Examen-matematicas

EXAMEN DE MATEMATICAS i-ciencia.com 1.

Discutir según los valores de a , el sistema:

ax + y + z = 1  x + ay + z = 1 x + y + az = 1 2.

Resolver la ecuación matricial XA=B+C, donde:

1  A=  0 0  3.

1 1 0

0  1 1 

 2 0 0   B=  1 1 2  2 0 1  

 1 1 0  110     C=  0 1 0   010   0 1 2   012    

Utilizando las propiedades de los determinantes calcular el valor de:

x x +1 x + 2 x x + 3 x + 4 x x + 5 x + 6 4.

Hallar las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del plano x=y que distan 1 del plano 2x-y+2z=2

5.

Dadas las rectas:

x −1 y + 2 z − 2 = = 3 2 3 x+2 y −3 z −2 = = s≡ −1 2 3

r≡

a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Hallar la distancia entre ellas 6.

En el lanzamiento de un dado se consideran los tres sucesos siguientes:

A= Sale un número impar B= Sale un número par C= Sale el 1 o el 2 Se pide: a) ¿Son independientes A y B? b) ¿Son independientes A y C? c) Calcular P(A/C)? 7.

En una caja hay 6 bolas numeradas, 3 de ellas con números positivos y las otras 3 con números negativos. Se extrae una bola y después otra sin reemplazamiento. a)

Calcular la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea positivo.

b) Calcular la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea negativo.

SOLUCIONES 1. Discutir según los valores de a, el sistema.

ax + y + z = 1  x + ay + z = 1 x + y + az = 1

a 1 1 A= 1 a 1 = a 3 + 1 + 1 − a − a − a

1 1 a

A = a 3 − 3a + 2 = (a − 1) (a + 2 ) = 0 2

a=1 a = -2

a = 1 → A = 0 → RagA) = 1 a = −2 → A = 0 → Rg A = 2 a ≠ 1,−2 → A ≠ 0 → Rg A = 3

a 1 1 1

1 1 1 1

A = 1 a 1 1 → Si a = 1 → A = 0 → Rg A = 1 1 1 a 1 *

*

−2 Si a = −2

Si a = −2

1 1

1

1

*

1

−2

−2 1 1 = 1 1 −2 1 1

1

1 1 1 1 1 1 1 1

1

− 2 1 = 4 +1+1+ 2 + 2 −1 = 9 ≠ 0 1 1

A * ≠ 0 → RgA* = 3

CONCLUSIÓN

Si a = 1 → Rg A = 1   Rg A* = 1 S .C.I . N º incog = 3

Si a = −2 → Rg A = 2   Rg A* = 3S .I . Rg A = 3 

Si a ≠ −2 , 1 → Rg A* = 3  S .C.D. N º Incog = 3

2. Resolver la ecuación matricial XA=B+C

1 1 0   A = 0 1 1 0 0 1  

2 0 0   B =  1 1 2 2 0 1  

1 1 0   C = 0 1 0 0 1 2  

XA=B+C X = ( B + C ) A-1

A −1 =

1 ( AdjA) t A 1

A =1

1 −1

0

AdjA = − 1 1 0 ; ( AdjA) = 0 1 −1 1 0 t

1 −1 −1

0

A =0 0

1 0

1 −1 1

 2 0 0   1 1 0   1 − 1 1        x =  1 1 2  +  0 1 0   0 1 − 1  2 0 1   0 1 2   0 0 1 

 3 1 0  1 − 1 − 1  3 − 2 2       x =  1 2 2  0 1 − 1 =  1 1 1   2 1 3  0 0 1   2 − 1 4      

1 0

1 −1 1

3. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de:

x

x +1 x + 2

x 1 2

x x

x+3 x+4 = x+5 x+6

x 3 4 = x1 3 4 = x1 3 3 = x ⋅ 0 = 0 x 5 6 1 5 6 1 5 5

1 1 2

1 1 1

4. Hallar las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del plano x=y que distan 1 del plano 2x − y + 2z = 2

Plano π 1 → x = y Plano π 2 → 2x − y + 2z − 2 = 0 Se tiene que cumplir que: _ Equidisten en el plano π 1 _ Disten 1 de π 2

d ( P, π 2 ) =

2x − y + 2z − 2 4 +1+ 4

=1

2x − y + 2z − 2 = 3 Va a tener 2 soluciones:

ϕ 1 : 2 x − y + 2 z − 2 = −3 → 2 x − y + 2 z − 5 = 0   ϕ 2 : 2 x − y + 2 z − 2 = −3 → 2 x − y + 2 z + 1 = 0  Las ecuaciones de las rectas r y r´ será donde se crucen

x = y r = π 1 ∩ ϕ1 ⇒  2 x − y + 2 z − 5 = 0

 x = λ 
y = λ  5−λ z = 2 

2 x − y + 2 z + 1 = 0 r' = π 1 ∩ ϕ 2 ⇒  x = y

 x = λ 
y = λ  −1− λ z = 2 

5. Dadas las rectas: x −1 y + 2 z − 2 = = 3 2 3 x+2 y −3 z −2 s≡ = = −1 2 3

r≡

a) Estudiar su posición relativa en el espacio. b) Hallar la distancia entre ellas.
v r (3, 2, 4) x −1 y + 2 z − 2 r≡ = = → 3 2 3  A(3λ + 1, 2λ − 2, 4λ + 1) = (1, − 2, 1)
v s (−1, 2, 3) x+2 y −3 z −2 s≡ = = → 2 3 −1  B (−λ − 2, 2λ + 3, 3λ + 2) = (−2, 3, 2) a)