Evaluacion Final Yaneth-1.docx

Ejercicio 8. Encuentre todos los puntos de intersección de los dos planos

𝝅𝟏 = 𝟗𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟖𝒛 = 𝟏𝟎 𝝅𝟐 = −𝟓𝒙 − 𝟕𝒚 − 𝟖𝒛 = 𝟐 Desarrollo, Luego: 9𝑥 − 2𝑦 − 8𝑧 = 10 −5𝑥 − 7𝑦 − 8𝑧 = 2 Multiplicamos la segunda ecuación por (-1) obteniendo como resultado 9𝑥 − 2𝑦 − 8𝑧 = 10 5𝑥 + 7𝑦 + 8𝑧 = −2 Sumamos la ecuación 1 y la 2 y nos da como resultado 14𝑥 + 5𝑦 = 8 Despejamos y 𝑦=

8 − 14𝑥 5

Sustituimos el valor de y en la ecuación No. 1 8−14𝑥

9𝑥 − 2 ( 𝑧=

5

) − 8𝑧 = 10 Al resolver obtenemos:

(73𝑥 − 66) 40

Por lo tanto la ecuación será: 𝜋_1 ∩ 𝜋_2 𝒙 =⋋ 𝒚=

𝟖 − 𝟏𝟒 ⋋ 𝟓

𝒛=

𝟕𝟑 ⋋ −𝟔𝟔 𝟒𝟎

Ejercicio 10. Demuestre que el conjunto formado por los vectores de 𝑹𝟐 , constituyes un Espacio vectorial. Nota: Muestre que cada uno de los axiomas se satisface

Para que un conjunto de vectores forme parte de un espacio vectorial R², se deben cumplir una serie de propiedades, las cuales definen las operaciones básicas: Sean los vectores U = (a, b), V = (c, d), W = (e, f) con U, V y W ∈ R² Definimos los axiomas principales: 1) Propiedad conmutativa: U + V = V + U (a + c, b + d) = (c + a, d + b) Elementos de V=𝑅 2 R*R son de forma genérica pares (x, y) de números reales, se define 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2 + 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) = (𝑥3, 𝑦3) que pertenecen a 𝑣 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2) = (𝑥2 + 𝑥1, 𝑦2, 𝑦1) = (𝑥2, 𝑦2) + (𝑥1, 𝑦1) = 𝑣 + 𝑢

𝒖+𝒗=𝒗+𝒖

CONMUTIVA

2) Propiedad asociativa: U + (V + W) = (U + V) + W = (W + U) + V 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = 𝑢 + ((𝑥2, 𝑦2) + (𝑥3, 𝑦3)) = 𝑢 + (𝑥2 + 𝑥3, 𝑦2 + 𝑦3) = (𝑥1, 𝑦1) + ((𝑥2 + 𝑥3), (𝑦2 + 𝑦3)) = (𝑥1 + (𝑥2 + 𝑥3)), 𝑦1 + (𝑦2 + 𝑦3) = (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3) (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 Es lo mismo es decir 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 ASOCIATIVA

3) Elemento neutro: Sea un vector Y = (0, 0), tal que U + Y = U = (a + 0, b + 0) = (a, b)

𝑢 + (0,0) = (𝑥, 𝑦) + (0,0) = (𝑥 + 0, 𝑦 + 0) = (𝑥, 𝑦) = 𝑢 (0,0) = 0 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣 → ELEMENTO NEUTRO

4) Inverso aditivo: Para cada vector existe un opuesto, es decir U y -U, de tal manera que -U = (-a, - b) pertenece a U = (a, b), de manera que: U + (-U) = (0, 0) 5) Multiplicación por escalar: Sea un escalar k que pertenece a los reales (k ∈ R), tal que: k × U = k × (a, b) = (ka, kb) 6) Distributividad: U × V = (a × c, b × d) 7) Se tiene que 1 × U = U = (a, b)

Todas las mencionadas propiedades establecen las operaciones para vectores en su dimensión de par ordenado, las cuales dan por resultado otro vector que forma parte del espacio.