Evidencia #6

RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES QUE REPRESENTE UN PROBLEMA DE PRODUCCION MEDIANTE EL METODO DE ELIMINACION Y REDUCCION DE GAUSS JORDAN.

11 de agosto de 2008

Para determinar el número de unidades se deben fabricar y vender para la empresa PLASTICAST LTDA, (Mazda 3, Mitsubishi, Ford), si para su elaboración se requiere el paso por dos maquinas (termo formadora, guillotina): Donde los tiempos de la lámina de polietileno para Mazda 3 en la primera máquina es 4.3 min y en la segunda maquina es 3 min. Donde los tiempos de la lámina de polietileno para Q-car en la primera máquina es 7.5 min y en la segunda maquina es 3 min. Donde los tiempos de la lámina de polietileno para Ford en la primera máquina es 7.5 min y en la segunda maquina es 3 min. La capacidad máxima del proceso en la maquina 1 es de 480 min, y la capacidad máxima del proceso en la maquina 2 es de 300 min, si el margen de contribución de utilidad del Mazda 3 es $ 7000, del Mitsubishi es $ 4216 y el de la Ford es $ 3136. Para aplicar los conocimientos sobre ecuaciones lineales se planteara el siguiente problema de manera que se maximice la utilidad.

x = MAZDA 3 y = MITSUBISHI z = FORD M1 = Termoformadora (Capacidad 480min) M2 = Guillotina (Capacidad 500min)

La Formulación es:

4.3𝑥 + 7.5𝑦 + 7.5𝑦 = 480 3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 300

Matriz datos

Pj

Mazda 3 (x)

Mitsubishi (y)

Termoformadora Guillotina Utilidad $

4.3 3. $ 7.000

7.5 3 $ 4.216

Mj

Ford (z) 7.5 3 $ 3.136

Capacidad (min) 480 300

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A continuación se definirán las variables y parámetros x = n° de unidades Mazda 3 a fabricar y vender y = n° de unidades Mitsubishi a fabricar y vender z = n° de unidades Ford a fabricar y vender Maximizar la utilidad Max Z = 7000 * x + 4216 * y + 3136 * z Partiendo de: 4.3𝑥 + 7.5𝑦 + 7.5𝑦 = 480 3𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 300

Y; y = z; quedara lo siguiente: 4.3𝑥 + 7.5𝑦 = 480 3𝑥 + 3𝑦 = 300 Solución Gauss Jordan: 𝐹1 4.3 7.5 3 𝐹2 3

𝐹3 = 𝐹1/4.3 𝐹4 = 𝐹2/3

480 300

= 𝐹3 𝐹4

1 7.5 4.3 1 1

480

4.3 100

𝐹3 = 𝐹3 𝐹5 = 𝐹4 − 𝐹3

=

𝐹3 𝐹5

1 7.5 4.3 0 32 43

480

1 7.5 4.3 0 1

480

500

4.3 43

𝐹3 = 𝐹3 𝐹6 = 𝐹5 32

43

= 𝐹3 𝐹5

4.3 125 8

𝐹6 = 𝐹3 − (𝐹5 ∗ 7.5 4.3 ) 𝐹5 = 𝐹5

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= 𝐹3 𝐹5

1 0

675

0 1

125

8 8

𝑁𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑟𝑜𝑗𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜

𝐹3 𝐹5

1 0 0 1

84.375 15.625

Con el método de eliminación y reducción de Gauss Jordan se ha llegado a la siguiente conclusión: 𝑥 = 84.735 ≈ 85 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑦 = 15.625 ≈ 16 𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 Entonces: Con y = z, quedara así: x = 85 de unidades Mazda 3 a fabricar y vender y = 16 de unidades Mitsubishi a fabricar y vender z = 16 de unidades Ford a fabricar y vender

MARGEN DE UTILIDAD: Max Z = 7000 * x + 4216 * y + 3136 * z MAXIMA UTILIDAD = 7000 * (85) + 4216 * (16) + 3136 (16) MAXIMA UTILIDAD = $ 712632 Con el siguiente problema se ha llegado a la conclusión que pro medio de el etodo Gauss Jordan arroja que para conseguir una utilidad de $ 712632, de margen de utilidad hay que fabricar y vender 85 unidades de Mazda 3, 16 unidades de Mitsubishi, 16 unidades de Ford. APLICACIÓN DE MATLAB: Para verificar la siguiente operación se han introducidos los siguientes datos en el software MATLAB para la comprobación de la solución.

1. Abrir el editor e introducir y guardar los datos:

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2. MATLAB arroja los siguientes resultados:

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CONCLUSION Como podemos observar en la comprobación del software MATLAB en el ejercicio de máxima utilidad, para los tres guardabarros es correcta a la realizada manualmente en el ejercicio de aplicación, esto demuestra que el método de GAUSS JORDAN fue implementado satisfactoriamente y se refleja en los resultados que arroja para su implementación.

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