Estudo Dirigido Calculo 3.docx

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DA BAHIA- IFBA

ESTUDO DIRIGIDO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

BRENNO SOUZA DE OLIVEIRA

VITÓRIA DA CONQUISTA- BA 2017

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DA BAHIA – IFBA

Estudo Dirigido apresentado ao IFBA pelo aluno Brenno Souza de Oliveira, do terceiro semestre de Engenharia Civil, como atividade avaliativa na disciplina de Cálculo 3. Orientador: Profª. Edson Patricio

VITÓRIA DA CONQUISTA 2017

RESUMO

O presente estudo dirigido foi elaborado para explicar de maneira mais objetiva a utilização do Cálculo como ferramenta para o Calculo Vetorial, dando ênfase em Superfícies Parametrizadas e Suas Áreas, Integrais de Superfície, O Teorema de Stokes e o Teorema do Divergente. Nesta, esta contido conhecimentos de mestres no assunto e do aluno responsáveis pelo estudo.

Palavras chaves: Calculo Vetorial, Integrais, Teorema.

ABSTRACT

The present study directed to elaboration for the explanation of a more objective way for the use of the Calculus as the tool for the Vector Calculus, with emphasis on Parametrized Surfaces and Their Areas, Surface Integrals, Stokes' Theorem and Divergent Theorem. In this, this contained knowledge of masters in the subject and the student responsible for the study. Key words: Vector Calculus, Integers, Theorem.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 6 METODOLOGIA......................................................................................................... 6 1. SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS E SUAS ÁREAS .................................... 6 1.1 SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS .................................................................... 6 1.2 SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO ............................................................................ 7 1.3 PLANOS TANGENTES ........................................................................................ 7 1.4 ÁREA DA SUPERFÍCIE ...................................................................................... 8 1.5 ÁREA DA SUPERFÍCIE DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ......................... 9 2. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE .............................................................................. 10 2.1. SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS .............................................................. 11 2.2 SUPERFÍCIES ORIENTADAS ............................................................................... 12 2.3 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES DE CAMPOS VETORIAIS ............................... 13 3. TEOREMA DE STOKES ........................................................................................ 14 4. O TEOREMA DIVERGENTE .............................................................................. 15 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 16 REFERÊNCIAS

1. INTRODUÇÃO O conhecimento do Cálculo Vetorial é importante em virtude das inúmeras áreas de aplicações em diferentes ramos da ciência. A seguir, serão descritas as ferramentas para o cálculo de integrais mais sofisticadas e teoremas fundamentais.

METODOLOGIA Para realiza a pesquisa, foi necessário recorrer a referenciais teóricos previamente existentes, como livros, vídeos, apostilas e diferentes tipos de pesquisa, além dos conhecimentos sobre cálculo conquistados até o presente momento do curso de Engenharia Civil. 1. SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS E SUAS ÁREAS. -1.1.Superfícies parametrizadas.

Podemos descrever uma superfície por uma função vetorial r(u, v) de dois parâmetros u e v. Suponhamos que r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k seja uma função a valores vetoriais definida sobre uma região D do plano uv. Então x, y e z, os componentes de funções de r, serão funções das duas variáveis u e v com domínio D. O conjunto de todos os pontos (x, y, z) em que, x = x(u, v) ; y=y(u, v) ; z =z(u, v) e (u, v) varia ao longo de D, é chamado de superfície parametrizada S e Equações 2 são chamados equações parametrizadas de S.

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1.2.Superfície de revolução.

As superfícies de revolução podem ser representadas na forma parametrizada e, portanto, seus gráficos podem ser traçados usando-se um computador. Por exemplo, vamos considerar a superfície S obtida pela rotação da curva y = f (x), a < x < b, sobre o eixo x, onde f (x) > 0. Seja u o ângulo de rotação, como mostrado na Figura 10. Se (x, y, z) é um ponto em S, então x = x ; y = f (x) cos u ; z = f (x) sen u. Portanto, tomamos x e u como parâmetros e olhamos as Equações 3 como equações paramétricas de S. O domínio do parâmetro é dado por a < x < b, 0 < teta< 2pi.

1.3 Planos tangentes.

Plano tangente a uma superfície parametrizada determinada por uma função vetorial r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k em um ponto P0 com vetor posição r(u0, v0). Obteremos:

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1.4 Área da superfície.

Considerar inicialmente uma superfície cujo domínio dos parâmetros D é um retângulo, que dividiremos em sub-retângulos Rij.

A área do retangulo é:

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Temos, portanto a definição.

1.5 Área de superfície do gráfico de uma função.

Para o caso especial de uma superfície S com equação z = f (x, y), onde (x, y) está em D e f tem derivadas parciais contínuas, tomamos x e y como parâmetros. As equações paramétricas são x = x ; y = y ; z = f (x, y), temos.

Portanto,

2. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE. 2.1. Superfícies parametrizadas.

Suponha que a superfície S tenha equação vetorial r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k . Vamos admitir inicialmente que o domínio dos parâmetros D seja um retângulo e vamos dividi-lo em sub-retângulos Rij com dimensões Δ u e Δ v. Então, a superfície S é dividida em retalhos correspondentes Sij. Calculamos f em um ponto Pij* de cada retalho, multiplicamos pela área Δ Sij. Definimos a integral de superfície de f na superfície S como:

Temos também que,

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2.2 Superfícies orientadas.

Para definir integrais de superfície de campos vetoriais, precisamos descartar superfícies não orientáveis tais como a faixa de Möbius. Podemos construir uma tomando uma faixa retangular longa de papel, dando-lhe uma meia-torção e juntando as arestas curtas. Se uma formiga andasse sobre uma faixa de Möbius começando no ponto P, ela acabaria do “outro lado” da faixa. Então, se a formiga continuasse a andar na mesma direção, ela acabaria de volta no mesmo ponto P sem ter nunca cruzado uma aresta. Portanto, uma fita de Möbius realmente tem apenas um lado.

Existem dois vetores normais unitários n1 e n2=-n1 em (x, y, z) . Se for possível escolher um vetor normal n em cada ponto (x, y, z) de modo que n varie continuamente sobre S, então S é chamada superfície orientada e a escolha dada de n fornece S com uma orientação. Existem duas possíveis orientações para qualquer superfície orientada. Para uma superfície z = t(x, y) dada como o gráfico de t, vemos que a orientação induzida é dada pelo vetor normal unitário. Se S for uma superfície orientada suave dada na forma parametrizada pela equação vetorial r(u, v), então ela está automaticamente associada à orientação do vetor normal unitário. 10

Para uma superfície fechada, isto é, uma superfície que seja a fronteira de uma região sólida E, a convenção é que a orientação positiva é aquela para a qual os vetores normais apontam para fora de E, e os vetores normais que apontam para dentro correspondem à orientação negativa.

2.3 Integrais de superfícies de campos vetoriais.

Suponha que S seja uma superfície orientada com vetor unitário normal n, e imagine um fluido com densidade r(x, y, z) e campo de velocidade v(x, y, z) que flui através de S. Em seguida, a taxa de fluxo (massa por unidade de tempo) por unidade de área é rv. Se dividirmos S em pequenos retalhos Sij, então Sij é aproximadamente plana, de modo que podemos aproximar a massa de fluido que passa por Sij na direção da normal n por unidade de tempo pela quantidade

onde r, v e n são avaliados em algum ponto em Sij. Somando essas quantidades e tomando o limite, obtemos, a integral de superfície da função rv . n sobre S:

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3 TEOREMA DE STOKES.

O Teorema de Stokes pode ser visto como uma versão em dimensão maior do Teorema de Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana D com uma integral de linha em torno de sua curva limite plana, o Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral em torno da curva da fronteira S. A Figura mostra uma superfície orientada com vetor normal unitário n. A orientação de S induz a orientação positiva da curva fronteira C mostrada na figura. Isso significa que, se você andar na direção positiva ao redor da curva C com sua cabeça na direção e sentido de n, então a superfície estará sempre à sua esquerda.

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o Teorema de Stokes pode ser escrito como:

Existe uma analogia entre o Teorema de Stokes, o de Green e o Teorema Fundamental do Cálculo. No caso especial em que a superfície S é plana e pertence ao plano xy, com orientação ascendente, o vetor normal unitário é k, a integral de superfície se transforma em uma integral dupla, e o Teorema de Stokes fica,

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4 O TEOREMA DIVERGENTE.

O Teorema de Green na versão vetorial

onde C é a fronteira positivamente orientada da região do plano D. Se quisermos estender esse teorema para campos de vetores, podemos fazer a suposição de que

onde S é a superfície fronteira da região sólida E. A Equação é verdadeira sob hipóteses apropriadas e é chamada Teorema do Divergente. Observe sua semelhança com os Teoremas de Green e de Stokes, pois ele relaciona a integral da derivada de uma função (div F, nesse caso) sobre uma região com a integral

da função original F sobre a fronteira da região. Portanto, o Teorema do Divergente afirma que, sob as condições dadas, o fluxo

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.

5.-CONSIDERAÇÕES FINAIS

A finalidade deste trabalho foi de mostrar e fazer uma síntese do cálculo vetorial utilizando os princípios do Cálculo Diferencial. É proposto que o material resultante deste trabalho seja utilizado como fonte de consultas a alunos de diversos cursos de graduação, mais especificamente à nós, graduandos do primeiro semestre do curso de Engenharia Civil do IFBA.

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REFERÊNCIAS ANDORFFY, Miguel. Canal “Me Salva”. Disponível em: . Acesso em: 19 de julho de 2016. ÁVILA, Geraldo. Cálculo das funções de uma variável. Vol. 1. 7ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2005. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. Vol.3, 5ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2002. IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol. 8. 2ª edição. São Paulo: Atual, 1985. LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. Vol. 2. 8ª edição. São Paulo: McGraw-Hill, 2006. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. 2 Vol. São Paulo: Harbra, 1994. STEWART, James. Cálculo, volume II, 4a.edição. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2002. STEWART, James. Cálculo, volume II, 5a.edição. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2010. Material didático da UFF, disponível em: