e primeiras propriedades

6.1 Recorde que se chama oscila¸ca ˜o de uma fun¸ca ˜o f num subconjunto (n˜ ao vazio) A do seu dom´ınio a ` diferen¸ca entre o supremo e o ´ınfimo da fun¸ca ˜o no conjunto A (onde f se sup˜ oe limitada). Nestas condi¸co ˜es, sendo f uma fun¸ca ˜o limitada no intervalo [a, b], prove que f ´e integr´ avel em I = [a, b] se for verificada a condi¸ca ˜o seguinte: Qualquer que seja ε > 0 existe uma decomposi¸ca ˜o de I tal que a oscila¸ca ˜o de f em cada um dos subintervalos de I determinados por essa decomposi¸ca ˜o ´e menor que ε.

Mostre ainda que a verifica¸ca ˜o da condi¸ca ˜o referida n˜ ao ´e necess´ aria para que f seja integr´ avel. (Grupo V do 1o Teste de 20/7/78)

Resolu¸ c˜ ao: Sendo f : [a, b] → R e d = {x1 , . . . , xn−1 } uma decomposi¸ca ˜o de [a, b] define-se Sd = Pn−1 Pn−1 M (x − x ), s = m (x − x ) (com x = a e x = b) onde Mi = sup[xi ,xi+1 ] f , i i+1 i d i i+1 i 0 n i=0 i=0 Pn−1 mi = inf [xi ,xi+1 ] f e portanto: Sd − sd = i=0 (Mi − mi )(xi+1 − xi ). Sendo verificada a condi¸ca ˜o do enunciado, dado δ > 0, escolha-se uma decomposi¸ca ˜o d de I = [a, b] tal que a oscila¸ca ˜o Mi − mi de f em cada um dos subintervalos de I determinados por δ d = {x1 , . . . , xn−1 } seja menor que ε = b−a . Vir´ a ent˜ ao: Sd − s d =

n−1 X

(Mi − mi )(xi+1 − xi ) <

i=0 n−1 X

=ε

i=0

=

(xi+1 − xi ) =

δ (b − a) = δ. b−a

δ b−a

n−1 X

i=0 n−1 X i=0

ε(xi+1 − xi )

(xi+1 − xi )

Quer dizer que dado δ > 0 ´e poss´ıvel encontrar uma decomposi¸ca ˜o d de [a, b] tal que S d − sd < δ, o que equivale a dizer que f ´e integr´ avel em [a, b]. Para ver que a condi¸ca ˜o do enunciado n˜ ao ´e necess´ aria para que f seja integr´ avel, basta considerar a fun¸ca ˜o ( 0, se x 6= x0 , f (x) = 1, se x = x0 , onde x0 ∈ [a, b]. A fun¸ca ˜o f ´e integr´ avel mas n˜ ao existe uma decomposi¸ca ˜o d de [a, b] tal que a oscila¸ca ˜o de f em cada um dos subintervalos de [a, b] determinados por d seja menor do que 1 pois em qualquer subintervalo que contenha x0 a oscila¸ca ˜o de f ser´ a igual a 1. 111

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.2 A cada aplica¸ca ˜o f : R → R podemos associar as aplica¸co ˜es f + e f − (designadas por parte positiva e parte negativa de f , respectivamente) pelas seguintes defini¸co ˜es: ( ( f (x), se f (x) ≥ 0, −f (x), se f (x) ≤ 0, f + (x) = , f − (x) = 0, se f (x) < 0 0, se f (x) > 0. a) Indique uma aplica¸ca ˜o limitada f : R → R tal que f + seja integr´ avel em [0, 1] e f − n˜ ao o seja. b) Indique uma aplica¸ca ˜o limitada g : R → R tal que g + + g − seja integr´ avel em [0, 1] e g n˜ ao o seja. 6.3 Mostre que a integrabilidade de f : R → R em [a, b] implica a integrabilidade de f 2 em [a, b]. Observa¸ c˜ ao: Prove-o directamente, isto ´e, n˜ ao utilize o conhecimento de que o produto de duas fun¸co ˜es integr´ aveis num intervalo ´e integr´ avel nesse intervalo. (Pergunta 6 da Prova de 12/3/74)

Rx 6.4 Seja ϕ uma fun¸ca ˜o integr´ avel em [0, 1] e φ(x) = a ϕ(t) dt com a ∈ [0, 1]. Justifique que φ ´e integr´ avel em [0, 1] e mostre que existe b ∈ [0, 1] tal que Z 1 Z b φ(t) dt = ϕ(t) dt. 0

a

(Na resolu¸ca ˜o desta al´ınea poder´ a ser-lhe u ´til recorrer ao teorema da m´edia). (Grupo IVb do 1o Teste de 11/9/78)

Resolu¸ c˜ ao: Sendo ϕ integr´ avel em [0, 1], a fun¸ca ˜o φ ´e cont´ınua em [0, 1] e portanto integr´ avel em [0, 1]. Existe por isso b ∈ [0, 1] tal que Z

1 0

φ(t) dt = φ(b)(1 − 0) = φ(b) =

Z

b

ϕ(t) dt. a

6.5 Sejam f e ϕ definidas em [a, b] maiores ou iguais a 0 e integr´ aveis em [a, b]. Suponha-se que ϕ ´e crescente e designe-se por ϕ(b− ) o limx→b− ϕ(x). Rb Rb 1) Mostre que: ∃c∈[a,b] : a f (x)ϕ(x) dx = ϕ(b− ) c f (x) dx.

2) A igualdade seria v´ alida se substituissemos ϕ(b− ) por ϕ(b)? Rb 3) Mostre que se ϕ ´e estritamente crescente em ]a, b[ e a f (x) dx 6= 0 ent˜ ao c dever´ a ser diferente de a e de b. (Grupo IV do 1o Teste de 11/9/79)

6.2

Teorema fundamental. Regra de Barrow

6.6 Seja f uma fun¸ca ˜o duas vezes diferenci´ avel e tal que f 0 (x) e f 00 (x) s˜ ao positivas em todo o ponto x ∈ R; seja ainda Z x g(x) = f (t2 ) dt, ∀x∈R . 0

Justifique que g ´e trˆes vezes diferenci´ avel, calcule g 00 (x) e g 000 (x) para x ∈ R e aproveite o resultado para estudar, quanto a ` concavidade e inflex˜ oes, o gr´ afico de g. (Pergunta 4a do Ponto no 5 de 25/10/71)

112

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW

Resolu¸ c˜ ao: Como f ´e cont´ınua em R tem-se em R, pelo Teorema Fundamental do C´ alculo, g 0 (x) = f (x2 ). Como f ´e duas vezes diferenci´ avel segue do Teorema de Deriva¸ca ˜o da Fun¸ca ˜o Composta que: g 00 (x) = 2f 0 (x2 )x, g 000 (x) = f 00 (x2 )(2x)2 + f 0 (x2 )2 = 4f 00 (x2 )x2 + 2f 0 (x2 ). O estudo da concavidade e inflex˜ ao de g pode fazer-se atrav´es do sinal de g 00 (x): como f 0 (x) e f 00 (x) s˜ ao positivas: g 00 (x) > 0 se x > 0, g 00 (x) < 0 se x < 0. Para x > 0, a concavidade est´ a voltada para cima, para x < 0, voltada para baixo. Em x = 0 h´ a pois um ponto de inflex˜ ao (g 00 (0) = 0 e g 000 (0) > 0). 6.7 Sendo f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e diferenci´ avel no ponto 0, Z x g(x) = f (t) dt, ∀x∈R 0

e h = g ◦ g, calcule h00 (0), expresso em f (0) e f 0 (0).

(Pergunta 3b do Ponto no 1 de 1/10/71)

6.8 Sendo f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R, a) Justifique que a igualdade: F (x) =

Z

x

f (t) dt 0

define uma fun¸ca ˜o F , duas vezes diferenci´ avel em R. b) Sendo ϕ = F ◦ F (isto ´e, ϕ(x) = F [F (x)], ∀x∈R ), prove que, se f (x) < 0, ∀x∈R , ϕ ´e estritamente crescente em R. c) Calcule ϕ0 (0) e ϕ00 (0), em fun¸ca ˜o de f (0) e f 0 (0). (Pergunta 4 da Prova de 20/2/71)

6.9 Prove que se f ´e uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R, verificando a condi¸ca ˜o Z x f (u) du = xf (x), ∀x∈R 0

ent˜ ao f ´e constante. [Sugest˜ ao: derive ambos os membros da igualdade anterior.) (Pergunta 4a da Prova de 23/1/73)

6.10 Sendo f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R prove que, se ´e nulo o integral de f em qualquer intervalo limitado, ent˜ ao f (x) = 0, para todo o x ∈ R. Mostre, por meio de exemplos, que a conclus˜ ao precedente poderia ser falsa em qualquer das duas hip´ oteses seguintes: 1. Se, em lugar de supor f cont´ınua em R, se suposesse apenas que f era integr´ avel em qualquer intervalo limitado; 2. Se, em vez de supor que ´e nulo o integral de f em qualquer intervalo limitado, se admitisse que era nulo o integral de f em qualquer intervalo de R com comprimento igual a 1. (Pergunta 4b da Prova de 2a ´ epoca de 8/1/73)

113

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.11 Sendo ϕ uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R, e para cada x ∈ R, Z x φ(x) = (x − t)ϕ(t) dt, 0

calcule φ0 (x) e φ00 (x). Justifique todos os passos dos c´ alculos efectuados. (Pergunta 4a da Prova de 4/11/72)

6.12 Seja g uma fun¸ca ˜o definida e cont´ınua em R tal que g(1) = 5 e Seja f a fun¸ca ˜o definida em R por Z 1 x (x − t)2 g(t) dt. f (x) = 2 0

R1 0

g(t) dt = 2.

Mostre que f admite derivadas cont´ınuas em R at´e a ` 3a ordem e calcule f 00 (1) e f 000 (1). (Grupo III da Prova de 23/3/77)

Resolu¸ c˜ ao: Z Z 1 x 2 1 x (x − t)2 g(t) dt = (x − 2xt + t2 )g(t) dt 2 0 2 0 Z x Z x Z 1 1 x 2 = x2 g(t) dt − x tg(t) dt + t g(t) dt. 2 2 0 0 0

f (x) =

As fun¸co ˜es g(t), tg(t), t2 g(t) s˜ ao cont´ınuas em R pelo que, pelo teorema fundamental do C´ alculo:   Z x  Z x 1 1 tg(t) dt + x2 g(x) + x2 g(x) f 0 (x) = x g(t) dt + x2 g(x) − 2 2 0 Z x0 Z x =x g(t) dt − tg(t) dt, 0 Z x0 Z x 00 f (x) = g(t) dt + xg(x) − xg(x) = g(t) dt 0

0

f 000 (x) = g(x).

Tem-se pois f 00 (1) =

R1 0

g(t) dt = 2 e f 000 (1) = g(1) = 5.

6.13 Calcule ϕ0 (x) sendo ϕ(x) =

R3 x

x2 esen t dt. (Grupo II1c da Prova de 18/7/77)

6.14 Seja ϕ a fun¸ca ˜o definida em R pela f´ ormula ϕ(x) = valores de ϕ(0) e ϕ0 (0).

R x3 +1 cos x

2

e−t dt. Indique, justificando, os (Grupo IIa da Prova de 25/9/79)

6.15 Demonstre que, se f ´e cont´ınua em R e se Z x f (t) dt = 0, para todo o x ∈ R, −x

ent˜ ao f ´eR uma fun¸ca ˜o ´ımpar. Dˆe um exemplo de uma fun¸ca ˜o g definida em R, verificando a x ao seja ´ımpar. condi¸ca ˜o −x g(t) dt = 0, ∀x∈R , e que n˜ 114

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW 6.16 Calcule

Rx 0

lim

x→0

6.17 Determine o seguinte limite lim

x

x→0

sen t3 dt . x4 (Grupo Ib da Prova de 28/2/74)

Rx

2

e−t dt . 1 − e−x2 0

Resolu¸ c˜ ao: Trata-se de uma indetermina¸ca ˜o do tipo Cauchy: lim

x→0

x

Rx

−t2

Rx

Aplicando sucessivamente a regra de   2 2 2 e−x + e−x − xe−x 2x

−x2

dt + xe = lim x→0 e−x2 2x −e−x2 4x2 + e−x2 2 2 2(1 − x2 ) 2e−x (1 − x2 ) = lim = lim −x2 = 1. x→0 e (2 − 4x2 ) x→0 2 − 4x2

e dt 0 = lim x→0 1 − e−x2

0

e

−t2

0 0.

(Grupo II1c da Prova de 2/12/76)

6.18 Calcule

Rx

lim R 0 2 x→0 x 0

sen t5 dt sen t2 dt

. (Grupo IIc do 2o Teste de 28/7/80)

6.19 a) Determine o valor da constante real K, por forma a que f 0 (1) = 0, sendo Z K log x 2 f (x) = e−t dt. x2

b) Determine uma fun¸ca ˜o g de classe C 2 que satisfa¸ca as seguintes condi¸co ˜es: Z x g 00 (t) dt = x3 + x ∧ g 0 (0) = g(0) = 1. 0

(Grupo III da Prova de 22/9/78)

Resolu¸ c˜ ao: R ϕ (x) a) Para derivar f fazemos a seguinte observa¸ca ˜o: sendo f (x) = ϕ12(x) g(t) dt com g cont´ınua num intervalo, ϕ1 , ϕ2 fun¸co ˜es com valores nesse intervalo e a um qualquer ponto desse intervalo, temR ϕ (x) R ϕ (x) se f (x) = a 2 g(t) dt − a 1 g(t) dt. Da´ı resulta que, sendo ϕ1 e ϕ2 fun¸co ˜es diferenci´ aveis, e usando o Teorema Fundamental do C´ alculo e o Teorema de deriva¸ca ˜o da Fun¸ca ˜o Composta: f 0 (x) = g(ϕ2 (x))ϕ02 (x) − g(ϕ1 (x))ϕ01 (x). Logo, no caso f (x) =

R K log x x2

2

e−t dt vem: f 0 (x) = e−(k log x)

2

4 K − e−x 2x x

e portanto f 0 (1) = K − 2e−1 . Ter-se-` a f 0 (1) = 0 se K = 2e . Rx b) Temos 0 g 00 (t) dt = g 0 (x)−g 0 (0), isto ´e, g 0 (x) = x3 +x+1 e portanto g(x) = 14 x4 + 21 x2 +x+K sendo K = g(0) = 1. Portanto g(x) = 41 x4 + 21 x2 + x + 1. 115

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.20 Indique onde est´ a o erro no c´ alculo seguinte: Z

2 −1

2  3 1 dx =− . = − 2 x x −1 2 (Grupo Ic da Prova de 7/74)

Rb Resolu¸ c˜ ao: A regra de Barrow, a f (x) dx = F (b) − F (a) aplica-se1 a uma fun¸ca ˜o f integr´ avel em [a, b] e com uma primitiva F em [a, b]. Ora, embora F (x) = − x1 seja uma primitiva de f (x) = x12 em R \ {0} e portanto em [−1, 2] \ {0}, n˜ ao ´e verdade que F (x) seja primitiva de f (x) em [−1, 2],  1 2 R2 logo a f´ ormula de Barrow n˜ ao ´e aplic´ avel pelo que ´e ileg´ıtimo escrever −1 dx x2 = − x −1 . Pode ao ´e de resto observar-se que o integral em causa n˜ ao existe; visto que a fun¸ca ˜o integranda x12 , n˜ limitada no intervalo de integra¸ca ˜o.

6.21 Calcule Z

π 4

sen 2x cos 2x dx

Z

e

0

1

t

et+e dt.

0

(Note que ambas as fun¸co ˜es integrandas s˜ ao facilmente primitiv´ aveis.) (Grupo IIa do Exame Final de 18/9/80)

6.22 Estude, quanto a ` existˆencia de ass´ımptotas, a fun¸ca ˜o f definida por Z 2x ds , para x > 1. f (x) = log x s log s x (Pergunta 4 da Prova de 12/3/74)

6.23 Calcule

Z

π

x arctg x dx. 1

(Grupo I2a da Prova de 19/9/77)

6.24 Calcule Z

1 0

arctg x dx 1 + x2

Z

e

π

sen3 u du.

0

(Grupo IIa do Exame de 2/10/80)

6.25 Seja f uma fun¸ca ˜o definida no intervalo [a, b] e que admite segunda derivada cont´ınua nesse Rb intervalo. Exprima a xf 00 (x) dx como fun¸ca ˜o dos valores de f e f 0 nos pontos a e b. (Grupo IV2 do Exame de 18/7/1977)

6.26 Calcule Z

1 0

dx , x−3

Z

4 2

x3 dx. x−1 (Grupo II2 da Prova de 2/12/76)

1 Assume-se

a conven¸ca ˜o habitual de que do ponto de vista da integra¸ca ˜o uma fun¸ca ˜o pode n˜ ao estar definida num n´ umero finito de pontos. Desta forma a solu¸ca ˜o do problema n˜ ao tem a ver com o facto da fun¸ca ˜o integranda n˜ ao estar definida em 0 mas sim com a fun¸ca ˜o ser ilimitada numa qualquer vizinhan¸ca de 0.

116

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW 6.27 Calcule Z

e

Z

log x dx, 1

1 2

0

x2

1 dx. −1 (Pergunta 2a e b da Prova de 23/3/77)

6.28 Calcule Z

3 2

1 dx x3 + x

e

Z

π

sen2 x dx.

−π

(Grupo Ia do 2o Teste de 28/7/80)

6.29 Calcule Z

2

4x − 4 dx. x4 + 4x2

1

(Grupo IIa da Prova de 11/9/78)

6.30 Calcule Z

1 0

x (x +

2)2 (x2

+ 4)

dx. (Grupo Ic da Prova de 28/2/74)

6.31 Sendo f 0 (x) =

x4 +1 x2 +1 ,

∀x∈R e f (0) = 1, calcule: Z

1

f (x) dx. 0

(Pergunta 3a da Prova de 20/7/71)

6.32 Calcule o integral Z

1 0

1 dt. et + e2t (Grupo II da Prova de 20/7/78)

6.33 Calcule Z

1 0

et + 4 dt. e2t + 4 (Grupo Ic do Exame de 2a ´ epoca de 11/2/80)

6.34 Calcule Z

π 3

0

8 tg x dx. 3 + sen2 x (Grupo Ib da Prova de 18/9/79)

6.35 Calcule

Z

π 0

sen3 x dx. 2 − sen2 x (Grupo 1a da Prova de 18/12/72)

117

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN

Resolu¸ c˜ ao: Uma maneira de calcular o integral ´e observar que x 7→ cos x ´e uma bijec¸ca ˜o de [0, π] em [−1, 1] e usar a mudan¸ca de vari´ avel y = cos x. Tem-se ent˜ ao, designando o integral que pretendemos calcular por I: Z π Z π Z π sen3 x sen2 x 1 − cos2 x I≡ dx = sen x dx = sen x dx 2 2 2 0 2 − sen x 0 2 − sen x 0 1 + cos x Z −1 Z 1 1 − y2 1 − y2 dy = dy. =− 2 1 + y2 1 −1 1 + y Ora

1−y 2 1+y 2

= −1 +

2 1+y 2

e da´ı

R

1−y 2 1+y 2

dy = −y + 2 arctg y. Quer dizer:

I = [−y + 2 arctg y]1−1 = (−1 + 2 arctg 1) − (1 + 2 arctg(−1))  π π  − 1−2 = −2 + π = π − 2. = −1 + 2 4 4 6.36 Aplicando a regra de Barrow prove que, sendo f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R, Z c−a Z b f (c − x) dx = f (x) dx. c−b

a

(Pergunta 4a da Prova de 5/7/71)

6.37 Seja F uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e sejam a, b, c n´ umeros reais com c 6= 0. Mostre que Z b Z cb F (cx) dx. F (x) dx = c a c

a

(Grupo IV da Repeti¸ca ˜o do 1o Teste de 22/9/78)

6.38 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e a um ponto de R. Mostre que: Ra Ra a) Se f ´e par, −a f (x) dx = 2 0 f (x) dx. Ra b) Se f ´e ´ımpar, −a f (x) dx = 0.

(Grupo IV1 do Exame de 18/7/1977)

6.39 Sendo ϕ diferenci´ avel em R, f cont´ınua em R e h definida pela f´ ormula seguinte Z ϕ(x3 ) h(x) = x2 f (t) dt, ϕ(x)

0

calcule h (x). Supondo agora que ϕ e f s˜ ao ´ımpares, mostre que h ´e par. (Grupo IIb da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 18/9/80)

Resolu¸ c˜ ao: d h (x) = dx 0

=2x

x Z

2

Z

ϕ(x3 )

f (t) dt ϕ(x)

ϕ(x3 )

ϕ(x)

!

f (t) dt + x2 (f (ϕ(x3 ))ϕ0 (x3 )3x2 − f (ϕ(x))ϕ0 (x)).

Ora se ϕ e f s˜ ao ´ımpares, tem-se, usando a mudan¸ca de vari´ avel t = −u: 118

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW

h(−x) = =

Z Z

ϕ(−x3 )

x2 f (t) dt =

ϕ(−x) ϕ(x3 )

Z

−ϕ(x3 ) −ϕ(x)

x2 f (−u)(−1) du =

ϕ(x)

Z

x2 f (t) dt ϕ(x3 )

x2 f (u) du = h(x),

ϕ(x)

pelo que h ´e par. 6.40 Considere a fun¸ca ˜o ϕ definida no intervalo ]0, +∞[ pela f´ ormula Z x t log t dt. ϕ(x) = (1 + t 2 )2 1 a) Calcule ϕ(2). b) Mostre que ϕ ´e diferenci´ avel (em todo o seu dom´ınio) e, supondo x > 0, indique, justificando, o valor de ϕ0 (x). c) Estude a fun¸ca ˜o ϕ sob o ponto de vista do crescimento e mostre que h´ a um s´ o ponto c do dom´ınio de ϕ satisfazendo a condi¸ca ˜o ϕ(c) = 0. (Pergunta 2 da Prova de 23/1/72)

6.41 Considere a fun¸ca ˜o F definida pela igualdade √ Z x 3 1 + u2 √ F (x) = du 3 u)2 1 3u(1 + no conjunto dos valores reais de x para os quais tem sentido o integral do segundo membro. a) Calcule F 0 (3) e F 00 (3). b) Calcule F (3). c) Indique o dom´ınio de F , sob a forma de intervalo, e justifique que ´e efectivamente esse o dom´ınio. (Pergunta 3 da Prova de 8/1/73)

6.42 a) Seja g a fun¸ca ˜o definida pela f´ ormula g(x) =

R log x 0

2

x et dt. Mostre que g 00 (1) = 1.

b) Seja h uma fun¸ca ˜o definida em R, cont´ınua, ´ımpar e estritamente crescente e seja H a fun¸ca ˜o definida em R pela f´ ormula Z x

H(x) =

h(t) dt.

0

Justifique que H ´e diferenci´ avel em R, que ´e fun¸ca ˜o par, que tem um m´ınimo absoluto no ponto zero, e determine os intervalos de monotonia de H. (Grupo III da Prova de 11/9/78)

6.43 a) Justifique que a igualdade (onde surge um integral que n˜ ao dever´ a calcular) Z x ϕ(x) = (2 + sen t2 ) dt 0

define uma fun¸ca ˜o ϕ indefinidamente diferenci´ avel em R. Mostre que ϕ ´e estritamente crescente e estude o sinal de ϕ(x), para cada x ∈ R. Ser´ a ϕ par? E ´ımpar? Justifique. 119

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN b) Considere a fun¸ca ˜o φ definida em R pela equa¸ca ˜o seguinte φ(x) =

Z

x2 −1

esen t dt.

x

Determine a fun¸ca ˜o derivada. (Grupo IV de 20/7/78)

6.44 Seja f uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em todos os pontos de R. Considere, para cada h 6= 0, uma nova fun¸ca ˜o Fh definida por Z 1 x+h f (u) du. Fh (x) = h x Como sabe, Fh (x) representa o valor m´edio de f no intervalo [x, x + h]. a) Em que pontos do seu dom´ınio ´e Fh diferenci´ avel? Justifique a resposta e determine a derivada Fh0 (x) =

d dx

(Fh (x)).

b) Para cada valor de x, Fh (x) e Fh0 (x) dependem de h. Considere ent˜ ao, para um dado x = a, duas outras fun¸co ˜es, ϕ e ψ, definidas respectivamente pelas igualdades ϕ(h) = Fh0 (a) e ψ(h) = Fh (a), ∀h∈R\{0} . Determine lim ϕ(h) e lim ψ(h). h→0

h→0

(Pergunta 4 da Prova de 6/7/71)

6.45 Como sabe, diz-se que a fun¸ca ˜o f : R → R tem per´ıodo a sse f (x + a) = f (x), ∀ x∈R . Supondo que a fun¸ca ˜o cont´ınua f tem per´ıodo a e que g ´e uma primitiva de f (em R), mostre que a fun¸ca ˜o g(x+a)−g(x) ´e constante; aproveite o resultado para provar que, sendo ˜o R a f uma fun¸ca cont´ınua que tenha per´ıodo a, as primitivas de f ter˜ ao tamb´em esse per´ıodo sse 0 f (x) dx = 0. (Grupo IIIa do 2o Teste de 28/7/80)

R sen x 6.46 a) Para cada x ∈ R, seja ϕ(x) = 0 log(1+t2 ) dt. Sem efectuar qualquer integra¸ca ˜o prove que ϕ(x + 2π) = ϕ(x) (qualquer que seja x ∈ R) e determine os valores de x, pertencentes ao intervalo [0, 2π[ e tais que a tangente ao gr´ afico de ϕ no ponto (x, ϕ(x)) seja horizontal; indique ainda, justificando, quais desses valores s˜ ao pontos de m´ aximo ou de m´ınimo para a fun¸ca ˜o ϕ. b) Sejam u e v fun¸co ˜es cont´ınuas em R, tais que, para qualquer x ∈ R, Z x Z x u(t) dt = v(t) dt, a

b

onde a e b s˜ ao n´ umeros reais. Prove que u = v e que c) Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e F (x) =

( Rx 1 x

f (t) dt,

0

f (0),

Rb a

u(x) dx = 0.

se x 6= 0, se x = 0.

Prove que F ´e cont´ınua em R e diferenci´ avel em R \ {0}; mostre que, nas condi¸co ˜es indicadas, F pode n˜ ao ser diferenci´ avel na origem. (Grupo III da Prova de 28/6/79)

120

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW 6.47 Sejam f e ϕ duas fun¸co ˜es que admitam segundas derivadas cont´ınuas em R e seja F (x) =

Z

ϕ(x)

f (t) dt. 0

a) Exprima F 0 (x) e F 00 (x) em termos das derivadas de f e ϕ. b) Supondo que f (x) > 0, ∀x∈R e ϕ00 (x) 6= 0, ∀x∈R , mostre que os pontos de m´ aximo de F coincidem com os de ϕ e os pontos de m´ınimo de F coincidem com os pontos de m´ınimo de ϕ. c) Mostre por meio de um exemplo que, omitindo a hip´ otese f (x) > 0, ∀x∈R , F pode admitir m´ aximos e m´ınimos em pontos onde ϕ n˜ ao admita extremos. (Grupo II do Exame de 2a ´ epoca de 7/2/79)

6.48 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e φ o seu integral indefinido com origem no ponto 0. a) Se φ tem m´ aximo no ponto a, qual ´e o valor de f (a)? Justifique cuidadosamente a resposta. b) Prove que, se φ(c) = 0, sendo c 6= 0, f tem pelo menos uma raiz real, com o mesmo sinal de c. c) Mostre que, sendo a > 0 e I = [0, a], max |φ(x)| ≤ a max |f (x)| x∈I

x∈I

e dˆe um exemplo de uma fun¸ca ˜o f para a qual se verifique a igualdade, qualquer que seja o ponto a > 0. (Pergunta 4 da Prova de 2a ´ epoca de 18/12/72)

Resolu¸ c˜ ao: Rx a) Sendo f cont´ınua em R, φ(x) = 0 f (t) dt ´e diferenci´ avel em R, sendo φ0 (x) = f (x). Ora se uma fun¸ca ˜o φ ´e diferenci´ avel em R e tem um m´ aximo em a ent˜ ao necess´ ariamente φ 0 (a) = 0, pelo que f (a) = 0. b) O teorema do valor m´eRdio e a continuidade de f garantem que existe um α no intervalo de c extremos 0 e c tal que 0 f (t) dt = f (α)(c − 0). Ora, se φ(c) = 0, ent˜ ao f (α)c = 0 e, como c 6= 0, tem-se f (α) = 0. Como α est´ a no intervalo entre 0 e c, tem o sinal de c. R x Rx Ra c) Para todo o x ∈ I tem-se |φ(x)| = 0 f (t) dt ≤ 0 |f (t)| dt ≤ 0 |f (t)| dt ≤ a maxt∈I |f (t)|. Logo maxt∈I |φ(x)| ≤ a maxt∈I |f (t)|. Qualquer fun¸ca ˜o constante verifica a igualdade. 6.49 Supondo que f ´e uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R e tal que, para qualquer x ∈ R, os valores f (x) e f 0 (x) s˜ ao ambos negativos, considere a fun¸ca ˜o g definida em R pela f´ ormula: g(x) =

Z

x2 −4x+3

f (t) dt.

0

1. Determine os intervalos em que g ´e mon´ otona, os seus pontos de m´ aximo ou de m´ınimo e as ra´ızes da equa¸ca ˜o g(x) = 0. Estude ainda o sentido da concavidade do gr´ afico de g. 2. A fun¸ca ˜o g ´e majorada? E minorada? Justifique. (Grupo IIIa do Exame de 2/10/80)

121

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.50 Sendo ϕ uma fun¸ca ˜o cont´ınua e positiva em R e Ψ(x) =

Z

x2

∀x∈R .

ϕ(t) dt, x

1. Estude o sinal de Ψ(x). 2. Justifique que Ψ ´e diferenci´ avel e calcule Ψ0 . 3. Prove que Ψ ´e estritamente decrescente no intervalo ] − ∞, 0[. 4. Justifique que Ψ tem m´ınimo (absoluto) e, designando esse m´ınimo por m, prove que se verifica necess´ ariamente a rela¸ca ˜o: |m| ≤

1 max ϕ(x). 4 x∈[0,1] (Grupo IIIb do 2o Teste de 28/7/80)

1−cos x 6.51 Sendo se x 6= 0 e ϕ(0) = 0, considere a fun¸ca ˜o g, definida pela f´ ormula: R x ϕ(x) = x2 g(x) = 0 ϕ(u) du (x ∈ R). Nestas condi¸co ˜es:

1. Justifique que a fun¸ca ˜o g ´e ´ımpar.

2. Determine g 0 (x) para x 6= 0 e ainda g 0 (0); justifique as respostas. 3. Indique as abcissas dos pontos em que o gr´ afico de g tem tangente horizontal. Justifique que g ´e estritamente crescente. 4. Justifique que g ´e limitada. (Grupo IIIb do Exame Final de 18/9/80)

6.52 Justifique que a f´ ormula ϕ(x) =

Z

x2

e−

√ t

dt

0

define uma fun¸ca ˜o ϕ : R → R. Mostre que ϕ ´e uma fun¸ca ˜o par. Calcule a derivada de ϕ nos seus pontos de diferenciabilidade, e estude ϕ quanto ao crescimento e convexidade. Sendo a um n´ umero positivo tal que ex > x4 para todo o x > a, determine em fun¸ca ˜o de a, um majorante do limx→+∞ ϕ(x). (Grupo IVb da Prova de 18/9/79)

6.53 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e tal que f (x) > 0 qualquer que seja x ∈ R e seja Z x f (t) dt, ∀x∈R . g(x) = 0

a) Justifique que g ´e diferenci´ avel em R. Qual ´e o valor da derivada de g num ponto a ∈ R? b) Mostre que g ´e estritamente crescente e que, para todo o x ∈ R \ {0}, xg(x) > 0. c) Prove que, se f (x) tem limite positivo quando x → +∞, ent˜ ao limx→+∞ g(x) = +∞ e mostre, por meio de exemplos, que, se f (x) tender para zero quando x → +∞, o limite de g(x) quando x → +∞ pode ser finito ou +∞. (Pergunta 4 da Prova de 1/8/72)

122

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW 6.54 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e seja g a fun¸ca ˜o definida pela f´ ormula g(x) =

Z

x+1

f (t) dt, 0

∀x∈R .

a) Justifique que g ´e diferenci´ avel em R e indique, justificando, o valor de g 0 (x). b) Prove que, se limx→+∞ f (x) = 0, ent˜ ao tamb´em limx→+∞ [g(x) − g(x − 1)] = 0. c) Mostre, por meio de um exemplo, que pode verificar-se a igualdade lim [g(x) − g(x − 1)] = 0

x→+∞

sem que f (x) tenha limite quando x → +∞. (Pergunta 4 da Prova de 4/9/72)

6.55 Seja f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e g a fun¸ca ˜o definida em R \ {0} pela igualdade Z 1 x g(x) = f (t) dt. x 0 a) Indique o valor de limx→0 g(x). Justifique cuidadosamente a resposta. b) Prove que g ´e uma fun¸ca ˜o constante (em R \ {0}) se e s´ o se f tamb´em o ´e (em R). c) Prove que o contradom´ınio de g est´ a contido no de f . d) Sendo α um dado n´ umero real, dˆe um exemplo de uma fun¸ca ˜o f (cont´ınua em R) sem limite quando x → +∞ e tal que limx→+∞ g(x) = α. (Pergunta 4 da Prova de 11/10/72)

Resolu¸ c˜ ao: a) Como f ´e cont´ınua em R, o seu integral indefinido ´e diferenci´ avel usando o Teorema Fundamental do C´ alculo, permitindo usar a regra de Cauchy para obter: Rx f (t) dt f (x) lim g(x) = lim 0 = lim = f (0). x→0 x→0 x→0 1 x Rx b) Se g for constante e igual a k vem: 0 f (t) dt = kx e por deriva¸ca ˜o f (x) = k para todo o x ∈ R. Reciprocamente, se f for constante o c´ alculo do integral permite obter que g toma o mesmo valor constante. c) Se α pertence ao contradom´ınio de g ent˜ ao existe β ∈ R\{0} tal que α = g(β) e portanto, usando Rβ o teorema do valor m´edio e a continuidade de f vem α = β1 0 f (t) dt = β1 (β − 0)f (ξ) = f (ξ); logo α pertence ao contradom´ınio de f . d) Seja f (t) = α + cos t. Ent˜ ao n˜ ao existe limt→+∞ f (t) e, no entanto, Z sen x 1 x (α + cos t) dt = α + lim lim = α. x→+∞ x→+∞ x 0 x

123

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.56 Considere a fun¸ca ˜o f (x) =

R 3x x

cos t t

dt.

a) Determine o seu dom´ınio e mostre que ´e par. b) Mostre ainda que ´e diferenci´ avel e calcule a sua derivada. c) Mostre que existe um ε > 0 tal que f |]0,ε[ ´e mon´ otona e limitada. d) Que pode concluir quanto a ` existˆencia de limite da fun¸ca ˜o f na origem? (Grupo III da Prova de 4/2/80)

6.57 Seja f uma fun¸ca ˜o real definida e diferenci´ avel no intervalo [0, +∞[ e tal que: f (0) = 0;

f 0 (x) > 0 ∀x∈[0,+∞[ .

lim f (x) = +∞;

x→+∞

1. Mostre que f −1 ´e integr´ avel no intervalo [0, b], ∀b>0 . 2. Prove (analiticamente) que, qualquer que seja t ∈ [0, +∞[ tf (t) =

Z

t

f+ 0

Z

f (t)

f −1 0

e aproveite o resultado para mostrar que, quaisquer que sejam a, b ∈ [0, +∞[ ab ≤

Z

a

f+ 0

Z

b

f −1 . 0

(Grupo IVb do Exame Final de 25/9/78)

y

y PSfrag replacements b

f (a) PSfrag replacements b

f (a)

a

f −1 (b)

f −1 (b) x

a

x

Figura 6.1: Os casos b > f (a) e b < f (a).

Resolu¸ c˜ ao: 1. Nas condi¸co ˜es do enunciado, f ´e uma fun¸ca ˜o estritamente crescente e cont´ınua em [0, +∞[. Al´em disso, como limt→+∞ f (t) = +∞ e f (0) = 0, o teorema do valor interm´edio garante que o seu contradom´ınio ´e [0, +∞[. Assim, existe f −1 : [0, +∞[→ [0, +∞[. Pelo teorema de continuidade da inversa, f −1 tamb´em ´e cont´ınua e portanto integr´ avel em qualquer intervalo [0, b] com b > 0. 124

6.2. TEOREMA FUNDAMENTAL. REGRA DE BARROW y

y = f −1 (x)

y = f (x)

PSfrag replacements

x Figura 6.2: Simetria do gr´ afico de uma fun¸ca ˜o f e da sua inversa f −1 relativamente a ` bissectriz do o 1 quadrante.

2. Considere-se temos:

R f (t) 0

Z

f −1 (u) du e fa¸camos neste integral a mudan¸ca de vari´ avel u = f (v). Ob-

f (t)

f

−1

t

Z

Z

t

vf 0 (v) dv (f (v))f (v) dv = 0 0 Z t Z t t = vf (v)|0 − f (v) dv = tf (t) − f (v) dv.

(u) du =

0

f

−1

0

0

0

Rt R f (t) Ra Ent˜ ao tf (t) = 0 f (v)dv + 0 f −1 (u) du. Se interpretarmos graficamente os n´ umeros 0 f R b −1 e 0f veremos que eles correspondem a `s medidas das a ´reas a diferentes tons de cinzento na figura 6.1. Esta interpreta¸ca ˜o geom´etrica resulta do facto dos gr´ aficos de f e f −1 se relacionarem (uma vez escolhidas as mesmas unidades de medida nos dois eixos), atrav´es de uma simetria em rela¸ca ˜o a ` bissectriz do primeiro quadrante como se ilustra na figura 6.2. No caso de ser b = f (a) ´e claro que:

ab = af (a) =

Z

a

f+ 0

Z

f (a)

f −1 =

0

Z

a

f+ 0

Z

b

f −1 .

0

Se b > f (a): ab = a(f (a) + b − f (a)) = af (a) + a(b − f (a)) Z a Z f (a) Z b = f+ f −1 + f −1 (f (a)) dt 0

≤

Z

=

Z

0

a

f+ 0 a

f+ 0

Z Z

f (a)

f (a)

f −1 +

0 b

Z

b

f −1

f (a)

f −1 ,

0

em que no pen´ ultimo passo us´ amos o facto de f −1 ser crescente. 125

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN Se b < f (a) (e portanto f −1 (b) < a): ab = (f −1 (b) + a − f −1 (b))b = f −1 (b)b + (a − f −1 (b))b Z f −1 (b) Z f (f −1 (b)) = f+ f −1 + (a − f −1 (b))b 0

=

Z

≤

Z

=

Z

=

Z

0

f −1 (b)

f+ 0 f −1 (b)

f+ 0 f −1 (b)

f+ 0 a

f+ 0

Z

b

Z Z Z

b

0

f −1 + (a − f −1 (b))b

b

f

−1

+

0

Z

a

f+ f −1 (b)

a

f f −1 (b)

Z

b

f −1

0

f −1 .

0

onde tamb´em utiliz´ amos o teorema do valor m´edio, o facto de f ser crescente e a desigualdade: Z a f ≥ (a − f −1 (b)) −1 min f = (a − f −1 (b))f (f −1 (b)) = (a − f −1 (b))b. f −1 (b)

[f

(b),a]

Se b > f (a) podemos usar o caso anterior aplicado a f −1 .

6.58 a) Para cada α > 0 e cada x ≥ 0 existe

Rα

tx e−t dt. Porquˆe?

0

Rα b) Mostra-se que existe limα→+∞ 0 tx−1 e−t dt (para x ≥ 1) e representa-se por Γ(x). Mostre que tem lugar a rela¸ca ˜o Γ(x + 1) = xΓ(x) para x ≥ 1. Calcule Γ(1). O que pode dizer de Γ(n) com n ∈ N1 ? (Grupo IVb da Prova de 7/74)

6.59 Sendo f uma fun¸ca ˜o cont´ınua em R e a ∈ R, designa-se por Ia f o integral indefinido de f com origem no ponto a. a) Utilizando o m´etodo de integra¸ca ˜o por partes, mostre que Ia (Ia f ) (que designaremos por Ia2 f ) ´e dado pela seguinte express˜ ao: Z x (Ia2 f )(x) = (x − t) f (t) dt. a

b) Sendo D o operador de deriva¸ca ˜o, mostre que D(Ia f ) = f

e

D2 (Ia2 f ) = f.

c) Supondo agora f com segunda derivada cont´ınua em R, mostre que Ia2 (D2 f ) ´e o resto da f´ ormula de Taylor resultante da aproxima¸ca ˜o de f pelo seu polin´ omio de Taylor de grau ≤ 1 no ponto a. [Sugest˜ ao: pode ser-lhe u ´til o resultado obtido na al´ınea a) e uma nova utiliza¸ca ˜o da integra¸ca ˜o por partes]. (Grupo III da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 18/9/80)

126

´ ´ ´ 6.3. CALCULO DE AREAS, COMPRIMENTOS DE LINHA E VOLUMES DE SOLIDOS DE ˜ REVOLUC ¸ AO Resolu¸ c˜ ao: a) Como (Ia f )(x) =

Rx a

f (t) dt vem

(Ia (Ia f ))(x) =

Z

x a

Z

t

f (u) du a



dt =

Z

x

(1 a

Z

t

f (u) du) dt a

Z t Z x Z x Z x =t f (u) du|xa − tf (t) dt = x f (u) du − tf (t) dt a a a a Z x Z x Z x = xf (t) dt − tf (t) dt = (x − t)f (t) dt. a

a

a

b) (D(Ia f ))(x) = D

x

Z

f (t) dt



= f (x)  x 2 2 2 (D (Ia f ))(x) = D (x − t)f (t) dt =   aZ x Z x 2 tf (t) dt = f (t) dt − =D x a Z x a  =D f (t) dt + xf (x) − x f (x) = f (x) Za

a

c) Da al´ınea (a) temos: (Ia2 f 00 )(x)

Z

x

Z

x

(−1)f 0 (t) dt (x − t)f (t) dt = (x − t)f − a a Z x = −(x − a)f 0 (a) + f 0 (t) dt = −(x − a)f 0 (a) + f (x) − f (a).

=

00

0

(t)]xa

a

0

Ent˜ ao f (x) = f (a)+(x−a)f o que permite concluir imediatamente que Ia2 D2 f ´e o resto da f´ ormula de Taylor referida no enunciado.

6.3

(a)+(Ia2 f 00 )(x),

C´ alculo de ´ areas, comprimentos de linha e volumes de s´ olidos de revolu¸ c˜ ao

6.60 Calcule a a ´rea da regi˜ ao plana definida pelas seguintes condi¸co ˜es:  x  y < e , y > log x,   1 ≤ x ≤ e.

(Grupo I1 da Prova de 2/12/76)

Resolu¸ c˜ ao: Como temos ex > log x para todo o x > 0 a a ´rea ´e dada por Z e (ex − log x) dx = [ex − x(log x − 1)] |e1 = ee − e − 1. 1

127

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.61 Calcule a a ´rea da regi˜ ao plana definida pelas condi¸co ˜es x2 + y 2 ≤ 4 e y ≥

√

3x2 .

(Grupo IIb da Prova de 11/9/78)

6.62 Calcule a a ´rea da regi˜ ao do plano XOY limitada pelo gr´ afico da fun¸ca ˜o y = arctg x e pelas rectas de equa¸ca ˜o x = 1 e y = 0. (Pergunta 4a da Prova de 7/74)

6.63 Determine a a ´rea da regi˜ ao plana constitu´ıda pelos pontos (x, y) ∈ R 2 que satisfazem as condi¸co ˜es seguintes: π 2 π x , y ≤ arctg x. 0≤y≤ , y≥ 4 16 (Grupo Ic da Prova de 4/2/80)

6.64 Calcule a a ´rea da regi˜ ao contida no semiplano x ≥ 0 e limitada pelas linhas de equa¸co ˜es y = arctg x e y = π4 x. (Pergunta 2b do Ponto no 5 de 25/10/71)

6.65 Calcule a a ´rea do conjunto A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 ∧ x arctg x ≤ y ≤

π 4 x}.

(Grupo IIc do Exame Final de 18/9/80)

6.66 Calcule a a ´rea da regi˜ ao plana limitada pelas linhas de equa¸co ˜es x = 0, x = 2y e y =

1 1+x2 .

(Grupo Ia da Prova de 18/9/79)

6.67 Determine a a ´rea do conjunto dos pontos (x, y) cujas coordenadas verificam as condi¸co ˜es: 0 ≤ x ≤ 1 e arcsen x ≤ y ≤ 2 arctg x. (Grupo IIa do 2o Teste de 28/7/80)

6.68 Calcule a a ´rea do conjunto limitado pelos arcos das curvas de equa¸co ˜es y = x 2 e y = x2 cos x compreendidos entre a origem e o ponto de menor abcissa positiva em que as duas curvas se intersectam. (Pergunta 2b do Ponto no 2 de 1/10/71)

Resolu¸ c˜ ao: Os pontos de intersec¸ca ˜o dos dois gr´ aficos tˆem por abcissas as solu¸co ˜es da equa¸ca ˜o x2 = x2 cos x que s˜ ao x = 0 e x = 2kπ (k ∈ Z). O ponto de intersec¸ca ˜o de menor abcissa positiva ´e pois x = 2π. A a ´rea pedida ´e ent˜ ao: A=

Z

2π 0

(x2 − x2 cos x) dx =

1 3 2π x ] − 3 0

Z

2π

x2 cos x dx =

0

8π 3 − 3

Z

2π

x2 cos x dx.

0

Ora Z

x2 cos x dx = x2 sen x − 2 2

Z

x2 sen x dx



= x sen x − 2 x(− cos x) − = x2 sen x + 2x cos x + sen x pelo que A =

8π 3 3

− 4π. 128

Z

(− cos x) dx



=

´ ´ ´ 6.3. CALCULO DE AREAS, COMPRIMENTOS DE LINHA E VOLUMES DE SOLIDOS DE ˜ REVOLUC ¸ AO 6.69 Calcule a a ´rea do conjunto dos pontos P (x, y), cujas coordenadas verificam as condi¸co ˜es 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ cos(log x). (Na primitiva¸ca ˜o pode utilizar de in´ıcio a substitui¸ca ˜o x = e t ). (Pergunta 2b da Prova de 11/10/72)

6.70 Calcule a a ´rea da regi˜ ao do plano limitada pelos arcos das curvas de equa¸co ˜es: y = log x e y = log2 x compreendidos entre os pontos de intersec¸ca ˜o das duas curvas. (Grupo IIb do Exame de 2/10/80)

6.71 Calcule o valor de a ∈ [1, +∞[ por forma a que a a ´rea da parte colorida na figura 6.3 seja igual a π. y x2 + y 2 /a2 = 1 x2 + y 2 = 1

x PSfrag replacements

Figura 6.3: A figura do exerc´ıcio 6.71. (Grupo Ib do Exame de 2a ´ epoca de 7/2/79)

Resolu¸ c˜ ao: Designando a a ´rea pretendida por A temos A=

Ora

R

cos2 t dt =

1 2

R

Z

1 −1

Z  p  p 2 2 a 1 − x − 1 − x dx =

= (a − 1)

Z

= (a − 1)

Z

1

−1 π 2

Z p 1 − x2 dx = (a − 1)

1 −1 π 2

−π 2

(a − 1) p

p 1 − x2 dx

1 − sen2 t cos t dt

cos2 t dt.

−π 2

(1 + cos 2t) dt = 12 (t +

1 2

sen 2t) pelo que:

 π2 1 1 A = (a − 1) (t + sen 2t) 2 2 −π 2    π 1 1 π 1 + sen π − − + sen(−π) = (a − 1) 2 2 2 2 2 π = (a − 1). 2 

129

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN

Querendo que

π 2 (a

− 1) = π ter´ a de ser a = 3.

6.72 Calcule a a ´rea do conjunto de todos os pontos (x, y) cujas coordenadas verificam as condi¸co ˜es: p |x| ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 − x4 . (Pergunta 2b da Prova de 4/11/72)

6.73 Considere duas circunferˆencias de raio igual a 1, com centro nos pontos (0, 0) e (1, 0), que limitam dois c´ırculos no plano. Determine a a ´rea do conjunto reuni˜ ao desses c´ırculos. (Pergunta 2b da Prova de 5/7/71)

6.74 Calcule a a ´rea do conjunto limitado pelos arcos das curvas de equa¸co ˜es y = x sen x e y = x cos x, compreendidos entre a origem e o ponto de menor abcissa positiva em que as duas curvas se intersectam. (Pergunta 2a do Ponto no 1 de 1/10/71)

6.75 Determine a a ´rea da “regi˜ ao” do plano definida pelas condi¸co ˜es: p − x2 + x ≤ y ≤

1+

1 √ x+1

e

0 ≤ x ≤ 1. (Grupo IIb do 1o Teste de 11/9/79)

6.76 Determine a a ´rea do conjunto de menor a ´rea limitado pela elipse de equa¸ca ˜o: x2 y2 + =1 4 2 e pela par´ abola x2 = 2y. (Pergunta 2b da Prova de 6/7/71)

y

PSfrag replacements

y = x2 /2

1

−2

√ − 2

0

√ 2

2

Figura 6.4: O conjunto no exerc´ıcio 6.76.

130

x

´ ´ ´ 6.3. CALCULO DE AREAS, COMPRIMENTOS DE LINHA E VOLUMES DE SOLIDOS DE ˜ REVOLUC ¸ AO Resolu¸ c˜ ao: O conjunto referido ´e o que est´ a colorido na figura 6.4. ˜o da qOs pontos de intersec¸ca √ x2 x2 par´ abola e da elipse tˆem por abcissa as solu¸co ˜es da equa¸ca ˜o 2 = 2(1 − 4 ) que s˜ ao x = 2 e √ x = − 2. Aa ´rea pedida ´e pois ! √ r  Z √2 s  √ Z 2 x2 x2 2√ x2 A= √ 2 1− − dx = 2 √ 1− 2. dx − 4 2 4 3 − 2 − 2 Ora Z

√ 2 √ − 2

r

1−

 x 2 2

dx = 2

Z

√ 2 2

−

√ 2 2

p

1 − y 2 dy = 2

Z

π 4

cos2 t dt =

−π 4

     π4  π 1 π π 1 1 = − − − = + 1. + = t + sen 2t 2 4 2 4 2 2 π − 4

Logo √ Z A= 2

√ 2 √ − 2

r

 2√ √ π x2 2√ 1− 2= 2 2= dx − +1 − 4 3 2 3



1 π + 2 3



√

2.

6.77 Determine a a ´rea ˜es: √ do conjunto dos pontos (x, y) cujas coordenadas verificam as condi¸co y 2 − x2 ≥ a2 e |y| ≤ a 2 com a > 0. (Pergunta 3b da Prova de 19/7/71)

6.78 Determine a a ´rea do conjunto de todos os pontos (x, y) cujas coordenadas verificam as condi¸co ˜es: x2 + y 2 ≤ 10 e |x| + |y| ≥ 4. (Pergunta 3b da Prova de 20/7/71)

6.79 Seja A o conjunto dos pontos P (x, y) cujas coordenadas verificam as condi¸co ˜es: 0 ≤ y ≤ log x

e

x≤a

(onde a designa um n´ umero real maior do que 1). a) Calcule a a ´rea de A. b) Calcule o comprimento da linha (formada por um arco de curva e dois segmentos de recta) que “limita” o conjunto A. (Pergunta 1 da Prova de 4/9/72)

Resolu¸ c˜ ao: a) A a ´rea de A ´e dada por

Ra 1

a

log x dx = [x log x]|1 = a log a.

b) O comprimento do arco de curva ´e: a

a

r

1 1 + ((log x)0 )2 dx = 1 + 2 dx = x 1 1 Z ar Z a p 1 1 + x2 = dx = 1 + x2 dx. x2 1 1 x

C=

Z

Z

p

131

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN y PSfrag replacements

1 y = log x

0 1

1

a

x

A Figura 6.5: A regi˜ ao A no exerc´ıcio 6.79.

√ A√ substitui¸ ca ˜o x = t2 − 1 (que define uma aplica¸ca ˜o bijectiva e diferenci´ avel do intervalo √ [ 2, 1 + a2 ] no intervalo [1, a]) conduz a p

e portanto

1 + x2 = t,

dx t =√ dt t2 − 1

Z √1+a2 t2 1p dt 1 + x2 dx = √ C= t2 − 1 2 1 x   √1+a2 Z √1+a2  1 1 1 1 1 t−1 = √ 1+ dt = t + log − 2t−1 2t+1 2 t + 1 √2 2 √ √ p 1 1 + a2 − 1 √ 2−1 1 . = 1 + a2 + log √ − 2 − log √ 2 2 2+1 1 + a2 + 1 Z

a

Os dois segmentos tˆem comprimentos a − 1 e log a pelo que o comprimento total da linha ´e: (a − 1) + log a + C.

6.80 a) Calcule a a ´rea da regi˜ ao plana “limitada” pela curva de equa¸ca ˜o y = log x e pela recta que intersecta aquela curva nos pontos de abcissa 1 e e. b) Calcule o comprimento da linha que “limita” essa regi˜ ao. (Grupo III do 1o Teste de 20/7/78)

6.81 Seja A o conjunto dos pontos P (x, y) cujas coordenadas verificam a condi¸ca ˜o: x2 ≤ y ≤ x + 2. a) Calcule a a ´rea de A. b) Calcule o comprimento da linha (formada por um segmento de recta e um arco de par´ abola) que “limita” o conjunto A. (Pergunta 1 da Prova de 1/8/72)

132

´ ´ ´ 6.3. CALCULO DE AREAS, COMPRIMENTOS DE LINHA E VOLUMES DE SOLIDOS DE ˜ REVOLUC ¸ AO 6.82 Considere a regi˜ ao plana limitada pelas linhas de equa¸ca ˜o y = x + 1 e y = (x − 1) 2 . Calcule: a) a sua a ´rea; b) o comprimento da linha que limita essa regi˜ ao. (Pergunta 1b da Prova de 23/2/79)

6.83 Fa¸ca um esbo¸co da regi˜ ao plana A definida por:  A = (x, y) : −1 ≤ x ≤ 1 ∧ x2 − 1 ≤ y ≤ arccos x

e determine a sua a ´rea. Calcule o comprimento da linha que limita a regi˜ ao B = A ∩ {(x, y) : y ≤ 0}. (Grupo II da Prova de 22/9/78)

6.84 Fa¸ca um esbo¸co da regi˜ ao plana definida por:  A = (x, y) : | sen x| ≤ y ≤ ch2 x ∧ 0 ≤ x ≤ 2π

e determine a sua a ´rea. Calcule o comprimento da linha que “limita superiormente” a regi˜ ao A (de uma forma mais precisa, a linha definida pela equa¸ca ˜o y = ch2 x com x ∈ [0, 2π]). Nota — Na resolu¸ca ˜o desta quest˜ ao poder˜ ao ser-lhe u ´teis as seguintes igualdades: ch2 x − sh2 x = 1

e

sh(2x) = 2 sh x ch x. (Grupo I da Prova de 9/10/78)

6.85 Determine o comprimento do gr´ afico das seguintes fun¸co ˜es, entre os pontos considerados: a) y =

x4 4

+

1 8x3

entre os pontos x = 1 e x = 2.

b) y = ch x entre os pontos de abcissas 0 e x. (Grupo I2 da Prova de 2/12/76)

6.86 Calcule o comprimento do arco da curva de equa¸ca ˜o y=

x − 3√ x 3

compreendido entre os pontos de abcissas 0 e 1. (Pergunta 1b do Ponto no 3 de 1/10/71)

6.87 Calcule o comprimento do arco de curva de equa¸ca ˜o r x−6 x y= 3 2 compreendido entre os pontos de abcissas 0 e 2. (Pergunta 1b do Ponto no 4 de 1/10/71)

133

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.88 Calcule o comprimento do arco da curva de equa¸ca ˜o y = log(cos x) compreendido entre os pontos de abcissas 0 e

π 3.

(Pergunta 2a da Prova de 11/10/72)

6.89 Calcule o comprimento do arco da curva de equa¸ca ˜o y=

a x x
e a + e− a 2

compreendido entre os pontos de abcissas 0 e a.

(Pergunta 2c de uma Prova de An´ alise Matem´ atica II)

6.90 Determine o comprimento do arco da curva de equa¸ca ˜o y = log

ex − 1 ex + 1

compreendido entre os pontos de abcissas a e b com 0 < a < b. (Grupo IIb do 2o Teste de 28/7/80)

Resolu¸ c˜ ao: O comprimento ´e dado por: v s 0 !2 2   x Z b Z bu u ex − 1 e + 1 ex (ex + 1) − ex (ex − 1) t1 + dx = dx log x 1+ e +1 ex − 1 (ex + 1)2 a a s  2 Z b Z bs 2ex 4e2x = dx = 1+ 1 + dx e2x − 1 (e2x − 1)2 a a Z b 2x Z b 2x 2e − (e2x − 1) e +1 dx = dx = 2x − 1 e2x − 1 a a e   Z b 2e2x e2b − 1 = −1 + 2x . dx = a − b + log e −1 e2a − 1 a

6.91 Seja g a fun¸ca ˜o definida em [0, 1] por g(x) = x2 . Calcule: a) A a ´rea limitada pelo gr´ afico de g, pelo eixo dos xx e pelas rectas de equa¸co ˜es x = 0 e x = 1. b) O comprimento do gr´ afico de g. c) O volume do s´ olido de revolu¸ca ˜o gerado pela rota¸ca ˜o do gr´ afico de g em torno do eixo dos xx. (Grupo II2 do Exame de 18/7/77)

Resolu¸ c˜ ao: a) Como x2 ≥ 0

Z

1 0

x2 dx =

1 1 3 x=1 x x=0 = . 3 3

134

´ ´ ´ 6.3. CALCULO DE AREAS, COMPRIMENTOS DE LINHA E VOLUMES DE SOLIDOS DE ˜ REVOLUC ¸ AO y 1 y = x2

PSfrag replacements

0 1

x

Figura 6.6: A regi˜ ao no exerc´ıcio 6.91

b) O comprimento ser´ a dado por (note a mudan¸ca de vari´ avel 2x = sh y): Z

1 0

p

1 + (g 0 (x))2 dx = =

Z

Z

1 0

p 1 + 4x2 dx

argsh 2 0

Z q 1 argsh 2 2 1 2 ch y dy 1 + sh y ch y dy = 2 2 0

Z 1 argsh 2 1 y=argsh 2 = (1 + ch 2y) dy = (2y + sh 2y)|y=0 4 0 8 1 1 1√ 1 5. = argsh 2 + 2 sh(argsh 2) ch(argsh 2) = argsh 2 + 4 8 4 2 c) O volume ser´ aπ

R1 0

g(x)2 dx = π

R1 0

x=1 x4 dx = π 51 x5 x=0 =

6.92 Seja ϕ a fun¸ca ˜o definida em R por: ϕ(x) =

π 5.

1 1+|x| .

a) Indique o dom´ınio de diferenciabilidade de ϕ e fa¸ca um esbo¸co do seu gr´ afico. b) Calcule o volume do s´ olido gerado pela rota¸ca ˜o em torno do eixo dos xx do gr´ afico da restri¸ca ˜o da fun¸ca ˜o ϕ ao intervalo [−1, 1]. (Grupo IVa e c do Exame de 23/3/1977)

135

CAP´ITULO 6. INTEGRAL DE RIEMANN

136

Cap´ıtulo 7

Introdu¸c˜ ao ` a An´ alise em Rn

7.1

Topologia e sucess˜ oes

7.1 Considere o subconjunto de R2 : D = {(x, y) : xy > 1}. 1. Indique um ponto interior, um ponto fronteiro e um ponto exterior ao conjunto D e diga se D ´e aberto, fechado, limitado, conexo. Justifique abreviadamente as respostas.

2. Dˆe um exemplo de uma sucess˜ ao de termos em D que convirja para um ponto n˜ ao pertencente a D. Seria poss´ıvel dar um exemplo de uma sucess˜ ao cujos termos n˜ ao pertencessem a D e que convergisse para um ponto deste conjunto? Porquˆe?

(Grupo Ia do 2o Teste de 30/7/79)

y y = 1/x 1 PSfrag replacements 1

0

1

2

Figura 7.1: O conjunto D no exerc´ıcio 7.1.

137

x

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN

Resolu¸ c˜ ao: 1. O conjunto D ´e f´ acil de conceber graficamente: ´e a regi˜ ao colorida na figura 7.1, n˜ ao incluindo os ramos de hip´erbole. Um ponto interior: (2, 1); um ponto fronteiro: (1, 1); um ponto exterior: (0, 0). D ´e aberto, pois dado a ∈ D sempre existe ε > 0 tal que Bε (a) ⊂ D. D n˜ ao ´e fechado pois (1, 1) ∈ D \ D. D n˜ ao ´e limitado pois n˜ ao existe nenhuma bola que contenha D, pois, por exemplo, (λ, λ) ∈ D para qualquer λ ≥ 1. D n˜ ao ´e conexo pois pode exprimir-se como a uni˜ ao de dois conjuntos separados, concretamente D = D+ ∪ D− com D+ = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1, x > 0},

D− = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1, x < 0}, D+ ∩ D− = ∅,

D− ∩ D+ = ∅.

2. (xn ) = ((1 + n1 , 1 + n1 )) ´e uma sucess˜ ao de elementos de D que converge para (1, 1) 6∈ D.

N˜ ao ´e poss´ıvel obter uma sucess˜ ao de termos em R2 \ D que convirja para um ponto de D, 2 pois R \ D ´e fechado, logo o limite de qualquer sucess˜ ao convergente de termos em R 2 \ D 2 estar´ a necessariamente em R \ D.

7.2 Sejam un e vn os termos gerais de duas sucess˜ oes de termos em Rp e suponha que un converge para o vector nulo e que vn ´e limitada. Nestas condi¸co ˜es, prove que a sucess˜ ao real un ·vn (produto interno de un por vn ) converge para 0. (Grupo IV do 2o Teste de 11/9/79)

7.3 Sendo A o conjunto de Rn+1  A = (x1 , . . . , xn , 0) ∈ Rn+1 : (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn

mostre que qualquer sucess˜ ao convergente an de termos em A tem como limite um elemento de A. (Grupo IIIb do Exame de 2a ´ epoca de 11/2/80)

7.4 Sejam A e B dois subconjuntos n˜ ao vazios de Rn e suponha-se que A ´e fechado. 1. Mostre que, se existir x ∈ Rn , uma sucess˜ ao xm de termos de A e uma sucess˜ ao ym de termos de B tais que xm → x e ym → x, ent˜ ao A e B n˜ ao s˜ ao separados. 2. Mostre por meio de um exemplo que a proposi¸ca ˜o anterior seria falsa se omitissemos a hip´ otese de A ser fechado. (Grupo IVa do Exame Final de 25/9/79)

Resolu¸ c˜ ao: 1. Com efeito, tem-se x ∈ A = A (A ´e fechado) e, por outro lado, x ∈ B, logo x ∈ A ∩ B donde A e B n˜ ao s˜ ao separados. 1 2. Basta considerar A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : x < 0} e xm = (− m , 0), 1 ao por´em separados. ym = ( m , 0) pois xm → (0, 0) e ym → (0, 0). A e B s˜

7.5 Sejam xn e vn os termos gerais de duas sucess˜ oes em Rp e admita que xn converge para z e 1 ˜es: que, qualquer que seja n ∈ N, kxn − yn k < n . Nestas condi¸co 138

˜ 7.1. TOPOLOGIA E SUCESSOES 1. Justifique que yn converge para z. 2. Supondo que A ⊂ Rp ´e tal que xn ∈ A e yn 6∈ A (qualquer que seja n), justifique que z ´e um ponto fronteiro do conjunto A. (Grupo IVa do Exame Final de 18/9/79)

7.6

1. Sejam A e B dois subconjuntos fechados de Rn verificando a condi¸ca ˜o seguinte: qualquer que seja n ∈ N1 existem pontos xn ∈ A e yn ∈ B tais que kxn − yn k < n1 . Prove que se um dos conjuntos A ou B for limitado, ent˜ ao A ∩ B 6= ∅.

2. Dˆe um exemplo (em R2 , se preferir) de conjuntos A, B fechados, disjuntos e tais que para todo o ε > 0 existam pontos x ∈ A e y ∈ B verificando a condi¸ca ˜o kx − yk < ε. (Grupo IIIb do 2o Teste de 30/7/79)

x2 A 1 PSfrag replacements 1

x1

1

0

B

Figura 7.2: Poss´ıveis conjuntos A e B na solu¸ca ˜o da al´ınea (b) do exerc´ıcio 7.6.

Resolu¸ c˜ ao: 1. Suponhamos que A ´e limitado; ent˜ ao A ´e um conjunto limitado e fechado pelo que ´e poss´ıvel extrair de (xn ) uma subsucess˜ ao convergente para certo x ∈ A. Seja (xnr ) uma tal subsucess˜ ao e provemos que (yn ) tamb´em admite uma subsucess˜ ao convergente para x. Com efeito, estimando a distˆ ancia de ynr a x: kynr − xk = kynr − xnr + xnr − xk ≤ kynr − xnr k + kxnr − xk 1 ≤ + kxnr − xk −→ 0, logo ynr → x. nr Como A e B s˜ ao fechados, tem-se x ∈ A ∩ B. 2. Basta considerar A = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x1 x2 ≥ 1},

B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 ≥ 0, x1 x2 ≤ −1}. Com efeito, como limx1 →+∞

1 x1

= 0, dado ε > 0 basta tomar x1 >

k(x1 , 1/x1 ) − (x1 , −1/x1 )k = k(0, 2/x1 )k = e (x1 , 1/x1 ) ∈ A, (x1 , −1/x1 ) ∈ B. 139

1 ε

para que se tenha:

2 < 2ε |x1 |

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN

7.2

Continuidade e limites

7.7 Considere a fun¸ca ˜o g : R2 → R2 cujas fun¸co ˜es coordenadas, g1 e g2 , s˜ ao definidas pelo sistema: p g1 (x, y) = 1 − x2 − y 2 g2 (x, y) = log |y − x2 |

e designe por D o seu dom´ınio. Represente geometricamente o conjunto D, determine o seu interior e a sua fronteira e indique, justificando, se D ´e aberto, fechado, limitado, conexo. (Grupo IIb do Exame Final de 18/9/79)

7.8 Sendo g uma aplica¸ca ˜o de A em B e C um subconjunto de B; designa-se correntemente por g −1 (C) o conjunto de todos os elementos x ∈ A tais que g(x) ∈ C. Considere uma fun¸ca ˜o cont´ınua f : Rn → Rm e um conjunto C ⊂ Rm e prove que: 1. Se C ´e aberto, f −1 (C) ´e aberto.

2. Se C ´e fechado, f −1 (C) ´e fechado. Mostre ainda que, sendo C conexo e limitado, f −1 (C) pode ser desconexo e ilimitado. (Grupo IVb do 2o Teste de 11/9/79)

7.9 Considere a fun¸ca ˜o f definida pela f´ ormula p f (x, y) = −y 2 + sen2 x e designe por D o seu dom´ınio.

a) Interprete geometricamente o conjunto D e determine a sua fronteira e o seu interior. b) Justificando abreviadamente as respostas, indique se D ´e aberto, fechado, limitado. O interior de D ´e conexo? Porquˆe? c) Estude a fun¸ca ˜o f , do ponto de vista da continuidade. Justifique que, em qualquer ponto (x, y) ∈ D, se verificam as desigualdades: 0 ≤ f (x, y) ≤ 1 e ainda que, qualquer que seja a sucess˜ ao (xn , yn ) de pontos de D, a sucess˜ ao real f (xn , yn ) tem subsucess˜ oes convergentes. (Grupo III do 2o Teste de 11/9/79)

Resolu¸ c˜ ao: a) A fun¸ca ˜o est´ a definida se e s´ o se o argumento da raiz quadrada for n˜ ao negativo, isto ´e,   D = (x, y) ∈ R2 : −y 2 + sen2 x ≥ 0 = (x, y) ∈ R2 : y 2 ≤ sen2 x  = (x, y) ∈ R2 : |y| ≤ | sen x| .

O conjunto D corresponde a ` regi˜ ao colorida na figura 7.3. Designando por ∂D a sua fronteira e int D o seu interior temos:  ∂D = (x, y) ∈ R2 : y = sen x ou y = − sen x ,  int D = (x, y) ∈ R2 : |y| < | sen x| .

b) D n˜ ao ´e aberto pois cont´em pontos, por exemplo (0, 0), que n˜ ao s˜ ao centro de nenhuma bola contida em D; D ´e fechado pois cont´em todos os seus pontos fronteiros; D n˜ ao ´e limitado pois n˜ ao existe r > 0 tal que Br (0) tal que D ⊂ Br (0); int D n˜ a o ´ e conexo pois, por exemplo, int D =  A ∪ B com A = (x, y) ∈ R2 : x > 0 e |y| < | sen x| e B = (x, y) ∈ R2 : x < 0 e |y| < | sen x| que s˜ ao dois conjuntos separados. 140

7.2. CONTINUIDADE E LIMITES

y

1 x

D PSfrag replacements

2π

−1

Figura 7.3: O dom´ınio D da fun¸ca ˜o f no exerc´ıcio 7.9.

c) f ´e cont´ınua em D pois ´e uma composi¸ca ˜o de fun¸co ˜es cont´ınuas: D

g −−−−−−−−−−−−→

R

+

(x,y) 7→ −y 2 +sen2 x

ϕ −−− −−→ √ u 7→

u

R,

f = ϕ ◦ g.

2 Se (x, y) ∈ D tem-se sen2 x ≥ y 2 e como 1 ≥ senp x ≥ y 2 vem 1 ≥ sen2 x ≥ sen2 x − y 2 ≥ 0; como 0 ≤ −y 2 + sen2 x ≤ 1, tamb´em f (x, y) = −y 2 + sen2 x verifica 0 ≤ f (x, y) ≤ 1 pelo que a sucess˜ ao (f (xn , yn )) tem termos em [0, 1], logo, do teorema de Bolzano-Weierstrass tem uma subsucess˜ ao convergente.

7.10 Prove que : a) Se K ´e um conjunto compacto e n˜ ao vazio de Rn , para cada fun¸ca ˜o f , cont´ınua em K e tal que f > 0, existe α > 0 tal que f (x) > α, ∀x∈K . b) Se K ⊂ Rn n˜ ao for limitado ou n˜ ao for fechado, existem fun¸co ˜es cont´ınuas e positivas em K, para as quais a propriedade anterior n˜ ao ´e v´ alida. (Grupo III do 2o Teste de 15/9/78)

Resolu¸ c˜ ao: a) Se K ´e compacto e a fun¸ca ˜o real f ´e cont´ınua em K segue do teorema de Weierstrass que o conjunto f (K) ´e compacto. Em particular, f (K) 6= ∅ ´e limitado logo tem ´ınfimo finito e, como ´e fechado, esse ´ınfimo ´e o m´ınimo. Se o designarmos por β e escolhermos α com β > α > 0 obtemos o resultado. b) Seja K1 = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : kxk ≤ 1, x1 > 0} e f (x) = kxk, ∀x ∈ K1 . A fun¸ca ˜o f ´e cont´ınua e positiva. O conjunto K1 ´e limitado mas n˜ ao ´e fechado e f (, 0, . . . , 0) = || → 0 quando  → 0.

1 Seja agora K2 = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 ≥ 1} e g(x) = kxk , ∀x ∈ K2 . A fun¸ca ˜o g tamb´em ´e cont´ınua e positiva. O conjunto K2 n˜ ao ´e limitado mas ´e fechado e g(1/, 0, . . . , 0) = || → 0 quando  → 0.

141

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN 7.11 Seja A um subconjunto n˜ ao vazio de Rn e b ∈ Rn ; chama-se distˆ ancia do ponto b ao conjunto A — designada por d(b, A) — ao ´ınfimo do conjunto formado pelas distˆ ancias de b a todos os pontos de A: d(b, A) = inf {kx − bk : x ∈ A} . Tendo em conta esta defini¸ca ˜o: a) Justifique que, se b ∈ A, d(b, A) = 0 e mostre por meio de um exemplo (que poder´ a ser dado em R ou R2 , se o preferir) que pode ter-se d(b, A) = 0 sem que seja b ∈ A. b) Prove que se A ´e fechado e se d(b, A) = 0 ent˜ ao b ∈ A. c) Justifique que, se A ´e n˜ ao vazio, limitado e fechado existe um ponto a ∈ A tal que d(b, A) = ka − bk. [Sugest˜ ao: tenha em conta a continuidade da aplica¸ca ˜o x → kx − bk]. d) Prove que o resultado da al´ınea anterior ´e ainda verdadeiro, supondo apenas que A ´e fechado e n˜ ao vazio. 7.12 Seja f a fun¸ca ˜o definida em R2 pela f´ ormula ( 3, se x2 + y 2 ≤ 1 f (x, y) = 1 − |x2 +y 2 −1| , se x2 + y 2 > 1. a+e Determine o n´ umero real a por forma a que f fique cont´ınua em R2 . (Grupo IIIa do Exame Final de 25/9/79)

Resolu¸ c˜ ao: Seja (x, y) ∈ R2 um ponto verificando x2 + y 2 = 1. Como se tem imediatamente lim

f (x, y) = 3

(x,y)→(x,y) x2 +y 2 ≤1

h´ a que determinar a por forma a que lim

f (x, y)

(x,y)→(x,y) x2 +y 2 >1

tamb´em seja igual a 3. Ora lim

(x,y)→(x,y)

lim

(x,y)→(x,y)

e

x2 + y 2 = x2 + y 2 = 1,

1 − |x2 +y 2 −1|

=0

e, portanto,

1

f (x, y) = a + lim e− u = a,

lim

u→0

(x,y)→(x,y) x2 +y 2 >1

u>0

pelo que deve ser a = 3. 7.13 Seja f a fun¸ca ˜o definida pela f´ ormula: f (x, y) = x log(xy) a) Indique o dom´ınio D de f , interprete-o geometricamente e determine o seu interior, o seu exterior e a sua fronteira; indique, justificando se D ´e

142

7.2. CONTINUIDADE E LIMITES 1o ) aberto

2o ) fechado

3o ) limitado

4o ) conexo.

b) A fun¸ca ˜o f ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio? Justifique. c) Mostre que, sendo S uma semirecta com origem no ponto (0, 0) e contida no dom´ınio D de f , o limite de f na origem relativo ao conjunto S, lim

f (x, y)

(x,y)→(0,0)

(x,y)∈S

toma o mesmo valor para toda a semirecta nas condi¸co ˜es indicadas. d) Mostre que n˜ ao existe lim(x,y)→(0,0) f (x, y). [Sugest˜ ao: pesquise o limite relativo ao subcon1 junto de D formado pelos pontos que pertencem a ` linha de equa¸ca ˜o y = e− x2 ]. 7.14 Mostre que n˜ ao existe lim(x,y)→(0,0)

xy x3 +y 2 .

(Grupo I2 da Prova de 17/10/77)

Resolu¸ c˜ ao: Basta encontrar duas curvas Γ1 , Γ2 passando por (0, 0) de forma a que lim

x3

(x,y)→(0,0)

(x,y)∈Γ1

xy xy 6= lim . 2 3 (x,y)→(0,0) +y x + y2 (x,y)∈Γ2

Com Γ1 = {(x, y) : y = x} e Γ2 = {(x, y) : y = −x} obt´em-se: lim (x,y)→(0,0)

(x,y)∈Γ1

lim (x,y)→(0,0)

(x,y)∈Γ2

xy x2 = lim = 1, x→0 x3 + x2 x3 + y 2

x3

xy −x2 = lim 3 = −1. 2 x→0 x + x2 +y

√ 7.15 Considere a fun¸ca ˜o f : D → R definida por f (x, y) = 1/ xy − 1 onde D = {(x, y) : xy > 1}. 1. Indique, justificando, os pontos em que f ´e cont´ınua. 2. Existir´ a algum ponto fronteiro ao conjunto D ao qual f possa prolongar-se por continuidade? Porquˆe? 3. Indique, justificando, o contradom´ınio de f . (Grupo Ib do 2o Teste de 30/7/79)

7.16 Considere uma aplica¸ca ˜o f : D ⊂ Rn → Rm . Mostre que se existirem n´ umeros reais positivos c, p, ε tais que: x ∈ Bε (a) ∩ D =⇒ kf (x) − f (a)k ≤ ckx − akp ent˜ ao a aplica¸ca ˜o f ´e cont´ınua em a. 7.17 Considerando f : R → R definida por: ( (log |x|)−1 , se 0 < x < 1, f (x) = 0, se x = 0, prove que a condi¸ca ˜o do problema anterior n˜ ao ´e necess´ aria para continuidade num ponto. 143

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN 7.18 Estude quanto a continuidade a fun¸ca ˜o f de R2 com valores em R definida por:  2 2 2  x , se x + y < 2y, f (x, y) = |x|, se x2 + y 2 = 2y,   2 y , se x2 + y 2 > 2y.

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 27/4/81)

7.19 Considere a fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por: f (0, 0) = 0 f (x, y) =

y − 2x2

1

(x2 + y 2 ) 2

, se (x, y) 6= (0, 0)

a) Prove que esta fun¸ca ˜o n˜ ao ´e cont´ınua em (0, 0). b) Considere a restri¸ca ˜o desta fun¸ca ˜o ao conjunto D = {(x, y) : |y| ≤ x2 }. Prove que esta restri¸ca ˜o de f ´e cont´ınua em (0, 0). c) Verifique que a conclus˜ ao da al´ınea anterior n˜ ao seria v´ alida se, em vez da restri¸ca ˜o a D, + consider´ assemos a restri¸ca ˜o a Dk = {(x, y) : |y| ≤ |x| } (k ∈ R ). k

7.3

Diferenciabilidade

7.20 Seja f a fun¸ca ˜o definida pela express˜ ao f (x, y) =

p

x/(x + y).

a) Determine o dom´ınio D de f e interprete-o geometricamente. b) Indique o interior, exterior e fronteira de D. Ser´ a D aberto? E fechado? c) Justifique que D n˜ ao ´e limitado nem conexo. d) Dˆe um exemplo de uma sucess˜ ao de elementos de D que convirja para um ponto n˜ ao pertencente a D. e) Calcule

∂2f ∂x2 (a, 0)

sendo a ∈ R, a 6= 0. (Grupo I1 da Prova de 15/9/78)

7.21 Considere uma fun¸ca ˜o real f , definida em R2 e tal que, para (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = 1 + xy

x2 − y 2 . x2 + y 2

1. Se f for cont´ınua na origem, qual ser´ a o valor de f (0, 0)? Justifique. 2. Calcule

∂f ∂x (a, 0)

e

∂f ∂y (a, 0),

onde a ´e um n´ umero real (para o caso a = 0, suponha f (0, 0) = 1). (Grupo IIIa do Exame Final de 18/9/79)

7.22 Determine o dom´ınio e calcule as derivadas parciais de cada uma das seguintes fun¸co ˜es: x sh y a) f (x, y) = p , x2 + y 2

b) g(x, y) =

Z

x2 y

2

e−t dt.

1

(Grupo I1 da Prova de 17/10/77)

144

7.3. DIFERENCIABILIDADE 7.23 Seja g uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R e G(x, y) = ∂2G ∂2G e . ∂x2 ∂y 2

R xy2 0

g(t) dt. Calcule

(Grupo IIIb do Exame de 23/2/79)

7.24 Seja f a fun¸ca ˜o definida pela express˜ ao f (x, y, z) = e

− x2 +y12 +z 2

.

a) Determine o dom´ınio D de f e interprete-o geometricamente. b) Indique o interior, exterior e fronteira de D. Ser´ a D aberto? E fechado? c) Dˆe um exemplo de uma sucess˜ ao de elementos de D que n˜ ao tenha subsucess˜ oes convergentes. d) Estude a fun¸ca ˜o f quanto a diferenciabilidade, calcule as fun¸co ˜es derivadas parciais e calcule 0 ainda f(1,−1,e) (0, 0, 1). (Grupo I da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 22/9/78)

7.25 Seja a = (a1 , a2 , . . . , an ) um vector unit´ ario de Rn e F (x) = ea·x para todo o x = n (x1 , . . . , xn ) ∈ R . a) Justifique que F ´e diferenci´ avel em Rn e calcule as (primeiras) derivadas parciais de F no ponto 0 = (0, 0, . . . , 0). b) Justifique que a derivada F 0 (0) ´e a aplica¸ca ˜o ϕ : Rn → R tal que ϕ(x) = a · x, para todo o n x∈R . c) Quanto vale o limite limx→0 d) Verifique que

∂2F ∂x21

+···+

ea·x −1−a·x ? kxk

∂2F ∂x2n

Porquˆe?

= F. (Grupo II duma Prova de An´ alise II)

Resolu¸ c˜ ao: a) F ´e uma fun¸ca ˜o composta de duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis, logo ´e diferenci´ avel: F = f ◦ ϕ com x 7→ ϕ(x) = a · x e u 7→ f (u) = eu . Como a · x = a1 x1 + · · · + an xn df ∂ϕ ∂F (x) = (a · x) (x) = ea·x ai ∂xi du ∂xi No ponto 0 vem:

∂F ∂xi (0)

para i = 1, . . . , n.

= ai .

b) Sendo h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn a a derivada de F em 0 ´e a aplica¸ca ˜o linear de Rn em R definida por   h1  ∂F  .  ∂F DF (0)h = ∂x1 (0) · · · ∂xn (0)  ..  = a · h. hn

145

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN

c) Como F ´e diferenci´ avel em 0, da defini¸ca ˜o de diferenciabilidade vem F (x) − F (0) − DF (0)x ea·x − 1 − a · x = lim = 0. x→0 x→0 kxk kxk lim

d) Como, para cada i = 1, . . . , n, ∂2F ∂ (x) = ∂x2i ∂xi



∂F (x) ∂xi



=

∂ (ea·x ai ) = ea·x a2i ∂xi

obtemos
∂2F ∂2F (x) + · · · + (x) = ea·x a21 + · · · + a2n = ea·x kak2 = ea·x = F (x). 2 2 ∂x1 ∂xn 7.26 Seja Q o conjunto dos racionais. Uma aplica¸ca ˜o f de R2 em R ´e definida por:   se x = 0, 0, 2 2 f (x, y) = x + y , se x 6= 0 e xy ∈ Q,   −(x2 + y 2 ), se x 6= 0 e xy 6∈ Q, a) Esta fun¸ca ˜o ´e diferenci´ avel na origem? Justifique.

b) Indique o conjunto dos pontos onde f ´e diferenci´ avel. c) Dado um ponto (a, b) ∈ R2 indique quais s˜ ao os vectores h 6= (0, 0) para os quais existe fh0 (a, b). (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 1978)

7.27 Seja f : R2 → R definida por: (p x2 + y 2 , se x + y > 0, f (x, y) = x + y, se x + y ≤ 0, a) Estude a diferenciabilidade de f em (0, 0). b) Determine, caso existam, as derivadas segundo o vector (1, 1) nos pontos (1, 1) e (1, −1). (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 20/3/82)

7.28 Seja g a fun¸ca ˜o definida em R2 pela express˜ ao: ( x + y, se xy > 0, g(x, y) = 0, se xy ≤ 0. a) Calcule

∂g ∂x (0, 0)

e

∂g ∂y (0, 0).

0 b) Calcule g(1,1) (0, 0). Que pode concluir quanto a ` diferenciabilidade de g no ponto (0, 0)?

(Grupo II1 da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 22/9/78)

146

7.3. DIFERENCIABILIDADE

Resolu¸ c˜ ao: a) N˜ ao podemos usar as regras de deriva¸ca ˜o usuais para calcular as derivadas parciais na origem mas, notando que a fun¸ca ˜o ´e identicamente nula sobre os eixos coordenados, conclu´ımos, usando a defini¸ca ˜o de derivada parcial, que as derivadas parciais de g s˜ ao nulas em (0, 0). b) Por defini¸ca ˜o, gv0 (a) = lim

t→0

g(a + tv) − g(a) , t

logo g((0, 0) + t(1, 1)) − g(0, 0) g(t, t) 2t = lim = lim = 2. t→0 t→0 t t t Pode concluir-se que g n˜ ao ´e diferenci´ avel em (0, 0) pois, se o fosse, ter-se-ia: 0 g(1,1) (0, 0) = lim

t→0

gv0 (0, 0) = ∇g(0, 0) · v =

∂g ∂g (0, 0)v1 + (0, 0)v2 ∂x ∂y

0 para qualquer v = (v1 , v2 ) ∈ R2 . Ora g(1,1) (0, 0) = 2 mas ∇g(0, 0) = 0.

7.29 Considere a fun¸ca ˜o de R2 com valores em R definida por: ( k x y se (x, y) 6= (0, 0), 2 2, f (x, y) = x +y 0, se (x, y) = (0, 0), com k ∈ Z. Estude f quanto a ` sua diferenciabilidade em (0, 0) em fun¸ca ˜o do parametro k.

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 14/3/81)

7.30 Seja ϕ uma fun¸ca ˜o real diferenci´ avel em R2 e tal que: ∀(x,y)∈R2

ϕ(x, y) = ϕ(y, x)

1. Prove que, em qualquer ponto (a, b) ∈ R2 , se verifica a igualdade ∂ϕ ∂ϕ (a, b) = (b, a). ∂x ∂y 2. Calcule

∂ϕ ∂v (c, c)

com c ∈ R e v = (1, −1). (Grupo IIIa do 2o Teste de 30/7/79)

7.31 Considere a fun¸ca ˜o f (x, y) = arctg

  x y .

1. Determine o seu dom´ınio, D, e mostre que f ´e diferenci´ avel em todos os pontos de D. 2. Calcule fx0 (x, y) e fy0 (x, y). 0 3. Determine f(h,h) (1, 1) com h 6= 0.

4. Mostre que f n˜ ao ´e prolong´ avel por continuidade a nenhum ponto da fronteira de D. (Grupo IIa do Exame de 2a ´ epoca de 11/2/80)

7.32 Seja f a fun¸ca ˜o definida em R2 por: f (x, y) = 147

p

|xy|.

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN a) Calcule as derivadas parciais de f no ponto (0, 0). b) Verifique se f ´e ou n˜ ao diferenci´ avel no ponto (0, 0). c) Indique, justificando, qual o dom´ınio de diferenciabilidade de f . d) Verifique se existe derivada de f segundo o vector (1, 1) nos seguintes pontos: (0, 0) e (3, 5). No caso de existir alguma delas indique o seu valor. (Grupo II da Prova de 17/10/77)

√ 7.33 Considere as fun¸co ˜es f , g, u, v : R2 → R definidas por: f (x, y) = x + log(cos y), g(x, y) = √ 2 2 2 sen x + log(y − 1), u(x, y) = log(y/x) + arcsen(x + y ), v(x, y) = log(x2 − y 2 ). a) Determine o dom´ınio de cada uma destas fun¸co ˜es. Indique o interior, fronteira, exterior de cada um daqueles conjuntos e classifique-os quanto a serem abertos ou fechados. b) Estude cada uma das fun¸co ˜es quanto a diferenciabilidade. c) Calcule, caso existam: π π , ,  4 4 1 1 D(1,1/2) u , , 2 2

D(h1 ,h2 ) f

D(2,−1) g

π π  , , 3 3

D(1,3) v(1, 0).

(Provas de An´ alise Matem´ atica III de 17/12/80, 5/1/81, 27/2/81 e 7/81)

7.34 Sendo n um n´ umero natural maior do que 2, considere a fun¸ca ˜o ϕ, definida em R \ {0} pela f´ ormula:   q ϕ(x) = kxk2−n kxk = x21 + · · · + x2n . a) Justifique que ϕ ´e diferenci´ avel em todos os pontos do seu dom´ınio.

b) Calcule as primeiras derivadas parciais de ϕ no ponto (1, 0, . . . , 0) e a derivada de ϕ no mesmo ponto segundo o vector v = (v1 , v2 , . . . , vn ). c) Verifique que, em qualquer ponto do dom´ınio de ϕ, n X ∂2ϕ j=1

∂x2j

= 0.

(Grupo II do 2o Teste de 11/9/79)

Resolu¸ c˜ ao: ∂ϕ (x) = (2−n)kxk1−n kxk−1 xj = (2−n)kxk−n xj existem e s˜ ao cont´ınuas a) As derivadas parciais ∂x j n em R \ {0}, logo ϕ ´e a´ı diferenci´ avel.

b) ∂ϕ (1, 0, . . . , 0) = (2 − n)δj1 , ∂xj ϕ0v (x) =

onde

δj1

=

(

1, se j = 1, 0, se j 6= 1.

n n X X ∂ϕ (x)vj = (2 − n)kxk−n xj v j . ∂xj j=1 j=1

Logo ϕ0v (1, 0, . . . , 0) = (2 − n)v1 .

148

7.3. DIFERENCIABILIDADE

c) ∂ 2ϕ ∂ (x) = ∂x2j ∂xj




∂ ∂ϕ = (2 − n)kxk−nxj ∂xj ∂xj    ∂ kxk−n xj + kxk−n = (2 − n) ∂xj

= (2 − n) −nkxk−n−1kxk−1 xj xj + kxk−n
= (2 − n)kxk−n −nkxk−2x2j + 1 .

Logo: n X ∂2ϕ j=1

∂xj



(x) = (2 − n)kxk−n −nkxk−2 = (2 − n)kxk

7.35 Seja F a fun¸ca ˜o definida por F (x, y) =

−n

R x2 y y

n X j=1

(−n + n) = 0.






x2j + n

dt log t .

a) Determine o dom´ınio de F e diga, justificando, se ele ´e aberto, fechado, compacto ou conexo. b) Justifique que F ´e diferenci´ avel em todo o seu dom´ınio e calcule as fun¸co ˜es derivadas parciais. (Grupo IV do Exame Final de 9/10/78)

7.36 Considere a fun¸ca ˜o g(x, y) =

Z

xy 2 −x y+2

f (t) dt t

em que f : R → R ´e uma fun¸ca ˜o cont´ınua e positiva em R. 1. Represente geometricamente o seu dom´ınio D. Determine o seu interior e a sua fronteira e indique, justificando, se D ´e aberto, fechado, limitado, conexo. 2. Indique, justificando, o dom´ınio de diferenciabilidade de g e calcule as suas derivadas parciais. (Grupo IIIa do Exame de 2a ´ epoca de 11/2/80)

7.37 Seja G uma fun¸ca ˜o de R2 em R, diferenci´ avel em R2 e sejam a e b n´ umeros reais, com a < b. a) Mostre que, se G(a, a) = G(b, b), ent˜ ao existe c ∈ ]a, b[ tal que G0(h,h) (c, c) = 0, qualquer que seja h ∈ R, h 6= 0. [Sugest˜ ao: Na resolu¸ca ˜o desta al´ınea poder´ a ser-lhe u ´til aplicar o Teorema de Rolle]. b) Mostre por meio de um exemplo que a proposi¸ca ˜o enunciada na al´ınea (a) seria falsa se se omitisse a hip´ otese de diferenciabilidade de G. (Grupo IV da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 22/9/78)

149

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN 7.38 Seja F : D ⊂ R2 → R2 definida por: F (x, y) =

xy , 1 − x2 − y 2

p

y2 − x x

!

a) Determine o dom´ınio de diferenciabilidade de F . Justifique. b) Calcule a derivada dirigida D(1,1) F (1, 2). Justifique o seu processo de c´ alculo. 7.39 Considere as fun¸co ˜es definidas em R2 com valores em R por: fp (x, y) = y p−1 D(x),

p ∈ {1, 2, 3},

em que D(x) =

(

1, se x 6∈ Q, 0, se x ∈ Q.

a) Estude quanto a continuidade f1 , f2 , f3 . b) Calcule as derivadas parciais de f3 e indique o seu dom´ınio. c) Mostre que

∂f3 ∂y

´e cont´ınua na origem e existe em R2 .

d) Usando o resultado anterior e a existˆencia de

∂f3 ∂x (0, 0)

mostre que f3 ´e diferenci´ avel em (0, 0).

e) Considere g : R3 → R definida por: g(x, y, z) = f3 (x, y)D(z). Pode usar o resultado utilizado avel em (0, 0, 0)? em (d) para provar que g ´e diferenci´ f) Prove que g ´e diferenci´ avel em (0, 0). 7.40 Seja f uma fun¸ca ˜o real definida em R2 por: ( 3 x se (x, y) 6= (0, 0), 2 2, f (x, y) = x +y 0, se (x, y) = (0, 0). a) Mostre que f ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio. b) Estude f quanto a diferenciabilidade no ponto (0, 0). c) Indique o maior subconjunto de R2 onde existem e s˜ ao iguais as derivadas parciais de segunda 00 00 ordem fxy e fyx . Justifique. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 27/2/81)

7.41 Dada a fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por: ( 2 2 y xx2 −y +y 2 , se (x, y) 6= (0, 0), f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0), calcule, quando existirem, as derivadas parciais D1,2 f (0, 0) e D2,1 f (0, 0). Depois de efectuados os c´ alculos conclua justificadamente sobre a continuidade de D1,2 f em (0, 0). (Prova de An´ alise Matem´ atica III)

150

˜ DA FUNC ˜ COMPOSTA 7.4. TEOREMA DA DERIVAC ¸ AO ¸ AO

Resolu¸ c˜ ao: Come¸camos por calcular D1 f (x, y) e D2 f (x, y). Se (x, y) 6= (0, 0) tem-se:

2x x2 + y 2 − x2 − y 2 2x 4xy 3 D1 f (x, y) = y = 2 2 (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 )

−2y x2 + y 2 − x2 − y 2 2y x2 − y 2 4x2 y 2 x2 − y 2 = + y − D2 f (x, y) = 2 2 2 x + y2 x2 + y 2 (x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) No ponto (0, 0): f (h, 0) =0 h 1 −h2 f (0, h) = lim h 2 = −1 D2 f (0, 0) = lim h→0 h h→0 h h D1 f (0, 0) = lim

h→0

Daqui sai: D2 f (h, 0) − D2 f (0, 0) 1 − (−1) = lim = ∞, h→0 h h (D1 f ) (0, h) − D1 f (0, 0) 0−0 0 D2,1 f (0, 0) = lim = lim = lim = lim 0 = 0. h→0 h→0 h→0 h h→0 h h

D1,2 f (0, 0) = lim

h→0

´ evidente que D1,2 f n˜ E ao ´e cont´ınua em (0, 0). Pode observar-se que tamb´em n˜ ao ´e cont´ınua na origem a derivada D2,1 f ; com efeito, existindo D1 f (x, y), D2 f (x, y) e D2,1 f (x, y) em todos os pontos de uma vizinhan¸ca da origem, se D2,1 f fosse cont´ınua em (0, 0) deveria ter-se D1,2 f (0, 0) = D2,1 f (0, 0). 7.42 Seja T : Rn × Rm → Rp uma aplica¸ca ˜o bilinear, i.e., para todos os αi ∈ R, xi ∈ Rn , yi ∈ Rp , (i = 1, 2): T (α1 x1 + α2 x2 , y1 ) = α1 T (x1 , y1 ) + α2 T (x2 , y1 ) T (x1 , α1 y1 + α2 y2 ) = α1 T (x1 , y1 ) + α2 T (x1 , y2 ). a) Mostre que existe M > 0 tal que: kT (x, y)k ≤ M kxkkyk

∀x∈Rn ∀y∈Rm .

b) Considerando no espa¸co produto Rn × Rm uma norma definida por k(x, y)k = kxk + kyk mostre que T ´e diferenci´ avel. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 27/11/82)

7.4

Teorema da deriva¸ c˜ ao da fun¸ c˜ ao composta

7.43 a) Sendo g : R2 → R2 a fun¸ca ˜o cujas fun¸co ˜es coordenadas g1 e g2 s˜ ao definidas pelo sistema: g1 (x, y) = x cos α − y sen α g2 (x, y) = x sen α + y cos α onde α ´e uma constante real, determine a matriz jacobiana de g num ponto arbitr´ ario de R 2 e calcule a derivada direccional da fun¸ca ˜o na direc¸ca ˜o e sentido do vector h = (cos θ, sen θ). 151

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN b) Sendo f : R2 → R uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R2 e tal que: ∀u∈R ∀v∈R

f (u, 0) = 0 f (0, v) = v

calcule fh0 (0, 0), onde h ´e o vector referido em a). Justifique a resposta. c) Sendo ϕ = f ◦ g, calcule:



∂ϕ (0, 0) ∂x

2



∂ϕ + (0, 0) ∂y

2 (Grupo III duma Prova de An´ alise II)

Resolu¸ c˜ ao: a) A derivada de g ´e 1 Dg(x, y) =

"

∂g1 ∂x (x, y) ∂g2 ∂x (x, y)

∂g1 ∂y (x, y) ∂g2 ∂y (x, y)

#

=



 cos α − sen α . sen α cos α

Como g ´e diferenci´ avel em R2 temos: gh0 (x, y)

b) Come¸camos por calcular ∇f (0, 0) · h. Ora

"

∂g1 ∂x (x, y) ∂g2 ∂x (x, y)

∂g1 ∂y (x, y) ∂g2 ∂y (x, y)

#

 cos θ = Dg(x, y)h = sen θ     cos(α + θ) cos α cos θ − sen α sen θ . = = sen(α + θ) sen α cos θ + cos α sen θ

∂f ∂x (0, 0)

e

∂f ∂y (0, 0);

como f ´e diferenci´ avel vir´ a ent˜ ao: fh0 (0, 0) =

∂f f (h, 0) − f (0, 0) 0 (0, 0) = lim = lim = 0, h→0 h→0 h ∂x h ∂f f (0, h) − f (0, 0) h (0, 0) = lim = lim = 1, h→0 h→0 h ∂y h e fh0 (0, 0) =

∂f ∂f (0, 0) cos θ + (0, 0) sen θ = sen θ. ∂x ∂y

c) ∂f ∂g1 ∂f ∂g2 ∂ϕ (0, 0) = (g(0, 0)) (0, 0) + (g(0, 0)) (0, 0) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂g1 ∂f ∂g2 ∂f (0, 0) (0, 0) + (0, 0) (0, 0) = ∂u ∂x ∂v ∂x = 0 cos α + 1 sen α = sen α, ∂ϕ ∂f ∂g1 ∂f ∂g2 (0, 0) = (g(0, 0)) (0, 0) + (g(0, 0)) (0, 0) = cos α. ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Temos portanto: 

∂ϕ (0, 0) ∂x

2

+



∂ϕ (0, 0) ∂y

152

2

= sen2 α + cos2 α = 1.

˜ DA FUNC ˜ COMPOSTA 7.4. TEOREMA DA DERIVAC ¸ AO ¸ AO 7.44 a) Determine a matriz jacobiana, no ponto (u, v, w) ∈ R3 , da fun¸ca ˜o g : R3 → R3 cujas fun¸co ˜es coordenadas s˜ ao definidas pelo sistema: g1 (u, v, w) = eu cos v cos w, g2 (u, v, w) = eu cos v sen w, g3 (u, v, w) = eu sen v. b) Se for  a1 b1

a2 b2

a3 b3



a matriz jacobiana de uma fun¸ca ˜o f : R3 → R2 no ponto (1, 0, 0), (onde f se sup˜ oe diferenci´ avel), qual ser´ a a matriz jacobiana de f ◦ g no ponto (0, 0, 0)? Porquˆe? (Grupo Ib do 2o Teste 11/9/79)

7.45 Seja ϕ uma aplica¸ca ˜o de R3 em R2 , diferenci´ avel em todos os pontos de R3 ; sejam L1 e L2 as fun¸co ˜es coordenadas da sua derivada no ponto (0, 0, 0): L1 (x, y, z) = 2x + 3y + z L2 (x, y, z) = x − y + z Seja ψ a seguinte aplica¸ca ˜o de R2 em R: ψ(u, v) = arctg(u2 + v). Sabendo que ϕ(0, 0, 0) = (1, 2), calcule (ψ ◦ ϕ)0 (0, 0, 0).

(Grupo II2 da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 22/9/78)

7.46 Sejam ρ e µ aplica¸co ˜es de R3 em R3 definidas por: ρ(x1 , x2 , x3 ) = (x2 , x3 , x1 ), µ(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 cos x3 , x2 sen x3 ). e define-se ψ : R3 → R3 por:

ψ = µ ◦ ρ ◦ µ.

a) Justificando a diferenciabilidade de ρ e µ em R3 , determine as derivadas e os determinantes das matrizes jacobianas que as representam num ponto (x1 , x2 , x3 ). b) Justificando a diferenciabilidade de ψ determine (sem obter explicitamente uma express˜ ao para ψ) o determinante da matriz jacobiana de ψ num ponto (x1 , x2 , x3 ). 7.47 Seja f : R2 → R2 a fun¸ca ˜o que transforma cada vector (x, y) no vector (u, v) tal que: u = ex cos y v = ex sen y 1. Verifique que: ∂2v ∂2v ∂2u ∂2u + = + = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2 1 Nesta

e noutras solu¸co ˜es identificamos a aplica¸ca ˜o linear derivada com a matriz que a representa.

153

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN 2. Sendo g = f ◦ f , mostre que a aplica¸ca ˜o linear g 0 (0, 0) ´e uma homotetia, isto ´e, da forma g 0 (0, 0) w = α w para cada w ∈ R2 e com α ∈ R. (Grupo IIb do 2o Teste de 30/7/79)

Resolu¸ c˜ ao: 1. A conclus˜ ao segue dos c´ alculos seguintes: ∂u = ex cos y, ∂x ∂v = ex sen y, ∂x ∂2u = ex cos y, ∂x2 ∂2v = ex sen y, ∂x2

∂u = −ex sen y, ∂y ∂v = ex cos y, ∂y ∂2u = −ex cos y, ∂y 2 ∂2v = −ex sen y. ∂y 2

2. Designando por I a matriz identidade g 0 (0, 0) = f 0 (f (0, 0))f 0 (0, 0) = f 0 (1, 0)f 0 (0, 0)    x  x e cos y −ex sen y e cos y −ex sen y = x e sen y ex cos y (1,0) ex sen y ex cos y (0,0) = eI 2 = eI.

Tem-se portanto g 0 (0, 0)w = ew, para qualquer w ∈ R2 . 7.48 Sejam f : R3 → R e ϕ : R2 → R3 duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis e seja F = f ◦ ϕ. Designando por ϕ1 , ϕ2 e ϕ3 as fun¸co ˜es coordenadas de ϕ, mostre que, se forem verificadas as igualdades: ∂ϕi ∂ϕi (u0 , v0 ) = (u0 , v0 ), ∂u ∂v sˆe-lo-´ a tamb´em a igualdade

∂F ∂u (u0 , v0 )

=

∂F ∂v

i = 1, 2, 3,

(u0 , v0 ). (Grupo IIIb do Exame Final de 18/9/74)

7.49 Sejam g : R2 → R2 e h : R → R2 duas fun¸co ˜es diferenci´ aveis e G = g ◦ h. Sendo z0 ∈ R, designe-se por L1 e L2 as fun¸co ˜es coordenadas da aplica¸ca ˜o linear g 0 [h(z0 )]. Mostre que, se L1 (x, y) = L2 (x, y), ∀(x,y)∈R2 , ent˜ ao ∂G1 ∂G2 (z0 ) = (z0 ), ∂z ∂z onde G1 e G2 s˜ ao as fun¸co ˜es coordenadas da fun¸ca ˜o G. (Grupo IIIb do Exame Final de 25/9/79)

7.50 Sejam f e g as fun¸co ˜es definidas em R2 pelas express˜ oes: f (x, y) = arctg(x2 + y 2 ),

g(x, y) = arctg

e seja ϕ a fun¸ca ˜o de R2 em R2 definida pela igualdade: ϕ(x, y) = (f (x, y), g(x, y)). 154

p

x2 + y 2

˜ DA FUNC ˜ COMPOSTA 7.4. TEOREMA DA DERIVAC ¸ AO ¸ AO a) Estude as fun¸co ˜es f e g quanto a continuidade e diferenciabilidade. b) Calcule as fun¸co ˜es derivadas parciais de f e g, indicando os respectivos dom´ınios. 0 c) Sendo (h, k) um vector n˜ ao nulo de R2 , diga se existem, e calcule em caso afirmativo, f(h,k) (0, 0) 0 e g(h,k) (0, 0).

d) Estude ϕ quanto a continuidade e diferenciabilidade, e calcule a sua derivada em todos os pontos do seu dom´ınio de diferenciabilidade. e) Calcule (f ◦ ϕ)0 (1, 0). (Grupo III do Exame Final de 9/10/78)

7.51 Considere as aplica¸co ˜es f : R2 \ {(0, 0)} → R e g : R → R assim definidas: f (x, y) =

x3 y , x2 + y 2

g(t) = et .

a) Estude f e g quanto a continuidade. Verifique que f ´e prolong´ avel por continuidade ao ponto (0, 0).  
∂F b) Designando por F o prolongamento por continuidade de f , calcule ∂F (0, 0) e ∂x ∂y (0, 0). c) Verifique que F ´e diferenci´ avel em todo o seu dom´ınio.

d) Sendo h um vector n˜ ao nulo de R2 indique, justificando, o valor de Fh0 (0, 0). e) Estude a fun¸ca ˜o ϕ = g ◦ F quanto a continuidade e diferenciabilidade.     ∂ϕ f) Calcule ∂ϕ (0, 0) e ∂x ∂y (0, 0).

g) Sendo ψ a aplica¸ca ˜o de R2 em R2 definida por ψ(x, y) = (ϕ(x, y), ex ψ no ponto (0, 0).

2

+y 2

) calcule a derivada de

(Grupo II do 2o Teste de 15/9/78)

7.52 Seja g a fun¸ca ˜o definida por g(x, y) =

p

x2 y.

a) Determine o dom´ınio D de g. Determine o exterior, o interior, a fronteira e o derivado de D. Ser´ a D aberto? E fechado? b) Seja G(x, y) =

(

g(x, y), se (x, y) ∈ D, 0, se (x, y) 6∈ D,

Estude G quanto a continuidade. c) Calcule

∂G ∂x

e

∂G ∂y ,

indicando os respectivos dom´ınios.

d) Mostre que G ´e diferenci´ avel no ponto (0, 0). e) Sendo h um vector n˜ ao nulo de R2 , indique, justificando, o valor de G0h (0, 0). f) Seja ψ : R → R2 a fun¸ca ˜o assim definida: ψ(t) = (t + 1, 2t + 2). Calcule



d(G◦ψ) dt



t=0

e



d(G◦ψ) dt



t=−1

. 155

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN 7.53 Sejam f e g as fun¸co ˜es definidas em R2 pelas express˜ oes: ( 2 2 x y sen(xy) , se (x, y) 6= (0, 0), x2 +y 2 f (x, y) = 0, se (x, y) = (0, 0),

2

g(x, y) = ex y .

a) Estude f e g quanto a continuidade. b) Calcule as derivadas parciais de f e g. c) Estude f e g quanto a diferenciabilidade. d) Sendo ψ(x, y) = (f (x, y), g(x, y)) estude ψ quanto a continuidade e diferenciabilidade; calcule na origem a derivada segundo um vector h = (h1 , h2 ) n˜ ao nulo. e) Calcule a derivada de g ◦ ψ na origem. (Grupo II do Exame de 23/2/79)

7.54 Considere a fun¸ca ˜o: f (x, y) =

( arctg (x2 +y1 2 )−1 , para k(x, y)k > 1, π 2 2 (x

+ y 2 ),

para k(x, y)k ≤ 1.

a) Estude f quanto a continuidade. 0 b) Sendo (a, b) tal que k(a, b)k = 1, mostre que n˜ ao existe f(a,b) (a, b). Que pode concluir quanto a ` diferenciabilidade de f nos pontos da circunferˆencia de equa¸ca ˜o k(x, y)k = 1? Justifique.

c) Mostre que f ´e diferenci´ avel em todos os pontos de R2 com norma diferente de 1. d) Determine fx0 (0, 1). e) Indique, justificando, qual o contradom´ınio de f . f) Sendo g : R → R2 dado por

x 7→ (ex , arctg x)

mostre que g ◦ f ´e diferenci´ avel no ponto (1/2, 1/2) e determine a derivada nesse ponto. Aproveite o resultado para calcular (g ◦ f )0(0,1) (1/2, 1/2). (Grupo II do Exame de 2a ´ epoca de 4/2/80)

7.55 Seja ϕ uma fun¸ca ˜o real diferenci´ avel definida em R3 e ψ(x, y, z) = ϕ(x − y, y − z, z − x). Mostre que, em qualquer ponto (x, y, z) ∈ R3 , se verifica a igualdade: ∂ψ ∂ψ ∂ψ (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) = 0. ∂x ∂y ∂z (Grupo Ia do 2o Teste de 11/9/79)

7.56 Dada a fun¸ca ˜o f de R3 com valores em R definida por z = f (x, u, v), diferenci´ avel no seu dom´ınio, considere a fun¸ca ˜o F (x, y) = f (x, x + y, xy). a) Exprima

∂F ∂x

−

∂F ∂y

nas derivadas parciais de f . 156

˜ DA FUNC ˜ COMPOSTA 7.4. TEOREMA DA DERIVAC ¸ AO ¸ AO b) Aproveite este resultado para verificar a igualdade 

∂F ∂x



(2,1)

−



∂F ∂y



= (2,1)



∂f ∂x



(2,3,2)

−



∂f ∂v



(2,3,2)

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 5/2/79)

7.57 Sabendo que f : R3 → R ´e uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel no ponto (0, e, 0) e que a sua matriz  jacobiana nesse ponto ´e e −1 e , mostre que 

∂g ∂x



+ (0,1)



∂g ∂y



= 0, (0,1)

onde g(x, y) = f ((sen(xy 2 ), ey , log(1 + x2 )), ∀(x,y)∈R2 .

´ (Grupo IIb do Exame de 2a Epoca de 11/2/80)

7.58 Seja F uma fun¸ca ˜o que admite derivada cont´ınua em R e z = xy + xF (y/x). Mostre que x

∂z ∂z +y = xy + z, ∂x ∂y

∀x6=0 . (Grupo IIIa do Exame de 23/2/79)

7.59 Sendo G uma fun¸ca ˜o real diferenci´ avel em R2 e F (x, y, z) = G(x2 − y 2 , y 2 − z 2 ),

∀(x,y,z)∈R3 .

1. Indique, justificando, os pontos em que F ´e diferenci´ avel. 2. Mostre que, em qualquer ponto (x, y, z), se verifica a igualdade yzFx0 (x, y, z) + xzFy0 (x, y, z) + xyFz0 (x, y, z) = 0. (Grupo IIa do 2o Teste de 30/7/79)

7.60 Seja f : R2 → R, f ∈ C 1 (R2 ). Considere a fun¸ca ˜o G definida por G(u, v) = f (u2 + v 2 , u/v). 2 Mostre que, para todo o (u, v) ∈ R tal que v 6= 0, existe a derivada dirigida G0(u,v) (u, v), tendo-se: G0(u,v) (u, v) = 2(u2 + v 2 )D1 f (u2 + v 2 , u/v). (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 12/12/81)

7.61 Seja F : R2 → R uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel em R2 . G(x, y, z) = F [(x − y)z, (z − x)y].

Seja G uma fun¸ca ˜o definida por

a) Ser´ a G diferenci´ avel em R3 ? Justifique a sua resposta e na afirmativa calcule G0 (1, 1, 1) em termos das derivadas parciais de F . 157

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN b) Determine em que condi¸co ˜es a derivada dirigida de G segundo o vector (1, 1, 1) ´e identicamente nula sobre a recta x = −y = −z. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 17/12/80)

7.62 Seja f : R2 → R diferenci´ avel em R2 e tal que f (−1, 1) = −1. Considere uma fun¸ca ˜o G definida por G(x, y) = f [f (x, y), f 2 (x, y)]. Mostre que

 2 2  ∂G ∂G ∂f ∂f (−1, 1) + 2 (−1, 1) = (−1, 1) − 4 (−1, 1) . ∂x ∂y ∂x ∂y (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 5/1/81)

1 2 7.63 Seja F : R2 → R, F ∈ C
(R ) e tal que: F (0, 1) = 0, F (1, 0) = 1. Seja H(x, y) = ∂H ˜o de derivadas parciais de F . F (F (x, y), F (y, x)). Calcule ∂x (0,1) em fun¸ca

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 7/81)

7.64 Seja g : R2 → R, g ∈ C 1 (R2 ). Defina-se uma fun¸ca ˜o F : R3 → R atrav´es de F (x, y, z) = g(g(x, y), g(y, z)). a) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de F em fun¸ca ˜o de derivadas parciais de g. Justifique ser F ∈ C 1 (R3 ). b) Suponha que para todo o (x, y) ∈ R2 temos D(1,1) g(x, y) = 0. Mostre que ent˜ ao D(1,1,1) F (x, y, z) = 0 para todo o (x, y, z) ∈ R3 . 7.65 Seja f uma fun¸ca ˜o duas vezes diferenci´ avel em R; seja u(x, t) = af (x + ct) + bf (x − ct) sendo a, b, c constantes reais e c 6= 0. Mostre que 1 ∂2u ∂2u − 2 2 = 0. 2 ∂x c ∂t

(Grupo I2 da Prova de 15/9/78)

7.66 Sejam F e g duas fun¸co ˜es de classe C 2 em R e u(x, y) = F [x + g(y)]. Verifique que ∂u ∂ 2 u ∂u ∂ 2 u = . ∂x ∂x∂y ∂y ∂x2 (Grupo III1 da Prova de 17/10/77)

Resolu¸ c˜ ao: Do teorema de deriva¸ca ˜o da fun¸ca ˜o composta obt´em-se: ∂u ∂x ∂u ∂y ∂2u ∂y∂x ∂ 2u ∂x2

= F 0 (x + g(y))1 = F 0 (x + g(y)), = F 0 (x + g(y))g 0 (y), =

∂ (F 0 (x + g(y))) = F 00 (x + g(y))g 0 (y), ∂y

= F 00 (x + g(y)).

donde segue o resultado. 158

´ 7.5. TEOREMAS DO VALOR MEDIO E DE TAYLOR 7.67 Sejam f, g : R → R, f, g ∈ C 2 (R) e seja h : R2 → R definida por: h(x, y) = xf (y/x) + g(y/x) sempre que x 6= 0. Mostre que ∀(x,y)6=(0,y) temos: x2

∂2h ∂2h ∂2h + 2xy + y 2 2 = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 24/11/79)

7.68 Seja u(x, y) = F (x2 − y 2 , y 2 ). Sabendo que as derivadas cruzadas de segunda ordem da fun¸ca ˜o F s˜ ao nulas, mostre que: x ∂2u ∂2u 1 ∂u + 2 = , y ∂x∂y ∂x x ∂x

∀x,y6=0 .

(Na resolu¸ca ˜o deste exerc´ıcio admita que pode utilizar o teorema da derivada da fun¸ca ˜o composta sempre que dele necessitar). (Grupo III da Repeti¸ca ˜o do 2o Teste de 22/9/78)

7.69 Seja F : R2 → R tal que F ∈ C 1 (R2 ) e D1 F (x, y)D2 F (x, y) 6= 0, ∀(x,y)∈R2 . Seja u : R2 → R outra fun¸ca ˜o tal que: i) u ∈ C 2 (R2 ); ii) em R2 tem-se F (u0x , u0y ) = k com k uma constante real. Mostre que, nestas condi¸co ˜es, ´e v´ alida a igualdade: 

∂2u ∂x∂y

2

=

∂2u ∂2u . ∂x2 ∂y 2 (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 24/11/79)

7.5

Teoremas do valor m´ edio e de Taylor

7.70 Considere a fun¸ca ˜o definida em R2 por f (x, y) = cos x sen y e os pontos (0, 0) e (π/6, π/6). Mostre que existe θ ∈ ]0, 1[ tal que √   3 3 θπ = cos . 3 2π (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 9/2/81)

7.71 Considere uma fun¸ca ˜o u : R2 → R, u ∈ C ∞ (R2 ), satisfazendo, para todo o (t, x) ∈ R2 , as condi¸co ˜es seguintes: ∂u = xu(t, x), ∂t ∂u = tu(t, x). ∂x Prove que existe, para cada (t, x) ∈ R2 , um real θ ∈ ]0, 1[ que verifica: 159

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN u(t, x) = u(0, 0) + 2θtxu(θt, θx).

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 3/2/81)

Resolu¸ c˜ ao: Pelo teorema do valor m´edio, relativo a fun¸co ˜es escalares, se a ∈ R n e a derivada 0 direccional uv (a + α v) existe para cada 0 ≤ α ≤ 1, tem-se u(a + v) − u(a) = u0v (a + θ v) para algum θ ∈ ]0, 1[. No nosso caso, u0v (t0 , x0 ) existe para qualquer (t0 , x0 ) e qualquer v, pois u ´e diferenci´ avel em (t0 , x0 ) ∈ Rn , j´ a que as derivadas parciais existem e s˜ ao cont´ınuas em R2 . Logo tem-se em particular, no ponto (t0 , x0 ) = (0, 0) e com v = (t, x): u((0, 0) + (t, x)) − u(0, 0) = u0(t,x) ((0, 0) + θ(t, x)) com θ ∈ ]0, 1[, ou seja, u(t, x) − u(0, 0) = u0(t,x) (θt, θx). Ora ∂u ∂u (θt, θx)t + (θt, θx)x ∂t ∂x = θxu(θt, θx)t + θtu(θt, θx)x

u0(t,x) (θt, θx) =

= 2θtxu(θt, θx). Assim: u(t, x) = u(0, 0) + 2θtxu(θt, θx) com θ ∈ ]0, 1[.

7.72 Considere g : R2 → R definida por g(x, y) = x2 − y 4 . a) Mostre que existe k > 0 tal que para todo o 1 > ε > 0: (x, y), (x0 , y0 ) ∈ Bε (0, 0) =⇒ kg(x, y) − g(x0 , y0 )k < kεk(x − x0 , y − y0 )k b) Seja ϕ : R2 → R2 definida por ϕ(x, y) = (x2 − y 4 , y 2 − x4 ). Mostre, utilizando o resultado da al´ınea anterior, que existe ε > 0 tal que a restri¸ca ˜o de ϕ a Bε (0, 0) ´e uma contrac¸ca ˜o. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 19/2/83)

7.73 Considere a fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por: f (x, y) = x sen y + y sen x. a) Determine o desenvolvimento de Taylor de 2a ordem daquela fun¸ca ˜o relativamente ao ponto (0, 0). 160

´ 7.5. TEOREMAS DO VALOR MEDIO E DE TAYLOR b) Aproveite o resultado anterior para mostrar que existe uma e uma s´ o constante real a tal que: lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) − axy =0 x2 + y 2

Determine a. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 14/3/81)

Resolu¸ c˜ ao: a) A f´ ormula de Taylor de 2a ordem relativa a f em (0, 0) ´e em geral:

Ora

∂f ∂f (0, 0)x + (0, 0)y f (x, y) =f (0, 0) + ∂x ∂y   2 1 ∂ f ∂2f ∂2f 2 2 + (0, 0) x + 2 (0, 0) xy + 2 (0, 0) y 2 ∂x2 ∂x∂y ∂y
+ o k(x, y)k2 ((x, y) → (0, 0)). ∂f ∂f = sen y + y cos x, = x cos y + sen x, ∂x ∂y     ∂ ∂f ∂ ∂f ∂2f ∂2f = = = −y sen x, = −x sen y, ∂x2 ∂x ∂x ∂y 2 ∂y ∂y   ∂ ∂f ∂2f = cos y + cos x. = ∂x∂y ∂x ∂y

Particularizando para (x, y) = (0, 0) obt´em-se: ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0, ∂x ∂y ∂2f ∂2f ∂2f (0, 0) = (0, 0) = 0, (0, 0) = 2. ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y f (0, 0) = 0,

Assim a express˜ ao da f´ ormula de Taylor de segunda ordem vai ser: f (x, y) = 2xy + o(k(x, y)k2 )

((x, y) → (0, 0)).

b) (2xy + o(k(x, y)k2 )) − axy f (x, y) − axy = lim 2 2 x +y (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) (2 − a) xy + o(x2 + y 2 ) = lim (x,y)→(0,0) x2 + y 2   (2 − a)xy o(x2 + y 2 ) = lim + (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x2 + y 2 (2 − a)xy . = lim (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

Este limite ser´ a nulo se a = 2 e n˜ ao existe se a 6= 2 pois ent˜ ao lim (x,y)→(0,0)

y=x

(2 − a)xy 2−a a−2 (2 − a)xy = 6= = lim . (x,y)→(0,0) x2 + y 2 2 2 x2 + y 2 y=−x

161

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN

7.6

Teoremas da fun¸ c˜ ao inversa e da fun¸ c˜ ao impl´ıcita

7.74 Mostre que a fun¸ca ˜o definida por (u, v) = ϕ(x, y) com u = exy + 1, v = exy + y 2 , possui uma inversa local de classe C 1 , que a cada (u0 , v 0 ) ∈ Bε (2, 2) faz corresponder um e um s´ o (x0 , y 0 ) ∈ Bδ (0, 1), para certos ε, δ > 0. Designando por ψ a inversa de ϕ calcule D1 ψ(2, 2). (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 3/2/81)

Resolu¸ c˜ ao: Sendo ϕ de classe C 1 , uma condi¸ca ˜o suficiente para a existˆencia da inversa local (tamb´em de classe C 1 ), ´e det(Dϕ(0, 1)) 6= 0. Ora # " #  "  ∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂u ∂u yexy xexy ∂x (x, y) ∂y (x, y) ∂x (x, y) ∂y (x, y) = ∂v = Dϕ(x, y) = ∂ϕ2 . ∂ϕ2 ∂v yexy xexy + 2y ∂x (x, y) ∂y (x, y) ∂x (x, y) ∂y (x, y) Logo: 

1 0 Dϕ(0, 1) = 1 2



e portanto det(Dϕ)(0, 1) = 2. Para calcular D1 ψ(2, 2) observamos que Dψ(u, v) = [Dϕ(x, y)]−1 onde (u, v) = ϕ(x, y) e (x, y) = ψ(u, v). Logo: Dψ(2, 2) = [Dϕ(0, 1)]

−1

=

"

∂u ∂x ∂v ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y

#−1

=

(0,1)



−1   1 0 1 0 = . 1 2 −1/2 1/2

A derivada parcial D1 ψ(2, 2) corresponde ao vector coluna correpondente a ` primeira coluna desta matriz. Logo D1 ψ(2, 2) = (1, −1/2). Resolu¸ c˜ ao alternativa: Justificando da mesma maneira a existˆencia de inversa local poder´ıamos efectuar o c´ alculo de D1 ψ por deriva¸ca ˜o em ordem a u de ambos os membros de cada uma das equa¸co ˜es do sistema dado (considerando agora x e y como fun¸ca ˜o de u e v) o que conduziria a ( ∂y ∂x + xexy ∂u 1 = yexy ∂u ∂y ∂x + (xexy + 2y) ∂u 0 = yexy ∂u ou, no ponto (x, y) = (0, 1): (

1= 0=

donde se obtem imediatamente:

∂x ∂u

= 1,

∂y ∂u

∂x ∂u ∂x ∂u

∂y + 2 ∂u

= − 21 .

7.75 Mostre que a fun¸ca ˜o ϕ : R2 → R2 definida por ϕ(x, y) = ((x + y)3 , (x − y)3 ) n˜ ao satisfaz a hip´ otese do teorema da fun¸ca ˜o inversa “relativamente” a ` origem e, no entanto, ϕ ´e invert´ıvel em R2 . (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 1982)

Resolu¸ c˜ ao: Tem-se com efeito: 3(x + y)2 Dϕ(x, y) = 3(x − y)2 

162

 3(x + y)2 . −3(x − y)2

˜ INVERSA E DA FUNC ˜ IMPL´ICITA 7.6. TEOREMAS DA FUNC ¸ AO ¸ AO

Logo det(Dϕ(0, 0)) = 0. No entanto pondo u = (x + y)3 , v = (x − y)3 vem x = 12 (u1/3 + v 1/3 ), ˜o de R2 em R2 . y = 12 (u1/3 − v 1/3 ) pelo que ϕ ´e uma bijec¸ca 7.76 Considere a fun¸ca ˜o F : R2 \ {(0, 0)} → R2 definida por F (x, y) = (x2 − y 2 , 2xy). Verifique que: i) F ∈ C 1 (R2 \ {(0, 0)}) h i 1 ,F2 ) ii) ∀(x,y)6=(0,0) , det ∂(F (x, y) 6= 0, ∂(x,y)

iii) F n˜ ao ´e invert´ıvel em R2 \ {(0, 0)}

iv) Dado (x0 , y0 ) 6= (0, 0) existe uma vizinhan¸ca U de (x0 , y0 ) tal que F |U ´e invert´ıvel. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 5/2/83)

Resolu¸ c˜ ao: ∂F i) Como ∂F e claro que as derivadas parcias ∂x (x, y) = (2x, 2y) e ∂y (x, y) = (−2y, 2x) ´ ∂Fi 2 ao cont´ınuas em R (e portanto em R2 \ {(0, 0)}). ∂y (x, y) existem e s˜

∂Fi ∂x (x, y),

ii) Como   ∂(F1 , F2 ) 2x −2y (x, y) = 2y 2x ∂(x, y) vem det

h

∂(F1 ,F2 ) ∂(x,y) (x, y)

i

= 4(x2 + y 2 ); se (x, y) 6= 0 ´e claro que 4(x2 + y 2 ) 6= 0.

iii) Basta ver que h´ a dois pontos, por exemplo (1, 1) e (−1, −1) com a mesma imagem (neste caso, (0, 2)). iv) Para (x0 , y0 ) 6= (0, 0) tem-se det(DF (x, y)) = (x20 + y02 ) 6= 0 pelo que, pelo teorema da fun¸ca ˜o inversa, F ´e invert´ıvel numa vizinhan¸ca de (x0 , y0 ).

7.77 Seja g : R → R, g ∈ C 1 (R). Define-se ϕ : R2 → R2 atrav´es de: ϕ(x, y) = (xg(y), yg(x)). a) Indique condi¸co ˜es suficientes relativas a g que garantam que ϕ ´e localmente invert´ıvel numa vizinhan¸ca do ponto (1, 1). Justifique. b) Considere uma fun¸ca ˜o F : R2 → R diferenci´ avel em R2 e uma fun¸ca ˜o H definida por H = F ◦ ψ (com ψ a inversa local de ϕ nas condi¸co ˜es de (a)). Justifique ser H diferenci´ avel e calcule D1 H(g(1), g(1)) em termos de F e g. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 20/3/82)

7.78 Seja f : R2 → R, f ∈ C 1 (R2 ), f (0, 0) = 0. Define-se ϕ : R3 → R3 atrav´es de: ϕ(x, y, z) = (f (x, −y), f (y, −z), f (z, −x)). a) Prove que se D1 f (0, 0) 6= D2 f (0, 0) existem ε, δ > 0 tais que ϕ ´e um difeomorfismo de Bε (0, 0, 0) sobre um aberto T ⊃ Bδ (0, 0, 0).  −1 b) Calcule D1 ψ(0, 0, 0) com ψ = ϕ|Bε (0,0,0) . 163

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN ´ dada a equa¸ca 7.79 E ˜o x2/3 + y 2/3 = a2/3 . a) Mostre que n˜ ao existem pares (x, y) com |x| > |a| que satisfa¸cam esta equa¸ca ˜o. E com |x| = |a|? 2

d y dy e dx ca ˜o impl´ıcita y = ϕ(x) definida por aquela equa¸ca ˜o e b) Calcule as derivadas dx 2 da fun¸ indique os dom´ınios correspondentes.

c) Atendendo ao significado destas derivadas, represente geometricamente o conjunto dos pontos que satisfazem a equa¸ca ˜o dada. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 23/7/80)

7.80 Sejam f e g duas fun¸co ˜es reais com dom´ınio contido em R2 , de classe C 1 e (a, b) um ponto interior aos seus dom´ınios. Suponha-se que f (a, b) = c1 ,

D2 f (a, b) · D2 g(a, b) 6= 0

g(a, b) = c2 ,

com c1 , c2 ∈ R. Mostre que as fun¸co ˜es y = ϕ(x) e y = ψ(x) definidas implicitamente pelas equa¸co ˜es f (x, y) = c1 , g(x, y) = c2 , respectivamente, tˆem as tangentes aos seus gr´ aficos perpendiculares no ponto (a, b) se e s´ o se: ∇f (a, b) · ∇g(a, b) = 0. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 12/12/81)

Resolu¸ c˜ ao: As rectas tangentes aos gr´ aficos de ϕ e ψ no ponto (a, b) tˆem por equa¸co ˜es: y − b = ϕ0 (a)(x − a) Por outro lado:

∂f ∂x ϕ0 (a) = − ∂f

(a, b)

∂y (a, b)

e

y − b = ψ 0 (a)(x − a). ∂g

ψ 0 (a) = − ∂x ∂g

,

(a, b)

∂y (a, b)

.

Enfim, as rectas y − b = α(x − a) e y − b = β(x − a) s˜ ao perpendiculares se e s´ o se α = − β1 . As tangentes sˆe-lo-˜ ao portanto se e s´ o se: −

∂f ∂x (a, b) ∂f ∂y (a, b)

=

∂g ∂y (a, b) ∂g ∂x (a, b)

∂g ∂f ∂g ou seja ∂f ∂x (a, b) ∂x (a, b)+ ∂y (a, b) ∂y (a, b) = 0, ou ainda 0, que ´e o mesmo que ∇f (a, b) · ∇g(a, b) = 0.



∂f ∂f ∂x (a, b) , ∂y (a, b)

  ∂g ∂g · ∂x (a, b), ∂y (a, b) =

7.81 Mostre que, numa vizinhan¸ca do ponto (1, −1, 2) o sistema de equa¸co ˜es: x2 (y 2 + z 2 ) = 5 (x − z)2 + y 2 = 2 define y e z como fun¸co ˜es de x, continuamente diferenci´ aveis. Calcule dy (1) dx

e

dz (1). dx (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 7/81)

164

˜ INVERSA E DA FUNC ˜ IMPL´ICITA 7.6. TEOREMAS DA FUNC ¸ AO ¸ AO 2

2

7.82 Considere a equa¸ca ˜o z 3 + z − 2ex +y = 0 e o ponto (0, 0, 1). Mostre que aquela equa¸ca ˜o define localmente uma fun¸ca ˜o impl´ıcita z = ϕ(x, y) com ϕ(0, 0) = 1 e calcule ∂ϕ (0, 0) ∂x

e

∂ϕ (0, 0). ∂y (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 5/2/79)

7.83 Mostre que o sistema (

exy − u + log(v + x) − 1 = 0 x2 + y 3 + u 2 − v 3 = 0

define implicitamente uma fun¸ca ˜o φ que a cada (x, y) ∈ Bε (0, 1) faz corresponder um e um s´ o (u, v) ∈ Bδ (0, 1), para certos ε, δ > 0. Calcule ∂u (0, 1). ∂x (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 14/3/81)

7.84 Seja F uma fun¸ca ˜o de classe C 2 definida em R2 e com valores em R e a equa¸ca ˜o F (F (x, y), y) = 0. a) Indique, justificando a sua resposta, condi¸co ˜es suficientes para que aquela equa¸ca ˜o possa definir, numa vizinhan¸ca de 0, uma fun¸ca ˜o y(x). Suponha que F (0, 0) = 0. b) Aproveite a al´ınea anterior para calcular

dy dx (0).

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 9/2/81)

Resolu¸ c˜ ao: a) Definindo φ(x, y) = F (F (x, y), y) o teorema da fun¸ca ˜o impl´ıcita fornece uma tal condi¸ca ˜o (0, 0) = 6 0. Ora: sufuciente que ´e ∂φ ∂y ∂φ (x, y) = ∂y ∂φ (0, 0) = ∂y

∂F ∂F ∂F (F (x, y), y) (x, y) + (F (x, y), y) ∂x ∂y ∂y ∂F ∂F ∂F (0, 0) (0, 0) + (0, 0) ∂x ∂y ∂y   ∂F ∂F (0, 0) (0, 0) = 1+ ∂x ∂y

Logo

∂F ∂x (0, 0)

6= −1 e

∂F ∂y

(0, 0) 6= 0 s˜ ao as condi¸co ˜es pedidas.

b) ∂φ ∂F ∂F (0, 0) ∂y ∂x (0, 0) ∂x
(0, 0) (0) = − ∂x =− . ∂φ ∂F ∂x 1 + ∂x (0, 0) ∂F ∂y (0, 0) ∂y (0, 0)

7.85 As fun¸co ˜es f : R3 → R2 e g : R2 → R s˜ ao definidas por: ( u = x + y + z + sen(xyz) g : w = 1 − eu−2v f: v = xyz + sen(x + y + z) a) Mostre que a equa¸ca ˜o (g◦f )(x, y, z) = 0 define implicitamente numa vizinhan¸ca de (0, −π/2, π/2) uma fun¸ca ˜o y = α(x, z) tal que α(0, π/2) = −π/2 que ´e diferenci´ avel naquele ponto. 165

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN b) Calcule

∂α ∂z (0, π/2).

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 13/7/79)

7.86 Sendo ϕ a fun¸ca ˜o definida implicitamente pelo sistema de equa¸co ˜es ( x + y 2 − u3 + v = 0 x2 − y + u − v 2 = 0 de uma bola centrada em (x0 , y0 ) = (0, 0) para uma bola centrada em (u0 , v0 ) = (0, 0) e sendo g : R2 → R2 definida por (u, v) 7→ (z, w) = (v cos u, u sen v), calcule ∂(g◦ϕ) ∂x (0, 0). (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 8/3/79)

Resolu¸ c˜ ao: ϕ : (x, y) 7−→ (u, v),

g : (u, v) 7−→ (z, w)

g ◦ ϕ : (x, y) 7−→ (z(u(x, y), v(x, y)), w(u(x, y), v(x, y)))   ∂(g ◦ ϕ)2 ∂(g ◦ ϕ) ∂(g ◦ ϕ)1 (x, y) = (x, y), (x, y) , ∂x ∂x ∂x onde (g ◦ ϕ)i ´e a i-´esima fun¸ca ˜o coordenada de g ◦ ϕ. ∂z ∂u ∂z ∂v ∂(g ◦ ϕ)1 (x, y) = (u, v) (x, y) + (u, v) (x, y) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v = −v sen u (x, y) + cos u (x, y) ∂x ∂x ∂(g ◦ ϕ)2 ∂w ∂u ∂w ∂v (x, y) = (u, v) (x, y) + (u, v) (x, y) ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v = sen v (x, y) + u cos v (x, y). ∂x ∂x Tendo em conta que ϕ(0, 0) = (0, 0) obtem-se ent˜ ao: ∂(g ◦ ϕ)1 ∂v (0, 0) = (0, 0), ∂x ∂x ∂(g ◦ ϕ)2 (0, 0) = 0. ∂x ∂v (0, 0), pode come¸car-se por derivar em ordem a x ambos os membros de cada uma Para calcular ∂x das equa¸co ˜es do sistema dado — considerando u e v como fun¸co ˜es das “vari´ aveis independentes” x e y — o que conduz a

∂v ∂u (x, y) + (x, y) = 0, ∂x ∂x ∂v ∂u 2x + (x, y) − 2v(x, y) (x, y) = 0, ∂x ∂x 1 − 3u2 (x, y)

e, particularizando para x = y = 0 (e portanto tamb´em u = v = 0), ∂v (0, 0) = −1 ∂x (e

∂u ∂x (0, 0)

= 0, resultado que n˜ ao era necess´ ario calcular). Portanto:   ∂(g ◦ ϕ) ∂(g ◦ ϕ)2 ∂(g ◦ ϕ)1 (0, 0) = (0, 0), (0, 0) = (−1, 0). ∂x ∂x ∂x

166

7.7. ESTUDO DE EXTREMOS 7.87 Volte a considerar o exerc´ıcio 7.64. Suponha adicionalmente que g(0, 0) = 0. a) Indique condi¸co ˜es suficientes relativas a g que garantam a defini¸ca ˜o duma fun¸ca ˜o impl´ıcita (x, z) 7→ y = ϕ(x, z) numa vizinhan¸ca da origem atrav´es de F (x, y, z) = 0 com ϕ(0, 0) = 0. b) Justifique que naquelas condi¸co ˜es ϕ ´e diferenci´ avel em (0, 0) e ∂ϕ D1 g(0, 0) (0, 0) = − . ∂x 2D2 g(0, 0)

7.7

Estudo de extremos

7.88 Determine os extremos relativos da fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por f (x, y) = xyex−y . (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 3/7/79)

7.89 a) Determine os extremos relativos da fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 . b) O que pode afirmar sobre os extremos absolutos daquela fun¸ca ˜o? (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 29/1/79)

Resolu¸ c˜ ao: a) Tratando-se de uma fun¸ca ˜o diferenci´ avel os u ´nicos candidatos a pontos de extremo s˜ ao pontos ∂f 2 (x, y), (x, y)) = (3x − 3y, −3x + 3y 2 ) logo onde o gradiente se anula. Ora ∇f (x, y) = ( ∂f ∂x ∂y consideramos o sistema de estacionaridade ∇f (x, y) = (0, 0) que toma a forma: ( ( y = x2 3x2 − 3y = 0 ⇔ 2 x(x3 − 1) = 0 −3x + 3y = 0 Portanto os candidatos a pontos de extremo s˜ ao (0, 0) e (1, 1). Estudemos o sinal da forma quadr´ atica definida por: 2 (h1 , h2 ) = h 7→ Dh f (x, y) =

em (0, 0) e (1, 1). Temos

∂2f ∂x2 (x, y)

∂ 2f ∂2f ∂2f 2 (x, y)h + 2 (x, y)h h + (x, y)h22 1 2 1 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

= 6x,

∂2f ∂x∂y (x, y)

= −3 e

∂2f ∂y 2 (x, y)

= 6y.

A forma quadr´ atica reduz-se a (h1 , h2 ) 7→ −6h1 h2 em (0, 0) que reconhece-se imediatamente como uma forma quadr´ atica indefinida e portanto (0, 0) n˜ ao ´e um ponto de extremo.   √ h2 Em (1, 1) a forma quadr´ atica2 reduz-se a (h1 , h2 ) 7→ 6h21 −6h1 h2 +6h22 = 6 (h1 − 22 h2 )2 + 22 que se reconhece como definida positiva e portanto (1, 1) ´e um ponto de m´ınimo relativo. b) Como limx→+∞ f (x, 0) = +∞ e limx→−∞ f (x, 0) = −∞ reconhecemos imediatamente que esta fun¸ca ˜o n˜ ao possui extremos absolutos.

2A

classifica¸ca ˜o de formas quadr´ aticas em R2 pode ser feita por diversos processos equivalentes. No texto desta ´ solu¸ca ˜o optou-se por “completar o quadrado” o que n˜ ao pressupˆ os conhecimentos especiais de Algebra Linear. Alternativas equivalentes s˜ ao, por exemplo, a determina¸ca ˜o do sinal dos valores pr´ oprios da matriz hessiana, etc.

167

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN 7.90 Considere a fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por f (x, y) = (2x − x2 )(2y − y 2 ). Determine os extremos locais de f , indicando se s˜ ao ou n˜ ao extremos absolutos. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 27/4/81)

7.91 Idem, para f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 . (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 14/3/81)

7.92 Considere uma fun¸ca ˜o u : R2 → R, u ∈ C ∞ (R2 ), satisfazendo para todo o (x, t) ∈ R2 , as condi¸co ˜es seguintes: ∂u (x, t) = xu(x, t), ∂t ∂u (x, t) = tu(x, t) ∂x e u(0, 0) = 1. Mostre que u n˜ ao admite um extremo local na origem. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 3/2/81)

Resolu¸ c˜ ao: Vamos tentar usar um crit´erio baseado na f´ ormula de Taylor para provar que uma tal fun¸ca ˜o, se existir, n˜ ao pode ter um extremo na origem. Uma condi¸ca ˜o necess´ aria para existˆencia de um extremo na origem ´e o gradiente da fun¸ca ˜o em (0, 0) ser 0. Ora ∂u (0, 0) = 0 u(0, 0) = 0 ∂t ∂u (x, t) = 0 u(0, 0) = 0 ∂x pelo que aquele crit´erio ´e inconclusivo. Consideramos ent˜ ao derivadas parciais de segunda ordem de u que se podem obter por deriva¸ca ˜o de ambos os membros das igualdades no enunciado. ∂2u ∂u =t = t2 u(x, t), 2 ∂x ∂x ∂ ∂u ∂2u = (tu(x, t)) = u(x, t) + t = u(x, t) + xt u(x, t), ∂t∂x ∂t ∂t ∂2u ∂u =x = x2 u(x, t). 2 ∂t ∂x pelo que particularizando em (0, 0) ∂2u (0, 0) = 0, ∂x2

∂2u (0, 0) = 1, ∂t∂x

∂2u (0, 0) = 0. ∂t2

A matriz hessiana de u em (0, 0) ´e ent˜ ao 

 0 1 Hu(0, 0) = . 1 0 que define uma forma quadr´ atica indefinida (h, k) 7→ 2hk pelo que (0, 0) n˜ ao ´e um ponto de extremo. Resolu¸ c˜ ao alternativa: Sabendo que o gradiente de uma fun¸ca ˜o ´e ortogonal a `s suas linhas de n´ıvel vamos tentar identificar as linhas de n´ıvel de u. Isto permitir´ a identificar u e resolver a quest˜ ao posta. Como ∇u(x, t) = u(x, t)(t, x) 168

7.7. ESTUDO DE EXTREMOS

e como qualquer fun¸ca ˜o do produto xt, digamos v(x, t) = f (xt), satisfaz ∇v(x, t) = f 0 (xt)(t, x) procuramos um tal f que dever´ a ent˜ ao satisfazer f 0 = f e f (0) = 1. Sabemos que uma tal fun¸ca ˜o ´e a exponencial e com efeito se considerarmos u(x, t) = ext esta fun¸ca ˜o satisfaz todas as condi¸co ˜es do enunciado. Poderiam no entanto existir outras fun¸co ˜es satisfazendo as condi¸co ˜es do enunciado. Se v fosse uma tal fun¸ca ˜o facilmente verificamos que o gradiente de e−xt v(x, t) ´e 0 e portanto o produto e−xt v(x, t) ´e constante, constante essa que s´ o poder´ a ser 1 devido ao valor em (0, 0) imposto. Decorre ent˜ ao da identifica¸ca ˜o de u a n˜ ao existˆencia de extremo na origem, visto que a fun¸ca ˜o (x, t) 7→ tx o n˜ ao tem e que a fun¸ca ˜o exponencial ´e estritamente crescente em R. 7.93 Para cada (a, b) ∈ R2 considere a fun¸ca ˜o definida por f (x, y) = xa + yb + xy. Determine os seus pontos de estacionaridade consoante seja: 1) ab > 0; 2) ab < 0; 3) ab = 0 com a 2 + b2 6= 0; 4) a2 + b2 = 0. Em cada caso determine os extremos da fun¸ca ˜o. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 23/7/80)

Resolu¸ c˜ ao: Consideremos em primeiro lugar os casos 1) e 2). Os pontos de estacionaridade s˜ ao os pontos (x, y) tais que ( ∂f a 2 1 2 1 ∂x (x, y) = − x2 + y = 0, ou seja, tais que x = a 3 b− 3 , y = b 3 a− 3 ∂f b ∂y (x, y) = − y 2 + x = 0, (com a 6= 0 e b 6= 0). Estudemos a natureza da forma quadr´ atica (h, k) 7→

∂2f ∂2f ∂2f 2 (x , y ) h + 2 (x , y ) h k + (x0 , y0 ) k 2 0 0 0 0 ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

com (x0 , y0 ) = (a2/3 b−1/3 , a−1/3 b2/3 ). As derivadas parciais de segunda ordem de f em (x0 , y0 ) tomam os valores: ∂2f (x0 , y0 ) = 2b/a, ∂x2

∂2f (x0 , y0 ) = 1, ∂x∂y

∂2f (x0 , y0 ) = 2a/b. ∂y 2

pelo que a matriz hessiana de f em (x0 , y0 ) ´e: Hf (x0 , y0 ) =

  2b/a 1 . 1 2a/b

Como o determinante desta matriz ´e 3 o ponto (x0 , y0 ) ser´ a sempre um ponto de extremo. A classifica¸ca ˜o do extremo depender´ a do sinal de 2b/a que ´e igual ao sinal de ab; ou seja, se ab > 0 trata-se de um ponto de m´ınimo e se ab < 0 trata-se de um ponto de m´ aximo. No caso 3) tem-se a = 0 e b 6= 0 ou a 6= 0 e b = 0. Na primeira destas suitua¸co ˜es os pontos de estacionaridade obtˆem-se a partir de: ( ∂f ∂x ≡ y = 0 um sistema imposs´ıvel! ∂f b ∂y (x, y) = − y 2 + x = 0 e analogamente se b = 0. No caso 3) n˜ ao h´ a portanto pontos de estacionaridade. No caso 4) tem-se a = 0 e b = 0 pelo que o sistema de estacionaridade reduz-se a ( ∂f ∂x (x, y) ≡ y = 0 ∂f ∂y (x, y) ≡ x = 0 s´ o tem uma solu¸ca ˜o que ´e (0, 0). A fun¸ca ˜o f (x, y) ´e nesse caso f (x, y) = xy e (0, 0) ´e um ponto de sela. 169

˜ A ` ANALISE ´ CAP´ITULO 7. INTRODUC ¸ AO EM RN 7.94 Considere a fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por: f (x, y) = αx + βx2 + γy 2 + δx4 + (1 − δ)x2 y 2 em que α, β, γ, δ s˜ ao constantes reais. Mostre que n˜ ao existem constantes α, β, γ, δ tais que, simultˆ aneamente: i) (0, 0) seja um ponto m´ınimo de f ; ii) (1, 1) seja um ponto de estacionaridade de f . [Sugest˜ ao: Comece por mostrar que: (i) =⇒ βγ ≥ 0; (ii) =⇒ β + γ + 2 = 0].

(Prova de An´ alise Matem´ atica III de 19/2/83)

7.95 Considere a fun¸ca ˜o definida por f (x, y) = x4 − 2x2 y 2 + y 4 + 1. a) Mostre que f possui um m´ınimo absoluto. b) Mostre que o estudo baseado na f´ ormula de Taylor n˜ ao permite classificar os pontos de estacionaridade. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 5/2/79)

7.96 Sejam f : R → R e g : Rn → R duas fun¸co ˜es cont´ınuas nos seus dom´ınios e defina-se F : Rn → R atrav´es de F = f ◦ g. Se ϕ for uma fun¸ca ˜o real diferenci´ avel num aberto de R p , designa-se neste exerc´ıcio o conjunto dos pontos de estacionaridade de ϕ por E(ϕ). a) Mostre que se f tem um m´ aximo (resp. m´ınimo) num ponto y do contradom´ınio de g, ent˜ ao F tem um m´ aximo (m´ınimo) nos pontos de g −1 ({y}). b) Suponha adicionalmente que f e g s˜ ao fun¸co ˜es diferenci´ aveis. Mostre que ent˜ ao: E(F ) = E(g) ∪ g −1 (E(f )). c) Suponha adicionalmente que n = 2 e que f e g s˜ ao fun¸co ˜es de classe C 2 . Mostre que se −1 (x0 , y0 ) ∈ g (E(f )) o crit´erio de classifica¸ca ˜o dos pontos de estacionaridade baseado no estudo do termo de 2a ordem da f´ ormula de Taylor ´e inconclusivo. d) Classifique os pontos de estacionaridade da fun¸ca ˜o F : R2 → R, definida por F (x, y) = (x2 − y 2 )2 + 2(x2 − y 2 ). 7.97 Estude a natureza dos pontos de estacionaridade da fun¸ca ˜o definida por: f (x, y) = (x − y)3 (3x − 3y − 4). (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 20/2/79)

7.98 Idem, para f (x, y) = 4x2 + 4xy + y 2 + 8x + 4y. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 13/7/79)

7.99 Sejam f e g fun¸co ˜es reais de vari´ avel real e defina-se no produto cartesiano dos seus dom´ınios uma fun¸ca ˜o real ϕ atrav´es de ϕ(x, y) = f (x) + g(y). Mostre que: a) Se x0 ´e um ponto de m´ınimo de f , y0 um ponto de m´ aximo de g e (x0 , y0 ) um ponto de extremo de ϕ ent˜ ao ou f ´e constante numa vizinhan¸ca de x0 ou g ´e constante numa vizinhan¸ca de y0 . b) Se x0 n˜ ao ´e ponto de extremo de f ent˜ ao (x0 , y0 ) n˜ ao ´e ponto de extremo de ϕ, qualquer que seja y0 no dom´ınio de g. 170

7.7. ESTUDO DE EXTREMOS c) Se x0 ´e um ponto de m´ınimo de f e y0 um ponto de m´ınimo de g ent˜ ao (x0 , y0 ) ´e um ponto de m´ınimo de ϕ. 7.100 Determine os extremos locais da fun¸ca ˜o f (x, y) = y 4 + x2 − x3 , indicando quais desses extremos s˜ ao absolutos. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 8/3/79)

7.101 Determine o m´ aximo (absoluto) da fun¸ca ˜o definida no 1o quadrante (x ≥ 0, y ≥ 0) por 2 3 f (x, y) = x y (1 − x − y). (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 26/1/89)

7.102 Considere a fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por: f (x, y) = 4xy − 2x2 − y 4 . a) Determine os extremos relativos de f . b) Determine os extremos absolutos da restri¸ca ˜o de f ao quadrado Q definido por: Q = {(x, y) : |x| ≤ 2, |y| ≤ 2}. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 27/2/81)

7.103 a) Determine as seis rectas constitu´ıdas por pontos de estacionaridade da fun¸ca ˜o definida por g(x, y, z) = xyz(x + y + z − 1). b) Mostre, sem recurso a derivadas de ordem superior a ` primeira, que a fun¸ca ˜o n˜ ao tem extremo em qualquer dos pontos daquelas rectas. c) Diga se a fun¸ca ˜o tem um m´ aximo ou m´ınimo relativo nos restantes pontos de estacionaridade. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 12/7/80)

7.104 a) Entre os pontos que verificam a equa¸ca ˜o x2 + y 2 = 16, determine pelo m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, aquele que est´ a mais pr´ oximo do ponto A = (2, 1) e determine a distˆ ancia do ponto A a `quela circunferˆencia. b) Confirme o valor da distˆ ancia obtida, determinando-a por um processo elementar. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 29/1/79)

7.105 a) Determine os extremos e os extremos absolutos da restri¸ca ˜o da fun¸ca ˜o f : R 3 → R 2 2 2 definida por f (x, y, z) = x − 2y + 2z ao conjunto {(x, y) : x + y + z = 1}. b) Justifique o facto dos pontos obtidos serem efectivamente extremos absolutos. (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 29/2/80)

7.106 Considere a fun¸ca ˜o f : R2 → R definida por f (x, y) = 2x2 + y 2 + 2x. a) Determine os extremos locais de f . b) Que pode afirmar quanto a ` existˆencia de extremos absolutos de f em {(x, y) ∈ R 2 : x2 +y 2 ≤ 1}? (Prova de An´ alise Matem´ atica III de 9/2/81)

171