Exam Lim I At 1rbat Sol

Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia

MAT-I

Examen 7: Límits i continuïtat de funcions (3ª Avaluació) -- SOLUCIONS 1. Calcula els límits següents. (Indica si hi ha indeterminació i deixa clar el procediment) [3 punts] a) lím

x 2 − 25 x−5

c)

b) lím x →3

2x − 5 ( x − 3) 2

d) lím

x →5

lím

x→ +∞

x→ 4

x 3 − 2 x 2 − 10 x 5 x3 − x 2 − x + 3 x −2 x−4

Solucions: a) lím x →5

( x + 5)( x − 5) x 2 − 25 0 = = indeterminat; factoritzam i simplificam = lím x → 5 x−5 x−5 0

( x + 5) = 10 = lím x →5 b) lím x →3

2x − 5

( x − 3)

2

=

6−5 1 = + = +∞ ; No cal cercar els límits laterals ja que el denominador 02 0

és un zero positiu ja que prové d’un quadrat. c)

x 3 − 2 x 2 − 10 x ∞ lím = ; indeterminat; cal dividir tot per la potència major de x. x→ +∞ 5x 3 − x 2 − x + 3 ∞ 2 10 x 2 10 x3 2x − − 3 1− − 2 3 3 1 x x x x x = lím = lím = 3 2 x→ +∞ 5 x x→ +∞ 1 1 3 5 x x 3 5− − 2 + 3 − 3 − 3+ 3 3 x x x x x x x

d) lím

x→ 4

= lím x→ 4

x −2 0 = ; indeterminat. Cal multiplicar i dividir per l’expressió conjugada; x−4 0 ( x − 2)·( x + 2) ( x − 4)·( x + 2)

= lím

x→ 4

x−4 ( x − 4)·( x + 2)

= lím

x→ 4

1 ( x + 2)

=

1 4

2.

Tria una funció, calcula’n totes les asímptotes i fes una gràfica aproximada [3 punts] 4x 2 + 1  y= 2 x − 2x

3x 2  y= 2x + 6

2 x3  y= 3x − 6

Solucions:  y=

4x 2 + 1 x 2 − 2x

Asímptotes verticals: x 2 − 2 x = 0  x=0 i x=2 dues asímptotes verticals 4x 2 + 1 = 4 ; y=4 asímptota horitzontal 2 x → ±∞ x − 2 x

Asímptotes horitzontals lím

Estudi de la posició relativa de les asímptotes verticals: lím

4x 2 + 1 1 = + = +∞ 2 x − 2x 0

lím

4x 2 + 1 1 = = −∞ x 2 − 2x 0−

lím

4x 2 + 1 1 = = −∞ x 2 − 2x 0−

lím

4x 2 + 1 1 = + = +∞ 2 x − 2x 0

x →0 −

x→ 2−

x →0 +

x →2 +

Estudi de la posició relativa de l’asímptota horitzontal: Si x=-100, y=3,92 (per x negatius, la gràfica s’acosta per davall de y=4) Si x=+100, y=4,08 (per x grans, la gràfica s’acosta per damunt de y=4)

3x 2  y= 2x + 6 Asímptotes verticals: 2 x + 6 = 0  x=-3 asímptota verticals Asímptotes horitzontals: No en té Asímptotes obliqües:

y=

3 9 x− 2 2

Estudi de la posició relativa de l’asímptota vertical: lím

x → −3−

3x 2 27 = − = −∞ 2x + 6 0

lím

x → −3+

3x 2 27 = + = +∞ 2x + 6 0

Estudi de la posició relativa de l’asímptota obliqua: Si x=-100, y=-154,64 (per x negatius, la gràfica s’acosta per davall de l’asímptota) Si x=+100, y=145,63 (per x grans, la gràfica s’acosta per damunt de l’asímptota)

2 x3  y= 3x − 6 Asímptotes verticals: 3 x − 6 = 0  x=2 asímptota vertical Asímptotes horitzontals: No en té Asímptotes obliqües: No en té Branques parabòliques: Els límits a l’infinit són infinits 2x3 = +∞ x → −∞ 3 x − 6

lím

2x3 = −∞ x → +∞ 3 x − 6

lím

Estudi de la posició relativa de l’asímptota vertical: 2x 3 16 = − = −∞ 0 x→ 2− 3x − 6

lím

2x 3 16 = + = +∞ 0 x →2 + 3x − 6

lím

3. a) Explica les tres condicions que s’han de complir perquè una funció f(x) sigui contínua en x=a.

[1 punt]

b) Justifica per quin valor de b, la funció f(x) és contínua. bx − 2 f ( x) =  4 x − 2b

si si

[1 punt]

x <1 x ≥1

Solucions: a) Una funció f(x) és contínua en el punt d’abcissa x=a si és compleixen 3 condicions: f ( x) = lim− f ( x) = lim f ( x) 1ª) Existeix el límit quan x a. xlim →a + x →a x→ a 2ª) Existeix el valor de la funció en x=a. Existeix f (a) f ( x) = f (a ) 3ª) El límit i el valor de la funció coincideixen. xlim →a b) Aplicam les condicions anteriors a aquesta funció: lim f ( x) = lim− bx − 2 = b − 2

x →1−

x →1

lim f ( x) = lim+ 4 x − 2b = 4 − 2b

x →1+

x →1

Els dos límits laterals han de coincidir, b − 2 = 4 − 2b , llavors b=2. S’ha d’acabar comprovant que es compleixen les condicions 2a) i 3a)

4. Representa gràficament i digue’s el tipus de discontinuïtat a x=0 i x=2. 1 si x<0 x  y = 2 x si 0 ≤ x < 2 4 si x>2   Solució: Observant la gràfica veim que les discontinuïtats a x=0 i x=2 són de dos tipus:

A x=0; la

funció té una discontinuïtat asímptòtica o de salt infinit, A x=2; li falta un punt a la funció; és una discontinuïtat evitable.

[2 punts]