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Proceso estoc�stico Ir a la navegaci�nIr a la b�squeda V�ase tambi�n: Sistema estoc�stico El �ndice de la bolsa es un ejemplo de proceso estoc�stico de tipo no estacionario. En la teor�a de la probabilidad, un proceso estoc�stico es un concepto matem�tico que sirve para usar magnitudes aleatorias que var�an con el tiempo o para caracterizar una sucesi�n de variables aleatorias (estoc�sticas) que evolucionan en funci�n de otra variable, generalmente el tiempo.1? Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia funci�n de distribuci�n de probabilidad y pueden o no estar correlacionadas entre s�. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estoc�stico. Un proceso estoc�stico {\displaystyle X_{t}} {\displaystyle X_{t}} puede entenderse como una familia uniparam�trica de variables aleatorias indexadas mediante el tiempo t. Los procesos estoc�sticos permiten tratar procesos din�micos en los que hay cierta aleatoriedad. �ndice 1 Ejemplos 1.1 Casos especiales 2 Definici�n matem�tica 3 V�ase tambi�n 4 Referencias Ejemplos Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales: se�ales de telecomunicaci�n; se�ales biom�dicas (electrocardiograma, encefalograma, etc�tera); se�ales s�smicas; el n�mero de manchas solares a�o tras a�o; el �ndice de la bolsa segundo a segundo; la evoluci�n de la poblaci�n de un municipio a�o tras a�o; el tiempo de espera en la cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla; el clima, un gigantesco conjunto de procesos estoc�sticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etc�tera) que evolucionan en el espacio y en el tiempo; los procesos estoc�sticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlaci�n de cero con las dem�s observaciones. Casos especiales Proceso estacionario: Un proceso es estacionario en sentido estricto si la funci�n de distribuci�n conjunta de cualquier subconjunto de variables es constante respecto a un desplazamiento en el tiempo. Se dice que un proceso es estacionario en sentido amplio (o d�bilmente estacionario) cuando se verifica que: La media te�rica es independiente del tiempo, y Las autocovarianzas de orden s s�lo vienen afectadas por el lapso de tiempo transcurrido entre los dos periodos y no dependen del tiempo. Proceso homog�neo: variables aleatorias independientes e id�nticamente distribuidas. Son proceso donde el dominio tiene cierta simetr�a y las distribuciones de probabilidad finito-dimensionales tienen la misma simetr�a. Un caso especial incluye a los procesos estacionarios, tambi�n llamados procesos homog�neos en el tiempo. Proceso de M�rkov: Aquellos procesos discretos en que la evoluci�n s�lo depende del estado actual y no de los anteriores. Procesos de tiempo discreto Proceso de Bernoulli son procesos discretos en los que el n�mero de eventos viene dado por una distribuci�n binomial.

Proceso de Galton-Watson: es un tipo de proceso de Markov con ramificaci�n. Procesos de tiempo continuo: Proceso de Gauss: Proceso continuo en el que toda combinaci�n lineal de variables es una variable de distribuci�n normal. Proceso de M�rkov continuo Proceso de Gauss-M�rkov: Son procesos, al mismo tiempo, de Gauss y de M�rkov Proceso de Feller: son procesos estoc�sticos que toman valores sobre espacios de operadores de alg�n espacio funcional. Proceso de L�vy: son procesos homog�neos de Markov de "tiempo continuo" que generalizan el paseo aleatorio que usualmente se define como de "tiempo discreto". Proceso de Poisson, es caso particular de proceso de L�vy donde el tiempo transcurrido entre saltos sigue una distribuci�n exponencial y, por tanto, el n�mero de eventos en un intervalo viene dado por una distribuci�n de Poisson. Proceso de Wiener, el incremento de la varible entre dos instantes tiene una distribuci�n gaussiana y, por tanto, adem�s de un proceso de L�vy es un proceso de Gauss simult�neamente. Proceso doblemente estoc�stico, es un tipo de modelo estoc�stico usado para modelar ciertas series temporales, en el que los par�metros que dan las distribuciones tambi�n var�an aleatoriamente (de ah� el t�rmino de doblemente estoc�stico). Proceso de Cox es un proceso doblemente estoc�stico que generaliza el proceso de Poisson, donde el par�metro de intensidad var�a aleatoriamente. Proceso estoc�stico continuo, es un tipo de proceso estoc�stico de tiempo continuo en que las trayectorias son adem�s caminos continuos. Definici�n matem�tica Un proceso estoc�stico se puede definir equivalentemente de dos formas diferentes: Como un conjunto de realizaciones temporales y un �ndice aleatorio que selecciona una de ellas. Como un conjunto de variables aleatorias {\displaystyle X_{t}\,} {\displaystyle X_{t}\,} indexadas por un �ndice {\displaystyle t\,} t\,, dado que {\displaystyle t\in T\,} {\displaystyle t\in T\,}, con {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} \,} {\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} \,}. Un proceso se dice de "tiempo continuo" si {\displaystyle T\,} T\, es un intervalo (usualmente este intervalo se toma como {\displaystyle [0,\infty )} {\displaystyle [0,\infty )}) o de "tiempo discreto" si {\displaystyle T\,} T\, es un conjunto numerable (solamente puede asumir determinados valores, usualmente se toma {\displaystyle T\subseteq \mathbb {N} } {\displaystyle T\subseteq \mathbb {N} }). Las variables aleatorias {\displaystyle X_{t}\,} {\displaystyle X_{t}\,} toman valores en un conjunto que se denomina espacio probabil�stico. Sea {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},P)} {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},P)} un espacio probabil�stico. En una muestra aleatoria de tama�o {\displaystyle n} n se observa un suceso compuesto {\displaystyle E} E formado por sucesos elementales {\displaystyle \omega } \omega : {\displaystyle E=\{\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}\}\subset \Omega \,} {\displaystyle E=\{\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n}\}\subset \Omega \,}, de manera que {\displaystyle E\in B\,} {\displaystyle E\in B\,}. El suceso compuesto es un subconjunto contenido en el espacio muestral y es un �lgebra de Boole {\displaystyle B} B. A cada suceso {\displaystyle \omega } \omega le corresponde un valor de una variable aleatoria {\displaystyle V} V, de manera que {\displaystyle V} V es funci�n de {\displaystyle \omega } \omega : {\displaystyle V=V(\omega );\qquad \omega \in \Omega ,\,-\infty
{\mathcal {A}})} {\displaystyle (A,{\mathcal {A}})} de un elemento {\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {B}},(X_{t})_{t\geq 0},P)} {\displaystyle X=(\Omega ,{\mathcal {B}},(X_{t})_{t\geq 0},P)}, donde para todo {\displaystyle t\in \mathbb {R} ,X_{t}\,} {\displaystyle t\in \mathbb {R} ,X_{t}\,} es una variable aleatoria del valor en {\displaystyle (A,{\mathcal {A}})} {\displaystyle (A,{\mathcal {A}})}. Si se observa el suceso {\displaystyle \omega } \omega {\displaystyle t} t de tiempo:

en un momento

{\displaystyle V=V(\omega ,t),\qquad \omega \in \Omega ,t\in T,-\infty
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