Examen Resuelto 1 2015.pdf

FORMULARIO EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

FUNCIONES 1) Restricciones para hallar el dominio y el rango de una FUNCIÓN. * Condiciones fx 





Q x   0

fx 



fx   0

 



fx   0



 1  fx  1



 1  fx  1

Q x 



2n



ln f  x 



Arcsen f  x 

  Arc cos  f   



x

2) Funciones Pares y Funciones Impares. * Si f  x  es par cuando f   x   f  x  . * Si f  x  es impar cuando f   x    f  x  . Ejemplo fx  

x4  x2 sen  x 

Si f   x  f x 

 x  

  x  x4  x2 x4  x2   sen   x   sen  x  sen  x  4

2

 f   x   f  x 

 Funcion Im par

Ejemplo fx   x 4  x 2 Si f   x  f x    x    x   x 4  x 2 4

2

 f x   fx 

 Funcion Par

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

1

FORMULARIO EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

3) Operaciones con Funciones.

 f  g  x   f  x   g  x 

,

x   Df

Dg   Df g

 f  g  x   f  x   g  x 

,

x   Df

D g   D f g

 f  g  x   f  x   g  x  fx   f     g x   g  x 

x   Df

,

D g   D f g

 D  x / g

x   Df 

,

g

x



 0   Df 

g

4) Composición de Funciones.

*  f g  x   f g

  x 

f

g   x   f g 



x 

,

x  D

,

x  D

g



g  x 



x



g  x   Df  Df



f  x   Dg  Dg f 

*  g f   x   g f

  x 

g

f   x   g f

  x 

f

5) Inecuaciones. * Inecuaciones con radicales

b a

1.

b  0

 2.

 a  0   b  0  a  0  b  a 2



ba



b  0  a  0  b  a2

* Inecuaciones con Parte Entera

1.

x

a



x  a  1 3.

x

a



xa

2.

x

a



xa

x

a



x  a 1

2

4.

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

FORMULARIO EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

GRAFICAS Para construir la gráfica de una función a partir de otra más simple, es conveniente tener en cuenta las relaciones entre las gráficas de 𝐲 = 𝐟(𝐱).

y  f x   k

y  fx  h  k

y  fx  h

y  fx   k

y

y

h

k

x

x

y  f x  h 

y  f x 

y  f x 

y   fx 

y  f x 

y  fx  y

y

y y  f x 

y  fx  x

x

y  f x 

y  f x 

x

y  f  x 

LIMITES 1) Por definición.

lim f  x   L

xa

fx   L  



Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

0 xa   3

FORMULARIO EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

2) Indeterminaciones. Son 7 indeterminaciones que son las siguientes:

0 0

 

,

,    , 1

, 0 ,

0

, 00

3) Propiedades Operacionales del limite.

k  ctte. lim k  f  x   k  lim f  x 

1.

xa

xa

2.

lim f  x   g  x    lim f  x   lim g  x   xa xa  xa

3.

lim f  x   g  x    lim f  x   lim g  x   xa xa  xa

4.

lim f  x   e

lim ln f  x    

xa

xa

5.

lim

xa

n

fx  

n

lim f  x 

xa

4) Limites Conocidos.

sen  x  1. lim 1 x0 x tg  x  2. lim 1 x0 x 1  cos  x  1 3. lim  x0 x2 2 4. 4

1  cos  x  lim 0 x0 x

5. 6.

ex  1 lim 1 x0 x ax 1 lim  ln  a  x0 x 1

7. 8.

lim 1  x  x  e

x0

1  lim  1   x   x 

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

x

e

FORMULARIO EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

Realizando un análisis completo construya la grafica de las siguientes curvas. *Para graficar una funcion tenemos que seguir los siguientes pasos : 1er Paso

Hallar el Do min io de la funcion.

2do Paso

Hallar el Rango de la funcion.

3er Paso

Analizar si existe o no existe A sin tota  Horizontal, Vertical y Oblicua  .

 A sin tota Horizontal : Despejar " x " de la funcion, si existe " y" en el deno min ador igual a cero. Si existe A sin tota Horizontal no existe A sin tota oblicua.  A sin tota Vertical : Despejar " y" de la funcion, si existe " x " en el deno min ador igual a cero.  A sin tota Oblicuas : Despejar " y" de la funcion, solo existe a sin tota oblicua si el exp onente de " x " en el Numerador es sup erior en UNO al exp onente de " x " del Deno min ador. Dividir el numerador entre el deno min ador, el cociente obtenido se iguala a " y"  esa es la A sin tota Oblicua  . 4 to Paso

Analizar la Simetria de la Funcion.

 Funcion Par : la funcion tiene Simetria respecto al Eje " Y".  Funcion Im par : la funcion tiene Simetria respecto al Origen. 5to Paso

Hallar las int er sec ciones con los Ejes Coordenados.

Con el Eje " X" : Se hace y  0 en la funcion y luego se hallan los valores de" x ". Con el Eje " Y" : Se hace x  0 en la funcion y luego se hallan los valores de" y". 6to Paso Una tabla donde se toma los valores de A sin tota Vertical y el valor de la int er sec cion con el Eje" X". Dar valoresde " x " para ver si " y" es    o    .

   : La grafica esta por encima del Eje " X".    : La grafica esta por debajo del Eje " X".

x

x y 

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

#  x  

#  x

+  5

FORMULARIO EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

* Otra forma de hallar las Asíntotas Horizontales.

Si quiero hallar las A sin tota Horizontal de la funcion "f  x  ". La A sin tota Horizontal es una recta " y  mx  b" se halla con las siguientes formas : m  lim

fx 

x

x

b  lim f  x   mx   x 

* Propiedades de Logaritmos.

* Identidades Trigonométricas.

ln  x  y   ln  x   ln  y   x  ln    ln  x   ln  y  y  

e

 x  n

ln  x 

sen       sen     cos    cos     sen   cos       cos     cos  

ln  x a   a  ln  x  ln

sen 2     cos2     1

tg      

1 ln  x  n

tg     tg   1 tg    tg  

sen  2   2  sen     cos    cos  2   cos2     sen 2   

x

* Transformación de Suma a Producto Funciones Trigonométricas.       sen     sen    2  sen    cos    2   2        sen     sen    2  cos    sen    2   2        cos     cos    2  cos    cos    2   2        cos     cos     2  sen    sen    2   2 

6

sen     sen  

* Transformación de Producto a Suma Funciones Trigonométricas.

1 sen     cos    sen       sen       2 1 cos     sen    sen       sen       2 1 cos     cos    cos       cos       2 1 sen     sen     cos       cos       2

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

EXÁMENES RESUELTOS

Fila A

1.-

Calcular el límite: 𝐋 = 𝐥𝐢𝐦

L  lim

x

5 2

x 



1 u

x3  4   u

x3  4

1 x



5 2

 1    u     

1  3 100  sen    200  cos   u u L  lim u0  1  3 3  u 4   1  4u  1  4u  





 lim

 1 4   u3 

1 4  u3



u0



x

1  3 100  sen    200  cos   u u

L  lim

u0

𝟓

100  sen  3x   200  cos  x 

x

L  lim

𝟏𝟎𝟎𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱)+𝟐𝟎𝟎𝐜𝐨𝐬(𝐱)

𝐱→∞ 𝐱 𝟐 ∙ [ √𝐱 𝟑 +𝟒 − √𝐱 𝟑 −𝟒 ]

*C.V.

u0

FUNCIÓN - LIMITES

I/2015

u0

1  3 100  sen    200  cos   u u 5 2

 1    u      

1  4u 3    u3 

1  4u 3 

  1   3 u 4  100  sen    200  cos     u  u   lim u0 1  4u 3  1  4u 3

  1   3 u 3  u  100  sen    200  cos     u  u   1  4u 3  1  4u 3 3 3 1  4u  1  4u    1  4u 3  1  4u 3 



   

  1   3 u 3  100  u  sen    200  u  cos     u  u  L  lim u0   1  4u 3  1  4u 3    1  4u 3  1  4u 3      1   3 u 3  100  u  sen    200  u  cos     u  u  L  lim 3 u0 8u 1  4u 3 

1  4u 3

1  3 100  u  sen    200  u  cos   u u L  lim u0 8 1  4u 3 

1  4u 3

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

7

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

 1  *Si sabemos que : lim x  sen    0 x0  x 



 1  lim x  cos    0 x0  x 

u   3   1  100  3    sen     200   u  cos     u   u   3 L  lim u0 8 1  4u 3  L

100  3   0   200   0  8 1  4   0 

1  4   0

3

2.-

1  4u 3  3

00 8 1 1

0 0 4



𝐋=𝟎 𝟑

Calcular el límite: 𝐋 =

𝟐 √𝟐𝐱 𝟐 −𝟐 −𝟑 √𝐱 𝟐 −𝟏 − 𝟐 𝐥𝐢𝐦 𝐱 → 𝟑 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝐱) − 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧(𝟑)

2 2x 2  2  3 3 x 2  1  2 L  lim x3 arcsen  x   arcsen  3 *Analizando por separado o simplificando el deno min ador. arcsen  x   arcsen  3  u  v C.V.

u  arcsen  x 



v  arcsen  3

sen  u   x



sen  v   3

1

1

x

v

u 1 x

8

1  32

2

cos  u   1  x 2

3



cos  v   1  32

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

Se sabe la identidad trigonometrica : sen       sen    cos    cos    sen   en este caso con angulos de " u " y " v ". sen  u  v   sen  u  cos  v   cos  u  sen  v  u  v  arcsen sen  u  cos  v   cos  u  sen  v   Entonces : arcsen  x   arcsen  3  u  v  arcsen sen  u  cos  v   cos  u  sen  v   arcsen  x   arcsen  3  arcsen sen  u  cos  v   cos  u  sen  v   arcsen  x   arcsen  3  arcsen  x  1  32  1  x 2  3   arcsen  x   arcsen  3  arcsen  x  1  32  3  1  x 2   

2 2x 2  2  3 3 x 2  1  2 2 2x 2  2  3 3 x 2  1  2 L  lim  lim x3 x3 arcsen  x   arcsen  3 arcsen x  1  32  3  1  x 2



*Sabiendo que :

L  lim

x3

lim

x0

arcsen  x  1 x

2 2x 2  2  8  8  3 3 x 2  1  6  6  2

  x  1  3  3  x  1  3  3 1  x 2  2x  2  4   3  x  1  2   8  6  2 1   x  1  3  3  1  x  

arcsen x  1  32  3  1  x 2 2

2

L  lim

x3



2

2

3

2

1  x2



2

2

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

9

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES   2   L  lim x3

L  lim

 2  









3   2 3 2x  2  4  x  1  23  2   3  2 2 2 2x 2  2  4   3 x 1  2  3 x 1  2   2 x  1  3  3 1  x2 2

2

2



 2x 2  2  16    3   2x 2  2  4   

x 

x3

1 3

2





    

x2  1  8

3

x 1 2

  3  2



2

 2  3 x 2  1  22

1 x



2

    

2

x  1  32  3  1  x 2

L  lim

 2  

x3

  2x  18 x2  9    3  2 2 3 2x 2  2  4  x  1  2  3 x2  1  4   2 x  1  9   32  1  x 2  2





    

x  1  32  3  1  x 2

L  lim

x3

 2  

  x2  9    3  2 2 2 3 2x  2  4  x  1  2  3 x2  1  4   2  8x  9  9x 2

2 x2  9





    

x  1  32  3  1  x 2   x 2  9      L  lim

4 2x 2  2  4





3

x2  9

x3

 3  2  x2  1  2  3 x2  1  4  



x  1  32  3  1  x 2 4 2x 2  2  4 L  lim

x3





3

x2  1



3 2

 2  3 x2  1  4

1 x  1  32  3  1  x 2

10

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

EXÁMENES RESUELTOS 4 2   3  2  4 2



3



L

FUNCIÓN - LIMITES

 3

3

1

2

  2 2

3

 3

2

1  4

1 3  1  32  3  1   3 4  16  4

L

 8

3 2

3

 2 8  4 3



1 3  8  3   8 1 4

 L



1

2

 3  8   3 2

4 3  8 12 1 6  8

2



2 1  4 4 1 6  8

𝐋 = −𝟑√−𝟐

6  8

Calcular el límite:

3.-

𝐋 = 𝐥𝐢𝐦 (

𝟐𝐞𝐬𝐞𝐧(𝟑𝐱)

L  lim

 2e

sen  3x 

tg  3x 

sen  3x 

tg  3x 

 x2 2 cos  3x   x2

 2 cos  3x  

x0

−𝟏

𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟑𝐱)

𝐱→𝟎

 2e L  lim  x0 

− 𝐱·𝟐𝐭𝐠(𝟑𝐱)

1   



1

1 tg x 

1 tg x 

𝟏 𝐭𝐠(𝐱)

)

·[

𝟗−𝐜𝐨𝐬(𝐱)−𝐜𝐨𝐬(𝟐𝐱)−...−𝐜𝐨𝐬(𝟗𝐱) 𝐱𝟐

 9  cos  x   cos  2x   .......  cos  9x     x2    9  cos  x   cos  2x   .......  cos  9x     x2  

1 tg x 

*Analizando por separado L

L1  L3 L2

*Levan tan do la in det er min acion de L1.



L1  lim 2e x0

sen  3x 



L1  lim 1  2e x0

 x2

sen  3x 

tg  3x 

 x2



1

tg  3x 

1 tg x 

x0





 lim 1  1  2e

2  

 1   tg x 

sen  3x 

  2esen  3x   x 2 tg  3x   2  sen  3x  tg 3x  x 2   2   2e

 x2

tg  3x 

1



1 tg  x 

   

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

11

]

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

 sen 3x tg 3x L1  lim  1  2e    x2    2   x0  



2e



sen  3x 

tg 3x 2x2   tg x  x x

L1  lim e x0

L1  lim e



2 e

 lim e

2e

sen  3x 

1

1  x



1

tg 3x  x 2   2



  

sen  3x 

tg 3x  x 2   2 tg x 

x2   1  x tg 3x

x0

tg 3x  esen  3x   1   sen  3x   x2      3    3x x   sen  3x   

 2   

x0

L1  e6  2

sen  3x 

2e

 lim e

 2   1  1   3

tg 3x 2  

x0

tg  3  0



 e6  2  e6  1  e 5 0



L1  e 5

*Levan tan do la in det er min acion de L 2 . L 2  lim  2  cos  3x  

1 tg x 

x0

L 2   2  cos  3  0   L 2   2  1



1 tg 0 

 2  

  2  cos  0   

1 0

L2  

*Levan tan do la in det er min acion de L 3.  9  cos  x   cos  2x   .......  cos  9x   L3  lim   2 x0 x    1  1  1  1  1  1  1  1  1  cos  x   cos  2x   .......  cos  9x   L3  lim   2 x0 x   1  cos  2x  1  cos  9x    1  cos  x  L3  lim    ............   x0 x2 x2 x2    1  cos  x   1  cos  2x  1  cos  9x  2 2 L3  lim     2   ............   9   2 2 2 x  0  x  2x   9x    12

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

EXÁMENES RESUELTOS 1 1 1 1    22     32     42   2 2 2 2 1 4 9 16 25 36 L3        2 2 2 2 2 2 *Re tornando al lim ite origianal. L3 

L

L1 e   L3   L2   5

4.-

FUNCIÓN - LIMITES

1 1 1 1 1   52     62     72    82     92  2 2 2 2 2 49 64 81 285 285     L3  2 2 2 2 2

285 5 e 285  2 0  2  

𝐋=𝟎

Obtener ( 𝐟 · 𝐠 )(𝐱) si: 𝐟(𝐱) = {

𝟒𝐱 + ⟦𝐱⟧ −𝟐<𝐱<𝟎 𝟐 |𝐱 + 𝟏| − 𝟑 𝟎≤𝐱<𝟔

y

⟦−𝐱⟧ − 𝟓𝐱 |𝐱 − 𝟑|

𝐠 (𝐱) = {

−𝟐<𝐱<𝟎 𝟎≤𝐱<𝟐

* Analizando Simplificando 𝐟(𝐱) :   f 1  4x  x fx    2   f2  x  1  3

2 x 0

*Si sabe que : n  x  n 1

 2  x  2  1  2 x   1  x  1  1  1 *Simplificando los do min ios  2  x  1  2 x  1  x  0  1 *I nt er sec tan do con el do min io f 1  4x  x f 1

f2  x 2  1  3

0x6

   x 2  1 x 2  1  0 V  x 1   2 2 F     x  1 x  1  0 Si observamos para todo valor de " x " 2

x n n

0x6 *Analizando f  2  :

*Analizando f 1 : f 1  4x  x

2 x 0

 4x  2   4x  1

de 0 hasta 6 siempre nos dara un valor positivo, por eso uno es Verdadero y el otro Falso. f  2     x 2  1  3 f2  x 2  2

1  x  0

0x6

*Entonces la funcion f  x  sera :

2 x 0  2  x  1

0x6

fx 

 4x  2    4x  1  x2  2 

 2  x  1 1  x  0 0x6

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

13

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES * Analizando Simplificando 𝐠 (𝐱) :

  g 1   x  5x g x      g2  x  3

2 x 0

x  n n

n  x  n  1

n

 n  1  x  n

11  x   1  1 x    0 1  x   0  0 *Simplificando los do min ios 2 x  1 1 x   1  x  0  0 *I nt er sec tan do con el do min io de g 1   x  5x g 1

g2  x  3

0x2

   x 2  1  x3   2     x  1

*Si sabe que :

 1  5x   0  5x

0x2

*Analizando g  2  :

*Analizando g 1 : g 1   x  5x

2 x 0

2 x 0  2  x  1

x3 0 x 3 0

   x 2  1 x  3  x3   2     x  1 x  3 Tenemos que int er sec tar el do min io de g  2   x  3

0x2

Se observa que solo hay una int er sec cion. g  2     x  3 g2  3  x

0x2 0x2

*Entonces la funcion g  x  sera :

1  x  0

g x 

 1  5x    5x  3 x 

 2  x  1 1  x  0 0x2

* Hallar 𝐟(𝐱) · 𝐠 (𝐱) :

fx 

g x 

 f 1  4x  2    f  2   4x  1  2  f 3  x  2

 2  x  1

 g 1  1  5x    g  2    5x   g 3  3  x

 2  x  1

14

1  x  0

2

1 1

0x6

0

6

0

1  x  0 0x2

2

1 1

0 0

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

2

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

*Se observa las int er sec ciones para ver que funcion f  x  se suma con la funcion g  x  .

f x   g x 

f x   g x 

 f 1  g 1   f  2   g 1   f2  g2  f g   3  3

 2  x  1 x  1 1  x  0 0x2

  4x  2   1  5x    4x  1  1  5x     4x  1    5x     x2  2  3  x  

f x   g x 

 2  x  1 x  1 1  x  0 0x2

  20x 2  14x  2  2   20x  9x  1  2   20x  5x   x 3  3x 2  2x  6

 2  x  1 x  1 1  x  0 0x2

Obtener ( 𝐟 ∘ 𝐠 )(𝐱) si:

5.-

𝐬𝐠𝐧( ⟦ 𝐱 + 𝟏 ⟧ + 𝟐 ) √𝐬𝐠𝐧( 𝐱 + 𝟐 ) ⋅ ⟦

𝐟(𝐱) =

*Analizando g  x  : *Si :

𝟐

⟧

𝟎≤𝐱<𝟐

⟧

[ 𝟐, 𝟔[

x x2

2  x 1

⟦

{

𝟑𝐱−𝟏𝟎

𝐱

−𝟐≤𝐱<𝟎

𝐱+𝟐

x2  n

n  x  2  n 1

x2  n

n2 x  n3

   x2     

4

 4  2  x  4  3

3

 3  2  x  3  3

2

 2  2  x  2  3

1

 1  2  x  1  3

y 𝐠 (𝐱) = 𝐱 ⋅ ⟦ 𝐱 − 𝟐 ⟧

∧ 𝒙 ∈ [−𝟐, 𝟏]

*Simplificando los do min ios  4  3  x2    2   1

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

 2  x  1 1  x  0 0  x 1 1 x  2

15

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

*I nt er sec tan do con el do min io de g  x   x  x  2

g x 

 x   4    x   3  x x2    x   2    x   1     x x2     

g x 

2  x 1

 2  x  1 1  x  0 0  x 1 x 1  4x

 2  x  1

 3x

1  x  0

 2x

0  x 1

x

x 1

 2  x  0  Dom f 1

      

* Hallar(𝐟 ∘ 𝐠)(𝐱) :  f 1  sgn  x  1  2    x f  x    f  2  sgn  x  2   2   3x  10  f  3  x2 





0  x  2  Dom f  2 2  x  6  Dom f 3

 Dom  f   Dom  f  

 g   g  

Dom f  x  g  x   Dom f 1 g 1 2

3



 

Dom f 1 g 1  



g x 

1

1

 Dom  f   Dom  f  

 g   g  

Dom f 1 g  2  2

3

x / x  Dom g 1

 2  x  1 

   2  x  1 

2

2

g1  4x

 2  x  1  Dom g 1

g 2  3x

 1  x  0  Dom g  2

g3  2x g4   x

 Dom  f   Dom  f  



 





2

3



  1  x  0 

3

3

 Dom  f   Dom  f   2

3

 2   4x  0 



 2  g2  0

 g   g  

Dom f 1 g  4  4

4



 

 

Dom f 1 g 1

g  2   Dom f 1









 2   3x  0 

  1  x  0  0  x  2 3  

16

 g   g  

g 1  Dom f 1

 2  g 1  0

x / x  Dom g  2 

1  x  0 

x  1  Dom g  4

Dom f 1 g 3

   2  x  1  0  x  1 2   Dom f 1 g  2  

0  x  1  Dom g 3





Dom f 1 g  2 

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA







EXÁMENES RESUELTOS



 

Dom f 1 g 3  



x / x  Dom g 3

0  x 1 

 0  x 1 

FUNCIÓN - LIMITES 

 2  g  3  0

g 3  Dom f 1





 2   2x  0 

 0  x 1  0  x 1  0  x 1



Dom f 1 g 3



 

Dom f 1 g  4   





 0  x 1

x / x  Dom g  4 

x 1 



 2  g4  0

 x 1 



2  x 0



 x 1  0  x  2   1



 

Dom f  2  g 1  



x / x  Dom g 1

Dom f 1 g  4 



g 1  Dom f  2 

 2  x  1  0  g 1  2



 

Dom f  2  g  2   



1 2  x  0  

x / x  Dom g  2 



 1  x  0  0  g2  2





x 1





   2  x  1  0   4x  2     2  x  1 



g  4   Dom f 1



 Dom f  2  g 1

g  2   Dom f  2 









   1  x  0  0   3x  2    1  x  0 



2 3 x  0  

Dom f  2  g  2 



 

Dom f  2  g  3  







x / x  Dom g  3

0  x 1 

0  g  3  2

2 3 x  0

2 3 x  0 

g 3  Dom f  2 









 0  x 1 

0   2x  2 

 0  x 1 

1  x  0  

0

Dom f  2  g 3

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA



x0

17



EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES



 

Dom f  2  g  4   



x / x  Dom g  4 

x  1  0  g4  2



g  4   Dom f  2 



 x 1  0   x  2   x 1 



 

Dom f  3 g 1  





2 x 0 

x / x  Dom g 1



Dom f  2  g  4 





g 1  Dom f 3

 2  x  1  2  g 1  6









   2  x  1  2   4x  6     2  x  1 



 3 2  x  1 2  

Dom f 3 g 1



 

Dom f  3 g  2   







 3 2  x  1

 3 2  x  1

x / x  Dom g  2 



g  2   Dom f 3





 1  x  0  2  g2  6

   1  x  0  2   3x  6    1  x  0 



Dom f 3 g 1



 

Dom f  3 g 3  





 2  x  2 3   

1  x   2 3

1  x   2 3

x / x  Dom g 3



0  x  1  2  g  3  6



g 3  Dom f 3

  0  x  1  2   2x  6   0  x 1 



 3  x  1  

Dom f 3 g 3

18









Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA





EXÁMENES RESUELTOS



 

Dom f  3 g  4   



x / x  Dom g  4 

FUNCIÓN - LIMITES 

g  4   Dom f 3



x  1  2  g4  6

 x 1  2   x  6   x 1 



 6  x  2  



Dom f 3 g 3









- La Composición de Función será:

f

f

g  x 

g  x 

f

0  x 1

 f 1 g  3   f 1 g  4    f2 g2 fg    x    f  2  g  3  f g   3 1  f   3 g  2          fg   x         

g  x 

                

x 1 2 3 x  0 x0  3 2  x  1 1  x   2 3

   2x   1  2  sgn    x   1  2 

0  x 1

sgn

x 1

sgn    3x   2  

 3x 2

sgn    2x   2  

 2x 2

3   4x   10  4x  2

1  x   2 3

3   4x   10  4x  2

 3 2  x  1

3   3x   10  3x  2

1  x   2 3

sgn    3x   2  

 3x 2

sgn    2x   2  

 2x 2

 sgn 

  2x   1  x  1

x0  3 2  x  1

3   3x   10  3x  2

sgn

2 3 x  0

2 2





2 3 x  0 x0 0  x 1 x 1

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

19

EXÁMENES RESUELTOS

FUNCIÓN - LIMITES

6.-

(OPTATIVA) Obtener los valores de “a” y “b” para que la función sea continua. 𝐱𝟑 + 𝐱𝟐 + 𝐱 + 𝟏 𝐱 < −𝟏 𝐱𝟑 + 𝟏 ⬚ 𝟑 𝐚𝐱 + 𝐛 −𝟏≤𝐱≤𝟏 𝐟(𝐱) = ⬚ 𝟑 √𝐱 − 𝟏 𝐱>𝟏 { √𝐱 − 𝟏

*Para que sea continua en x  1.

x3  x2  x  1 x3  1

 Para :

x  1

x 2  x  1   x  1 x3  x2  x  1 x2  1 L1  lim  lim  lim 2 2 x  1 x  1 x3  1 x  1 x  x  1    x  1 x  x 1

 1  1 2  1   1  1 2

L1 

 Para :

ax 3  b



2 3

L1 

2 3

1  x  1

L1  lim ax 3  b  a  1  b  a  b 3

x  1

L1  a  b

*Para que sea continua en x  1.

 Para :

ax 3  b

1  x  1

L 2  lim ax 3  b  a 1  b  a  b 3

x 1

20

L2  a  b

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

EXÁMENES RESUELTOS 3

 Para :

L2  lim

3

x 1

x 1 x 1

x 1  lim x 1 x 1

x 1

 x   x  1     x   x  1     x  1  xx  11   3 x 1   

2

3

2

3

3

3



 x 3

L2  lim

L2 

 1 3

 3 x 1

11 2

  3

 lim

x 1



x

x 1 2

 3 x 1

x 1 x 1

1 2

1 x 1

x 1

FUNCIÓN - LIMITES

 1 1



3

 lim

x 1

 x 3

0 0 3

x 1 2

 3 x 1

L2  0 *Resolviendo el sistema.

*Igualando “L1  L1 ” y “L 2  L 2 ”. 2   a  b   3   ab0 

𝐀=−

𝟏 𝟑

Univ. JOSE JAVIER ALVAREZ VILLCA

𝐁=

𝟏 𝟑

21