Exercice Juin

(A) Solution : 1- Soit n un entier vérifiant la propriété (A). Donc il existe une permutation (ai)1≤i≤4n des entiers 1,2,…,4n telle que : (a + a 2 + a3 ) (a + a 6 + a 7 ) P1 = {a1, a2, a3, a4= 1 }; P2= {a5, a6, a7, a8= 5 };…; 3 3 (a 4 j −3 + a 4 j −2 + a 4 j −1 ) Pj = {a4j-3, a4j-2, a4j-1, a4j= };…; 3 (a + a 4 n −2 + a 4 n −1 ) Pn = {a4n-3, a4n-2, a4n-1, a4n= 4 n −3 } forment une partition de {1,2,…,4n} 3 Or ∀j ∈{1,2,…,n} la somme des éléments de Pj est égale à 4a4j D’où: 4a4 + 4a8 +…+ 4a4j +…+ 4a4n = 1+2+3+4+…+(4n-1)+4n ⇒ 2(a4 + a8 +…+ a4j +…+ a4n) = n(4n+1) ⇒ n est pair. n entier non nul vérifiant (A) ⇒ n est pair 2- on va montrer que ∀n pair non nul, n vérifie (A) a- n=2 vérifie (A) en effet, il suffit de prendre P1 = {1, 3, 8, 4=

(1 + 3 + 8) ( 2 + 6 + 7) } et P2 = {2, 6, 7, 5= } 3 3

b- si n=2m (m entier ≥ 2) alors n vérifie (A) en effet, il suffit de prendre la partition (Pi)1≤i≤2m de {1, 2, 3, …, 4n} définie par : P1={1, 3, 8, 4} ; P2={2, 6, 7, 5} P2j+1=P1+8j ={1+8j, 3+8j, 8+8j, 4+8j} ; P2j+2=P2+8j={2+8j, 6+8j, 7+8j, 5+8j} 1≤j≤m-1. et utiliser le fait que ( x4 est moyenne arithmétique de x1, x2, x3 => (x4+a) est moyenne arithmétique de (x1+a), (x2+a), (x3+a)) 3- Conclusion : n entier vérifiant (A) ⇔ n entier naturel pair non nul

{n / n vérifie (A)} = 2.N*