Examenes Del Segundo Parcial.docx

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2000 1.-Encontrar el Wronskiano de las soluciones de

y1

y

y2

de la solucion diferencial:

2x 2 2  ln x  y '' x  4  ln x  y ' y  0 2.-Resolver la ecuación diferencial:

y ' 2y  f t  y ' 0   0

 t ; 0  t  2 f t     2 ; 2  t  4

3.-Resolver la ecuación diferencial:

1  2t  y '' 4ty ' 4y  0 4.-Hallar g t  en: g t  

1 2t

t



0

si

y  0   1, y '1   0

x t  a  x a da 

g t  2t

f t  4   f t 

LP/2/11/2000

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso de invierno

1.-Resolver:ty ''

SEGUNDO PARCIAL MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES

y 2   e 4 , y  0   1

1  2t  y ' 2y  0

1 ;y ' 0  0 2 3.-Para el sistema de la figura. Determinar el desplazamiento que se produce en la masa m2 ,para ,para 2.-Resolver:

3sg,si

f t   cost

aceleración

 

y '' 2y ' 2y  f ''2t  4  e 4t ;f t   sent ; y  0  

.El sistema parte del reposo. La velocidad en la masa

m2

es

1m / sg

,y la

 

2m / sg 2 .Considere a x ''' 0  0 .

1 1/2

m1=1 1 m2=2

f(t) x(t)

4.-Hallar la ecuación de la curva cuyo radio de curvatura es igual a la longitud de su normal interceptada por el eje x. 5.-Resolver mediante serie de potencias:





x 2y '' xy ' x 2  1 y  0

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso Básico

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

1.-Si se conoce que

y1 

cosx x

es una solucion de la ecuación diferencia

 1 x 2y '' xy '  x 2   y  0 .Hallar la solucion completa del problema. 4  2.-Hallar la solucion general de la ecuación diferencial:

y '' 2y ' y  e x ln x

3.-Usando el proceso de la transformada de la place. Resolver el problema:

y '' 4y  4sen 2t  2 

4.-Resolver el problema:

4 0 2 4

y 1   2

,

y '1   0

y  0   0 , y ' 0   3

f(t)

-4

,

t

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso Básico

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2002

LP/09/11/2002

f t 

1.-a) Anote las condiciones que se deben cumplir para que exista la transformada de La place de

   e

b) Si existe, encuentre el operador lineal de coeficientes constantes que anula f t c) Analice si existe

 t  1  ;  =función

x

 senx



2

impulso unitario

d) Explique cómo se calcula la transformada de La place de t

3

y t 

    Y s 

donde L y t

2.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 4y ' 4y  2e 2x cos2 x 3.-Resolver la ecuación diferencial: y '' y ' 2y f(t)

 f t  , y  0   1; y ' 0   2

onda senoidal

2 2p

0

4p 6p

t

4.-Resolver la ecuación diferencial : y '' y ' 2y

 f t  , y  0   1; y  0   2

f(t) 1 0

1

2

3

t

5.-Identifique la expresión completa de

f t 

en la ecuación:

f t   te t   f t   d  t

0

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso Básico

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2000

LP/18/05/2002

1.-a) Explique con claridad en que tipos de solución de problemas es útil la formula de Abel. b)Si es posible, calcule un operador diferencial lineal de coeficientes constantes que anule la función

f  x   2xe 2x cos x

c) Anote y justifique con demostración una propiedad que cumple la transformada de La Place



d) Deduzca con detalle (sin uso de formulas inversas)el resultado de : L1  



s

 s2  4 

2.-Resolver la ecuación diferencial: y '' 2y ' y 



2

    

e x 1x2

3.-Resolver la ecuación diferencial:

 

 

    t  2  1 , ; y 0  0; y ' 0  2 y '' 2y ' 8y  2 t    f t  ;f t    2   0 , t    t  2 4.-Resolver la ecuación diferencial:

y ' 2y  f t  ; y  0   2

 t f t     4

,

0 t  2

,

t 2

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso de Verano 2002

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2002

LP/02/02/2002

1.-Resolver la ecuación diferencial:



y '' 2y ' y  e 2x e x  1



2

2.-Resolver la ecuación diferencial:

x 2y '' xy ' 3y  4  x ln x 

2

3.-Resolver la ecuación diferencial:

 2t  f t   8  2t  0 

y  0   0, y ' 0   1

y '' y ' 6y  f t 

, 0 t  2 , 2 t  4 , otro .caso

4.-Usando solamente la transformada de La place, resolver el problema:

y '' 2y ' 2y  2e t sent y  0   0, y ' 0   2

5.-Una cadena cuelga sobre una clavija pulida, inicialmente de un lado están 110 cm y del otro 190 cm de cadena .Hallar el tiempo que tarda la cadena al resbalar en soltarse de la clavija si a)no existe rozamiento; b)el rozamiento es igual a 10 cm de cadena. Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso de Verano 2003

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2003

1.-Resolver la ecuación diferencial:

y ''' 4y '  sec 2x 

2.-Resolver la ecuación diferencial:

2x 2y '' 3xy ' 3y  1  2x  x 2 3.-Por definición, obtener la transformada de Laplace de la función :

f t   tsent

4.-Hallar la solucion completa del problema:

y '' 2y  f t  y  0   2, y ' 0   1 f(t) 3

0

1

2

t

5.-Resolver la expresión completa de la función

f t   cos2t 

t



0

e  f t   d 

f t 

en la ecuación:

LP/02/02/2003

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2003

LP/27/07/2003

1.-Resolver la ecuación diferencial:

x

 1  y ''  x  1  y '  x  1  y  6ln  x  1  3

2

2.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 3y ' 2Y 

e 2X 1  e 2X

3.-Deducir la expresión que representa a

f t 

la ecuación:

f t   te t    t   d  t

0

4.-Resolver la ecuación diferencial :

y ''' y '' 6y '  4 t  4   8 t  8 

5.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 16y  f t  ; y  0   1, y ' 0   4

 2t  f t   8  2t  0 

, 0 t  2 , 2 t  4 , t  0,t  4

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso de Invierno

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2004

1.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 2y ' y  e x ln x 2.-Resolver la ecuación diferencial:

x 2y '' 2xy ' 2y  4ln2 x  3x

f t 

, , ,

y 1   2, y '1   1

y '' 4y  f t  , Y  0   Y ' 0   0

3.-Resolver la ecuación diferencial:

 t   2  t  0 

,

0 t  1 1 t  2 otros .casos

4.-Identificar la función

f t 

en la ecuación:

f t   te t   f t   d  t

0

5.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' y  f t  , y  0   y ' 0   1

 2 f t     0

,

0 t  2

,

2 t  4

,f

t  4   f t 

LP/30/07/2004

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso Básico

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2003

LP/10/05/2003

1.-a) Anote el teorema de Abel b) Si existe, anote la expresión del operador de coeficientes constantes que anula a c) Analice la existencia o no de la transformada de Laplace de



f t   t 2  1



f  x   cos3 x

1 2

d) Anote la expresión del teorema de convolucion. 2.-Resolver la ecuación de ricatti:

y '' 3y ' 2y 

e 2x 1  e 2x

3.-Resolver la ecuación diferencial:

y ''

3 1 y ' y  6ln  x  1  2 x 1 x  1

4.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 2ty ' 4y  6, y  0   y ' 0   0

5.-Deducir una expresión completa para

f t 

en la ecuación:

f t   te t   f t   d  t

0

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso Básico

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2003

1.-Resolver la ecuación diferencial:

e 2x y '' 3y ' 2y  1  e 2x 2.-Resolver la ecuación diferencial:

x 2y '' 5xy ' 3y  3ln x  9x , y 1   0, y '1   1

3.-Resolver la ecuación diferencial:

 2t  y '' 4y  f t , y 0  y ' 0  0 ; f t   8  2t  0 

  

4.- Identificar la función

 

y  y t 

, 0 t  2 , 2 t  4 , otros .casos

en la ecuación:

y 't   1  sent   y  d  ; y  0   0 t

0

5.-Resolver la ecuación diferencial:

y ' 6y  f t  , y  0   5;f t   t  3 , t  0,3 ; f t  3  f t 

LP/22/05/2004

EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VERANO) SEGUNDO PARCIAL DOMINGO 1 FEBRERO DEL 2004 1.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' y 

1 cos2x

2.-Mediante serie de potencias alrededor de x 0  0 , Resolver:

y '' xy ' y  ln1 3.-Resolver la ecuación diferencial:

 

 

 

y '' y ' e 2x y  e 2x sen e 2x sec e 2x  1   4.-Resolver la ecuación diferencial:

y ' 3y  f t 





  

Si además se verifica que: f t  2  f t , y 0  1 f(t) (2,2)

(0,2)

Parabola de 2do grado 0

t (1,-1)

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso Básico

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2004

1.-a) Analizar si existe o no un operador de coeficientes constantes que anule a:

f  x   xe x cos x

   t1

b) Analice si existe o no la transformada de Laplace de: f t

3

c) Justificando, explique si la transformada de Laplace es o no un transformada Lineal. d) Analice si la operación de convolucion es o no asociativa. 2.-Resolver la ecuación diferencial:

x 2y '' 3xy ' 3y  x 3 ln x 3.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' ty ' y  0, y  0   0, y ' 0   1

4.-Resolver la ecuación diferencial:

y ' 4y  f t  , y  0   2

 2  t f t      0

5.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 4y ' 13y  5 t     5 t   

y  0   y ' 0   2

,

0 t  2

, t  0,t  2

LP/10/11/2004

Universidad Mayor de San Andrés Facultad de Ingeniería Curso Básico

MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2004

LP/26/11/2005

e x x2 2 diferencial de coeficientes constantes que anula: f  x   xsen x

1.-a) Brevemente explique cuál es el proceso que usted conoce usaría para resolver: y '' 2y ' y b) Anote, si existe, el operador

c) Anote las condiciones que debe cumplir

f t 

para que acepte transformada de Laplace.

e) Analice si existe o no la transformada de Laplace de 2.-Resolver la ecuación diferencial: y ''



f t   t 2sent



4y ' 4y  e 2x x 2  4x  4



1

3.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 5y ' 6y  t  2   t  3  2 t  3 ; y 1   y '1   1

4.-Deducir la expresión general de

f t 

en la ecuación integral f

5.-Hallar la solucion en serie de potencias alrededor del punto

x  1 y '' 2xy ' 6y  0;y 0  3;y '0  2

t   te

2t

 4e 2t  2 f t   d  t

0

x0 0

2

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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2004

LP/07/05/2005

1.-a) Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula la función: b) Para la ecuación diferencial

y '' 2y ' y  xe x

f  x   tg 2x

mencione por lo menos los fundamentos de tres

procesos distintos de solucion que usted conozca. c) Anote la expresión de la transformada de Laplace de una función periódica

   t

d) Anote, si existe, la transformada de Laplace de: f t

f t 

1

 22

2.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' y  cos2 x  3 ; y 2   y '2   0

3.-Resolver la ecuación diferencial :

y '' 9y  2t  4  t  1   6 t  2  ; y  0   y ' 0   2

4.-Resolver la ecuación diferencial :

y ' 4y  f t  ; y  0   2 ;f t   2t  2 , 0  t  2

5.-Identificar una expresión reducida de

f t 

f t   sent  t  2 e 2af t  a da t

0

 0

en la ecuación integral:

, t  0,t  2

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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2004

LP/07/05/2005

1.-a) Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula la función:

f  x   sec2 x

b) Para la ecuación diferencial y '' 2y ' y  xe x mencione por lo menos los fundamentos de tres procesos distintos de solucion que usted conozca.



c) Anote la expresión de la transformada de Laplace de una función periódica f t d) Anote, si existe, la transformada de Laplace de: f t   ln t  2 

    3.-Resolver la ecuación diferencial : y '' 4y  3t  6 t  1   9 t  2  ; y  0   y ' 0   2 4.-Resolver la ecuación diferencial : y ' 3y  f t  ; y  0   1 ;f t   2t  2 , 0  t  2 0 , t  0,t  2 2.-Resolver la ecuación diferencial: y '' y  2  sen 2x ; y 2  y ' 2  0

  en la ecuación integral:



5.-Identificar una expresión reducida de f t

f t   t  cost  2 e 2af t  a da t

0

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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2006

1.-Explique brevemente los pasos a seguirse para resolver la ecuación

y '' y  x

LP/04/05/2006 3

mediante el

proceso de variación de parámetros. 2.-Anote un ejemplo de una función que no acepte transformada de Laplace. 3.-Enuncie las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación. 4.-Anote dos propiedades que verifica la función escalón unitario(de Heaviside). 5.-Resolver la ecuación diferencial:

2x 2y '' 5xy ' y  x 3  3

6.-Resolver la ecuación diferencia:

y ''' y '  tgx

7.-Identificar la expresión completa de la función

f t 

en la ecuación integro-diferencial:

y '  1  cost   y    cosh t   d  , y  0   0 t

0

8.-En el sistema mecánico de la figura hallar la posición de la masa m en cualquier tiempo t:

y  0   y ' 0   0

f(t) k=9

onda senoidal 1

0 m=1 y f(t)

0 -1

π

2π

t

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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2006

1.-Explique brevemente los pasos a seguirse para resolver la ecuación

LP/04/05/2006

y '' y  ln x

, mediante el

proceso de variación de parámetros. 2.-Anote un ejemplo de una función que no acepte transformada de Laplace. 3.-Enuncie las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación. 4.-Anote dos propiedades que verifica la función escalón unitario (de Heaviside). 5.-Resolver la ecuación diferencial:

2x 2y '' 5xy ' y  x 2  2

6.-Resolver la ecuación diferencia:

y ''' y '  cotgx

f t 

7.-Identificar la expresión completa de la función

en la ecuación integro-diferencial:

y '  1  cosht   y    cosh t   d  , y  0   0 t

0

8.-En el sistema mecánico de la figura hallar la posición de la masa m en cualquier tiempo t:

y  0   y ' 0   0

f(t) onda senoidal 1

0 m=1

π

0 -1

y f(t)

2π

t

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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES SEGUNDO EXAMEN PARCIAL I/2006

LP/03/11/2006

1.-Anote las hipótesis y tesis del teorema de Abel (formula de Abel). 2.-Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula 3.-Anote la transformada inversa de Laplace para: F 4.-Anote la transformada de Laplace de t

2

y t 

s   s

donde



2

s 2  4s  5



L y t   Y s 

5.-Resolver la ecuación diferencial:

x 3y ''' 3x 2y '' 2xy '  2

6.-Resolver la ecuación diferencial:

y '' 3y ' 2y  2tet

7.-Resolver la ecuación diferencia:

2y ' 3y  f t  , y  0   2 , f

8.- Identificar la expresión completa de



f t 

en la ecuación integral:



f t   2t 3  cos 3t   2 sen 2 t    f   d  t

0



y  e 2x  1

 4t

, t 2

 

, t 2

t    0



2

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MAT-207 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

I/2006

LP/03/11/2006

1.- a. Propóngase dos funciones cualesquiera y luego verifique si son linealmente independientes. b. Escriba una ecuación diferencial de quinto orden, ordinaria, normal, no lineal, de coeficiente variable y no homogénea. c. Explique con un ejemplo, cuando una función se dice de orden exponencial ’’k’’. d. Mencionando las propiedades que utilizo, antitransformar la siguiente expresión 2.-Hallar la anti transformada de :

ln

s s

2 2

3.-Hallar la solucion general de: a 2y '' ay ' y  4.-Hallar la solucion general de: y '' y ' 10y función de a”. 5.-Hallar la solucion general de: y ''

s   s e ,   3,14159 s2  2

 3  5

a 1  ln a 

2

“Considere que y es función de a ”



 58e 4a  5sen 2a  a 2 e a  1

4y ' 13y  h t 

si



“Considere que “y” es

y 2   1, y '2   0

h(t) 3 2 0

2

3

4

t

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MAT-207 SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

I/2006 LP/03/11/2006

1.-Brevemente, explique los pasos que se deben seguir para hallar la solucion particular: 2.-Si existe, anote el operador diferencial de coeficientes constantes que anula la función: x

f  x   xe 2 cos x 3.-Enuncie el segundo teorema de traslación en términos del operador inverso de Laplace. 4.-Plantee un ejemplo de una función trigonométrica periódica del periodo : T=π/2 5.-Si se conoce la solucion

y1  x

, resolver la ecuación diferencial:

1  2x  y '' 4xy ' 4y  0; y 1  0, y '1  1 6.-Resolver la ecuación diferencial: y '' 3y ' 2y 7.-Resolver la ecuación diferencial:

 

 sen e x

y '' y  4  2t  2t  t  3  4 t  4 , y 2  y '2   2

8.-Si el sistema mecánico de la figura inicialmente esta en equilibrio ;hallar la posición de la masa en un tiempo cualquiera si:

m  1, k  1,f t   sen t  ,t  0,2  k

0 m

y f(t)