Examen 1p Cal2019 Solucionario.pdf

Problemas resueltos de CALCULO I. Problemas resuelto de CALCULO I UNIVERSIDAD BOLIVIANA UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD TÉCNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATERIAS BASICAS PERIODO I/2019

Edilberto Mamani Espejo Edilberto Mamani Espejo

EXAMEN PRIMER PARCIAL CALCULO I MAT-101 SOLUCIONARIO

Duración del examen 100 minutos

( x  3)( x  1) ( x  1)  ( x  3)( x  2) ( x  3)

Ejemplo 1. Hallar el conjunto solución de:

Solución .-

( x  3)( x  1) ( x  1) ( x  3)( x  1) ( x  1) ( x  1)  ( x  3)     0  1  0 ( x  3)( x  2) ( x  3) ( x  3)( x  2) ( x  3) ( x  3)  ( x  2) 

( x  1)  1  ( x  1) // ( 1)  0   0  ( x  3)  ( x  2)  ( x  2)( x  3)

Ejemplo 2. Si ( g f )( x)  Solución .-

3x  1 y x2



f ( x) 

3

1



2

Cs  , 3   1, 2



x 1  2  , hallar el dominio de: g 1  . x 1 x  Sea el cambio:

Primero debemos encontrar b g 1 ( x)  ? ,

1 3( ) 1 x  1 3x  1 u2 u 1 )  g (u )   g (u )  , ux,  ( g f )( x)  g ( f ( x))  g ( 1 x x2 2 u  1 ( )2 u 1 2 2 x2 x2 2 4  2x 1 1 2 1  x g ( x)   g ( x)   g ( )  g 1 ( )  Df  2 2x 1 2x 1 1 x 1  x x  3 2( ) 1 1 x

 {3}

Ejemplo 3. Determinando: dominio, rango, intercepciones, simetrías y asíntotas; graficar: f ( x) 

x2  4 x2  9

, e indique si es una función o una relación, ¿Por qué?.

Solución .- Dominio: y 

Imagen: y  f ( y)  

x2  4 x2  9

x2  4 x 9 2

 x2  9  0  x  3



 yx 2  9 y  x 2  4  x  

y  4 9 9y  4 9y  4  0    y 1 y 1  y 1 4    If  ,  1,   9  

Df 

 {3,3}

9y  4 y 1

x  3 x3

4 9

1

 y 1

 INTERCEPCIONES.  Con el eje Y:  x  0  y 

02  4 02  9

 y

4  (0, 4 ) 9 3

9(0)  4  x  2  0 1

 Con el eje X:  y  0  x  

(0, 2); (0,2)

 SIMETRIAS.  Con el eje Y:  f ( x)  f ( x) 

(  x) 2  4 (  x) 2  9

 Con el origen:  f ( x)   f ( x)   Con el eje X:  f ( y )  f ( y)  



x2  4 x2  9

(  x)  4 2

(  x) 2  9



 f ( x)   simetria con el eje Y

x 4 2

x2  9

  f ( x)   simetría con el origen

9( y )  4 9 y  4 9y  4    f ( y)   simetria con el eje X ( y )  1  y 1 y 1

ES FUNCION

 ASÍNTOTAS.  Verticales: y 

Problemas resueltos de Calculo I Edilberto Mamani Espejo

x2  4 x 9 2

 Horizontales: x  

 x2  9  0  x  3 , son asíntotas verticales 9y  4  y 1

y 1  0 

y  1 es A. horizontal.

Inecuaciones y Funciones

Si se traza una recta vertical a la curva, ésta la intercepta en un solo punto, además por no existir simetría con el eje X, y cumple con la condición de existencia y unicidad.

Problemas resueltos de CALCULO I. Problemas resuelto de CALCULO I

Edilberto Mamani Espejo Edilberto Mamani Espejo

 2 x  2 x  Ejemplo 4. Hallar el límite en: L  lim  . x 0  3 2  x  3 2  x 

Solución .- Evaluando el límite se obtiene una indeterminación de la forma: Racionalizando numerador y denominador.  2  x  2  x  2  x  2  x ( 3 2  x )2  3 2  x 3 2  x  ( 3 2  x )2  L  lim       x 0   3 2  x  3 2  x  2  x  2  x ( 3 2  x ) 2  3 2  x 3 2  x  ( 3 2  x ) 2  

0  ?? 0

Aplicaremos:

 

Diferencia de cuadrados

 L  lim





2  x  2  x ( 3 2  x ) 2  3 2  x 3 2  x  ( 3 2  x ) 2    2 2 3 3 3 3 3 3 x 0 2  x  2  x ( 2  x )  2  x 2  x  ( 2  x )  2  x  2  x   2 x  2 x







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

Diferencia de cubos

 2  x  2  x ( 3 2  x ) 2  3 2  x 3 2  x  ( 3 2  x ) 2     2  x  2  x  ( 3 2  x )2  3 2  x 3 2  x  ( 3 2  x )2     L  lim  lim x 0 x 0  3 2  x3  3 2  x3  2  x  2  x 2  x  2  x 2  x  2  x     ( 3 2  x ) 2  3 2  x 3 2  x  ( 3 2  x ) 2  2 x ( 3 2  x )2  3 2  x 3 2  x  ( 3 2  x )2     , evaluando L  lim  lim  x 0 x  0 2x 2  x  2  x 2 x  2 x 2

2









nuevamente. ( 3 2  0) 2  3 2  0 3 2  0  ( 3 2  0) 2    L  20  20









L

Ejemplo 5. Determine una función lineal si:

36 2 2





f (1)  2 y

f (2)  3 .

Solución .- Sea la función lineal de la forma: y  f ( x)  ax  b , entonces,



5  a   3  resolviendo la ecuación [1] y [2], se obtiene:  [2] 1 b    2

f (1)  a(1)  b  2   a  b  2 f (2)  a(2)  b  3

la función es:

[1]

 2a  b  3

5 1 y  f ( x)   x  3 3

.

Inecuaciones y Funciones



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Edilberto Mamani Espejo Edilberto Mamani Espejo

EXAMEN PRIMER PARCIAL CALCULO I MAT-101 SOLUCIONARIO

Duración de la prueba 100 minutos

( x  3)( x  1) ( x  3)  ( x  3)( x  2) ( x  2)

Ejemplo 1. Hallar el conjunto solución de:

Solución .-

( x  3)( x  1) ( x  3) ( x  3)( x  1) ( x  3) ( x  3)  ( x  1)     0  1  0 ( x  3)( x  2) ( x  2) ( x  3)( x  2) ( x  2) ( x  2)  ( x  3) 

( x  3)  2  ( x  3)  ( 2)  0  0  ( x  2)  ( x  3)  ( x  2)( x  3)

Ejemplo 2. Si ( f g )( x) 



3

2



3



Cs  , 3  2,3 

5x  1 x  2  , hallar el dominio de: f 1  y g ( x)  . 3 x x2  x 1 

Primero debemos encontrar b f 1 ( x)  ? , 3u 5( ) 1 x 5x  1 16u  1 1 u )  f (u )   f (u )  , ux,  ( f g )( x)  f ( g ( x))  f ( 3u x2 3 x 3  6 u 3( ) 1 u 2 3( ) 1 16 x  1 3x  1 2 x5 1 1 2 x 1 f ( x)   f ( x)   f ( )  f 1 ( ) 3  6x 6 x  16 x  1 6( 2 )  16 x  1 16 x  4 x 1 Solución .-

Sea el cambio:

1 { } 4

 Df 

Ejemplo 3. Determinando: dominio, rango, intercepciones, simetrías y asíntotas; graficar: f ( x) 

2x 4  x2

, e indique si es una función o una relación, ¿Por qué?.

Solución .- Dominio: y 

Imagen: y  f ( y) 

1  1  4 y 2  If  y

2x 4 x

2

 4  x 2  0  x  2

Df 

Y

 {2, 2}

x2

2x

 yx 2  2 x  4 y  0  x 

4  x2

 {0}



2  4  16 y 2y

2

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.

y0

 INTERCEPCIONES.  Con el eje Y:  x  0  y   Con el eje X:  y  0  0 

X

x  2

2(0) 4  (0)2 2x

 y  0  (0,0)  2x  0  x  0 

4  x2

(0,0)

 SIMETRIAS.  Con el eje Y:  f ( x)  f ( x) 

2( x) 4  (  x)

 Con el origen:  f ( x)   f ( x)   Con el eje X:  f ( y)  f ( y) 

2



2( x) 4  (  x)

2

2x 4  x2



 f ( x)   simetria con el eje Y

2x 4  x2

  f ( x)   simetría con el origen

1  1  4( y)2 1  1  4 y 2   f ( y)   simetria con el eje X ( y ) y

 ASÍNTOTAS.  Verticales: y 

2x 4 x

2

 4  x 2  0  x  2

 Horizontales:  f ( y ) 

1  1  4 y 2  y

, son asíntotas verticales

y  0 es asíntota horizontal.

Inecuaciones y Funciones

ES FUNCION

Si se traza una recta vertical a la curva, ésta la intercepta en un solo punto, además por no existir simetría con el eje X, y cumple con la condición de existencia y unicidad.

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Edilberto Mamani Espejo Edilberto Mamani Espejo

 1 x  1 x  Ejemplo 4. Hallar el límite en: L  lim  . x 0  3 1  x  3 1  x 

Solución .- Evaluando el límite se obtiene una indeterminación de la forma:

0  ?? 0

Aplicaremos:

Racionalizando numerador y denominador: 

 1 x  1 x 1  x  1  x ( 3 1  x )2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x )2  L  lim     x 0  3 1  x  3 1  x 1  x  1  x ( 3 1  x ) 2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x ) 2  



Diferencia de cuadrados







1  x  1  x ( 3 1  x ) 2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x ) 2    x 0 3 1  x  3 1  x ( 3 1  x ) 2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x ) 2  1  x  1  x  

L  lim

1 x  1 x









Diferencia de cubos

 1  x  1  x ( 3 1  x )2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x )2    1  x  1  x  ( 3 1  x )2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x )2     L  lim  lim x 0 x 0  3 1 x3  3 1 x3  1 x  1 x 1  x  1  x  1  x  1  x     ( 3 1  x )2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x ) 2  2 x ( 3 1  x )2  3 1  x 3 1  x  ( 3 1  x )2     , evaluando nuevamente. L  lim  lim  x 0 x  0 2x 1  x  1 x 1 x  1 x 2

2









( 3 1  0) 2  3 1  0 3 1  0  ( 3 1  0) 2    L  1 0  1 0









L

Ejemplo 5. Determine una función lineal si:

3 2



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

f (2)  5 y



f (1) 

1 . 2

Solución .- Sea la función lineal de la forma: y  f ( x)  ax  b , entonces, f (2)  a(2)  b  5   2a  b  5



f (1)  a(1)  b 

1 2

la función es:

y  f ( x) 

 ab 

1 2

11  a   resolviendo la ecuación [1] y [2], se obtiene:  2 [2] b  6 [1]

11 x6 2

Inecuaciones y Funciones