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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA ESCUELA DE FORMACIÓN DE PROFESORES DE ENSEÑANZA MEDIA LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA Y LA MATEMÁTICA TERCER EXAMEN PARCIAL ANÁLISIS NUMÉRICO LIC. LUIS SOLÓRZANO Total 60 puntos

Nombre: __________________ __________________________ Carné: ____________________

I Parte. (10 puntos). Use la regla del punto medio para aproximar el valor de la integral definida: 2 dx 0 1  x3 con 10 intervalos de igual tamaño (redondee a 6 decimales). ba 2   0.2 y De acuerdo con las ecuaciones para este tipo de aproximación se tiene que x  n 10



b

a

f ( x)dx  x  f ( x1 )  f ( x 2 )  ...  f ( x n )  . Usando Excel, se observa en la siguiente tabla que xi

i

xi

0 0 1 0.2 0.1 2 0.4 0.3 3 0.6 0.5 4 0.8 0.7 5 1 0.9 6 1.2 1.1 7 1.4 1.3 8 1.6 1.5 9 1.8 1.7 10 2 1.9 Aproximación

Por lo que



2

0

dx 1  x3

 

f xi

x 0.2

0.99950037 0.98676737 0.94280904 0.86290303 0.76050575 0.65498124 0.55927922 0.47809144 0.41124067 0.35671088 1.402558

 1.402558 con 10 intervalos de igual tamaño

II parte (10 puntos). Use la regla de Simpson para aproximar el valor de la integral definida: con 10 intervalos de igual tamaño. (Redondee a 6 decimales) De acuerdo con las ecuaciones para este tipo de aproximación se tiene que



3

2

dx ln( x)

x b  a 1    0.05 y 2 2n 20

x  f ( x0 )  2 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  2 f ( xn1 )  f ( xn ) . Usando Excel, se observa en la a 2 siguiente tabla que



b

f ( x)dx  Tn 

xi

I

 

0 2 1 2.1 2 2.2 3 2.3 4 2.4 5 2.5 6 2.6 7 2.7 8 2.8 9 2.9 10 3 Aproximación

x =0.1

f xi

factor 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

1.44269504 x 2.69564541 2.53659881 2.40122235 2.28449048 2.18271334 2.09311988 2.01358815 1.94246531 1.87844447 0.91023923 1.119061

2 =0.05

III parte (10 puntos). Use la regla del trapecio para aproximar el valor de la integral definida: 1

 ln(1  e )dx con 8 intervalos de igual tamaño. x

0

(Redondee a 6 decimales)

De acuerdo con las ecuaciones para este tipo de aproximación se tiene que

x b  a 1    0.05 y 2 2n 20

x  f ( x0 )  4 f ( x1 )  2 f ( x2 )  4 f ( x3 )  ...  2 f ( xn2 )  4 f ( xn1 )  f ( xn ) . Usando 3 Excel, se observa en la siguiente tabla que



b

a

f ( x)dx  S n 

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

xi

factor

0 1 0.125 4 0.25 2 0.375 4 0.5 2 0.625 4 0.75 2 0.875 4 1 1 Aproximación

 

x =0.125

f xi

0.69314718 3.03039614 1.65187884 3.59249306 1.94815397 4.21480271 2.27374201 4.89377832 1.31326169 0.983819

IV parte (15 puntos). La aproximación en la integral



4

1

x 3 =0.04166667

xdx para n=12 tiene el valor T6  4.665367 y

Calcule el error correspondiente. (Redondee a 6 decimales) El error de aproximación se calcula obteniendo la cuarta derivada de la función integrando. Así 15 15 15 15 f (4) ( x)     K    0.937500 , de tal manera que 1  x  4 , como , 16 x 7 16 x 7 16 17 16 K (b  a )3 2e(4  1)5 2e55 e55     0.004552 180n 4 180 124 180 124 90 124 De tal manera que el erro incurrido en la aproximación es menor que 0.004552 ET 

V parte (5 puntos) La aproximación en la integral



4

1

2e  x dx para n=12 tiene el valor S6  5.400818 .

Calcule el error correspondiente. (Redondee a 6 decimales) El error de aproximación se calcula obteniendo la cuarta derivada de la función integrando. Así x  ( 1)  2e , de tal manera que f (4) ( x)  2e  x , como 1  x  4 , 2e  K  2e K (b  a)5 2e(4  1)5 2e55 e55 ES      0.004552 180n 4 180 124 180 124 90 124 De tal manera que el erro incurrido en la aproximación es menor que 0.004552

Regla del Trapecio: x 

b

a

b

a

f ( x)dx  Tn 

ba , y xi  a  ix n

Regla Simpson:





f ( x)dx  S n 

par y x 

x  f ( x0 )  2 f ( x1 )  2 f ( x2 )  ...  2 f ( xn1 )  f ( xn ) donde 2

x  f ( x0 )  4 f ( x1 )  2 f ( x2 )  4 f ( x3 )  ...  2 f ( xn2 )  4 f ( xn1 )  f ( xn ) donde n es 3

ba , y xi  a  ix n

Límites de errores K (b  a )3 K (b  a )3 y E  M 12n 2 24n 2 K (b  a ) 5 (4) Supongamos que f ( x)  K cuando a  x  b , entonces ES  180n 4 Supongamos que f "( x)  K cuando a  x  b , entonces ET 

9936932.doc, 03 de noviembre de 2008