Exercices Logic Sets Functions

‫ وا‬- ‫ وت‬-  :1     ‫" ا ! د ﻠوت  ا وي وا راغ‬# ‫ ا رآز ﻠ ا آ ا ر ا ﻠ وال ا آت وآذ ك ا‬ :1  . A, B  ‫ ض أ ن إ‬.&‫ ا‬64‫و & ا‬7‫" ا‬8‫ب ا‬#: ";4<4 M ,8 $‫ر‬%‫( ت & ا‬$‫ & دة ا‬x  ‫" ا‬# g ( x ) , ‫ف‬B‫ و‬، ‫ ه@ا ا‬4 f ( x ) , ‫ً ف‬: x ‫إذا آن‬ .( ) ‫ء‬$, ‫ & دة ا‬C# h ( x ) , ‫ف‬B‫ و‬،(  &‫)وه‬ :" ‫" ا‬D/ " ‫ ا‬$.‫ آ" ا‬6;‫ا‬ ∀x ∈ M , f ( x ) ≥ 17

∀x ∈ M , ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) ∃x ∈ M : ∀y ∈ M , g ( x ) ≥ g ( y )

∃x , y ∈ M : x ≠ y

∀x ∈ M , g ( x ) ≤ 60

∀x, y ∈ M : g ( x ) = g ( y )

∃x ∈ A : ∀y ∈ B, g ( y ) ≤ g ( x )

( g ( x ) > g ( y )) ∧ ( h ( x ) < h ( y )) ∀x ∈ M : h ( x ) + g ( x ) ≤ 100 ∃x ∈ A : ∀y ∈ B, g ( x ) ≥ g ( y ) ∀x ∈ A : ∃y ∈ B h ( x ) = h ( y ) g (x ) < g (y ) ∃x , y ∈ M :

∃x ∈ M : g ( x ) = 54 ¬ ( ∃x ∈ M : g ( x ) = 0 ) ∀x ∈ M : g ( x ) ≠ 0 ∀x ∈ M , ∀y ∈ M

∧ g (x ) = g (y )

g ( x ) ≥ g (y ) ∨

Y = { x ∈ M : h ( x ) = 40 }

: M  " ‫ " ا‬E,<‫;ت ا‬4<4‫ن ا‬Q‫ّف ا‬8 X = { x ∈ M : g ( x ) = 60 }

V = { x ∈ M : g ( x ) > 50 }

U = { x ∈ M : g ( x ) > 55 }

C = { x ∈ M : g ( x ) > 50 ∧ h ( x ) > 30 }

D = { x ∈ M : h ( x ) > 30 }

E = { x ∈ M : h ( x ) > 35 }

F = { x ∈ M : g ( x ) + f ( x ) = 100 }

G = { x ∈ M : g ( x ) < 10 } ‫؟‬Y , D, E ‫;ت‬4<4‫"  ا‬G#‫ ؟  ا‬X ,U ,V ‫;ت‬4<4‫"  ا‬G#‫•  ا‬ ‫ ؟‬X ∩ Y ‫ ؟‬X ∩ U ‫ ؟‬D ∩ V R:‫ ه ا‬ ! ‫؟‬G ";4<4‫ ه& ا‬ .V \ U ‫ و‬D \ E ‫;ت‬4<4‫اآ ا‬ .‫;ت‬4<4‫ ا‬H@‫ ه‬IJ4K ‫اء‬U‫ ت ا‬T B‫ار‬

• • • •

:2  .(‫ء‬. a ‫ح‬34‫ ) ا‬:" ./ A ,‫" ( و‬/D p ":‫ ) ا‬: " ./ P ,8 .H‫ أد‬I%L‫ " & ا‬E%‫ارات ا‬6‫ إ ا‬M‫ا‬ . …B,C ,Q $.‫ ّف ا‬IJ4‫و‬

 ‫ارة‬6‫ا‬

‫رس أ‬

 ‫ارة‬6‫ا‬



 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG

:&/$ 4  V T‫   ا‬W3‫ ّ ا‬ : ‫ارة‬6‫& ا‬ P ⇔ (C ∧ B )

: ‫ارة‬6‫& ا‬ A ⇔ (P ∨ Q )

B ⇒ A∧P A⇒B Q ⇒P

C ∨B ⇒ A C ⇒B A ⇒ (P ∨ Q )

A ⇒ (P ∧ Q )

(A ∧ B ∧ C ) ⇒ (P ∧ Q ) :3 

.8 " E,<‫;ت ا‬4<4‫" ا‬% ‫اء‬U‫ ا‬X T ‫ اآ‬A = {a, b, c } ";4<4‫ ا‬% 4  ∃x ∈ M : ( P ( x ) ) ∧ ( ∀y ∈ M , P ( y ) ⇒ ( x = y ) ) :‫رًا‬3Y‫ ا‬J‫" أآ‬Z 3 " ‫ " ا‬.‫اآ ا‬

:5  :"‫ ا " آ‬$.‫;ّ ; ا‬

¬ ( ∃x ∈ ℝ : x 2 + x = −1 )

∀n, m ∈ ℕ, n + m ≥ m

∃x ∈ ℝ : ∀y ∈ ℝ, y ⋅ x = y

∀n ∈ ℕ, ∃m ∈ ℕ : m ≥ n 2

∃ ! n ∈ ℕ : n + n 2 = 12

∃x ∈ ℝ : x 2 = 3

:6  :"  84‫ ا‬X‫ت واوا‬44%4‫ً ا‬6T ‫ ا " ز‬I4<‫اآ ا‬ .\ ‫د‬6; ‫  ّ \ ه‬U $‫د‬6; ‫ع أي‬4< . 4;4< ‫ن‬%$ _ W m  W ‫د‬6; 6\$ n  W3‫د ا‬6‫ً آن ا‬$‫أ‬ .B 4‫ه‬6UV ً4K ًB

 U $‫د‬6; ‫اء‬6\ ‫إذا آن‬ . W ‫د‬6; ‫ 

ه‬: $‫د‬6;  ‫اق‬ .\ ‫د‬6; ‫  ه‬W ‫د‬6; ‫ أي‬R 2 . x + x + 5 = 0 "‫د‬4‫ ا‬aW$ & U ‫د‬6; 6\$ b :7  :V T‫   ا‬W3‫  ّ ا‬. B = {1,2, 3, 4, 5 } ";4<4‫ و ا‬A = {1,2, 3 } ";4<4‫ ا‬% ( ∀x ∈ A, ∃y ∈ B : y < x ) = P1 ( ∃x ∈ B, ∀y ∈ A : y < x ) = P2 ( ∀x ∈ A, ∃y ∈ A : y + x = 4 ) = P3 ( ∀x ∈ B, ∃y ∈ A : y + x = 6 ) = P4 :8  :$.‫ ا‬H@‫ ه‬8 ّ ‫ و‬WK ℕ  " E,\ A ‫;ت‬4<4 "/J‫ أ‬X;‫ ا‬،" ‫ ا‬$.‫ "  ا‬.G I% ∃a ∈ A : ∀b ∈ A, b ≤ a ∀a, b ∈ A, (a + b ) ∈ A ∀a ∈ A : ∃b ∈ ℕ : a = 2b ∀a ∈ A : ( a + 1 ) ∈ A :9  ....، $38;  "%4‫;ت ا‬4<4‫ ا‬d ،6 U‫ و‬38;  "%4‫ " ا‬E,<‫;ت ا‬4<4‫ اآ ا‬. M = {1,2, 3, 4, 5 } % ‫ ؟‬P ( M ) 8; ‫د‬6;  . M ‫اء‬,\‫;" أ‬4<  4 &‫ وا‬، M  " E,<‫;ت ا‬4<4‫ ا‬I‫;" آ‬4< P ( M ) % :&/$ 4  V T‫   ا‬W3‫ ّ ا‬ ‫رس أ‬



 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG

2 ∈ P (M ) {{1,2, 3 }, {1,2 },M } ⊂ P ( M ) ( A ∈ P ( M ) ) ⇔ ( A ⊂ M ) { 2, 5 } ⊂ P ( M )

∀A ∈ P ( M ), A ⊂ M ∀A, B ∈ P ( M ), A ∩ B ∈ P ( M )

:10  ‫ت‬4 4‫ ا‬I‫;" آ‬4<4 D ,8 . M  " E,\ ";4< ‫ي ه‬4‫   & ا‬I‫ن آ‬ ّ ‫ إ‬،‫ي‬4‫;" ط ا‬4< M % . M  " E,\ ‫;ت‬4< ";4< D ‫ن‬ ّ ‫ أي أ‬،‫ي‬4‫& ا‬ :‫ ا  ز‬I4<‫;ّ ; ا‬ (4 4$ 6 U‫   و‬6\$ ‫ي‬4‫ن  ا‬/T4‫ ن ا‬8‫ ا‬f‫ً آ‬$‫ = ) أ‬P1 (‫ن‬$‫ة أو از‬6 U‫ن &  " و‬: ‫  ن أو‬4‫∆ إ أ‬1, ∆2 ‫ن‬4 4‫ً آن ا‬$‫ = ) أ‬P2 ( ∆ ‫ازي‬$‫ " و‬8‫ ا‬H@ 4$ 6 U‫   و‬6\$ C /; RK b &‫ ا‬a " 8‫  ∆ وا‬4‫ً آن ا‬$‫ = ) أ‬P3

D =  −1,1 

:11  :"/38 ‫ت‬b< ‫ع‬4\‫;ت ا " آ‬4<4‫  ا‬# ً ‫اآ آ‬           C =  −5, 5  \  4, 6  B =  0,10  ∩  9,12  A =  1, 5  \  2, 3  H = ℝ \ { 0,1, 2, 3 } :12  :&/$  fd‫ أ‬.8 " E,\ ‫;ت‬4< A, B,C % ‫;" و‬4< M %

(A ∩ B ) \ C

= (A \ C ) ∩ B

(A ∪ B ) \ C

A ∪ B = (A \ B ) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B ) c

( Ac )

= (A \ C ) ∪ (B \ C )

C \ ( A ∪ B ) = (C \ A ) ∩ (C \ B )

=A

B \ (B \ A) = A ∩ B

:13  :" ‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ2 ";4<4‫& ا‬

D = {( x , y ) ∈ ℝ2 : x 2 + y 2 ≤ 1 }

B = {( x , y ) ∈ ℝ2 : y ≥ 1 }

F = {( x, y ) ∈ ℝ2 : x ⋅ ( x 2 + y 2 − 1 ) ≤ 0 } H

A = {( x, y ) ∈ ℝ2 : y > x }

{( x , y ) ∈ ℝ 2 : x < 0 } = {( x , y ) ∈ ℝ 2 : 0 < x + y ≤ 1 } G = { ( x , y ) ∈ ℝ 2 : 0 ≤ y − x < 1 } E =

:‫;ت‬4<4‫ ا‬g@‫ آ‬B‫;ت وار‬4<4‫ ا‬H@‫  ه‬# ً ‫ آ‬B‫ار‬ G ∩H ‫ و‬A∩B ∩D ‫ و‬D \A ‫ و‬B \A ‫ و‬B ∩D ‫ و‬A∩D ‫ و‬A∩B :14  :" ‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ2 ";4<4‫& ا‬ C =  −1,1  ×  2, 3  B =  0,1  ×  2, 3  A =  1,2  ×  2, 3  2 2 D =  0, ∞  ×  3, 5  E =  0, 5  × ℝ F =  0, 3  \  1, 2 

{( x, y ) ∈ ℝ : ( 2x − 3 ) + ( 2y − 3 ) = 18 } L = { ( x , y ) ∈ ℝ : ( 2x − 3 ) + ( 2y − 3 ) = 1 }

S =

2

2

2

2

2

2

. F ∩ L ‫ و‬F ∩ S ‫ و‬E ∩ D ‫ و‬A ∩ B ∩ C ‫ و‬B ∩ C ‫ و‬A ∩ C ‫ و‬A ∩ B B‫ ار‬d ‫;ت‬4<4‫ ا‬H@‫  ه‬# ً ‫ آ‬B‫ار‬ :15  . N   E,\ C , D %‫ و‬. M   E,\ ;4< A, B %‫ و‬. N ‫ و‬M ‫;ن‬4<4‫ ا‬% :&W (K B‫ ر‬R ،"/T "Z 3 ‫ إ;دة آ‬/ $ ، M × N  " E,\ ‫;ت‬4< &/$ 4  ‫رس أ‬



 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG

c

( A ∩ B ) × (C ∩ D )

( A ×C )

( A ×C ) \ ( B × D )

( A ∪ B ) × (C ∪ D )

:16  . ℝ  ;4<4 &K‫ر‬%$‫اء د‬6<‫" آ‬B4‫;ت ا‬4<4‫اآ ا‬

 1 1 ⋯⋯ An =  − , +   n n 

:17  :" ‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ "  W‫اد ا‬6;7‫;" ا‬4< &  1 1 ⋯⋯ ‫@ا‬%‫ وه‬A2 =  − , +  ‫ و‬A1 =  −1,1   2 2  ‫؟‬

k ∈ℕ

 1 ⋯⋯ An =  0,   n 

Ak ‫ع‬4\b‫  ا‬.

∪ ∗

ّ ‫ أ‬fd‫أ‬ Ak = { 0 } R:‫ن ا‬

∩ n ∈ℕ ℕ

∗

:18  :" ‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ "  W‫اد ا‬6;7‫;" ا‬4< &  1 ⋯⋯ ‫@ا‬%‫ وه‬A2 =  0,  ‫ و‬A1 =  0,1   2  ‫؟‬

Ak ‫ع‬4\b‫  ا‬.

∪ k ∈ℕ∗

∩

ّ ‫ أ‬fd‫أ‬ Ak = ∅ R:‫ن ا‬

n∈ ∈ℕ ℕ∗

:19  . k ∈ ℤ _ U Ak =  k, k + 1  :" ‫ " ا‬E,<‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ "  W‫اد ا‬6;7‫;" ا‬4< & ‫ ؟‬j ‫ و‬i / 6‫"  ا‬G#‫ ا‬4 b ً < Ai ∪ Aj ‫ إذا آن‬. ∪ Ak ‫ع‬4\b‫ ; ّ ا‬. Ai ∩ Aj R:‫; ّ ا‬ k ∈ℤ

:20  . i, j ∈ ℤ _ U Pi, j =  i, i + 1  ×  j, j + 1  :" ‫ " ا‬E,<‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ 2 ";4<4‫& ا‬ .B‫ ا‬R ∪ Ak ‫ع‬4\b‫ ; ّ ا‬. Pi, j ∩ Ps,t R:‫; ّ ا‬ ( i, j )∈ℤ2

:21 

An = {( x, y ) ∈ ℕ2 : x + y = n } :&/$ 4‫ ⋯ آ‬A3 , A2 , A1, A0 " E,<‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℕ2 ";4<4‫& ا‬ .

∪ An

= ℕ2 ‫ن‬ ّ ‫ أ‬fd‫ ؟ أ‬Ai ∩ Aj R:‫  ه ا‬. An B‫ ار‬. A3, A2, A1, A0 ‫;ت‬4<4‫اآ ا‬

n ∈ℕ

Bn = {( x, y ) ∈ ℕ2 : max ( x, y ) = n } :&/$ 4‫⋯ آ‬B3 , B2 , B1, B0 " E,<‫;ت ا‬4<4‫ن ا‬Q‫ّف ا‬ .

∪ Bn

= ℕ2 ‫ن‬ ّ ‫ أ‬fd‫ ؟ أ‬Bi ∩ B j R:‫  ه ا‬. Bn B‫ ار‬. B3, B2 , B1, B0 ‫;ت‬4<4‫اآ ا‬

n ∈ℕ

‫رس أ‬



 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG

:22  :" ‫;ت ا‬4<4‫ ; ّ ا‬. Ax = { x , 3x } ";4<4‫ ّف ا‬x ∈ ℝ ‫إذا آن‬ C =

∪

x ∈ 6,7 

B =

Ax

∪ Ax

A=

x ∈  2,3 

x ∈ℤ

∩

D =

x ∈  5,10 

∪

Ax

Bx ,y = Ax ∩ Ay

Ax

:23  :" ‫;ت ا‬4<4‫ ; ّ ا‬. Ax = { x , x1 } ";4<4‫ ّف ا‬x ∈  0, ∞  ‫إذا آن‬ Bx ,y = Ax ∩ Ay

∪

C =

x ∈ 6,7 

∪

B =

Ax

∪

A=

Ax

x ∈  2,3 

x ∈ ℕ∗

Ax

:24  . g ( x ) = x 2 + 1 ‫ و‬f ( x ) = x 2  ‫ ا‬B‫ار‬ :";4<4‫ ا‬B‫ ; ّ وار‬. Ax =

{( x, y ) ∈ ℝ 2 : x 2 ≤ y ≤ 1 + x 2 } ";4<4‫ ّف ا‬x ∈ ℝ ∪ 

A=

x ∈  −1,1 

‫إذا آن‬

Ax

:25  :&/$ 4‫  آ‬4‫ ا‬f : A → A ‫ و‬A = { 0,1,2, 3, 4 } %

x f (x )

         

. f 4 ، f 3 ، f 2 = f  f U‫ ؟ ا‬f ( x ) = x aWK ‫" أي ط‬d ‫ ط‬C I‫؟ ه‬IK ‫؟‬Z ‫ ؟‬$ f I‫ه‬ :" ‫ ا‬R‫ اا‬R aB  6;‫ا‬

x f (x )

x f (x )

         

          :26  :" ‫;ت ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ2 ";4<4‫& ا‬

A=

{( x , y ) ∈ ℝ2 : x 2 + y 2 = 1 }

{( x, y ) ∈ ℝ C = {( x, y ) ∈ ℝ B =

2

} ≤ 1}

2

2

: ( 2x − 3 ) + ( 2y − 5 ) ≤ 1

2

: ( 2x − 2 ) + ( y − 4 )

2

2

D = {( x, y ) ∈ ℝ2 : ( x ≥ 0 ) ∧ ( y ≥ 0 ) ∧ ( x + y ≤ 1 ) } E =  1,2  ×  2, 3  2

2

h:ℝ → ℝ ( x, y ) ֏ ( −x, −y )

‫رس أ‬

:" ‫ ا‬R‫ ّف اا‬4‫آ‬ 2

2

g:ℝ →ℝ ( x, y ) ֏ ( x, −y )



2

2

f :ℝ →ℝ ( x, y ) ֏ ( −x, y )

 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG

q : ℝ2 → ℝ2 ( x, y ) ֏ ( 0, y )

p : ℝ2 → ℝ 2 ( x, y ) ֏ ( x, 0 )

.B‫ ا‬R f , g, h, p, q R‫ اا‬a‫;ت ا" و‬4<4‫  ا‬I‫; ّ رة آ‬ . D ∩ h ( D ) ‫ و‬D ∩ g ( D ) ‫ و‬D ∩ f ( D ) ‫;ت‬4<4‫  ا‬I‫; ّ آ‬ . D ∪ f ( D ) ∪ g ( D ) ∪ h ( D ) ";4<4‫ ا‬B‫ار‬ ."‫ ا‬R‫  اا‬I% "J‫ط ا‬8‫; ّ ا‬ . q  p ‫ و‬q  q ‫ و‬p  q ‫ و‬p  p ‫ و‬g  g ‫ و‬f  f ‫ و‬f  g R‫  اا‬I‫" آ‬D  ‫اآ‬ :27  .‫ن & ا‬64‫;" ا‬4<4 M ,8‫ و‬،‫ان & ا‬6/‫;" ا‬4<4 B ,8
    ،68‫
ا‬،$, 
،E‫ا‬,<‫
ا‬،$‫ر‬B،  







    ،%B
، ‫آ‬:
،h4U،/U
،aL‫
د‬،   . $‫ر‬B  aL‫ د‬:# ً J4 ،C4; 6/ I% X$ ‫ ا@ي‬f : B → M R‫ّف ا‬ . /U  $‫ر‬B :# ً J4 ،C  RK ‫ ا@ي‬6/‫" ا‬8$6 I% X$ ‫ ا@ي‬g : M → B R‫وّف ا‬ :V Y $‫  وأ‬W $‫  ّ أ‬d "ً ‫ ا " آ‬$.‫;ّ ; ا‬ ( P1 ) ∀b ∈ B, ∃ ! m ∈ M : m = f (b )

( P2 ) ( P3 ) ( P4 ) ( P5 ) ( P6 ) ( P7 )

∃m ∈ M : ∀b ∈ B, f (b ) ≠ m ∀a, b ∈ B,

( f ( a ) = f (b ) ) ⇒ ( a = b )

∀a ∈ M , f ( g (a ) ) = a ∀m ∈ M : ∃b ∈ B, f (b ) = m ∀b ∈ B, g ( f (b ) ) = b ∀x, y ∈ M , ( g ( x ) = g ( y ) ) ⇒ ( x = y ) :28 

 ‫ ّ  أي‬d ‫ ا‬$@‫ ه‬B‫ ار‬. g ( x ) = x ( 1 − x ) ‫ و‬f ( x ) = x 2 − 3x + 2 _ U f , g : ℝ → ℝ ‫ ان‬%  :V Y $‫  وأ‬W " ‫ ا‬$.‫ا‬

∀y ∈ ℝ, ∃x ∈ ℝ : f ( x ) = y ∀y ∈  0, ∞  , ∃x1, x 2 ∈ ℝ : f ( x1 ) = f ( x 2 ) = y ∧ x1 ≠ x 2 ∀x ∈  0,1  , ∃y ∈ ℝ : g ( x ) = f ( y ) ∀x ∈ ℝ, f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ ℝ, f ( x ) + g ( x ) = 2 − 2x ∀x ∈ ℝ, g ( x ) > 0 ⇒ x ∈  0,1  . ‫  ا ا‬# ً ‫ آ‬a‫ و‬ 0, 2  ‫<ل‬4‫; ّ رة ا‬ :29  2 C =  −1,1  × ℝ + B = ℝ × { 0} × { 0} A= E = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }

M = H ∩E

H = ℝ+ × ℝ × ℝ

 0,1  3 : ℝ 3  " E,<‫;ت ا " ا‬4<4‫  ا‬# ً ‫ آ‬B‫ار‬   D = {( x , y, z ) ∈ ℝ 3 : y 2 + z 2 ≤ 1 }

G = {( x, y, z ) ∈ ℝ 3 : x 2 + z 2 = 1 ∧ y ∈  1,2 

}

‫ ً؟‬B68‫ ه‬IJ4K ‫ ذا‬. g ( x , y, z ) = ( x , y, −z ) ‫ و‬f ( x , y, z ) = ( x , y, 0 ) &/$ 4‫ آ‬ℝ 3 → ℝ 3 R‫ّف اا‬ .B‫ ا‬R ‫ ا  ت‬H@‫ ه‬a‫;ت ا" و‬4<4‫  ا‬I‫; ّ رة آ‬ ‫رس أ‬



 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG

:30  . ‫"   إ‬4G ‫ت‬Y j4Y I%L‫& ا‬ :&/$ 4‫ آ‬f : { 0,1,2, 3, 4 } → { 0,1, 2, 3, 4 } R‫ّف ا‬

0 1

4

2

f ( n ) = (B7‫ ا‬H
... f 3 ‫ و‬f 2 = f  f ‫ و‬f R‫  اا‬I% b ً ‫و‬6\ ‫ اآ‬... f ( 0 ) = 3 :# ً J4

3

‫ ؟‬f 1033 R‫" ا‬D  RGK ‫ ذا‬. f 5 U :31  p

p0

3

H@‫ ه‬8; ‫ اآ‬. A = { −1, +1} :&/$ 4‫ آ‬A ⊂ ℝ 3 ";4<4‫ّف ا‬ .4B‫ وار‬،/‫;" آ‬4<4‫ا‬ ‫ أو‬y ‫ أو‬x ‫آت‬4‫ى ا‬6U‫ إرة إ‬I$6 ‫ م‬. A  p0 = ( 1,1,1 ) " 8‫ ا‬% I3W8 " E‫\ا‬n‫ ا‬H@‫ر ه‬%‫ و‬. p1 ∈ A ‫ة‬6$6\ "  /; I3W8 &E‫ا‬L; I%L z .. … p2 , p1, p0 ‫ط‬8‫  "  ا‬/; _ U p2 = q ‫ل‬4U‫ ا‬6\‫ أ; أو‬I%L ‫ ؟‬p2 = ( −1, −1,1 ) ‫ن‬%$ ‫ل أن‬4U‫ ا‬ ‫ت؟‬b4Ub‫ ا‬H@‫ع ه‬4<  . q ∈ A :32 

.‫ة‬4‫ ا‬CK‫ و; ّ ر‬$ Cّ‫ أ‬fd‫ أ‬. f ( n ) = 2n + 1 :&/$ 4‫ّف آ‬4‫ ا‬f : ℤ → ℤ R‫ ا‬%  . f −1 ( ℕ ) ‫و‬

f −1 ( { 0,1, 2, 3, 4 } ) ‫;ت‬4<4‫; ّ ا‬

.‫ة‬4‫ ا‬CK‫ و; ّ ر‬$ Cّ‫ أ‬fd‫ أ‬. g ( n ) = 2n :&/$ 4‫ّف آ‬4‫ ا‬f : ℤ → ℤ R‫ ا‬%  :33  ."$‫اد ا   " اد‬6;7‫;" ا‬4<‫و\ " و‬,‫اد ا   " ا‬6;7‫;" ا‬4<  # ً K 6\‫أو‬ :34  x ∈ ℝ + ‫د‬6‫ً آن ا‬$‫ ّف أ‬4‫ آ‬. A =

{( x, y ) ∈ ℝ 2 : 0 ≤ y ≤ x } " E,<‫;" ا‬4<4‫ ّف ا‬ℝ2 ";4<4‫& ا‬

. A ";4<4/ "E,
:35  :&/$ 4‫ آ‬f , g : ℝ → ℝ ‫ّف ا‬ g (x ) =

f (x ) =

1 + x2 − x

1

x2 + x + 1 . g  g ‫ و‬f  f ‫ و‬g  f ‫ و‬f  g "D  ‫اآ‬ :36 

.Hّ‫ و‬C/ 8  IK Cّ‫ أ‬fd‫ وأ‬R‫ ه@ا ا‬B‫ ار‬. f ( x ) =

x x +1

:&/$ 4‫ آ‬f :  0, ∞  →  0,1  R‫ّف ا‬ .C4B‫ وار‬f −1 &%‫ ا‬R‫" ا‬D  ‫اآ‬ :37 

";4<4‫؟  رة ا‬R‫ ً ه@ا ا‬B68‫ ه‬IJ4$ ‫ ذا‬. f ( ( x , y ) ) = ( x + 1, y + 1 ) :&/$ 4‫ آ‬T : ℝ2 → ℝ2 R‫ّف ا‬ ‫"؟‬d ً: f I$ I‫ ه‬.&%‫ ا‬CK U‫ وا‬IK Cّ‫ أ‬fd‫ ؟ أ‬A = ℝ 2+

‫رس أ‬



 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG

‫  ص‬38  :&/$ 4‫ آ‬f : A → A R‫ ّف ا‬."$, /<b‫ف ا‬U7‫;" ا‬4< A = {a, b, c, …, z } ";4<4‫ ا‬% ، f ( x ) = z ..... ‫@ا‬%‫ و ه‬f (b ) = d ‫ و‬f ( a ) = c ‫ي‬6<7‫  ا‬K‫ & ا‬W C /$ ‫ف ا@ي‬W‫ف  ه& ا‬U ‫رة‬ f ( z ) = b ‫ ًا‬Y‫ و أ‬f ( y ) = a d

ّ ‫ اا( أ‬ .IK f ‫ن‬ " ‫ت ا‬4/%‫ ا‬# ً J :b ‫ أم‬8  ‫ا ًء آن‬B "$, /<b‫ف ا‬U7‫  ا‬/ %LK %4$ &‫ت ا‬4/%‫ ا‬I‫;" آ‬4< D ‫ن‬Q‫ ا‬% .... canary book abab xyzyx : D  8; .IK Cّ‫ أ‬fd‫ أ‬. g ( a1a2 ⋯am ) = f ( a1 ) f ( a2 )⋯ f ( am ) :&/$ 4‫ آ‬g : D → D R‫ّف ا‬ . k ucy c ecv ycnmkpi qp vjg oqqp :" ‫" ا‬/4
( 7n ) ‫د‬6‫د  ا‬UQ‫" ا‬Y &‫ ه‬n ∈ A 38‫رة ا‬ . f ( 2 ) = 4 :‫د أي‬UQ‫" ا‬Y ‫ل‬, d  6<8 ‫د‬6 C.  ‫د‬6‫ا‬

‫ب رة‬W # ً J4

. f  f R/ b ً ‫و‬6\ ‫ ؟ اآ‬1 ‫د‬6/ " %‫رة ا‬3‫"؟  ا‬J‫ ا‬C:  .IK Cّ‫ أ‬fd‫ وأ‬R‫   ه@ا ا‬b ً ‫و‬6\ ‫اآ‬ ( 3n ) ‫د‬6‫د  ا‬UQ‫" ا‬Y &‫ ه‬n ∈ A 38‫ رة ا‬:&/$ 4‫ آ‬g : A → A R‫ن ا‬Q‫ّف ا‬ ‫ ؟‬f R CG#;  .R‫ @ا ا‬b ً ‫و‬6\ ‫اآ‬ :40  ‫ ( و‬1, 0 ) ‫ ( و‬1,1 ) " ‫ط ا‬8‫ ر ا‬B‫ وار‬U‫ ا‬. f ( ( x , y ) ) = ( 2x , 2y ) :&/$ 4‫ آ‬T : ℝ2 → ℝ2 R‫ّف ا‬ ";4<4‫ ه ؟  رة ا‬G t3‫ ( و‬0, 0 ) ‫ه‬,‫ة ا& آ‬E‫ا‬6‫؟  رة ا‬R‫ ً ه@ا ا‬B68‫ ه‬IJ4$ ‫ ذا‬. ( −1, −1 ) ‫"؟‬d ‫ ط‬f R/ I‫ ه‬.&%‫ ا‬CK U‫ وا‬IK f ‫ن‬ ّ ‫ أ‬fd‫ ؟ أ‬A = ℝ 2+ :41  X$ ‫ وا@ي‬N

(( x, y )) =

x 2 + y 2 :_ U N : M → ℝ R‫ ّف ا‬. M = ℝ 2 \ {( 0, 0 ) } ";4<4‫ ا‬%

‫؟‬R‫ة @ا ا‬4‫رة ا‬3‫ ؟  ه& ا‬$ ‫ ه‬I‫ ه‬. ( 0, 0 ) ‫أ‬64‫ه ; ا‬6 ( x , y ) "  I% . S = N −1 ( 1 ) ‫ و‬D = N −1 (  0,1  ) ";4<4‫ ا‬B‫ ; ّ وار‬. f −1 ( r ) ";4<4‫ ا‬B‫ ; ّ وار‬. r ∈ ℝ ‫د‬6‫ ا‬% 

 f ( ( x , y ) ) =  

:_ U f : M → M R‫ ا‬g@‫ّف آ‬  x y  , x 2 + y 2 x 2 + y 2 

. p ∈ M _ U f −1 ( { p } ) U‫ ا‬. f  f U‫؟ ا‬R‫ة @ا ا‬4‫رة ا‬3‫  ه& ا‬. N  f U‫ ؟ ا‬$ ‫ ه‬I‫ه‬ :_ U g : M → M R‫ّف ا‬

 x  y  g ( ( x , y ) ) =  ,  x 2 + y 2 x 2 + y 2  ‫"؟‬J‫ ا‬C: &‫  ه‬.IK g ‫ن‬ ّ ‫ أ‬u8B‫ وا‬g  g = IdM ‫ن‬ ّ ‫ أ‬fd‫أ‬ . g  f ‫ و‬f  g U‫ ا‬. g ( M \ D ) ‫ و‬g ( D ) ‫;ت‬4<4‫ ا‬B‫; ّ وار‬ :42  . f ( x ) = max ( x , x 2 − 1 ) :"D 3  4‫ ا‬f : ℝ → ℝ R‫ ا‬B‫ار‬ ‫رس أ‬



 G‫ ر‬$‫ر‬4K "4EG