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ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIER´ IA “Julio Garavito” ´ CIENCIAS BASICAS - Segundo semestre de 2004 Coordinaci´ on de matem´aticas - Primer semestre ´ EXAMEN FINAL DE PRECALCULO 
4. Al simplificar ln xe− ln x , se obtiene:

1. En notaci´ on de intervalo, el conjunto soluci´ on de la inecuaci´on −3(x + 1) < 2x + 2 es:

a. 1

a. (−∞, −1)

b. 0

b. (−1, ∞)

c. −2 ln(x)

c. (1, ∞)

d. 2 ln(−x)

d. (−∞, 1)

5. La funci´ on f (x) = |2x| − x se puede definir de manera equivalente como:

2. Considere las siguientes expresiones algebr´ aicas en el conjunto de los n´ umeros reales. I.

√ 2x−3

 a. f (x) =

(x + 1)2 − 4 II. −3 − x √ 2−x III. x+3

 b. f (x) = 

Se tiene que:

c. f (x) = 

a. II y III est´an definidas en x = 3, pero I no. b. I y III est´an definidas en x = 3, pero II no.

d. f (x) =

c. I y II est´an definidas en x = 3, pero III no. d. Ninguna est´a definida en x = 3.

3x, si x < 0 −x, si x ≥ 0 x, si x < 0 −3x, si x ≥ 0 −3x, si x < 0 x, si x ≥ 0 −x, si x < 0 3x, si x ≥ 0

6. Si uno de los cortes con el eje x de la gr´ afica de una funci´ on f es 7, ¿cu´ al ser´ a el corte con el eje x de la gr´ afica de la funci´ on g, definida por g(x) = f (x−10)?

3. La ecuaci´on de la recta tangente, a una circunferencia de radio 5 y centrada en el origen y que pasa por el punto (3, 4) es:

a. 17 b. -3

• (3, 4)

4

c. 3

2 −6 −4 −2 −2

d. 10 2

4

6

8

7. La trayectoria de una bola, modelada en el plano 1 cartesiano, est´a dada por y = − x2 + 3x + 5, don20 de y es la altura en pies y x es la distancia horizontal en pies. La m´axima altura alcanzada por la bola es:

−4 −6 a. 3y + 4x = 24

a. 905 pies

b. 3x − 4y = −7

b. 50 pies

c. y − 4 =

4 3 (x

− 3)

c. 30 pies

d. 3x + 4y = 25

d. 800 pies

1

8. La gr´afica de la funci´ on f es como sigue,

11. La gr´afica de la funci´ on f es como sigue, y 4

y

3 3

2 1

2

−3 −2 −1 −1

1

1

2

x

−2 −3

−2

−1

1

2

x

De las siguientes afirmaciones,

−1

I. f (x) es impar II. f (x) > 0 en el intervalo (−2; 2)

−2

III. ∀x si |x| ≤ 1 ⇒ |f (x) − 1, 5| ≤ 1, 5 se puede decir que:

La expresi´on algebraica que mejor representa a f es. a. S´ olo la III es verdadera. b. La I y la II son verdaderas.

a. f (x) = x(x + 2)(x − 1)2

c. La II y la III son verdaderas.

b. f (x) = x(x + 2)2 (x − 1)

d. La III y la I son verdaderas.

c. f (x) = x2 (x + 2)2 (x − 1)2

12. La ecuaci´on de la gr´ afica que aparece representada a continuaci´ on es:

d. f (x) = x2 (x + 2)(x − 1)

y

9. El dominio para la funci´ on g(x) =

2,5 2,0 1,5 1,0 0,5

a.

 x ∈ R| x =

5 2

y x = −3

x−2 es: 2x2 − x − 15



0

  b. x ∈ R| x = − 52 y x = 3

0

d. {x ∈ R| x = 2} 10. La funci´ on polinomial que representa mejor a la que tiene las siguientes caracter´ısticas: Un cero de multiplicidad 2 en -2, un cero de multiplicidad 1 en 1 y el eje x es tangente a la gr´afica en x = 5, es:

3π 4

13. De las siguientes expresiones I. cos(2α) = sin2 α − cos2 α II. cos(2α) = 2 sin2 α − 1 III. cos(2α) = 2 cos2 α − 1

a. f (x) = (x + 2)2 (x + 1)(x + 5)2

se puede decir que:

b. f (x) = (x − 2)2 (x + 1)(x + 5)2 3

π 2


a. y = − sin x − π8 + 1,5 
π b. y = −1,5 sin 2x − 16 
π + 1,5 c. y = − sin 2x − 16 
d. y = − sin 2x − π4 + 1,5

c. Todos los reales

2

π 4

a. S´ olo I es una identidad. 2

c. f (x) = (x + 2) (x + 1) (x − 5)

b. S´ olo II es una identidad.

d. f (x) = (x + 2)2 (x − 1)(x − 5)2

c. S´ olo III es una identidad. d. I, II, III son identidades. 2

π

x

14. Si sin α = − 21 , sin β = 1 y α est´a en el tercer cuadrante, entonces, cos(α − β) es:

19. Si f (x) = lente a:

√ √ x+h− x a.
√ √  h x+h+ x

a. − 12 b. c. d.

√ f (x + h) − f (x) es equivax entonces h

√ − 23 1 2 √ 3 2

15. El per´ımetro de un rect´ angulo no debe ser mayor que 30 cm y su largo debe ser de 8 cm. El ancho: a. debe ser menor que 22 cm b. debe ser mayor o igual a 7 cm

h √ x+h− x

c. √

1 √ x+h+ x

d. √

1 √ x+h− x

20. El dominio on f definida por

de la funci´ x2 − 2x f (x) = es x−1

c. no debe ser mayor que 7 cm d. debe ser 7 cm   −1, 16. Si sgn(x) = 0,   1, entonces, la funci´ on

b. √

a. (0, 1) ∪ (2, ∞)

si x < 0 si x = 0 si x > 0 y = x sgn(x) es equivalente a:

b. {x ∈ R| x > 2} c. {x ∈ R| x = 2} d. [0, 1) ∪ [2, ∞)

a. y = x 21. Una agencia de viajes ofrece la organizaci´on de una excursi´on con todo incluido en 800 d´ olares por persona, siempre que al menos 100 personas toman el viaje. Sin embargo, el costo por persona ser´a reducido en 5 d´ olares por cada una que supere las 100. El n´ umero de personas que deben tomar el viaje para que la agencia reciba el mayor ingreso bruto es:

b. y = −x c. y = x , donde x denota la funci´ on mayor entero menor o igual a x d. y = |x| 17. Una p´ agina para impresi´on contiene 24 cm2 de regi´ on impresa, una margen de 1,5 cm en la parte alta y en la parte baja de la hoja, y una margen de 1 cm en los lados. Si A(x) representa el ´area total de la on impresa es p´ agina en cm2 y si el ancho de la porci´ x cm , entonces: a. A(x) = −3x − b. A(x) = 3x +

48 x

48 x

a. 100 b. 200 c. 130 d. 260

+ 30 ex + e−x se resuelve para x, enex − e−x tonces se tiene que:

+ 30

22. Si la ecuaci´ on y =

c. A(x) = x2 + 5x + 6

 y+1 1 log 2 y−1  y+1 1 b. x = ln 2 y−1  y+1 c. x = log y−1  y+1 d. x = ln y−1

d. A(x) = x2 + 5x + 30

a. x =

√ 18. Si f (x) = (x−1)3 y g(x) = 1+ 3 x entonces (f ◦g)(x) es: a. x b. (x − 1)3 (1 + √ c. 1 + 3 x − 1 √ d. ( 3 x − 1)3

√ 3 x)

3

23. Las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales de la funci´on racional f definida por 2x2 − x − 1 son: f (x) = 2 x +x−2 a. x = −2;

y=2

b. x = −2;

x = 1;

27. Una escalera de 20 metros de longitud est´ a apoyada contra el muro de una construcci´ on formando con ´este un ´angulo de 30o . La distancia del pie de la escalera al muro es: √ a. 10 3 m

y=2

c. x = 2;

x = −2; y = 1

b. 10 m √ c. 10 2 m

d. x = 2;

y = −2

d. 40 m

24. La soluci´on de la ecuaci´ on log4 (2x + 3) − 2 log4 x = 2 es:

28. El periodo de la funci´ on y = −5 cos

a. x = − 12 b. x =

1 π x+ 3 6



a. 6π b. 2π π c. 3 π d. 6

1 2

c. x = − 38 d. x =



3 8

25. El tri´ angulo ABC est´a inscrito en un semic´ırculo de 15 unidades de di´ ametro. El ´area A del tri´ angulo como funci´ on de x es:

29. Los a´ngulos de elevaci´on de un globo visto desde los puntos A y B en el suelo a nivel son 45o y 60o respectivamente. Si los puntos A y B est´an separados 8 km y el globo se encuentra entre ellos, en el mismo plano vertical, entonces la altura del globo respecto al suelo es:

C

8 √ 1+ 3 √ 8 3 √ b. 3+ 3 √ 8 3 √ c. 1+ 3 24 √ d. 3+ 3

a.

x y A

B 15

xy 2 15x b. A = 2 √ x 225 − x2 c. A = 2 π(7, 5)2 d. A = 2 a. A =

26. La funci´ on inversa de f (x) =

km km km km

30. Las raices cuadradas de i (unidad imaginaria) son: 1 1 1 1 a. √ − √ i; − √ + √ i 2 2 2 2 √ √ 1 1 3 3 b. + i; − i 2 2 2 2 1 1 1 1 c. √ + √ i; − √ − √ i 2 2 2 2 d. 1; −1  −7 31. Si y = tan−1 entonces sin y es: 24

3x + 2 es: 2x + 5

2x + 5 3x + 2 x −2 3 b. f −1 (x) = x −5 2 x−2 −1 c. f (x) = 3 x−5 2 2 − 5x d. f −1 (x) = 2x − 3

a. f −1 (x) =

−7 25 −25 b. 24 24 c. 25 7 d. 25

a.

4

32. Las soluciones de la ecuaci´ on sec2 x − tan x = 1, si 0 ≤ x < 2π son: π , π, 3π a. 0, 2 2 π , π, 5π b. 0, 3 3 π , π, 5π c. 0, 6 6 π , π, 5π d. 0, 4 4

35. El v´ertice de la par´ abola definida por la ecuaci´ on 7 1 2 3 cartesiana y = − x + x + es: 8 4 8 a. (−3, 2) b. (3, −2) c. (3, 2) d. (−3, −2) 36. En un cubo se corta una rebanada de 1 cm de espesor. Si el volumen de la figura que queda es de 180 cm3 entonces la longitud x del lado del cubo original se puede hallar si se resuelve la ecuaci´on

33. Considere el siguiente tri´angulo, C α b a

a. x2 (x − 1) − 180 = 0 b. (x − 1)3 − 180 = 0

A

x

c. x3 − 180 = 0

B

d. x(x − 1)2 − 180 = 0

Si α = 60◦ , a = 2 km y b = 3 km, entonces el valor de x es: √ a. 19 km √ b. 13 km √ c. 7 km √ d. 2 3 km

37. Una ley para pa´ıses capitalistas afirma que la relaci´on entre el ingreso anual x y el n´ umero y de individuos cuyos ingreso es mayor que x es log y = log b − k log x donde b y k son constantes positivas. Al despejar y de esta ecuaci´on se obtiene:

34. La factorizaci´on completa del polinomio P (x) = 2x3 + 3x2 + 6x − 4 es: a. b. c. d.

a. y = b − kx

(x − 12 )(2x2 + 4x + 8) 2(x − 12 )(x + 2)2 √ √ (x − 12 )(x + 1 − 3i)(x + 1 + 3i) √ √ 2(x − 12 )(x + 1 − 3i)(x + 1 + 3i)

b. y = b − xk b c. y = k x b d. y = kx

5