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Actividad Práctica - U1-S2 Actividad N° 2 Razones y proporciones 1. Los ahorros de Ignacio y Paula se encuentran en la razón 5:2. Ignacio tiene ahorrado $ 326.400 más que Paula. a) ¿Cuánto dinero en total han ahorrado los dos? Ahorros de Ignacio =5 Ahorros de Paula = 2 X/Y = 5/2 2𝑋 = 5𝑌 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑋 = 𝑌 + 326.400 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 Reemplazando tenemos: 2 ∙ (𝑦 + 326.400) = 5𝑦 652.800 = 5𝑦 − 2𝑦 652.800 = 3𝑦 652.800 𝑦= 3 𝑦 = 217.600 Reemplazando y en la segunda ecuación tenemos: 𝑥 = 217.600 + 326.400 𝑥 = 544.000 Ignacio tiene $544.000 y paula $217.600, formando un total de $761.600 ahorrado

2. Se sabe que los ingresos por la venta de ciertos artículos son directamente proporcionales al cuadrado del número de ellos. Si por la venta de 6 de ellos se recibe un ingreso de $72.000. a) Determinar la constante de proporcionalidad entre estas magnitudes y el número de artículos que se deben vender para que el ingreso sea del orden de los $800.000. Siguiendo la fórmula de la constante de proporcionalidad: Entonces tenemos que: 𝐼 = 𝑘 ∙ 𝑄2 72.000 = 𝑘 ∙ (6)2

Actividad Práctica - U1-S2 72.000 = 𝑘 ∙ 36 𝑘 = 72.000 ÷ 32.000 𝑘 = 2.000 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑) Entonces reemplazando los valores y utilizando la misma fórmula tenemos que: 𝐼 = 𝑘 ∙ 𝑄2 800.000 = 2.000 ∙ 𝑄 2 800.00 ÷ 2.000 = 𝑄 2 𝑄 2 = 400 𝑄 = √400 𝑄 = 20 Por lo tanto se necesitan vender 20 artículos para obtener $800.000 de ingreso

Potencias, Raíces y Logaritmos La cantidad M en que un capital C se convierte después de n años a una tasa de interés compuesto-anual i, se determina mediante la expresión:

M = C (1 + i)

n

3. Se ha invertido un capital de $2.000.000 a una tasa de interés anual de un 4,5%. a) ¿Cuánto se tiene después de 4 años? C= 2.000.000

i=0,045 (4,5/100) n=4 años

𝑀 = 2.000.000(1 + 0,045)4 𝑀 = 2.000.000 ∙ 1,192518601 𝑀 = 2.385.037

Actividad Práctica - U1-S2 b) ¿Cuánto se tiene después de 6 años? C= 2.000.000

i=0,045 (4,5/100) n= 6 años 𝑀 = 2.000.000(1 + 0,045)6 𝑀 = 2.000.000 ∙ 1.302260125 𝑀 = 2.604.520

4. Se ha invertido un capital de $ 4.500.000 durante cierto periodo de tiempo (años). a) ¿Cuál es la tasa de interés que le permite aumentar el capital inicial un 50% durante 3 años? Reemplazando en la formula tenemos que: 4.500.000 𝑥

=

100%

, entonces nos queda 50%

4.500.000∙50 100

= 2.250.000. Si sumamos ese monto del

50% al capital inicial nos queda $6.750.000 Por lo tanto: 6.750.000 = 4.500.000 ∙ (1 + i)3 6.750.000 = (1 + i)3 4.500.000 1,5 = (1 + i)3 Aplicando logaritmo: ln(1,5) = ln(1 + 𝑖)3 ln(1,5) = 3 ∙ ln(1 + 𝑖) 0,405 = 3 ∙ ln(1 + 𝑖) 0,405 = ln(1 + 𝑖) 3 0,135 = ln(1 + 𝑖) Aplicamos Euler para eliminar el logaritmo: 𝑒 0,135 = 1 + 𝑖

Actividad Práctica - U1-S2 1,144 = 1 + 𝑖 1,144 − 1 = 𝑖 𝑖 = 0,144 𝑖 = 14,4% b) ¿Cuál es la tasa de interés que le permite duplicar el capital inicial durante 6 años? Capital inicial duplicado 4.500.000 ∙ 2 = 9.000.000 9.000.000 = 4.500.000 ∙ (1 + i)6 9.000.000 = (1 + i)6 4.500.000 2 = (1 + i)6 Aplicando logaritmo: ln(2) = ln(1 + 𝑖)6 ln(2) = 6 ∙ ln(1 + 𝑖) 0,693 = 6 ∙ ln(1 + 𝑖) 0,693 = ln(1 + 𝑖) 6 0,115 = ln(1 + 𝑖) Aplicamos Euler para eliminar el logaritmo: 𝑒 0,115 = 1 + 𝑖 1,121 = 1 + 𝑖 1,121 − 1 = 𝑖 𝑖 = 0,121 𝑖 = 12,1%

Actividad Práctica - U1-S2 5. Se ha invertido un capital de $2.800.000 a una tasa de interés anual de un 4,5%. a) ¿En cuántos años se tendrán $3.900.000? Utilizando la fórmula M = C (1 + i)n tenemos: M= 3.900.000 C= 2.800.000 i= 0,045 n=? 3.900.000 = 2.800.000 ∙ (1 + 0,045)𝑛 3.900.000 = (1 + 0,045)𝑛 2.800.000 1,392 = (1 + 0,045)𝑛 Aplicando logaritmo: ln(1,392) = ln(1 + 0,045)𝑛 ln(1,392) = n ∙ ln(1 + 0,045) 0,33 = 𝑛 ∙ ln( 1,045) 0,33 = 𝑛 ∙ (0,044) 𝑛=

0,33 0,044

𝑛 = 7,5 𝑎ñ𝑜𝑠

b) ¿En cuántos años se tendrán $3.500.000? M= 3.500.000 C= 2.800.000 i= 0,045 n=? 3.500.000 = 2.800.000 ∙ (1 + 0,045)𝑛 3.500.000 = (1 + 0,045)𝑛 2.800.000 1,25 = (1 + 0,045)𝑛 Aplicando logaritmo: ln(1,25) = ln(1 + 0,045)𝑛 ln(1,25) = n ∙ ln(1 + 0,045) 0,22 = 𝑛 ∙ ln( 1,045)

Actividad Práctica - U1-S2 0,22 = 𝑛 ∙ (0,044) 𝑛=

0,22 0,044

𝑛 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠