Excel 16

Managementul proiectelor

CAPITOLUL 16 MANAGEMENTUL PROIECTELOR 16.1. Managementul proiectelor Multe din proiectele din via\a real[ sunt foarte complexe =i costisitoare. Realizarea acestora la timp =i ]n cadrul bugetului alocat nu este o sarcin[ u=oar[. }n mod tipic, anumite activit[\i nu pot ]ncepe ]nainte ca altele s[ se termine. Iar dac[ ]ntr-un proiect apar sute de astfel de dependen\e, problemele de planificare se complic[ foarte mult, iar managerii au nevoie de metode speciale de analiz[. C`teva din ]ntreb[rile la care vom ]ncerca s[ r[spundem ]n continuare sunt: 1. Care este termenul de terminare al proiectului? 2. Care sunt momentele de ]nceput =i de terminare ale fiec[rei activit[\i? 3. Care activit[\i sunt critice, ]n sensul c[ ele trebuie s[ se termine exact ]n termenul planificat, astfel ]nc`t s[ nu fie dep[=it termenul final de realizare al proiectului? 4. C`t de mult pot fi ]nt`rziate activit[\ile necritice astfel ]nc`t s[ nu fie dep[=it termenul final de realizare al proiectului? 5. Cum pot fi alocate resursele diverselor activit[\i astfel ]nc`t proiectul s[ se realizeze rapid =i cu costuri minime? Metodele PERT =i CPM, acronimele pentru Program Evaluation Review Technique =i Critical Path Method, graficele Gant, sunt metode de analiz[ utilizate pentru managemenul proiectelor. Indiferent de metod[, primul pas ]n planificarea proiectelor este definirea activit[\ilor =i stabilirea rela\ilor de preceden\[ dintre acestea. Aceasta este partea cea mai important[ a unui proiect =i ]n mod normal ]n aceast[ etap[ ar trebui implicate mai multe persoane, astfel ]nc`t s[ nu fie uitat[ nici o activitate important[. Exemplu }n prezent firma ABC are birouri doar ]n Bucure=ti, =i dore=te s[ deschid[ birouri noi ]n Bra=ov. }n acest scop o parte din personalul din Bucure=ti se va muta ]n Bra=ov =i se va angaja personal nou. }n timp ce economi=tii trebuie s[ se ocupe de partea financiar[ a afacerii, arhitec\ii trebuie s[ se ocupe de proiectarea interioarelor. Anumite p[r\i ale proiectului nu pot ]ncepe p`n[ c`nd altele nu sunt terminate. De exemplu, nu pot fi amenajate birourile dac[ acestea nu au fost ]nc[ proiectate, sau nu se poate angaja personal p`n[ nu se stabile=te personalul necesar. }n tabelul 16.1 sunt prezentate activit[\ile din care este alc[tuit proiectul. Activitatea

Descriere

A B

Selectarea birourilor Stabilirea planului de organizare =i a celui financiar Determinarea personalului necesar Proiectarea interioarelor Amenajarea birourilor Selectarea personalului care se va muta Angajarea de personal nou Mutarea propriu-zis[

C D E F G H

Activit[\i precedente -

Durata de realizare (s[pt[m`ni) 3 5

B A, C D C F F

3 4 8 2 4 2

Modelarea deciziilor utilizând foile de calcul I

Stabilirea rela\iilor cu noii parteneri din Bra=ov Instruirea peronalului

J

B

5

H, E, G

3

Tabelul 16.1 - Activit[\ile proiectului Fiecare activitate este plasat[ ]ntr-un r`nd separat, iar ]n coloana Activit[\i precedente sunt trecute activit[\ile care trebuie realizate ]naintea ]nceperii activit[\ii analizate. De exemplu activitatea C nu poate ]ncepe p`n[ nu se termin[ activitatea B. }n coloana Durata de realizare este trecut timpul estimat pentru realizarea activit[\ilor.

16.2. Grafice Gant Una din metodele cele mai populare folosite pentru planificarea proiectelor este utilizarea graficelor Gant. Fiecare activitate este desf[=urat[ pe axa vertical[. Pe axa orizontal[ este reprezentat timpul. Activit[\ile sunt reprezentate prin bare de lungime egal[ cu timpul de realizare a activit[\ii. Graficul indic[ =i termenul cel mai devreme de ]ncepere a fiec[rei activit[\i. De exemplu, activitatea C nu poate ]ncepe ]nainte de sf`r=itul s[pt[m`nii 5, deoarece activitatea B trebuie s[ se termine ]nainte ca C s[ ]nceap[. Pe m[sur[ ce o activitate este realizat[, bara asociat[ este ha=urat[. Astfel, ]n orice moment de timp este foarte clar ce activit[\i au fost realizate la timp =i care nu. Graficul din figura 16.1 arat[ c[ ]n s[pt[m`na 13 activit[\ile D, E =i H sunt ]n urma planului, iar activitatea G este ]naintea planului.

A

3 5

B

3

C D

4

E

8

2

F

4

G H

2

5

I J

3

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Figura 16.1 – Graficul Gant }n contextul graficelor Gant „]n plan“ ]nseamn[ c[ activitatea nu a fost finalizat[ mai t`rziu de cel mai devreme termen de terminare a activit[\ii. Astfel, ]n figura 16.1 putem observa c[ activit[\ile D =i H ar trebui s[ se termine cel mai devreme ]n s[pt[m`na 12. Deoarece nu sunt terminate ]n s[pt[m`na 13 ele sunt ]n urma planului. Din graficele Gant nu se pot stabili predecesorii imedia\i ai unei activit[\i. }n figura 16.1 poate p[rea c[ F =i I sunt activit[\i precedente ale activit[\ii G, deoarece G poate ]ncepe ]n s[pt[m`na 10, iar F =i I se pot termina atunci. Dar din tabelul 16.1 =tim c[ doar F este

Managementul proiectelor „predecesor imediat“ a lui G. O ]nt`rziere a activit[\ii I nu ar afecta momentul de ]ncepere al activit[\ii G. Astfel de informa\ii sunt importante pentru manager pentru c[ ar putea s[ stabileasc[ ce activit[\i ar putea fi ]nt`rziate f[r[ a modifica termenul final de realizare al proiectului. Graficele Gant nu pot fi folosite pentru astfel de analize, ]n acest caz fiind recomandat[ metoda de reprezentare a proiectului printr-un graf.

16.3. Reprezentarea proiectelor prin grafuri Fiecare activitate este reprezentat[ ]n graf printr-un arc. }nceputul =i sf`r=itul fiec[rei activit[\i sunt indicate printr-un cerc numit nod. Fiec[rui nod i se atribuie un num[r. Modul de atribuire a numerelor este arbitrar. Pe m[sur[ ce se construie=te graful nodurile se pot renumerota, dar trebuie p[strate corect rela\iile de preceden\[ ]ntre activit[\i. Fiecare activitate trebuie s[ ]nceap[ ]n nodul ]n care activitatea precedent[ se termin[. De exemplu, ]n figura 16.2, activitatea C ]ncepe ]n nodul 3, deoarece activitatea precedent[ B se termin[ aici. 2

A 1

4 B

C

3

Figura 16.1 – Graful pentru activit[\ile de la A la C

A

2

4 D

1

5 E

C B

3 Figura 16.2 – Graful par\ial

Complica\ii apar ]n momentul ]n care ]ncerc[m s[ ad[ug[m activitatea D ]n graf. +i A =i C sunt activit[\i precedente pentru D, =i cum vrem ca ]n graf activitatea D s[ apar[ o singur[ dat[ trebuie s[ combin[m nodurile 2 =i 4 din figura 16.2 ]ntr-unul singur. Acest lucru este ar[tat ]n figura 16.3. Nodul 2 (au fost renumerotate nodurile) reprezint[ evenimentul ]n care activit[\ile A =i C au fost terminate. Activitatea E, care are ca activitate precedent[ doar pe D poate fi ad[ugat[ f[r[ dificultate. C`nd ]ncerc[m s[ ad[ug[m activitatea F apar din nou probleme. Cum F are activitate precedent[ pe C, ar trebui ca activitatea F s[ ]nceap[ ]n nodul 3. Dar acest lucru ar ]nsemna c[ activitatea F are ca activitate precedent[ =i pe A, ceea ce este incorect.

Modelarea deciziilor utilizând foile de calcul Aceast[ dilem[ poate fi rezolvat[ prin introducerea unei activit[\i fictive, reprezent[ prin linie punctat[ ]n figura 16.4. Aceast[ activitate nu necesit[ nici timp =i nici resurse. 2

5

D

A 1

4 B

6

F

C

7

E

Figura 16.4 – Introducerea unei activit[\i fictive

3

Astfel, figura 16.4 arat[ c[ activitatea D poate ]ncepe dup[ ce =i A =i C s-au terminat. Similar, F poate ]ncepe dup[ ce activitatea C s-a terminat. Putem generaliza modul ]n care introducem o activitate fictiv[ ]n modul urm[tor: Presupunem c[ vrem s[ ad[ug[m o activitate A, ]n nodul de start N, dar nu toate activit[\ile care se termin[ ]n nodul N sunt activit[\i precedente ale acestei activit[\i. Pentru aceasta se creeaz[ un nou nod M, cu o activitate fictiv[ de la nodul M la nodul N. Toate activit[\ile care se termin[ ]n N =i sunt predecesoare ale activit[\ii A se vor termina ]n nodul M. Acum activitatea A poate ]ncepe ]n nodul M. Figura 16.5 prezint[ graful asociat tabelului 16.1. 2

5

D

A

E

1

4 B

6

F

C

H 7

G

3

J

I

8

Figura 16.5 – Graful de re\ea Fiecare activitate este identificat[ printr-un nod de start =i unul de terminare. }n graful din figura 16.5 s-ar putea face confuzia c[ G =i H reprezint[ aceea=i activitate. Pentru a evita confuzia se introduce o nou[ activitate fictiv[ (figura 16.6). H

6

7 G 8 Figura 16.6 – Introducerea celei de a doua activit[\i fictive Astfel, graful final are forma din figura 16.7.

Managementul proiectelor

A(3)

2

5

D(4)

E(8)

1

4

B(5)

F(2)

C(3)

6

H(2)

7

G(4)

3

8

J(3)

I(5) 9 Figura 16.7 – Graful final Din tabelul 4.1. se poate calcula (adun`nd duratele de realizare ale activit[\ilor) c[ timpul total de realizare al proiectului este de 39 de s[pt[m`ni. Termenul acesta poate fi mai mic deoarece unele activit[\i se pot desf[=ura simultan (de exemplu activit[\ile A =i B). Pentru a afla termenul minim de realizare al proiectului trebuie s[ calcul[m drumul critic. Un drum ]ntr-un graf este o succesiune de activit[\i de la nodul ini\ial (1) la nodul final (9). De exemplu secven\a B-I necesit[ 10 s[pt[m`ni pentru a fi realizat[, secven\a B-C-D-E-J 23 de s[pt[m`ni. }ntr-un graf pot fi identificate mai multe drumuri de la nodul ini\ial la cel final, cu durate diferite. Se pune problema determin[rii celui mai lung drum de la nodul ini\ial la cel final. Acest drum, numit drum critic, va determina timpul de realizare al proiectului, deoarece nici un alt drum nu este mai lung. Dac[ activit[\ile de pe drumul critic sunt ]nt`rziate, ]ntregul proiect va fi ]nt`rziat. Din aceast[ cauz[ activit[\ile care se g[sesc pe drumul critic se numesc activit[\i critice. Activit[\ile critice trebuie realizate „la termen“. Problema se rezolv[ ]n modul urm[tor: 1. Se calculeaz[ pentru fiecare activitate cel mai devreme termen de ]ncepere =i cel mai devreme termen de terminare. Vom nota cu: DI – cel mai devreme termen pentru ]nceperea unei activit[\i DT – cel mai devreme termen pentru terminarea unei activit[\i t – durata estimat[ a activit[\ii. Pentru o activitate, rela\ia dintre aceste m[rimi este: DTˆDI‡t Termenul DI pentru o activitate care pleac[ dintr-un nod este cel mai mare DT al activit[\ilor care se termin[ ]n acel nod. Pentru fiecare activitate din re\ea se calculeaz[ DI =i DT. Rezultatul este prezentat ]n figura 16.8. A(0,3)

2

5

D(8,12

E(12,20)

1

4

B(0,5)

C(5,8) 3

F(8,10)

6

Figura 16.8 – Termenele DI =i DT

H(10,12) 7

G(10,14) 8

J(20,23)

I(5,10) 9

Modelarea deciziilor utilizând foile de calcul Deci, cel mai devreme termen de terminare al proiectului este de 23 de s[pt[m`ni. 2. Se calculeaz[ cel mai t`rziu termen de ]ncepere =i terminare a activit[\ii. Pentru a identifica activit[\ile critice =i intervalele de timp cu care activit[\ile necritice pot fi ]nt`rziate f[r[ a afecta termenul de finalizare al proiectului, se parcurge graful ]napoi de la nodul final la nodul ini\ial. Ideea este c[ odat[ ce se cunoa=te termenul de realizare al proiectului (23 de s[pt[m`ni), pornind de la aceast[ valoare putem calcula cel mai t`rziu termen la care se poate termina o activitate f[r[ a ]nt`rzia ]ntregul proiect. Evaluarea ]ncepe de la nodul final spre nodul ini\ial. Vom nota cu: TI – cel mai t`rziu termen de ]ncepere a unei activit[\i TT – cel mai t`rziu termen de terminare a unei activit[\i Rela\ia dintre aceste m[rimi este: TI ˆ TT – t Termenul TT pentru o activitate care se termin[ ]ntr-un nod este cel mai mic TI al activit[\ilor care pleac[ din acel nod. Rezultatele sunt prezentate ]n figura 16.9. A(5,8)

2

5

D(8,12)

E(12,20)

1

4

B(0,5)

C(5,8) 3

F(14,16)

6

H(18,20) 7

G(16,20) 8

J(20,23)

I(18,23) 9 Figura 16.9 – Calcularea TI =i TT 3. Determinarea rezervei de timp asociate fiec[rei activit[\i. Rezerva de timp este timpul cu care o activitate poate fi ]nt`rziat[ f[r[ a afecta termenul de finalizare al proiectului. Rezerva de timp (RT) se calculeaz[ cu formula: RT ˆ TI - DI ˆ TT – DT De exemplu, pentru activitatea G, rezerva de timp este: RTG ˆ TIG – DIG ˆ 16 - 10 ˆ 6 sau RTG ˆ TTG – DTG ˆ 20 - 14 ˆ 6 Aceasta ]nseamn[ c[ activitatea G poate ]nt`rzia cu 6 s[pt[m`ni dup[ cel mai devreme termen de ]ncepere a activit[\ii f[r[ a ]nt`rzia proiectul. Pentru activitatea C: RTC ˆ TIC – DIC ˆ5 - 5 ˆ 0 Deci activitatea C nu are rezerv[ de timp =i trebuie s[ ]nceap[ ]n s[pt[m`na 5. Cum aceast[ activitate nu poate fi ]nt`rziat[ f[r[ a afecta ]ntregul proiect, ]nseamn[ c[ aceast[ activitate este o activitate critic[. Activitatile care au rezerva de timp 0 sunt activitati critice.

Managementul proiectelor

16.4. Rezolvarea cu Excel Rezolvarea problemelor de managementul proiectelor cu Excel se face folosind abordarea bazat[ pe grafuri. Foaia de calcul care con\ine acest model este prezentat[ ]n figura 16.10. Datele =i formulele introduse sunt cele rezultate prin dezvoltarea grafului ata=at proiectului. De exemplu, deoarece cel mai t`rziu termen de terminare a activit[\ii F este cea mai mic[ valoare dintre cele mai t`rzii termene de ]ncepere ale activit[\ilor G, F =i K, formula din celula G7 va fi ˆ MIN(F8, F9, F12). Deoarece cel mai devreme termen pentru ]nceperea activit[\ii D este cea mai mare valoare din cele mai devreme termene de terminare ale activit[\ilor A =i C, formula din D5 este ˆ MAX(E2,E4). }n coloana activitate critic[ este trecut cuv`ntul DA pentru activit[\ile care au abaterea 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A ACTIVITATE A B C D E F G H I J

B DESCRIERE Selectarea birourilor Stabilirea planului de organizare si a celui financiar Determinarea personalului necesar Proiectarea interioarelor Amenajarea birourilor Selectarea personaluli care se va muta Angajarea de personal nou Mutarea propriu-zisa Stabilirea relatiilor cu noii partener din Brasov Instruirea personalului

C DURATA 3 5 3 4 8 2 4 2 5 3

D DI 0 0 5 8 12 8 10 10 5 20

LUNGIMEA MAXIMA A PROIECTULUI

E DT 3 5 8 12 20 10 14 12 10 23

F TI 5 0 5 8 12 14 16 18 18 20

G TT 8 5 8 12 20 16 20 20 23 23

H ABATERE 5 0 0 0 0 6 6 8 13 0

23

Figura 16.10 – Foaia de calcul Excel Formulele utilizate ]n foaia de calcul sunt: Celula D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10 D11 E2 F2 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 H2 I2

Formula ˆMAX(E3) ˆMAX(E2,E4) ˆMAX(E5) ˆMAX(E4) ˆMAX(E7) ˆMAX(E7) ˆMAX(E3) ˆMAX(E6,E8,E9) ˆD2‡C2 ˆG2-C2 ˆMIN(F5) ˆMIN(F4,F10) ˆMIN(F5,F7) ˆMIN(F6) ˆMIN(F11) ˆMIN(F8,F9) ˆMIN(F11) ˆMIN(F11) ˆE13 ˆE13 ˆF2-D2 ˆIF(H2ˆ0,“DA“,“NU“)

Se copieaz[ ]n E3:E11 F3:F11 H3:H11 I3:I1

I CRITICA? NU DA DA DA DA NU NU NU NU DA

Modelarea deciziilor utilizând foile de calcul E13

ˆMAX(E2:E11)

-

16.5. Reprezentarea grafică a graficelor Gant în Excel }n graficul Gant activit[\ile sunt afi=ate pe axa vertical[, iar pe axa orizontal[ este reprezentat timpul. Graficul indic[ cel mai devreme termen de ]ncepere a fiec[rei activit[\i =i durata activit[\ii. Vom ilustra modul de construire a graficelor Gant pentru exemplul din figura 16.10. 1. Se selecteaz[ datele care vor fi reprezentate ]n grafic: activit[\ile (A1:A11), durata activit[\ilor (C1:C11) =i cel mai devreme termen de ]ncepere a activit[\ilor (D1:D11). 2. Se creeaz[ un grafic de tip Staked Bar. 3. Se selecteaz[ seria DI. Se apas[ butonul din dreapta al mouse-ului =i se selecteaz[ comanda Format Series. Se selecteaz[ butonul Series Order =i se stabile=te pentru afi=area seriilor ordinea DI, Durata. Se selecteaz[ butonul Patterns, =i ]n sec\iunile Border =i Area se selecteaz[ op\iunile None. Deci barele ata=ate termenelor de ]ncepere ale activit[\ilor vor fi transparente, iar barele care reprezint[ durata activit[\ilor vor ap[rea ]n prelungirea lor. Se selecteaz[ seria Durata, se apas[ butonul din dreapta al mouse-ului =i se selecteaz[ comanda Format Series. Se selecteaz[ butonul Data Labels, op\iunea Show Value. Astfel ]n dretul fiec[rei bare va fi afi=at[ durata activit[\ii. Se selecteaz[ axa Y, se apas[ butonul din dreapta al mouse-ului =i se selecteaz[ comanda Format Axis. Se selecteaz[ butonul Scale, op\iunile Categories in reverse order =i Value (Y) axis crosses at maximum category. Astfel activit[\ile vor fi afi=ate ]ncep`nd din partea de sus a axei y.

16.6. Modelul de analiză a drumului critic/cost Pentru reducerea timpului de realizare a unui proiect, analistul poate ]ncerca reducerea duratei ]n care se efectueaz[ anumite activit[\i de pe drumul critic prin alocarea de resurse suplimentare. De exemplu, o activitate care dureaz[ ]n mod normal 2 s[pt[m`ni dac[ se lucreaz[ 8 ore pe zi, poate fi terminat[ mai repede dac[ se lucreaz[ peste program sau dac[ se m[re=te num[rul de muncitori. Acest lucru, bine]n\eles, se realizeaz[ cu pre\ul unor costuri crescute. Problema care se pune este: „Ce activit[\i ar trebui urgentate astfel ]nc`t reducerea termenului final de realizare al proiectului s[ se fac[ cu costuri minime?“. Acest model presupune c[ costul este o func\ie liniar[ de timp, descresc[toare, deoarece orice efort de urgentare este ]nso\it de cre=terea cheltuielilor (figura 16.11). Cost Cost maxim Cost minim Timp minim

Timp maxim

Figura 16.11 - Func\ia cost - durat[

Timp

Managementul proiectelor

Pentru fiecare activitate se cunosc urm[toarele date: Timpul normal – timpul maxim de realizare a activit[\ii Costul normal – costul necesar pentru realizarea activit[\ii ]n timpul normal de lucru Timpul minim - timpul minim ]n care se poate realiza activitatea Cost maxim - costul necesar pentru realizarea lucr[rii ]n timpul minim Pentru prezentarea metodei vom folosi urm[torul exemplu: Un proiect, cu graful asociat prezentat ]n figura 16.13, este alc[tuit din 5 activit[\i. Pentru fiecare activitate se cunosc timpul normal, timpul minim, costul normal =i costul maxim (prezentate ]n tabelul 16.2).

Activitate A B C D E Total

Timp normal (ore) 32 40 50 24 120

Cost normal ($) 640 480 1000 288 4800 7208

Timp minim (ore) 20 30 30 15 70

Cost maxim ($) 800 720 1200 360 5600

Costul urgent[rii/or[ 13.3 24 10 8 16

Tabelul 16.2 - Activit[\ile proiectului }n ultima coloan[ din tabel s-a calculat pentru fiecare activitate costul urgent[rii pe or[, egal cu (Costul maxim-Costul normal)/(Timpul normal-Timpul minim) . Figura 16.12 ilustreaz[ func\ia cost - durat[ pentru activitatea A. Cost 800 640 20

Timp

32

Figura 16.12 - Func\ia cost - durat[ pentru activitatea A Graful asociat problemei este prezentat ]n figura 16.13. 2

A 32

B 40

1

4

C

D

50 3

E 120

24

Figura 16.13 – Graful asociat problemei

5

Modelarea deciziilor utilizând foile de calcul

Utiliz`nd duratele normale pentru fiecare activitate, cel mai devreme termen pentru finalizarea proiectului este 194 ore (pe drumul critic C-D-E). Pentru a reduce termenul de finalizare al proiectului la 193 de ore o activitate de pe drumul critic trebuie urgentat[ cu o or[. Cum costul urgent[rii pe or[ pentru activitatea D este mai mic dec`t costurile urgent[rii pe or[ pentru activit[\ile C =i E (8‹10 =i 8‹16), se va urgenta activitatea D cu o or[. Astfel, proiectul se va termina ]n 193 de ore, drumul critic va fi C-D-E =i costul total 7208‡8ˆ7216. Dac[ termenul de finalizare mai trebuie redus cu o ]nc[ or[, la 192 ore, aplic`nd un ra\ionament asem[n[tor se urgenteaz[ activitatea D cu ]nc[ o or[ =i costul marginal va cre=te cu 8$. Dac[ termenul de finalizare trebuie redus mai mult, la 191 ore, problema se complic[. Situa\ia este ilustrat[ ]n figura 16.4. Acum exist[ dou[ drumuri critce A-B-E =i C-D-E, ambele de 192 ore. 2

A

B

32

40

1

4 C

D

50

E

5

120

22

3

Figura 16.4 – Graful pentru timpul de finalizare de 191 ore Urgentarea uneia dintre activit[\ile A, B, C, D cu o or[ va reduce un drum cu o or[, dar drumul critic va r[m`ne tot de 192 ore. Un drum critic de 191 de ore se poate ob\ine dac[ se urgenteaz[ activit[\i de pe ambele drumuri, sau dac[ se urgenteaz[ doar activitatea E. Deci exist[ mai multe alternative, iar dintre acestea trebuie g[sit[ solu\ia care are costul minim. Pentru grafuri complexe rezolvarea ]n acest mod ar fi foarte greoaie. Problema poate fi rezolvat[ simplu cu ajutorul program[rii liniare. Figura 16.5 con\ine modelul ata=at problemei. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A Activitate A B C D E

B Timp normal 32 40 50 24 120

C Cost normal 640 480 1000 288 4800

Activitate Durata urgentarii Durata activitatii A 0 32 B 0 40 C 0 50 D 0 24 E 0 120 Termenul final: Costul urgentarii = 0

D E F G Timp minim Cost maxim Durata urgentare Cost/ora de urgentare 20 800 12 13.33333333 30 720 10 24 30 1200 20 10 15 360 9 8 70 5600 50 16 DI 0 32 0 50 74

DT 32 72 50 74 194

TI 2 34 0 50 74

TT 34 74 50 74 194

H

I

Abatere 2 2 0 0 0

Activitate critica

194

Figura 16.5 – Foaia de calcul utilizat[ pentru rezolvarea problemei

*** *** ***

Managementul proiectelor

Formulele utilizate ]n foaia de calcul sunt: Celula F2 G2 D9 D10 D11 D12 D13 E9 F9 G9 G10 G11 G1 G13 H9 I9 D14 C15

Formula ˆB2-D2 ˆ(E2-C2)/(B2-D2) 0 ˆE9 0 ˆE11 ˆMAX(E10,E12) ˆD9‡C9 ˆG9-C9 ˆF10 ˆF13 ˆF12 ˆF13 ˆE13 ˆF9-D9 ˆIF(H9ˆ0,“***“,““) ˆE13 ˆSUMPRODUCT(B9,B13,G2:G6)

Se copieaz[ ]n F3:F6 G3:G6 E10:E13 F10:F13 H10:H13 I10:I13 -

}n prima parte a foii de calcul se introduc timpul normal, costul normal, timpul minim =i costul maxim de realizare a fiec[rei ativit[\i. Pe baza acestor date, se calculeaz[ ]n coloana Durata maxim[ a urgent[rii durata maxim[ cu care poate fi urgentat[ fiecare activitate (diferen\a dintre timpul normal =i timpul minim), iar ]n coloana urm[toare costul urgent[rii pe or[ (diferen\a dintre costul maxim =i costul normal raportat[ la durata maxim[ a urgent[rii). Al doilea tabel din foaia de calcul con\ine variabilele de decizie ale problemei – duratele cu care poate fi urgentat[ fiecare activitate (]n domeniul B9:B13). Ini\ial toate valorile vor avea valoarea 0. }n coloana Durata activit[\ii se calculeaz[ durata activit[\ii ]n cazul ]n care aceasta va fi urgentat[ cu valoarea din coloana Durata urgent[rii (diferen\a dintre durata normal[ =i durata urgent[rii). }n coloanele urm[toare se calculeaz[ cele mai devreme =i cele mai t`rzii termene de ]ncepere =i terminare al fiec[rei activit[\i, respect`nd succesiunea activit[\ilor (la fel ca ]n exemplul anterior). Apoi, se calculeaz[ pentru fiecare activitate abaterile =i se introduc formulele pentru determinarea activit[\ilor critice. Func\ia obiectiv (celula C15) este minimizarea costului total de urgentare, calculat ca suma produselor dintre duratele cu care se urgenteaz[ fiecare activitate =i costul urgent[rii activit[\ii pe unitatea de timp - min(C15). Restric\iile problemei sunt: 1. Durata ]n care trebuie realizat proiectul (con\inut[ ]n celula D14). De exemplu dac[ proiectul ar trebui terminat ]n 184 de ore, restric\ia ar fi D14ˆ184 2. Durata cu care poate fi urgentat[ fiecare activitate nu poate dep[=i durata maxim[ de urgentare, iar aceste durate sunt numere pozitive. Deci, B9 : B13 ≥ 0 si B9 : B13 ≤ F 2 : F 6

Modelarea deciziilor utilizând foile de calcul Se rezolv[ problema cu ajutorul Solver-ului, iar rezultatele ob\inute arat[ c[ pentru ca proiectul s[ se termine cu costuri minime ]n 184 de ore, trebuie urgentate lucr[rile D cu 2 ore =i E cu 8 ore. Costul suplimentar al urgent[rii ar fi ]n acest caz de 144$.