Etkinlik (ispat Teknikleri) 8

Etkinlik: İspat Teknikleri Etkinliğin Yapıldığı Okul: Atatürk Anadolu Lisesi Öğretmen: Emine GÜVEN Öğretmen Adayı: Beytullah SAYIN .:: İSPAT TEKNİKLERİ ::. Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara dayanır. Zaten matematiği ispat ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün değildir. İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında toplayabiliriz: 1. 2. 3. 4.

Doğrudan İspat Ters Durum İspatı Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi Tümevarım ile ispat

Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte inceleyelim. .:: 1 - Doğrudan İspat : En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu teknik genel olarak; P --> Q (P ise Q) Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q’nun) doğruluğu elde edilir. Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir. İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belitildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m tek ve n de çift olduğundan; m = 2a + 1 n = 2b olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu. m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek; m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur. Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat tamamlanır. .:: 2 - Ters Durum İspatı : Bu ispat genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil ise P nin de olamayacağını göstermeye dayanır. Yani bu ifadeyi sözle açıklamak istersek; bize verilen kabullerden yararlanarak istenileni bulmak yerine, istenilenin olmaması (değilinin olması) durumunda, kabullerimizin de olamayacağını (yani değillerinin doğru olması gerektiğini) göstermeye dayanan bir ispat tekniğidir. Bu tekniği örnekler üzerinde daha rahat anlaşılabilir. Az önce belirttiğimiz önermeyi bu yöntemle ispatlamaya çalışalım;

Örnek 2 : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir. İspat 2 : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu sayının kendisinin çift olması yani; P = a sayısının karesi çifttir. Q = a sayısının kendisi çifttir. (hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz "Eğer a sayısı tek ise karesi de tektir." Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin olmayacağını doğru olarak ifade etmektedir. Özetleyecek olursak; bu ispat tekniğinde "a nın karesi çift ise a da çifttir" ifadesini göstermek yerine "a tek ise karesi de tektir" ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir k tamsayısı için a’ yı; a = 2k + 1 olarak yazabiliriz. a’ nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak; a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur. ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek; a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1 2m ifadesine de t dersek; a2 = 2t +1 olur. Bu da bize a2 nin tek olduğunu gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz. .:: 3 - Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği : Bu ispat tekniğinde hipotez aynen alınırken, hükmün bir parçası olumsuz alınır ve bir çelişki ortaya çıkarılır. O zaman yanlışın baştaki kabule dayandığı söylenerek ispat yapılır. Bunu örnek ile görelim. Örnek 3 : Kendi kenisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır. İspat 3 : Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek; x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık). 1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu. Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir. .:: 4 - Tümevarım İle İspat Tekniği : En çok bilinen ve kullanılan ispat tekniklerinden biridir. Bu teknikte, ispatın yapılacağı kümede, eleman sayısının sayılabilir sonsuzlukta olması durumunda, bir p özelliğinin "1" için var olduğu gösterilir. Sonra k için özelliğin var olduğu kabul edilir ve k+1 için özelliğin ispatı yapılır. k yı en kötü durumda 1 olarak düşündüğümüzde ve 1 için ispatın sağlandığını ilk

adımda göstermiş olduğumuzdan, önermenin k için doğru olduğunu kabul etmemiz yanlış bir kabul olmayacaktır. Sonra k+1 için sağlandığını ispatladığımızdan 2 için de sağlandığı gösterilmiş olur. Bu sefer 2 için sağlandığından, k yı 2 gibi düşünürsek k+1 yani 3 için de ispat sağlanacak, 3 için sağlandığından yine aynı mantıkla 4 için de sağlanacak ... ve bu şekilde genel bir ispat yapılmış olacaktır. İlk başlangıç adımının her zaman "1" olması zorunlu değildir, "3 ten büyük tamsayılar için önermenin sağlandığını gösterin" gibi bir durumda başlangıç adımını 3 gibi bir sayı da seçebiliriz. Sonra yine aynı şekilde k için doğru olduğunu kabul edip, k+1 için doğruluğunu göstererek ispatı genelleriz. Bu tekniği kullanarak ispatı yapılan bir çok önerme bulunmaktadır. Şimdi bunlara bir örnek verelim. Örnek 4 : 1 + 3 + 5 + ... + 2n-1 biçimindeki sayıların toplamının n=1,2,3,4,5,... tamsayılarının herbiri için n2 olduğunu gösteriniz. İspat 4 : Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen toplam serileri üzerine iyi bilinen örneklerden biridir. Tekniğe göre ilk adım olarak "1" için önermenin doğruluğunu görelim; n=1 için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1 olacaktır. Sonuçta 1 = 12 olduğundan n=1 için önerme doğrudur. n=k için önerme doğru olsun : Yani 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 = k2 olsun. n=k+1 için : n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için; 1 + 3 + 5 + ... + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermeliyiz. Burada eşitliğin sol tarafındaki en son terimden bir önceki terim de yazılacak olursa; 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermek istiyoruz. Bir önceki adımdaki kabulümüzden dolayı; 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 = k2 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine yazarsak 1 + 3 + 5 + ... + 2k-1 + 2(k+1)-1 = k2 + 2(k+1)-1 olacaktır. Bunun da (k+1)2 ye eşit olduğunu göreceğiz. k2 + 2(k+1)-1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 dir. Böylece önermenin k için doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz.