Exame02-2018.2_francisco De Assis.pdf

UNIVERSIDADE FEDERAL DO SEMI-ÁRIDO – CAMPUS MOSSORÓ CENTRO DE ENGENHARIAS MECÂNICA GERAL II

FRANCISCO DE ASSIS DA SILVA JÚNIOR

EXAME II – UNIDADE II

MOSSORÓ – RN 20 de Fevereiro de 2019

Mecâ nica Geral II Exame II-Unidade II 1.0 Um ponto material de massa m é preso por uma corda de comprimento l a um ponto O’ que se move a uma velocidade angular constante 𝜃̇ = 𝜔0 e trajetória circular de raio r em um plano horizontal sem atrito xy. a) Obtenha a equação diferencial do movimento para ∅, assumindo as seguintes premissas simplificadoras: -O movimento tem um único grau de liberdade. -A corda se mantém esticada. -Todo o movimento ocorre no plano xy.

Assumindo as seguintes condições iniciais: ∅ max no movimento que segue.

RESPOSTA: Pela conservação do momento, temos: 𝑚𝑙 2 𝜃̈ = −𝑚𝑟𝜔2 𝑠𝑒𝑛∅

, encontre

Dividindo tudo por l² obtemos: 𝑟 ∅̈ + ( 𝑙 )𝑤²0 𝑠𝑒𝑛∅ = 0

, e pela relação r=l:

∅̈ + 𝑤²0 𝑠𝑒𝑛∅ = 0 , ou ainda,

∅̈ = 𝑤²0 𝑠𝑒𝑛∅

̇

𝑑∅ A questão nos dá a seguinte relação: ∅̇ 𝑑∅ = ∅̈, para achar o ∅máx iremos integrar

isso e achar a incógnita (C) com o uso das condições admitidas na questão. ̇

𝑑∅ ∅̇ 𝑑∅ = ∅̈ => ∅̇𝑑∅̇ = ∅̈𝑑∅,

Substituindo e integrando:

∅̇2 2

= w²0 cos∅ + C

Pelas condições iniciais, temos: cos∅ = ½ ∅ = 𝜋/3

2.0 Os pontos materiais A, B, e C são possuem massa m e são conectados por arame que se comporta como uma barra rígida de comprimento l, como mostrado. Existe uma junta em B. As três partículas estão em repouso na configuração inicial mostrada abaixo quando a partícula D, também de massa m, colide com a partícula B inelasticamente e passam a se mover juntas com velocidade v0 na direção transversal. Depois, as partículas A e C colidem também inelasticamente passando a se moverem juntas. Encontre: a) a velocidade angular do arame AB imediatamente antes de A e C colidirem b) a velocidade final da partícula A, após a colisão com C.

RESPOSTA: Suponde que todas as bolas andaram juntas após a colisão, conforme figura abaixo, temos que: Uma vez que w=v0/r e 𝑣0 = 𝑣2𝐷 = 𝑣𝐵2 , as velocidades angulares nas duas partes do arame serão iguais. 𝜔1 = 𝜔2

Pela conservação do momento linear, temos que: ∑ 𝑚𝑣1 = 𝑚𝑣2

mv1B + mv1D = mv2D + mv2B mv1D = mv0 + mv0 v1D = 2vo

a) A velocidade angular do arame será: 𝜃 ′ = 2𝑤 => 𝜃 ′ = b) Velocidade final de A: v0i + 0 j

2𝑣0 𝑟

3.0

RESPOSTA: a) Adotando o sistema de coordenadas tangencial e radial, faremos a análise das forças para a partícula 1 e 2: ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎

′2

−𝑚𝑟 𝜃

= 𝑁1 − 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

′2

−𝑚𝑟𝜃

= 𝑁2 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 −2𝑚𝑟 𝜃 = 𝑚𝑔(𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) − 𝜇(𝑁1 + 𝑁2 ) 𝑔 𝜃 ′′ + 𝜇𝜃 ′2 + [(1 − 𝜇)𝑠𝑒𝑛𝜃 − (1 + 𝜇)𝑐𝑜𝑠𝜃] = 0 2𝑟 ′′

Obs.: Devido as divergências nas respostas encontradas por outros métodos de resolução, uma versão alternativa de resposta ao problema é apresentada a seguir. Devido a extensão do mesmo, este apresenta-se em foto do manuscrito.

4.0 Um disco sem massa de raio r tem uma partícula de massa m presa a uma distância l do seu centro. O disco rola sem deslizar em um plano horizontal. Então, para algum ângulo

, um

impulso F é aplicado no ponto mais alto A no disco. Obtenha a variação de velocidade angular, como o impulso no contato de componentes

Rˆv e Rˆh .

RESPOSTA: Um esquema simplificado das forças pode ser visto abaixo:

Temos que nesse caso o somatório dos momentos é igual a:

Temos que: 𝐻𝑝 = 𝑚𝑋𝑟𝑝 Ou ainda: 𝐻𝑝 = 𝑚𝑟𝑝 𝑋𝜔𝑋𝑟𝑝 Para vetores ortogonais e velocidade angular no mesmo plano podemos simplificar a equação: → 𝐻𝑝 = −𝑚𝑟𝑝 2 𝜔𝑘̂ (i) Pela lei dos cossenos, podemos encontrar o segmento 𝑟𝑝 : 𝑟𝑝 ² = 𝑟 2 + 𝑙 2 − 2𝑟𝑙 cos 𝜃 Substituindo o 𝑟𝑝 na equação (i): 𝐻𝑝 = −𝑚(𝑟 2 + 𝑙 2 − 2𝑟𝑙 cos 𝜃)𝜔𝑘̂ Integramos então para achar relação do momento com o caso analisado. ̂𝑝 ∆𝐻𝑝 = ∫ 𝑀𝑝 𝑑𝑡 = 𝑀 ̂ 𝑝 = 𝑅𝑝𝑥𝐹̂ = −2𝑟𝐹̂ 𝑟 𝑀  ∆𝐻𝑝 = −2𝑟𝐹̂ 𝑘 Considerando o impulso: −𝑚(𝑟 2 + 𝑙 2 − 2𝑟𝑙 cos 𝜃)∆𝜔𝑘̂ = −2𝑟𝐹̂ 𝑘 Isolando 𝑅̂ℎ : 𝑅̂ℎ = −𝐹̂ + 𝑚(𝑟 − 𝑙 cos 𝜃) ∆𝜔