Exam En Final 2

´ lisis de Sistemas Dina ´ micos — 2007 Ana

Examen Final - Segunda Parte

1. Escriba las ecuaciones de estado en forma matricial y dibuje el diagrama de estado de la siguiente ecuaci´on diferencial: d4 y(t) d3 y(t) dy(t) + 1.5 + 2.5 + y(t) = 2r(t) dt4 dt3 dt 2. Calcule eAt usando la descomposici´ on de Jordan y la transformada de Laplace cuando: 

 −2 1 0 0  A =  0 −2 −1 −2 −3 3. Un sistema masa-resorte-fricci´on se describe mediante la siguiente ecuaci´on diferencial: d2 y(t) dy(t) +2 + y(t) = r(t) 2 dt dt (a) Defina las variables de estado como x1 (t) = y(t) y x2 (t) = dy(t)/dt. Escriba las ecuaciones de estado en forma matricial. Encuentre la matriz de transici´ on de estado φ(t) de A. (b) Defina las variables de estado como x1 (t) = y(t) y x2 (t) = y(t) + dy(t)/dt. Escriba las ecuaciones de estado en forma matricial. Encuentre la matriz de transici´on de estado φ(t) de A. (c) Demuestre que las ecuaciones caracter´ısticas, |sI − A| = 0, para las partes (a) y (b) son id´enticas. 4. La figura siguiente muestra un sistema usado para controlar la altitud de un avi´ on dise˜ nado para aterrizar y despegar de pistas cortas (STOL: short take-off and landing). Estos aviones generalmente est´an equipados con superficies de sustentaci´ on directa, las cuales, a diferencia de los ”flaps” convencionales, pueden rotar hacia arriba o hacia abajo. El servo de sustentaci´ on directa se puede modelar por medio de: −10 δf = u s + 12 donde δf es el a´ngulo de la superficie de sustentaci´ on y u es la salida del controlador. El amplificador tiene una ganancia k. La f.t. de la din´ amica del avi´ on se puede expresar como: h 40 = δf s (s + 1.414)

e

hr

δf

u Servo

k

Avi´ on

h

−

(a) Escriba este sistema por medio de un modelo en variables de estado. (b) Encuentre el rango de valores de la ganancia k que permiten la operaci´on estable del sistema y compare los resultados con los obtenidos en el ejercicio de estabilidad.

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Examen Final - Segunda Parte

5. Un modelo para el movimiento longitudinal de un helic´ optero en condiciones de operaci´on cerca de la flotaci´ on es:    θ¨ −0.4 0 −0.01  θ˙  =  1  0 0 −1.4 9.8 −0.02 v˙ 

   6.3 θ˙ θ  +  0 u 9.8 v

(1)

y = [0 0 1] x

(2)

Analice la estabilidad del punto de equilibrio. Es controlable el sistema? Es observable? Simule la respuesta a una entrada escal´on.

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