Examen1-funciones-1er-parcial-1-2010.pdf

Universidad de Carabobo Facultad de Ingenier´ıa

Fecha: 19/06/10 Sec.: Nombre: C.I.: Funciones Vectoriales (1er Parcial - 1/2010)

1. Calcule y represente gr´ aficamente en R2 el dominio de la siguiente funci´on: r   −x − y cosh−1 [sin (x + y) + 1] √ f (x, y) = , ln (log (x2 + −y)) |sinh (x2 + y)| + 3 x2 y 5 si (x, y) 6= (0, 0) 2. Dada la funci´on: f (x, y) = 3x4 + 4y 4  0 si (x, y) = (0, 0) y b) la diferenciabilidad de f en (0,0). (3p)  

(4p)

Estudie: a) la continuidad de f en (0,0). (2p).

3. Desde un telescopio A se observa a un astro con un ´angulo de 82◦ respecto de la horizontal, simult´ aneamente desde otro telescopio (telescopio B) ubicado a 100Km del primero se observa al mismo astro con un ´ angulo de 83,5◦ , si el error m´ aximo que se comete al medir cada ´angulo es del 0.01 % y al medir la distancia es de 0.5 %. a) Realice un esquema gr´ afico detallado de la situaci´on planteada y calcule la distancia aproximada que hay desde la tierra al telescopio A. (considere nula la curvatura de la tierra). (1p) b) Calcule la distancia aproximada que hay desde la tierra al astro. (considere nula la curvatura de la tierra)(1p) c) Aproxime el m´ aximo error porcentual que se comete en el c´alculo de la parte a). (2p) 4. La superficie de cierta monta˜ na puede ser modelada por la siguiente funci´on: z = f (x, y) =


1 419 − 2y 2 − x2 + 2x , 2

donde z+ representa la altura en metros de la superficie sobre el plano horizontal XY, y (x, y) la posici´ on sobre dicho plano horizontal. Sobre la superficie en el punto (−3, 4) se encuentra un bal´on de F´ utbol (soccer) retenido por un futbolista, en un descuido el futbolista deja de retener al bal´on quedando ´este libre de moverse en cualquier direcci´ on (seg´ un las leyes de la f´ısica), entoces se pregunta: a) Calcule el vector unitario de R3 que indica la direcci´on en la cual se mover´a el bal´on.(2p) b) Si ahora el bal´ on es movido sobre la superficie en direcci´on del punto de (1, 0) ´este ¿asciende o desciende?. (1p) c) Seg´ un el apartado b) con que ´ angulo sobre la horizontal el bal´on iniciar´a su movimiento.(1p) d ) (Opcional) Seg´ un el apartado a) qu´e trayectoria (sobre el plano XY) describir´a el bal´on al bajar por la monta˜ na.(2p) 5. Calcule la ecuaci´ on general del plano tangente a la superficie dada en forma param´etrica por: f (t, w) = 2 2 (t + 3t − 5w + 1, 4tw + 6t , 2t − 3w + 2), el cual es perpendicular a los planos: x − z = 10 y al plano tangente a la superficie dada en forma impl´ıcita por: 4x2 z − 10y 2 x − z 3 + 21y + 2z − 16 = 0 en el punto P (1, 1, 1) . ( 3p). Determine tambi´en los puntos (si existen) en donde f no tiene plano tangente.( 1p)