Exercise 5.1 (Solutions)
mathcity.org
Textbook of Algebra and Trigonometry for Class XI
Merging man and maths
Available online @ http://www.mathcity.org, Version: 1.0.0
1 1 = x −1 ( x − 1)( x + 1) Resolving it into partial fraction 1 A B = + ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1 Question # 1
2
Multiplying both sides by ( x − 1)( x + 1) we get 1 = A ( x + 1) + B ( x − 1) ................ (i ) Put x − 1 = 0 ⇒ x = 1 in equation (i)
1 = A (1 + 1) + B ( 0 ) ⇒ 1 = 2 A + 0
⇒
A=
1 2
Now put x + 1 = 0 ⇒ x = −1 in equation (i)
1 = A ( 0 ) + B ( −1 − 1) ⇒ 1 = 0 − 2B ⇒
B=−
1 2
Hence 1
A B + ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1 1 1 = − 2 ( x − 1) 2 ( x + 1) =
Answer
x 2 ( x 2 + 1)
x4 + x2 = ( x + 1)( x − 1) ( x 2 − 1)
Question # 2
= x2 + 2 + = x2 + 2 +
(x
x2 + 2 x2 − 1 x4 + x2 2 x4 − x 2 2
− 1) 2
A B = + ( x + 1)( x − 1) x + 1 x − 1
Multiplying both sides by ( x + 1)( x − 1)
2 = A ( x − 1) + B ( x + 1) ................ (i ) Put x + 1 = 0 ⇒ x = −1 in equation (i) 2 = A ( −1 − 1) + B ( 0 )
⇒ 2 = − 2A + 0 ⇒
A = −1
Now put x − 1 = 0 ⇒ x = 1 in equation (i)
2 = A ( 0 ) + B (1 + 1) So Hence
2
( x + 1)( x − 1)
(
=
)
⇒ 2 = 0 + 2B
⇒
B =1
−1 1 + x +1 x −1
x2 x2 + 1
( x + 1)( x − 1)
−1 1 + ( x + 1) ( x − 1) 1 1 = x2 + 2 − + ( x + 1) ( x − 1)
+
( x + 1)( x − 1)
2
Now consider
−
= x2 + 2 +
Answer
−
2x2 2 x2 − 2 +
2
FSc I / Ex 5.1-2
2x + 1 ( x − 1)( x + 2)( x + 3) Resolving it into partial fraction 2x + 1 A B C = + + ( x − 1)( x + 2)( x + 3) x −1 x + 2 x + 3 Multiplying both side by ( x − 1)( x + 2)( x + 3) 2 x + 1 = A ( x + 2)( x + 3) + B ( x − 1) ( x + 3) + C ( x − 1)( x + 2) ............ (i ) Put x − 1 = 0 ⇒ x = 1 in equation (i) 2(1) + 1 = A (1 + 2)(1 + 3) + B(0) + C (0) Question # 3
3 = A (3)(4) + 0 + 0
⇒ 3 = 12 A
⇒
3 = A 12
⇒
A=
1 4
Now put x + 2 = 0 ⇒ x = −2 in equation (i) 2(−2) + 1 = A (0) + B(−2 − 1)(−2 + 3) + C (0) −4 + 1 = 0 + B (−3)(1) + 0
⇒ − 3 = − 3B
⇒
B =1
Now put x + 3 = 0 ⇒ x = −3 in equation (i) 2(−3) + 1 = A (0) + B (0) + C (−3 − 1)(−3 + 2) −6 + 1 = 0 + 0 + C (−4)(−1)
⇒ − 5 = 4C
⇒
C=−
5 4
So 1 −5 2x + 1 1 4 4 = + + ( x − 1)( x + 2)( x + 3) x −1 x + 2 x + 3 1 1 5 = + − 4( x − 1) x + 2 4( x + 3) Question # 4
3x 2 − 4 x − 5 ( x − 2)( x 2 + 7 x + 10)
Answer
Q x 2 + 7 x + 10 = x 2 + 5 x + 2 x + 10 = x( x + 5) + 2( x + 5) = ( x + 5)( x + 2)
3x 2 − 4 x − 5 = ( x − 2)( x + 5)( x + 2) Now resolving into partial fraction. 3x2 − 4 x − 5 A B C = + + ( x − 2)( x + 5)( x + 2) x − 2 x + 5 x + 2 Do yourself . You will get A = − 1 , B = 30 , C = − 5 28 7 4
1 ( x − 1)(2 x − 1)(3 x − 1) Resolving it into partial fraction. 1 A B C = + + ( x − 1)(2 x − 1)(3 x − 1) x − 1 2 x − 1 3x − 1 Multiplying both side by ( x − 1)(2 x − 1)(3 x − 1) . 1 = A (2 x − 1)(3 x − 1) + B ( x − 1)(3x − 1) + C (2 x − 1)(3 x − 1) ............. (i ) Put x − 1 = 0 ⇒ x = 1 in equation (i) 1 = A (2(1) − 1)(3(1) − 1) + B (0) + C (0) ⇒ 1 = A (1)(2) + 0 + 0 Question # 5
⇒ 1 = 2A
⇒ A=
1 2
FSc I / Ex 5.1-3
1 in equation (i) 2 1 1 11 1 = A(0) + B − 1 3 − 1 + C (0) ⇒ 1 = 0 + B − + 0 2 2 22 1 ⇒1= − B ⇒ B = −4 4 1 Put 3 x − 1 = 0 ⇒ 3 x = 1 ⇒ x = in equation (i) 3 1 1 2 1 1 = A(0) + B (0) + C − 1 2 − 1 ⇒ 1 = 0 + 0 + C− − 3 3 3 3 Put 2 x − 1 = 0 ⇒ 2 x = 1 ⇒ x =
⇒1= Hence
2 C 9
⇒
C=
9 2
1 9 −4 1 2 2 = + + ( x − 1)(2 x − 1)(3 x − 1) x − 1 2 x − 1 3x − 1 1 4 9 = − + 2( x − 1) 2 x − 1 2(3 x − 1)
Answer
x ( x − a )( x − b)( x − c) Resolving it into partial fraction. x A B C = + + ( x − a )( x − b)( x − c ) x − a x − b x − c Multiplying both sides by ( x − a )( x − b)( x − c ) . x = A ( x − b)( x − c) + B ( x − a )( x − c) + C ( x − a )( x − b) ............ (i ) Put x − a = 0 ⇒ x = a in equation (i) a = A (a − b)(a − c) + B (0) + C (0)
Question # 6
⇒ a = A (a − b)(a − c) + 0 + 0
⇒
A=
a (a − b)(a − c)
⇒
B=
b (b − a )(b − c)
⇒
B=
c (c − a )(c − b )
Now put x − b = 0 ⇒ x = b in equation (i) a = A (0) + B (b − a )(b − c ) + C (0) ⇒ a = 0 + B (b − a )(b − c ) + 0 Now put x − c = 0 ⇒ x = c in equation (i) c = A (0) + B (0) + C (c − a )(c − b) ⇒ c = 0 + 0 + C (c − a )(c − b) So x = ( x − a )( x − b )( x − c) =
a
(a − b)(a − c ) + x−a
b
(b − a )(b − c) + x−b
c
(c − a )(c − b) x−c
a b c + + (a − b)(a − c)( x − a ) (b − a )(b − c )( x − b) (c − a )(c − b)( x − c) Answer
Made By Atiq ur Rehman (
[email protected] ) URL: http://www.mathcity.org
FSc I / Ex 5.1-4
Question # 7
6 x3 + 5 x2 − 7 2x2 − x − 1 = 3x + 4 +
7x − 3 = 3x + 4 + 2 2 x − 2x + x − 1
3x + 4 2 x − x − 1 6 x3 + 5x2 − 7 6 x3 − 3 x 2 − 3 x 2
7x − 3 2x2 − x − 1
−
+
+
8 x + 3x − 7 8x2 − 4 x − 4 2
7x − 3 = 3x + 4 + 2 x ( x − 1) + 1( x − 1) 7x − 3 = 3x + 4 + ( x − 1)(2 x + 1)
−
+
+
7x − 3
Now Consider
so
7x − 3 A B = + ( x − 1)(2 x + 1) x − 1 2 x + 1 Find value of A & B yourself 13 4 You will get A = 3 and B = 3 13 4 7x − 3 4 13 3 3 = = + + x − 1 2x + 1 ( x − 1)(2 x + 1) 3( x − 1) 3(2 x + 1)
Hence 6 x3 + 5 x 2 − 7 4 13 = 3 x + 4 + + 2x2 − x − 1 3( x − 1) 3(2 x + 1)
Answer
2 x3 + x 2 − 5 x + 3 Question # 8 1 2 x3 + x2 − 3x 3 2 3 2 2 x + x − 3 x 2 x + x − 5x + 3 −2 x + 3 3 2 =1 + 3 2 x + x − 3x 2 x + x 2 − 3x − − + − 2x + 3 −2 x + 3 −2 x + 3 =1 + = 1 + x(2 x 2 + x − 3) x(2 x 2 + 3 x − 2 x − 3) −2 x + 3 −2 x + 3 =1 + =1 + x ( x(2 x + 3) − 1(2 x + 3) ) x(2 x + 3)( x − 1) Now consider 3 − 2x A B C = + + x(2 x + 3)( x − 1) x 2 x + 3 x − 1 ⇒ 3 − 2 x = A(2 x + 3)( x − 1) + Bx ( x − 1) + C x (2 x + 3) ............... (i ) Put x = 0 in equation (i) 3 − 2(0) = A ( 2(0) + 3)( (0) − 1) + B (0) + C (0) ⇒ 3 − 0 = A ( 0 + 3)( −1) + 0 + 0 ⇒ 3 = − 3A
⇒
Now put 2 x + 3 = 0 ⇒ 2 x = −3 ⇒ x = −
A = −1 3 2
in equation (i)
3 3 3 3 5 3 − 2 − = A(0) + B − − − 1 + C (0) ⇒ 3 + 3 =0+ B − − + 0 2 2 2 2 2 15 8 4 ⇒ 6 = B ⇒ B = ( 6) ⇒ B = 4 5 15 Now put x − 1 = 0 ⇒ x = 1 in equation (i)
3 − 2(1) = A ( 0 ) + B ( 0 ) + C (1)( 2(1) + 3) ⇒ 1 = 0 + 0 + 5C
⇒ C=
1 5
FSc I / Ex 5.1-5
So
8 1 3 − 2x −1 1 8 1 5 = + + 5 =− + + x(2 x + 3)( x − 1) x 2 x + 3 x − 1 x 5(2 x + 3) 5( x − 1) 2 x3 + x 2 − 5 x + 3 1 8 1 =1− + + 3 2 2 x + x − 3x x 5(2 x + 3) 5( x − 1)
Hence
Answer
( x − 1)( x − 3)( x − 5) ( x − 2)( x − 4)( x − 6)
Question # 9
( x − 1)( x 2 − 3 x − 5 x + 15) = ( x − 2)( x 2 − 4 x − 6 x + 24) =
1
( x − 1)( x − 8 x + 15) ( x − 2)( x 2 − 10 x + 24) 2
x 3 − 12 x 2 + 44 x − 48 x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15
x 3 − 8 x 2 + 15 x − x 2 + 8 x − 15 x3 − 10 x 2 + 24 x − 2 x 2 + 20 x − 48 x 3 − 9 x 2 + 23 x − 15 = 3 x − 12 x 2 + 44 x − 48 3 x 2 − 21x + 33 3 x 2 − 21x + 33 = 1+ 3 = 1 + x − 12 x 2 + 44 x − 48 ( x − 2)( x − 4)( x − 6) Now Suppose 3 x 2 − 21x + 33 A B C = + + ( x − 2)( x − 4)( x − 6) x − 2 x − 4 x − 6 Find value of A, B and C yourself You will get A = 3 8 , B = 3 4 , C = 15 8 =
3
So
Hence
3
−
x3 −12 x 2 + 44 x − 48 +
−
15
3 x 2 − 21x + 33 = 8 + 4 + 8 ( x − 2)( x − 4)( x − 6) x − 2 x − 4 x − 6 3 3 15 = + + 8( x − 2) 4( x − 4) 8( x − 6) ( x − 1)( x − 3)( x − 5) 3 3 15 = 1+ + + Answer ( x − 2)( x − 4)( x − 6) 8( x − 2) 4( x − 4) 8( x − 6)
Question # 10
+
3 x − 21x + 33 2
1 (1 − ax)(1 − bx )(1 − cx)
Resolving it into partial fraction. 1 A B C = + + (1 − ax)(1 − bx)(1 − cx ) 1 − ax 1 − bx 1 − cx Multiplying both sides by (1 − ax)(1 − bx)(1 − cx) . 1= A (1 − bx )(1 − cx) + B (1 − ax)(1 − cx) + C (1 − ax)(1 − bx) ............ (i ) 1 in equation (i). Put 1 − ax = 0 ⇒ ax = 1 ⇒ x = a 1 1 b c 1= A 1 − b ⋅ 1 − c ⋅ + B (0) + C (0) ⇒ 1= A 1 − 1 − + 0 + 0 a a a a ( a − b )( a − c ) ⇒ A = a2 a − b a − c ⇒ 1= A ⇒ 1 = A a2 ( a − b )( a − c ) a a
FSc I / Ex 5.1-6
Find value of B & C yourself as A. 2 2 b c You will get B = ,C= (b − a ) (b − c ) (c − a )(c − b) a
Hence
2
b
2
c
2
1 (a − b ) ( a − c ) (b − a ) (b − c ) (c − a )(c − b ) = + + (1 − ax)(1 − bx)(1 − cx ) 1 − ax 1 − bx 1 − cx a2 b2 c2 = + + (a − b)(a − c)(1 − ax) (b − a )(b − c )(1 − bx) (c − a )(c − b)(1 − cx) Answer x2 + a 2 ( x 2 + b 2 )( x 2 + c 2 )( x 2 + d 2 )
Question # 11 Put y = x 2 in above.
y + a2 ( y + b 2 )( y + c 2 )( y + d 2 ) Now consider y + a2 A B C = + + 2 2 2 2 2 ( y + b )( y + c )( y + d ) y + b y+c y + d2
⇒ y + a 2 = A ( y + c 2 )( y + d 2 ) + B ( y + b2 )( y + d 2 ) + C ( y + b2 )( y + c 2 ) ........... (i ) Put y + b2 = 0 ⇒ y = −b 2 in equation (i) −b 2 + a 2 = A (−b2 + c 2 )(−b2 + d 2 ) + B (0) + C (0) ⇒ a − b = A (c − b )(d − b ) + 0 + 0 2
2
2
2
2
a 2 − b2 A= 2 (c − b 2 )(d 2 − b 2 )
⇒
2
Now put y + c 2 = 0 ⇒ y = −c 2 in equation (i)
−c 2 + a 2 = A (0) + B (−c 2 + b 2 )(−b 2 + d 2 ) + C (0) ⇒ a 2 − c 2 = 0 + B (b2 − c 2 )(d 2 − c 2 ) + 0
⇒
B=
a 2 − c2 (b 2 − c 2 )(d 2 − c 2 )
Now put y + d 2 = 0 ⇒ y = −d 2 in equation (i)
−d 2 + a 2 = A (0) + B (0) + C (−d 2 + b 2 )(−d 2 + c 2 ) ⇒ a − d = 0 + 0 + C (b − d )(c − d ) 2
2
2
2
2
2
⇒
a2 − d 2 C= 2 (b − d 2 )(c 2 − d 2 )
Hence a −b 2
2
a −c 2
2
a −d 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y + a2 (c − b ) (d − b ) (b − c ) ( d − c ) (b − d ) ( c − d ) = + + ( y + b 2 )( y + c 2 )( y + d 2 ) y + b2 y + c2 y + d2
a 2 − b2 a 2 − c2 a2 − d 2 = 2 + + (c − b 2 )(d 2 − b 2 )( y + b 2 ) (b 2 − c 2 )(d 2 − c 2 )( y + c 2 ) (b 2 − d 2 )(c 2 − d 2 )( y + d 2 ) Since y = x 2 a 2 − b2 a 2 − c2 a2 − d 2 = 2 + + (c − b 2 )(d 2 − b 2 )( x 2 + b 2 ) (b 2 − c 2 )(d 2 − c 2 )( x 2 + c 2 ) (b 2 − d 2 )(c 2 − d 2 )( x 2 + d 2 ) Answer Made By Atiq ur Rehman (
[email protected] ) URL: http://www.mathcity.org