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Revista de F´ısica, No 48, Junio 2014

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ESTUDIO DE LA ESTRUCTURA DE BANDAS DE ´ CRISTALES FOTONICOS BIDIMENSIONALES CON ´ GEOMETRIA TRIANGULAR BAND STRUCTURE STUDY OF TWO-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS WITH TRIANGULAR GEOMETRY Erik P. Navarro-Bar´ on, Diego N. Bernal-Garc´ıa, Herbert Vinck-Posada ´ Universidad Nacional de Colombia, Departamento de F´ısica, Grupo de Optica e Informaci´ on Cu´ antica

(Recibido: Enero/2014. Aceptado: Marzo/2014)

Resumen Se realiz´ o un estudio de las estructuras de bandas de cristales fot´ onicos con una red triangular de barras diel´ectricas triangulares usando el m´etodo de expansi´on en ondas planas (PWE por sus siglas en ingl´es). Se analiz´o el ancho relativo del bandgap fot´onico en t´erminos de par´ametros geom´etricos de barras de tri´angulos equil´ateros e is´osceles, tanto para los modos de polarizaci´on Transverso Magn´eticos (TM) como para los Transverso El´ectricos (TE). Para barras equil´ ateras los par´ ametros modificados fueron el tama˜ no de los tri´ angulos y su orientaci´on dentro de la celda unitaria, mientras en el caso de barras is´osceles se fij´o el ´area transversal, siendo los ´angulos internos y la orientaci´ on de los tri´ angulos dentro de la celda unitaria los par´ametros modificados. Como resultado de la variaci´on de estos par´ ametros se encontraron m´ aximos de bandgap seg´ un el par´ametro geom´etrico para cada uno de los modos de polarizaci´ on transversal, lo que permiti´o encontrar a su vez m´aximos de bandgap completo. Erik P. Navarro-Bar´ on: [email protected]

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Erik P. Navarro-Bar´ on et al.

Palabras clave: Cristales fot´ onicos, Estructura de bandas, Barras triangulares, PWE, Bandgap. Abstract A study of the band structure of photonic crystals with a triangular lattice of triangular rods is made using the Plane Wave Expansion (PWE) method. The relative width of photonic band gap is analyzed in terms of geometrical parameters in either Transverse Magnetic (TM) and Transverse Electric (TE) cases for equilateral and isosceles triangular rods. For equilateral rods the size of the triangles and its orientation in the unit cell are the modified parameters, while in the case of isosceles rods the cross area is fixed as the internal angles and the orientation of the triangle in the unit cell are changed. As a result of varying these parameters, band gaps maximums are found for each transverse polarization mode, besides complete band gaps are found. Keywords: Photonic crystals, Band structure, Triangular rods, PWE, Band gap.

Introducci´ on Los arreglos de materiales espacialmente peri´odicos, gracias a sus interesantes propiedades, han sido el centro de gran parte de las investigaciones en ciencias naturales en los u ´ltimos a˜ nos. Dentro de estas estructuras se destacan los metamateriales, tanto electromagn´eticos como ac´ usticos; y los cristales fot´onicos. Una de las caracter´ısticas m´as importantes de este tipo de materiales es la manera en que controlan el flujo de ondas en su interior, ya sean electromagn´eticas o ac´ usticas. En el caso de los cristales fot´onicos, destaca tambi´en su capacidad de confinar las ondas de luz de ciertas frecuencias, esto debido a que la transmisi´on de un conjunto de frecuencias dentro del cristal est´a prohibida. A este conjunto de frecuencias se le conoce como bandgap f´otonico (PBG, del ingl´es Photonic Band-Gap), y es el fundamento de las diferentes aplicaciones que tienen los cristales f´otonicos[1].

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(a) Red de Bravais

(b) Red rec´ıproca

Figura 1. Caracteristicas de la red triangular.

Adem´as del contraste entre la permitividad el´ectrica de los medios que forman el cristal, el PBG depende fuertemente de dos caracter´ısticas del mismo, su estructura de red (la cual da informaci´on sobre la periodicidad en el cristal fot´onico) y la forma de sus dispersores, siendo de gran importancia la simetr´ıa entre ambas[2]. Una de las redes m´as usadas y estudiadas es la red triangular (tambi´en llamada red hexagonal), la cual est´a caracterizada por sus redes de Bravais y rec´ıproca. Dichas redes se muestran en las Figuras 1(a) y 1(b). Los vectores de la red est´an definidos por el par´ametro de red a como lo indican las Ecuaciones 1 y 2. a1 = aˆ ı   2π 1 √ b1 = ˆ ı− ˆ a 3

a2 = a b2 =

√ ! 3 1 ˆ ı+ ˆ 2 2

(1)

2π 2 √ ˆ a 3

(2)

En la Figura 1(b) el hex´agono punteado define la zona de Brillouin (celda unitaria en el espacio rec´ıproco)[3], y los puntos Γ, M y K definen la zona irreducible de Brillouin la cual est´a formada por reducci´on de la zona de Brilluoin a partir de las simetr´ıas de la red. Esta zona es de gran importancia ya que indica la m´ınima cantidad de vectores de onda que determinan todos los posibles valores de frecuencias permitidas en el cristal.

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(a)

(b) Tri´angulos is´osceles

Tri´ angulos

equil´ ateros

Figura 2. Cristales fot´ onicos con geometr´ıa triangular.

Esta red tiene asociados dispersores de forma triangular, los cuales pueden maximizar las propiedades del cristal, en especial el ancho de bandgap. Para ello se deben tener en cuenta diferentes par´ametros asociados a dichos dispersores, como son el tama˜ no, los a´ngulos internos y la orientaci´on dentro de la celda unitaria. En este art´ıculo nos concentraremos en dos tipos de tri´angulos, equil´ateros e is´osceles. Para la modelaci´on de cristales fot´onicos bidimensionales se consideran las ecuaciones de Maxwell para medios materiales. Adem´as se hacen cuatro importantes consideraciones sobre el material[4]: • La intensidad de los campos es lo suficientemente peque˜ na, tal que se tiene un r´egimen lineal, i.e, las componentes del campo desplazamiento dependen linealmente de las componentes del campo el´ectrico: Di =

X

εij r Ej ,

i, j = 1, 2, 3

j

• El material es macrosc´opico e isotr´opico, por lo cual los ~ yE ~ est´an relacionados por un escalar, es decir, campos D ~ r, ω) = εr (~r, ω)εo E(~ ~ r, ω) D(~

con εr (~r, ω) la permitividad relativa del medio, conocida tambi´en como funci´on diel´ectrica y εo la permitividad el´ectrica en el vac´ıo.

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• La dependencia de la permitividad con la frecuencia es ignorada, y son tomados valores promedios de la permitividad seg´ un las frecuencias de inter´es, en este caso las frecuencias o´pticas. • El material es transparente, es decir no absorbe la radiaci´on incidente, as´ı que εr es real y positiva. Bajo estas aproximaciones se considera la relaci´on de dispersi´on de estos materiales, es decir, la relaci´on entre el vector de onda ~k y la frecuencia ω. Teniendo en cuenta la relaci´on entre la energ´ıa y ω se puede determinar tambi´en una relaci´on entre ~k y la energ´ıa, relaci´on con la que se construye lo que se conoce como estructura de bandas la cual da raz´on de las energ´ıas y frecuencias permitidas dentro del cristal. En el presente trabajo se hace un estudio de la estructura de bandas para cristales fot´onicos dos dimensionales de red triangular y dispersores triangulares. Expansi´ on en Ondas Planas (PWE) Para este tipo de medios peri´odicos existe una gran variedad de t´ecnicas num´ericas para resolver las ecuaciones de Maxwell que son las que modelan el comportamiento de las ondas electromagn´eticas. Entre las m´as destacadas est´an: m´etodo de diferencias finitas (en el dominio del tiempo y en el domino de las frecuencias), elementos finitos, an´alisis de dominio espectral, ecuaciones integrales, m´etodo de los momentos(IE/MoM) y expansi´on en ondas planas(PWE) [5]. En el presente trabajo se hacen los c´alculos mediante el m´etodo PWE, el cual consiste en considerar que debido a la periodicidad de los materiales, los campos el´ectrico y magn´etico, y la permitividad pueden ser expresados como funciones espacialmente peri´odicas. Para ello se consideran las ecuaciones de onda en un medio libre de fuentes, es decir: 1 ∂2 1 ∇ × ∇ × E = − 2 2E εr c ∂t 1 1 ∂2 ∇ × ∇ × H = − 2 2H εr c ∂t

(3) (4)

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Donde c es la velocidad de la luz en el vac´ıo. Si se considera que los campos tienen dependencia temporal arm´onica, esto quiere decir, ∂2 que ∂t = −ω 2 (siendo ω la frecuencia angular de oscilaci´on), 2 entonces se tiene: ω2 1 ∇×∇×E= 2E εr c 1 ω2 ∇× ∇×H= 2H εr c

(5) (6)

Estas ecuaciones vectoriales pueden ser escritas como seis ecuaciones escalares, haciendo una separaci´on por componentes [6]. Por otro lado, se considera la dependencia peri´odica espacial, la cual se puede expandir en una serie de Fourier. X 1 ~ ~ r ei(mb1 +nb2 )·~r = κεm,n εr m,n Ex,y o z =

X

(7)

E

~

~

~

H

~

~

~

x,y o z i(mb1 +nb2 )·~ r ik.~ κm,n e e r

(8)

m,n

Hx,y o z =

X

x,y o z i(mb1 +nb2 )·~ r ik.~ e e r κm,n

(9)

m,n

Donde los coeficientes κ son de la expansi´on en la serie de Fourier para cada componente de campo y para la permitividad el´ectrica, y el vector ~k es el vector de onda que indica la direcci´on de propagaci´on de los campos. Se considera que la onda se propaga solo en las direcciones de periodicidad del material, es decir, en el plano xy; y se consideran, s´olo dos modos de polarizaci´on. El modo transverso el´ectrico (TE), donde el campo el´ectrico est´a contenido en el plano xy y por tanto el campo magn´etico est´a en la direcci´on z; y el modo transverso magn´etico (TM) donde, analogamente, es el campo el´ectrico el que va en la direcci´on z. De esta manera, para el modo TE se considera la Ecuaci´on 6, y la expansi´on para Hz , y para el modo TM se considera la Ecuaci´on 5 y la expansi´on para Ez .

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(a) Cambio de tama˜no

(b)

Cambio de orientaci´ on -equilatero

-equilatero

(c) Cambio de ´angulos

(d) Cambio de orientaci´ on -is´ osceles

internos - is´ osceles

Figura 3. Par´ ametros para diferentes tipos de barras diel´ectricas triangulares.

De forma tal que cada ecuaci´on queda escrita como un problema de autovalores como se indica en las Ecuaciones 10 y 11. X

εr z κE m,p κn−m,q−p ×

m,p

"

X

2πm + kx a

2

 +

2π(2p − m) √ + ky 3a

2 # =

ω 2 Ez κ c2 n,q

(10)

=

ω 2 Hz κ c2 n,q

(11)

z εr κH n,q κn−m,q−p ×

m,p



2πm + kx a



2πn + kx a



 +

2π(2p − m) √ + ky 3a



2π(2q − n) √ + ky 3a



As´ı, en dicho problema los autovalores est´an relacionados a las autofrecuencias tal que λn = ωn2 /c2 , y los autovectores asociados a cada autovalor ser´an los coeficientes de la expansi´on de los campos, lo cual nos dar´a informaci´on de los perfiles de intensidad del campo asociados a dicha frecuencia. En las Ecuaciones 10 y 11 se puede ver

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(a)

L a

= 0.4

(b)

L a

= 0.6

(c)

L a

= 0.7

(d)

L a

= 0.8

Figura 4. Estructura de bandas para tri´ angulos equil´ ateros.

una dependencia con respecto a ~k = (kx , ky ) de las autofrecuencias, por lo que para cada posible ~k en la zona reducida de Brillouin, se tendr´a un problema de autovalores. Para solucionar cada problema, las series de Fourier, que en principio van desde −∞ hasta ∞, son truncadas a un n´ umero finito N , de tal forma que se debe diagonalizar una matriz de tama˜ no N 2 × N 2 . Resultados Para los c´alculos, se consideraron barras diel´ectricas triangulares de arseniuro de galio (GaAs), con permitividad relativa de 13.2 sumergidas en aire. Se trabajaron dos tipos de tri´angulos y para cada uno de ellos se tuvieron en cuenta diferentes par´ametros (ver

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Figura 5. Bandgaps en funci´ on del factor L/a.

Figura 3); para los tri´angulos equil´ateros se toma como primer par´ametro el tama˜ no del dispersor, el cual es determinado por la longitud (L) de uno de sus lados, posteriormente se fija el par´ametro L y se var´ıa la orientaci´on dentro de la celda unitaria, teniendo en cuenta el ´angulo (θ) formado con el eje y; como indican las Figuras 3(a)-3(b). Para diferentes tama˜ nos se encontraron bandgaps parciales, es decir, en alguno de los dos modos de polarizaci´on, y para L lo suficientemente grande se hall´o un bandgap completo para ωa = 0.5. La Figura 4 muestra diagramas frecuencias cercanas a 2πc de bandas para diferentes valores de L. Adem´as, en la Figura 5 se muestra un estudio del ancho de los diferentes gaps en funci´on del factor L/a. Y se encuentran m´aximos para cada gap. Para un tama˜ no suficientemente grande, se da la aparici´on de un bandgap completo, esto puede explicarse debido a que la forma en punta del dispersor puede mostrar el papel que generalmente desempe˜ na la estructura de venas, permitiendo un

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(a) θ = π9 rad

(b) θ = π6 rad

(c) θ = 5π (d) θ = π3 rad rad 18 Figura 6. Estructura de bandas para tri´ angulos equil´ ateros rotados.

Figura 7. Ancho de bandgap en funci´ on del ´ angulo de rotaci´ on para tri´ angulos equil´ ateros.

acoplamiento entre los tri´angulos. Dicho bandgap completo se maximiza L/a = 0.77 y con un valor del ancho de
para un factor ωa ∆ 2πc = 4.026 × 10−2 .

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(a) ϕ = π4 rad

(b) ϕ =

3π rad 10

7π rad 20

(d) ϕ =

2π rad 5

(c) ϕ =

Figura 8. Estructura de bandas para tri´ angulos is´ osceles.

Ahora, se presentan los resultados obtenidos al rotar los tri´angulos, para ello y en adelante el a´rea de los dispersores sera fijada al a´rea correspondiente a la de un tri´angulo equil´atero de factor L/a = 0.73, en la Figura 6 se muestran diagramas de bandas para diferentes valores de θ. Como era de esperar se tiene un comportamiento peri´odico del ancho de los diferentes bandgaps con un per´ıodo de π/3 rad relacionado a la simetr´ıa de la red, obteni´endose m´aximos para m´ ultiplos de π/3 rad con un valor del ancho de 4.008 × 10−2 . Dicho comportamiento es mostrado en la Figura 7. As´ı mismo, se observa que el bandgap completo desaparece para m´ ultiplos impares de π/6 rad.

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Figura 9. Ancho de bandgap en funci´ on del ´ angulo interno (ϕ) para tri´ angulos is´ osceles.

Por otro lado, para tri´angulos is´osceles se deja fija el a´rea, y se toman como par´ametros de estudio los ´angulos internos del tri´angulo y su orientaci´on en la celda unitaria, para ello se tienen en cuenta dos a´ngulos: ϕ, correspondiente al a´ngulo interno doble dentro del tri´angulo; y θ, el a´ngulo de rotaci´on, como lo muestran las Figuras 3(c)-3(d). Primero, se presenta el estudio sobre el efecto de los a´ngulos internos donde se encuentran cambios en los tama˜ nos del bandgap para diferentes valores de ϕ como se puede ver en las estructuras de bandas de la Figura 8. Un comportamiento de los diferentes bandgaps en funci´on ϕ es mostrado en la Figura 9, donde se pueden observar m´aximos en diversos puntos para cada bandgap diferente. En particular, para el bandgap completo se halla un m´aximo en ϕ = π/3 rad, lo que corresponde a un tri´angulo equil´atero, resalt´andose de nuevo la importancia de la simetr´ıa entre la red y la forma del dispersor. Por u ´ltimo, se procede a estudiar el efecto de la rotaci´on para diferentes valores de θ teni´endose en cuenta dos valores diferentes

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(a) θ = π6 rad

(b) θ = π3 rad

(c) θ = π2 rad

(d) θ = πrad

Figura 10. Estructura de bandas para tri´ angulos is´ osceles rotados.

de ϕ, 55 ◦ y 65 ◦ . En la Figura 10 se muestran diagramas de bandas para diferentes valores de θ y ϕ = 65 ◦ . El comportamiento del bandgap en funci´on de θ es mostrado en la Figura 11, donde se presenta dicho comportamiento para los dos valores de ϕ especificados anteriormente. De nuevo, como se esperaba, se observa un comportamiento peri´odico, y adem´as se destaca un desfase de π entre los valores de ϕ menores y mayores de π/3 para el primer bandgap de los modos TM, lo cual resalta de nuevo a este valor como un punto de simetr´ıa; en este caso se observa una inversi´on.

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(a) ϕ = 55o

(b) ϕ = 65o Figura 11. Ancho del bandgap en funci´ on del ´ angulo de rotaci´ on para tri´ angulos is´ osceles.

Conclusiones Las caracter´ısticas geom´etricas de los cristales fot´onicos bidimensionales de barras triangulares, juegan un papel importante en su estructura de bandas. Dentro de estas caracter´ısticas se destacan el tama˜ no del dispersor y la orientaci´on del mismo dentro de la celda unitaria, as´ı como los a´ngulos internos (para tri´angulos is´osceles). Por un lado, el tama˜ no es importante en la aparici´on de

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bandgap completo, as´ı cuando los tri´angulos son lo suficientemente grandes su forma en punta permite un acople entre los dispersores, lo cual generalmente se logra conectando los dispersores mediante una estructura de venas. Por otro lado, se destacan los ´angulos internos (ϕ) y la orientaci´on (θ) de los tri´angulos, donde en ambos casos el valor de π/3 es de gran importancia en la simetr´ıa entre la red y el dispersor, permitiendo maximizar el bandgap completo. As´ı, dentro de todos los posibles tri´angulos is´osceles se destaca el tri´angulo equil´atero, para el cual se obtiene m´aximo bandgap completo. Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por Colciencias dentro del proyecto con c´odigo 110156933525, contrato n´ umero 026-2013 y c´odigo HERMES 17432. Por otra parte, reconocemos el apoyo t´ecnico y ´ computacional del Grupo de Optica e Informaci´on Cu´antica de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´a. Referencias [1] W. Kuang, Z. Hou, Y. Liu, and H. Li, J. Opt. A: Pure Appl. Op. 7, 525 (2005). [2] R. Wang, X.-H. Wang, B.-Y. Gu, and G.-Z. Yang, J. Appl. Phys. 90, 4307 (2001). [3] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed. (Wiley, 2004). [4] J. Joannopoulos, R. Meade, and J. Winn, Photonic Crystals: Molding the Flow of Light (Princeton University Press, 1995). [5] John David Shumpert, Modeling of periodic dielectric structures (electromagnetic crystals), Ph.D. thesis, University of Michigan (2001). [6] Aaron J. Danner, “An introduction to the plane wave expansion method for calculating photonic crystal band diagrams,” (2002), university of Illinois.