Exam Deriv Sol

Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia

MAT-I

Examen 8: Derivades (3ª Avaluació) -- SOLUCIONS 1. Calcula les derivades, simplificant el resultat si és necessari. x2 5 − 3x + 1 − 2 x

f ( x) =

a)

b) f ( x) = (5 x − 2) 3 f ( x) =

c)

1 3

x

2

[5 punts]

sin x cos x

d)

f ( x) =

e)

f ( x) = cos 2 x + e 2 x

f)

f ( x ) = ( x 2 + 1)·ln 3x

Solucions: a)

. . 1 5 x2 5 1 − 3x + 1 − = x 2 − 3x + 1 − 5 x −1  f ' ( x) = 2 x − 3 + 0 + 5 x −2 = x − 3 + 2 2 x 2 x 2

f ( x) =

b) f ( x) = (5 x − 2)3  f ' ( x) = 3(5 x − 2) 2 ·5 = 15(5 x − 2) 2

2.

1

= x −2 / 3  f ' ( x ) = −

2 −2 / 3−1 2 2 x = − x −5 / 3 = − 3 3 33 x 5

c)

f ( x) =

d)

f ( x) =

e)

f ( x) = cos 2 x + e 2 x  f ' ( x) = 2 cos x·( − sin x) + e 2 x ·2 = −2 cos x·sin x + 2e 2 x

f)

f ( x) = ( x 2 + 1)·ln 3 x  f ' ( x) = 2 x·ln 3x + ( x 2 + 1)·

3

x2

sin x cos x·cos x − sin x·(− sin x ) cos 2 x + sin 2 x 1 = =  f ' ( x) = 2 2 cos x cos x cos x cos 2 x

3 x2 + 1 = 2 x·ln 3 x + 3x x

Calcula l’equació de la recta tangent a la corba de la funció y = x 2 − 4 x en el punt d’abscissa x=0. Representa gràficament la corba i la recta tangent.

[2 punts]

Solució: L’equació punt-pendent de la recta és y − a y = m·( x − a x ) El punt A és x=0, y=0  A(0,0) El pendent s’obté a partir de la derivada y ' = 2 x − 4 .

y = x 2 − 4x

m = y ' (0) = −4 . Llavors la recta tangent és y − 0 = −4·( x − 0)  y = −4 x

A(0,0)

y = −4 x

3. Donada la funció f ( x) =

x2 , calcula: x−2

[3 punts]

a) El domini de f(x) b) Punts de tall amb els eixos c) Els intervals de creixement i decreixement d) Màxims i mínims relatius. Solució: a) Tots els punts excepte on s’anul·la el denominador. És a dir: Dom f(x)=R – {2}=(- ,2)(2,+ ) b) Talls amb l’eix OX, passa quan y=0. y =

x2 = 0  x=0. Punt (0,0) x−2

Talls amb l’eix OY, passa quan x=0. y=0.  Punt (0,0) Només hi ha un punt de tall, que és l’origen de coordenades. c) Per cercar els punts singulars necessitam la derivada f ' ( x) =

2 x( x − 2) − x 2 ·1 2 x 2 − 4 x − x 2 x 2 − 4x = = ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 ( x − 2) 2

Possibles màxims o mínims quan f ' ( x) = 0 . Obtenim l’equació: x 2 − 4x = 0  x 2 − 4 x = 0  x=0 i x=4 ( x − 2) 2 Analitzem el signe de la derivada en cada interval. Si f’>0 la funció és creixent, si f’<0 la funció és decreixent. Signe f’(x): ++++++++ --------------------------- +++++++++++++ 0 Interval de creixement: (- ,0)(4,+ ) Interval de decreixement: (0, 4) Màxim a x=0, y=0 Mínim a x=4, y=8

4

x