Estudiante 1 - Juan Camilo Celis (1).docx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

A continuación se presentan los ejercicios y grafícas asignados para el desarrollo de Tarea 2, en este grupo de trabajo:

EJERCICIOS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Calcular los siguientes límites. Temática

Límite indeterminado por racionalización

lim

Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

Estudiante 4

√x

x→∞ √

x + √x

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝛼

𝑥 (√𝑥 2 + 1 − 𝑥)

(x + h) − x 3 lim h→0 h

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥 𝑥→0 𝑥

𝑙𝑖𝑚

Límite indeterminado por factorización y 3 + 3y 2 + 2y y→−2 y 2 − y − 6 lim

u3 + 4u2 + 4u u→−2 (u + 2)(u − 3) lim

4x 3 − 2x 2 + x x→0 3x 2 + 2x lim

Límite indeterminado al infinito 5 − 2x 3∕2 lim x→α 3x 2 − 4

Límite indeterminado trigonométrico, (no usar método del L’Hopital). Tan(πx) lim x→−2 x + 2

𝜋𝑥 𝐶𝑜𝑠( 2 ) lim 𝑥→1 1 − √𝑥

3 2x − 1 lim √ x→−∞ 7 − 16x

𝑥 − 𝑥 −3 𝑥→−𝛼 3𝑥 + 𝑥 −2 𝑙𝑖𝑚

lim

𝑥→0

6𝑥 − 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑥 + 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥)

2

𝑥 − 5𝑥 + 6 𝑥→2 𝑥 2 − 12𝑥 + 20

𝑙𝑖𝑚

3x 3 + 2 x→α 9x 3 − 2x 2 + 7 lim

lim

𝑥→0

𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑇𝑎𝑛 𝑥 𝑥

Calcular los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥) sea continua x 2 + 2 si x ≤ 0 √ax + b si 0 < x ≤ 2 f(x) = −x 3 + si x > 2 { 2√2 √2 𝑥 2 − 𝑎𝑥 − 6 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 𝑥2 + 𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3 𝑎 9 − 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 { 𝑥+1 𝑥 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 |𝑥 − 𝑎| 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 { 𝑥+𝑏 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑒𝑥 𝑓(𝑥) = { 𝑎𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 𝜋 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝜋

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Estudiante 5

2 − √𝑥 − 3 𝑥→8 𝑥 2 − 64

𝑙𝑖𝑚

2

𝑥 − 8𝑥 + 15 𝑥→5 𝑥 2 − 25

𝑙𝑖𝑚

1 4 lim 𝑥 − 2 2 𝑥 x→α

1 − 𝑇𝑎𝑛(𝑥) lim𝜋 𝑥→ 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 4

1 1 (1 + 𝑥 2 )𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 3 2 𝑥 −𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 { 𝑥

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Gráficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua. (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis. 𝑥 + 2𝑎 − 2 𝑆𝑖 𝑥 < 2 a) 𝑓(𝑥) = { 2 𝑥 + 3 𝑆𝑖 𝑥  2 Estudiante 1 b) 𝑓(𝑥) = {

𝑥 + 2𝑎 𝑥 4

+2

𝑆𝑖 𝑥 < 𝑆𝑖 𝑥 

3 2

3 2

2 𝑆𝑖 𝑥 < −1 a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 23𝑎 − 2 2𝑥 − 𝑥 𝑆𝑖 𝑥  − 1

Estudiante 2

𝑥+𝑎 b) 𝑓(𝑥) = {2 + 4 𝑥

𝑆𝑖 𝑥 < 3 𝑆𝑖 𝑥  3

2

a) 𝑓(𝑥) = {

𝑥 − 2𝑎 + 3 𝑥2 + 1

Estudiante 3

1

𝑆𝑖 𝑥 < 2 1

𝑆𝑖 𝑥  2

2𝑥 2 − 3𝑎 𝑆𝑖 𝑥 < 2 4 −3 𝑆𝑖 𝑥  2 𝑥 2 𝑆𝑖 𝑥 < −2 a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 −2 3𝑎 + 4 𝑥 − 3𝑥 𝑆𝑖 𝑥  − 2 b) 𝑓(𝑥) = {

Estudiante 4

Estudiante 5

𝑥 2 + 2𝑎 b) 𝑓(𝑥) = { 4 +4 𝑥 a) 𝑓(𝑥) = {

2𝑥 3 + 2𝑎 − 2 𝑥2 − 3

𝑆𝑖 𝑥 < 5 𝑆𝑖 𝑥  5 4

𝑆𝑖 𝑥 < 3 𝑆𝑖 𝑥 

4 3

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3𝑥 3 − 3𝑎 b) 𝑓(𝑥) = { 4 +2 𝑥

𝑆𝑖 𝑥 < −3 𝑆𝑖 𝑥  − 3

Problemas Límites y continuidad.

1.a. Límites. Un cultivo de bacterias crece siguiendo la ley Y=

𝒕𝟐 −𝟏 𝒕𝟑 +𝟑 − 𝟐 𝒕−𝟑 𝒕

Donde el tiempo t ≥ 0 se mide en horas y el peso del cultivo en gramos. a) Determine el peso del cultivo transcurridos 50 minutos. b) ¿Cuál será el peso de este cuando el número de horas crece indefinidamente? Estudiante 1

1.b. Continuidad En un proceso de automatización industrial es necesario determinar si la señal del voltaje de alimentación de una planta es continua al aplicar entre 0 y 6 voltios, dicha señal se encuentra definida por la siguiente función. 3𝑉 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 |𝑉 − 5| 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 6 𝑓(𝑉) = 2 𝑉 + 3𝑉 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 6 { 𝑉+4

Estudiante 2

2.a. Límites. La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Partiendo de que la constante de coulomb es de K= 9𝑥109

𝑁𝑚2 𝐶2

y el

producto de las cargas 𝑞1 ∗ 𝑞2 = 0.5𝑐 2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏, calcule la fuerza de las cargas

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cuándo la distancia r es de 0.5 metros. 𝑓(𝑟) =

lim

K∗

𝑟→0.5

𝑞1 ∗ 𝑞2 r2

2.b. Continuidad Los virus informáticos son cada vez más peligrosos y dañinos, ya que no sólo pueden llegar a ralentizar tu ordenador, sino que pueden generar más problemas de lo que te imaginas. Este año, se ha detectado el uso creciente de los llamados Exploit Kit. Para los que no sepan de qué se trata, es un paquete completo que cualquier cibercriminal puede usar para diseñar sus propios virus, modificar antiguos virus existentes y poder crear cualquier tipo de virus. Se determino que está dado por la siguiente función y es necesario determinar si la infestación fue continua en el tiempo de 8 segundos. 𝑡 2 + 64 𝑠𝑖 𝑡 ≠ 8 𝑓(𝑡) = { 𝑡 − 8 0 𝑠𝑖 𝑡 = 8 . 2.a. Límites. La función en dólares del costo promedio de un fabricante está dada por 𝒄̅ = 2𝟎𝟎 L𝐧 (𝒒+8𝟎). Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales) cuando 𝒒 = 5 y q = ∞.

Estudiante 3

𝑓(c̅ ) =

lim

200 Ln (q + 80)

𝑞→5

𝑓(c̅ ) =

lim

200 Ln (q + 80)

𝑞→∞

2.b. Continuidad Las antenas dipolo son las más sencillas de todas. Consiste en un hilo conductor de media longitud de onda a la frecuencia de trabajo, cortado por la mitad, en cuyo centro se coloca un generador o una línea de transmisión

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Los parámetros de una antena son los que permiten especificar el funcionamiento de estas, y por lo tanto son susceptibles de ser medidos. Es necesario determinar si la ganancia Gv de la antena es continua en todos los decibeles si está definida por la siguiente función. 𝐺𝑣 ∗ 1 𝑠𝑖 𝐺𝑣 ≠ 0 𝑓(𝐺𝑣) = {2𝑆𝑒𝑛(𝐺𝑣) 3𝐺𝑣 𝑠𝑖 𝐺𝑣 = 0 . 2.a. Límites. Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artículo está dado por la función de costo promedio c

dada por la función C = c2 −7c+1 . Donde c es el costo marginal. Determine el costo promedio por unidad para c=0, c=3 y c=∞. C = lim

c c 2 − 7c + 1

C = lim

c c 2 − 7c + 1

C = lim

c − 7c + 1

c→0

Estudiante 4

c→3

c→∞ c 2

2.b. Continuidad La Temperatura, presión, los caudales de entrada y salida del sistema, la viscosidad del compuesto, densidad, son las variables más comunes en los procesos industriales, las cuales son monitoreadas por medio de la instrumentación del proceso. Estos instrumentos nos permiten controlar las variables de un sistema. En un nuevo proceso aplicado a la industria electromotriz, es necesario determinar si existe continuidad en los caudales de entrada y salida (C) de un nuevo compuesto que se desea utilizar dado por la siguiente función.

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−

3𝐶

𝑠𝑖 𝐶≤0 2 𝑓(𝐶) = {𝐿𝑜𝑔 (2𝐶) 𝑠𝑖 𝐶 > 0 .

Donde Log es la función logaritmo de P

a) 2.a. Límites. Todo canal de trasmisión de datos introduce errores en la información trasmitida. La relación de la tasa de errores BER se define como el número de bits erróneos recibidos 𝑁𝑒 y el número de bits trasmitidos 𝑁𝑡 . Determine la tasa de errores de un canal si el número de bits erróneos recibidos tiende a cero y se define por la siguiente expresión. VER = lim

𝑁𝑒 3 +3𝑁𝑒 2

3 2 𝑁𝑒→0 𝑁𝑒 −4𝑁𝑒

Estudiante 5

2.b. Continuidad La presión es la relación entre una fuerza y el área sobre la cual actúa la misma, es decir, que las unidades de presión están expresadas por unidades de fuerza/unidades de área (longitud). En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de medida de presión es el pascal (Pa). Y está dado en Newton/ metro cuadrado. N/m2 Es necesario definir si la Presión registrada por la siguiente función es continua en 2. 𝑃𝑎 + 5 𝑓(𝑃𝑎) = {5 − 3𝑃𝑎

𝑠𝑖 𝑃𝑎 ≤ 2 𝑠𝑖 𝑃𝑎 > 2 .