Evaluacion De Parametros Materiales De Fractura En Roca Intacta.pdf

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Wilson Guillermo Marín López

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Minas, Departamento de materiales y minerales Medellín, Colombia 2017

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Wilson Guillermo Marín López

Tesis de investigación presentada como requisito parcial para optar al título de: Magister en Ingeniería de Recursos Minerales.

Director: PhD. Moisés Oswaldo Bustamante Rúa

Geomecánica minera y modelación de macizos rocosos Grupo de Investigación: Instituto de Minerales CIMEX

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Minas, Departamento de materiales y minerales Medellín, Colombia 2017

Dedico esta tesis con mucho amor y mucho gusto:

A mi familia. A mis compañeros de estudio. A mis excompañeros de trabajo. A mis profesores y asesores.

Agradecimientos A mi esposa Irma Irene y a mi hijo Federico por su apoyo incondicional durante el tiempo de estudio y por su constante ánimo para lograr este título después de tantos años alejado de la academia.

Al Ingeniero Gabriel Ramírez Medina, director ejecutivo de Minera el Roble S.A.S, por su constante e incondicional apoyo.

A mi director de tesis, PhD. Moisés Oswaldo Bustamante Rúa, en quien tuve siempre el apoyo, la guía y sobretodo su amistad para desarrollar y culminar el trabajo de tesis.

A mis compañeros, Karen Margarita de la hoz Pertuz, Samanta Zafiro Rey, Karen Marcela Ocampo torres, Ingrid Estefanía Vélez Jaramillo, Alan José Daza Aragón, Pablo Bustamante Baena, Manuel Julián Barros Daza, Julián David Osorio Botero, Cristián Andrés Flórez Vergara, Orlando José Rada Bermúdez por su colaboración en los trabajos académicos y su amistad incondicional a pesar de la gran diferencia generacional que tenemos.

A la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín. Al instituto de minerales CIMEX, por brindarme, nuevamente, la oportunidad de estudiar

Resumen y Abstract

IX

Resumen Hasta el momento, para obtener las propiedades intrínsecas de una roca, ángulo de fricción interna y cohesión, se requiere de varios ensayos de compresión triaxial en muestras de rocas (testigos de perforación).

En el presente trabajo se realizan una serie de análisis geométricos entre un ensayo a compresión simple y un ensayo a tracción de una roca para lograr determinar, con los valores obtenidos en estos dos ensayos, algunas relaciones que nos llevan a deducir ecuaciones que dan como resultado las propiedades intrínsecas de la roca, ángulo de fricción interna y cohesión, y otros valores de resistencia de la roca.

Todo el análisis se basa en el criterio de falla de Mohr-Coulomb, criterio de falla lineal, y algunas consideraciones respecto al comportamiento de la roca a esfuerzos de compresión (esfuerzos positivos en el análisis) y esfuerzos de tracción (esfuerzos negativos en el análisis).

Las ecuaciones deducidas son ecuaciones simples, que sólo relacionan los valores de la resistencia de la roca a compresión simple y a tracción, siendo posible obtener estos valores con ensayos sencillos y fáciles de realizar, incluso en el campo, teniendo resultados rápidos y confiables.

Palabras clave: Ángulo de fricción interna, cohesión, Mohr-coulomb, compresión simple, tracción.

X

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Abstract Determining the intrinsic properties of a rock, the internal friction angle and cohesion requires, so far, several triaxial compression tests on rock samples (drilling cores).

In the present work, a series of geometric analyses between a simple compression test and a rock tensile test of a rock was performed. These analyses aimed at determining some relations within the values obtained in the two tests, which led to deduce equations for the intrinsic properties of the rock, the internal friction angle and cohesion, and other rock strength values.

The entire analysis is based on the Mohr-Coulomb failure criterion, the linear failure criterion, and some considerations regarding the behavior of the rock to compressive stress (positive stresses in the analysis) and tensile stresses (negative stresses in the analysis). The deduced equations are simple equations that only relate the values of rock strength to simple compression and to traction, being possible to obtain these values with simple and easy-to-perform tests, even in the field, and in a fast and reliable manner.

Keywords: Internal friction angle, cohesion, Mohr-coulomb, simple compression, traction.

Contenido

XI

Contenido Pág. Resumen ........................................................................................................................ IX Lista de figuras ............................................................................................................ XIV Lista de tablas ............................................................................................................ XVII Lista de Símbolos y abreviaturas ................................................................................ XX Introducción .................................................................................................................... 1 1.

Criterios de falla en rocas. ....................................................................................... 5 1.1 Criterio de falla de Mohr-Coulomb. ..................................................................... 5 1.1.1 Criterio de Mohr. [1][9][10][2][11] ..................................................................... 5 1.1.2 Criterio de Coulomb-Navier.............................................................................. 8 1.1.3 Compaginación de los criterios de Coulomb y Mohr. ....................................... 9 1.1.4 Representación del criterio de Mohr-Coulomb. .............................................. 13 1.2 Criterio de falla de Hoek y Brown [17]. ............................................................. 18 1.2.1 Criterio de rotura de Hoek y Brown para roca intacta. .................................... 18 1.2.2 Criterio de rotura de Hoek y Brown para la masa rocosa. .............................. 20 1.3 Estimación de los parámetros de Mohr-Coulomb del macizo a partir del criterio de rotura de Hoek y Brown. ............................................................................................. 22

2.

Ensayos de roca en el laboratorio. ....................................................................... 25 2.1 Comportamiento de las rocas a compresión..................................................... 25 2.2 Ensayo de compresión uniaxial. ....................................................................... 27 2.3 Ensayo de compresión triaxial. ......................................................................... 33 2.4 Ensayo de corte directo. [9]. ............................................................................. 37 2.5 Ensayo de carga puntual. .[7]. .......................................................................... 39 2.6 Ensayo de tracción brasileño. .......................................................................... 42

3.

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción. ..................................................................................... 45 3.1 Criterios a tener en cuenta para el análisis. ...................................................... 45 3.1.1 Envolvente de falla de Mohr–Coulomb. ......................................................... 45 3.1.2 Ensayo de tracción brasileño. ........................................................................ 46 3.1.1 Ensayos triaxiales ideales. ............................................................................. 46 3.2 Procedimiento gráfico para la obtención de ecuaciones sugeridas. .................. 47

XII

Contenido

3.3 4.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3. .............................................. 63 4.1 Ejercicio ideal tesis. .......................................................................................... 63 4.2 Ejercicio Arzua. ................................................................................................. 67 4.3 Chert negro. ...................................................................................................... 71 4.4 Sulfuro masivo (cuerpo Zeus). .......................................................................... 75 4.5 Dique lutítico. .................................................................................................... 79 4.6 Chert negro grafitoso. ....................................................................................... 83 4.7 Formación mesa verde. Colorado. .................................................................... 87 4.8 Arenisca techo mina Villabona. España (1) ....................................................... 91 4.9 Margas rojas techo mina Villabona. España ..................................................... 95 4.10 Granito de País Amarelo España.[24] ............................................................. 100 4.11 Granito de Mera Blanco España.[24] .............................................................. 104 4.12 Granito de Villachán España.[24] .................................................................... 109 4.13 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 113

4.14 4.15 4.16 5.

Resumen ecuaciones ....................................................................................... 61

Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 118 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 123 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 128

Conclusiones y recomendaciones ..................................................................... 135 5.1 Conclusiones .................................................................................................. 135 5.2 Recomendaciones. ......................................................................................... 137

A. Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas Minera El Roble. .......................................................................................................... 139 B

Anexo:Ensayos triaxiales formación mesa verde, Colorado ............................ 151

C Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España. ....................... 153 D Anexo: Ensayos compresión simple, triaxiales y tracción brasilera muestras de granito País Amarelo. España. ................................................................................... 165 E

Anexo: Ensayos triaxiales muestras de granito Mera Blanco. España. ........... 167

F

Anexo: Ensayos triaxiales muestras de granito Villachán. España. ............... 169

G Anexo: Ensayos triaxiales Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central. Obtención de parámetros por programa Rockdata. ................................................. 171 H Anexo: Relación C’ (Cohesión tracom-triaxial) vs C. (Cohesión regresión) de ejercicios 4.2,4.4,4.5,4.6,4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis. ............................................. 175 I Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis y σC, σTT por regresión. de ejercicios 4.2,4.4,4.5,4.6,4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis. ................ 177 J Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C.y Ø (Cohesión regresión) de ejercicios 4.3,4.8,4.10,4.11 y 4.12, capítulo 4 de tesis. ...................... 179

Contenido

XIII

K Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis y σC, σTT por regresión. de ejercicios 4.3,4.8,4.10,4.11 y 4.12 capítulo 4 de tesis. ................. 181 L Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C.y Ø (Cohesión regresión), C’.y Ø (rockdata) de ejercicios 4.13,4.14,4.15 y 4.16 capítulo 4 de tesis. 183 M Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis, σC, σTT por regresión. y σC, σTT rockdata de ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16 capítulo 4 de tesis. 185 Bibliografía .................................................................................................................. 187

XIV

Contenido

Lista de figuras Pág.

Figura 1-1:

Punto de un material sometido a un estado planar de esfuerzos. [8] ........ 6

Figura 1-2.

Círculo de Mohr. [8]. ................................................................................. 7

Figura 1-3.

Envolvente no lineal de los círculos de Mohr. [11]. ................................... 8

Figura 1-4:

Envolvente de Coulomb- Navier. [11]. ...................................................... 8

Figura 1-5:

Rectas de Coulomb-Navier. [8]................................................................. 9

Figura 1-6:

Compaginación teoría de Mohr y teoría de Coulomb. [8]. ....................... 10

Figura 1-7:

Regiones de estabilidad y de falla según criterio de Mohr-Coulomb [8]. . 10

Figura 1-8:

Envolvente de falla y reconocimiento de los parámetros materiales

Cohesión C y ángulo de fricción básico φ. [5]. ................................................................ 11 Figura 1-9:

Extrapolación de la recta de Mohr-Coulomb a la región de esfuerzos

negativos. [7]. ............................................................................................................... 13 Figura 1-10:

Relación radio y centro del círculo de Mohr. [15]. ................................... 14

Figura 1-11.

Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. [16]. .................................. 15

Figura 1-12:

Relación geométrica entre la recta de puntos máximos y la recta de Mohr-

Coulomb. [15]. ............................................................................................................... 16 Figura 1-13:

Representación de los círculos de Mohr correspondientes a ensayos

triaxiales. Recta de puntos máximos y recta de Mohr-Coulomb obtenida a partir del ajuste de la recta de puntos máximos [11][15][7]. ...................................................................... 17 Figura 1-14:

Relación entre esfuerzos principales mayor y menor para Hoek y Brown y

envolvente de Mohr-Coulomb. ........................................................................................ 24 Figura 2-1

Comportamiento de las rocas a compresión. [13][9]. ................................. 26

Figura 2-2

Esquema del ensayo de compresión simple. [11]. ..................................... 28

Figura 2-3

Relación esfuerzo-deformación en un ensayo de compresión uniaxial. [7] 29

Figura 2-4:

Esquema de colocación de las bandas extensiométricas. .[7]. ............... 30

Figura 2-5:

: Curva esfuerzo deformación. [21]:........................................................ 32

Contenido

XV

Figura 2-6:

Determinación módulo de Young. [21]: .................................................. 32

Figura 2-7.

Célula de compresión triaxial. [7]. .......................................................... 34

Figura 2-8:

Curvas de diferencia de tensiones vs. Deformaciones axiales. [9] ......... 36

Figura 2-9:

Comportamiento de un material rocoso en pruebas triaxiales a distinto

niveles de confinamiento e idealizaciones mediante endurecimiento y reblandecimiento ( Ramm, 2000). [17]. ......................................................................................................... 37 Figura 2-10:

Equipo para ensayo de corte directo. [17] .............................................. 38

Figura 2-11:

Ensayo de carga puntual mediante la prensa Franklin. [15]. .................. 41

Figura 2-12.

Ensayo indirecto de tracción (ensayo brasileño).[15]. ............................ 42

Figura 3-1:

Ensayos triaxiales ideales...................................................................... 47

Figura 3-2:

Relaciones entre ensayo a tracción y compresión simple de una roca. . 49

Figura 3-3

Envolvente Tracom para ensayos a compresión simple y tracción con ángulo

de fricción interna y diagrama de fuerzas. ...................................................................... 54 Figura 3-4:

Relación geométrica entre las rectas de puntos de tangencia de ensayos .............................................................................................................. 57

Figura 3-5:

Relación entre cohesión C de envolvente de Mohr-Coulomb y K1

envolvente Tracom. ........................................................................................................ 60 Figura 4-1.

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio ideal tesis. ...... 67

Figura 4-2:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio Arzua. ............. 70

Figura 4-3:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro...................... 75

Figura 4-4

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Sulfuro masivo (cuerpo Zeus) . .................................................................................................................. 78

Figura 4-5

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de dique lutítico. ....................... 82

Figura 4-6:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro grafitoso. ...... 86

Figura 4-7:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de formación mesa verde,

Colorado.

.............................................................................................................. 90

Figura 4-8:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de arenisca techo mina Villabona

España

.............................................................................................................. 95

Figura 4-9:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de margas rojas techo mina

Villabona España ........................................................................................................... 99 Figura 4-10:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito país Amarelo.

España.

.............................................................................................................104

Figura 4-11

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Mera Blanco.

España.

.............................................................................................................108

XVI

Contenido

Figura 4-12:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Villachán.

España.

............................................................................................................. 112

Figura 4-13:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente.

Sector 1. Chile ............................................................................................................. 117 Figura 4-14:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente.

Sector 2. Chile ............................................................................................................. 122 Figura 4-15:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente.

Sector 3. Chile ............................................................................................................. 127 Figura 4-16:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente.

Sector 4. Chile ............................................................................................................. 132

Contenido

XVII

Lista de tablas Pág.

Tabla 1.2–1

Valores de la constante mi para la matriz rocosa (Hoek y Brown, 199).. 19

Tabla 1.2–2:

Guía para estimación del grado de perturbación D de un macizo rocoso.

Según Hoek et al. (2002). ............................................................................................... 22 Tabla 4.1–1:

Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta

máxima.

.............................................................................................................. 63

Tabla 4.1–2.

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................. 64 Tabla 4.2–1:

Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta

máxima.

.............................................................................................................. 68

Tabla 4.2–2:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................. 69 Tabla 4.3–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro

mina Minera El Roble S.A. Colombia.............................................................................. 71 Tabla 4.3–2:

Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta

máxima.

.............................................................................................................. 71

Tabla 4.3–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................. 73 Tabla 4.4–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de sulfuro masivo,

cuerpo Zeus, mina Minera El Roble S.A. Colombia. ....................................................... 75 Tabla 4.4–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima 76

Tabla 4.5–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales del dique lutítico

mina Minera El Roble S.A. Colombia. ............................................................................. 79 Tabla 4.5–2: : Tabla 4.5–3.

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 79 Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................. 80

XVIII

Tabla 4.6–1:

Contenido

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro

grafitoso, mina Minera El Roble S.A. Colombia. .............................................................. 83 Tabla 4.6–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 83

Tabla 4.6–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. ............................................................................................... 84 Tabla 4.7–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de la formación

mesa verde. Colorado. .................................................................................................... 87 Tabla 4.7–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 87

Tabla 4.7–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. ............................................................................................... 88 Tabla 4.8–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de arenisca del

techo mina Villabona. España. ........................................................................................ 91 Tabla 4.8–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 92

Tabla 4.8–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. ............................................................................................... 93 Tabla 4.9–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de Margas rojas

techo mina Villabona. España ......................................................................................... 96 Tabla 4.9–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 96

Tabla 4.9–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. ............................................................................................... 97 Tabla 4.10–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito del

país Amarelo. España. .................................................................................................. 100 Tabla 4.10–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. ......................................................................................................... 101

Tabla 4.10–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. ............................................................................................. 102 Tabla 4.11–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito de

Mera Blanco. España. ................................................................................................... 105 Tabla 4.11–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. ......................................................................................................... 105

Tabla 4.11–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. ............................................................................................. 106 Tabla 4.12–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito

Villachán. España. ........................................................................................................ 109

Contenido

Tabla 4.12–2:

XIX

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. ..........................................................................................................110

Tabla 4.12–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................111 Tabla 4.13–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita

yacimiento El Teniente. Chile. .......................................................................................113 Tabla 4.13–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. ..........................................................................................................114

Tabla 4.13–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................115 Tabla 4.14–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita

yacimiento El Teniente. Chile. .......................................................................................118 Tabla 4.14–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima.

Tabla 4.14–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................120 Tabla 4.15–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita

yacimiento El Teniente. Chile. .......................................................................................123 Tabla 4.15–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. ..........................................................................................................124

Tabla 4.15–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................125 Tabla 4.16–1:

Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita

yacimiento El Teniente. Chile. .......................................................................................128 Tabla 4.16–2:

Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. ..........................................................................................................129

Tabla 4.16–3:

Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................130 Tabla 4.16–4:

Resumen de cálculos de ángulo de fricción interna y cohesión de la

Andesita yacimiento El teniente. Chile, con regresión y ecuaciones tesis......................133 Tabla 4.16–5:

Comparativo de ángulo de fricción interna, cohesión, resistencia a

compresión y resistencia a tracción de la Andesita yacimiento El teniente. Chile, con regresión, ecuaciones tesis y programa rockdata. .........................................................134

XX

Contenido

Lista de Símbolos y abreviaturas Símbolos con letras latinas Símbolo

Término

A C CC D F H

Área Cohesión Centro círculo de Mohr Diámetro probeta Fuerza Altura probeta Cohesión ensayos tracción, compresión simple. Pendiente recta envolvente de puntos máximos ordenada en el origen de la recta. De puntos máximos.(Cohesión). Coeficiente de correlación en regresión de mínimos cuadrados. Radio círculo de Mohr Pa, Mpa

K m n r R

Unidad SI Definición 𝜋𝐷 2 m2,cm2 ∬ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 4 ,Pa,Mpa Pascal,Megapascal) ,Pa,Mpa Pascal,Megapascal) Cm,mm Centímetro, milímetro. Kg,N Kilogramos, Newton. Cm,mm Centímetro, milímetro. ,Pa,Mpa Pascal,Megapascal)

Pascal,Megapascal)

Símbolos con letras griegas Símbolo β Δ Ø

σ Ƭ

Término Ángulo de falla de roca intacta. Triángulo Ángulo de fricción interna) Esfuerzo principal Esfuerzo de cizalla

Subíndices Subíndice

σ1 σ3 σC σN

Término Esfuerzo principal mayor Esfuerzo principal menor Esfuerzo de rotura a compression simple.. Esfuerzo normal a un plano de falla

Unidad SI °

Definición Grados.

° Pa,Mpa

Grados. Pascal,Megapascal)

Pa,Mpa

Pascal,Megapascal)

Contenido

Subíndice

σRT σT σTT ƬT

XXI

Término Esfuerzo de rotura a tracción ensayo brasilero. Esfuerzo normal punto tangente al círculo compresión simple. Esfuerzo máximo a tracción. Esfuerzo de cizalla punto tangente al círculo de compresión simple.

Superíndices Superíndice Término Cohesión ensayos tracción-compresión y C’ triaxiales.

Abreviaturas Abreviatura Kg N KN MN GN Sen Cos Tan Tracom Inv--ΒCRIT. ┴ // ≅

Término Kilogramo fuerza. Newton (9.81N=1 Kg*m/seg2) Kilonewton (1*103 N) Meganewton (1*106N) Giganewton (1*109N) Seno (función trigonométrica) Coseno (Función trigonométrica) Tangente (Función trigonométrica) Envolvente de ensayos tracciónCompresión. Inverso de función trigonométrica. Ángulo critico de falla en roca intacta. Perpendicular Paralelo Semejante.

Introducción La resistencia de un material sólido puede considerarse como su capacidad de acumular energía antes de desencadenar procesos de rotura inducidos por los esfuerzos a que es sometido, ligada a sus propiedades intrínsecas, que son constitutivas al material rocoso.

Por otro lado, la resistencia de un macizo rocoso será función de la resistencia de la roca intacta, la resistencia de las discontinuidades y de cómo éstas se distribuyen en el macizo [1]. Cuando las geometrías de las discontinuidades controlan la estabilidad del macizo, lo más correcto es considerar la resistencia de las estructuras [1]; Cuando no hay un control definido de la geometría de discontinuidades, se aplican otros criterios de falla basados en la concentración de esfuerzos, generando teorías de deformación plásticas y elásticas, que son las más utilizadas en la actualidad.

En la presente investigación, tomaremos la teoría de falla de Mohr-Coulomb [2], que establece tanto la resistencia como las propiedades intrínsecas de la roca, analizadas con el apoyo de las teorías clásicas de Mohr y Coulomb.

Según Coulomb (1736-1806) [2], en un material sólido cohesivo que este en equilibrio bajo la acción de esfuerzos externos, se cumple que tanto el esfuerzo cortante como el esfuerzo normal, que se genera en un plano de falla, estarán determinados por las propiedades intrínsecas de la roca: La cohesión y el ángulo de fricción interno (Parámetros materiales de la roca). Por consiguiente, para determinar la resistencia de un material sólido (roca) es condición necesaria y suficiente, determinar mediante ensayos de laboratorio la Cohesión y el ángulo de fricción interna. [1][2]

Según Mohr (1835-1918) [3], cuando un punto de un material es sometido a un estado planar de esfuerzos, existen en su interior dos planos ortogonales sobre los cuales los

2

Introducción

esfuerzos cortantes que actúan sobre ellos son nulos y los esfuerzos normales son máximos y mínimos. [3] Los parámetros materiales de las rocas como el ángulo de fricción interna y la cohesión, son parámetros constitutivos requeridos para medir la resistencia de las rocas. Estos parámetros se hallan con una serie de ensayos triaxiales y los resultados varían mucho de un laboratorio a otro: Los resultados se obtienen gráficamente con la envolvente del circulo de Mohr en ensayos triaxiales [4]

El criterio de falla Mohr Coulomb [5] proporciona una forma de expresar las superficies de falla en términos del ángulo de fricción equivalente, que se define como el ángulo de fricción de la superficie de falla de Mohr Coulomb que pasa por un punto particular en consideración. y la estimación del ángulo de fricción interna y la cohesión se hacen mediante una regresión lineal de los resultados de una serie de ensayos de resistencia triaxial a una escala natural.

Los valores de cohesión y ángulo de fricción obtenidos de este análisis son muy susceptibles a los valores de la relación entre el esfuerzo de confinamiento y el esfuerzo principal de compresión.

Algunos autores, como Barton y Choubey (1977), Goodman (1980) [6] han recopilado una serie de datos, para diferentes tipos de roca, del ángulo de fricción básico cuyos valores oscilan entre 21° y 38° basados en ensayos de estas rocas y dan intervalos del ángulo en cada tipo de roca.

Por otro lado, los softwares geotécnicos actualmente disponibles proporcionan información de un esfuerzo normal efectivo constante en vez de un esfuerzo normal efectivo que dependa de los valores de la Cohesión y el ángulo de fricción interna.

Se pretende considerar en esta investigación, una expresión matemática que nos pueda dar valores más confiables de la cohesión y el ángulo de fricción interna, basados en ensayos prácticos y fáciles de aplicar como lo son: El ensayo a compresión simple, ensayos de carga puntual, martillo Smith y el ensayo brasilero en una muestra de roca determinada.

Introducción

3

Los valores de cohesión y del ángulo de fricción interna obtenidos por los métodos actuales, y desde siempre, son muy susceptibles a valores en la relación del esfuerzo de confinamiento y el esfuerzo de compresión, encontrando que los resultados más consistentes se obtienen cuando se usan 8 valores igualmente espaciados entre el confinamiento y la compresión, lo que requiere de mínimo 8 muestras. [6]

La cohesión, definida por la intersección del eje vertical que representa la resistencia a la cizalladura por la envolvente del circulo de Mhor, es mucho más alto su valor que el valor obtenido por el análisis de regresión lineal de los datos de ensayos triaxiales, por lo que el valor obtenido gráficamente debe reducirse en un alto porcentaje (25%), para no subestimar la resistencia del macizo rocoso. [6]

Si se logra la expresión matemática, que se pretende en este trabajo, tendríamos unos resultados mucho más confiables de los valores de cohesión y ángulo de fricción, además que serían resultados basados en ensayos que no presentan tantos inconvenientes en sus resultados como los que presentan los muchos ensayos triaxiales.

Los datos necesarios para aplicar la relación matemática, entre esfuerzo a compresión, esfuerzo a tracción, cohesión y ángulo de fricción, que se busca se obtendrían de una manera más rápida y con menores costos de los que se requieren con los ensayos triaxiales.

En el desarrollo del trabajo, tendremos un capitulo 1 sobre criterios de falla en roca, donde desarrollaremos los dos criterios de falla de rocas más utilizados como son el criterio de Mohr-Coulomb y el criterio de falla de Hoek y Brown, aunque para nuestro propósito haremos énfasis en el criterio de falla de Mohr-Coulomb.

En el capítulo 2, ensayos de rocas en el laboratorio, hablaremos de los ensayos más comunes como son ensayos de compresión simple, ensayos de compresión triaxial, ensayo de tracción brasileño, ensayo de carga puntual y ensayo de corte directo con el fin de conocerlos y cuáles de éstos nos pueden servir para nuestro propósito.

4

Introducción

El capítulo 3, procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de la roca con ensayos de tracción y compresión simple, desarrollaremos una serie de relaciones geométricas para alcanzar, de manera sencilla y satisfactoria, las ecuaciones que nos hemos propuesto en el presente trabajo. Al final se presentarán las ecuaciones deducidas para hallar el ángulo de fricción interna, la cohesión y otras características de la roca en función, solamente, de la resistencia atracción y a compresión de la roca.

En el capítulo 4, utilización y validación de las ecuaciones deducidas en el capítulo 3, se presentarán un total de 20 estudios de resistencia de rocas con ensayos a tracción, a compresión y ensayos triaxiales, dentro de estos 20 análisis tenemos, el primero, que es un caso ideal para demostrar la validez de las ecuaciones, los otros casos serán analizados con respecto a sus resultados.

El capítulo 5, conclusiones y recomendaciones, hablaremos de los resultados obtenidos en el capítulo 4 y el aporte, tan importante, que podría tener el presente trabajo, con sus ecuaciones, para el trabajo en campo y para el diseño de labores mineras, tanto en superficie como subterránea, de una manera rápida, económica y sencilla en la obtención de los parámetros intrínsecos de la roca, como de otros aspectos relacionados con la resistencia de las rocas, como por ejemplo el punto de posible falla de una roca intacta.

Es importante decir que este trabajo abre las posibilidades de iniciar nuevas investigaciones, de acuerdo a algunas expresiones que se obtienen y que no se profundizan en éste.

1. Criterios de falla en rocas. Ante la práctica para determinar las leyes que rigen el comportamiento constitutivo de rocas, la resistencia a la rotura de los materiales rocosos (tanto en roca intacta como en masas rocosas), se emplean una serie de criterios de rotura o de resistencia, obtenidos a partir de ensayes de laboratorio y de experiencias [7]. Estos criterios son expresiones matemáticas que representan modelos que permiten estimar la resistencia del material en base a los esfuerzos aplicados, en sus propiedades de resistencia y predecir cuando ocurre la rotura.

Un criterio de falla, o de rotura, es una relación entre esfuerzos que permite predecir la resistencia de una roca sometida a un campo de esfuerzos. En general los criterios de falla se refieren a la resistencia pico de la roca. Los criterios de falla más utilizados son los de Mohr-coulomb y Hoek- Brown [7].

Se puede definir la resistencia de un material sólido como la capacidad que un punto cualquiera de éste posee de resistirse a la rotura, inducida por los esfuerzos a que es sometido, debido a sus propiedades intrínsecas, que le son exclusivas.

Para establecer tanto la resistencia como sus propiedades intrínsecas, éstas serán analizadas con el apoyo de las teorías clásicas de Coulomb y Mohr [8]

1.1 Criterio de falla de Mohr-Coulomb. 1.1.1 Criterio de Mohr. [1][9][10][2][11] Según Mohr (1835-1918), cuando un punto de un material es sometido a un estado planar de esfuerzos, existen en su interior dos planos ortogonales sobre los cuales los esfuerzos cortantes (Ƭ) que actúan sobre ellos son nulos y los esfuerzos normales (σ) son: un máximo, σ1, y un mínimo, σ3, como se muestra en la Figura 1-1.

6

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

En función de tales esfuerzos máximo y mínimo, los esfuerzos, normal y de cortante, que actúan sobre un plano cualquiera del punto, poseen los siguientes valores: Figura 1-1:

1

Punto de un material sometido a un estado planar de esfuerzos. [8]

1

σ = 2 (σ1 + σ3 ) + 2 (σ1 − σ3 ) ∗ cos2β 1

τ = 2 (σ1 − σ3 ) ∗ sen2β

( 1.1.) ( 1.2.)

En el que β es el ángulo de inclinación que hace un plano cualquiera con el plano sobre el cual actúa el esfuerzo principal máximo.[1][9][10][2][11]

Los esfuerzos que se originan en todos los planos que pasan por el punto se pueden representar en un círculo, conocido como círculo de Mohr en su honor, tal como aparece en la Figura 1-2., en la que: 

OB es el plano principal mayor, sobre el que actúa σ1.



OA es el plano principal menor, sobre el que actúa σ3.



OC es un plano cualquiera sobre el que actúan un esfuerzo normal, σ, y en esfuerzo cortante, Ƭ.[8]

Según la teoría de Mohr, el material se romperá cuando el esfuerzo de corte Ƭ en el plano de rotura alcance un determinado valor, que depende del esfuerzo normal σ, que actúa

Criterios de falla en rocas

7

sobre dicho plano, o bien, si el esfuerzo principal de tracción máxima alcanza el valor de la resistencia a la tracción Ƭ0, es decir σ3= Ƭ0.

Figura 1-2.

Círculo de Mohr. [8].

Mediante ensayos de laboratorio, se obtienen una serie de círculos, uno por cada ensayo. Estos círculos representan el estado tensional del material en el momento de la rotura, en ejes σ, Ƭ. La relación Ƭϴ = f (σϴ), definida como la envolvente de los círculos de Mohr, es una curva de tipo parabólico, Figura 1-3, que divide el plano σ,Ƭ en dos zonas, de tal forma que para un estado de esfuerzos del material representado por un circulo situado completamente en el interior de la envolvente definida anteriormente, el material no se romperá. Cuando el circulo representativo de las tensiones del material es tangente a la envolvente, en un punto, el material se romperá según un plano que forma un ángulo β con el esfuerzo de compresión σ3.Por último, cuando es secante a la mencionada envolvente, se han superado los esfuerzos límites del material y éste se romperá.[11][7]

8

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Figura 1-3.

Envolvente no lineal de los círculos de Mohr. [11].

1.1.2 Criterio de Coulomb-Navier. Dada la imposibilidad de encontrar una solución matemática de la envolvente definida por Mohr, en el criterio de Coulomb-Navier se obtiene una aproximación de la envolvente suponiendo que dicha envolvente es una recta[11][12]. Figura 1-4.

Figura 1-4:

Envolvente de Coulomb- Navier. [11].

La ecuación de la recta es:

τ = ±(𝐶 + 𝜎𝑁 𝑡𝑎𝑛𝜙) Que es la llamada “Recta de Coulomb” [8]

( 1.3.)

Criterios de falla en rocas

9

El signo ± se debe a la simetría de los círculos respecto al eje σ; por consiguiente, aparecerán dos rectas tangentes a la serie de círculos. Figura 1-5.

C, define la cohesión del material. Φ, define el ángulo de rozamiento interno, pendiente de la recta. 𝝈𝑵 , Esfuerzo normal que actúa sobre el plano de rotura. (𝝈𝑵 = σ )

1

1

σ = 2 (σ1 + σ3 ) + 2 σ1 − σ3∗cos2β

( 1.1.) Ƭ, Esfuerzo tangencial sobre el plano de rotura. 1

τ = 2 (σ1 − σ3 ) ∗ sen2β

Figura 1-5:

(.1.2.)

Rectas de Coulomb-Navier. [8].

1.1.3 Compaginación de los criterios de Coulomb y Mohr. El criterio de falla de Mohr- Coulomb es una compaginación de las teorías de Coulomb y la teoría Mohr. El criterio puede expresarse en función de los esfuerzos principales, permitiendo obtener la resistencia en cualquier plano definido por el ángulo β.[8].La Figura 1-6 es la representación de lo que sucede al interior del punto analizado, en el que la recta 𝛕 = ±(𝑪 + 𝝈𝑵 𝒕𝒂𝒏𝝓) corresponde a la teoría de Coulomb y el circulo a la de Mohr.

10

Figura 1-6:

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Compaginación teoría de Mohr y teoría de Coulomb. [8].



 R   C tan   c R

 A

c B 3

 2 R O

1



El punto de equilibrio R, en la Figura 1-6, pertenecerá tanto a la curva de resistencia de coulomb, como al círculo de Mohr y será el punto de tangencia de ambos y a él se llega cuando σ y Ƭ alcanzan los valores σR y ƬR, que son los esfuerzos de equilibrio, por encima de los cuales el material se rompe y β alcanza el valor del ángulo de rotura.[8].

Se crean zonas de estabilidad y zonas de inestabilidad separadas por una línea de fractura que sería la recta de Coulomb. Figura 1-7.

Figura 1-7:

Regiones de estabilidad y de falla según criterio de Mohr-Coulomb [8].

Criterios de falla en rocas

11

El criterio de rotura supone que la envolvente de los círculos de Mohr-Coulomb correspondientes a las combinaciones críticas de los esfuerzos principales, o sea, las que dan lugar a la rotura, es lineal. Figura 1-8. [5][7].

La rotura se produce cuando el esfuerzo cortante aplicado al material iguala la resistencia friccional del mismo, asociado con el esfuerzo normal en el plano de rotura, más la cohesión.[5]

Este criterio de rotura además predice el plano por donde se supone que romperá el material. Figura 1-8: Envolvente de falla y reconocimiento de los parámetros materiales Cohesión C y ángulo de fricción básico φ. [5].

Teniendo en cuenta la recta de Coulomb y reemplazando las ecuaciones (1.1) y (1.2), se puede obtener la relación entre σ1 y σ3 en el momento de la rotura.[9][13][14] (σ1 −σ3 ) 2

sen2β = C + [

(σ1 +σ3 ) 2

+

(σ1 −σ3 ) 2

cos2β ] ∗ tanϕ

( 1.4.)

12

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Despejando σ1 y reorganizando se obtiene que:

σ1 − σ3 =

2(C+σ3 ∗tanϕ) [sen2β(1−

( 1.5.)

tanϕ )] tanβ

En la rotura 2β= 90° + φ, Figura 1-4. Donde β = 45° + φ/2, este es el ángulo de mayor probabilidad de falla de la roca intacta; lo llamaremos βcrit. π

ϕ

4

2

βcrit. = +

( 1.6.)

Si se reemplaza el valor de βcrit. en la ecuación

σ1 − σ3 =

2(C+σ3 ∗tanϕ) [sen2β(1−

tanϕ )] tanβ

( 1.5.)

se puede obtener que: (1+senϕ)

2C∗cosϕ

σ1 = (1−senϕ) ∗ σ3 + (1−senϕ)

( 1.7.)

Cuando σ3 es cero, σ1 representa la resistencia a la compresión, que se representará mediante σc. 2𝐶∗𝑐𝑜𝑠𝜙

𝜎c = (1−𝑠𝑒𝑛𝜙)

( 1.8.)

Y cuando σ1 es cero, σ3 representa la resistencia a la tracción, que se representará mediante σT.

𝜎T =

−2𝐶∗𝑐𝑜𝑠𝜙 (1+𝑠𝑒𝑛𝜙)

( 1.9.)

Esta teoría pierde su significado cuando la roca se somete a tracción, cuando se extrapola la recta a la región de esfuerzos negativo, es aconsejable interrumpirla al llegar al valor de la resistencia de rotura a la tracción, como se muestra en la Figura 1-9.

σRT, obtenida a partir de ensayos de laboratorio[7],

Criterios de falla en rocas

13

Figura 1-9: Extrapolación de la recta de Mohr-Coulomb a la región de esfuerzos negativos. [7].

1.1.4 Representación del criterio de Mohr-Coulomb. Para representar el criterio de falla de Mohr-Coulomb hay que ajustar una recta que sea tangente a los círculos de rotura obtenidos mediante ensayos triaxiales. Figura 1-8.

Debido a que diversos factores, inherentes a las rocas y a los propios ensayos, inducen errores en los resultados de éstos, el ajuste no suele tener una solución matemática exacta, ya que habrá círculos que son cortados por la recta de Mohr-Coulomb y otros que se aproximen a ella sin ser tangentes ni secantes.[7][14].

Para realizar la representación de los círculos de Mohr, considerando que, para cada ensayo mostrado, el esfuerzo de rotura y el esfuerzo de confinamiento son los esfuerzos principales mayor y menor, respectivamente, se dibujan dos puntos sobre el eje de las abscisas de unos ejes de coordenadas cartesianas σ-Ƭ.[15]. El eje de las abscisas representa el esfuerzo normal σ y el eje de las ordenadas el esfuerzo tangencial o de corte Ƭ. Sobre el eje de las abscisas se llevan los dos esfuerzos para cada ensayo: un punto será el representativo del esfuerzo principal menor σ3 el otro punto

14

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

representará el esfuerzo principal mayor σ1,.Figura 1-10. Se puede determinar entonces el radio de cada circunferencia Rc como: (σ1 −σ3 )

Rc =

( 1.10.)

2

Y el centro de la circunferencia Cc como:

C𝑐 =

(σ1 +σ3 )

( 1.11.)

2

Los puntos máximos de Ƭ, Ƭmáx., positivo, de los círculos de Mohr, definidos como el radio del círculo Rc.

Los puntos máximos del círculo estarán definidos por Cc y Ƭmáx. o sea

(σ1 +σ3 ) 2

y

(σ1 −σ3 ) 2

[7][15] Figura 1-10: Relación radio y centro del círculo de Mohr. [15].

Se ajusta una recta, por el método de mínimos cuadrados Figura 1-11. [16], a los puntos máximos de los círculos de Mohr obtenidos en los ensayos triaxiales, cuyas coordenadas (𝝈𝟏 +𝝈𝟑 )

son (

𝟐

,

(𝝈𝟏 −𝝈𝟑 ) 𝟐

) =( centro del círculo, radio del circulo)= (Xi,Yi). [7][15]. Mediante el

Criterios de falla en rocas

15

ajuste se obtendrá una expresión de la recta máxima Y=m.X + n. donde m es la pendiente de la recta máxima y n es la ordenada en el origen de la recta. (Cohesión).

La estimación de la pendiente y la ordenada de origen de la recta Y=mX + n se realiza a partir de las sumatorias los puntos disponibles:

Figura 1-11. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. [16].

Coeficiente de correlación lineal (r).

r=

NSxy −Sx Sy √NSxx −Sx Sx √NSyy −Sy Sy

( 1.12.)

/r /=1 Correlación total. r = 0 No hay correlación N= Número de ensayos NSxy −Sx Sy

m = NS

n=

xx −Sx Sx

Sxx Sy −Sx Sxy NSxx −Sx Sx

( 1.13.)

( 1.14.)

16

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Donde:

𝑆𝑥 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖

( 1.15.)

𝑆𝑦 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑌𝑖

( 1.16.)

2 𝑆𝑥𝑥 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑋𝑖

( 1.17.)

2 𝑆𝑦𝑦 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑌𝑖

( 1.18.)

Xi representa la componente de cada punto en abscisas

(

Yi representa la componente de cada punto en ordenadas

(

(𝝈𝟏 +𝝈𝟑 ) 𝟐

).

(𝜎1 −𝜎3 ) 2

).

N representa el número de muestras. Las variables m y n representan, respectivamente, la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de ajuste.[15] Una vez hecho el ajuste de la recta a los puntos máximos, Y= mX+n, de los círculos dé Mohr, se procede a calcular la recta de la envolvente de Mohr- Coulomb de acuerdo a las relaciones geométricas entre ésta y la recta máxima. Figura 1-12. [15][11].

Figura 1-12: Relación geométrica entre la recta de puntos máximos y la recta de MohrCoulomb. [15].

Criterios de falla en rocas

17

Φ es el ángulo que forma la recta de Mohr Coulomb con el eje de las abscisas. α es el ángulo que forma la recta de puntos máximos con el eje de las abscisas ON = C Cohesión, es la ordenada en el origen de la recta de Mohr-Coulomb. OM es la ordenada en el origen de la recta de puntos máximos. Realizando las relaciones geométricas de acuerdo a la Figura 1-12 se obtiene que:

∅ = sin−1 𝑚

𝑐=

𝑛 𝑐𝑜𝑠 ∅

( 1.19.)

( 1.20.)

Las ecuaciones (1.19) y (1.20) son las relaciones entre ambas rectas. Figura 1-13. [11][15][7]. Figura 1-13: Representación de los círculos de Mohr correspondientes a ensayos triaxiales. Recta de puntos máximos y recta de Mohr-Coulomb obtenida a partir del ajuste de la recta de puntos máximos [11][15][7].

18

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

1.2 Criterio de falla de Hoek y Brown [17]. Es propuesto por Hoek y Brown (1980), es un criterio de rotura no lineal para evaluar la resistencia de la matriz rocosa ( roca intacta) isotrópica en condiciones triaxiales.[17]

Este criterio se desarrolló, en un comienzo, para determinar la resistencia de los macizos de roca dura. Debido a la falta de alternativas adecuadas, el criterio se ha aplicado a una amplia variedad de macizos rocosos, incluyendo roca de muy mala calidad.[18]. El criterio es meramente empírico, y por lo tanto no existen formas “correctas” de interpretar las diversas relaciones que se pueden obtener.[18]

Las propiedades de las rocas que se incluyen en este criterio para determinar su resistencia en los ensayos de laboratorio, son: 

Resistencia a la compresión simple σci.



Constante de material rocoso mi.

Cuando se trata de macizos rocosos en lugar de rocas, a estos dos parámetros hay que añadir otros dos más incluso un tercero cuando el macizo ha sido alterado por voladuras o por relajación tensional.[7]

1.2.1 Criterio de rotura de Hoek y Brown para roca intacta. 𝝈

𝝈𝟏 = 𝝈𝟑 + 𝝈𝒄𝒊 [𝒎𝒊 𝝈 𝟑 + 𝟏]

𝟎.𝟓

𝒄𝒊

Donde:

σ1 Esfuerzo efectivo máximo (principal mayor) en la falla. σ3 Esfuerzo efectivo mínimo (principal menor) en la falla. mi Constante material del material de roca intacta. σci. Es la resistencia a la compresión uniaxial de la matriz rocosa.

( 1.21.)

Criterios de falla en rocas

19

El parámetro mi puede obtenerse de la Tabla 1.2–1 cuando no se tengan ensayos triaxiales en la roca. La resistencia a compresión simple de la roca se obtiene cuando se sustituye σ3=0 en la ecuación (1.15) y la resistencia a la tracción se obtiene resolviendo para σ1=0 y σ3= σt.[17]

σ1 = σci

σt =

σci 2

( 1.22.)

(mi − √m2i + 4)

( 1.23.)

La relación entre los esfuerzos principales efectivos en la condición de falla para un tipo de roca dado, está definido por dos constantes, la resistencia a la compresión no confinada σci y una constante mi. Estos dos valores, siempre que sea posible, deben determinarse mediante análisis estadístico de los resultados obtenidos en una serie de ensayos triaxiales efectuados sobre testigos de sondajes cuidadosamente preparados [19].

También se puede calcular mi a partir de la siguiente relación:

𝑚𝑖 =

σci σt

σ

− σt

( 1.24.)

ci

Tabla 1.2–1

Valores de la constante mi para la matriz rocosa (Hoek y Brown, 199)

20

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

1.2.2 Criterio de rotura de Hoek y Brown para la masa rocosa. El criterio de falla generalizado de Hoek y Brown para macizos rocosos fracturados está definido por:[19] σ

σ1 = σ3 + σci [mb σ 3 + s]

a

( 1.25.)

ci

Donde:

σ1 Esfuerzo efectivo máximo (principal mayor) en la falla. σ3 Esfuerzo efectivo mínimo (principal menor) en la falla. mb Constante material del macizo rocoso (ángulo de fricción) s y a son constantes que dependen de las características del macizo rocoso (s: cohesión; a: control de curvatura, a= 0.5)

σci. Es la resistencia a la compresión uniaxial de los trozos o bloques de roca intacta que conforman el macizo rocoso. El valor de σci., es decir, la resistencia a compresión simple de la roca se debe obtener de los correspondientes ensayos de laboratorio. Para estimar la constante mi es conveniente realizar ensayos triaxiales.[7]

La ecuación (1.25) del criterio de Hoek y Brown se puede expresar de la siguiente forma:

[σ1 − σ3 ]2 = σci mb σ3 + sσci 2

( 1.26.)

Haciendo que: [𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 ]𝟐 = 𝒀

( 1.27.)

σ3 = 𝑋

( 1.28.)

entonces:

Criterios de falla en rocas

𝑌 = 𝜎𝑐𝑖 𝑚𝑏 𝑋 + 𝑠𝜎𝑐𝑖 2

21

( 1.29.)

Ecuación de una recta de regresión de mínimos cuadrados de “Y” sobre “X”.[11] donde:

σci mb es la pendiente y sσci 2 es la ordenada en el origen. Para roca intacta, haciendo s=1, y con el ajuste de mínimos cuadrados permite obtener el valor de mi, a partir de los resultados de ensayos triaxiales [11].

Los valores de las constantes mb y s, pueden determinarse a partir del índice GSI, (Gelogical Strength Index), que evalúa la calidad del macizo rocoso en función de las características de fracturación y alteración de las discontinuidades. El GSI equivale al RMR-5; RMR ( Rock Mass Rating) [17][19][18][12]. GSI−100

mb = mi exp ( 28−14D ) GSI−100

S = exp (

1

9−3D

)

1

a = 2 + 6 (e−GSI⁄15 − e−20⁄3 )

( 1.30.)

( 1.31.)

( 1.32.)

Para roca intacta mi es calculada con ensayos triaxiales. S=0 y a= 0.5. El parámetro D, grado de alteración (Disturbance Factor), que determinará la resistencia del macizo rocoso se podría estimar de acuerdo con Hoek et al. (2002) de acuerdo con la Tabla 1.2–2 [7].

22

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 1.2–2: Guía para estimación del grado de perturbación D de un macizo rocoso. Según Hoek et al. (2002).

1.3 Estimación de los parámetros de Mohr-Coulomb del macizo a partir del criterio de rotura de Hoek y Brown. La mayoría de programas geotécnicos suelen utilizar el criterio de rotura de Mohr-Coulomb, ya que se está más familiarizado con los parámetros de cohesión y fricción que con aquellos propios de criterio de rotura de Hoek y Brown, resulta necesario ser capaz de determinar los ángulos de fricción y cohesiones correspondientes a cada macizo rocoso para cada gama de tensiones.[7].

Hoek, Carranza-Torres y Corkum (2002) proponen utilizar un ajuste basado en la regresión lineal media de la ecuación (1.18) para un rango de esfuerzos principales menores tal que σt҆˂σ3҆˂σ3҆ máx.., como se ilustra en la Figura 1-14 El proceso implica equilibrar las áreas por encima y por debajo de la recta de Mohr-Coulomb. De esta resultan las siguientes expresiones del ángulo de fricción φ y la cohesión C.

∅′ = sin−1 [

′ ) 6∗𝑎∗𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 ∗𝜎3𝑛

𝑎−1

′ ) 2∗(1+𝑎)(2+𝑎)+6∗𝑎∗𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 ∗𝜎3𝑛

𝑎−1

]

( 1.33.)

Criterios de falla en rocas

23

𝑎−1

′ ′ 𝜎𝑐𝑖 [(1+2𝑎)𝑠+(1−𝑎)𝑚𝑏 ∗𝜎3𝑛 ](𝑠+𝑚𝑏 ∗𝜎3𝑛 )

𝑐′ =

𝑎−1

′ ) 1+(6∗𝑎∗𝑚𝑏 (𝑠+𝑚𝑏 ∗𝜎3𝑛 (1+𝑎)(1+2𝑎)√

( 1.34.)

) ⁄ (1+𝑎)(1+2𝑎)

Donde [18][7]: ′ 𝜎3𝑛

′

= 𝜎3𝑚𝑎𝑥. 𝜎

( 1.35.)

𝑐𝑖

Hoek et al. (2002) definieron un nuevo concepto de “resistencia global” del macizo rocoso, que interpreta el comportamiento general del macizo y sirve de comparación. En cambio, el uso de la resistencia a la compresión del macizo se aplica a la propagación de la falla. La resistencia global está dada por: 𝜎𝑐𝑚 =

2𝐶′ cos ∅ 1−sin ∅

Para 𝜎1 < 𝜎3 ′ <

( 1.36.) 𝜎𝑐𝑖 4

Podemos observar que la ecuación (1.36) es similar a la ecuación (1.8) de la resistencia a compresión de Mohr-Coulomb, sólo cambia la cohesión.

24

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Figura 1-14: Relación entre esfuerzos principales mayor y menor para Hoek y Brown y envolvente de Mohr-Coulomb.

2. Ensayos de roca en el laboratorio. Deducir las propiedades mecánicas de las rocas sometidas a compresión a partir de las características de los cristales, partículas y material cementante que las componen y de las microfisuras y otras discontinuidades de mayor rango existentes en ellas, es prácticamente imposible. Por ello hay que recurrir a los ensayos de laboratorio para determinar dichas propiedades.

Es necesario conocer las propiedades mecánicas de la roca, en cuanto a su resistencia y deformabilidad. Las propiedades de la roca, cuyo conocimiento presentan mayor interés son: el módulo de elasticidad, el coeficiente de Poisson, la cohesión y la fricción. Sin embargo, estos parámetros sólo pueden ser estimados aproximadamente, a partir de ensayos de laboratorio.[11]

2.1 Comportamiento de las rocas a compresión. Uno de los problemas más importantes de la mecánica de rocas consiste en determinar las propiedades mecánicas de éstas cuando se hallan en un estado de esfuerzo compresivo, lo cual se consigue principalmente mediante los ensayos de compresión simple y triaxial.[13][9] Cuando se ejerce sobre una roca un esfuerzo desviador de compresión se obtienen resultados como los que se pueden ver en la Figura 2-1. Nada más al aplicar el esfuerzo ciertas fisuras y poros comienzan a cerrarse, lo cual genera una deformación inelástica y la curva esfuerzo-deformación muestra una concavidad hacia arriba. Esta fase, que se denomina de cierre de fisuras y termina en el punto de ordenada σ1c, va seguido de un tramo recto durante el cual la relación entre el esfuerzo axial, la deformación axial y la deformación lateral es lineal. La pendiente de dicha recta en unas coordenadas σ1-Ꜫ1 es el módulo de Young o módulo de elasticidad de la roca y la relación Ꜫ3 y Ꜫ1 es su coeficiente de Poisson.

26

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

A continuación, la pendiente de la deformación lateral comienza a disminuir, debido a que se forman nuevas microfisuras subverticales en la roca. La dirección de las microfisuras que comienzan a formarse es, en términos generales, paralela al esfuerzo σ1. Este tramo se denomina propagación estable de las fisuras, comienza en el punto de ordenada σ1F, denominado umbral de fisuración, y termina en la ordenada σ10; este último esfuerzo se puede considerar como la resistencia a largo plazo de la probeta. Propagación estable quiere decir que a cada incremento del esfuerzo corresponde un aumento finito de la longitud de las microgrietas y que éstas cesan de crecer al dejar de aumentar el esfuerzo.

Figura 2-1

Comportamiento de las rocas a compresión. [13][9].

A continuación, el ensayo entra en el tramo denominado de propagación inestable de las fisuras, en el cual éstas empiezan a alcanzar los extremos de la probeta, a incrementarse y a coalescer unas con otras hasta dar lugar a una superficie de fractura semicontinua. Este proceso, durante el cual disminuye la pendiente de la curva σ-Ꜫ, continua hasta que alcanza la resistencia máxima de la probeta σ1M. Esta carga se conoce como resistencia de pico y es la que suele definir los criterios de rotura.

Ensayos de roca en el laboratorio.

27

Sin embargo, el ensayo no se acaba en este punto, si la rigidez de la prensa es superior a la rigidez de la probeta; es posible continuar el ensayo hasta llegar a la resistencia residual de la roca, para ello es necesario ir reduciendo el esfuerzo aplicado ya que la probeta se sigue deformando, pero cada vez resiste menos. Esta última fase entre la resistencia pico y la residual es a veces de gran importancia en los pilares de una mina subterránea. La resistencia residual en el ensayo de compresión simple es nula, mientras que en el ensayo triaxial adquiere un valor correspondiente al ángulo de fricción de las partículas de roca rota.[7]

2.2 Ensayo de compresión uniaxial. Este ensayo sirve para determinar la resistencia a compresión uniaxial de una probeta cilíndrica de roca de altura entre el doble y el triple del diámetro [7][9][2]. Normalmente estas probetas se obtienen a partir de testigos de perforación. También se pueden obtener muestras a partir de bloques de roca; la extracción de estos bloques en la mina o en la obra se debe llevar a cabo sin voladuras, ya que éstas pueden generar en la roca nuevas microfisuras o aumentar las existentes, lo cual se traduciría en una pérdida de resistencia de las probetas que se obtengan de ellos.

Este ensayo también proporcionar las constantes elásticas de la roca, es decir, su módulo de Young y su coeficiente de Poisson. [7][9][2].

Averiguar la resistencia a compresión simple de una roca es importante porque permite clasificar la roca según su resistencia, es un parámetro importante en los criterios de rotura más utilizados (Mohr-Coulomb y Hoek-Brown) [7][9][2].

En una prueba de compresión uniaxial, la dirección de la carga principal se llama dirección principal máxima y no hay otras cargas (Fuerzas) que trabajan en otra dirección. Se debe ejercer la atención al hecho de que la convención para definir la dirección del esfuerzo principal puede ser diferente de la ciencia de la tierra y física. En física, generalmente se define el esfuerzo de tracción, y la deformación extensional como positiva, mientras que en la ciencia de la tierra es lo contrario. Definimos el esfuerzo de compresión, y deformación compresional como positiva, simplemente porque el estado nominal en la corteza es compresivo y compresional (piense en un buceador a la profundidad de 100 m,

28

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

pero el material no es agua es la roca ahora, y el estrés de compresión normal es de 2,5 MPa a una profundidad de 100 m de roca) [20].

El ensayo a compresión simple ha sido normalizado en muchos países (norma ASTM 4543). Los aspectos básicos de las normas existentes son los siguientes [7]: 

Deben utilizarse probetas cilíndricas de diámetro superior a 50 mm y, por lo menos, 10 veces mayor que el tamaño del grano o cristal más grande existente en la roca. Su altura debe ser de 2.0 a 2.5 veces el diámetro aproximadamente.



La probeta no debe contener discontinuidades geológicas que la atraviesen



Las superficies del cilindro de roca que están en contacto con las placas de la prensa con la que se realiza el ensayo deben ser planas, con una precisión de 0.02 mm, y no deben separarse de la perpendicularidad al eje de la muestra en más de 0.001 radianes, o sea, 0.05 mm en 50 mm.



La carga se debe aplicar a una velocidad constante de 0.5 – 1.0 MPa/seg.

Para realizar el ensayo, hay que disponer de una prensa de capacidad adecuada que permita aplicar la carga sobre la probeta a velocidad constante (0.5 – 10 MPa) hasta que se produzca la rotura en la misma en un intervalo de tiempo entre 5 y 15 minutos.

La probeta se coloca entre los discos de la prensa (ver Figura 2-2), bien centrada. Se aplica una carga de asentamiento. En ese momento el reloj indicador se pone en cero. Se fija la velocidad de aplicación de la carga, dando comienzo a la compresión, hasta que la muestra se rompa.[11] Figura 2-2

Esquema del ensayo de compresión simple. [11].

Ensayos de roca en el laboratorio.

29

Para que este ensayo fuera estrictamente de compresión simple, los esfuerzos dentro de la probeta deberían ser uniaxiales en todos los puntos. Pero, debido a la fricción entre la muestra y las placas de la prensa, derivada de la diferencia entre los módulos elásticos de la roca y del acero, la probeta no se puede expansionar libremente en sus extremos superior e inferior al ser comprimida [11] Por este motivo, se ha establecido que, en los ensayos de compresión, la relación altura/diámetro de la probeta sea igual o superior a 2.[7] La resistencia a compresión uniaxial σc se obtiene dividiendo la carga máxima (fuerza) a la que se ha sometido la muestra, por el área de la sección normal de la misma. Figura 2-3.

Figura 2-3

F

σC = A

A=

𝜋D2 4

Donde:

Relación esfuerzo-deformación en un ensayo de compresión uniaxial. [7]

( 2.1.)

( 2.2.)

30

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.



σc resistencia a la compresión de la probeta. F, Fuerza o carga máxima a la que ha sido sometida la probeta durante el ensayo. A área de la sección normal a σ1. Z

Si la relación D es inferior a 2, se aplica la siguiente ecuación de ajuste.[7] σc =

σC1 D Z

[0.88+(0.24∗ )]

( 2.3.)

Donde: 

σC resistencia a la compresión de la probeta.



A área de la sección normal a σ1.



σC1 Esfuerzo de rotura de la probeta

En general, en los ensayos de compresión simple no es posible observar el comportamiento de la probeta después de que alcanza su resistencia máxima, ya que en esos momentos se produce una rotura de la roca de forma explosiva.[7]

De los ensayos de compresión uniaxial se puede determinar también el módulo de Young y el coeficiente de Poisson de la roca. Para ello es necesario medir las deformaciones axiales y laterales de la probeta durante el proceso de carga, lo cual se realiza mediante cuatro bandas extensiométricas, dos axiales y dos laterales, que se pegan directamente sobre la roca. Figura 2-4.[7].

Figura 2-4:

Esquema de colocación de las bandas extensiométricas. .[7].

Ensayos de roca en el laboratorio.

31

Con los datos de las bandas extensiométricas, se dibuja la curva Esfuerzo- deformación Figura 2-5. Al principio de la curva, la deformación es elástica, es decir, si el esfuerzo se retira, el cuerpo vuelve a su estado original. Con deformación puramente elástica, la deformación es una función lineal de la tensión; Es decir, el material obedece la ley de Hooke.[2]

σ = Eε

( 2.4.)

Donde: E es el módulo de elasticidad o módulo de Young. 𝜀 es la deformación unitaria axial.

El módulo de Young (E) se puede expresar como:

𝐸=𝜀

𝜎 𝑎𝑥.

Donde:

=

𝐹 𝐴 ∆𝐿 𝐿

( 2.5.)

∆L es el cambio en la longitud de la probeta. L es la longitud original de la probeta. 𝜀𝑎𝑥. =𝜀 es la deformación unitaria axial.

El módulo de Young puede determinarse de las siguientes maneras[21]: 

Módulo medio EM, o pendiente de la porción recta de la curva.



Módulo tangente ET, pendiente de la curva en un punto determinado de la misma (generalmente al 50% de la resistencia pico. También E50).



Módulo secante Es o pendiente de la línea recta que une el origen de la recta con la resistencia pico.

32

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Figura 2-5:

:

Curva esfuerzo deformación. [21]:

Las dos primeras aportan valores más representativos, y además suelen coincidir los resultados. Figura 2-6.

Figura 2-6:

Determinación módulo de Young. [21]:

.

Para determinar el coeficiente de Poisson, se requiere por lo menos una banda extensiométrica

vertical

y

otra

horizontal,

para

correspondientes durante el proceso de compresión.

medir

los

desplazamientos

Ensayos de roca en el laboratorio.

33

Una vez terminado el ensayo, se trazan las curvas esfuerzo-deformación axial y esfuerzodeformación lateral (radial o diametral). Figura 2-5.[17]. El módulo de Poisson o radio de Poisson (V) se puede expresar como:[2].

V=

εLAT. εAx.

=

∆d d0 ∆L L0

( 2.6.)

Donde: ∆d es el cambio en el diámetro. D es el diámetro original de la probeta.

Ꜫlat es la deformación en la dirección lateral (radial o diametral). Ꜫax.es la deformación en la dirección axial.

2.3 Ensayo de compresión triaxial. Este ensayo es imprescindible para estudiar la resistencia de las rocas sometidas a un estado triaxial de esfuerzos, que es la situación en que se encuentran con mayor frecuencia en las obras de ingeniería. Aunque por el nombre del ensayo se podría suponer que la roca se somete a tres esfuerzos principales distintos, en realidad no es así. Lo que se realiza normalmente es un ensayo biaxial en el cual los dos esfuerzos principales menores, es decir, σ2 y σ3, son iguales.[7][9][2]

El ensayo a compresión simple ha sido normalizado en muchos países (norma ASTM D 2664).

Para hacer este ensayo se requiere de une prensa de las mismas características que la utilizada en el ensayo de compresión simple. La probeta se rodea de una membrana impermeable flexible y se introduce en una célula de compresión triaxial. (ver Figura 2-7).

34

Figura 2-7.

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Célula de compresión triaxial. [7].

Se instala le célula en la prensa, centrada entre los discos superior e inferior. Después se coloca el aparato de medida de las deformaciones y se conectan a la célula los conductos de presión hidráulica.

Se va elevando lentamente la presión lateral del fluido hasta el nivel previamente determinado y al mismo tiempo se va aplicando carga axialmente de tal manera que la deformación de la probeta permanezca constante. Cuando se alcanza el nivel de presión lateral predeterminado, se asigna el valor cero a la carga axial registrada en ese momento.

Al llegar a ese punto, se empieza a aplicar carga axialmente hasta que la carga permanezca constante o disminuya, o también, hasta alcanzar un valor de la deformación axial predeterminado. La presión de confinamiento se mantiene constante durante todo el ensayo.

Hay que anotar las lecturas de las deformaciones axiales correspondientes a cada 0.1 mm de deformación.

Al terminar el ensayo, la carga axial y la de confinamiento se liberan lentamente hasta que se extrae la probeta, cuya membrana se corta longitudinalmente. Es conveniente hacer un

Ensayos de roca en el laboratorio.

35

esquema de la forma de la probeta después de la rotura, así como de anotar las características de la misma. La deformación axial Ꜫ, se calcula para cada nivel de deformación de 0.1 mm mediante: δ

ε=L

( 2.7.)

0

Donde: ɗ es la deformación total. L0 es la longitud de la probeta. La diferencia de esfuerzos σ1 –σ3, para cada nivel de deformación de 0.1 mm es. 𝑭

𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 = 𝑨

( 2.8.)

donde. F

es la carga aplicada correspondiente al nivel de deformación.

A

es el área de la sección transversal de la probeta.

Para cada ensayo se traza una línea curva diferencial de tensiones σ1-σ3 frente a la deformación axial Ꜫ de estas curvas, se obtienen los valores máximos de σ1-σ3, así como sus correspondientes deformaciones axiales Ꜫ҆. ver Figura 2-8.

A continuación, se dibuja un círculo de Mohr para cada ensayo, con la tensión de corte como ordenada y la tensión normal como abscisa, correspondiendo ésta al valor máximo de σ1-σ3. [9]. Por último, se ajusta la recta tangente a los círculos, como se vio en el numeral 1.1.4.

36

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Al ensayar probetas de roca en laboratorio con confinamiento y altos niveles de esfuerzo para llevar al material más allá de la rotura, se obtiene plastificación de la roca con endurecimiento o reblandecimiento ( ver Figura 2-9).

Las características básicas de los tipos de comportamiento que se muestran en la Figura 2-9 se pueden explicar como: [17][22][21][23][2]: a) Falla frágil: Bajo confinamiento, linealidad de Ꜫ1 casi hasta el esfuerzo pico, rotura súbita, cuando comienza a apreciarse fluencia aumenta el volumen hasta la rotura. b) Flujo inestable: Esfuerzo de confinamiento alto, bajo nivel de fluencia, la muestra se mantiene entera y el volumen incrementa hasta antes del esfuerzo pico, la falla suele ocurrir de acuerdo a la falla de Mohr-Coulomb. c) Plasticidad perfecta: existe en condiciones de altos niveles de confinamiento, el espécimen mantiene su integridad a cualquier deformación, no hay cambio de volumen. d) Flujo estable: ocurre en muy altos niveles de confinamiento, después del inicio de la fluencia comienza un endurecimiento con pérdida de volumen.

Figura 2-8:

Curvas de diferencia de tensiones vs. Deformaciones axiales. [9]

Ensayos de roca en el laboratorio.

37

Figura 2-9: Comportamiento de un material rocoso en pruebas triaxiales a distinto niveles de confinamiento e idealizaciones mediante endurecimiento y reblandecimiento ( Ramm, 2000). [17].

2.4 Ensayo de corte directo. [9]. Una de las principales conclusiones es que la falla de rocas bajo los ensayos de compresión uniaxial o triaxial usualmente ocurre a través del fallo por cizallamiento.

Muchos diseñadores de presas también creen que la resistencia de los pilares de roca para presas depende de la resistencia a la cizalla de la roca. Por esta razón, la mayor importancia se añade a las pruebas de cizallamiento.[9]. El ensayo de corte directo requiere una caja de corte como la indicada en la Figura 2-10. La caja está hecha en dos mitades, siendo fija la mitad inferior mientras que la otra mitad es móvil, según un plano horizontal. Entre las dos partes de la caja y en sentido vertical, se coloca un aparato para medir los desplazamientos verticales y análogamente se hace para medir los desplazamientos horizontales.

Los medidores de los desplazamientos deben tener una sensibilidad de 0.02 mm y el medidor horizontal debe permitir lecturas de hasta 25 mm de desplazamiento total.

38

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

También hay que disponer de una bomba hidráulica manual o de un sistema que puede ser mecánico para aplicar la fuerza normal y otro similar para aplicar la fuerza de corte.[17].

El ensayo de corte directo de rocas ha sido normalizado. (norma ASTM D 5607).

El procedimiento a seguir en el ensayo es: 

La muestra que contiene la junta cuya fricción se va a determinar, se talla al tamaño conveniente para que encaje en el molde. Hay que colocar la probeta de forma tal que el plano de discontinuidad coincida exactamente con el plano de corte.



Se moldea la probeta en hormigón; cuando éste ha fraguado, se retira la muestra del molde y se introduce en la caja de corte. Se coloca la mitad superior de la caja y se aplica a continuación una carga normal pequeña para evitar movimientos de la probeta al poner a cero los indicadores de desplazamientos.



Se va aumentando la carga normal hasta llegar al valor previamente elegido. Esta carga debe permanecer constante durante la aplicación de la tensión tangencial.



Se aplica gradualmente la carga tangencial hasta alcanzar la resistencia pico, continuándose el ensayo hasta que se observa que basta con una carga inferior para mantener el movimiento de corte; esta carga es la resistencia residual.



Si al llegar al desplazamiento máximo que permite la máquina, unos 25 mm, no se ha alcanzado el valor de la resistencia residual de la junta, se suprime la tensión normal, se coloca de nuevo la probeta en su posición primitiva y se realiza otra vez el ensayo, hasta obtener la resistencia residual.[17][9]

Figura 2-10: Equipo para ensayo de corte directo. [17]

Ensayos de roca en el laboratorio.

39

El esfuerzo cortante promedio máximo Ƭmáx. se calcula mediante la fórmula:

τmáx. =

𝐓𝐦á𝐱.

( 2.9.)

𝐀

Donde: Tmáx. es la fuerza que causa la ruptura y A

es el área del plano cortado.

Debido al movimiento vertical de la parte superior de la caja, se puede suponer que la superficie de cizallamiento está ligeramente inclinada y que se realiza una cierta cantidad de trabajo en la dirección vertical. Se sugiere que los esfuerzos de cizalladura pueden ser corregidos y que el corte es dado por: τ2

τREAL = τ − α (σ + ( σ ))

( 2.10.)

Donde:

σ

es el esfuerzo normal sobre la superficie de corte y

α

es el ángulo de inclinación del plano de corte.[9].

2.5 Ensayo de carga puntual. .[7]. Algunas veces no se dispone de material para preparar probetas adecuadas para los ensayos de compresión simple. También puede suceder que el número de ensayos que haya que realizar sea grande y que éstos tengan que llevarse a cabo “in situ”. En ambos casos, el ensayo de carga puntual puede sustituir al de compresión simple.[7].

La finalidad de este ensayo es determinar la resistencia a compresión simple de la roca de una forma muy simple, pudiendo realizarse en el campo.[11].

El ensayo de carga puntual de rocas ha sido normalizado. (norma ASTM D 5731).

40

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

En este ensayo se rompen trozos de testigo o roca de forma irregular aplicando la carga entre dos piezas cónicas con punta esférica. Ver Figura 2-11.[17]. Las muestras que se colocan entre dichas puntas pueden ser de cualquier forma, pero es conveniente que su diámetro no sea inferior a 50 mm, ya que, el volumen de la probeta influye en su resistencia.

Los puntos de aplicación de la carga deben estar al menos a 0.7D de cada uno de los bordes de la probeta. La fuerza P necesaria para romper la muestra se puede obtener leyendo el manómetro de la bomba manual que produce la presión requerida para dicha rotura.[15]

La roca se rompe a tracción.

Los resultados del ensayo s expresan mediante el índice de resistencia bajo carga puntual Is definido por: [15][2].

𝑰𝒔 =

𝑷

( 2.11.)

𝑫𝟐𝒆

Donde: P

es la fuerza necesaria para producir la rotura.

De

es el diámetro equivalente de la probeta.

El diámetro equivalente se puede calcular mediante la siguiente expresión:

D2e =

4WD

( 2.12.)

π

Donde: W

Es la anchura media de la muestra (semisuma de sus anchuras máxima y mínima).

D

Distancia entre las puntas de los conos en el momento de la rotura.

Cuando el valor de De es diferente de 50 mm es conveniente hacer una correlación para eliminar la influencia del tamaño en la resistencia de la probeta. Esta correlación, que permite obtener el Is(50), se puede efectuar utilizando la siguiente fórmula:[15] D 0.45

Is(50) = (50)

Is

( 2.13.)

Ensayos de roca en el laboratorio.

41

La relación entre Is y σc, según Broch y Franklin (1972) es:

σc = 24Is(50)

( 2.14.)

No obstante, en algunas rocas el coeficiente multiplicador difiere mucho del anterior indicado.

Brock (1993) ha propuesto también una relación entre la resistencia a la tracción T0 y el índice de carga puntual𝐼𝑠(50):

τ0 = 1.5 ∗ Is(50)

( 2.15.)

Según esto la relación media entre las resistencias a compresión y a tracción de las rocas sería de 16.

La relación entre la resistencia a compresión uniaxial y la resistencia atracción de las rocas es muy variable. En los esquistos, por ejemplo, esta relación puede ser tan baja como 5.5, mientras que en la diorita puede alcanzar 16 [15]. Figura 2-11: Ensayo de carga puntual mediante la prensa Franklin. [15].

42

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

2.6 Ensayo de tracción brasileño. Es un ensayo indirecto para determinar la resistencia a tracción de una muestra de roca. En este ensayo se somete un cilindro de roca, de longitud aproximadamente igual a su radio, a una compresión diametral se rompe a lo largo de dicho diámetro como consecuencia de las tensiones de tracción que se generan en dirección perpendicular al mismo .Ver Figura 2-12. Haciendo un estudio de la distribución de esfuerzos en un disco al que se le aplica una carga diametral, se demuestra que, a lo largo del diámetro, excepto cerca de la periferia, se genera un esfuerzo horizontal uniforme cuyo valor es:[15][17][2] 2P

𝜎𝑡 = πDt

( 2.16.)

Donde: P

es la fuerza de compresión ejercida sobre el disco.

D

es el diámetro del disco.

t

es el espesor del disco, la altura del disco.

Figura 2-12. Ensayo indirecto de tracción (ensayo brasileño).[15].

El ensayo de tracción brasileño de rocas ha sido normalizado. (norma ASTM D 3967).

Hay que tener en cuenta, sin embargo, que existen también esfuerzos compresivos que actúan según el plano diametral del disco a lo largo del cual se aplica la carga. Estos esfuerzos tienen un valor en el centro del disco igual a tres veces el esfuerzo de tracción y

Ensayos de roca en el laboratorio.

43

van aumentando progresivamente hacia la periferia del cilindro. Como la relación entre los esfuerzos es tres, muy inferior a la existe normalmente entre las resistencias a compresión y tracción de las rocas, la rotura se producirá a tracción.[9][15] [17].

El ensayo de tracción brasileño es apropiado para materiales frágiles, de acuerdo a una serie de ensayos realizados con diferentes máquinas de ensayo.[17].

3. Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción. Hasta el momento para poder obtener el ángulo de fricción y la cohesión de una roca, propiedades intrínsecas, se deben tener varios ensayos triaxiales de muestras de roca para realizar la regresión lineal y así obtener unos valores aproximados de las propiedades intrínsecas de la roca.

Nuestro principal objetivo es determinar estas propiedades de una manera mucho más rápida y económica realizado ensayos relativamente sencillos y en el campo que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción de la roca en estudio.

Para la realización de este análisis nos apoyaremos en varios criterios que se tienen en cuanto a la resistencia de las rocas.

3.1 Criterios a tener en cuenta para el análisis. 3.1.1 Envolvente de falla de Mohr–Coulomb. Esta teoría pierde su significado cuando la roca se somete a tracción, cuando se extrapola la recta a la región de esfuerzos negativo, es aconsejable interrumpirla al llegar al valor de la resistencia de rotura a la tracción, σRT, obtenida a partir de ensayos de laboratorio[7], como se muestra en la Figura 1-9 (Compaginación de los criterios de Coulomb y Mohr.1.1.3).

46

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

3.1.2 Ensayo de tracción brasileño. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que existen también esfuerzos compresivos que actúan según el plano diametral del disco a lo largo del cual se aplica la carga. Estas tensiones tienen un valor en el centro del disco igual a tres veces la tensión de tracción y van aumentando progresivamente hacia la periferia del cilindro. Como la relación entre las tensiones es tres, muy inferior a la existe normalmente entre las resistencias a compresión y tracción de las rocas, la rotura se producirá atracción.

La relación entre la resistencia a compresión uniaxial y la resistencia atracción de las rocas es muy variable. En los esquistos, por ejemplo, esta relación puede ser tan baja como 5.5, mientras que en la diorita puede alcanzar 16.

Los resultados obtenidos con este ensayo tendrán valores menores a los hallados por las ecuaciones de Mohr-Coulomb debido a que la roca no es isotrópica y contiene microfisuras y discontinuidades intrínsecas de su naturaleza.

El ensayo de tracción brasileño es apropiado para materiales frágiles, de acuerdo a una serie de ensayos realizados con diferentes máquinas de ensayo. (sección 2.6)

3.1.1 Ensayos triaxiales ideales. Para poder obtener una envolvente a todos los círculos de los ensayos triaxiales, se debe tener en cuenta que estos ensayos deben tener una relación tal que pueda existir una línea que sea tangente a todos ellos, donde el ángulo de fricción interna no se ve afectado por confinamiento, sólo se afecta por confinamiento la resistencia y la cohesión. Esto en la realidad no se presenta, pero debemos tomar esta consideración para deducir las ecuaciones que pretendemos. Ver Figura 3-1.

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades 47 intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

Figura 3-1:

Ensayos triaxiales ideales.

3.2 Procedimiento gráfico ecuaciones sugeridas.

para

la

obtención

de

En la Figura 3-2 representamos los esfuerzos a compresión simple y a tracción de una muestra de roca, donde el esfuerzo a tracción de rotura que representaremos como σRT y que está formando un ángulo de 2β, igual al esfuerzo de compresión simple apoyado en el criterio Envolvente de falla de Mohr–Coulomb. y 3.1.2. En la Figura 3-2 el círculo azul representa el ensayo a compresión simple, el círculo magenta representa el ensayo a tracción. La línea 2 es la envolvente de los círculos de compresión simple y tracción, o sea una línea tangente a ambos círculos que serían los puntos T y J respectivamente (esta línea la llamaremos envolvente Tracom). Para hallar esta tangente se procedió a realizar geométricamente la tangente a dos círculos, cuyo procedimiento es: 

̅̅̅̅̅̅̅ igual a la diferencia de los radios conocidos de las Con un radio 𝐶1𝑇1 ̅̅̅̅̅̅-𝐶2𝑂 ̅̅̅̅̅̅) y haciendo centro en C1, se describe una circunferencias dadas (𝐶1𝑂 circunferencia auxiliar (circunferencia verde).

48

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.



̅̅̅̅̅̅̅ por diámetro se describe una circunferencia auxiliar Desde el punto C2 y con 𝐶1𝐶2 que corta la circunferencia verde en el punto T1. Al unir los puntos C2 y T1 (línea 1) se tiene la tangente del punto C2 a la circunferencia verde.



Se une el punto C1 con el punto T1 y se prolonga esta línea hasta cortar la circunferencia azul en el punto T.



Por el punto C2 se traza una paralela a la línea C1T y esta corta al círculo magenta en el punto J. Al unir el punto J con el punto T se tiene la tangente a los dos círculos, el de tracción y compresión simple respectivamente, que será la línea 2 y es la envolvente de Mohr-Coulomb para estos ensayos.

De la Figura 3-2 podemos escribir las siguientes coordenadas de los puntos:

A=(-(2R+BA),0)

J= (σRT, Ƭ1) Punto de tangencia. Ruptura

B= (-2R, 0)

K1= (0, cohesión) K1= cohesión

D= (-σRT, 0)

T=(σT,ƬT) Punto de tangencia. Ruptura

C2=(-R,0) Centro círculo de esfuerzo.

T1= (σT1, ƬT1)

a tracción

O= (0,0) Origen coordenadas.

F=(R,0) G=(σT1,0) 𝜎

C1=( 2𝑐,0) Centro círculo compresión simple.

H=((σC-R),0) I=(σC,0)

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con ensayos 49 que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

Figura 3-2:

Relaciones entre ensayo a tracción y compresión simple de una roca.

50

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

La línea 2 es la línea tangente de los círculos de compresión simple y tracción, o sea que es la envolvente Tracom de los ensayos a tracción y compresión simple.

De la Figura 3-2 tenemos las siguientes relaciones:

̅̅̅̅̅ ┴ T1G ̅̅̅̅̅ luego Δ C2.T1.G ≅ Δ G.T1.C1 por C2T1 ┴ T1C1 y C2G ̅̅̅̅̅̅ =(σT1+R); T1G=(ƬT1); 𝐺𝐶1 ̅̅̅̅̅̅= Donde: 𝐶2𝐺

Ahora

(σT1 +R); ( ƬT1 )

𝜎𝐶 2

C2G T1G

T1G

= GC1 ( 3.1.)

− 𝜎𝑇1

( ƬT1 )

=

σC 2

( 3.2.)

−σT1 σ

τ2T1 = (σT1 + R) ∗ ( 2C − σT1 ) Δ G.T1.H ≅ Δ G.T1.F por ̅̅̅̅̅ 𝐹𝑇1 ┴ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑇1𝐻 y ̅̅̅̅̅̅ 𝐺𝑇1 ┴ ̅̅̅̅ 𝐺𝐻 luego

( 3.3.)

𝐺𝐻 𝑇1𝐺

=

𝑇1𝐺 𝐹𝐺

Donde: ̅̅̅̅ 𝐺𝐻=(σC-R-σT1,); ̅̅̅̅̅̅ 𝑇1𝐺 =(ƬT1); ̅̅̅̅ 𝐹𝐺 = (σT1-R)

Ahora

(𝜎𝐶− R−σ𝑇1 ) ( Ƭ𝑇1 )

=

( Ƭ𝑇1 ) 𝜎𝑇1−𝑅

τ2T1 = (σC − R − σT1 ) ∗ (σT1 − R)

(3.4.) (3.5.)

Igualando las ecuaciones (3.3) y (3.5) se obtiene: σC

(σT1 + R) ∗ ( σC σT1 2 3σC R 2 3σC R 2

+

σC R 2

2

− σT1 ) = (σC − R − σT1 ) ∗ (σT1 − R)

− (σT1 )2 − σT1 = σC σT1 − σC R − σT1 R + R2 − (σT1 )2 + σT1 R

− σT1 R = − R2 =

σC σT1 2

σC σT1 2

R(3σC −2R) (σC +2R)

(3.7.)

+ R2

(3.8.)

+ σT1 R

3.9.)

R(3σC − 2R) = σT1 (σC + 2R) σT1 =

(3.6.)

(3.10.) (3.11.)

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades 51 intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

Δ D.J.C2 ≅ Δ G.T1.C1 por ángulo J.D.C2= ángulo T1.G.C1= 90° y línea 1 // línea 2 ̅̅̅̅̅// 𝑇1𝐶1 ̅̅̅̅̅̅̅̅radios de los círculos ┴s a Tangente de los círculos. Luego 𝐽𝐶2 𝐽𝐷

Donde: 𝐾"

=

( Ƭ𝑇1 )

𝑇1𝐺

=

𝐷𝐶2 𝐺𝐶1

𝜎 y ̅̅̅ 𝐽𝐷=K” ; ̅̅̅̅̅̅ 𝑇1𝐺 =(τT1 ); ̅̅̅̅̅̅ 𝐷𝐶2=𝜎𝑅𝑇 − 𝑅; ̅̅̅̅̅̅ 𝐺𝐶1=( 2𝑐) − σ𝑇1

𝜎𝑅𝑇− 𝑅

(3.12)

(σ𝐶 /2)− σ𝑇1

Δ D.J.O ≅ Δ G.T1.H triángulos semi-inscritos en circunferencias semejantes. y en punto ̅̅̅ // ̅̅̅̅̅̅ anterior Δ D.J.C2 ≅ Δ G.T1.C1 donde 𝐽𝐷 𝑇1𝐺 y son las alturas de los triángulos J.D.C2 y T1.G.F respectivamente. Luego Δ B.J.D≅ΔF.T1.G ̅̅̅ 𝐽𝐷=K” ; ̅̅̅̅̅̅ 𝑇1𝐺 =(ƬT1); ̅̅̅̅ 𝐵𝐷=2𝑅 − 𝜎𝑅𝑇 ̅̅̅̅̅̅ ; 𝐹𝐺 =

𝜎𝑇1 − 𝑅

luego

𝐽𝐷

donde: 𝐾" ( Ƭ𝑇1 )

=

𝑇1𝐺 2𝑅−𝜎𝑅𝑇 𝜎𝑇1 −𝑅

=

𝐵𝐷 𝐹𝐺

(3.13.)

(3.12) = (3.13) 𝜎𝑅𝑇− 𝑅 (σ𝐶 /2)− σ𝑇1 2(𝜎𝑅𝑇− 𝑅) σ𝐶 −2 σ𝑇1

=

=

2𝑅−𝜎𝑅𝑇

(3.14.)

𝜎𝑇1 −𝑅

2𝑅−𝜎𝑅𝑇

(3.15.)

𝜎𝑇1 −𝑅

2(σRT − R) ∗ (σT1 − R) = (2R − σRT ) ∗ (σC − 2σT1 )

(3.16.)

2σRT σT1 -2RσT1 + 2𝑅2 − 2RσRT =2𝑅𝜎𝐶 -4RσT1 − σRT σC +2𝜎𝑅𝑇 𝜎𝑇1

(3.17.)

2RσT1 = -2𝑅 2 +2RσTR +2RσC − σRT σC

(3.18.)

2RσT1 =2R(σC − R)-σRT (σc − 2R)

(3.19.)

2RσT1 =2R(σC − 2R + R)- σRT (σc − 2R)

(3.20.)

2RσT1 =2R(σC − 2R)+2R2 )- σRT (σc − 2R)

(3.21.)

2RσT1 = (σC − 2R)*((2R − σRT )+2R2

(3.22.)

(𝜎𝐶 −2R)∗(2R−σ𝑅𝑇 ) +2𝑅2

σT1 =

(3.11) = (3.23)

(3.23.)

2𝑅 𝑅(3𝜎𝐶 −2𝑅) (𝜎𝐶 +2𝑅)

=

(𝜎𝐶 −2R)∗(2R−σ𝑅𝑇 ) +2𝑅 2 2𝑅

(3.24.)

2R2 (3σC − 2R)=(𝜎𝐶 + 2𝑅)[(𝜎𝐶 − 2R) ∗ (2R − σ𝑅𝑇 ) + 2𝑅 2 ]

(3.25.)

2R2 (3σC − 2R)=(𝜎𝐶 + 2𝑅)(2R𝜎𝐶 − σ𝑅𝑇 𝜎𝐶 − 4𝑅 2 + 2Rσ𝑅𝑇 + 2𝑅 2 )

(3.26.)

52

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

6𝑅 2 𝜎𝐶 -4𝑅 3 =(σC + 2R)(2R𝜎𝐶 -σ𝑅𝑇 𝜎𝐶 -2𝑅 2 +2Rσ𝑅𝑇 )

(3.27.)

6R2 σC -4R3 =2RσC 2 +4R2 σC -σC 2 σRT -2RσC σRT -2R2 σC -4R3 +2RσC σRT +4R2 σRT (3.28.) 4R2 σC = 2RσC 2 -σC 2 σRT +4R2 σRT

(3.29.)

4R2 σC − 2RσC 2 +σC 2 σRT -4R2 σRT=0

(3.30.)

2RσC (2R − σC )- σRT (4R2 -σC 2 ) =0

(3.31.)

2R𝜎𝐶 (2R − 𝜎𝐶 )- σ𝑅𝑇 (2R + 𝜎𝐶 ) ( 2R − 𝜎𝐶 )=0

(3.32.)

(2R − σC ) [( 2RσC - σRT (2R + σC )] =0

(3.33.)

Donde:

2R − σC =0 σ

(3.34.)

R= 2C

(3.35.)

2RσC - σRT (2R + σC ) =0

(3.36.)

2RσC - 2RσRT − σRT σC=0

(3.37.)

2R(σC -σRT ) = σRT σC

(3.38.)

σ

σ

R = 2(σ RT−σC C

RT )

(3.39.)

La ecuación (3.35) se refiere a materiales cohesivos como las arcillas.

Reemplazando ecuación (3.39) en (3.11) tenemos: σT1=

σT1=

σRT σC σ σ (3σC −2 RT C ) 2(σC −σRT ) 2(σC −σRT ) σ σ (σC +2 RT C ) 2(σC −σRT ) (σC σRT )[3σC (σC −σRT )−σC σRT ] 2(σC −σRT) 2 (σC )(σC −σRT )+σC σRT ] σC σRT

(3.40.)

(3.41.)

(σ σRT )[3σC 2 −3σC σRT −σC σRT ] 2 C −σRT )(σC −σC σRT +σC σRT )

(3.42.)

σT1=

(σC σRT )[3σC 2 −4σC σRT ] 2(σC −σRT )(σC )2

(3.43.)

σT1=

(σC σRT )[3σC −4σRT ] 2(σC −σRT )(σC )

(3.44.)

σT1=

(σRT )[3σC −4σRT ] 2(σC −σRT )

(3.45.)

σT1=2(σC

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades 53 intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

De la Figura 3-2 también tenemos las siguientes relaciones. Δ O.J.D ≅ Δ J.D.B por ̅̅̅ 𝑂𝐽 ┴ ̅̅̅ 𝐽𝐵 y ̅̅̅̅ 𝑂𝐷 ┴ ̅̅̅ 𝐽𝐷 luego

𝑂𝐷 𝐽𝐷

=

𝐽𝐷 𝐷𝐵

̅̅̅̅=(𝜎𝑅𝑇 ); 𝐽𝐷 ̅̅̅=(JD); 𝐷𝐵 ̅̅̅̅=(2𝑅 − 𝜎𝑅𝑇 ) Donde: 𝑂𝐷 (σRT ) (JD)

Ahora

=

(JD) 2R−σRT

(3.46.)

(JD)2=(σRT ) ∗ (2R − σRT )

(3.47.)

̅ ┴ JC2 ̅̅̅̅ y AD ̅̅̅̅ ┴ JD ̅̅̅ luego Δ A.J.D ≅ Δ J.D.C2 por AJ

AD JD

JD

= DC2

̅̅̅̅=(AD); JD ̅̅̅̅̅̅=(σRT − 𝑅) ̅̅̅=(JD); DC2 Donde: AD (AD) (JD)

Ahora

=

(JD) (σRT − R)

(3.48.)

(JD)2=(AD) ∗ (σRT − R) (3.47) = (3.49) (σRT )∗(2R−σRT ) (σRT −R)

(3.49.)

(σRT ) ∗ (2R − σRT )=(AD) ∗ (σRT − R)

= AD

(3.50.) (3.51.)

De la Figura 3-2 podemos sacar las siguientes relaciones. En el Δ T1.T.M σC

GC1

sin ∅ = C1T1=

σ σ donde ̅̅̅̅̅̅ 𝐺𝐶1= 2C - σT1 y ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐶1𝑇1= 2C − 𝑅

− σT1

sin ∅= 2σC 2

(3.52.)

–R σ

σ

Reemplazando la ecuación (3.45 ) y R = 2(σ RT−σC C

RT )

(3.39(3.39) sin ∅ =

sin ∅=

σC 2

(σ )[3σC −4σRT ] − RT σC 2

2(σC −σRT ) σRT σC – 2(σC −σRT )

(σC )(σC −σRT )−(σRT )[3σC −4σRT ] 2(σC −σRT ) (σC )(σC −σRT )− σRT σC 2(σC −σRT )

(3.53.)

(3.54.)

sin ∅=

(σC )(σC −σRT )−(σRT )[3σC −4σRT ] (σC )(σC −σRT )− σRT σC

(3.55.)

sin ∅=

σC 2 −σC σRT −3σC σRT +4σRT 2 σC 2 −σC σRT −σC σRT

(3.56.)

54

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

sin ∅=

σC 2 −4σC σRT +4σRT 2 σC 2 −2σC σRT

(3.57.)

sin ∅=

(σC −2σRT )2 σC (σC −2σRT )

(3.58.)

sin ∅=

(σC −2σRT ) σC

Ø= invsen

(3.59.)

𝜎𝐶 −2𝜎𝑅𝑇 𝜎𝐶

(3.60.)

σ

σT = 2C -

Ahora

σC * 2

sin ∅

(3.61.)

línea naranjada en la Figura 3-3. σT =

σC (12

sin ∅)

(3.62.)

Reemplazando ecuación (3.59) σT =

σC (σ −2σ ) [1- C σ RT ] 2 C

(3.63.)

σT =

σC σC −(σC −2σRT ) [ ] 2 σC

(3.64.)

σT =

2σRT 2

(3.65.)

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

Figura 3-3

(3.66.)

Envolvente Tracom para ensayos a compresión simple y tracción con

ángulo de fricción interna y diagrama de fuerzas.

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades 55 intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

La ecuación (3.66) nos está indicando que la resistencia a la rotura a tracción (σRT ) de una roca es igual el esfuerzo normal al plano de rotura de la roca en un ensayo de compresión simple. De la Figura 3-3 tenemos: σ

σ

( 2C )2 =(ƮT)2+( 2C − σRT )2 σ

σ

σ

σ

(ƮT)2=( 2C )2 -( 2C − σRT)2

σ

(3.67.)

(ƮT)2=( 2C )2 − ( 2C )2 +2 2C *σRT-σRT 2

(3.68.)

(ƮT)2=σRT(σC- σRT)

(3.69.)

ƮT=√σRT (σC − σRT )

(3.70.)

Ʈ

cos ∅= σCT

(3.71.)

2

Reemplazando ecuación (3.70). cos ∅=

√σRT (σC −σRT )

cos ∅ =

σC 2

2√σRT (σC −σRT ) σC

(3.72.) (3.73.)

De la Figura 3-3 tenemos una suma de vectores donde el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ OT va desde el origen al punto de tangencia en el punto de rotura en el ensayo a compresión simple. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ será el vector posición de la recta tangente a los círculos de compresión simple El vector OT y tracción (línea 2 de la Figura 3-3.) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ es el vector dirección de la recta tangente a los círculos de compresión El vectorAK1 simple y tracción (línea 2 de la Figura 3-3.).

⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ OT AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t( AK1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ); OT

(3.74.) (3.75.)

56

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

⃗⃗⃗⃗⃗ OT=[( (σT -0),(ƮT-.0)] ;

(3.76.)

⃗⃗⃗⃗⃗ OA= [-(σRt+DA)-0),(0-0)];

(3.77.)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [[0-(-(σRt+𝐷𝐴 ̅̅̅̅), (K1-0)] AK1

(3.78.)

̅̅̅̅ = (𝜎𝑅𝑇 )∗(2𝑅−𝜎𝑅𝑇 ) ( Ecuación (3.51)) 𝐷𝐴 (𝜎 −𝑅) 𝑅𝑇

(σRT )∗(2R−σRT )

(σRT )∗(2R−σRT )

(σRT −R)

(σRT −R)

[(σT ), (ƮT)] = [-(σRT+ [(σT ),(ƮT)]=[ −RσRT

σT=σ

RT

t=

t=

), 0] + t [(σRT+

−(σRT 2 −RσRT +2RσRT −σRT 2 )

σRT 2 −RσRT +2RσRT −σRT 2

σRT −R

σRT −R

RσRT

+t (σ −R

RT −R

,0]+t[

)

,K1]

(3.79.) (3.80.) (3.81.)

RσRT σRT −R RσRT σRT −R

σT +

(3.82.)

(σT )(σRT −R)+RσRT σRT −R RσRT σRT −R

(3.83.)

(𝜎𝑇 )(𝜎𝑅𝑇 −𝑅)+𝑅𝜎𝑅𝑇

t=

), K1]

(3.84.)

𝑅𝜎𝑅𝑇

Ahora:

ƮT=0+tK1 Ʈ

t=𝐾1𝑇

(3.85.) K1= Cohesión

(3.86.).

Ecuaciones (3.84) = (3.86) (σT )(σRT −R)+RσRT Ʈ𝑇 =𝐾1 RσRT

(3.87.)

ƮT ∗RσRT )(σ T RT −R)+RσRT

K1 = (σ

(3.88.)

Reemplazando ecuaciones (3.39) y (3.70)

𝐾1 =

𝐾1 = 𝐾1 = 𝐾1 =

𝛔𝑹𝑻 𝝈𝑪 ∗𝜎 𝟐(𝝈𝑪−𝛔𝑹𝑻 ) 𝑅𝑇 𝛔𝑹𝑻 𝝈𝑪 𝛔𝑹𝑻 𝝈𝑪 (𝜎𝑅𝑇 )(𝜎𝑅𝑇 − )+ 𝜎 𝟐(𝝈𝑪 −𝛔𝑹𝑻 ) 𝟐(𝝈𝑪 −𝛔𝑹𝑻 ) 𝑅𝑇

(3.89.)

𝛔𝑹𝑻 𝝈𝑪 ∗𝜎 𝟐(𝝈𝑪 −𝛔𝑹𝑻 ) 𝑅𝑇 𝛔 𝝈 𝛔 𝝈 (𝜎𝑅𝑇 2 −𝜎𝑅𝑇 ∗ 𝑹𝑻 𝑪 )+ 𝑹𝑻 𝑪 𝜎𝑅𝑇 𝟐(𝝈𝑪 −𝛔𝑹𝑻 ) 𝟐(𝝈𝑪 −𝛔𝑹𝑻 )

(3.90.)

(√𝝈𝑹𝑻 (𝝈𝑪 −𝝈𝑹𝑻 ))∗

(√𝝈𝑹𝑻 (𝝈𝑪 −𝝈𝑹𝑻 ))∗

(√𝝈𝑹𝑻 (𝝈𝑪 −𝝈𝑹𝑻 ))∗(𝛔𝑹𝑻 𝝈𝑪 )

(3.91.)

2𝜎𝑅𝑇 (𝝈𝑪 −𝛔𝑹𝑻 ) (√𝜎𝑅𝑇 (𝜎𝐶 −𝜎𝑅𝑇 ))∗(𝜎𝐶 ) 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

Cohesión

(3.92.)

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades 57 intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

Figura 3-4:

Relación geométrica entre las rectas de puntos de tangencia de ensayos

triaxiales

En la Figura 3-4 tenemos dos ensayos triaxiales, círculo de radio R1 y centro C1 y círculo de radio R2 y centro C2.

Las líneas rojas de la gráfica corresponden a la envolvente de los puntos de tangencia y las líneas azules a la línea de los puntos máximos. El ángulo Ø corresponde al ángulo formado por la envolvente de los puntos de tangencia con la horizontal y el ángulo α es el ángulo formado por la línea de puntos máximos con la horizontal.

Se procede a hallar la tangente a los dos círculos (envolvente de los puntos de tangencia) con el mismo procedimiento de la sección 3.2. Por lo que tenemos en la Figura 3-4 que la ̅̅̅̅̅̅’ (líneas rojas de la gráfica) línea ̅̅̅̅ 𝑃𝐷 es paralela a la línea 𝐶1𝐷 D′ C2

̅̅̅̅̅̅=R2-R1 y En el Δ C1.D’.C2 tenemos que sen ∅=C1C2 ( líneas rojas), donde 𝐷’𝐶2 ̅̅̅̅̅̅̅= C2-C1. 𝐶1𝐶2

58

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

sin ∅ =

R2−R1 C2−C1

(3.93.)

La anterior expresión nos indica que, para obtener el ángulo de fricción interna de la roca, los ensayos triaxiales deben cumplir esta relación, o sea que la relación entre la diferencia de radios y diferencia de centros entre los ensayos triaxiales debe ser constante. En la realidad esto no sucede debido a la anisotropía de la roca, a la humedad, a los poros etc, por lo que el ángulo de fricción interna hallado por la regresión de puntos máximos, ecuación (1.19), no es el ángulo real de fricción interna.

En la Figura 3-4 ′

𝐸 𝐶2 Del Δ C1.E’.C2 tenemos que tan 𝛼 = 𝐶1𝐶2 ( líneas azules), donde ̅̅̅̅̅̅ 𝐸’𝐶2=R2-R1 y

̅̅̅̅̅̅̅=C2-C1 y tanα= m 𝐶1𝐶2 𝑅2−𝑅1

tan 𝛼= 𝐶2−𝐶1=m

(3.94.)

Ecuación (3.93) = ecuación (3.94) entonces: sen Ø=m

Ø=invsen m

(3.95.)

Se cumple la ecuación (1.19) y Ecuación (3.59) = ecuación (3.93) σC −2σRT σC σC −2σRT σC

=

R2−R1

(3.96.)

C2−C1

(𝜎 −𝜎 )−(𝜎 −𝜎 )

= (𝜎12 +𝜎32)−(𝜎11 +𝜎31) 12

32

11

31

(3.97.)

Las expresiones anteriores nos dan la relación entre las resistencias a tracción y compresión simple y esfuerzos principales en ensayos triaxiales.

Ahora vamos a realizar la relación entre la cohesión K1, de los ensayos de compresión simple y la cohesión C de los ensayos triaxiales. Figura 3-5.

De la Figura 3-5. tenemos la siguiente relación: TN=C-K1;

𝜎 ̅̅̅ ┴𝑇𝑄 ̅̅̅̅ y T 𝐶 ┴ 𝑇𝑌 luego ángulo S.T. 𝜎𝐶 =Y.T.Q=Ø Los Δs T.M.N≅T.Y.Q por ̅𝑆𝑇 2 2

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades 59 intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

𝜎 σ σc σ σ σ Además ̅̅̅̅̅ 𝑇𝑄 // ̅̅̅̅̅ 𝑇 𝑐y ̅̅̅̅̅ T c // ̅̅̅̅̅̅ QC1 luego ̅̅̅̅ TQ=̅̅̅̅̅̅̅ C1=C1 − C y ̅̅̅̅̅ T c =C1 − C 2

2

2

2

2

2

En el Δ Y.T.Q YQ

sin ∅ = TQ

(3.98.)

Donde: ̅̅̅̅ 𝑌𝑄 =𝑅1 − 𝑇𝑀 −

sin ∅ =

𝜎 R1−TM− 𝐶 𝜎 𝐶1− 𝐶 2

2

=

σC 2

y ̅̅̅̅ 𝑇𝑄=𝐶1 −

σC 2

2R1−2TM−𝜎𝐶 2𝐶1−𝜎𝐶

(3.99.)

y ecuación (3.93) = (3.99) 2R1−2TM−𝜎𝐶 2𝐶1−𝜎𝐶

=

R2−R1 C2−C1

(3.100.)

𝐶) = (𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎 𝐶2−𝐶1

(3.101.)

2TM

C) =2R1 − 𝜎𝐶 − (R2−R1)(2C1−σ C2−C1

(3.102.)

2TM

C) = (2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σ C2−C1

(3.103.)

2R1 − 2TM − σC

TM =

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1)

(3.104.)

60

Figura 3-5: Tracom.

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Relación entre cohesión C de envolvente de Mohr-Coulomb y K1 envolvente

|

|

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades 61 intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

Del Δ M.N.T tenemos que TM cos Ø

TM TN

=cos Ø

=TN

(3.105.)

Reemplazando TM. Ecuación (3.104) TN =

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

TN =

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(3.106.) (Diferencia de cohesiones: C-K1)

C’=K1+TN 𝐶′ =

(3.107.)

(3.108.)

(√𝜎𝑅𝑇 (𝜎𝐶 −𝜎𝑅𝑇 ))∗(𝜎𝐶 ) 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

+

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(3.109.)

Se recomienda tomar los valores entre el primer y último ensayo triaxial; o sea entre el menor y mayor esfuerzo de confinamiento.

3.3 Resumen ecuaciones Resumen de ecuaciones para hallar el ángulo de fricción interna, la Cohesión y otras relaciones en las rocas en función de su resistencia a compresión simple y a tracción. σ

𝜎

𝑅 = 2(𝜎 𝑅𝑇−σ𝐶 𝐶

sin ∅=

𝑅𝑇 )

Radio círculo ensayo a tracción

(σC −2σRT ) σC

Ø = sin−1

σC −2σRT σC

(3.39.)

(3.59)

Ángulo de fricción interna

(3.60.)

σT = σRT

Esfuerzo normal en el punto T.

(3.66.)

τT = √σRT (σC − σRT )

Esfuerzo de cizalla en el punto T

(3.70)

62

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

2 √σRT (σC −σRT ) σC

cos ∅ =

(3.73)

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

Cohesión. (Tracom)

(3.92)

Resumen de ecuaciones para hallar el ángulo de fricción interna, la Cohesión y otras relaciones en las rocas en función de su resistencia a compresión simple la tracción y ensayos triaxiales.

sin ∅ =

R2−R1 C2−C1

σC −2σRT σC

TN =

𝐶′ =

=

(3.93.)

R2−R1

(3.96.)

C2−C1

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(√𝜎𝑅𝑇 (𝜎𝐶 −𝜎𝑅𝑇 ))∗(𝜎𝐶 ) 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

+

(Diferencia de cohesiones: C-K1)

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(3.107.)

(3.109.)

4. Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3. Se usarán y validarán las ecuaciones del capítulo anterior con ensayos de rocas a compresión simple, ensayos brasileños y ensayos triaxiales de un mismo tipo de roca, cómo se pueden utilizar las ecuaciones cuando se conoce el ángulo y uno de los ensayos a compresión o tracción.

4.1 Ejercicio ideal tesis. a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

Tabla 4.1–1: Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5

174,90 208,24 233,24 258,24 299,90

5,10 11,76 16,76 21,76 30,10

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

90,00 110,00 125,00 140,00 165,00 0,00 Sx 630,00

84,90 98,24 108,24 118,24 134,90 0,00 Sy 544,52

𝑋𝑖 2 8100,00 12100,00 15625,00 19600,00 27225,00 0,00 Sxx 82650,00

𝑌𝑖 2 7208,69 9650,51 11715,25 13979,99 18199,09 0,00 Syy 60753,52

𝑋𝑖 𝑌𝑖

7641,36 10806,07 13529,63 16553,18 22259,16 0,00 Sxy 70789,40

N

5

64

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

r= m= n=

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,67

− 𝑥 𝑥

n=

24,90

Ø=

42,06

C=

33,54

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es: Ʈ = tan(42.06)𝜎𝑁 + 33.54

Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟎𝟐𝝈𝑵 + 𝟑𝟑. 𝟓𝟒

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Por ecuación sin ∅ =

R2−R1 C2−C1

(3.93.)

tenemos:

Tabla 4.1–2. Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

174,90

5,10

90,00

84,90

2

208,24

11,76

110,00

98,24

3

233,24

16,76

125,00

108,24

4

258,24

21,76

140,00

118,24

5

299,10

30,10

164,60

134,50

1

174,90

5,10

90,00

84,90

senØ

R2-R1

C2-C1

0,67

13,33

20,00

0,67

10,00

15,00

0,67

10,00

15,00

0,66

16,26

24,60

0,66

-

49,60

-

74,60

senØ

0,67

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

65

Vemos que todos los senØ son iguales, por lo tanto, si hay una línea tangente a todos los círculos. En este caso senØ= 0.67 donde

Ø= 42.07°

Ahora por ecuación sin ∅=

(σC −2σRT ) σC

(3.59.)

σC =50.0MPa y σRT =8.33 MPa

sin ∅

50.0−2∗8.33 50.0

senØ=0.6668

Ø= 42.07°

Los valores del ángulo calculados por regresión y por ecuaciones de tesis son iguales, como era de esperarse en un ejercicio ideal.

De la ecuació (3.39)

𝑅=

8.33∗50.0

σ

𝜎

𝑅 = 2(𝜎 𝑅𝑇−σ𝐶 𝐶

𝑅𝑇 )

=5.0

R= 5.0MPa

2(50.0−8.33)

sabemos que: 2𝑅 = 𝜎𝑇𝑇

𝛔𝐓𝐓 = 𝟏𝟎. 𝟎𝐌𝐏𝐚

Ahora K1 (Cohesión)

𝐾1 = 𝐾1 =

(√𝜎𝑅𝑇 (𝜎𝐶 −𝜎𝑅𝑇 ))∗(𝜎𝐶 ) 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

Cohesión

(3.92.)

(√8.33(50.0−8.33))∗(50.0)

K1=11.18 MPa

2(50.0−8.33)

Ahora C=K1+TN 𝑇𝑁 =

(2 ∗ 84.9 − 50.0)(164.6 − 90.0) − (134.5 − 84.9)(2 ∗ 90.0 − 50.0) 2(164.6 − 90.0) cos 42.07

𝑇𝑁 =22.47MPa C’= 22.47+11.18=33.65

C’=33.65 MPa

La ecuación de la envolvente Tracom sería Ʈ = tan(42.06)σN + 11.18

Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟎𝟐𝛔𝐍 + 𝟏𝟏. 𝟏𝟖

66

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

La nueva ecuación de la envolvente Tracom-triaxial sería Ʈ = tan(42.06)σN + 33.65

Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟎𝟐𝛔𝐍 + 𝟑𝟑. 𝟔𝟓

Vemos que solo cambia en las ecuaciones la cohesión.

Con resultados ecuaciones tesis:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulmb. 2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø 2(11.18)(0.742) = (1−0.67)

σC =(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=

50.27 MPa. (50.0 MPa por ensayo)

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ 2(11.18)(0.742) =9.93 (1+0.67)

σTT=(1+senØ)=

MPa.

Valor de 𝜎𝑇𝑇 mayor a la resistencia obtenida en el laboratorio, como es lógico. Ahora de acuerdo a nuestra teoría el valor σTT de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde 𝑅=

σ𝑅𝑇 𝜎𝐶 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

2𝑅 =

σTT = 2𝑅

σ𝑅𝑇 𝜎𝐶 (8.33)(50.0) = =9.995 (𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 ) (50.0−8.33)

MPa

𝝈𝑻𝑻 =10.0 MPa

9.93≅ 10.0

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb. 2CcosØ

σC =σc (1−senØ)=

2(33.54)(0.742) (1−0.67)

=-150.83 MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

σTT =σTT σ (1+senØ)=

2(33.54)(0.742) (1−0.67)

=29.8 MPa.

Vemos que tanto los resultados, como el comportamiento de los esfuerzos de la roca, son más ajustados con los cálculos de las ecuaciones tesis.

Como puede observarse, tanto en los cálculos como en la Figura 4-1, el ángulo de fricción interna y el ángulo probable de falla de la roca intacta no varía en ninguno de los ensayos.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

67

La envolvente de de Mohr –Coulomb, hallada por regresión, la evolvente Tracom y tracom triaxial son paralelas, además que la envolvente Tracom triaxial y Mohr-Coulomb en este ejercicio coinciden, como debe ser en un ejercicio ideal. Figura 4-1.

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio ideal tesis.

4.2 Ejercicio Arzua. Los datos de ensayos compresión simple y triaxiales de roca son tomados del libro “PROBLEMAS DE MECÁNICA DE ROCAS.FUNDAMENTOS E INGENIERIA DE TALUDES” (página 44).

Como los datos no tienen la resistencia a tracción, comenzaremos los cálculos con la envolvente de Mohr Coulomb con los ensayos triaxiales.

68

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C. Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. Tabla 4.2–1: Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

36,1 48,45 58,3 Sx 142,85

30,6 37,45 41,3 Sy 109,35

𝜎3

66,7 85,9 99,6

5,5 11,0 17,0

r= m= n=

𝑋𝑖 2 1303,21 2347,40 3398,89 Sxx 7049,50

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥 − 𝑥 𝑥

m=

0,49

− 𝑥 𝑥

n=

13,36

Ø=

29,34

C=

15,33

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁

𝑁 𝑥𝑥 − 𝑥 𝑥

𝑥𝑥

𝑌𝑖 2 936,36 1402,50 1705,69 Syy 4044,55

𝑋𝑖 𝑌𝑖 1104,66 1814,45 2407,79 Sxy 5326,90

N

3

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(29.34)𝜎𝑁 + 15.33

Ʈ = 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝝈𝑵 + 𝟏𝟓. 𝟑𝟑

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2CcosØ

σc = (1−senØ)=

2(15.33)(0.872) (1−0.49)

= 52.4 MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

σTT = (1+senØ)=

2(15.33)(0.872) (1+0.49)

=17.9 MPa

El resultado de la resistencia a la compresión calculada da mucho más que la resistencia a la compresión del ensayo ( 52.3MPa>32.0Mpa) b) Cálculo con ecuaciones tesis. Por ecuación )

𝑅2−𝑅1

sin ∅ 𝐶2−𝐶1 tenemos:

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

69

Tabla 4.2–2: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

𝜎1 + 𝜎3 2 Centro C

Radio ®

1

66,7

5,5

36,1

30,6

2

85,9

11,0

48,45

37,45

3

99,6

17,0

58,3

41,3

1

66,7

5,5

36,1

30,6

senØ

R2-R1

C2-C1

0,55

6,85

12,35

0,39

3,85

9,85

0,48

10,70

22,20

senØ

0,49

Como se puede observar los senos calculados son diferentes al calculado por la regresión, como se advirtió en la sección 3.3.1. En la Figura 4-2 se puede observar que la envolvente de Mohr-Coulomb no es paralela a la envolvente Tracom por lo señalado anteriormente.

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, en este caso 0.48 (Ø= 28.69°).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a tracción con:

sin ∅ =

𝜎𝐶 −2𝜎𝑅𝑇

sin 28.69

𝜎𝐶

32−2𝜎𝑅𝑇 32

𝜎𝑅𝑇 =

32−(0.48∗32) 2 𝝈𝑹𝑻 =8.32 MPa

De la ecuación

𝑅=

σ𝑅𝑇 𝜎𝐶 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

𝑅=

8.32∗32 =5.62 2(32−8.32) 𝛔𝐓𝐓 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟒𝐌𝐏𝐚

R= 5.62MPa y sabemos que 2R= 𝜎𝑇𝑇

Ahora 𝐾1 =

(√𝜎𝑅𝑇 (𝜎𝐶 −𝜎𝑅𝑇 ))∗(𝜎𝐶 ) 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

𝐾1 =

(√8.32(32−8.32))∗(32) 2(32−8.32)

K1=9.48 MPa.

La ecuación de la envolvente Tracom sería Ʈ = tan(28.69)σN + 9.48 Ahora C’=K1+TN

Y

Ʈ = 𝟎. 𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟗. 𝟒𝟖 𝑇𝑁 =

(2𝑅1−𝜎𝐶 )(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶 ) 2(𝐶2−𝐶1) cos Ø

70

𝑇𝑁 =

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

(2 ∗ 30.6 − 32)(58.3 − 36.1) − (41.3 − 30.6)(2 ∗ 36.1 − 32) 2(58.3 − 36.1) cos 28.69

𝑇𝑁 =5.6MPa

C’= 5.6+9.48=15.08

C’=15.08 MPa

La nueva ecuación de la envolvente Tracom-triaxial sería

Ʈ = tan(28.69)σN + 15.08

Ʈ = 𝟎. 𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟏𝟓. 𝟎𝟖

Vemos que solo cambia en las ecuaciones la cohesión.

Con resultados ecuaciones tesis: Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ 2(9.48)(0.877)

σc (1−senØ)=

(1−0.48)

= 31.98 MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø 2(9.48)(0.877)

𝜎𝑇𝑇 = (1+𝑠𝑒𝑛Ø)=

(1+0.48)

=11.24 MPa

La resistencia a la compresión calculada con ecuaciones nos da un resultado muy similar al esfuerzo a compresión del ensayo (31.98𝑀𝑃𝑎 ≅ 32𝑀𝑃𝑎).

Figura 4-2:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio Arzua.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

71

4.3 Chert negro.

Tabla 4.3–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro mina Minera El Roble S.A. Colombia 𝜎1

Ensayo

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa

Tracción

Observación

Origen de

MPa

Dato

5.52

Anexo A

Brasilero Compresión

39.17

0

Anexo A

Triaxial 1

142.69

2.48

Anexo A

Triaxial 2

156.86

4.92

Anexo A

Triaxial 3

170.40

9.86

Anexo A

simple

No se hacen observaciones respecto a la muestra lo que indica que se procedió de acuerdo a la normatividad.

De los ensayos triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión de puntos máximos. a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

Tabla 4.3–2: Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3

142,69 156,86 170,4 ∑

2,48 4,92 9,86

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

72,585 80,89 90,13 Sx 243,61

70,105 75,97 80,27 Sy 226,35

𝑋𝑖 2 5268,58 6543,19 8123,42 Sxx 19935,19

𝑌𝑖 2 4914,71 5771,44 6443,27 Syy 17129,42

𝑋𝑖 𝑌𝑖 5088,57 6145,21 7234,74 Sxy 18468,52

N

3

72

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

r= m= n=

r=

0,99

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,58

− 𝑥 𝑥

n=

28,58

Ø=

35,45

c=

35,08

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(35.45)𝜎𝑁 + 35.08

Ʈ = 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝛔𝐍 + 𝟑𝟓. 𝟎𝟖

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2CcosØ

σc = (1−senØ)=

2(35.08)(0..815) (1−0.58)

= 136.14 MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

𝜎𝑇𝑇 = (1+𝑠𝑒𝑛Ø)=

2(35.08)(0.815) (1+0.58)

=36.19 MPa

El resultado de la resistencia a la compresión calculada da mucho más que la resistencia a la compresión del ensayo ( 136.141MPa>39.17Mpa), igualmente para tracción (36.19 MPa > 5.52𝑀𝑃𝑎)

b) Cálculo con ecuaciones tesis. Por ecuación sin ∅ =

𝑅2−𝑅1 𝐶2−𝐶1

tenemos

Como se puede observar. Los senos calculados son diferentes al calculado por la regresión, como se advirtió en la sección 3.3.1.

Ahora calculamos el ángulo de fricción interna con ecuaciones tesis:

Ø = sin−1

𝝈𝑪 −𝟐𝝈𝑹𝑻 𝝈𝑪

Ø = sin−1

39.17−2(5.52) 39.17

Ø=45.9°

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

73

Tabla 4.3–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

142,69

2,48

72,585

70,105

2

156,86

4,9

80,89

75,97

3

170,4

9,9

90,13

80,27

1

142,69

2,48

72,585

70,105

Ahora K1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

senØ

R2-R1

C2-C1

0,71

5,87

8,31

0,47

4,30

9,24

0,58

10,17

17,55

(√5.52(39.17−5.52))∗(39.17) 2(39.17−5.52)

senØ

0,58

K1=7.93 MPa

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(45.9)σN + 7.93

Ahora C’=K1+TN

𝑇𝑁 =

Y

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟑𝛔𝐍 + 𝟕. 𝟗𝟑

𝑇𝑁 =

(2𝑅1−𝜎𝐶 )(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶 ) 2(𝐶2−𝐶1) cos Ø

(2 ∗ 70.105 − 39.17)(90.13 − 72.585) − (80.27 − 70.105)(2 ∗ 90.13 − 39.17) 2(90.13 − 72.585) cos 45.9

𝑇𝑁 =-13.865 MPa C’= -7.93+13.865=21.795 La nueva envolvente quedaría Ʈ = ta n(45.9) 𝜎𝑁 + 21.795 Ahora 𝑅 =

σ𝑅𝑇 𝜎𝐶

=(5.52)∗(39.17) 2(39.17−5.52)

2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

C’=21.795 MPa

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟑𝝈𝑵 +21.795 R=3.21MPa

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟓. 𝟓𝟐𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√5.52(39.17 − 5.52)=

ƮT=13.63MPa

74

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σc = (1−senØ)=

2(7.93)(0.696)

= 39.14MPa.

(1−0.718)

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT = (1+senØ)=

2(7.93)(0.696) (1+0.718)

=6.43MPa

Valor de 𝜎𝑇𝑇 mayor a la resistencia obtenida en el laboratorio, como es lógico. Ahora de acuerdo a nuestra teoría el valor 𝜎 𝑇𝑇 de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde 𝑅=

σ𝑅𝑇 𝜎𝐶 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

σ

𝜎

(5.52)(39.17)

𝐶 2𝑅 = (𝜎 𝑅𝑇 = =6.43 MPa −σ ) (39.17−5.52) 𝐶

𝑅𝑇

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

6.43=2*3.21

6.43≅6.42

Vemos claramente que los resultados son más ajustados a los calculados con las ecuaciones de la tesis; 99.4% en 𝜎𝐶 y 99.8% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de MohrCoulomb, éstos son el 348% más en 𝜎𝑐 , 563% más en 𝜎𝑇𝑇 . En la Figura 4-3 observamos una diferencia considerable entre las envolventes de los ensayos triaxiales y las envolventes Tracom y Tracom-triaxial, en cuanto al ángulo de fricción interno (diferencia de 10.45°) y cohesión (diferencia de 13.28MPa). Para efectos de diseño tomaríamos los resultados de Tracom ya que nos indica de una manera más clara que la roca tiene menos resistencia a esfuerzos de cizalla, parámetro importante en el diseño de excavaciones a cielo abierto y subterráneo.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

Figura 4-3:

75

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro.

4.4 Sulfuro masivo (cuerpo Zeus). Tabla 4.4–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de sulfuro masivo, cuerpo Zeus, mina Minera El Roble S.A. Colombia. 𝜎1

Ensayo MPa

𝜎3 MPa

Tracción

𝜎𝑅𝑇

Observación

Origen de

MPa

Dato

5.47

Anexo A

Brasilero Compresión

11.51

0

simple

Muestra

Anexo A

fisurada

Triaxial 1

119.43

2.46

Anexo A

Triaxial 2

---------

--------

Anexo A

Triaxial 3

163.89

9.84

Anexo A

Como en el ensayo de compresión simple se tuvo una muestra fisurada, este valor no es representativo de la resistencia a compresión del sulfuro masivo.

76

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

De los ensayos triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión de puntos máximos. a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

Tabla 4.4–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

𝑋𝑖 2

𝑌𝑖 2

𝑋𝑖 𝑌𝑖

1

119,43

2,46

60,945

58,485

3714,29

3420,50

3564,37

2

163,89

9,84

86,865 Sx 147,81

77,025 Sy 135,51

7545,53 Sxx 11259,82

5932,85 Syy 9353,35

6690,78 Sxy 10255,14

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,72

− 𝑥 𝑥

n=

14,89

Ø=

46,05

C=

21,45

r= m= n=

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

N

2

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(46.05)𝜎𝑁 + 21.45

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝝈𝑵 + 𝟐𝟏. 𝟒𝟓

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Con el ángulo de fricción interna, que no debería variar con dos ensayos triaxiales tenemos:

sin ∅ =

𝜎𝐶 −2𝜎𝑅𝑇 𝜎𝐶

Ahora 𝐾1 =

sin 46.05 =

(√𝜎𝑅𝑇 (𝜎𝐶 −𝜎𝑅𝑇 ))∗(𝜎𝐶 ) 2(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

𝜎𝐶 −2∗5.47 𝜎𝐶

𝐾1 =

0.72𝜎𝐶 =𝜎𝐶 -10.94

(√5.47(39.07−5.47))∗(39.07) 2(39.07−5.47)

𝝈𝑪 =39.07 MPa

K1=7.88 MPa

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

La ecuación de línea envolvente de Tracom es:

77

Ʈ = tan(46.05)𝜎𝑁 + 7.88 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝝈𝑵 + 𝟕. 𝟖𝟖

𝑇𝑁 =

Ahora C’=K1+TN 𝑇𝑁 =

(2𝑅1−𝜎𝐶 )(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶 ) 2(𝐶2−𝐶1) cos Ø

(2 ∗ 58.485 − 39.07)(86.865 − 60.945) − (77.025 − 58.485)(2 ∗ 60.945 − 39.07) 2(86.865 − 60.945) cos 46.05

𝑇𝑁 =13.444 MPa C’= 7.88+13.444=21.324

C’=21.324 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría

Ʈ = ta n(46.05) 𝜎𝑁 + 21.324

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝝈𝑵 +21.324 MPa Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σc = (1−senØ)=

2(7.88)(0.694) (1−0.72)

= 39.06MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT = (1+senØ)=

2(7.88)(0.694) (1+0.72)

=6.36MPa

Valor de 𝜎𝑇𝑇 mayor a la resistencia obtenida en el laboratorio, como es lógico. Ahora de acuerdo a nuestra teoría el valor σTT de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde

R=

σRT σC 2(σC −σRT )

2𝑅 =

σ𝑅𝑇 𝜎𝐶

=(5.47)(39.07) =6.36 MPa. (39.07−5.47)

(𝜎𝐶 −σ𝑅𝑇 )

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis.

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

78

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

2(21.45)(0.694)

𝜎𝐶 =(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=

(1−0.72)

= 106.33 MPa

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

2(21.45)(0.694)

𝜎𝐶 =(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=

(1−0.72)

= 106.33 MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb

σTT =

2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

2(21.45)(0.694)

=

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)

(1+0.72)

=-17.31 MPa.

Los resultados son más ajustados a los calculados con las ecuaciones de la tesis; 99.9% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de Mohr-Coulomb, éstos son el 272% más en 𝜎𝑐 316% más en 𝜎𝑇𝑇 Figura 4-4

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Sulfuro masivo (cuerpo Zeus)

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

79

4.5 Dique lutítico. Como en el ensayo de compresión simple se tuvo una muestra fisurada Colombia., este valor no es representativo de la resistencia a compresión del dique lutítico. Tabla 4.5–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales del dique lutítico mina Minera El Roble S.A. Colombia. 𝜎1

Ensayo

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa

Tracción

Observación

Origen de

MPa

Dato

6.78

Anexo A

Brasilero Compresión

12.85

0

Muestra

simple

Anexo A

fisurada

Triaxial 1

76.6

2.46

Anexo A

Triaxial 2

90.18

4.92

Anexo A

Triaxial 3

109.67

9.84

Anexo A

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

Tabla 4.5–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3

76,60 90,18 109,67

r= m= n=

2,46 4,92 9,84

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

39,53 47,55 59,755 Sx 146,835

37,07 42,63 49,915 Sy 129,615

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,63

− 𝑥 𝑥

n=

12,27

Ø=

39,05

C=

15,8

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

𝑋𝑖 2 1562,62 2261,00 3570,66 Sxx 7394,28

𝑌𝑖 2 1374,18 1817,32 2491,51 Syy 5683,01

𝑋𝑖 𝑌𝑖 1465,38 2027,06 2982,67 Sxy 6475,10

N

3

80

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(39.05)𝜎𝑁 + 15.8

Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟏𝝈𝑵 + 𝟏𝟓. 𝟖

b) Cálculo con ecuaciones tesis. 𝑹𝟐−𝑹𝟏

sin ∅ = 𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos: : Tabla 4.5–3. Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

𝜎1 + 𝜎3 2 Centro C

Radio ®

1

76,60

2,46

39,53

37,07

2

90,18

4,92

47,55

42,63

3

109,67

9,84

59,755

49,915

1

76,60

2,46

39,53

37,07

senØ

R2-R1

C2-C1

0,69

5,56

8,02

0,60

7,29

12,21

0,64

12,85

20,23

senØ

0,64

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, en este caso 0.64 (Ø= 39.79°°).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a la compresión con

sin ∅ =

𝜎𝐶 −2𝜎𝑅𝑇

sin 39.79 =

𝜎𝐶

Ahora K1 =

σC −2∗6.78

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

σC

𝐾1 =

0.64𝜎𝐶 =𝜎𝐶 -13.56

(√6.78(37.67−6.78))∗(37.67) 2(37.67−6.78)

𝝈𝑪 =37.67MPa

K1=8.82 MPa

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(39.79)σN + 8.82

Ahora C’=K1+TN

𝑇𝑁 =

y

Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟑𝟑𝐍 + 𝟖. 𝟖𝟐

𝑇𝑁 =

(2𝑅1−𝜎𝐶 )(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶 ) 2(𝐶2−𝐶1) cos Ø

(2 ∗ 37.07 − 37.67)(59.755 − 39.53) − (49.915 − 37.07)(2 ∗ 39.53 − 37.67) 2(59.755 − 39.53) cos 39.59

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

81

𝑇𝑁 =6.61 MPa C’= 6.61+8.82=15.43

C’=15.43 MPa

Ʈ = ta n(39.79) σN + 15.43

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría

Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟑𝟑𝝈𝑵 +15.43 Ahora R =

σRT σC

(6.78)∗(37.67) = 2(σC −σRT ) 2(37.67−6.78)

R=4.13MPa

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟕𝟖𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√6.78(37.67 − 6.78)=

ƮT=14.47MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σc = (1−senØ) =

2(8.82)(0.768)

=37.63MPa.

(1−0.64)

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT = (1+senØ)=

2(8.82)(0.768) (1+0.64)

=8.26MPa

Valor de 𝜎𝑇𝑇 mayor a la resistencia obtenida en el laboratorio, como es lógico. Ahora de acuerdo a nuestra teoría el valor σTT de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde

R=

σRT σC

2R =

2(σC −σRT )

σRT σC

=

(6.78)(37.67)

(σC −σRT ) (37.67−6.78)

=8.27 MPaσ

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 8.26≈2*4.14

𝜎𝑇𝑇 =2R

8.26≈8.28

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulmb 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

2(15.8)(0.777)

𝜎𝐶 =(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=

(1−0.63)

= 66.36 MPa

82

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(15.8)(0.777)

σTT =(1+senØ)=

(1+0.63)

=-15.06 MPa.

Vemos claramente que los resultados son más ajustados a los calculados con las ecuaciones de la tesis; 99.9% en 𝜎𝐶 y 99.8% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de MohrCoulomb, éstos son el 176% más en 𝜎𝑐 , 182% más en 𝜎𝑇𝑇 . Figura 4-5

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de dique lutítico.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

83

4.6 Chert negro grafitoso. Tabla 4.6–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro grafitoso, mina Minera El Roble S.A. Colombia. 𝜎1

Ensayo

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa

Tracción

Observación

Origen de

MPa

Dato

3.81

Anexo

Brasilero Compresión

28.04

0

Muestra

simple

Anexo A

fisurada

Triaxial 1

89.75

2.46

Anexo A

Triaxial 2

129.97

4.92

Anexo A

Triaxial 3

139.83

9.84

Anexo A

Como en el ensayo de compresión simple se tuvo una muestra fisurada, este valor no es representativo de la resistencia a compresión del chert negro grafitoso.

De los ensayos triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión de puntos máximos.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

Tabla 4.6–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3

89,75 129,97 139,83

2,46 4,92 9,84

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

46,105 67,445 74,835 Sx 188,385

43,645 62,525 64,995 Sy 171,165

𝑋𝑖 2 2125,67 4548,83 5600,28 Sxx 12274,78

𝑌𝑖 2 1904,89 3909,38 4224,35 Syy 10038,61

𝑋𝑖 𝑌𝑖 2012,25 4217,00 4863,90 Sxy 11093,15

N

3

84

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

r= m= n=

r=

0,99

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,77

− 𝑥 𝑥

n=

8,41

Ø=

50,35

C=

13,18

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(50.35)𝜎𝑁 + 13.18

Ʈ = 𝟏. 𝟐𝟎𝟕𝝈𝑵 + 𝟏𝟑. 𝟏𝟖

b) Cálculo con ecuaciones tesis. 𝑹𝟐−𝑹𝟏

Por ecuación sin ∅ = 𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos: Tabla 4.6–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

89,75

2,46

46,105

43,645

2

129,97

4,92

67,445

62,525

3

139,83

9,84

74,835

64,995

1

89,75

2,46

46,105

43,645

senØ

R2-R1

C2-C1

0,88

18,88

21,34

0,33

2,47

7,39

0,74

21,35

28,73

senØ

0,77

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, en este caso 0.74 (Ø= 47.73).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a la compresión con

sin ∅ =

𝜎𝐶 −2𝜎𝑅𝑇 𝜎𝐶

Ahora K1 =

sin 47.73 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

𝜎𝐶 −2∗3.81 𝜎𝐶

0.74𝜎𝐶 =𝜎𝐶 -7.62

𝝈𝑪 =29.31MPa

(√3.81(29.31−3.81))∗(29.31)

𝐾1 =

2(29.31−3.81)

K1=5.66 MPa

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

85

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(47.73)σN + 5.66

𝑇𝑁 =

Ahora C=K1+TN TN =

Ʈ = 𝟏. 𝟏𝝈𝐍 + 𝟓. 𝟔𝟔 (2𝑅1−𝜎𝐶 )(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶 ) 2(𝐶2−𝐶1) cos Ø

(2 ∗ 43.645 − 29.31)(74.835 − 46.105) − (64.995 − 43.645)(2 ∗ 46.105 − 29.31) 2(74.835 − 46.105) cos 47.73

𝑇𝑁 =8.35 MPa C’= 8.35+5.66=14.01

C’=14.01 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría

Ʈ = ta n(47.73) σN + 14.01 Ʈ = 𝟏. 𝟏𝛔𝐍 +14.01

σRT σC

Ahora R =

=(3.81)∗(29.31) 2(29.31−3.81)

R=2.19MPa

2(σC −σRT )

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟑. 𝟖𝟏 𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√3.81(29.31 − 3.81)=

ƮT=9.86MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σc = (1−senØ)=

2(5.66)(0.673) (1−0.74)

=29.3MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb.

𝜎𝑇𝑇 =

2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø

=2(5.66)(0.673) =4.38MPa (1+0.74)

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)

Valor de 𝜎𝑇𝑇 mayor a la resistencia obtenida en el laboratorio, como es lógico. Ahora de acuerdo a nuestra teoría el valor σTT de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde σ

σ

R = 2(σ RT−σC C

RT )

σ

σ

(3.81)(29.3)

C 2R = (σ RT = =4.38 MPa −σ ) (29.3−3.81) C

RT

86

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 4.38≈2*2.19

𝜎𝑇𝑇 =2R

4.38=4.38

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2CcosØ

2(13.18)(0.638)

𝜎𝐶 =(1−senØ)=

(1−0.77)

= 73.12 MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb

𝜎𝑇𝑇 =

2CcosØ

2(13.18)(0.638)

=

(1+senØ)

(1+0.77)

=-9.5 MPa.

Vemos claramente que los resultados son más ajustados a los calculados con las ecuaciones de la tesis; 99.9% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de MohrCoulomb, éstos son el 249% más en 𝜎𝑐 , 217% más en 𝜎𝑇𝑇 . Figura 4-6:

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro grafitoso.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

87

4.7 Formación mesa verde. Colorado. Tabla 4.7–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de la formación mesa verde. Colorado. 𝜎1

Ensayo MPa

𝜎3

𝜎𝑅𝑇

MPa

Tracción

Observación

Origen de

MPa

Dato

--------

Anexo B

Brasilero Compresión

250

0

Anexo A

Triaxial 1

385.3

11.4

Anexo C

Triaxial 2

511.1

22.8

Anexo C

Triaxial 3

667.0

57.0

Anexo C

simple

De los ensayos triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión de puntos máximos a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

Tabla 4.7–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima.

𝜎3

11,40 22,80 57,00

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

198,35 266,95 362 Sx 827,3

186,95 244,15 305 Sy 736,1

𝑋𝑖 2 39342,72 71262,30 131044,00 Sxx 241649,03

𝑌𝑖 2 34950,30 59609,22 93025,00 Syy 187584,53

𝑋𝑖 𝑌𝑖 37081,53 65175,84 110410,00 Sxy 212667,38

N

3

88

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

r= m= n=

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,72

− 𝑥 𝑥

n=

47,83

Ø=

46,05

C=

68,92

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(46.05)σN + 68.92

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝛔𝐍 + 𝟔𝟖. 𝟗𝟐

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

𝑹𝟐−𝑹𝟏

Por ecuación sin ∅ = 𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos: Tabla 4.7–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

385,30

11,40

198,35

186,95

2

511,10

22,80

266,95

244,15

3

667,00

57,00

362

305

1

385,30

11,40

198,35

186,95

senØ

R2-R1

C2-C1

0,83

57,20

68,60

0,64

60,85

95,05

0,72

118,05

163,65

senØ

0,72

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, en este caso 0.72(Ø= 46.05 °).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a la tracción con la ecuación.

sin ∅ =

σC −2σRT σC

sin 46.05

250−2𝜎𝑅𝑇 250

2σRT =70.01

𝝈𝑹𝑻 =35.01MPa

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

Ahora K1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

89

(√35.01(250−35.01))∗(250)

𝐾1 =

2(250−35.01)

K1=50.44 MPa

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(46.05)σN + 50.44

𝑇𝑁 =

Ahora C’=K1+TN

TN =

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝛔𝐍 + 𝟓𝟎. 𝟒𝟒 (2𝑅1−𝜎𝐶 )(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶 ) 2(𝐶2−𝐶1) cos Ø

(2 ∗ 186.95 − 250)(362 − 198.35) − (305 − 186.95)(2 ∗ 198.35 − 250) 2(362 − 198.35) cos 46.05

𝑇𝑁 =13.02 MPa C’= 13.02+50.44=63.46

C’=63.46 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría

Ʈ = 𝐭𝐚 𝐧(𝟒𝟔. 𝟎𝟓) 𝝈𝑵 + 𝟔𝟑. 𝟒𝟔 Ʈ = 𝟏. 𝟏𝛔𝐍 +14.01 MPa

σ

σ

Ahora R = 2(σ RT−σC C

=(35.01)∗(250) 2(250−35.01)

RT )

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

R=20.36MPa

𝛔𝐓 = 𝟑𝟓. 𝟎𝟏𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√35.01(250 − 35.01)=

ƮT=86.76MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σC =(1−senØ)=

2(50.44)(0.694) (1−0.72)

=250.04MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT =(1+senØ)=

2(50.44)(0.694) =40.70MPa (1+0.72)

Valor de 𝜎𝑇𝑇 mayor a la resistencia obtenida en el laboratorio, como es lógico. Ahora de acuerdo a nuestra teoría el valor σTT de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde

90

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

σ

σ

σ

R = 2(σ RT−σC C

σ

C 2R = (σ RT = −σ )

RT )

C

RT

(35.01)(250) =40.71 (250−35.01)

MPa

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

40.70≈2*20.36

40.70≅40.72

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2CcosØ

2(68.92)(0.694) = (1−0.72)

σC =(1−senØ)=

341.65 MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(68.92)(0.694) =-55.62 (1+0.72)

σTT=(1+senØ)=

MPa.

Vemos claramente que los resultados son más ajustados a los calculados con las ecuaciones de la tesis; 100% en 𝜎𝐶 y 99.9% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de MohrCoulomb, éstos son el 136.66% más en 𝜎𝑐 , 136.66 más en 𝜎𝑇𝑇 .

Figura 4-7: Colorado.

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de formación mesa verde,

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

91

4.8 Arenisca techo mina Villabona. España (1) Se tomarán los ensayos de las probetas que correspondan al rango de perforación similar para tener una muestra representativa. Si hay varias probetas ensayadas en el mismo rango de perforación se tomará el promedio de los resultados. Tabla 4.8–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de arenisca del techo mina Villabona. España.

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3 MPa

Tracción Brasilero

𝜎𝑅𝑇

Observación Origen de

MPa

Dato

7.46

AnexoC Prob. 2T,3Ty 4T

Compresión 84.47

0

simple Triaxial 1

Anexo C Probeta 5T

88.66

0.98

Anexo C Probeta 1T

Triaxial 2

89.74

1.96

Anexo C Probeta 1T

Triaxial 3

118.56

3.92

Anexo C Prob. 1T

De los ensayos triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión de puntos máximos.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

92

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 4.8–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3

88,66 89,74 118,56

r= m= n=

0,98 1,96 3,92

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

44,82 45,85 61,24 Sx 151,91

43,84 43,89 57,32 Sy 145,05

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,84

− 𝑥 𝑥

n=

5,64

Ø=

57,14

C=

10,395

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

𝑋𝑖 2 2008,83 2102,22 3750,34 Sxx 7861,39

𝑌𝑖 2 1921,95 1926,33 3285,58 Syy 7133,86

𝑋𝑖 𝑌𝑖 1964,91 2012,36 3510,28 Sxy 7487,54

N

3

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(57.14)σN + 10.395

Ʈ = 𝟏. 𝟓𝟒𝟖𝛔𝐍 + 𝟏𝟎. 𝟑𝟗𝟓

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Por ecuación sin ∅ =

𝐑𝟐−𝐑𝟏 𝐂𝟐−𝐂𝟏

tenemos:

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, Tabla 4.8–3 en este caso 0.82 (Ø= 55.085°).; y C=9.86 MPa

Ahora hallamos el ángulo con ecuaciones tesis tomando

sin ∅ =

σC −2σRT σC

sin ∅ =

84.47−2∗7.46 84.47

senØ=0.823

Ø=55.42°

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

93

Tabla 4.8–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

88,66

0,98

44,82

43,84

2

89,74

1,96

45,85

43,89

3

118,56

3,92

61,24

57,32

1

88,75

0,98

44,865

43,885

K1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

senØ

R2-R1

C2-C1

0,05

0,05

1,03

0,87

13,43

15,39

0,82

13,44

16,38

(√7.46(84.47−7.46))∗(84.47)

senØ

0,84

K1=13.145 MPa

2(84.47−7.46)

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(55.42)σN + 13.145

Ahora C=K1+TN

TN =

TN =

y

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟓𝝈𝐍 + 𝟏𝟑. 𝟏𝟒𝟓 (2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 43.84 − 84.47)(61.24 − 44.82) − (57.32 − 43.84)(2 ∗ 44.82 − 84.47) 2(61.24 − 44.82) cos 55.42

𝑇𝑁 =-0.911 MPa C’= -0.911+13.145=12.234 La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría

C’=12.234 MPa

Ʈ = ta n(55.42) σN + 12.234 Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟓𝐚𝐥𝛔𝐍 +12.234

Ahora = R =

σRT σC

=(7.46)∗(84.47) 2(84.47−7.46)

2(σC −σRT )

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇 ƮT=√σRT (σC − σRT )=√7.46(84.47 − 7.46)=

R=4.09MPa

𝛔𝐓 = 𝟖𝟒. 𝟒𝟕𝐌𝐏𝐚

ƮT=23.97MPa

94

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulmb 2K1cosØ

σc = (1−senØ)=

2(13.234)(0.568) (1−0.823)

=84.94MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT = (1+senØ)=

2(13.234)(0.568) (1+0.823)

=8.247MPa

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 8.247≈2*4.09

𝜎𝑇𝑇 =2R

8.247≅8.18

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulmb 2CcosØ

2(9.86)(0.573)

𝜎𝐶 =(1−senØ)=

(1−0.82)

= 62.72 MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb 2CcosØ

2(9.86)(0.573)

𝜎𝑇𝑇 =(1+senØ)=

(1+0.82)

=-6.2 MPa.

Igualmente a los ejemplos anteriores los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 99.45 en 𝜎𝐶 y 99.19% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 83.5 en 𝜎𝐶 y 82.3% en 𝜎𝑇𝑇

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

Figura 4-8: España

95

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de arenisca techo mina Villabona

4.9 Margas rojas techo mina Villabona. España Resultados ilógicos pues tiene mayor resistencia a compresión simple que a compresión confinada en los dos primeros ensayos (Tabla 4.9–1), sin embargo, de los ensayos triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión de puntos máximos.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C. (Tabla 4.9–2). La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(40.54) σN + 7.185

Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟕. 𝟏𝟖𝟓

96

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 4.9–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de Margas rojas techo mina Villabona. España

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3

𝜎𝑅𝑇

MPa

Tracción

Observación Origen de

MPa

Dato

7.46

Anexo C

Brasilero

Prob. 2T,3Ty 4T

Compresión 42.63

0

simple

Calculado

Anexo C

ecuaciones

Prob. 10T

tesisi. Triaxial 1

35.586

0.98

Anexo C Prob. 21T

Triaxial 2

41.411

1.96

Anexo C Prob. 21T

Triaxial 3

49.69

3.92

Anexo C Prob. 21T

Tabla 4.9–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3

35,59 41,41 49,69

r= m= n=

0,98 1,96 3,92

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

18,283 21,685 26,805 Sx 66,773

17,303 19,725 22,885 Sy 59,913

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,65

− 𝑥 𝑥

n=

5,46

Ø=

40,54

C=

7,185

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

𝑋𝑖 2 334,27 470,24 718,51 Sxx 1523,02

𝑌𝑖 2 299,39 389,08 523,72 Syy 1212,19

𝑋𝑖 𝑌𝑖 316,35 427,74 613,43 Sxy 1357,52

N

3

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

97

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

𝑹𝟐−𝑹𝟏

Por ecuación sin ∅ = 𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos: Tabla 4.9–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

𝜎1 + 𝜎3 2 Centro C

Radio ®

1

35,59

0,98

18,283

17,303

2

41,41

1,96

21,6855

19,7255

3

49,69

3,92

26,805

22,885

1

35,59

0,98

18,285

17,305

senØ

R2-R1

C2-C1

0,71

2,42

3,40

0,62

3,16

5,12

0,65

5,58

8,52

senØ

0,65

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, en este caso 0.65 (Ø= 40.54) Tenemos por ecuación sin ∅ =

σC −2σRT σC

Calculamos la resistencia a compresión 0.65𝜎𝐶 =𝜎𝐶 -2*7.46

𝝈𝑪 =42.63

Resultado, que, aunque con dos ensayos triaxiales está aún ilógico, con el tercer ensayo es un resultado aceptable.

K1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

(√7.46(42.63−7.46))∗(42.63)

K1=9.82 MPa

2(42.63−7.46)

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(40.54)σN + 9.82

Ahora C’=K1+TN TN =

y

Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟗. 𝟖𝟐

TN =

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 17.303 − 42.63)(26.805 − 18.283) − (22.885 − 17.303)(2 ∗ 18.283 − 42.63) 2(26.805 − 18.283) cos 40.54

𝑇𝑁 =-2.67 MPa C’= -2.67+9.82=7.15

C’=7.15 MPa

98

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

La nueva envolvente quedaría

Ʈ = ta n(40.54) σN + 7.15

Ahora R =

Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟓𝟓𝛔𝐍+7.15

σRT σC

(7.46)∗(42.63) = 2(σC −σRT ) 2(42.63−7.46)

R=4.52MPa

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟕. 𝟒𝟔𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√7.46(42.63 − 7.46)=

ƮT=16.2MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σC =(1−senØ)=

2(9.82)(0.76) (1−0.65)

=42.64MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT =(1+senØ)=

2(9.82)(0.76)

=9.04MPa

(1+0.65)

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

9.04≈2*4.52

9.04≅9.04

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

2(7.185)(0.76)

σC =(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=

(1−0.65)

=31.20 MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb 2CcosØ

2(7.185)(0.76)

𝜎𝑇𝑇 =(1+senØ)=

(1+0.65)

=6.62 MPa.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

99

Igualmente a los ejemplos anteriores los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 100% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 73.19 en 𝜎𝐶 y 73.23% en 𝜎𝑇𝑇 . Es de anotar, nuevamente, que los resultados de los ensayos triaxiales no son lógicos con respecto al resultado con la resistencia a compresión simple, pues estos últimos están dando menor que la resistencia a compresión simple.

Figura 4-9: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de margas rojas techo mina Villabona España

100

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

4.10 Granito de País Amarelo España.[24] Tabla 4.10–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito del país Amarelo. España.

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3 MPa

Tracción

𝜎𝑅𝑇

Observación Origen de

MPa

Dato

6.65

Anexo E

Brasilero Compresión 76.93

0

simple Triaxial 1

Promedio de Anexo E 12 ensayos

117.59

2.0

Promedio de Anexo E. 4 ensayos

Triaxial 2

130.9

4.0

Promedio de Anexo E. 4ensayos

Triaxial 3

167.26

6.0

Promedio de Anexo E. 4 ensayos

Triaxial 4

200.14

10.0

Promedio de Anexo E. 4 ensayos

Triaxial 5

222.57

12.0

Promedio de Anexo D. 2 ensayos

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento. a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(56.1)σN + 14.33

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟗𝛔𝐍 + 𝟏𝟒. 𝟑𝟑

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

101

Tabla 4.10–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5

117,59 130,90 167,26 200,14 222,57

a)

Xi

Yi

59,795 67,45 86,63 105,07 117,285

57,795 63,45 80,63 95,07 105,285

3575,44 4549,50 7504,76 11039,70 13755,77

3340,26 4025,90 6501,20 9038,30 11084,93

3455,85 4279,70 6984,98 9989,00 12348,35

Sx 436,23

Sy 402,23

Sxx 40425,18

Syy 33990,60

Sxy 37057,89

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,83

− 𝑥 𝑥

n=

7,99

Ø=

56,1

C=

14,33

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

m=

𝜎1 − 𝜎3 2

r=

𝑁 𝑥 − 𝑥

r=

n=

2,00 4,00 6,00 10,00 12,00

𝜎1 + 𝜎3 2

𝑥𝑥

𝑋𝑖 2

𝑌𝑖 2

𝑋𝑖 𝑌𝑖

N

5

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

Cálculo con ecuaciones tesis.

Hallamos el valor del ángulo con ecuaciones tesis. Tenemos por ecuación

sin ∅ =

76.93−2∗6.65

σC −2σRT σC

senØ=0.827

76.93

Por ecuación sin ∅ =

sin ∅ =

R2−R1 C2−C1

Ø=55.79°

tenemos Tabla 4.10–3

Los valores de latabla son el resultado de muchos promedios de ensayos, lo que nos lleva a concluir que se toma mejor la regresión por el buen número de ensayos efectuados, este caso 0.83 (Ø= 56.1°).; y C=14.33 MPa

K1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC )

(√6.65(76.93−6.65))∗(76.93)

2(σC −σRT )

2(76.93−6.65)

K1=11.83 MPa

102

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 4.10–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

117,59

2,00

59,795

57,795

2

130,90

4,00

67,45

63,45

3

167,26

6,00

86,63

80,63

4

200,14

10,00

105,07

95,07

5

22,57

12,00

17,285

5,285

1

117,59

2,00

59,795

57,795

0

0

1

senØ

R2-R1

C2-C1

0,74

5,66

7,66

0,90

17,18

19,18

0,78

14,44

18,44

1,02

-89,79

-87,79

1,24

52,51

42,51

senØ

0,83

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(55.79)σN + 11.83

Ahora C’=K1+TN TN =

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟕𝝈𝑵 + 𝟏𝟏. 𝟖𝟑

𝑇𝑁 =

y

(2𝑅1−𝜎𝐶 )(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶 ) 2(𝐶2−𝐶1) cos Ø

(2 ∗ 57.795 − 76.93)(117.285 − 59.795) − (105.285 − 57.795)(2 ∗ 59.795 − 76.93) 2(117.285 − 59.795) cos 55.79

𝑇𝑁 = 3.04 MPa C’= 3.04+11.83. =14.87

C’=14.87 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial. quedaría

Ʈ = ta n 55.79 σN + 14.87

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟕𝛔𝐍 +14.87

Ahora

σ

σ

(6.65)∗(76.93)

R = 2(σ RT−σC )=2(76.93−6.65) C

RT

R=3.64MPa

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟔𝟓𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√6.65(76.93 − 6.65)=

ƮT=21.62MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

103

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

𝜎𝐶 =(1−senØ)=

2(11.83)(0.562)

=76.86MPa.

(1−0.827)

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT =(1+senØ)=

2(11.83)(0.562)

=7.28MPa

(1+0.827)

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 7.28≈2*3.64

𝜎𝑇𝑇 =2R

7.28≅7.28

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

2(14.33)(0.558)

𝜎𝐶 =(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=

(1−0.83)

=94.07MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(14.33)(0.558)

σTT =(1+senØ)=

(1+0.83)

=8.74 MPa.

Igualmente a los ejemplos anteriores los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 99.9% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 122.3% en 𝜎𝐶 y 120.05% en 𝜎𝑇𝑇 .

104

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Figura 4-10: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito país Amarelo. España.

4.11 Granito de Mera Blanco España.[24] a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C. (Tabla 4.11–1)

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(56.1)σN + 24.26

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟗𝛔𝐍 + 𝟐𝟒. 𝟐𝟔

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

105

Tabla 4.11–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito de Mera Blanco. España.

𝜎1

Ensayo

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa

Tracción

Observación Origen de

MPa

Dato

6.12

Anexo F.

Brasilero Compresión 109.21

0

Promedio de Anexo F

simple

12 ensayos

Triaxial 1

180.17

2.0

Promedio de Anexo F. 4 ensayos

Triaxial 2

210.07

4.0

Promedio de Anexo F 4ensayos

Triaxial 3

230.53

6.0

Promedio de Anexo F. 4 ensayos

Triaxial 4

265.88

10.0

Promedio de Anexo F. 4 ensayos

Triaxial 5

299.71

12.0

Promedio de Anexo F. 2 ensayos

Triaxial 6

311.62

14.0

Anexo F

Tabla 4.11–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5 6

180,17 210,07 230,53 265,88 299,71 311,62

2,00 4,00 6,00 10,00 12,00 14,00

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

91,085 107,035 118,265 137,94 155,855 162,81 Sx 772,99

89,085 103,035 112,265 127,94 143,855 148,81 Sy 724,99

𝑋𝑖 2 8296,48 11456,49 13986,61 19027,44 24290,78 26507,10 Sxx 103564,90

𝑌𝑖 2 7936,14 10616,21 12603,43 16368,64 20694,26 22144,42 Syy 90363,10

𝑋𝑖 𝑌𝑖

8114,31 11028,35 13277,02 17648,04 22420,52 24227,76 Sxy 96716,00

N

6

106

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

r= m= n=

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,83

− 𝑥 𝑥

n=

13,53

Ø=

56,1

C=

24,26

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

sin ∅ =

Hallamos el valor del ángulo con ecuaciones tesis.

sin ∅ =

109.21−2∗6.12

σC −2σRT σC

senØ=0.887

109.21

Ø=62.5°

R2−R1

sin ∅ = C2−C1 tenemos (Tabla 4.11–3)

Por

El valor del ángulo entre el último y el primer ensayo triaxial es igual al valor del ángulo hallado por regresión. Tabla 4.11–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

180,17

2,00

91,085

89,085

2

210,07

4,00

107,035

103,035

3

230,53

6,00

118,265

112,265

4

265,88

10,00

137,94

127,94

5

299,71

12,00

155,855

143,855

6

311,62

14,00

162,81

148,81

1

180,17

2,00

91,085

89,085

senØ

R2-R1

C2-C1

0,87

13,95

15,95

0,82

9,23

11,23

0,80

15,68

19,68

0,89

15,92

17,92

0,71

4,96

6,96

0,83

-59,73

-71,73

senØ

0,83

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

𝐾1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

107

(√6.12(109.21−6.12))∗(109.21)

K1=13.3 MPa

2(109.21−6.12)

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(62.5)σN + 13.3

Ahora C’=K1+TN TN =

Ʈ = 𝟏. 𝟗𝟐𝛔𝐍 + 𝟏𝟑. 𝟑

TN =

y

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 89.085 − 109.21)(162.81 − 91.085) − (148.81 − 89.085)(2 ∗ 91.085 − 109.21) 2(162.81 − 91.085) cos 62.5

𝑇𝑁 = 8.89 MPa C’= 8.89+13.311.83. =22.19 La nueva envolvente quedaría

Ahora R =

σRT σC

C’=22.19 MPa

Ʈ = ta n 62.5 σN + 22.19

Ʈ = 𝟏. 𝟗𝟐𝛔𝐍 +22.19

=(6.12)∗(109.21) 2(109.21−6.12)

R=3.24MPa

2(σC −σRT )

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟏𝟐𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√6.12(109.21 − 6.12)=

ƮT=25.12MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

𝜎𝐶 =(1−senØ)=

2(13.3)(0.462) (1−0.887)

=108.75MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT =(1+senØ)=

2(13.3)(0.462) (1+0.887)

=6.51MPa

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

6.51≈2*3.24

6.51≅ 6.48

108

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2CcosØ

2(24.26)(0.558)

𝜎𝐶 =(1−senØ)=

(1−0.83)

=159.26MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

2(24.26)(0.558)

σTT =(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=

(1+0.83)

=14.79 MPa.

Igualmente a los ejemplos anteriores los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 99.5% en 𝜎𝐶 y 106.4% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 145.8% en 𝜎𝐶 y 241.7% en 𝜎𝑇𝑇 . Figura 4-11 España.

Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Mera Blanco.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

109

4.12 Granito de Villachán España.[24] Tabla 4.12–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito Villachán. España.

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3 MPa

Tracción

𝜎𝑅𝑇

Observación Origen de

MPa

Dato

6.93

Anexo G

Brasilero Compresión 116.07

0

simple Triaxial 1

Promedio de Anexo G 12 ensayos

143.82

2.0

Promedio de Anexo G 4 ensayos

Triaxial 2

162.89

4.0

Promedio de Anexo G. 4ensayos

Triaxial 3

189.69

6.0

Promedio de Anexo G. 3 ensayos

Triaxial 4

230.55

10.0

Promedio de Anexo G. 4 ensayos

Triaxial 5

262.84

15.0

Promedio de Anexo G. 2 ensayos

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(54.09)σN + 20.8

Ʈ = 𝟏. 𝟑𝟖𝛔𝐍 + 𝟐𝟎. 𝟖

110

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 4.12–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5

143,82 162,89 189,69 230,55 262,84

r= m= n=

2,00 4,00 6,00 10,00 15,00

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

72,91 83,445 97,845 120,275 138,92

70,91 79,445 91,845 110,275 123,92

5315,87 6963,07 9573,64 14466,08 19298,77

5028,23 6311,51 8435,50 12160,58 15356,17

5170,05 6629,29 8986,57 13263,33 17214,97

Sx 513,40

Sy 476,40

Sxx 55617,42

Syy 47291,98

Sxy 51264,20

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,81

− 𝑥 𝑥

n=

12,20

Ø=

54,09

C=

20,8

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

𝑌𝑖 2

𝑋𝑖 2

𝑋𝑖 𝑌𝑖

N

5

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Hallamos el valor del ángulo con ecuaciones tesis. sin ∅ =

116.07−2∗6.93 116.07

sin ∅ =

senØ=0.88

σC −2σRT σC

Ø=61.64°

El seno del ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial es 0.8 muy cercano al ángulo obtenido por regresión. (Tabla 4.12–3)

K1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

(√6.93(116.07−6.93))∗(116.07) 2(116.07−6.93)

K1=14.62 MPa

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(61.64)σN + 14.62

Ʈ = 𝟏. 𝟖𝟓𝟑𝝈𝐍 + 𝟏𝟒. 𝟔𝟐

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

111

Tabla 4.12–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

143,82

2,00

72,91

70,91

2

162,89

4,00

83,445

79,445

3

189,69

6,00

97,845

91,845

4

230,55

10,00

120,275

110,275

5

262,84

15,00

138,92

123,92

1

143,82

2,00

72,91

70,91

Ahora C’=K1+TN TN =

y

TN =

senØ

R2-R1

C2-C1

0,81

8,54

10,54

0,86

12,40

14,40

0,82

18,43

22,43

0,73

13,65

18,65

0,80

-53,01

-66,01

senØ

0,81

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 70.91 − 116.07)(138.92 − 72.91) − (123.92 − 70.91)(2 ∗ 72.91 − 116.07) 2(138.92 − 72.91) cos 61.64

𝑇𝑁 = 1.96 MPa C’= 1.96+14.62. =16.88 La nueva envolvente quedaría

𝜎

𝜎

𝑅 = 2(𝜎𝑅𝑇−𝜎𝐶 𝐶

C’=16.88 MPa

Ʈ = ta n 61.64 σN + 16.88 Ʈ = 𝟏. 𝟖𝟓𝛔𝐍 +16.88

=(6.93)∗(116.07) 2(116.07−6.93)

𝑅𝑇 )

R=3.685MPa

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟗𝟑𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√6.93(116.07 − 6.93)=

ƮT=27.5MPa

Con ecuaciones tesis

112

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σC =(1−senØ)=

2(14.62)(0.475) (1−0.88)

=115.74MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø

𝜎𝑇𝑇 =(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=

2(14.62)(0.475)

=7.39MPa

(1+0.88)

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 7.39≈2*3.685

𝜎𝑇𝑇 =2R

7.39≅7.37

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2CcosØ

2(20.8)(0.587)

σC =(1−senØ)=

(1−0.81)

=128.52MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(20.8)(0.587)

σTT =(1+senØ)=

(1+0.81)

=13.49 MPa.

Igualmente los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 99.7% en 𝜎𝐶 y 99.7% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 110.73% en 𝜎𝐶 y 182.54% en 𝜎𝑇𝑇 . Figura 4-12: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Villachán. España.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

113

4.13 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] Sector 1. Tabla 4.13–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita yacimiento El Teniente. Chile.

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3 MPa

Tracción

𝜎𝑅𝑇

Observación Origen de Dato

MPa 18

.

Anexo H

Brasilero Compresión 116.0

0

simple Triaxial 1

Promedio de Anexo H 9 ensayos

157.0

6.0

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

Triaxial 2

206.5

13.0

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

Triaxial 3

249.5

25.0

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

Triaxial 4

301.0

38.0

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

Triaxial 5

335.0

51.0

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(36.16)σN + 36.54

Ʈ = 𝟎. 𝟕𝟑𝟏𝛔𝐍 + 𝟑𝟔. 𝟓𝟒

114

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 4.13–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5

157,00 206,50 249,50 301,00 335,00

6,00 13,00 25,00 38,00 51,00

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

81,5 109,75 137,25 169,5 193,00

75,5 96,75 112,25 131,5 142,00

6642,25 12045,06 18837,56 28730,25 37249,00

5700,25 9360,56 12600,06 17292,25 20164,00

6153,25 10618,31 15406,31 22289,25 27406,00

Sx 691,00

Sy 558,00

Sxx 103504,13

Syy 65117,13

Sxy 81873,13

𝑋𝑖 2

r=

1,00

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,59

− 𝑥 𝑥

n=

29,50

Ø=

36,16

C=

36,54

𝑁 𝑥 − 𝑥

r=

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

m=

𝜎1 + 𝜎3 2

𝑥𝑥

n=

𝑌𝑖 2

𝑋𝑖 𝑌𝑖

N

5

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Hallamos Ø con la ecuación 116.0−2∗18.0

sin ∅ =

σC −2σRT σC

SenØ=0.69

116.0

Por ecuación 𝐬𝐢𝐧 ∅ =

sin ∅ =

𝑹𝟐−𝑹𝟏 𝑪𝟐−𝑪𝟏

Ø=43.63°

tenemos (Tabla 4.13–3)

Nuevamente el ángulo más próximo al hallado por regresión es el que está entre los ensayos triaxiales 1 y 5 (menor y mayor esfuerzo de confinamiento). Φ=36.87°; C=36.88 MPa σ

σ

(18.0)∗(116.0) = RT ) 2(116.0−18.0)

R = 2(σ RT−σC C

R=10.65 MPai

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

115

Tabla 4.13–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

157,00

6,00

81,5

75,5

2

206,50

13,00

109,75

96,75

3

249,50

25,00

137,25

112,25

4

301,00

38,00

169,5

131,5

5

335,00

51,00

193

142

1

157,00

6,00

81,5

75,5

senØ

R2-R1

C2-C1

0,75

21,25

28,25

0,56

15,50

27,50

0,60

19,25

32,25

0,45

10,50

23,50

0,60

-66,50

-111,50

senØ

0,59

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

K1 =

𝜎𝑇𝑇 =2*10.65

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

𝝈𝑻𝑻 =21.3MPa

(√18.0(116.00−18.0))∗(116.0)

K1=24.86 MPa

2(116.0−18.0)

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(43.63)σN + 24.86

Ahora C’=K1+TN

𝑇𝑁 =

y

Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟓𝟑𝛔𝐍 + 𝟐𝟒. 𝟖𝟔

TN =

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 75.5 − 116.0)(193 − 81.5) − (142.0 − 75.5)(2 ∗ 81.5 − 116.0) 2(193.0 − 81.5) 𝑐𝑜𝑠 43.63

𝑇𝑁 = 4.814MPa C’= 4.814+24.86. =29.674 La nueva envolvente quedaría

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

C’=29.674 MPa

Ʈ = ta n 43.63 σN + 29.674 Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟓𝟑𝝈𝑵 +29.674 𝛔𝐓 = 𝟏𝟖. 𝟎𝐌𝐏𝐚

116

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√18.0(116.0 − 18.0)=

ƮT=42.0MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σC =(1−senØ)=

2(24.86)(0.724) (1−0.69)

=116.124MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb.

σTT =

2K1cosØ

2(24.86)(0.724) = =21.3MPa (1+senØ) (1+0.69)

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

21.3≈2*10.65

21.3≅21.3

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(36.87)(0.8)

𝜎𝐶 =(1−senØ)=

(1−0.6)

=147.48MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(36.87)(0.8)

σTT =(1+senØ)=

(1+0.6)

=36.87 MPa.

Los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 100.1% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 81.8% en 𝜎𝐶 y 88.0% en 𝜎𝑇𝑇 .

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

117

Figura 4-13: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente. Sector 1. Chile

118

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

4.14 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] Sector 2. Tabla 4.14–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita yacimiento El Teniente. Chile.

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3 MPa

Tracción

𝜎𝑅𝑇

Observación Origen de Dato

MPa 13.0

.

Anexo H

Brasilero Compresión 120.0

0

simple Triaxial 1

Promedio de Anexo H. 3 ensayos

155.0

5.9

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Triaxial 2

212.0

11.0

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Triaxial 3

254.0

29.4

Promedio de Anexo H 1 ensayos

Triaxial 4

295.0

47.0

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Triaxial 5

333.0

49.0

Promedio de Anexo H 1 ensayos

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(34.06)σN + 39.12

Ʈ = 𝟎. 𝟔𝟕𝟔𝛔𝐍 + 𝟑𝟗. 𝟏𝟐

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

119

Tabla 4.14–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5

155,00 212,00 254,00 295,00 333,00

r= m= n=

5,90 11,00 29,40 47,00 49,00

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

80,45 111,5 141,7 171 191,00 0 Sx 695,65

74,55 100,5 112,3 124 142,00 0 Sy 553,35

r=

0,99

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,56

− 𝑥 𝑥

n=

32,41

Ø=

34,06

C=

39,12

𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

𝑋𝑖 2 6472,20 12432,25 20078,89 29241,00 36481,00 0,00 Sxx 104705,34

𝑌𝑖 2 5557,70 10100,25 12611,29 15376,00 20164,00 0,00 Syy 63809,24

𝑋𝑖 𝑌𝑖

5997,55 11205,75 15912,91 21204,00 27122,00 0,00 Sxy 81442,21

N

5

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Hallamos Ø con ecuación

sin ∅ =

120.0−2∗13.0

sin ∅ =

σC −2σRT σC

SenØ=0.783

120.0 R2−R1

Por ecuación sin ∅ =

C2−C1

Ø=51.54

tenemos

El ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial, nuevamente, es el más cercano al hallado por regresión. (Tabla 4.14–3) Φ=37.59°; C=40.9 MPa

Ahora R =

σRT σC

=(13.0)∗(120.0) 2(120.0−13.0)

2(σC −σRT )

R=7.29 MPa

120

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 4.14–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎1 − 𝜎3 2

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎3

Ensayo

Centro C

Radio ®

1

155,00

5,90

80,45

74,55

2

212,00

11,00

111,5

100,5

3

254,00

29,40

141,7

112,3

4

295,00

47,00

171

124

5

333,00

49,00

191

142

1

155,00

5,90

80,45

74,55

senØ

R2-R1

C2-C1

0,84

25,95

31,05

0,39

11,80

30,20

0,40

11,70

29,30

0,90

18,00

20,00

0,61

-67,45

-110,55

senØ

0,56

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

K1 =

𝜎𝑇𝑇 =2*7.29

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

𝝈𝑻𝑻 =14.58MPa

(√13.0(120.00−13.0))∗(120.0) 2(120.0−13.0)

K1=20.91 MPa

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(51.54)σN + 20.91

Ahora C’=K1+TN

𝑇𝑁 =

TN =

Ʈ = 𝟏. 𝟐𝟔𝛔𝐍 + 𝟐𝟎. 𝟗𝟏 (2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 74.55 − 120.0)(191 − 80.45) − (142.0 − 74.55)(2 ∗ 80.45 − 120.0) 2(191.0 − 80.45) 𝑐𝑜𝑠 51.54

𝑇𝑁 = 3.33MPa C’3.33+20.91. =24.24 La nueva envolvente quedaría

C’=24.24 MPa

Ʈ = ta n 51.54 σN + 24.24 Ʈ = 𝟏. 𝟐𝟔𝛔𝐍 +24.24

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟏𝟑. 𝟎𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√13.0(120.0 − 13.0)

ƮT=37.30MPa

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

121

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σC =(1−senØ)=

2(20.91)(0.622) (1−0.783)

=119.87MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

𝜎𝑇𝑇 =(1+senØ)=

2(20.91)(0.622) (1+0.783)

=14.59MPa

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

14.59≈2*7.29

14.59≅ 14.58

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb

σC =

2CcosØ

2(40.9)(0.79)

=

(1−senØ)

(1−0.61)

=165.7MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(40.9)(0.79)

σTT =(1+senØ)=

(1+0.61)

=39.98 MPa.

Los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 99.9% en 𝜎𝐶 y 99.9% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 122.7% en 𝜎𝐶 y 284.65% en 𝜎𝑇𝑇 .

122

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Figura 4-14: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente. Sector 2. Chile

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

123

4.15 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] Sector 3. Tabla 4.15–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita yacimiento El Teniente. Chile.

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3 MPa

Tracción

𝜎𝑅𝑇

Observación Origen de Dato

MPa 11.0

.

Anexo H

Brasilero Compresión 128.0

0

simple Triaxial 1

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

132.0

5.0

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Triaxial 2

195.33

15.0

Promedio de Anexo H. 3 ensayos

Triaxial 3

263.0

30.0

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

Triaxial 4

249.0

40.0

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Triaxial 5

395.0

53

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(42.84)σN + 20.78

Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟐𝟕𝛔𝐍 + 𝟐𝟎. 𝟕𝟖

124

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Tabla 4.15–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5

132,00 195,33 263,00 249,00 395,00

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

68,5 105,165 146,5 144,5 224,00 0 Sx 688,67

63,5 90,165 116,5 104,5 171,00 0 Sy 545,67

𝑋𝑖 2

r=

0,99

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,68

− 𝑥 𝑥

n=

15,24

Ø=

42,84

C=

20,78

𝑁 𝑥 − 𝑥

r= m=

5,00 15,00 30,00 40,00 53,00

𝜎1 + 𝜎3 2

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

𝑥𝑥

n=

4692,25 11059,68 21462,25 20880,25 50176,00 0,00 Sxx 108270,43

𝑌𝑖 2 4032,25 8129,73 13572,25 10920,25 29241,00 0,00 Syy 65895,48

𝑋𝑖 𝑌𝑖

4349,75 9482,20 17067,25 15100,25 38304,00 0,00 Sxy 84303,45

N

5

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Hallamos Ø de la ecuación sin ∅ =

sin ∅ =

128.0−2∗11

σC −2σRT σC

SenØ=0.828

128.0

Ø=55.89°

𝑹𝟐−𝑹𝟏

Por ecuación sin ∅ = 𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos Se cumple nuevamente que el ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial es el más cercano al hallado por regresión. (Tabla 4.15–3). Φ=43.63°; C=21.06 MPa

Ahora R =

σRT σC

=(11.0)∗(128.0) 2(128.0−11.0)

2(σC −σRT )

R=6.02 MPa

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

125

Tabla 4.15–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

132,00

5,00

68,5

63,5

2

195,33

15,00

105,165

90,165

3

263,00

30,00

146,5

116,5

4

249,00

40,00

144,5

104,5

5

395,00

53,00

224

171

1

132,00

5,00

68,5

63,5

senØ

R2-R1

C2-C1

0,73

26,67

36,67

0,64

26,34

41,34

6,00

-12,00

-2,00

0,84

66,50

79,50

0,69

-107,50

-155,50

senØ

0,68

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

K1 =

𝜎𝑇𝑇 =2*6.02

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

𝝈𝑻𝑻 =12.04MPa

(√11.0(128.00−11.0))∗(128.0)

K1=19.624 MPa

2(128.0−11.0)

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(55.89)σN + 19.624

Ahora C’=K1+TN

TN =

y

TN =

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟖𝛔𝐍 + 𝟏𝟗. 𝟔𝟐𝟒 (2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 63.5 − 128.0)(224 − 68.5) − (171.0 − 63.5)(2 ∗ 68.5 − 128.0) 2(224.0 − 68.5) cos 55.89

𝑇𝑁 = −6.44MPa C=-6.44+19.624. =13.184

C’=13.184 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría

Ʈ = 𝐭𝐚 𝐧 𝟓𝟓. 𝟖𝟗 𝝈𝑵 + 𝟏𝟑. 𝟏𝟖𝟒 𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟖𝛔𝐍 +13.184 𝛔𝐓 = 𝟏𝟏. 𝟎𝐌𝐏𝐚

126

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√11.0(128.0 − 11.0)=

ƮT=35.875MPa

Con ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σC =(1−senØ)=

2(19.624)(0.561) (1−0.828)

=128.01MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2K1cosØ

σTT =(1+senØ)=

2(19.624)(0.561) (1+0.828)

=12.04MPa

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 12.04≈2*6.02

𝜎𝑇𝑇 =2R

12.04≅12.04

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión y ángulo de fricción encontrados con la regresión de los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(21.06)(0.72)

σC =(1−senØ)=

(1−0.69)

=97.83MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ

2(21.06)(0.72)

σTT =(1+senØ)=

(1+0.69)

=17.94 MPa.

Los resultados son más ajustados con ecuaciones tesis.

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

127

Figura 4-15: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente. Sector 3. Chile

128

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

4.16 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] Sector 4. Tabla 4.16–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita yacimiento El Teniente. Chile.

𝜎1

Ensayo

MPa

𝜎3 MPa

Tracción

𝜎𝑅𝑇

Observación Origen de Dato

MPa 17.0

.

Anexo H

Brasilero Compresión 117.0

0

simple Triaxial 1

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

133.0

5.6

Promedio de Anexo H 1 ensayos

Triaxial 2

167.5

9.8

Promedio de Anexo H. 2 ensayos

Triaxial 3

201.0

20.8

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Triaxial 4

213.0

30.7

Promedio de Anexo H. 1 ensayos

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento. a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y cohesión C.

La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan(35.45)σN + 29.79

Ʈ = 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝛔𝐍 + 𝟐𝟗. 𝟕𝟗

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

129

Tabla 4.16–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 𝜎1

𝜎3

Ensayo

1 2 3 4 5

133,00 167,50 201,00 213,00 273,00

5,60 9,80 20,80 30,70 39,20

𝜎1 − 𝜎3 2

Xi

Yi

69,3 88,65 110,9 121,85 156,10 0 Sx 546,80

63,7 78,85 90,1 91,15 116,90 0 Sy 440,70

𝑋𝑖 2 4802,49 7858,82 12298,81 14847,42 24367,21 0,00 Sxx 64174,76

r=

0,99

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

m=

0,58

− 𝑥 𝑥

n=

24,27

Ø=

35,45

C=

29,79

r=

𝑁 𝑥 − 𝑥 𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁

m= n=

𝜎1 + 𝜎3 2

𝑥𝑥

𝑌𝑖 2 4057,69 6217,32 8118,01 8308,32 13665,61 0,00 Syy 40366,96

𝑋𝑖 𝑌𝑖

4414,41 6990,05 9992,09 11106,63 18248,09 0,00 Sxy 50751,27

N

5

−

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Hallamos Ø de la ecuación sin ∅ =

sin ∅ =

117.0−2∗17

σC −2σRT σC

Sen Ø=0.709

117.0

Por ecuación sin ∅ =

𝐑𝟐−𝐑𝟏 𝐂𝟐−𝐂𝟏

Ø=45.15°

tenemos

Se cumple nuevamente que el ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial es el más cercano al hallado por regresión. (Tabla 4.16–3). Φ=37.59°; C=30.63 MPa

Ahora R =

σRT σC

=(17.0)∗(117.0) 2(117.0−17.0)

2(σC −σRT )

R=9.95 MPa

130

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Sí se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

𝜎𝑇𝑇 =2*9.95

𝝈𝑻𝑻 =19.9MPa

Tabla 4.16–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna. 𝜎1

𝜎1 + 𝜎3 2

𝜎3

Ensayo

𝜎1 − 𝜎3 2

Centro C

Radio ®

1

133,00

5,60

69,3

63,7

2

167,50

9,80

88,65

78,85

3

201,00

20,80

110,9

90,1

4

213,00

30,70

121,85

91,15

5

273,00

39,20

156,1

116,9

1

133,00

5,60

69,3

63,7

K1 =

(√σRT (σC −σRT ))∗(σC ) 2(σC −σRT )

K1 =

senØ

R2-R1

C2-C1

0,78

15,15

19,35

0,51

11,25

22,25

0,10

1,05

10,95

0,75

25,75

34,25

0,61

-53,20

-86,80

(√17.0(117.00−17.0))∗(117.0)

senØ

0,68

K1=24.12 MPa

2(117.0−17.0)

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(45.15)σN + 24.12

Ahora C’=K1+TN

TN =

y

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟎𝛔𝐍 + 𝟐𝟒. 𝟏𝟐

TN =

(2R1−σC )(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC ) 2(C2−C1) cos Ø

(2 ∗ 63.7 − 117.0)(156.1 − 69.3) − (116.9.0 − 63.7)(2 ∗ 69.3 − 117.0) 2(156.10 − 69.3) cos 45.15

𝑇𝑁 = −2.02MPa C=-2.02+24.12. =22.10

C’=22.10 MPa

La nueva envolvente quedaría

Ʈ = ta n 45.15 σN + 22.10

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟎𝛔𝐍 +22.10

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

131

𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇

𝛔𝐓 = 𝟏𝟕. 𝟎𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT (σC − σRT )=√17.0(117.0 − 17.0)=

ƮT=41.23MPa

Con resultados ecuaciones tesis.

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2K1cosØ

σC =(1−senØ)=

2(24.12)(0.705) (1−0.709)

=116.87MPa.

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb.

σTT =

2K1cosØ

=2(24.12)(0.705) =19.90MPa (1+0.709)

(1+senØ)

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis. 𝜎𝑇𝑇 =2R

19.9≈2*9.95

19.9≅ 19.9

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb 2CcosØ

2(30.63)(0.79)

𝜎𝐶 =(1−senØ)=

(1−0.61)

=124.09MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb. 2CcosØ 2(30.63)(0.79)

𝜎𝑇𝑇 =(1+senØ)

(1+0.61)

==30.06 MPa.

Igualmente a los ejemplos anteriores los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 99.89% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 109.8% en 𝜎𝐶 y 176.12% en 𝜎𝑇𝑇 .

132

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Figura 4-16: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente. Sector 4. Chile

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

133

Tabla 4.16–4: Resumen de cálculos de ángulo de fricción interna y cohesión de la Andesita yacimiento El teniente. Chile, con regresión y ecuaciones tesis PARAMETRO

SECTOR 1 MPa

Ensayo brasilero 𝜎 𝑡

Radio (R)=

2

2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø (1−𝑠𝑒𝑛Ø) 2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

𝜎𝑇𝑇 =

REGRESIÓN

SECTOR 3 EC. TESISI

MPa

REGRESIÓN

SECTOR 4 EC. TESISI

11

120

MPa

REGRESIÓN

EC. TESISI

17

128

117

36.16

43.63

34.06

51.51

42.84

55.89

35.45

45.15

36.54

24.86 10.65

39.12

20.91 7.29

20.78

19.62 6.02

29.79

34.12 9.95

(MPa)

21.3

14.58

12.04

19.9

(MPa)

147.48

116.12

165.7

119.87

97.83

128.01

124.096

116.87

MPa)

36.87

21.3

39.98

14.59

17.94

12.04

30.06

19.9

0.82

1.00

1.23

0.999

0.74

1.00

1.1

0.999

0.88

1.00

2.85

1.00

1.51

1.00

1.5

1.00

(1+𝑠𝑒𝑛Ø) 𝜎𝐶 𝑀𝑜ℎ𝑟−𝐶𝑜𝑢𝑙

Relación

𝜎𝐶 𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜 𝜎𝑇𝑇 𝑀𝑜ℎ𝑟−𝐶𝑜𝑢𝑙

Relación

SECTOR2 MPa

13

𝜎𝑇𝑇 Esfuerzo máx a tracción. (MPa) Criterio de Mohr-Coulomb 𝜎𝐶 =

EC. TESISI

18

Ensayo compresión simple 𝜎𝐶 116 Ángulo de fricción interna Ø (°) Cohesión C (MPa) 𝜎𝑇𝑇

REGRESIÓN

𝜎𝑇𝑇

134

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Tabla 4.16–5: Comparativo de ángulo de fricción interna, cohesión, resistencia a compresión y resistencia a tracción de la Andesita yacimiento El teniente. Chile, con regresión, ecuaciones tesis y programa rockdata. PARAMETRO

SECTOR 1 MPa

Ensayo brasilero 𝜎𝑅𝑇

18

Ensayo compresión simple 𝜎𝐶 Ángulo de fricción interna Ø Cohesión C (MPa)

116

𝜎𝑇𝑇

Radio (R)=

2

REGRESIÓN

11

Ensayo compresión simple 𝜎𝐶 Ángulo de fricción interna Ø Cohesión C (MPa)

128

41 22

147.48

21.3 116.12

121

36.87

21.3

7

REGRESIÓN

EC. TESISI

PROGRAMA ROCKDATA

37.59 40.9

51.54 24.24 7.29

35 26

165.7

14.58 119.87

130

39.98

14.59

18

EC. TESISI

SECTOR 4 PROGRAMA ROCKDATA

REGRESIÓN

EC. TESISI

PROGRAMA ROCKDATA

39 22

37.59 30.63

45.15 22.1 9.95

36 20

MPa

17 117 43.63 21.06

(MPa)

2R= 𝜎𝑇𝑇 (MPa) 𝜎𝐶 Esfuerzo máx a compresión. (MPa) 𝜎𝑇𝑇 Esfuerzo máx a tracción. (MPa)

REGRESIÓN

SECTOR 3

Ensayo brasilero 𝜎𝑅𝑇

2

43.63 29.67 10.65

(MPa)

MPa

𝜎𝑇𝑇

MPa

120

PARAMETRO

Radio (R)=

SECTOR2 PROGRAMA ROCKDATA

13 36.87 36.88

2R= 𝜎𝑇𝑇 (MPa) 𝜎𝐶 Esfuerzo máx a compresión. (MPa) 𝜎𝑇𝑇 Esfuerzo máx a tracción. (MPa)

EC. TESISI

55.89 13.88 6.02

97.83

12.04 128.01

116

124.09

19.9 116.87

104

17.94

12.04

11

30.06

19.9

13

5. Conclusiones y recomendaciones 5.1 Conclusiones Después de haber analizado, en capítulo 4 “Utilización y validación de ecuaciones Capitulo 3”, la aplicación de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción, podríamos concluir que se lograron los objetivos propuestos en el inicio del presente trabajo.

Con la deducción de las ecuaciones, las cuales son sencillas y fáciles de manipular, se tiene la posibilidad de obtener información de las propiedades intrínsecas de una roca de manera rápida y económica, en relación con la obtención de estas mismas propiedades de la roca de la manera actual, que requiere de un tratamiento de muestras y ensayos trixiales costosos y demorados.

Las ecuaciones están operando casi al 100% con la teoría de falla de Mohr-Coulomb, teoría en que se apoya esta investigación. Esto se comprueba en que en la totalidad de los ejemplos realizados los valores de resistencia a compresión y a tracción hallados por ecuaciones dan como resultado, en su cálculo, la resistencia a compresión y a tracción de Mohr Coulomb, con datos de cohesión (K1) y ángulo de fricción interna (Ø) hallados por ecuaciones tesis. Añadiendo a esto que la resistencia global del macizo dada por Hoek y Brown es la misma de Mohr Coulomb, sólo que dan valores de cohesión C’ que en nuestro análisis C´= K1+TN.

Como se pudo observar, en el capítulo 4, ejercicios 4.2,4.4,4.6, 4.7, y 4.9, las ecuaciones son un complemento ideal para la información que se tenga de ensayos triaxiales y viceversa. En estos casos para hallar el esfuerzo de rotura a tracción 𝜎𝑅𝑇 , o el esfuerzo a compresión 𝜎𝑐 ,tomando el ángulo de fricción interno de los ensayos triaxiales del menor y mayor confinamiento respectivamente. Nos da un R2=0.995 y m=1.064 (46.78°) para la relación de Cohesión C’ (cohesión por ecuación tesis) y C (cohesión por regresión) Anexo

136

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

H. Para la resistencia a compresión de Mohr-Coulomb nos da un R2=1.0 y un m=1.0 (45°) con cálculo ecuación tesis (como debería dar por la manera en que se dedujeron las ecuaciones), mientras con cálculo regresión nos da un R2=0.947 y m=1.283 (52°). Anexo I En el capítulo 4, ejercicios 4.3, 4.8, 4.10, 4.11 y 4.12, donde tenemos información de ensayos a compresión simple, ensayos a tracción y ensayos triaxiales de las rocas, se realizaron relaciones de Cohesión C’ (ecuación, tesis) y cohesión C (regresión); relación de Ø de ecuación tesis y Ø de regresión dando como resultados para la cohesión de R2=0.814 y m=2.01 (63.5°) y para Ø un R2= 0.74 y m=1.16 (49.2°).Anexo J, lo que nos indica que hay muy buena relación en el Ø y en cohesión nos da un ángulo, en la relación, muy alto debido a que la cohesión hallada por regresión siempre es más alta de la real. Para la resistencia a compresión de Mohr-Coulomb nos da un R2=1.0 y un m=0.995 (44.9°) con cálculo ecuación tesis (como debería dar por la manera en que se dedujeron las ecuaciones), mientras con cálculo regresión nos da un R2=0.024 y m=0.193 (10.9°). Para la resistencia a tracción de Mohr-Coulomb nos da un R2=0.999 y un m=1.02 (45.6°) con cálculo ecuación tesis (como debería dar por la manera en que se dedujeron las ecuaciones), mientras con cálculo regresión nos da un R2=0.548 y m=-12.107. Anexo K, lo que indica los buenos resultados que nos arrojan las ecuaciones deducidas, de una manera fenomenológica, en la tesis.

En el capítulo 4, ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16, donde se tienen datos de resistencia a compresión simple, resistencia a tracción, ensayos triaxiales y resultados del programa rockdata, se realizaron diferentes relaciones entre los resultados de ecuaciones tesis, regresión y rockdata dando como resultados, en forma general, que las ecuaciones tesis son las de mejor y más confiable comportamiento en todos los resultados de resistencias, ángulos de fricción y cohesión. Anexo L y anexo M

Con ecuaciones tesis se agiliza la información de trabajo en campo, púes se pueden obtener valores de las propiedades de una roca de una manera inmediata, realizando ensayos como carga puntual y tracción brasilera en el sitio de trabajo o al final de la jornada de cada día de labores.

Se presenta una herramienta para una buena evaluación preliminar de macizos rocosos en áreas donde se tengan proyectos de ingeniería sin necesidad de recurrir a perforaciones de exploración para tomar muestra (testigos).

Concusiones y recomendaciones

137

Con estas ecuaciones se podría emprender una campaña de caracterización, en zonas regionales, de macizos rocosos y así tener un mapa geomecánico regional que serían de gran utilidad para estudios de prefactibilidad de proyectos ingenieriles.

De una manera más puntual se está presentando una herramienta muy útil para proyectos viales, ya que con un recorrido en superficie de la zona del proyecto y realizando ensayos en el mismo sitio, se tendría la información necesaria para el tratamiento de taludes de las futuras vías de una manera rápida, económica y confiable.

Para trabajos de minería, tanto en superficie como subterránea, se presenta una alternativa de evaluación preliminar para toma de decisiones en la estabilidad de taludes y sostenimiento interior mina de una manera rápida.

5.2 Recomendaciones. Las ecuaciones deducidas, de una manera fenomenológica, serán de gran utilidad para evaluaciones preliminares de las propiedades de una roca, sin embargo, para determinación final de diseño, por ejemplo, el diseño de pilares en minería subterránea, es recomendable tomar testigos y realizarles ensayos triaxiales y a compresión simple para comparar y así tener una mejor información y realizar un diseño con mayor confiabilidad., aunque realmente un pilar subterráneo es un ensayo a compresión simple y tracción brasilera a gran escala, por lo que recomiendo tomar más en cuenta los valores de ecuaciones tesis.

Es de anotar que para dar protagonismo a las ecuaciones tesis es necesario realizar una validación de las mismas con probetas artificiales que se puedan tomar como un material homogéneo e isotrópico, probetas de cemento con yeso, por ejemplo, y que sean sometidas a ensayos de compresión simple, ensayo de tracción brasilero y ensayos triaxiales.

No se puede perder de vista que estas ecuaciones se refieren también a roca intacta, por lo que se debe tener una clasificación del macizo en el estudio para el diseño de proyectos.

138

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Con la deducción de las ecuaciones se abren nuevas posibilidades de investigación en relación a algunas de ellas, como por ejemplo la ecuación 𝜎𝑇 =𝜎𝑅𝑇 = 𝜎𝑁 , podría ser tema de investigación para una nueva teoría de criterio de falla en función de energía , de deformaciones o esfuerzos de cizalla, ya que el presente trabajo sólo tuvo en cuenta esfuerzos normales.

Se abre la posibilidad de crear grupos de trabajo para realizar un mapeo geomecánico zonal, a nivel municipal departamental o nacional. Estos grupos pueden ser estudiantes para un proyecto de grado, grupo de investigación, grupos gubernamentales etc., teniendo en cuenta que las características intrínsecas de la roca se podrían determinar con las ecuaciones y solo necesitaríamos un equipo de ensayo de carga puntual y el mismo equipo u otro para ensayos de tracción brasilero por equipó de trabajo.

Es conveniente tomar valores de mínimo 5 ensayos por roca para determinar un valor promedio de resistencia a compresión y resistencia atracción.

A. Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas Minera El Roble.

140

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo A. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas 141 Minera El Roble.

142

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo A. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas 143 Minera El Roble.

144

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo A. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas 145 Minera El Roble.

146

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo A. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas 147 Minera El Roble.

148

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo A. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas 149 Minera El Roble.

150

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

B. Anexo: formación

Ensayos mesa verde,

triaxiales Colorado

152

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

C. Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España.

154

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo C. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España..

155

156

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo C. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España..

157

158

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo C. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España..

159

160

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo C. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España..

161

162

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo C. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España..

163

164

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

D. Anexo: Ensayos compresión simple, triaxiales y tracción brasilera muestras de granito País Amarelo. España.

166

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

E. Anexo: Ensayos triaxiales muestras de granito Mera Blanco. España.

168

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

F. Anexo: muestras España.

Ensayos de granito

triaxiales Villachán.

170

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

G. Anexo: Ensayos triaxiales Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central. Obtención de parámetros por programa Rockdata.

172

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Anexo G: Ensayos triaxiales Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central. Obtención de parámetros por programa Rockdata

173

H. Anexo: Relación C’ (Cohesión tracom-triaxial) vs C. (Cohesión regresión) de ejercicios 4.2, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis.

176

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Relación C' vs C 80

70

y = 1.0642x R² = 0.9954

Cohesión C ( MPa) (Regresión)

60

50

40

30

20

10

0 0

10

20

30

40

Cohesión C' (MPa) (Ec. tesis)

50

60

70

I. Anexo: Relación σ C , σ TT hallado en laboratorio vs σ C , σ TT ecuación tesis y σ C , σ TT por regresión de ejercicios 4.2, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis.

178

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis y σc regresión. 400 y = 1.2829x + 19.756 R² = 0.947

350

σc ec. tesis. (MPa) σc regresión (MPa)

300 250 200 150

y = 1.0001x - 0.0166 R² = 1

100 50 0 0

50

100

150

200

250

300

σc laboratorio (MPa)

Relación σTT laboratorio vs σTT ec. tesis y σTT regresión. 60

σTT ec. tesis. (MPa) σTT regresión (MPa)

50 y = 1.2672x + 3.4387 R² = 0.9346

40 30

y = 0.9994x + 0.0045 R² = 1

20 10 0 0

5

10

15

20

25

30

σTT laboratorio (MPa)

35

40

45

J. Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C y Ø (Cohesión regresión) de ejercicios 4.3, 4.8, 4.10, 4.11 y 4.12, capítulo 4 de tesis.

180

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Relación C' vs C 40

Cohesión C ( MPa) (Regresión

35

y = 2.0164x - 14.61 R² = 0.8135

30 25 20 15 10 5 0 0

5

10

15

20

25

Cohesión C' (MPa) (Ec. tesis)

φ regresion

Relación φ ec. Tesis vs φ regresion 70 60 50 40 30 20 10 0

y = 1.1567x - 13.696 R² = 0.7377

0

10

20

30

40

φ ec. Tesis

50

60

70

K. Anexo: Relación σ C , σ TT hallado en laboratorio vs σ C , σ TT ecuación tesis y σ C , σ TT por regresión de ejercicios 4.3, 4.8, 4.10, 4.11 y 4.12 capítulo 4 de tesis.

182

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis y σc regresión. 180 160 y = 0.1933x + 99.681 R² = 0.0241

σc ec. tesis. (MPa) σc regresión (MPa)

140 120 100 80

y = 0.9947x + 0.3657 R² = 0.9999

60 40 20 0 0

20

40

60

80

100

σc laboratorio (MPa)

120

140

Relación σTT laboratorio vs σTT ec. tesis y σTT regresión. 40

σTT ec. tesis. (MPa) σTT regresión (MPa)

35 30 25

y = -12.107x + 102.4 R² = 0.5477

20 15

y = 1.0235x - 0.1422 R² = 0.9992

10 5 0 0

1

2

3

4

5

σTT laboratorio (MPa)

6

7

8

9

L. Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C y Ø (Cohesión regresión), C’ y Ø (rockdata) de ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16 capítulo 4 de tesis.

184

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Relación C' vs C 45 y = 1.1264x + 7.0587 R² = 0.7315

40

Cohesión C regresión ( MPa) Cohesión C rockdata ( MPa

35 30 25 20 15

y = 0.0606x + 21.138 R² = 0.0249

10 5 0 0

5

10

15

20

25

30

35

Cohesión C' (MPa) (Ec. tesis)

Relación φ ec. Tesis vs φ regresion 50 45

y = 0.4633x + 16.195 R² = 0.6998

40

φ regresion φ rockdata

35 y = -0.0931x + 42.319 R² = 0.0372

30 25 20 15 10 5 0 0

10

20

30

φ ec. Tesis

40

50

60

M. Anexo: Relación σ C , σ TT hallado en laboratorio vs σ C , σ TT ecuación tesis, σ C , σ TT por regresión y σ C , σ TT rockdata de ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16 capítulo 4 de tesis.

186

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis , σc regresión y σc rockdata.. 180

y = -3.5304x + 558.31 R² = 0.4266

160

y = 1.0003x - 0.063 R² = 0.9995

σc ec. tesis. (MPa) σc regresión (MPa) σc rockdata (MPa)

140 120 y = 0.1606x + 98.442 R² = 0.0065

100 80 60 40 20 0 114

116

118

120

122

124

126

128

130

σc laboratorio (MPa

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis , σTT regresión y σc rockdata.. 180

σc ec. tesis. (MPa) σc regresión (MPa) σc rockdata (MPa)

160

y = 1.0003x - 0.063 R² = 0.9995

140 120

y = 0.1606x + 98.442 R² = 0.0065

100 80

y = -3.5304x + 558.31 R² = 0.4266

60 40 20 0 0

20

40

60

80

σc laboratorio (MPa

100

120

140

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