Exam Analitica 1rbat Resolt

Departament de Matemàtiques. IES Alcúdia

MAT-I

Examen 5: Geometria analítica (2ª Avaluació) -- SOLUCIONS x = 3 − t 1. La recta r del pla ve donada per l’equació r:   y = 2t a) Calcula’n un punt, un vector director i un normal [0,5 punt] b) Expressa la recta r en forma contínua [0,5 punt] c) l’equació general de la recta paral·lela a r que passa per P(2,-1) [1 punt] Solució: a) un punt A(3,0). Un vector director d(-1,2). Un vector normal n(2,1) x −3  3 x = − t → t =  −1 b) Aïllam el paràmetre t i igualam  y  y = 2t → t =  2

Æ

x −3 y = −1 2

c) Si ha d’ésser paral·lela a l’anterior ha de tenir el mateix vector director d(-1,2). Escrivim per començar l’equació contínua, canviant el punt per P(2,-1) x − 2 y +1 = Æ fent producte en creu trobam l’implicita: 2 x + y − 3 = 0 −1 2

2. Considera les rectes r: x+y+5=0 i s: y=3x+1 a) Troba el punt d’intersecció de les dues rectes [1 punt] b) Calcula la recta que passa pel punt d’intersecció i és perpendicular a la recta 2x+y–5=0 [1 punt] Solució: a) Per trobar el punt de tall hem de resoldre el sistema d’equacions  x = x + y + 5 = 0 Æ Fent substitució trobam    y = 3x + 1 y = 

-6 −3 = 4 2 . Punt de tall  − 3 − 7  T ,  −7  2 2  2

b) Si la recta ha d’esser perpendicular a 2x+y-5=0, ha de tenir la direcció del seu vector normal n(2,1). Anem a escriure l’equació contínua de l’equació que ens demanen 3 7 y+ 2= 2 Æ fent producte en creu trobam l’implicita: 2 x − 4 y − 11 = 0 2 1

x+

3. Troba m perquè la recta r: mx + y + 16 = 0 passi pel punt A(-3,-1). En tal cas, troba l’angle que forma amb la recta s: y = 2 x − 1 . [2 punt] Solució: a) Perquè el punt A passi per r ha de verificar l’equació de la recta, és a dir hem de substituir les coordenades de A dins la recta r i aïllar m m·(−3) + (−1) + 16 = 0 Æ m=5

b) L’angle que formen les dues rectes. Necessitam els seus vectors directors r r d r = (−1,5) i d s = (1,2) r r d r ·d s 9 (−1,5)·(1,2) − 1 + 10 α = arccos r r = arccos = arccos = arccos = 37,87 º 26 5 26 5 1 + 25 1 + 4 | d r || d s | 4. Calcula la distància entre les rectes r: 4 x − y + 5 = 0 i s: − 8 x + 2 y + 30 = 0 . [1,5 punt] Solució: Primer comprovam que les dues rectes són paral·leles sinó la distància seria 0. En efecte, els vectors directors (1,4) i (2,8) tenen la mateixa direcció. Per calcular la distància d’una recta a una altra recta paral·lela seguim aquest procediment: 1r) Trobam un punt de r , per exemple, P(0,5) 2n) Trobam la distància de P a l’altra recta s d ( P, s ) =

| −8·0 + 2·5 + 30 | 2

8 +2

2

=

40 20 17 = = 4,58 17 68

5. Calcula l’àrea del triangle que té els vèrtexs als punts A(0,0), B(3,1), C(2,4). Representa gràficament el triangle. [2,5 punt] C h A

B

r Solució : Per trobar l’àrea del triangle necessitam la base i l’altura A =

base·altura 2

Com a base podem prendre un costat, per exemple, AC L’altura h, s’obté de la distància des del punt B a la recta r que passa per A i C Comencem a fer càlculs : Costat : AC = d ( A, C ) = (2 − 0) 2 + (4 − 0) 2 = 20 Recta que passa per A i C : -vector director AC = (2,4) i punt A(0,0) -recta

y−0 x−0 = 2 4

Æ 2x − y = 0

L’altura h

h = d ( B, r ) =

2·3 − 1 5

=

5 = 5 5

Finalment l’àrea és : A=

AC ·h = 2

20 5 = 5ua 2