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Estándares orientadores para egresados de carreras de Pedagogía en Educación Media Estándares Disciplinarios Indicadores y Ejemplos

Matemática

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INTRODUCCIÓN El año 2010 el Ministerio de Educación encargó la elaboración de estándares para egresados de carreras de Pedagogía en Educación Media, con el fin de servir de orientación a las instituciones formadoras de docentes respecto a aquellos conocimientos y habilidades fundamentales para ejercer un efectivo proceso de enseñanza, respetando la diversidad existente de perfiles, requisitos, mallas curriculares, trayectorias formativas y sello propio, que caracterizan a cada una de dichas instituciones. El presente documento contiene el resultado del trabajo realizado, el que se pone a disposición de las instituciones formadoras de los futuros profesores y profesoras de este nivel. Los estándares han sido elaborados de acuerdo a la nueva estructura del sistema escolar definida en la Ley General de Educación, promulgada en 2009, que establece que la Educación Media consta de seis grados. Por lo tanto, los estándares aquí definidos asumen que el nuevo profesor de Educación Media deberá estar preparado para enseñar desde (el actual) séptimo básico hasta cuarto medio. De acuerdo con esto, los estándares presentados en este documento orientan los conocimientos y habilidades que debe demostrar el futuro profesor o profesora para enseñar matemática en cada uno de estos grados.

¿Qué son y para qué sirven los estándares? El concepto de estándar, en el contexto educacional, se entiende como aquello que todo docente debe saber y poder hacer para ser considerado competente en un determinado ámbito, en este caso, la enseñanza de la matemática en la Educación Media. Los estándares tienen una doble función: señalan un ”qué”, referido a un conjunto de aspectos o dimensiones que se debieran observar en el desempeño de un futuro profesor o profesora; y también, establecen un ”cuánto” o medida, que permite evaluar qué tan lejos o cerca se encuentra un nuevo profesor o profesora de alcanzar un determinado desempeño. En términos de un qué orientador, los estándares buscan reflejar la profundidad y complejidad de la enseñanza, destacando aquellos aspectos que resultan indispensables y decisivos para la efectividad del quehacer docente. Por otra parte, para que los estándares sirvan como medida base o ”vara”, se ha procurado describir desempeños que permitan verificar el logro del nivel que se juzga adecuado para hacer posible la efectividad de la enseñanza de un profesor competente. Los estándares entregan una orientación acerca de los conocimientos y habilidades necesarios que debería manejar el egresado de pedagogía para enseñar matemática, sobre la base del criterio de expertos. Se entiende, también, que es posible desarrollar distintos caminos o trayectorias académicas para que los egresados o titulados logren satisfacer estos estándares. Los estándares se conciben como un instrumento de apoyo para las instituciones formadoras de profesores de Educación Media en matemática, ya que tendrán en ellos un parámetro público de referencia para orientar las metas a alcanzar en la formación de sus estudiantes, 3

así como para diseñar e implementar las condiciones y oportunidades de aprendizaje que es necesario asegurar durante y al finalizar su formación, para el logro consistente de tales metas. Los estándares también serán utilizados como referentes en los procesos nacionales de evaluación de egresados y egresadas de pedagogía en matemática antes de iniciar su desempeño profesional. Para los estudiantes y postulantes a las carreras de pedagogía en esta área, los estándares resultarán de utilidad para: Tener visión de conjunto sobre conocimientos y habilidades profesionales, como, también, sobre el compromiso moral propio del profesor y profesora de Educación Media. Disponer de una referencia sobre lo que se espera de ellos al finalizar sus estudios. Comparar, a lo largo del proceso de su formación, lo que han logrado respecto a esta referencia. Los estándares, también, pueden ser uno de los referentes para los procesos de acreditación de los programas de formación de profesores, orientando sobre qué esperar como resultado de la formación inicial docente. Finalmente, los estándares tienen la finalidad de comunicar a la sociedad, y en especial al campo de las profesiones, una visión de cuáles son las competencias que el profesional de la docencia debe poseer al ingresar a la enseñanza de la matemática en la Educación Media. La evaluación del logro o no de los estándares ayudará a identificar debilidades y fortalezas en la formación docente y orientar programas de inducción profesional y aprendizaje para los profesores principiantes.

¿Cómo se elaboraron los estándares? Estos estándares disciplinarios de matemática fueron elaborados a partir del año 2010 por encargo del Ministerio de Educación, a través del Centro de Perfeccionamiento, Experimentación e Investigaciones Pedagógicas (CPEIP), a la Universidad de Chile por medio del Centro de Modelamiento Matemático (CMM). Por su parte, los estándares pedagógicos son similares a los de Educación Básica y han sido elaborados por profesionales de este mismo centro además del Centro de Investigación Avanzada en Educación (CIAE) y el Centro de Políticas y Prácticas en Educación (CEPPE) exceptuando el referido al uso de TIC, cuyos responsables fueron especialistas del Centro de Educación y Tecnología, Enlaces, del MINEDUC. En la elaboración de los estándares, se contó con la participación de más de un centenar de profesionales vinculados al sistema escolar, a los procesos de formación y evaluación de docentes, y al cultivo de la disciplina matemática; dichos profesionales provienen de instituciones de todo el país. Se buscó con ello la confluencia de diversas experiencias y perspectivas, representativas de la diversidad del quehacer nacional en el campo educativo. A los mencionados se sumó el aporte de consultores internacionales de reconocido prestigio en el ámbito de la formación de profesores en esta área disciplinaria. Por otra parte, los estándares fueron sometidos a una consulta a decanos de Facultades de Educación y jefes de 4

carreras de pedagogía en matemática de diferentes universidades. A los resultados de esta consulta, respondida en particular por el Consejo de Decanos de Facultades de Educación de Universidades del Consejo de Rectores, se agregaron las sugerencias de los consultores internacionales y del Ministerio de Educación, en tanto contraparte técnica. La contraparte técnica del Ministerio de Educación desarrolló un trabajo permanente de orientación, en un trabajo colaborativo con los centros universitarios a cargo de la elaboración de los estándares. La contraparte estuvo constituida por profesionales del Programa Inicia para el Fomento a la Calidad de la Formación Inicial Docente del CPEIP.

Criterios de elaboración Los siguientes cinco criterios guiaron el proceso de elaboración y consulta sobre los estándares. Consideración de la autonomía de las instituciones formadoras. La propuesta de estándares no debe confundirse con un intento de prescribir a las instituciones formadoras de docentes qué saberes y habilidades definidos como necesarios se deben alcanzar y cómo se debe lograr esto, sino únicamente orientar respecto de qué se debe lograr, sin aspirar a una especificación de las condiciones y medios por los cuales los estudiantes de pedagogía en matemática alcanzarán dichos logros. Relación con el currículo escolar y sus objetivos. Un objetivo necesario de la formación inicial docente es que sus egresados sepan, comprendan y sepan hacer lo necesario para que sus futuros estudiantes logren el nivel de aprendizaje esperado por el currículo nacional vigente. Por lo mismo, los estándares se han elaborado considerando los objetivos de las bases curriculares del sistema escolar y los ejes disciplinarios que lo estructuran. No obstante, teniendo en cuenta que el currículo y la estructura del sistema educacional están sometidos a continuos cambios, se ha procurado: (i) que la especificación de los conocimientos que deban dominar los docentes considere sólo lo esencial y menos variable; y, (ii) utilizar como referente el ajuste curricular aprobado por el Consejo Superior de Educación en el año 2009. Foco en los estudiantes del sistema escolar, sus características y modos de aprender. Los estándares se han construido con foco en los alumnos de la Educación Media y sus necesidades de aprendizaje, lo que pone el centro en la importancia que los futuros profesores o profesoras conozcan quiénes son ellos, cómo aprenden, qué comprensiones traen al proceso de enseñanza y aprendizaje, cuáles son sus necesidades, su entorno social, y qué los motiva. Asimismo, los futuros docentes deben conocer y ser capaces de aplicar estrategias y/o acciones para favorecer la progresión de aprendizajes y la continuidad metodológica con el nivel de Educación Básica. Estándares disciplinarios y pedagógicos. La enseñanza requiere sólidos conocimientos y habilidades en el área curricular de matemática y dominio de metodologías y recursos didácticos respecto a cómo ésta se enseña. Los estándares que aquí se presentan se hacen cargo de esta doble dimensión disciplinaria y pedagógica, ofreciendo a los formadores alternativas para lograr esta articulación fundamental. Es así como en el caso del área matemática, se presentan indicadores disciplinarios y pedagógicos en un mismo estándar, distinguiendo el conocimiento necesario de la disciplina y las habilidades requeridas para enseñarla. 5

El compromiso del profesor o profesora. Los estándares representan un instrumento clave para el desarrollo de la docencia escolar como una profesión de excelencia. En la base de identidad de ésta, se encuentra el compromiso con el crecimiento intelectual y moral de los estudiantes. Así, el conjunto de los estándares se sostiene sobre el criterio de que al compromiso con tal crecimiento, se une el compromiso con el aprendizaje continuo del docente en los aspectos disciplinarios y pedagógicos, la reflexión sobre su práctica, y la utilización de las tecnologías y el trabajo con la comunidad de aprendizaje en la que se desempeñe.

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ESTÁNDARES CON EJEMPLOS En este documento se presentan los estándares para egresados de carreras de pedagogía en matemática con indicadores y ejemplos. Este documento técnico tiene por finalidad comunicar estándares específicos en detalle. Su forma tiene por objeto comunicar ideas generales, pero también precisar con detalle las sutilezas, las cuales en matemática tienen importancia crucial, debido a la propia estructura interna de esta área del conocimiento. Cada indicador describe en palabras lo que se espera que el futuro profesor o profesora sepa y sea capaz de hacer al egreso de la carrera de pedagogía en cuanto a su rol de profesor a cargo del ramo de matemática en los cursos de séptimo básico a cuarto medio. Estos indicadores se escriben buscando precisión, sin embargo inevitablemente dejan un mundo abierto a la interpretación, razón por la que se incluye para cada indicador dos o tres ejemplos destinados a precisar sus alcances. Los ejemplos que aquí se presentan, precisan y acotan al indicador en los aspectos que se consideran relevantes. Aún así, naturalmente los ejemplos no agotan la interpretación que se le puede dar a un indicador, estos ejemplos son solo una guía para una adecuada lectura y comprensión. Se ha optado por presentar los ejemplos en la forma de problemas (matemáticos, didácticos, pedagógicos), motivados por la naturaleza, esencia y experiencia de la matemática. Es necesario también mencionar que en la lectura técnica del documento, en su análisis y posterior uso, debe tenerse en cuenta que los distintos temas son tratados en mayor o menor extensión de acuerdo con la importancia que se le asigna al tema. Así también, la profundidad que se sugiere considerar para un determinado tema se desprende de la dificultad o complejidad de los ejemplos. Con respecto a la forma de problemas que se presentan los ejemplos, debe observarse que, si bien los estándares tienen como una de sus finalidades ser referentes de procesos de evaluación sistémicos, en ningún modo se sugiere que esos instrumentos de evaluación sean construidos a partir de una selección de los ejemplos. Esto porque los ejemplos no están construidos con esa finalidad y porque el proceso de construcción de instrumentos de evaluación y de seguimiento del logro de los estándares aquí explicitados es muy complejo y debe ser conducido apegado a las trasformaciones curriculares, en forma gradual y bajo una permanente observación sistemática de la realidad concreta de las unidades formadoras a lo largo de su proceso de implementación y consolidación de los estándares. Los estándares para egresados de pedagogía en matemática se han organizado en torno a dos grandes categorías: estándares pedagógicos y estándares disciplinarios. Estas dos categorías se articulan y complementan entre sí con el fin de proporcionar al futuro profesor los conocimientos y habilidades necesarios para el desempeño de la docencia. I. Estándares pedagógicos: Corresponden a áreas de competencia necesarias para el adecuado desarrollo del proceso de enseñanza, independientemente de la disciplina que se enseñe: conocimiento general del currículo, diseño de procesos de aprendizaje y evaluación para el aprendizaje. Se incluye en ellos, la dimensión moral de su profesión: que los futuros profesores y profesoras estén comprometidos con su profesión, con su 7

propio aprendizaje y con el aprendizaje y formación de sus estudiantes. Asimismo, se describen aquí las habilidades y disposiciones que deben mostrar para revisar su propia práctica y aprender en forma continua. Asimismo, los futuros profesores deben estar preparados para gestionar clases, interactuar con los estudiantes y promover un ambiente adecuado para el aprendizaje. Finalmente, se señalan aspectos de la cultura escolar que el futuro docente debe conocer, así como estrategias para la formación personal y social de sus estudiantes. II. Estándares disciplinarios para la enseñanza: Definen las competencias específicas para enseñar matemática. En este caso, los estándares sugieren qué conocimientos y habilidades deben demostrar los futuros profesores y profesoras para enseñar esta disciplina y cómo ésta se enseña, incluyendo el conocimiento del currículo específico, la comprensión sobre cómo aprenden los estudiantes esta disciplina y la capacidad para diseñar, planificar e implementar experiencias de aprendizaje, así como para evaluar y reflexionar acerca de sus logros. El formato de cada uno de los estándares contempla una descripción que entrega una idea general de lo que se espera que los docentes egresados conozcan y sepan hacer, y un conjunto de indicadores que desglosan y especifican de qué modo se manifiesta el logro de los conocimientos y habilidades en el ámbito que cubre el estándar. En la mayoría de los casos, los indicadores corresponden a desempeños de los futuros profesores y profesoras, que muestran que han logrado el estándar, pero también, en algunos casos, se incluyen indicadores que describen disposiciones y valoraciones. Los indicadores no pretenden ser exhaustivos respecto de los modos posibles de demostrar el logro del estándar y, en consecuencia, no deberían ser utilizados como una lista de cotejo, como tampoco es posible inferir que se ha alcanzado el estándar con solo verificar un buen desempeño en uno de los indicadores. Descripciones e indicadores, en su conjunto, constituyen el estándar.

El alcance de los estándares Estos estándares están diseñados para preparar Profesores y Profesoras de Enseñanza Media (7 básico a 4 medio) que sean capaces de desempeñarse con éxito en el sistema escolar nacional en el subsector de matemática. Si bien no cabe duda que un conocimiento amplio de la materia a enseñar es muy deseable a la hora de enfrentar la responsabilidad de guiar a jóvenes en su aprendizaje, también es cierto que esto impone exigencias mayores a los futuros profesores y profesoras y al sistema de formación en su conjunto. En la elaboración de los estándares se incluyen aquellos contenidos presentes en el currículo y también contenidos matemáticos más avanzados que permiten que el profesor o profesora tenga suficiente soltura y profundidad en relación a las materias a enseñar. Los contenidos disciplinares universitarios considerados aquí son aquellos que dan sentido y soporte a los contenidos escolares y se espera que todos los egresados de pedagogía en matemática los dominen, sin perjuicio que los diversos programas de pedagogía incluyan una formación matemática más extensa y acabada, con sellos propios que los distingan.

Metodología de elaboración de estándares El proceso de elaboración de estándares se basó en la colaboración y en la discusión colectiva de los avances, por parte del equipo redactor. En particular, no hubo investigadores específicos asignados a cada eje. Para la redacción de estándares, indicadores y ejemplos, se dividió el equipo en grupos, los que presentaron sus propuestas, para la discusión conjunta. 8

Los grupos no fueron permanentes, sino que cambiaron a lo largo del proceso de construcción. Así el desarrollo de los estándares de un eje fue abordado por el equipo redactor en su conjunto. Esta metodología permitió crear instancias de colaboración extremadamente ricas, que condujeron, en particular, a amalgamar los aspectos disciplinarios y pedagógicos fundamentales de la preparación para enseñar del futuro profesor o profesora. Otro aspecto positivo de este diseño, es que al no existir encargados permanentes por eje, el proceso de construcción fue más abierto y proclive a incorporar críticas y sugerencias. Esta metodología de construcción de los estándares fue similar a la utilizada para elaborar los estándares de educación básica en matemáticas.

Estructura Los estándares disciplinarios tienen una estructura de ejes inspiradas en el currículo escolar, a la que se agregan dos ejes disciplinarios que dan fundamento a la matemática escolar, marcando una diferencia con la organización de ejes de los estándares de educación básica en la forma, pero no en el fondo. También en este caso se consideran dos dimensiones que se refieren a aspectos transversales a los contenidos, que son las mismas que en educación básica, aunque cambia su desglose, para homogeneizar este aspecto con los estándares de las otras disciplinas. La estructura de Ejes La estructura de ejes permite describir los estándares de acuerdo a los contenidos matemáticos que se presentan. Estos contenidos son seleccionados con el propósito explícito de servir para la enseñanza del currículo escolar de séptimo básico a cuarto medio. Es por esta razón que se ha optado por tres ejes que están inspirados directamente en el currículo escolar: 1. Sistemas Númericos y Álgebra, 4. Geometría y 5. Datos y Azar. Los ejes escolares de Números y de Álgebra se han fusionado en un solo eje disciplinario, pues si bien a nivel escolar es natural que estén separados, desde el punto de vista de la formación matemática de los profesores y profesoras, estos contenidos resultan estar íntimamente ligados. Los tres ejes anteriores se complementan con los ejes: 2. Cálculo y 3. Estructuras Algebraicas, que dan fundamento a la formación en los aspectos escolares de número y álgebra y también de los contenidos de geometría y datos y azar. Eje de Sistemas Númericos y Álgebra. El eje de números es fundamental en el currículo escolar y lo recorre a todo su largo, aunque su presencia es más fuerte en la educación básica. El eje de álgebra, por el contrario, adquiere creciente importancia a medida que se avanza en los niveles escolares, y es así que en educación media tiene una presencia claramente mayor que el eje de Números. La separación formal de estos dos ejes que se hace a nivel del currículo escolar no tiene mayor sentido en el contexto de la formación matemática del profesor de enseñanza media. Desde una perspectiva pedagógica resulta beneficioso el tratamiento conjunto de estos dos ejes. La explicitación de las conexiones entre los ejes escolares de números y de álgebra muestra la coherencia interna de la matemática, en particular da sentido a reglas y propiedades que aisladas podrían parecer gratuitas. Este eje tiene cuatro estándares, los que cubren los aspectos más importantes de sistemas numéricos, expresiones algebraicas, ecuaciones, funciones y algebra lineal. Eje de Cálculo. Las ideas del cálculo diferencial y el cálculo integral forman parte de los conocimientos básicos que dan fundamento a contenidos escolares de la educación media. 9

Estas ideas se conectan de manera directa con el eje de Sistemas Numéricos y Algebra y también están presentes en los ejes de Geometría y Datos y Azar. El enfoque utilizado en el desarrollo de este eje privilegia las conexiones con la matemática del currículo escolar y enfatiza el modelamiento matemático y aspectos relacionados con él. Este eje se compone de tres estándares. Un primer estándar está dedicado a los procesos infinitos, tema que forma parte del currículo escolar del plan diferenciado, razón por la cual se presentan aspectos disciplinarios y pedagógicos. Los otros dos estándares se destinan respectivamente al cálculo diferencial e integral, sus aplicaciones y conexiones con enseñanza media, especialmente en el análisis de funciones, modelación, aproximaciones numéricas, cálculos de áreas y volúmenes. Eje de Estructuras Algebraicas. En este eje se abordan temas en torno a la unificadora idea matemática de “estructura”, y da fundamento al eje de Sistemas Numéricos y Álgebra y tiene importantes conexiones con el eje de Geometría. Se ha privilegiado un enfoque que vincule las estructuras algebraicas con la matemática de nivel escolar. Se ha querido también plasmar en este eje la idea de que conocer ejemplos en profundidad permite comprender mejor aspectos generales de la teoría. Es así que los estándares e indicadores de los tópicos de grupos, anillos y cuerpos se han centrado en propiedades de algunos casos importantes, como el grupo simétrico o el anillo de polinomios, más que en ideas abstractas de grupos o anillos en general. El eje se compone de tres estándares. Los dos primeros estándares abordan las estructuras de grupos, anillos y cuerpos con el enfoque descrito. El tercer estándar aborda las construcciones o presentaciones axiomáticas de los distintos sistemas numéricos, y también cardinalidad, inducción matemática, lógica y algoritmos. Eje de Geometría. La geometría ha tenido tradicionalmente un papel fundamental en el currículo escolar como el lugar donde se desarrolla la capacidad de realizar razonamiento deductivo. Actualmente, si bien este aspecto de las matemáticas aparece de manera transversal en el currículo, se ha creído necesario mantener un énfasis particular en lo que respecta a argumentación en este eje. Este eje se compone de seis estándares donde los cinco primeros abarcan elementos básicos, figuras y cuerpos geométricos, transformaciones isométricas, homotecias, construcciones con regla y compás, medida y trigonometría, geometría analítica en el plano y el espacio. El último estándar está destinado a los aspectos fundantes e históricos de la geometría. Eje de Datos y Azar. La presencia de la estadística y las probabilidades en el currículo escolar es nueva, por lo que no existe tradición nacional en su enseñanza a nivel escolar ni en la formación de los profesores y profesoras. La introducción temprana de estas ideas corresponde a una tendencia mundial que reconoce su importancia en tres ámbitos relevantes: en la vida diaria de los ciudadanos para la comprensión de noticias, hechos y estudios y sus consecuencias en la toma de decisiones; como conocimiento de base de todas las disciplinas científicas y tecnológicas; y como herramienta para el desarrollo del pensamiento crítico. En este eje se han definido cinco estándares. El primero trata elementos básicos de estadística descriptiva. Los siguientes tres estándares están dedicados al tratamiento de probabilidades con énfasis en probabilidades discretas y la distribución normal. El quinto estándar está dedicado a la inferencia estadística. La estructura de Dimensiones Las dos dimensiones consideradas se refieren a aspectos transversales a los contenidos. Estos son el dominio disciplinario que se enuncia como Saber la Disciplina para Enseñar y 10

el dominio pedagógico que se enuncia como Saber Enseñar la Disciplina, en el entendido que ambas dimensiones se enfocan en la tarea específica del profesor de matemática, que es enseñar los contenidos del currículo de enseñanza media. Cada una de estas dimensiones se descompone en subdimensiones que permiten clasificar los indicadores, dentro de cada estándar y que hacen referencia a aspectos más desagregados de ellas. Estas subdimensiones no constituyen una taxonomía ni se enmarcan en una teoría. Sólo tienen un propósito práctico, que es el de orientar al usuario de estos estándares en necesidades particulares distinguibles de la tarea de enseñar. A) Saber la disciplina para enseñar: a) Conocimiento disciplinar b) Conocimiento de alumnos y matemáticas c) Conocimiento del currículo B) Saber enseñar la disciplina a) Planificación b) Enseñanza c) Evaluación y reflexión

A) Saber la disciplina para enseñar En esta dimensión se consideran conocimientos disciplinares específicos de la tarea enseñar matemática y abarcan el conocimiento del currículo escolar de matemática, conocimientos específicos referidos a como los estudiante de este nivel escolar aprenden y un conocimiento de contenidos matemáticos, que son necesarios para enseñar el currículo. Distinguimos dos tipos de conocimiento disciplinar necesario para el futuro profesor o profesora. Por una parte, respecto de los contenidos que enseñará, se requiere que el futuro profesor o profesora desarrolle ciertas destrezas, habilidades y comprensión profunda que son únicas y exclusivas de la tarea de enseñar esos contenidos. Se necesita que sea capaz de dar explicaciones y definiciones precisas, correctas y adecuadas al nivel escolar en el que enseña, que disponga de variedad de representaciones, que tenga destrezas operatorias, que sea hábil en aplicar procedimientos, así como en resolver problemas. Particularmente importante es su capacidad de realizar demostraciones, diseñar y conducir actividades de indagación y, en general, de desarrollar actividades de razonamiento matemático a nivel escolar, así como de modelar matemáticamente. Por otra parte, debe contar con conocimientos de la matemática avanzada, que den sentido y soporte a la matemática que enseñará, desarrollando en mayor profundidad sus ideas centrales, entender su evolución histórica, sus aplicaciones y los modelos que aportan, comprendiendo las conexiones entre esta matemática y la que enseñará. Conocimiento disciplinar. El futuro profesor o profesora domina los contenidos que enseñará respecto de los cuales posee una comprensión profunda, variedad de representaciones, explicaciones precisas y adecuadas a la tarea de enseñar esos contenidos en el nivel escolar correspondiente. Es capaz de realizar demostraciones, diseñar y conducir actividades de indagación y, en general, de desarrollar actividades de razonamiento matemático a nivel escolar, así como de modelar matemáticamente. Adicionalmente cuenta con conocimientos de 11

matemática avanzada relacionada con la matemática escolar; conoce y comprende las conexiones entre esta matemática universitaria y la matemática que enseñará. El futuro profesor o profesora está preparado para los cambios que necesaria y periódicamente experimenta el currículo escolar. Conocimiento de alumnos y matemáticas. El futuro profesor o profesora conoce cómo los alumnos aprenden los contenidos del currículo escolar, lo que incluye conocer obstáculos de aprendizaje, las dificultades, los errores frecuentes. Además de disponer de una variedad de representaciones de los diversos conceptos que deberá enseñar, está conciente de las dificultades de los alumnos para usar éstas representaciones y para pasar de una representación a otra. En la enseñanza y el aprendizaje de la matemática influyen de manera importante actitudes y creencias respecto de esta, comunes en la sociedad. El futuro profesor o profesora incopora estos aspectos en su tarea así como las motivaciones e intereses de los aprendices en su diversidad. Conocimiento del currículo. El futuro profesor o profesora conoce y comprende el sentido de la secuencia propuesta por el currículo para los contenidos centrales, así como la articulación de éstos tanto a diferentes niveles de un mismo eje como entre los distintos ejes. Está familiarizado y es capaz de usar los instrumentos curriculares que estén vigentes y marcos conceptuales específicos de la matemática de gran consenso, como por ejemplo los contenidos, las habilidades del dominio cognitivo y las competencias utilizados por evaluaciones internacionales relevantes. B) Saber enseñar la disciplina En esta dimensión se incluyen los elementos del proceso de enseñanza y aprendizaje como son la planificación, la enseñanza y la evaluación. Planificación. El futuro profesor o profesora es capaz de planificar unidades de contenidos y clases, lo cual involucra establecer requisitos, secuenciar contenidos, prever posibles dificultades y respuestas de los alumnos y alumnas. Sabe preparar la interacción que quiere lograr con los alumnos y alumnas, y planificar los tiempos requeridos, tomando en cuenta los ritmos de aprendizaje. Es capaz de diseñar, seleccionar y planificar el uso de recursos, identificando los aportes de éstos en el aprendizaje de la matemática. Entre estos se identifican: material concreto, textos escolares, guías de aprendizaje, instrumentos geométricos, calculadoras y herramientas de las tecnologías de información y comunicaciones. Enseñanza. El futuro profesor o profesora sabe gestionar la enseñanza tomando en cuenta los momentos de la clase y la diversidad de los alumnos. Además es capaz de implementar estrategias para motivar a los alumnos y alumnas, desarrollando una relación alumnomatemática-profesor positiva y estimulante. Promueve el aprendizaje de la matemática a traves de actividades que tienen como objetivo que los estudiantes hagan matemática, involucrando el razonamiento matemático, la resolución de problemas, la indagación y la argumentación. Evaluación y Reflexión El futuro profesor o profesora conoce y diseña instrumentos para realizar evaluaciones con diversos propósitos y sabe interpretar sus resultados para retroalimentar a sus estudiantes y también para obtener información acerca de la efectividad de sus métodos de enseñanza. La evaluación se entiende desde dos paradigmas: la evaluación para el aprendizaje y la evaluación del aprendizaje. El futuro profesor o profesora está informado y comprende el alcance y las características de los diversos instrumentos de medición nacional 12

e internacional en los que nuestro país está involucrado, reflexionando sobre sus resultados. Sabe que todos los alumnos pueden aprender matemática independientemente de su género y de la situación sociocultural de sus familias. El futuro profesor o profesora dispone de herramientas para analizar su práctica pedagógica, comunicarla y compartir la reflexión con sus pares y tomar decisiones basadas en evidencia.

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VISIÓN SINÓPTICA DE LOS ESTÁNDARES En esta primera parte se presentan los estándares pedagógicos y disciplinarios, con el objetivo de facilitar una perspectiva global de lo que se espera y valora como resultado de la formación inicial docente, para en un segundo apartado presentarlos en forma detallada y con sus respectivos indicadores y ejemplos. Los estándares pedagógicos corresponden a áreas de competencias genéricas de la función docente, las cuales son necesarias para la enseñanza de las diversas disciplinas. Es pertinente reiterar que estas categorías de estándares se articulan y complementan entre sí, con el fin de proporcionar al futuro profesor los conocimientos y habilidades necesarios para el desempeño de la docencia en la enseñanza media.

ESTÁNDARES PEDAGÓGICOS El futuro profesor o profesora: Estándar 1. Conoce a los estudiantes de enseñanza media y sabe cómo aprenden. Estándar 2. Está preparado para promover el desarrollo personal y social de los estudiantes. Estándar 3. Conoce el currículo de enseñanza media y usa sus diversos instrumentos para analizar y formular propuestas pedagógicas y evaluativas. Estándar 4. Sabe cómo diseñar e implementar estrategias de enseñanza aprendizaje, adecuadas para los objetivos de aprendizaje y de acuerdo al contexto. Estándar 5. Está preparado para gestionar la clase y crear un ambiente apropiado para el aprendizaje según contextos. Estándar 6. Conoce y sabe aplicar métodos de evaluación para observar el progreso de los estudiantes y sabe usar los resultados para retroalimentar el aprendizaje y la práctica pedagógica. Estándar 7. Conoce cómo se genera y transforma la cultura escolar. Estándar 8. Está preparado para atender la diversidad y promover la integración en el aula. Estándar 9. Se comunica oralmente y por escrito de forma efectiva en diversas situaciones asociadas a su quehacer docente. Estándar 10. Aprende en forma continua y reflexiona sobre su práctica y su inserción en el sistema educacional.

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ESTÁNDARES DISCIPLINARIOS El futuro profesor o profesora: Estándar 1. Es capaz de conducir el aprendizaje de los sistemas de numéricos N, Z, Q, R y C. Estándar 2. Es capaz de conducir el aprendizaje de las operaciones del álgebra elemental y sus aplicaciones a la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Estándar 3. Es capaz de conducir el aprendizaje del concepto de función, sus propiedades y representaciones. Estándar 4. Demuestra competencia disciplinaria en álgebra lineal y es capaz de conducir el aprendizaje de sus aplicaciones en la matemática escolar. Estándar 5. Es capaz de conducir el aprendizaje de los números reales, sucesiones, sumatorias y series. Estándar 6. Demuestra competencia disciplinaria en cálculo diferencial y aplicaciones. Estándar 7. Demuestra competencia disciplinaria en cálculo integral y aplicaciones. Estándar 8. Es capaz de conducir el aprendizaje de la divisibilidad de números enteros y de polinomios y demuestra competencia disciplinaria en su generalización a la estructura de anillo. Estándar 9. Demuestra competencia disciplinaria en teoría de grupos y cuerpos. Estándar 10. Demuestra competencia disciplinaria en conceptos y construcciones fundamentales de la matemática. Estándar 11. Es capaz de conducir el aprendizaje de los conceptos elementales de la geometría. Estándar 12. Es capaz de conducir el aprendizaje de transformaciones isométricas y homotecias de figuras en el plano. Estándar 13. Es capaz de conducir el aprendizaje de los estudiantes en temas referidos a medida de atributos de objetos geométricos y el uso de la trigonometría. Estándar 14. Es capaz de conducir el aprendizaje de la geometría analítica plana. Estándar 15. Es capaz de conducir el aprendizaje de la geometría del espacio usando vectores y coordenadas. Estándar 16. Comprende aspectos fundantes de la geometría euclidiana y algunos modelos básicos de geometrías no euclidianas. Estándar 17. Es capaz de motivar la recolección y estudio de datos y de conducir el aprendizaje de las herramientas básicas de su representación y análisis. Estándar 18. Es capaz de conducir el aprendizaje de las probabilidades discretas. Estándar 19. Está preparado para conducir el aprendizaje de las variables aleatorias discretas. Estándar 20. Está preparado para conducir el aprendizaje de la distribución normaly teoremas límite. Estándar 21. Está preparado para conducir el aprendizaje de inferencia estadística. 16

I. Estándares Pedagógicos

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ESTÁNDARES PEDAGÓGICOS Por estándares pedagógicos se entienden los conocimientos, habilidades y actitudes profesionales necesarias para el desarrollo del proceso de enseñanza, que debe poseer un egresado de pedagogía, independientemente de la disciplina que enseñe en la educación básica. Con ellos, se abordan los procesos y procedimientos para conocer a los alumnos y alumnas, el conocimiento del currículo educación básica o elementos más fundamentales del proceso de enseñanza aprendizaje en la situación escolar, como son: planificación, enseñanza, evaluación y reflexión. De igual modo, la generación del ambiente de aprendizaje, como la comunicación efectiva con los alumnos padres y pares profesionales. Por otra parte, se espera un futuro profesor que aborde la dimensión moral de su profesión, a través del compromiso con su propio aprendizaje y con el aprendizaje y formación de sus estudiantes donde el propio aprendizaje es fundamental. Aprender en forma continua, conocer cómo se genera y transforma la cultura escolar y estar preparado para promover el desarrollo personal y social de los estudiantes.

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ESTÁNDARES PEDAGÓGICOS Estándar 1 : Conoce a los estudiantes de Educación Media y sabe cómo aprenden. El futuro profesor o profesora conoce las características de los estudiantes en términos personales, sociales y culturales. Sabe cómo aprenden e identifica las características cognitivas, biológicas, afectivas y de los procesos de desarrollo que pueden intervenir en el aprendizaje y sabe que estas características se presentan de maneras muy diversas dentro de un mismo grupo. Actúa en concordancia con la convicción de que todos y cada uno de los estudiantes pueden aprender y alcanzar las metas que el sistema educativo establece para ellos. Tiene conciencia de la complejidad del ejercicio profesional y de la necesidad de estar preparados para tomar permanentemente decisiones pedagógicas apropiadas al contexto. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Conoce los conceptos y principios fundamentales de las diversas teorías de aprendizaje y desarrollo cognitivo, afectivo, social y moral, y sabe utilizarlas para interpretar y diseñar diferentes situaciones de enseñanza-aprendizaje. Indicador 2 : Comprende que todos los estudiantes están en plena etapa de aprendizaje y puede aprender y desarrollar hábitos, actitudes, intereses, motivaciones, y asume que tiene un rol formativo como educador. Indicador 3 : Identifica estilos de aprendizaje, intereses, motivaciones, necesidades educativas especiales y talentos específicos de sus estudiantes y a partir de ellos toma decisiones que contribuyan a su desarrollo. Indicador 4 : Tiene altas expectativas acerca de las capacidades de aprendizaje de los estudiantes y demuestra estar preparado para promover y proteger el desarrollo integral de cada uno de ellos. Indicador 5 : Es responsable del aprendizaje de todos los estudiantes, para ello conoce y diseña estrategias que promuevan el desarrollo de cada uno. Indicador 6 : Demuestra los conocimientos, actitudes y habilidades que quiere promover en sus estudiantes para motivarlos y comprometerlos con su aprendizaje y desarrollo permanente.

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Estándar 2 : Está preparado para promover el desarrollo personal y social de los estudiantes El futuro profesor o profesora comprende la importancia de educar en valores y está preparado para formar a niños y niñas responsables, íntegros, que cuidan de sí mismos, de su entorno y del medio ambiente. Comprende el rol del docente como modelo y la relevancia de su actuación para la comunidad escolar. Está preparado para resolver profesionalmente problemas emergentes en torno a educación sexual, prevención en el uso de drogas y otros temas de orden valórico, en el marco de un enfoque a nivel de escuela para proporcionar experiencias para el aprendizaje de valores. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Sabe cómo diseñar, implementar y evaluar estrategias de enseñanza aprendizaje para promover el desarrollo personal y social de los alumnos, a través de distintas actividades educativas y una adecuada selección de recursos, no asociados exclusivamente a una disciplina en particular. Indicador 2 : Está preparado para desarrollar en sus estudiantes el valor del respeto hacia sí mismos. Para ello, promueve en sus alumnas y alumnos el conocimiento de sus fortalezas y debilidades, el desarrollo de un autoconcepto positivo, la toma de conciencia de sus emociones, de su propio valor y auto eficacia. Indicador 3 : Está preparado para desarrollar en sus estudiantes el respeto a los demás, sobre la base de la igualdad de derechos de todas las personas, valorando su diversidad. Para ello, conoce estrategias para desarrollar la empatía en sus alumnos, para establecer relaciones interpersonales armoniosas mediante comunicación efectiva y para desarrollar habilidades para el manejo de conflictos. Indicador 4 : Está preparado para promover la formación de sus alumnos como personas íntegras, con sólidos principios éticos. Indicador 5 : Está preparado para desarrollar valores, actitudes y hábitos en los estudiantes. Indicador 6 : Conoce la importancia social, afectiva y espiritual de la familia para el desarrollo integral de sus alumnos. Indicador 7 : Conoce estrategias para desarrollar gradualmente en sus estudiantes la responsabilidad, el trabajo en equipo y a participar en actividades del establecimiento y la comunidad. Indicador 8 : Conoce estrategias para desarrollar en sus estudiantes la habilidad de toma de decisiones que se traduzcan en acciones responsables. Para ello, promueve el razonamiento crítico para tomar decisiones de manera informada, ponderando aspectos personales, sociales y éticos. Indicador 9 : Conoce estrategias para promover el cuidado personal de sus estudiantes en materias de salud, sexualidad y prevención en el uso de drogas. Conoce y es capaz de aplicar estrategias docentes para prevenir, sensibilizar y promover hábitos para afrontar el acoso a través de la web.

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Estándar 3 : Conoce el currículo de enseñanza Media y usa sus diversos instrumentos curriculares para analizar y formular propuestas pedagógicas y evaluativas. El futuro profesor o profesora conoce el currículo nacional vigente, su propósito general, los principios que lo inspiran, su estructura y secuencia. Distingue el propósito y sentido de progresión del aprendizaje propuesto para los diversos sectores de aprendizaje, lo cual le permite diseñar y secuenciar propuestas pedagógicas y de evaluación y analizar su coherencia con las expectativas nacionales, discriminando los aprendizajes centrales de los que resultan secundarios. Está familiarizado(a) y es capaz de usar los instrumentos curriculares y evaluativos oficiales tales como el marco curricular vigente, los programas de estudio y los estándares de aprendizaje expresados en los mapas de progreso y niveles de logro de las evaluaciones nacionales. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Domina conceptos básicos de teoría curricular. Indicador 2 : Comprende los fundamentos sobre la base de los cuales se ha construido el currículum nacional. Indicador 3 : Conoce y usa los instrumentos curriculares y de evaluación de aprendizaje nacionales para establecer metas de aprendizaje, planificar y realizar evaluaciones curriculares integrales. Indicador 4 : Conoce y comprende la estructura del currículum nacional e identifica la terminología asociada al Marco curricular y los Programas de Estudio. Indicador 5 : Conoce el propósito formativo y la progresión que establece el currículo nacional y la secuencia establecida para los niveles de Enseñanza Media. Indicador 6 : Identifica en el currículo de todos los sectores de aprendizaje, los conceptos fundamentales y habilidades que necesita dominar para poder propiciar en sus futuros estudiantes los aprendizajes esperados. Indicador 7 : Reconoce el impacto que tiene alcanzar o no determinados aprendizajes en puntos definidos de la trayectoria escolar para el logro de otros en hitos posteriores. Indicador 8 : Identifica las oportunidades que existen para relacionar, integrar y potenciar los aprendizajes de las distintas áreas del currículo y reconoce las relaciones de interdependencia que existen entre ellas. Indicador 9 : Analiza críticamente y compara el currículum nacional con otras propuestas curriculares.

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Estándar 4 : Sabe cómo diseñar e implementar estrategias de enseñanza aprendizaje, adecuadas para los objetivos de aprendizaje y de acuerdo al contexto. El futuro profesor o profesora es capaz de planificar la enseñanza teniendo como foco el logro de objetivos de aprendizaje relevantes para los estudiantes y coherentes con el currículo nacional. Considera en su planificación las necesidades, intereses, conocimientos previos, habilidades, competencias tecnológicas y experiencias de los estudiantes y el contexto en que se desarrollará la docencia, incluyendo los resultados de evaluaciones previas. Es capaz de planificar experiencias de aprendizaje y secuencias de actividades, dando a los estudiantes el tiempo, el espacio y los recursos necesarios para aprender. Conoce las estrategias didácticas propias de cada área curricular y es capaz de transformar este conocimiento en enseñanza. Incorpora recursos TIC en los diseños, en la implementación curricular y en la evaluación educativa, seleccionando los que son apropiados para favorecer los procesos de enseñanza y aprendizaje. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Diseña, de manera individual o colectiva, planificaciones de distinto alcance temporal para lograr los aprendizajes esperados de acuerdo al currículo en las distintas áreas. Indicador 2 : Presenta los fundamentos teóricos de diversos tipos de planificación y analiza sus fortalezas y debilidades, y determina la efectividad de ellas. Indicador 3 : Elabora planificaciones donde las estrategias de enseñanza, las actividades, los recursos y la evaluación son efectivos y coherentes con el logro de los objetivos de aprendizaje. Indicador 4 : Ajusta y modifica planificaciones considerando las características de los estudiantes, adaptándolas a las necesidades emergentes, las evaluaciones del proceso y de los resultados de aprendizajes alcanzados. Indicador 5 : Prepara situaciones que permiten integrar los objetivos fundamentales transversales cuando es pertinente. Indicador 6 : Sabe cómo considerar en su planificación el uso efectivo del tiempo de enseñanza-aprendizaje en el aula. Indicador 7 : Fundamenta las decisiones pedagógicas que ha tomado en su planificación y evalúa críticamente posibles alternativas para mejorarla, manifestando apertura para recibir u ofrecer retroalimentación. Indicador 8 : Selecciona TIC que potencian el desarrollo de la enseñanza en cada área curricular fundamentándose en criterios como su aporte al aprendizaje y desarrollo de habilidades de orden superior (cognitivas, de comunicación, expresión y creación). Indicador 9 : Evidencia un comportamiento respetuoso, ético y legal respecto de la información y uso de las TIC, considerando el derecho a la privacidad, la propiedad intelectual, los derechos de autor y la seguridad de la información. Indicador 10 : Utiliza las TIC para apoyar las labores relacionadas con la administración y gestión de su práctica profesional en el establecimiento y en el aula.

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Estándar 5 : Está preparado para gestionar la clase y crear un ambiente apropiado para el aprendizaje según contextos. El futuro profesor o profesora reconoce la importancia de establecer un clima de cordialidad, respeto, confianza y equidad en el aula y está preparado para crearlo y mantenerlo. Puede generar y conservar un ambiente de trabajo estructurado que favorezca que los y las estudiantes se focalicen en el aprendizaje y aprovechar así el tiempo de la clase en forma eficiente. Es capaz de mantener una interacción pedagógica estimulante con los estudiantes, proponiendo actividades de aprendizaje desafiantes para promover su interés por aprender y su capacidad de pensar. Conoce los requerimientos particulares implicados en la creación de un ambiente propicio para el aprendizaje de las áreas curriculares que enseñará. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Sabe cómo generar en el aula y en el establecimiento educacional un espacio acogedor y estimulante para los estudiantes, que promueva el aprendizaje y el desarrollo integral de los alumnos y alumnas. Indicador 2 : Muestra competencias para generar, mantener y comunicar el sentido de normas explícitas de convivencia basadas en la tolerancia y respeto mutuo, y flexibilidad para ajustarlas según actividades de aprendizaje y contextos. Indicador 3 : Demuestra una disposición a prestar atención al desarrollo físico, emocional y social sano de sus estudiantes y está preparado para promover en ellos estilos de vida saludables. Indicador 4 : Sabe usar estrategias de comunicación efectivas apoyándose en el uso del tono de voz, modulación, postura corporal y manejo del espacio. Indicador 5 : Conoce estrategias para el manejo conductual de grupos grandes, así como para la enseñanza de procedimientos y rutinas de convivencia. Indicador 6 : Puede gestionar eficazmente el tiempo de la clase en favor de los objetivos de aprendizaje minimizando el tiempo destinado a actividades ajenas, accesorias o secundarias. Indicador 7 : Estructura adecuadamente las actividades y el espacio físico, el equipamiento del aula y los recursos de aprendizaje a utilizar, para procurar fluidez en el trabajo de los estudiantes. Indicador 8 : Está preparado para organizar actividades fuera del aula y del establecimiento, garantizando un ambiente de trabajo protegido y manejo de situaciones de emergencia (accidentes o fenómenos naturales). Indicador 9 : Sabe cómo promover la comprensión del sentido de las actividades, comunicando con claridad los objetivos de aprendizaje y las condiciones a cumplir para que los estudiantes puedan orientar y regular progresivamente su propio trabajo. Indicador 10 : Formula preguntas que estimulen a los estudiantes a pensar, analizar, interpretar o evaluar información y no sólo preguntas que apunten a la reproducción de un contenido o de las conclusiones del docente. Indicador 11 : Está preparado para incentivar, acoger y enriquecer las preguntas, respuestas, opiniones, observaciones e inquietudes de los estudiantes y considerarlas como oportunidades para el aprendizaje y la formación de ellos. 25

Estándar 6 : Conoce y sabe aplicar métodos de evaluación para observar el progreso de los estudiantes y sabe usar los resultados para retroalimentar el aprendizaje y la práctica pedagógica. El futuro profesor o profesora comprende la evaluación como un proceso sistemático de obtención de evidencia para verificar el aprendizaje de los estudiantes, con el propósito de mejorar su enseñanza y el aprendizaje. Conoce, diseña y adapta diferentes estrategias e instrumentos que proveen diversas y suficientes oportunidades para que los y las estudiantes demuestren lo que han aprendido. Comprende que las estrategias y los criterios de evaluación deben ser coherentes con los objetivos y las oportunidades de aprendizaje ofrecidas y que deben ser comunicados oportunamente. Está preparado para ofrecer oportunidades para que los estudiantes desarrollen su capacidad para monitorear su propio aprendizaje. Comprende que es su responsabilidad certificar el nivel de logro de los objetivos de aprendizaje y conoce los requerimientos del sistema escolar al respecto. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Sabe cómo integrar la evaluación como un elemento más de la enseñanza y verificar los aprendizajes a través de evaluaciones formales e informales. Indicador 2 : Selecciona variadas estrategias e instrumentos de evaluación formales e informales y de comunicación de los resultados de ella, en función del tipo de contenidos (conceptuales, procedimentales o actitudinales) a trabajar, las metodologías de enseñanza empleadas y la intencionalidad de la evaluación (diagnóstica, formativa o sumativa). Indicador 3 : Conoce los propósitos de la evaluación diferenciada y comprende cuándo utilizarla. Y la utiliza con propiedad. Indicador 4 : Es capaz de comunicar, en forma apropiada y oportuna, tanto a los alumnos como a padres y otros docentes, las metas de aprendizaje y criterios de evaluación para que los y las estudiantes conozcan las expectativas sobre su trabajo, como también los resultados obtenidos. Indicador 5 : Sabe retroalimentar a los estudiantes acerca de sus avances personales y logros académicos con el fin de estimular su capacidad de aprendizaje, autorregulación. Indicador 6 : Conoce el valor del error como señal de los aprendizajes no logrados de sus alumnos y como fuente de información para que los estudiantes mejoren. Indicador 7 : Utiliza la información que provee la evaluación para identificar fortalezas y debilidades en su enseñanza y tomar decisiones pedagógicas. Indicador 8 : Utiliza los resultados de la evaluación para retroalimentar el aprendizaje de los alumnos comunicándoles los grados de avance y estrategias necesarias para seguir progresando. Indicador 9 : Está preparado para traducir en calificaciones su apreciación sobre los aprendizajes logrados por los estudiantes y certificarlos en forma apropiada. Indicador 10 : Analiza críticamente estrategias e instrumentos de evaluación considerando su coherencia con los objetivos a evaluar y con las expectativas nacionales de logro expresadas en diferentes instrumentos curriculares. 26

Indicador 11 : Tiene conocimientos de estadística que le permiten interpretar correctamente reportes de resultados de evaluaciones del establecimiento, nacionales e internacionales.

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Estándar 7 : Conoce cómo se genera y transforma la cultura escolar El futuro profesor o profesora comprende el rol que juega la cultura escolar en el desempeño del establecimiento y el comportamiento de los alumnos. Sabe que la cultura involucra las creencias, valores y sentimientos existentes en la comunidad escolar. Está consciente de que estos factores se pueden gestionar para generar un ambiente propicio para el desarrollo de una convivencia armónica, promover el aprendizaje y la formación de los estudiantes. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Conoce los distintos tipos de cultura que pueden desarrollarse en un establecimiento escolar y está preparado para influir en la generación de una cultura de respeto, de responsabilidad y de confianza, acorde al proyecto educativo de su establecimiento. Indicador 2 : Sabe como contribuir a desarrollar un sentido de identidad de la escuela, que genera cohesión en torno a un proyecto común. Indicador 3 : Sabe como aportar a la generación de una cultura donde prime una ética de trabajo de excelencia, lo que implica que los profesores se esfuerzan permanentemente para realizar un trabajo de calidad, se comprometen con los aprendizajes y formación de sus alumnos y se hacen responsables de sus resultados. A la vez, valora el trabajo bien hecho y el esfuerzo desarrollado por sus alumnos. Indicador 4 : Sabe la importancia de establecer altas expectativas, independiente de las características socioculturales de los alumnos, animándolos a fijarse metas desafiantes y a superarse constantemente. Indicador 5 : Contribuye a generar una cultura escolar que respeta a cada uno de los estudiantes, sus familias y sus comunidades, y conoce la influencia que pueden tener sus acciones, decisiones y juicios en el desarrollo afectivo y social de los niños que estarán a su cargo.

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Estándar 8 : Está preparado para atender la diversidad y promover la integración en el aula. El futuro profesor comprende que la educación es un derecho de todos los estudiantes y que la diversidad es una fuente de riqueza para el desarrollo y aprendizaje de las comunidades educativas. Para ello, está preparado para diseñar, implementar y evaluar estrategias pedagógicas que contribuyan a hacer efectiva la igualdad de oportunidades y evitar la discriminación. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Muestra disposición a respetar a cada uno de los estudiantes, sus familias y sus comunidades, y actúa considerando la influencia que pueden tener sus acciones, decisiones y juicios en el desarrollo afectivo y social de los niños que estarán a su cargo. Indicador 2 : Respeta y valora la diversidad de estudiantes en relación al género, etnia, religión, creencias, nacionalidad, discapacidades, condición socioeconómica; talentos evitando la discriminación, previniéndola y promoviendo la inclusión. Indicador 3 : Está preparado para adaptar su enseñanza a las características de los estudiantes con dificultades y con talentos especiales. Indicador 4 : Conoce la normativa relativa a integración de la discapacidad en el sistema educativo. Indicador 5 : Conoce conceptos fundamentales de las características de los estudiantes con necesidades educativas especiales que le permitan derivar y realizar un trabajo coordinado con especialistas. Indicador 6 : Conoce estrategias para favorecer la inclusión e integración de los estudiantes seleccionando recursos pedagógicos apropiados para estimular el desarrollo de sus fortalezas y respectivas autonomías.

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Estándar 9 : Se comunica oralmente y por escrito de forma efectiva en diversas situaciones asociadas a su quehacer docente. El futuro profesor o profesora está consciente del papel fundamental que tiene la comunicación en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Por lo mismo, es capaz de comunicarse en forma oral y escrita de manera adecuada, coherente y correcta, tanto en contextos escolares como académicos o profesionales propios de su disciplina. Además, es un lector o lectora competente de diverso tipo de textos y lee para interiorizarse de los avances de su especialidad disciplinaria y pedagógica como también acerca de la actualidad noticiosa nacional y extranjera. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Escucha e interpreta adecuadamente diversos tipos de textos orales del ámbito académico y es capaz de evaluarlos críticamente considerando su contenido y organización. Indicador 2 : Se expresa de manera adecuada, coherente y correcta al desarrollar temas de su disciplina y profesión, tanto en ámbitos académicos como en el contexto escolar, ya sea en forma oral y escrita. Indicador 3 : Maneja una variedad de recursos no verbales como gestos, expresiones faciales y posturas corporales, entre otros, con el fin de apoyar su discurso en distintas situaciones comunicativas. Indicador 4 : Habla y escribe correctamente en diferentes contextos y formatos, y promueve en sus estudiantes, mediante el modelamiento, la enseñanza y la acción correctiva, el desarrollo de estas habilidades. Indicador 5 : Domina diversos recursos pedagógicos para incentivar a sus estudiantes a ampliar su vocabulario para favorecer su desarrollo lingüístico, cognitivo y el dominio progresivo del lenguaje técnico de la disciplina. Indicador 6 : Lee, comprende y evalúa críticamente diversos tipos de textos que le permiten mantenerse informado, enriquecer su formación profesional y tener una opinión fundada en de los debates de su campo profesional. Indicador 7 : Lee en forma crítica los mensajes de los medios de comunicación de masas. Indicador 8 : Es capaz de integrar elementos de lectura verbal con lectura de imágenes para enriquecer la docencia. Indicador 9 : Produce textos adecuados, coherentes y correctos en su gramática y ortografía, tanto en el ámbito académico como profesional. Indicador 10 : Es capaz de evaluar críticamente sus propias producciones escritas como las de los demás. Indicador 11 : Es capaz de conceptualizar, analizar, sintetizar, argumentar, interpretar, evaluar, inferir y explicar ideas o temas en forma oral o escrita.

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Estándar 10 : Aprende en forma continua y reflexiona sobre su práctica y su inserción en el sistema educacional. El futuro profesor o profesora comprende que su desempeño profesional requiere de una dedicación al aprendizaje continuo. Es capaz de analizar y reflexionar individual y colectivamente sobre su práctica pedagógica y sobre los resultados de aprendizaje de sus estudiantes. Puede proponer cambios a partir de juicios fundamentados sobre la base de los estándares profesionales, los resultados de aprendizaje de los estudiantes, la retroalimentación de otros docentes y de las necesidades y expectativas del establecimiento educacional. Está preparado para resolver problemas pedagógicos y de gestión, y comprometer a múltiples actores en el logro de aprendizajes de calidad (apoderados, familias y otros agentes). Conoce el sistema educativo, su estructura, su normativa, y los marcos que regulan el desempeño y la evaluación de la profesión. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Analiza críticamente su práctica pedagógica y la de otros docentes en función de su impacto en el aprendizaje de los estudiantes, y propone y fundamenta cambios para mejorarla. Para ello posee herramientas para observación y evaluación de clases y está preparado para ser observado y recibir retroalimentación de acuerdo a su desempeño. Indicador 2 : Identifica sus propias fortalezas y debilidades, en relación a las diversas disciplinas que enseñará y a las competencias necesarias para enseñarlas, reconociendo sus necesidades de desarrollo profesional y actualización. Indicador 3 : Investiga los avances y descubrimientos en el ámbito de las disciplinas que enseña y de las prácticas pedagógicas efectivas. Para ello, sabe seleccionar y utilizar investigaciones válidas que retroalimente sus conocimientos de la disciplina y la práctica docente. Indicador 4 : Identifica, selecciona y analiza los recursos disponibles para mantenerse actualizado en las disciplinas que enseñará y en su didáctica, tales como redes y asociaciones profesionales, programas de mejoramiento de la enseñanza y el aprendizaje de la disciplina, publicaciones y oportunidades de formación continua. Indicador 5 : Conoce el sistema educativo nacional, sus fines y objetivos, su estructura, la normativa que lo rige, sus principales logros y los desafíos y metas que tiene. Indicador 6 : Conoce los marcos que regulan el desempeño y la evaluación de la profesión docente, así como también elementos administrativos básicos en el trabajo docente a nivel general e institucional. Indicador 7 : Tiene una sólida formación ética lo que le permite estar consciente de su responsabilidad en el desarrollo personal, académico, social y valórico de las futuras generaciones.

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II. Estándares Disciplinarios

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EJE DE SISTEMAS NUMÉRICOS Y ALGEBRA

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PRESENTACIÓN

El eje de Números es fundamental en el currículo escolar y lo recorre a todo su largo, aunque su presencia es más fuerte en la educación básica. El eje de Álgebra, por el contrario, adquiere creciente importancia a medida que se avanza en los niveles escolares, y es así que en educación media tiene una presencia claramente mayor que el eje de Números. La separación formal de estos dos ejes que se hace a nivel del currículo escolar no tiene mayor sentido en el contexto de la formación matemática del profesor que enseñará en enseñanza media y también desde una perspectiva pedagógica resulta beneficioso el tratamiento conjunto de estos dos ejes. El estudio de los sistemas numéricos en enseñanza media se realiza íntimamente ligado al álgebra, por ejemplo, las propiedades de las operaciones se expresan en lenguaje algebraico. La explicitación de estas conexiones entre los ejes escolares de números y de álgebra, su tratamiento conjunto, devela la coherencia interna de la matemática, el sentido de reglas y propiedades que aisladas podrían parecer gratuitas. El eje comienza con el Estándar 1 que se refiere a la enseñanza escolar de los sistemas numéricos. Si bien este estándar incluye los cinco sistemas numéricos del currículum escolar, a saber N, Z, Q, R y C, el sistema de los naturales, N, se cubre principalmente en educación básica, por lo que su presencia aquí es muy menor. Por otra parte el sistema de los números reales, R, es, tanto en su origen como en sus propiedades, de naturaleza mucho más cercana al análisis matemático que al álgebra, por lo que su estudio más profundo se realiza en el eje de Cálculo y en este estándar sólo se incluyen sus aspectos algebraicos. Así, este primer estándar se concentra en mayor medida en los enteros, racionales y complejos. Los temas relacionados con las construcciones formales de los sistemas numéricos aparecen en el Estándar 10 del eje de Estructuras Algebraicas. Los dos estándares siguientes del eje tratan aspectos del álgebra que son cubiertos en el currículo escolar, y tienen por lo tanto en gran medida una orientación también pedagógica. El Estándar 2 aborda la enseñanza de la operatoria con expresiones algebraicas y las ecuaciones e inecuaciones, incluyendo, por cierto, tanto el dominio básico del futuro profesor o profesora en estos temas, como el desarrollo de habilidades en sus potenciales alumnos y alumnas. El Estándar 3 se destina al análisis de “funciones” desde un punto de vista algebraico cercano al nivel escolar, es decir, sus definiciones y representaciones. Otros aspectos de funciones están cubiertos en los ejes de cálculo y de estructuras algebraicas. Este estándar incluye ejemplos importantes de la matemática escolar, tales como funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logaritmos, raíces, potencias, valor absoluto, además de la relación entre resolución de ecuaciones y ceros de una función. El eje culmina con el Estándar 4 que se refiere al álgebra lineal. Si bien este tema es en gran medida disciplinar, se ha ubicado en este eje con el propósito de enfatizar su conexión con la matemática escolar, tanto en lo que respecta a la resolución de sistemas lineales y los problemas de optimización lineal en el plano, como también a su importancia en la modelación matemática, aspecto clave del currículo escolar. En términos de espacios vectoriales, se cubren sólo los de dimensión finita sobre los reales y temas relacionados con producto interno y ortogonalidad en Rn . Se estudia también la estructura algebraica de las matrices y su conexión con transformaciones lineales, enfatizando el uso de las matrices en modelación. 37

En particular, el tema de valores y vectores propios se enfoca hacia el análisis de modelos que involucran el cálculo de potencias de matrices.

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Estándar 1 : Es capaz de conducir el aprendizaje de los sistemas de numéricos N, Z, Q, R y C. El futuro profesor o profesora está capacitado para conducir el aprendizaje de sus alumnas y alumnos en cada uno de los sistemas numéricos: N, Z, Q, R y C tanto en su comprensión como en la operatoria, promoviendo además las habilidades de resolución de problemas y argumentación. Comprende la racionalidad de la extensión de una estructura numérica a la siguiente y posee herramientas para transmitir esta coherencia a los estudiantes. Planifica actividades de aula, analiza y selecciona recursos pedagógicos, reconoce secuencias en el currículo nacional y elabora instrumentos de evaluación, con el propósito de desarrollar y monitorear el aprendizaje de estos temas. Reconoce errores y dificultades frecuentes en los estudiantes y posee estrategias de enseñanza para anticipar y superar esas dificultades. Reflexiona acerca del aporte de las ciencias cognitivas al proceso de enseñanza y aprendizaje de estos temas. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Opera con números enteros y racionales y compara números racionales. Ejemplo 1 : ¿Cuál de las siguientes fracciones aproxima mejor a 0, 125? Explicite sus procedimientos. 5 a) 16 b) −1 40 c) 17 56 Ejemplo 2 : ¿Qué número equidista de 1, 1 y 1, 11? Explicite sus procedimientos. Ejemplo 3 : Calcule: a) (−7 + 4 · 32) : (−5 − 12) b)

µ

c)

µ

d)

µ

¶ −3 + 0, 3 (−5, 1) 4

¶µ ¶ 5 3 −2 + 0, 143 − 3 5 9

¶ µ ¶ 13 8 −6 · 1, 24 : + −4 7 5

Indicador 2 : Comprende y demuestra propiedades relativas a las potencias de exponente racional. Ejemplo 1 : Explique cómo se definen las potencias de exponente racional. Justifique esta definición a partir de las propiedades de las potencias de exponente entero. √ √ Ejemplo 2 : Encuentre un polinomio con coeficientes enteros tal que 2 + 3 sea una de sus raíces. 39

Ejemplo 3 : Demuestre que el número real r r √ 10 10 √ 3 3 2+ 3+ 2− 3 9 9 es un número entero. Indicador 3 : Demuestra y aplica propiedades de la suma, el producto, la conjugación, el módulo y el argumento en C. Ejemplo 1 : Calcule a)

2 + 5i 5

2−i

b) (2 + i)(3 +

1 ) 2−i

c) El argumento y el módulo de 1−i 1+i Ejemplo 2 : Demuestre las siguientes propiedades: a) Si z ∈ C y f (z) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 y an , an−1 , ..., a1 , a0 ∈ R, entonces f (z) = 0 si y sólo si f (z) = 0. b) Demuestre que |z + i| = |z − i| si y sólo si z ∈ R. Indicador 4 : Aplica la fórmula de De Moivre, para extraer raíces de números complejos y resolver ecuaciones en C. √

1+√3i Ejemplo 1 : Exprese en forma a + bi las raíces cuartas de z0 = 1− 3i Ejemplo 2 : Dado α ∈ R, calcule los valores de z ∈ C tales que

z+

1 = 2 cos(α), z

y muestre que para aquellos z ∈ C se cumple que zn +

1 = 2 cos(nα) zn

Indicador 5 : Reflexiona sobre aspectos algebraicos de las extensiones de sistemas numéricos. Ejemplo 1 : Un alumno de pedagogía reflexiona hacerca de extender Z a Q. En su reflexión recordó que cuando se extendió N para crear Z, lo que se hizo fue crear los inversos aditivos de N y agregárselos a N y piensa que puede hacer lo mismo de Z a Q, es decir a Z agregarle el conjunto { n1 / n ∈ Z∗ }. ¿Por qué esto no basta? ¿Qué le falta? Ejemplo 2 : Se quiere construir C, es decir un cuerpo que contenga a R y a i, donde i2 = −1. Un primer acercamiento podría ser considerar E = R · i. a) Muestre que E es cerrado para el producto. b) Muestre que E no es cerrado bajo la suma. c) Muestre que R + R · i es el menor cuerpo con las condiciones requeridas. 40

Indicador 6 : Comprende la evolución del concepto de número, conoce sus dilemas y controversias. Ejemplo 1 : Los números negativos fueron rechazados por grandes matemáticos, llamándolos números ficticios o números falsos. Describa algunos de los argumentos esgrimidos. Ejemplo 2 : Aristóteles en un párrafo de sus Primeros Analíticos (14 a 26) escribe acerca de la forma en que los griegos descubrieron los números irracionales: “se prueba la inconmensurabilidad de la diagonal por la razón de que los números impares se volverían iguales a los números pares, si se considera la diagonal como conmensurable, es decir, que tienen entre sí una medida común”. Se habla de que este hito marcó la primera gran crisis de la matemática. ¿Por qué a los matemáticos griegos les provocaba conflicto la aparición de números no racionales? Indicador 7 : Reconoce errores frecuentes en la operatoria de números enteros y racionales. Ejemplo 1 : Una profesora pide a sus estudiantes que realicen los siguientes ejercicios que aparecen en un texto escolar y observa los resultados siguientes: (−8) − (−7) = −15 (−7) − (+6) = −1 (−25) − (+21) = −4 ¿Qué tipo de error está involucrado aquí? ¿Cuál cree que es la causa, y cómo lo corregiría? Justifique. Ejemplo 2 : Un estudiante suma 1 1 2 + = 2 3 5 El profesor le pide que le explique su razonamiento y él le dice que sumó numeradores y denominadores. El profesor le responde, si tu resultado fuese correcto, entonces la suma 25 sería menor que el sumando 12 . Además si tu argumento fuese correcto un medio más un medio sería dos cuartos, que es un medio. El alumno se convence que el resultado está incorrecto y que su argumento es errado. a) ¿ Qué trata de lograr la argumentación del profesor? b) ¿Qué haría para que el estudiante no cometa este tipo de errores en el futuro? Indicador 8 : Reconoce y se hace cargo de las fortalezas y debilidades de los alumnos y alumnas que recibe, respecto de las habilidades y conocimientos en sistemas numéricos. 41

Ejemplo 1 : María Eugenia es profesora de matemática de enseñanza media. Ella introducirá operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias. Sin embargo, ha notado que sus estudiantes aún muestran falencias en la operatoria de números racionales, ¿qué secuencia de actividades propondría para superar esto, de manera que el programa de estudios se afecte lo menos posible con este repaso? Ejemplo 2 : Usted plantea a sus alumnos y alumnas la siguiente división: 6 3 : 8 4 Uno de los estudiantes entrega el siguiente desarrollo: 6 3 6:3 2 : = = =1 8 4 8:4 2 Discuta las siguientes afirmaciones: a) El estudiante cometió un error que debe ser corregido. b) El estudiante utilizó un procedimiento inusual, correcto, pero poco práctico en algunas situaciones similares. Indicador 9 : Comprende la progresión con que se presentan los contenidos de sistemas numéricos en el currículo y su relación con los contenidos de otros ejes. Ejemplo 1 : ¿En qué curso se introducen raíces de números racionales? ¿Cómo se relacionan estos contenidos con el Teorema de Pitágoras? Ejemplo 2 : Una profesora presenta la siguiente pregunta a su clase: 1 ¿Qué número está más cerca del 1, el 1, 1 o el 0, 9 + 10 i? a) De acuerdo al currículo vigente, ¿a qué curso corresponde esta pregunta? b) ¿Qué contenido de cursos previos son importantes para poder abordar apropiadamente este problema? Indicador 10 : Planifica unidades de aprendizaje referidas a los contenidos de sistemas numéricos presentes en el currículo escolar. Ejemplo 1 : Planifique una unidad de aprendizaje centrada en números complejos cuyos objetivos sean: Comprender que los números complejos constituyen un conjunto numérico en el que es posible resolver problemas que no tienen solución en los números reales, y reconocer su relación con los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números reales. Aplicar procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números complejos, formular conjeturas acerca de esos cálculos y demostrar algunas de sus propiedades. La planificación debe contener, al menos: a) Los aprendizajes relacionados a los objetivos señalados. b) Los indicadores de logro que permitan verificar si los aprendizajes están logrados por los alumnos y alumnas. 42

c) Los contenidos matemáticos que se relacionan con cada uno de los aprendizajes señalados. d) Las actividades de aprendizaje para cada uno de los aprendizajes. e) El tiempo estimado, en clases, para cada aprendizaje. Ejemplo 2 : Dado el siguiente contenido: “Justificación de la transformación de números decimales infinitos periódicos a fracción.” Planifique una clase que contenga: a) Propósito de la clase. b) Indicadores de logro para verificar el aprendizaje declarado en el propósito. c) Los conceptos previos necesarios y pertinentes para el logro del propósito. d) Las actividades y su respectiva gestión, que se desarrollarán en cada uno de los momentos de la clase. e) Una justificación rigurosa de la transformación requiere herramientas que escapan de la matemática del nivel escolar. Explicite particularmente cómo ha considerado esta dificultad en su planificación. Indicador 11 : Analiza y selecciona recursos para el aprendizaje de los sistemas numéricos. Ejemplo 1 : Los textos escolares cubren el tema de los números enteros en diferentes niveles. a) Compare la secuenciación de contenidos planteada en al menos dos colecciones, analizando la coherencia con los contenidos declarados en el currículo nacional. b) Analice en cada uno de los textos el tipo de actividades planteadas a los alumnos y alumnas, enfocando el análisis hacia el desarrollo de habilidades presentes en los aprendizajes declarados en el currículo nacional. c) Identifique algún aspecto del desarrollo del tema, presente en los textos, que pueda dificultar la comprensión de los números enteros en los alumnos y alumnas de dichos niveles. Indique cómo abordaría este problema. Fundamente. Ejemplo 2 : Analice un software para explorar su potencial y ver su aplicabilidad en la enseñanza de la operatoria con números racionales, considerando lo siguiente: a) Los niveles del currículo en que se pueden usar las distintas opciones. b) Los aspectos del recurso utilizado que permitan controlar el progreso en los aprendizajes de los y las estudiantes. c) Los tipos de actividades que se pueden realizar usando el recurso respecto a las que se hacen habitualmente con papel y lápiz. Después de que los alumnos y alumnas han explorado el programa y realizado las actividades, ¿qué tipo de explicaciones podría dar el profesor o profesora para sistematizar los conocimientos puestos en juego?

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Indicador 12 : Planifica clases sobre la estructura y las operaciones de los números enteros. Ejemplo 1 : Planifique una clase que involucre el siguiente contenido: “Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo; y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros”. La planificación debe contener: a) Propósito de la clase. b) Indicadores para verificar el logro del propósito. c) Las actividades que se desarrollarán en cada uno de los momentos de la clase considerando que la llamada “regla de los signos” es una extensión coherente de la estructura de los números naturales. Ejemplo 2 : Planifique una clase que involucre el siguiente contenido: “Empleo de procedimientos de cálculo para restar dos números positivos, donde el sustraendo es mayor que el minuendo; y extensión de dichos procedimientos a la suma de números enteros”. La planificación debe contener: a) Propósito de la clase. b) Indicadores para verificar el logro del propósito. c) Las actividades que se desarrollarán en cada uno de los momentos de la clase considerando que la adición y sustracción son extensiones coherentes de las respectivas operaciones en N. Ejemplo 3 : Presente dos representaciones que le ayuden a dar sentido a la regla de los signos de la suma y de la multiplicación. Indicador 13 : Utiliza problemas para hacer surgir la necesidad de realizar cálculos en diferentes sistemas numéricos y para comparar estrategias de cálculo. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema, el cual será utilizado en la primera clase de adición de números enteros Dos equipos de fútbol, deben jugar entre ellos el próximo domingo. Los puntajes antes del partido son:

Regla 1: partido ganado 3 puntos; partido empatado 1 punto; partido perdido 0 puntos. Regla 2: Al haber dos equipos con igualdad de puntaje, queda primero el que tiene mayor diferencia de goles. Diferencia de Goles = Goles a Favor - Goles en Contra 44

Diseñe preguntas en el contexto del problema y una explicación breve de cómo las gestionaría en clases para que los alumnos y alumnas se vean en la necesidad de calcular: a) Adiciones o sustracciones de un número negativo y uno positivo. b) Adiciones o sustracciones de números negativos. Ejemplo 2 : Considere el siguiente problema, que será utilizado en la clase de números racionales: Si el área de un rectángulo es 32cm2 y uno de los lados tiene una longitud de 2, 5cm, ¿cuánto es la longitud del otro lado? Explique brevemente cómo gestionaría la clase para que los alumnos y alumnas, a partir del problema planteado: a) Efectúen diferentes procedimientos de cálculo. b) Reconozcan que algún procedimiento puede ser más eficiente que otro. Indicador 14 : Es capaz de gestionar la clase para introducir las operaciones y propiedades de los números complejos. Ejemplo 1 : A partir de la definición de C como {a + bi/ a, b ∈ R, i2 = −1}. ¿Cómo justificaría la multiplicación de números complejos utilizando la ley distributiva? Ejemplo 2 : ¿Cómo mostraría a sus futuros estudiantes que teniendo solución para x2 + 1 = 0, es posible resolver en C todas las ecuaciones cuadráticas con coeficientes en R ? Indicador 15 : Es capaz de realizar actividades orientadas a que los estudiantes interpreten las operaciones de números complejos en términos de transformaciones geométricas. Ejemplo 1 : Una profesora ha realizado una actividad de clase que permite que sus alumnos y alumnas exploren √los efectos de la multiplicación de figuras geométricas planas por i, −i y 22 (1 + i), interpretando geométricamente esa operación en términos de movimientos rígidos del plano. ¿Cómo debería continuar su clase para que esos alumnos y alumnas conjeturen acerca del efecto de multiplicar por un complejo de módulo 1? Ejemplo 2 : En una guía de números complejos aparece el siguiente problema: Si ζ es una raíz n−ésima de la unidad, entonces 1 + ζ + ζ 2 + · · · + ζ n−1 = 0 ¿Cómo gestionaría la clase para que los alumnos reconozcan que 1 + ζ + ζ 2 + · · · + ζ n−1 es un punto invariante por la acción de una rotación en torno al cero, para que luego concluyan que 1 + ζ + ζ 2 + · · · + ζ n−1 es cero? 45

Indicador 16 : Elabora problemas que involucran operatoria de números racionales. Ejemplo 1 : Invente un problema cuyo resultado se pueda obtener por medio de la división de 2 21 por 14 . Describa brevemente cómo gestionaría para que en la clase los alumnos y alumnas extiendan la idea de “cuantas veces cabe”, al ámbito de las fracciones. Ejemplo 2 : Considere el problema: Se pide dividir una herencia entre tres hermanos. Determine lo que le corresponde a cada uno de ellos, si se reparte en la forma siguiente: al primero, la mitad; al segundo hermano, la tercera parte del total y al tercero, el resto. ¿Qué fracción del total recibió el tercero? ¿Qué dificultades es posible detectar con este problema? Indicador 17 : Elabora instrumentos que le permitan diagnosticar el desempeño de sus estudiantes en la operatoria de los distintos sistemas numéricos. Ejemplo 1 : Se desea introducir el tema de raíces de números racionales. Elabore una evaluación diagnóstica que le permita distinguir los conocimientos previos de su curso, para poder reforzar específicamente los temas que lo ameritan. Ejemplo 2 : Suponga que un curso tiene dificultades para resolver problemas que involucran números racionales. Diseñe una evaluación para determinar si las dificultades están en la operatoria y en qué aspectos de la operatoria. Indicador 18 : Elabora descriptores de criterios de evaluación para el aprendizaje de sistemas numéricos presentes en el currículo. Ejemplo 1 : Uno de los criterios establecidos en “Evaluación Para el Aprendizaje: Educación Básica Segundo Ciclo” (MINEDUC-UCE, 2007) está centrado en el Razonamiento Matemático.

Para el siguiente problema: En un tren viaja un cierto número de personas. En la primera parada suben 13 viajeros y bajan 25, en la segunda estación suben 15 y bajan 43 y en la tercera estación suben 32 y bajan 17. Encuentra una expresión que señale cuántos viajeros quedan en el tren después de abandonar la tercera estación. a) Elabore los descriptores para el criterio, considerando que los niveles de logro son: Excelente, Bueno, Satisfactorio, Requiere Reforzar. 46

b) Seleccione objetivos de aprendizaje declarados en el currículo nacional que puedan ser evaluados por este criterio. c) Asigne el puntaje para cada uno de los niveles de logro considerando el descriptor. d) Elabore posibles respuestas que se ajusten a cada uno de los descriptores diseñados. Ejemplo 2 : Uno de los criterios establecidos en “Evaluación Para el Aprendizaje: Educación Básica Segundo Ciclo” (MINEDUC-UCE, 2007) está centrado en Operatoria y Cálculo.

En relación con lo anterior y considerando lo señalado por el currículo vigente respecto a números reales: a) Seleccione objetivos que puedan ser evaluados mediante este criterio. b) Elabore los descriptores para el criterio considerando los niveles de logro son: Excelente, Bueno, Satisfactorio, Requiere Reforzar. Indicador 19 : Conoce y reflexiona sobre resultados de investigación recientes derivados de la neurociencia y su aplicación a los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. Ejemplo 1 : a) La investigación en neurociencia cognitiva muestra que el sistema afectivo interactúa fuertemente con el sistema cognitivo en el cerebro. Explique posibles implicaciones de esto para la educación en matemáticas, particularmente refiérase a temas tales como motivación, ansiedad matemática y aprendizaje. b) Hay estudios que muestran que el sistema afectivo en el cerebro madura mucho más lentamente que el cognitivo. Comente respecto a posibles implicaciones de esto en términos de metodologías de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a lo largo del ciclo de estudios de enseñanza media de los estudiantes. Ejemplo 2 : Es popular la creencia acerca de la existencia “períodos (o ventanas) críticos para el aprendizaje”, que indica que hay ciertas etapas en las que se deben aprender ciertos temas, de lo contrario después es demasiado tarde. Sin embargo estudios más recientes muestran que el cerebro mantiene su plasticidad durante todo el ciclo vital del ser humano, y sería más adecuado hablar de "períodos más sensibles que otros"para los diversos aprendizajes. A la luz de esto, discuta respecto a ventanas sensibles para algunos contenidos en matemáticas y la posibilidad o dificultad para compensar carencias en conocimientos previos que los estudiantes pudieran presentar. 47

Indicador 20 : Conoce y reflexiona sobre modelos recientes de enseñanza y aprendizaje provenientes de la sicología cognitiva y su aplicación a la matemática. Ejemplo 1 : El modelo de “Ondas superpuestas” para el desarrollo cognitivo indica que para la realización de una misma tarea, típicamente se cuenta con un repertorio de estrategias en competencia, que varían en intensidad de uso a medida que se aprende, de modo que estrategias más eficientes o efectivas van de a poco superando a las otras. Considerando el progreso del estudio de alguna de las operaciones aritméticas en el currículo escolar, indique qué estrategias en competencia identifica y cómo aprovecharía las ideas de este modelo en el proceso de enseñanza de este tema. Ejemplo 2 : Se dice que Jean Piaget visualizaba al niño como una “hoja en blanco” quién, a medida que crece, va pasando por ciertas etapas en las que puede comenzar a adquirir diversos tipos de conocimiento matemático. Comente como esta teoría se enriquece a la luz de los descubrimientos recientes de la ciencia cognitiva, tales como la representación innata de cantidad presente desde la primera infancia y las capacidades de aritmética básica de dicha representación. Discuta sobre posibles implicaciones en metodologías para enseñanza y aprendizaje de los números naturales y operaciones.

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Estándar 2 : Es capaz de conducir el aprendizaje de las operaciones del álgebra elemental y sus aplicaciones a la resolución de ecuaciones e inecuaciones. El futuro profesor o profesora está capacitado para conducir el aprendizaje de sus alumnas y alumnos en la comprensión y utilización de expresiones algebraicas y la solución de ecuaciones e inecuaciones que involucran polinomios, logaritmos, potencias, raíces y exponenciales, promoviendo en ellos el desarrollo de habilidades de cálculo, análisis y resolución de problemas. Para esto planifica actividades, analiza recursos pedagógicos y diseña evaluaciones, tomando en cuenta la diversidad en el aula y promoviendo el desarrollo de las capacidades matemáticas de los alumnos y alumnas. Conecta las expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones con otros temas del currículo. Analiza y reflexiona acerca de creencias en la enseñanza del álgebra así como de los errores frecuentes que presentan los alumnos y alumnas en el uso de estos contenidos. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Construye geométricamente raíces de polinomios. Ejemplo 1 : Considere de diámetro p + 1, con p un número µ la circunferencia ¶ p+1 positivo y centro , 0 . Construya la paralela L al eje Y que pasa por 2 A = (1, 0). Denote por P el punto del primer cuadrante donde L intersecta a √ la circunferencia . Demuestre que el trazo AP mide p. Ejemplo 2 : Observe el siguiente método para determinar las raíces de la ecuación cuadrática x2 − 2ax + b2 = 0

Se tiene que las raíces α y β, deben cumplir α + β = 2a y α · β = b2 . Consideremos una circunferencia de diámetro EH, cuya medida es 2a. Consideremos una recta paralela al trazo EH, a una distancia b de éste. Denotemos por L la intersección de dicha recta con la circunferencia. Denotemos por M la intersección del trazo EH con la recta perpendicular a EH y que pasa por L. 49

Por el teorema de Euclides se tiene que EM ·M H = b2 y por construcción EM + M H = EH = 2a. Por lo tanto EM = α y M H = β. a) ¿Qué condiciones deben cumplir a y b para qué esta construcción tenga sentido? b) ¿Con este procedimiento, ¿se pueden determinar raíces negativas? c) ¿Cómo se relaciona este procedimiento con la construcción de la raíz de p? Indicador 2 : Resuelve problemas que involucran ecuaciones cuadráticas. Ejemplo 1 : En una oficina hay dos máquinas para llenar sobres. Juntas estas máquinas pueden llenar un paquete de sobres en 2 minutos. Trabajando por separado la segunda máquina se demora un minuto más que la primera en llenar cada paquete de sobres. ¿Cuánto tiempo le toma a cada máquina llenar el paquete de sobres? Ejemplo 2 : Sean a, b, c números reales con a 6= 0. Determine una relación entre a, b y c para que la ecuación ax2 + bx + c = 0, tenga una de sus raíces igual al cuadrado de la otra. Indicador 3 : Resuelve inecuaciones que involucran funciones racionales y valor absoluto. Ejemplo 1 : Encuentre el conjunto solución de la inecuación 2

1. 1−x ≥0 2−x 2. |2x + 1| − |x| ≥ |3x + 3| Ejemplo 2 : Para cada caso escriba una inecuación cuyo conjunto solución sea: a) ] − ∞, 4)∪]9, ∞). b) ]1, 2]∪]5, 8] Indicador 4 : Resuelve ecuaciones e inecuaciones que involucran logaritmos y exponenciales. Ejemplo 1 : Encuentre el conjunto solución para la inecuación −3xlog3 (1/x) · log(x−1) (x − 1) ≤ 2 − xlog3 (x) Ejemplo 2 : Resuelva las ecuaciones a) 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n = 1023, n ∈ N. b) 22x+1 − 3 · 2x + 1 = 0. Indicador 5 : Conoce errores frecuentes y dificultades en el aprendizaje del valor absoluto, raíces cuadradas y ecuaciones con radicales y se anticipa a ellos en su planificación de actividades. 50

Ejemplo 1 : Un estudiante de enseñanza media al resolver la ecuación | − x| + 1 = 6 escribe: como | − x| = x entonces, la ecuación anterior es la misma que x+1=6 por lo tanto x=5 a) ¿Por qué cree usted que este estudiante escribe | − x| = x? Explique. b) ¿Cree usted que representar el valor absoluto de x como la distancia de 0 a x puede ayudar a los estudiantes a despejar este error, o por el contrario sólo confunde? c) Describa un conjunto de actividades para que estudiantes que creen que −x denota un número negativo y que | − x| = x, puedan reconocer lo anterior como un error. Ejemplo 2 : Un error frecuente entre enseñanza media es creer √ los estudiantes de√ que para todo número real x, x2 = x en lugar de x2 = |x|. a) Una profesora plantea el siguiente razonamiento para ejemplificar las consecuencias de este error: −12 = −12 9 − 21 = 16 − 28 7 7 32 − 2 · 3 · = 42 − 2 · 4 · 2 2 72 sumamos a ambos lados 2 2 7 72 7 72 + 2 = 42 − 2 · 4 · + 2 2 2 2 2 µ ¶2 µ ¶2 7 7 3− = 4− 2 2

32 − 2 · 3 ·

sacamos raíz 3− sumando

7 7 =4− 2 2

7 2 3=4

¿Cree usted que esta actividad ayuda a remediar el error en cuestión? Explique. b) Dé posibles causas de este error. c) Describa un conjunto de actividades tendientes a remediar ese error en los estudiantes. 51

Ejemplo 3 : Al resolver la ecuación x = resolver la ecuación cuadrática

√

6 − 5x se suele elevar al cuadrado y

x2 + 5x − 6 = 0 la cual tiene a −6 como solución, pero que no es solución de la ecuación original. a) Describa una actividad para que los alumnos y alumnas no consideren a −6 como solución de la primera ecuación. b) Describa una actividad que permita analizar las maneras válidas de transformar una ecuación en otra equivalente. Indicador 6 : Conoce errores frecuentes en el uso de expresiones polinomiales y racionales y propone actividades para anticiparse a ellos. Ejemplo 1 : Un estudiante resuelve el siguiente problema en la √ √ pizarra: Encuentre todos los valores de x ≥ −7 tales que x + 6 + x + 7 = 7 √

x+6+

√

x + 7 = 7 /( )2

(x + 6) + (x + 7) = 49 2x + 13 = 49 2x = 36 x = 18 El profesor les muestra que que si se reemplaza x = 18 en el lado izquierdo de la ecuación inicial, resulta: √ √ √ 18 + 7 = 24 + 25 = 2 6 + 5, √ lo cual es mayor que 7, pues 6 es mayor que 1. a) ¿Cuál es el error del estudiante? b) ¿Qué actividades realizaría usted para intentar que los estudiantes no vuelvan a cometer ese error? c) Cuándo usted tenga la oportunidad de introducir los temas involucrados en esta clase ¿Qué haría usted para que sus alumnos y alumnas no tiendan a cometer ese error? ac + ab Ejemplo 2 : Al simplificar la expresión se obtuvieron las siguientes reac spuestas de los estudiantes: ac + ab = ab ac ac + ab c+b = =1+b ac c a) Describa el razonamiento que pudo haber utilizado el alumno o alumna en cada caso. b) ¿Qué actividades se pueden realizar tendientes a revertir estos errores? c) ¿Cómo promovería entre sus futuros estudiantes estrategias de verificación? √

18 + 6 +

√

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Indicador 7 : Reconoce la progresión de los contenidos de expresiones algebraicas en el eje de álgebra y su relación con otros ejes del currículo de matemática. Ejemplo 1 : Describa una secuencia de contenidos del currículo de matemática, relacionados con los contenidos de ecuaciones de 8° básico. Ejemplo 2 : El siguiente contenido pertence al eje de geometría del currículo: Verificación, en casos particulares, del Teorema de Pitágoras y su aplicación en contextos diversos, por otra parte en el mismo nivel, pero en el eje de números aparece el siguiente contenido: La raíz cuadrada de un número entero positivo. a) ¿Cree usted que para abordar el contenido relativo a Teorema de Pitágoras, es necesario introducir nociones de raíces cuadradas? Fundamente. b) ¿Cree usted que lo que aparece relativo a raíz cuadrada es suficiente para lograr el contenido relativo a Teorema de Pitágoras? Explique. Indicador 8 : Relaciona contenidos de expresiones algebraicas con contenidos de otros sectores del currículo. Ejemplo 1 : En un texto de 1° medio aparece : Un resultado sorprendente de la Teoría de la Relatividad es que la masa no es constante en el movimiento, es decir, la masa de un objeto depende de la velocidad con que se mueve. De hecho, si m0 es la masa de un objeto en reposo, y m la masa cuando se mueve con velocidad v, se tiene la siguiente relación: µ ³ v ´2 ¶ 2 m 1− = m20 c Lo que dice, por ejemplo, que si una partícula se mueve a una velocidad de 0, 9c ¡ la masa aumenta a más del doble que la masa del reposo! a) ¿Cuáles son las habilidades matemáticas que un estudiante debe poseer para poder verificar la afirmación final del texto.? Ejemplo 2 : Describa contenidos matemáticos necesarios para poder analizar la ley de los gases ideales. Explique además cómo usar este contexto para desarrollar habilidades matemáticas relativas a los contenidos descritos. Indicador 9 : Planifica actividades que permitan hacer surgir la necesidad del uso de ecuaciones lineales con una incógnita, comprender y aplicar los procedimientos involucrados en su resolución, así como analizar el conjunto solución. Ejemplo 1 : María Eugenia preparó la primera clase de ecuaciones, en 7° básico, utilizando la representación de la balanza para explicar las equivalencias en el procedimiento algebraico. Posteriormente, hizo varios ejemplos de resolución de ecuaciones con dicho procedimiento y, por último presentó y resolvió dos problemas para que “los estudiantes vean que las ecuaciones son útiles”. En la segunda clase preparó una lista de problemas siendo impactante para ella que los alumnos y alumnas los resolvieran sin aplicar el procedimiento algebraico. 53

Los alumnos y alumnas decían que era más fácil de la forma que su profesora de 4° a 6° les había enseñado pues hacían esquemas y con eso era muy simple. María Eugenia queda con la convicción que su clase no fue bien planificada. Considerando lo anterior responda las siguientes preguntas: a) En el momento de inicio de la primera clase, ¿qué debió haber previsto la profesora para instalar el conocimiento matemático de ecuaciones de primer grado? b) ¿Qué problema propondría para que los alumnos reconocieran la necesidad de utilizar ecuaciones de primer grado con una incógnita? Ejemplo 2 : Mientras los alumnos y alumnas de un curso resuelven una lista de ecuaciones de primer grado, un alumno le hace el siguiente comentario Profe, en la ecuación 5 − x = 2x + 5 − 3x, se me van las x y me queda 5 = 5. ¿No entiendo que pasó? 5 − x = 2x + 5 − 3x Ella se dió cuenta que la ecuación que quería proponer era 5−x = 2x+5+3x, y no la que se imprimión en la guía, ante esto la profesora señala: Niños no se preocupen ese ejercicio está malo, sigan con el siguiente. El mismo niño le responde, que como va a estar malo si efectivamente 5 = 5. Considerando lo anterior responda las siguientes preguntas: a) ¿Qué le respondería al niño? b) ¿En qué momento incluiría ecuaciones con solución vacía, y ecuaciones con infinitas soluciones? ¿Con qué propósito incluiría dichas ecuaciones? Indicador 10 : Planifica actividades relativas a ecuaciones e inecuaciones, incorporando el uso de programas computacionales. Ejemplo 1 : Con un software graficador usted puede mostrar a sus estudiantes que la ecuación x3 − 3x + 5x + 1 = 0 tiene una única solución. Planifique una actividad donde muestre este resultado y luego se analice la ecuación para asegurar que el resultado gráfico es correcto. Ejemplo 2 : Planifique una actividad usando un software graficador, para mostrar a sus estudiantes la solución de la inecuación |2x − 1| + |x| ≤ |x − 3| + 8 Indicador 11 : Analiza textos escolares, guías, y otros recursos pedagógicos para la planificación de clases y actividades relacionadas con expresiones radicales. Ejemplo 1 : Considere la siguiente lista de ecuaciones: √ √ √ √ 1. 5 + 3 x = 8 3. x − 1 + x + 1 = x √ 2. 5 − 3x − 1 = 0 a) Identifique los conocimientos previos que los alumnos y alumnas deben tener para resolver la lista de ecuaciones. 54

b) Determine las posibles dificultades que a los alumnos y alumnas se les pueden presentar al desarrollar la lista. Proponga una estartegia para abordar estas dificultades. Ejemplo 2 : En un sitio de internet de recursos pedagógicos aparece el siguiente problema: Una persona dispone de 10 millones de pesos como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? a) ¿Cuáles son los contenidos matemáticos que puede involucrar la solución del problema? b) ¿Cómo podría usar un procesador gráfico para mostrar aspectos de la solución del problema? c) Describa las dificultades que podrían encontrar los estudiantes a la hora de intentar resolver el problema. Indicador 12 : Es capaz de gestionar clases para introducir los temas de raíces y logaritmos. Ejemplo 1 : Una profesora comienza la clase mostrando problemas relativos a triángulos rectángulos, para los cuales es necesario calcular raíces cuadradas. Luego define la raíz cuadrada y establece sus propiedades. Para finalizar define las raíces n−ésimas y establece sus propiedades. Una alumna le dice que ella entiende la necesidad de las raíces cuadradas, pero no entiende la necesidad, por ejemplo, de las raíces novenas. ¿Qué le respondería Ud. a esa alumna? Ejemplo 2 : Un profesor presenta varios problemas en donde se utilizan los logaritmos, por ejemplo, muestra la relación entre la concentración de iones hidronio que corresponde al catión H3 O+ y escribe la relación en la pizarra: £ ¤ pH = − log10 H3 O+ Por ejemplo - dice él- una concentración de [H3 O+ ] = 1 × 10−7 M corresponde simplemente a un pH de 7 ya que: pH = − log10 [10−7 ] = 7 Una alumna le dice que en Química no han visto nada de esto, que no saben lo que es un catión ni un ion. Varios alumnos confirman la información que está dando la compañera. a) ¿Qué les diría a esos alumnos? b) Le parece este tema de química una buena elección para ejemplificar el uso de logaritmos. c) ¿Qué otra actividad al alcance de los alumnos de 2° medio, podría Ud. utilizar para introducir los logaritmos? 55

Indicador 13 : Es capaz de gestionar la clase para que sus estudiantes describan la solución de inecuaciones utilizando lenguaje de conjuntos y conectivos lógicos. Ejemplo 1 : Un profesor plantea la inecuación x2 + 2x − 1 ≥ 0 en la pizarra. Los alumnos logran escribirla en la siguiente forma: (x − (−1 −

√

2)(x − (−1 +

√

2)) ≥ 0

Para luego considerar los casos: √ Caso 1: x ≤ −1 − 2. √ √ Caso 2: −1 − 2 < x ≤ −1 + 2 √ Caso 3: x > −1 + 2. El profesor se pasea por la sala observando el trabajo de los alumnos y alumnas y se da cuenta, que las soluciones de cada cada caso no las intersectan con la condición inicial, y que tampoco unen las soluciones de cada caso para obtener la solución total. ¿Cómo gestionaría la clase para aclarar esos puntos? Ejemplo 2 : En una guía se pide probar que si a es un número real y ε > 0, entonces el conjunto de los x ∈ R tales que |x − a| < ε es el mismo conjunto de los x ∈ R tales que a−ε<x
o a−ε<x

Por lo tanto a−ε<x
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Indicador 14 : Reflexiona respecto a las habilidades que desarrollan los estudiantes al realizar actividades de manejo de expresiones algebraicas. Ejemplo 1 : ¿Qué habilidades se desarrollan al racionalizar expresiones del tipo: √

2x √ ? x− y

Ejemplo 2 : Suponga que está enseñando en 2° medio potencias y raíces. El departamento de matemática de su unidad escolar dispone de guías de ejercicios que deben ser resueltas por los alumnos y alumnas. Estas guías contienen ejercicios como los siguientes: Simplifique: r q √ 3 3 23 8 ³ x

3 y

´0,¯3

³ 2 ´0,5 ³ 5 ´0,2 + xy + xy

a−1 + b−1 a−2 − b−2

µ

a−1 b−2 (ab)−3

¶−1

a) Muestre ventajas y desventajas de desarrollar este tipo de actividades para estudiantes de enseñanza media. b) Sus alumnos y alumnas le dicen que ya no se interesan por estos problemas y desarrollan las guías solo porque se lo piden.¿Que le respondería a sus alumnas y alumnos? c) Proponga una actividad motivadora para desarrollar habilidades de dominio algebraico declarando explícitamente los objetivos de aprendizaje. Ejemplo 3 : Juan es profesor de matemática y cree que es bueno que los alumnos y alumnas aprendan matemática ejercitando. Por ello a sus estudiantes de 1° medio, les presentó la siguiente lista.

a) ¿Cuáles cree usted que son las habilidades matemáticas que un alumno o alumna adquiriría con estas listas? 57

Indicador 15 : Diseña actividades que permitan evaluar contenidos de expresiones algebraicas. Ejemplo 1 : Dado el siguiente contenido: Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos. a) Determine objetivos de aprendizaje que se puedan desprender de él. b) Para cada uno de esos objetivos, elabore indicadores, y luego desarrolle una actividad que permita el logro del objetivo. c) Elabore un instrumento que pueda evaluar los objetivos declarados. Ejemplo 2 : Dado el contenido: Establecimiento de estrategias para transformar expresiones algebraicas no fraccionarias en otras equivalentes, mediante el uso de productos notables y factorizaciones. Un profesor elabora el siguiente ítem para evaluarlo: Factorice las siguientes expresiones algebraicas: 1. 5x − 25x2 2. 4x2 + 36x + 81 3. 100z 2 − 16x2

4. x − y 2 5. 2z 2 − 5z + 3 6. 12zy − 6z − 4y + 2

a) ¿Cree ud. que éste ítem permite evaluar si los estudiantes han comprendido el contenido? Fundamente. b) Elabore otros ítemes para evaluar si los estudiantes han comprendido el contenido antes mencionado. Indicador 16 : Reflexiona sobre creencias y actitudes acerca de las expresiones algebraicas y sus consecuencias en la práctica docente. Ejemplo 1 : Es muy común usar una representación geométrica basada en área de rectángulos para mostrar el cuadrado del binomio (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab. Sin embargo, esa representación sólo considera el caso en que a rel="nofollow"> 0 y b > 0. a) ¿Por qué cree que es útil usar esta representación? b) ¿Cómo haría usted para pasar de esta representación al caso general? Ejemplo 2 : Una profesora de enseñanza media, cuando le corresponde enseñar productos notables en 1° medio usa siempre la misma forma: Primero: Segundo: Tercero: Cuarto:

Fórmula de todos los productos notables. Ejemplos de cada uno de ellos. Lista de ejercicios de cuadrado de binomio. Lista de ejercicios de la suma por la diferencia.

Cuando los estudiantes ya habían desarrollado varias guías de productos notables y se habían usado varias clases en estudiar cada uno de los casos importantes, se dedicaba a estudiar factorización. 58

a) Argumente respecto de ventajas y desventajas de la propuesta de la profesora. b) ¿Qué habilidades cree usted que aprenden los alumnos y alumnas, haciendo muchos ejercicios de productos notables? Fundamente. c) ¿Para qué se enseñan los productos notables? d) ¿Le parece correcto que se enseñan en forma separada productos notables y factorización? Fundamente. Indicador 17 : Elabora instrumentos para evaluar contenidos de álgebra a alumnos con diferentes ritmos de aprendizaje. Ejemplo 1 : Una profesora elabora una prueba de álgebra, el ítem que trata la solución de ecuaciones cuadráticas tiene cuatro partes. Las dos primeras partes están pensadas para todos los estudiantes. Los estudiantes que están en el promedio del rendimiento deben responder además la terccera parte. Los de mejor rendimiento deben responder todo el ítem. a) Considere el siguiente ítem de esa prueba: i. Muestra que x2 + x + 1/4 es el cuadrado de un binomio. ii. Vía completación de cuadrados demuestra que la ecuación x2 + x + 1 = 0 no tiene raíces reales. iii. Demuestra que x = y = 0 es la única solución de x2 + xy + y 2 = 0. iv. ¿Para cuales valores de α la ecuación x2 + αxy + y 2 = 0 tiene soluciones distintas de (0, 0)? ¿Este ítem satisface con las condiciones descritas en el enunciado? b) Existen otros formatos para evaluar en forma diferenciada a un curso. Compare varias maneras de evaluar diferenciadamente y compárelas. c) ¿Qué haría Ud. para promover que estos grupos no sean estáticos? Es decir ¿Que haría id. para promover que los alumnos vayan con el tiempo subiendo en la escala académica? Ejemplo 2 : En una prueba aparece el siguiente problema Un trío de números enteros positivos a, b y c que satisfacen a2 +b2 = c2 se llama trío pitagórico, por ejemplo, 5, 12, 13 es un trío pitagórico. i) Muestra que si a, b y c es un trío pitagórico, también lo es ka, kb y kc; donde k es un número entero positivo. ii) Si a, b y c es un trío pitagórico, y dos de ellos son pares, entonces muestra que el tercero también es par. iii) Si a, b y c es un trío pitagórico, entonces muestra que no pueden ser todos impares. a) Describa un problema previo pensando en alumnos a los cuales el problema les podría resultar difícil. b) Proponga problemas adicionales, en el mismo contexto del problema, para las alumnas y alumnos más aventajados. 59

Indicador 18 : Reflexiona acerca de estrategias de gestión de clase para desarrollar las capacidades matemáticas de todos sus alumnos y alumnas. Ejemplo 1 : El profesor Jiménez elabora guías de problemas para que los alumnos y alumnas las realicen en clases. Él ordena los problemas en orden creciente y siempre marca el último de la guía con un asterisco, para indicar que se trata de un Desafío. Además el profesor Jiménez afirma que poner los problemas fáciles al principio, sus estudiantes no se abruman de entrada y poco a poco van ganando confianza, de modo que cuando llegan a los problemas difíciles se sienten seguros de poder resolverlos, y si no lo logran no pasa nada, pues se trata de problemas desafío. En cambio el profesor Muñoz prefiere poner los problemas en la guía, sin un orden de dificultad y no marca de ninguna manera los problemas desafiantes. El profesor Muñoz afirma que de este modo, todos intentan resolver los problemas, en cambio en el otro formato sólo unos pocos se atreven siquiera a leer el problema desafiante. Él les recomienda a sus estudiantes que si están muy perdidos en un problema pasen al siguiente y luego vuelvan a intentar aquel que abandonaron. a) ¿Cuál de las posturas anteriores le parece más adecuada? b) ¿Bajo qué condiciones usaría la estrategia del profesor Jiménez y bajo que condiciones la del profesor Muñoz? c) ¿Qué otra estrategia usaría para que todos los alumnos y alumnas de su clase desarrollen habilidades de resolución de problemas? Ejemplo 2 : Una profesora estaba acostumbrada a hacer clases en un colegio donde los y las estudiantes conformaban un grupo bastante homogéneo respecto a intereses y aprecio por el conocimiento. Sin embargo, cambia de colegio a uno donde la diversidad académica es evidente dentro de la sala de clases. Ella cree que es una buena idea formar grupos de trabajo, mezclando alumnos de alto rendimiento con otros de bajo rendimiento académico, fomentando la resolución de problemas y sobre todo la argumentación entre pares. En una actividad de un problema con varias soluciones, ella invita a los estudiantes de bajo rendimiento a que, en representación del grupo, escriban y expliquen sus resultados en la pizarra. Estos alumnos lo hacen relativamente bien, pero uno de los miembros de uno de los grupos le comenta a la profesora, que “Manuel solo repitió lo que yo había dicho dentro del grupo y que en realidad Manuel siempre se va a la cochiguagua y se saca buenas notas porque entregamos las tareas en conjunto.” a) ¿Cómo respondería al reclamo del alumno? b) ¿Cómo podría Ud. cambiar la gestión de la clase para que los estudiantes de menor rendimiento en matemáticas, puedan elaborar sus propias estrategias y argumentos, sin perder la interacción con los estudiantes de mejor rendimiento? c) ¿Cuál es el aporte de esta estrategia para los estudiantes de mejor rendimiento?

60

Estándar 3 : Es capaz de conducir el aprendizaje del concepto de función, sus propiedades y representaciones. El futuro profesor o profesora está capacitado para conducir el aprendizaje de los estudiantes en la comprensión del concepto de función, sus propiedades, su relación con ecuaciones y de los principales ejemplos de funciones a nivel de enseñanza media: lineales, afines, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, valor absoluto, polinomiales, entre otras, utilizando diferentes representaciones. Promueve en sus estudiantes el desarrollo de habilidades de cálculo, de resolución de problemas, de representación y argumentación. Utiliza funciones en el modelamiento de situaciones provenientes de diferentes ámbitos. Reconoce los aspectos centrales que presenta el currículo nacional referente a funciones y planifica actividades de aprendizaje, analiza recursos pedagógicos y diseña actividades de evaluación, considerando el contexto escolar.

Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Utiliza propiedades de funciones para analizar las soluciones de ecuaciones. Ejemplo 1 : Demuestre que la ecuación x = cos(x) tiene una única solución. Ejemplo 2 : Utilice las propiedades de la función logaritmo para mostrar que no existe x ∈ R tal que log(x) = x Indicador 2 : Determina dominios y recorridos de funciones en forma algebraica y gráfica. Ejemplo 1 : Determine el máximo subconjunto de R para que las siguientes fórmulas definan una función. a) y =

2x √ 4 5−x3

b) y = ln(x − 1) + ln(x + 1) Ejemplo 2 : Considere la imagen de abajo. Si ésta representa el gráfico de una función, ¿cuál es el dominio que sugiere el gráfico ?¿Cuál es el recorrido que sugiere el gráfico?

Indicador 3 : Demuestra propiedades relativas a la inversa de una función y determina inversas en casos particulares. 61

Ejemplo 1 : Defina, si es posible, una función inversa para cada una de las siguientes funciones, suponga las funciones definidas en el máximo subconjunto de R donde tengan sentido. Si no es posible, haga las restricciones para que lo sea. p a) f (x) = log2 (x + 4) ½ −3x2 + 1 si x < 0 b) f (x) = 3x + 2 si x ≥ 0 Ejemplo 2 : ¿Es necesario que g y f sean invertibles para que gof sea invertible? Indicador 4 : Conoce las dificultades que presentan los estudiantes con respecto a las relaciones de proporcionalidad y cuenta con estrategias para superarlas. Ejemplo 1 : El siguiente gráfico representa a dos variables x e y relacionadas:

a) Muestre que las variables y y x no están relacionadas en forma inversamente proporcional. b) Es común que los estudiantes crean que las variables x y y están relacionadas en forma inversamente proporcional. ¿A qué cree Ud. que se debe esto? c) ¿Qué estrategias puede utilizar usted para que los alumnos y alumnas se convenzan que las variables no están relacionadas en forma inversamente proporcional? Ejemplo 2 : Es común que se crea que si y es una función creciente en x, entonces las variables están relacionadas en proporción directa. Describa estrategias para que los estudiantes no cometan ese error. Indicador 5 : Conoce los ventajas y desventajas que tienen para los alumnos y alumnas las diferentes representaciones de una función. 62

Ejemplo 1 : Describa las ventajas y desventajas de las siguientes representaciones para que sus estudiantes comprendan un concepto de función. ¿Con qué propósito utilizaría cada una de esas representaciones?

Tabla:

Diagrama de Venn

Pares Ordenados: A = {(x, x + 2) : x ∈ R}

Gráfico:

Metáfora de la “Máquina”:

½ Ejemplo 2 : Un estudiante dice que función f (x) = 63

x2 , x≥0 no es in−|x|, x < 0

yectiva, pues las funciones cuadrática y valor absoluto no lo son. ¿Cuál representación de función usaría para sacar al alumno de su error? Indicador 6 : Reconoce los contenidos de diferentes niveles del currículo que se relacionan con el concepto de función. Ejemplo 1 : Un objetivo relativo a funciones es: Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. Considerando el objetivo anterior, responda: a) ¿Qué contenidos de números y álgebra de niveles anteriores se relacionan con el objetivo dado? Secuencie los contenidos y fundamente su respuesta. b) ¿Qué contenidos de álgebra de niveles superiores se relacionan directamente con el objetivo dado? Ejemplo 2 : Proponga una secuencia de contenidos respecto a funciones que evidencie el progreso desde 7° básico hasta 4° medio. Fundamente por qué un contenido es requisito de otro. Indicador 7 : Planifica actividades que permiten analizar propiedades de funciones de diferentes niveles del currículo. Ejemplo 1 : En la discusión sobre la noción de función inversa es necesario utilizar las distintas representaciones de las funciones. Diseñe una actividad para alumnos y alumnas de 4° medio para cada una de las siguientes situaciones: a) Un problema de aplicación donde sea necesario obtener la expresión algebraica de la inversa de una función. b) Un problema de aplicación donde sea necesario obtener el gráfico de la función inversa a partir del gráfico de la función. c) ¿Por qué es importante que los alumnos y alumnas se familiaricen con el concepto de función inversa en sus diferentes representaciones? ¿Qué aporta cada una de ellas?¿Qué dificultades en el aprendizaje de la función inversa pueden ocurrir si sólo se enfatiza la representación algebraica? Ejemplo 2 : Planifique una actividad en la cual se aprovechen los conocimientos de Datos y Azar para fortalecer el concepto de función y viceversa. Indique también las posibles dificultades que puedan aparecer al conectar estos dos contenidos. Indicador 8 : Planifica actividades que permitan a los estudiantes reconocer propiedades de la composición de funciones y de la función inversa. Ejemplo 1 : En un texto de estudio se pide graficar la composición de las funciones f y g definidas en R por: ½ 3x + 1 si x ≥ 2 f (x) = x2 + 3 si x < 2 y 64

½ g(x) =

−3x + 5 si x ≥ 1 3x si x < 1

a) ¿Qué habilidades se pueden desarrollar en los estudiantes al realizar este problema? b) Desarrolle una actividad de una clase de 45 min. en torno a este problema. Anticipe posibles errores y dificultades que podrían presentar los estudiantes. Elabore preguntas que usted haría a los estudiantes para que reconozcan estos errores. c) En un curso este problema ha resultado demasiado desafiante para los estudiantes. ¿Cómo abordaría esa situación? √ Ejemplo 2 : Un profesor grafica y = x2 y y = x en el primer cuadrante. Luego muestra geométricamente que estas funciones es una la reflejada de la otra respecto a la diagonal y = x. Describa como continuaría la clase, para que los estudiantes argumenten que en general el gráfico de f −1 es el reflejado del gráfico de f respecto la diagonal y = x. Indicador 9 : Es capaz de desarrollar actividades de aprendizaje en donde se aplican las funciones exponencial y logaritmo a diversos contextos científicos. Ejemplo 1 : En nuestro país sísmico, es usual escuchar en las noticias información sobre temblores y su magnitud en la escala de Richter. Es también un hecho que muchos no saben interpretar bien qué significan los valores de dichas magnitudes. De hecho, tenemos una tendencia natural a linealizar las cantidades, y es plausible que sin pensarlo mucho, se crea, a priori, por ejemplo que un temblor de magnitud 9 Richter “sea el doble” (sin tener muy claro en qué sentido es el doble) de uno de magnitud 4,5. Imagine que sus estudiantes vienen a usted con la siguiente duda: El terremoto del 27 de febrero fue devastador, con una magnitud de 8,8 en la escala de Richter. ¿Cómo es entonces que cuando hay uno de la mitad de la magnitud, esto es 4,4 Richter, ni se siente? a) ¿Cómo haría para generar un proceso de discusión y análisis que permita a sus alumnos y alumnas comprender que el sismo de 8,8 grados no libera el doble de energía que un sismo de 4,4 grados? Se le sugiere aprovechar la tabla siguiente obtenida en Internet (en la que 1t = 4, 185 × 109 J = 4, 185 × 1016 erg es aproximadamente la energía liberada por la detonación de 1 tonelada del explosivo TNT), Escala Richter 4 6,1 6,5 7,0 7,5 8,1 9,5

Energía liberada equivalente en TNT 6t 300t 31500t 199000t 750000t 6, 4 × 106 t 2, 6 × 108 t 65

Referencia Bomba atómica de baja potencia. Terremoto en Managua 1972. Terremoto en California 1994. Terremoto Haití 2010. Terremoto Santiago de Chile 1985. Terremoto de México 1985. Terremoto de Valdivia 1960

y el modelo logarítmico siguiente, que relaciona energía liberada E (medida en Ergios) de un sismo con su magnitud Richter R:

log E = 1, 5R + 11, 8. b) Aparte de los contenidos de ciencias que estaría ayudando a aclarar, ¿qué contenidos matemáticos estaría cubriendo en esta discusión? Ejemplo 2 : Considere el siguiente contenido: “Utiliza la función exponencial para modelar decaimiento radiactivo” Un profesor está desarrollando la clase para que los estudiantes dominen ese contenido. Él explica que la vida media de un elemento radioactivo, es el tiempo que transcurre hasta que queda la mitad de la cantidad inicial del elemento. Luego les muestra a sus alumnos que el mejor modelo para este proceso de decaimiento es C(t) = C0 · 2−tk donde C0 es la masa inicial del elemento y k es una constante a determinar que depende de la vida media del elemento. Un alumno le pregunta: “Si el modelo lo podemos elegir nosotros, ¿por qué no elegimos un modelo más simple?¿Cómo sabemos que ese es un buen modelo?” a) ¿Qué le respondería al alumno? b) ¿Cómo explicaría que aquel es un buen modelo?¿Cómo haría esto sin recurrir a técnicas de cálculo?

Indicador 10 : Es capaz de aplicar programas computacionales para que sus alumnos reconozcan propiedades de los gráficos de funciones. Ejemplo 1 : Utilizando algún software, un profesor realiza una clase para que sus estudiantes analicen el efecto que se produce el variar los parámetros a y b en las siguientes funciones: f (x) = ax + b, f (x) = (x + a)2 + b. Un alumno le dice: “Profe, revisando la guía de funciones cuadráticas del libro, ninguna viene en la forma f (x) = (x + a)2 + b si no que todas vienen en la forma f (x) = x2 + bx + c, ¿por qué no nos muestra que pasa en esos casos en vez de estos?” El profesor le responde que cualquier función de la forma f (x) = x2 + bx + c se puede escribir en la forma g(x) = (x + a)2 + b. a) ¿Le parece adecuada la respuesta del profesor? Comente. b) Otra postura del profesor, pudo haber sido analizar los cambios en los parámetos de la función f (x) = x2 + bx + c. ¿Qué ventajas y desventajas reconoce en ambas posturas? Ejemplo 2 : Un profesor ingresa la función f (x) = x3 − 2x2 − 16x + 32 en un software y se muestra en el telón de la sala el siguiente gráfico: 66

Uno de los estudiantes, le dice que se trata de una parábola. a) ¿Cómo gestionaría la clase para sacar a ese alumno del error? b) ¿Cómo utilizaría ese error para que los estudiantes reconozcan las limitaciones que presentan los gráficos de funciones respecto al análisis de las funciones ? Indicador 11 : Diseña instrumentos de evaluación acerca de los aprendizajes relacionados con funciones del nivel escolar. Ejemplo 1 : Elabora una tabla de especificaciones para diseñar una evaluación sumativa que considere los siguientes aprendizajes: Analizan situaciones y fenómenos que se pueden modelar utilizando las funciones lineal y afín; establecen la dependencia entre las variables y la expresan gráfica y algebraicamente. Conocen, interpretan y grafican la función valor absoluto. Ejemplo 2 : Para los siguientes aprendizajes: Conocen la expresión algebraica y gráfica de las funciones lineal y afín; traducen de un registro a otro. Relacionan la función valor absoluto con la función lineal afín. a) Elabore ítemes de selección múltiple y de desarrollo que permitan medir el logro de los aprendizajes señalados. b) Para los ítemes de desarrollo de la parte anterior, diseñe pautas de evaluación explicando la asignación de puntaje en cada una de ellas. Indicador 12 : Reflexiona acerca de las complejidades de la evaluación de conocimientos matemáticos. 67

Ejemplo 1 : Un estudiante de pedagogía en práctica enfrenta quejas de los mejores alumnos del curso cuando el profesor tutor no les otorga el máximo puntaje por la resolución correcta de un ejercicio en una prueba global, que realizaron utilizando materias del año anterior en lugar de la materia en evaluación. El estudiante aboga por ellos frente al profesor tutor quien le hace ver que otros alumnos del curso ya manifestaron que sería muy injusto darles a esos alumnos todo el puntaje, siendo que ellos podrían haber hecho lo mismo pero en cambio intentaron resolver el ejercicio con la materia evaluada y no lo lograron. Escriba un texto acerca de las alternativas que tiene el profesor para resolver el problema, analizándolas y justificando la elección de una de ellas. Ejemplo 2 : Un estudiante en práctica introduce actividades de “resolución de problemas de final abierto” en las clases que el profesor tutor le invita a realizar. Si bien estas actividades transcurren de manera muy animada y con un curso entusiasmado, un grupo de buenos alumnos rechaza las altas calificaciones que obtuvieron en esta actividad alumnos que nunca han trabajado mucho en matemáticas, pero que mostraron ser bastante ingeniosos en estas actividades. Escriba un texto acerca de distintas vías de solución de este problema, describiendo ventajas y desventajas y argumentando su decisión.

68

Estándar 4 : Demuestra competencia disciplinaria en álgebra lineal y es capaz de conducir el aprendizaje de sus aplicaciones en la matemática escolar. El futuro profesor o profesora domina la operatoria y propiedades básicas de las matrices y usa el método de Gauss para resolver sistemas lineales y encontrar inversas de matrices. Comprende la estructura de espacios vectoriales reales de dimensión finita, opera en esos espacios; en el caso de Rn , utiliza el producto punto, sus propiedades y las proyecciones ortogonales. Comprende y opera también con transformaciones lineales entre estos espacios, y particularmente su relación con las matrices y los sistemas lineales. Utiliza vectores y valores propios de una transformación lineal para analizar modelos matemáticos provenientes de diferentes ámbitos. Está capacitado para planificar, conducir y evaluar el aprendizaje de sus alumnas y alumnos en los temas de sistemas de ecuaciones, sistemas de inecuaciones y programación lineal. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Conoce propiedades algebraicas de las matrices, opera con ellas y las compara con el álgebra de números. Ejemplo 1 : Responda Verdadero o Falso, justificando con una demostración o contraejemplo: i) Si A y B son matrices de n × n, entonces (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 . ii) Si A, B son matrices invertibles, entonces (AB)−1 = A−1 B −1 . iii) Si A, B son matrices de n × n, entonces (AB)t = B t At . iv) El producto de matrices simétricas es simétrica. v) El producto de matrices antisimétricas es antisimétrica. vi) El producto de matrices triangulares superiores es triangular superior. Ejemplo 2 : Sea N la matriz de n × n   0 1 0 0 0 ... 0 0  0 0 1 0 0 ... 0 0     0 0 0 1 0 ... 0 0  . N =      0 0 0 0 0 ... 0 1  0 0 0 0 0 ... 0 0 Calcule N j para j = 2, ..., n. Deduzca que N es nilpotente. Indicador 2 : Conoce las propiedades básicas del producto punto en Rn , en particular la desigualdad de Cauchy-Schwarz, y su relación con la definición de ángulo. 69

Ejemplo 1 : Describa en qué casos la desigualdad de Cauchy-Schwarz es una igualdad. Ejemplo 2 : Se define el ángulo θ entre dos vectores X, Y , distintos de cero, a través de la fórmula < X, Y > cos θ = ||X||||Y || Explique el rol que juega la desigualdad de Cauchy-Schwarz en esta definición. Indicador 3 : Encuentra e interpreta la proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio de Rn , y aplica el procedimiento de Gram-Schmidt para encontrar bases ortonormales. Ejemplo 1 : Encuentre la proyección del vector (2, 1, 2, 1) sobre el espacio generado por los vectores (1, 1, 1, 1) y (1, −1, 1, 0). Ejemplo 2 : Usando el método de Gram-Schmidt encuentre una base ortonormal del subespacio vectorial de R4 generado por los vectores (1, 0, 0, 1), (−1, 1, 2, 0) y (2, 1, 0, 0). Encuentre la distancia del vector (1, 1, 3, 4) a este subespacio. Ejemplo 3 : ¿Qué sucede si se aplica el procedimiento de Gram-Schmidt a un conjunto de vectores linealmente dependiente? Indicador 4 : Interpreta geométricamente el método de mínimos cuadrados y lo aplica al ajuste de datos. Ejemplo 1 : Supongamos que en un cierto fenómeno están involucradas dos variables y que estas se han observado n veces, entregando valores (xi , yi ) para i = 1, 2, ..., n. a) Determine constantes α, β de modo que los errores ei = yi − α − βxi ,

i = 1, ..., n, P sean mínimos, en el sentido que minimicen ni=1 e2i . b) Debido, por ejemplo, a la calidad de las mediciones que llevaron a obtener las observaciones (xi , yi ), se quiere dar distinto peso a cada observación, de modo de cambiar el criterio de minimización por: n X

wi e2i ,

i=1

donde los pesos wi son números positivos. Deduzca la fórmula para obtener α y β. P Ejemplo 2 : Muestre que la media aritmética x = n1 ni=1 xi puede interpretarse como la solución en el sentido de mínimos cuadrados, es decir, se busca x ∈ R de modo de minimizar la distancia x1 y X, donde X es el vector que contiene los n datos xi , y 1 es un vector de n unos. Indicador 5 : Utiliza sistemas lineales y matrices para modelar situaciones que provienen de diferentes áreas del conocimiento. 70

Ejemplo 1 : Se considera una economía muy simple en la cual hay solamente tres agentes: agricultor, carpintero y sastre. Se supone que cada uno de ellos produce una unidad de su producto y que ésta es usada en su totalidad por los otros agentes, es decir, se trata de una economía cerrada. El consumo de cada agente queda determinado en la siguiente tabla de datos Agricultor Carpintero Sastre

Agricultor 7/16 5/16 1/4

Carpintero 1/2 1/6 1/3

Sastre 3/16 5/16 1/2

donde las columnas representan los bienes producidos y las filas los bienes consumidos por cada agente. Denotamos por p1 , p2 y p3 el precio con que cada uno de los agentes vende sus productos. a) Plantee el sistema que relaciona a la matriz A, asociada a la tabla, con el vector de precios, para obtener Ap = p. b) Resuelva el sistema. ¿Cómo interpreta el hecho de que hayan infinitas soluciones? c) Plantee el problema en una economía con n agentes. ¿Qué condición debe satisfacer la matriz A? ¿Qué condiciones debe satisfacer el vector de precios p? Explique. Ejemplo 2 : Se considera que la economía está constituida por n rubros Ri , cada uno de los cuales produce un artículo Ai . Se quiere determinar la cantidad xi del artículo Ai que debe producirse con el fin de satisfacer la demanda de cada uno de los rubros, más una demanda externa para exportación. Se dispone de los números cij , que representan la cantidad del artículo Aj que se requiere para producir una unidad del artículo Ai . Si C es la matriz de los coeficientes cij , x es el vector con componentes xi y d es el vector de demanda externa, entonces el modelo queda determinado por x = Cx + d. a) Explique cómo se obtiene este modelo. Construya un ejemplo para n = 3. b) ¿Qué condiciones debe satisfacer x para que tenga sentido económico? c) Entregue condiciones suficientes para la matriz C, de modo que se cumpla la condición anterior. Ejemplo 3 : Considere un grupo de personas que interactúan de acuerdo a una cierta relación. Si anotamos por P1 , ..., Pn estas personas, construimos una matriz A de modo que Aij es igual a 1 si Pi está relacionado con Pj y cero si no. Como convención Pi no se relaciona consigo mismo. a) ¿Cuál es el significado de A2 ? b) ¿Es posible que haya elementos no nulos en la diagonal de A2 ? ¿Cómo se interpreta? 71

c) En un vecindario hay 4 personas P1 , P2 , P3 y P4 . Si P1 escucha una copucha se la cuenta a P2 y P4 . P2 le cuenta todas las copuchas a P3 . P3 le pasa las copuchas a P1 y a P4 no le gusta contar copuchas. i) Si P1 sabe una copucha,¿después de cuantos pasos la sabrán todos? ii) Si P3 sabe una copucha, ¿después de cuantos pasos la sabrán todos? d) Encuentre otra interpretación social a: “Pi está relacionado con Pj ”. Indicador 6 : Aplica valores y vectores propios para resolver modelos que requieren el cálculo de potencias de una matriz. Ejemplo 1 : En poblaciones que tienen esquemas reproductivos estacionales, un modelo a tiempo discreto se adapta muy bien para describir la evolución a lo largo del tiempo. El siguiente modelo para la evolución de una población, debido a Patrick Leslie, corresponde a una especie que vive tres estaciones. En cada estación llevamos el registro del número de hembras, formando el vector   N0 (t) N1 (t)  N (t) =  N2 (t) , N3 (t) donde Ni (t) es el número de hembras de edad i en el tiempo t. El modelo que plantea Leslie es el siguiente      N0 (t + 1) 0 2 1.5 0 N0 (t) N1 (t + 1) 0.4 0   0 0  =  N1 (t) N2 (t + 1)  0 0.3 0 0 N2 (t) N3 (t + 1) 0 0 0.1 0 N3 (t) i) ¿Cómo se interpreta el hecho de que la última columna de la matriz es nula? ii) ¿Qué proporción de los individuos de 2 estaciones de edad sobreviven y pasan a 3 estaciones de edad? iii) Si inicialmente la población estaba distribuida de acuerdo a N0 = 0, N1 = 1, N2 = 2 y N3 = 3, describa la distribución de la población después de tres estaciones. iv) ¿Cuál es el comportamiento de la población en el largo plazo? v) Considere una especie que vive dos estaciones y cuya evolución se describe mediante la matriz de Leslie   5 7 1.5 0.2 0 0 0 0.4 0 y el vector de población inicial es [1000, 0, 0]t . ¿Después de cuánto tiempo se triplicará la población? ¿Podría decir que la población crece para siempre? 72

Ejemplo 2 : Suponga que en una economía hay sólo 3 ‘bienes’: Acero, Comida y Trabajo, los cuales evolucionan en el tiempo. Denotamos por Ak , Bk y Ck la producción de cada uno de estos bienes en el año k. En este modelo, suponemos que la producción de cada bien en el año k requiere de los bienes producidos en el año k − 1, los cuales juegan el rol de insumo de acuerdo a la siguiente relación:      Ak 0,4 0 0,1 Ak−1 Ck  =  0 0,1 0,8 Ck−1  , Tk 0,5 0,7 0,1 Tk−1 para k ≥ 1. ¿Qué puede decir del comportamiento de la economía en el largo plazo? ¿Se contrae o se expande? ¿Depende el comportamiento en el largo plazo de la producción inicial (A0 , C0 , T0 )? Indicador 7 : Utiliza el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales y para calcular inversas. Ejemplo 1 : Determine el valor de los parámetros α y β para los cuales el sistema de ecuaciones x + 2y + 3z = 1 2x + 3y + 4z = β 3x + 4y + αz = 1 tiene como conjunto solución: a) un síngleton, b) el conjunto vacío, c) un conjunto infinito. ¿Puede ser que el conjunto solución tenga exactamente dos elementos? Ejemplo 2 : Encuentre el conjunto solución del sistema x + 2y + 3z + w = 6 x + z + w = 3. Ejemplo 3 : Al utilizar el método de Gauss para invertir una matriz se ha llegado a la siguiente matriz intermedia   1 31 −71 10 0 6 13 41    0 0 0 −5 0 0 7 85 Determine si la matriz original es invertible. Explique. Indicador 8 : Usa conceptos de espacios vectoriales y de transformaciones lineales para interpretar el conjunto solución de los sistemas de ecuaciones lineales. 73

Ejemplo 1 : Considere la matriz A ∈ Mn×m (R) y la función lineal L : Rm → Rn definida por L(x) = Ax. Interprete las posibles soluciones del sistema de ecuaciones Ax = b en términos del núcleo e imagen de la aplicación L. Ejemplo 2 : Encuentre un sistema de ecuaciones con 5 incógnitas que tenga como espacio solución el generado por los vectores £ ¤t £ ¤t u1 = 1 0 1 0 1 y u2 = 1 −1 1 −1 1 . ¿Cuál es el número mínimo de ecuaciones que debe tener el sistema? Ejemplo 3 : Si A es una matriz cuadrada, indique cuál o cuáles de las siguientes condiciones son equivalentes a ‘A es invertible’: a) El sistema Ax = 0 tiene a x = 0 como solución. b) detA 6= 0. c) El rango fila y el rango columna de A coinciden. d) La ecuación Ax = b tiene una única solución, cualquiera sea b. e) La función f : Rn → Rn definida por f (x) = Ax es sobreyectiva. f) Los valores propios de A son reales.

Indicador 9 : Conoce y aplica los conceptos de independencia lineal, conjunto generador, base y dimensión de un espacio vectorial. Ejemplo 1 : a) Sean v1 y v2 vectores en RN dados. Muestre que v1 y αv1 + v2 , para α ∈ R son linealmente independientes si y sólo si v1 y v2 son linealmente independientes. b) Demuestre que si la matriz ¶ µ α β γ δ es invertible y los vectores v1 y v2 son linealmente independientes entonces αv1 + βv2 y γv1 + δv2 son linealmente independientes. Ejemplo 2 : Determine la dimensión de los siguientes subespacios vectoriales de Mn (R): a) b) c) d)

El El El El

subespacio subespacio subespacio subespacio

de de de de

las las las las

matrices matrices matrices matrices

diagonales. triangulares superiores. simétricas. antisimétricas.

Ejemplo 3 : Demuestre que los vectores (3 − i, 2 + 2i, 4), (2, 2 + 4i, 3) y (1 − i, −2i, 1) forman una base del espacio vectorial C3 sobre el cuerpo C. Encuentre las coordenadas de los vectores canónicos (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en esta base. Indicador 10 : Relaciona el núcleo y la imagen de una función lineal con su inyectividad y su sobreyectividad y conoce la relación entre la dimensión del núcleo y la imagen. 74

Ejemplo 1 : Considere la función lineal L : R4 → R3 definida por L(x, y, z, w) = (x + y, y + z, z + w). Encuentre el Núcleo de L e indique la dimensión de la Imagen de L ¿Es L sobreyectiva? Ejemplo 2 : Sea X de dimensión finita y f ∈ L(X, X) tal que Ker(f ) = Ker(f 2 ). Demuestre que X = Ker(f ) ⊕ Im(f ). Indicador 11 : Comprende el significado de matriz representante de una transformación lineal, la sabe calcular y es capaz de operar con ella. Ejemplo 1 : Considere la transformación lineal por L(A) = At . Considere las bases · ¸ · ¸ · 1 0 0 1 0 A={ , , 0 0 0 0 1 y

L : M2 (R) → M2 (R) definida ¸ · ¸ 0 0 0 , } 0 0 1

· ¸ · ¸ · ¸ · ¸ 1 1 0 1 0 0 0 1 B={ , , , }. 0 0 0 0 1 1 0 1

Determine la matriz representante de L: a) Usando A como base para el espacio de partida y de llegada. b) Usando A como base para el espacio de partida y B de llegada. Ejemplo 2 : Considere las aplicaciones lineales L : R3 → R4 y M : R4 → R2 cuyas matrices representantes con respecto a bases canónicas B3 , B4 y B2 de R3 , R4 y R2 respectivamente, son:   2 3 −2 · ¸ 1 5 3 1 3 −2 0  , y . −1 4 2  1 −1 3 2 0 3 1 Encuentre la matriz representante de M ◦ L con respecto a las bases B3 y B2 . Determine las coordenadas de M ◦ L(x) cuando las coordenadas de x en la base B3 son £ ¤t 1 3 −1 . Ejemplo 3 : Sea A la matriz representante de una transformación lineal de Rn en sí mismo, con respecto a la base canónica. Si {v1 , ..., vn } es otra base de Rn , ¿cuál es la matriz representante de la transformación con respecto a esta base, en la partida y en la llegada? Indicador 12 : Conoce errores frecuentes y dificultades en el aprendizaje de los sistemas de ecuaciones lineales y se anticipa a ellos. Ejemplo 1 : Se ha observado que un error frecuente de los alumnos y alumnas es creer que los sistemas de ecuaciones siempre tienen solución única. Si usted debiera introducir estos temas, ¿que problemas propondría para que sus estudiantes no cometieran ese error? 75

Ejemplo 2 : Un profesor le dice a sus alumnos que la solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, corresponde geométricamente a las coordenadas de los puntos de la intersección de las rectas definidas en el sistema. Un alumno le dice que encontró este sistema en una guía del preuniversitario: y = −x y =x+2 y = −x +4 3 +3 y El alumno le dice que graficó las rectas y = −x, y = x + 2 y y = −x 3 que las soluciones del sistema son las coordenadas de los puntos A, B y C.

a) ¿Qué le respondería al alumno? b) Reflexione de cómo discutir con todo el curso el significado de la solución de un sistema de ecuaciones. Indicador 13 : Reconoce la progresión de contenidos del currículo relativos a programación lineal. Ejemplo 1 : Considere los siguientes contenidos de la unidad de programación lineal: A. Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Descripción de un semiplano por medio de una inecuación lineal con dos incógnitas. Gráfico de semiplanos e intersección de ellos. Relación entre ecuaciones e inecuaciones lineales. B. Resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Considerando lo anterior responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles son los contenidos previos que debe conocer un estudiante para abordar el contenido relativo a programación lineal? b) Establezca una secuencia de contenidos previos que progrese hasta los contenidos presentes en los contenidos A y B. Ejemplo 2 : Uno de los aprendizajes de la unidad de programación lineal es: Resuelven problemas sencillos que involucren procesos de optimización. ¿Cuáles son los contenidos que se relacionan con este aprendizaje?

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Indicador 14 : Planifica unidades de aprendizaje referidas a sistemas lineales y programación lineal. Ejemplo 1 : Planifique una unidad de aprendizaje centrada en sistemas lineales cuyo objetivo sea: Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. La planificación debe contener, al menos: a) Los aprendizajes que son pertinentes al objetivo señalado. b) Los indicadores de logro que permitan verificar si los aprendizajes esperados están logrados por los alumnos y alumnas. c) Los contenidos matemáticos que se relacionan con cada uno de los aprendizajes. d) Las actividades de enseñanza asociadas a cada uno de los aprendizajes. e) El tiempo estimado, para cada una de las actividades. Ejemplo 2 : Planifique una primera clase, de una seceuncia de cuatro, que involucre los siguientes contenidos: A) Inecuaciones lineales con dos incógnitas. Descripción de un semiplano por medio de una inecuación lineal con dos incógnitas. Gráfico de semiplanos e intersección de ellos. Relación entre ecuaciones e inecuaciones lineales. B) Resolución gráfica de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. La planificación debe contener: a) Propósito de la clase. b) Los conceptos previos necesarios para el logro del propósito. c) Las actividades que se desarrollarán en cada uno de los momentos de la clase y su respectiva gestión. d) Posibles dificultades en su implementación. e) Indicadores de logro para verificar los aprendizajes declarados en el propósito. Indicador 15 : Selecciona y elabora problemas y actividades para introducir el tema de programación lineal en clases de enseñanza media. Ejemplo 1 : Describa un problema que utilizaría para motivar el estudio de programación lineal. Justifique su elección. Ejemplo 2 : Considere el siguiente aprendizaje: Plantean y resuelven problemas de programación lineal: traducen enunciados identificando las variables de decisión, las correspondientes restricciones y la función objetivo y el siguiente problema: Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27,5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles Pop y Sup. Para 77

fabricar una docena de pasteles de tipo Pop necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla y para hacer una docena de pasteles de tipo Sup necesita 6 kg de harina, medio kilo de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de pasteles de tipo Pop es $2000 y por una docena de tipo Sup es $3000. Hallar el número de docenas que tiene que fabricar de cada clase para que la ganancia sea máxima. a) Desarrolle una actividad que considere el problema y el aprendizaje antes descritos. Declare el propósito de la actividad. b) Determine las dificultades u obstáculos que puedan presentar los estudiantes en esta actividad. c) Considerando que los alumnos y alumnas encuentra difícil el problema propuesto, proponga un problema más simple para ser presentado previamente. Indicador 16 : Diseña actividades para que los alumnos y alumnas analicen la solución de problemas de programación lineal desde un punto de vista gráfico. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema de programación lineal: Maximizar M = x1 + 2x2 , sujeto a x1 x1 + x2 −x1 + x2 x1 , x 2

≤ ≤ ≤ ≥

25 30 10 0.

a) Planifique cómo resolvería este problema ante sus alumnos, utilizando un software. b) ¿Qué dificultades cree usted que podrían tener sus alumnos y alumnas? Fundamente. c) Diseñe las intervenciones que haría en clases utilizando el software, para atender las dificultades señaladas en la parte b). d) Elabore dos o tres preguntas que permitan que los alumnos y alumnas relacionen, infieran y analicen información. Ejemplo 2 : Proponga un problema para ser presentado en clases, cuyo conjunto factible este dado por 2x + y ≤ 50 y x + 2y ≤ 70, tal que la función objetivo alcance su máximo en dicho conjunto.¿Qué característica tiene el conjunto factible que hace que no cualquier función objetivo alcance su máximo? Indicador 17 : Elabora actividades para evaluar sistemas sistemas lineales y programación lineal. Ejemplo 1 : 78

a) Elabore una actividad para evaluar la capacidad de los estudiantes de pasar de la representación algebraica a la geométrica y viceversa, respecto a la solución de sistemas de ecuaciones lineales de 2 × 2. b) Construye una rúbrica asociada a la actividad anterior. Ejemplo 2 : Una profesora realiza una prueba de programación lineal. Los problemas donde era necesario traducir un enunciado a un sistema de inecuaciones para luego optimizar, fueron omitidos o contestados en forma errónea. La profesora tiene tres conjeturas: los alumnos tienen problema en la traducción de lenguaje natural a lenguaje simbólico; los estudiantes tienen baja comprensión lectora; los enunciados no están claramente escritos. Elabore una actividad de trabajo de aula, que le permita decidir si el problema es uno de los descritos. Indicador 18 : Utiliza estrategias de investigación, análisis y discusión que le permiten identificar y analizar problemas referidos a la enseñanza y al aprendizaje de la matemática. Ejemplo 1 : El resultado “Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de las pendientes es −1” no es cierto para el caso en que una de las rectas es paralela al eje Y, sin embargo esa salvedad suele ser pasada por alto por los estudiantes. Además ese resultado se suele confundir con su recíproco que también es cierto. Organice una sesión de “estudio de casos” con sus compañeros para debatir acerca de este problema de la enseñanza, la validez precisa de esta propiedad, su demostración y la demostración del recíproco. Ejemplo 2 : Formule un problema de investigación acción, relacionado con la enseñanza de las programación lineal en su curso: a) ¿Qué modelo de investigación acción propondría? b) ¿Qué estrategias propondría para levantar información de la realidad de su curso? c) ¿Qué dificultades puede encontrar en esta tarea de levantamiento de información? d) Explicite un plan de acción para solucionar el problema. e) ¿Cuáles son las etapas que siguen? f) Identifique las dificultades que se presentan en estos estudios. g) ¿Qué dificultad puede prever al llevar el plan de acción a la práctica?

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EJE DE CÁLCULO

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PRESENTACIÓN

Los ideas del cálculo diferencial y el cálculo integral forman parte de los conocimientos básicos que dan fundamento a los contenidos escolares de la educación media y en consecuencia deben estar presentes en la formación inicial de los futuros profesores y profesoras de matemática. Estas ideas se conectan de manera directa con el eje de Sistemas Numéricos y Algebra y también están presentes en los ejes de Geometría y Datos y Azar. El principal criterio con el que se seleccionaron los contenidos incorporados a este eje se refiere a la vinculación directa del cálculo diferencial e integral con diversos contenidos y enfoques del currículo escolar. Este incluye, en el plan diferenciado, elementos de procesos infinitos que contiene series geométricas y telescópicas, convergencia intuitiva de sucesiones y series. Para que el profesor o profesora pueda generar el aprendizaje de estos contenidos, evidentemente deberá contar con conocimientos sólidos, y no meramente intuitivos, al respecto. Por otra parte, la nueva visión de las funciones que introdujo la reforma curricular de los años 90 y que sigue presente en el currículo actual, requiere de una mirada más profunda a este importante concepto matemático. En lugar de mirar solamente fórmulas y ecuaciones, se enfatiza la utilidad de las funciones para modelar fenómenos de la realidad y en el análsisi de su comportamiento, por ejemplo comparando las distintas funciones estudiadas en cuanto a su crecimiento. Los conceptos involucrados en todo esto, tales como las ideas de variación, cambio, crecimiento, decrecimiento, concavidad, máximos y mínimos, entre otros. Este eje se compone de 3 estándares. El Estándar 5 aborda los temas conceptuales que permiten comprender el sistema de los números reales, las propiedades fundamentales de límites y conceptos tales como arquimedianidad. Si bien la construcción axiomática de los números reales se aborda en el Estándar 10 del eje de Estructuras Algebraicas, es en este estándar donde se percibe las propiedades fundamentales de los números reales y que lo distinguen de otros sistemas, como la completitud. En este estándar se analizan sucesiones y sumatorias explicitando las conexiones con la matemática escolar y su enseñanza. El Estándar 6 se destina a los elementos básico de cálculo diferencial poniendo un especial énfasis en el análisis de funciones con las herramientas que provee el cálculo diferencial. En este estándar también se abordan temas relacionados al modelamiento matemático, en particular se formulan modelos a través de ecuaciones diferenciales, y aparecen conceptos como error, aproximación, método numérico y estimación, todos los cuales se benefician de las técnicas desarrolladas. El Estándar 7 se abordan las ideas contenidas en el cálculo integral y series, las que están relacionadas con áreas y volúmenes, que tanta importancia tienen en la matemática y que están presentes en todo el currículo escolar. Si bien las fórmulas correspondientes 83

no se pueden justificar a nivel escolar con estas ideas, ellas dan el necesario fundamento para las ideas subyacentes que pueden ser presentadas en distintas instancias escolares.se refiere a integrales y series, su relación con el cálculo de áreas y volúmenes, También se presenta el uso de las integrales para modelar problemas de índole diversa y su relación con la mecánica clásica.

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Estándar 5 : Es capaz de conducir el aprendizaje de los números reales, sucesiones, sumatorias y series. El futuro profesor o profesora conoce y aplica las propiedades fundamentales de límites y conceptos relacionados, tales cómo arquimedianidad e intervalos encajados. Analiza la convergencia de sucesiones y series, y conecta estas ideas con aspectos clave del currículo escolar como números reales, representación decimal, aproximaciones racionales de números irracionales y justificación de fórmulas de áreas y volúmenes a nivel escolar. El futuro profesor o profesora es capaz de conducir el aprendizaje de sumatorias, sumas geométricas, aritméticas, telescópicas y sumas de potencias de naturales. Está preparado para motivar a los alumnos y alumnas, considerando sus conocimientos previos e intereses, el aprendizaje y comprensión de los números reales y su relación con los racionales promoviendo el desarrollo de habilidades de representación, modelación, resolución de problemas y argumentación. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Utiliza sucesiones y series para modelar situaciones y resolver problemas que involucren cálculo de interés compuesto. Ejemplo 1 : a) Un banco ofrece a sus clientes una tasa de interés en sus depósitos de r % anual. Sea Qn la cantidad de dinero al final del año n. Escriba una fórmula para Qn que dependa solo de Q0 , de r y de n, suponiendo que la tasa se mantiene constante y que el interés se calcula cada año sobre el total de dinero que hay a comienzo de ese año. b) Otro banco ofrece la misma tasa anual, pero calcula los intereses al final de cada mes. Es decir al cabo del primer mes la cantidad inicial se habrá incrementado en r/12. ¿Cuánto dinero tendrá al final del primer año? Suponga una tasa r razonable, y compare con el Q1 del primer banco. c) Llamemos Qn,m la cantidad de dinero que hay depositada al final del año n, suponiendo ahora que el año se divide en m períodos de igual duración y el interés se calcula al final de cada período. Encuentre una fórmula para Qn,m . d) ¿Qué pasaría si el interes se calcula cada día, o cada hora, o cada minuto? Escriba una fórmula simplificada para Qn,m cuando m tiende a infinito. Ejemplo 2 : Una fundación desea crear un fondo para otorgar una beca que entregue 2 millones de pesos por año durante 5 años, a un alumno destacado. El dinero será abonado al final de cada año. Alguien opinó que eso significaba que la fundación debía depositar 10 millones de pesos, lo que es claramente incorrecto. a) Considerando que un banco da una tasa anual de r %, ¿cuánto habría que depositar al comienzo del primer año para poder pagar 2 millones al final del primer año? b) Considerando una tasa anual de r %, ¿cuánto habría que depositar al comienzo del primer año para pagar la beca de cada uno de los años desde el 1 al 5? Es decir: 85

¿cuánto hay que depositar al comienzo del primer año para obtener los 2 millones al final del primer año? ¿cuánto habría que depositar al comienzo del primer año para obtener los 2 millones al final del segundo año? ¿cuánto hay que depositar al comienzo del primer año para obtener los 2 millones al final del tercer año? y así para los siguientes años, hasta el año 5. c) Plantee una fórmula compacta para el total que habría que depositar hoy para poder pagar todas las cuotas de la beca. Indicador 2 : Conoce ejemplos paradigmáticos de sucesiones y series y sabe estudiar su convergencia. Ejemplo 1 : En el año 1202 Leonardo de Pisa, de sobrenombre Fibonacci, generó una famosa secuencia de números, con múltiples relaciones con fenómenos naturales y aplicaciones matemáticas. Fibonacci se propuso predecir el número de parejas de conejos que habría en cada mes, si de cada pareja de conejos nace una nueva pareja mensualmente, a partir de su edad fértil, la que se alcanza a los dos meses. La secuencia obtenida por Fibonacci para la cantidad de parejas de conejos que habrá en el mes n es: fn = fn−1 + fn−2

con

f0 = f1 = 1.

a) Explique en detalle el modelo indicando los supuestos y calcule fn , para n = 2, 3, ..., 9. √ b) Otro famoso número es la razón áurea o proporción divina: r = 5+1 , que 2 fn+1 1 es solución de la ecuación x = 1 + x . Calcule los cocientes rn = fn , para n = 0, 2, ...., 8. Demuestre que rn → r cuando n → ∞. c) Analice cómo modificar la sucesión de Fibonacci para modelar el problema de la población de conejos, pero suponiendo que estos alcanzan su edad fértil a los tres meses de nacidos. Ejemplo 2 : Considere el conjunto de Cantor K ⊆ R como la intersección de todos los conjuntos {Kn }n∈N descritos a continuación: K0 = [0, 1]. ¸ · 1 2 K1 = K0 \ , , esto es, le retiramos a K0 su tercio del medio, quedando 3 3 £ ¤ £ ¤ una unión de dos subintervalos cerrados disjuntos: K1 = 0, 13 ∪ 23 , 1 . K2 es K1 , retirándole el tercio del medio a cada uno de sus subintervalos disjuntos, convirtiéndose una ¤ £unión ¤ de 4 intervalos cerrados £ 1 ¤ £ 2 1 ¤K2£ en 2 7 8 disjuntos: K2 = 0, 9 ∪ 9 , 3 ∪ 3 , 9 ∪ 9 , 1 . En general, para cualquier n ∈ N, Kn+1 es Kn modificado, retirándole el tercio del medio a cada uno de sus subintervalos disjuntos, convirtiéndose Kn+1 en una unión de 2n+1 intervalos cerrados disjuntos. a) Muestre que K 6= ∅. b) Considere la escritura de números x en [0, 1] mediante representación ∞ X an como “decimales” en base 3, esto es, x = , donde an es 0, 1 o 2 3n n=1 86

para cada n. ¿Qué características tienen los coeficientes de la serie de los elementos que se eliminaron de K0 para obtener K1 ?, ¿y de los que se eliminaron de K1 para obtener K2 ? c) Caracterice los elementos de K. Indicador 3 : Relaciona convergencia con conceptos tales como monotonía, acotamiento y criterio de Cauchy. Ejemplo 1 : Decida si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. En cada caso demuestre su aseveración. a) Toda sucesión convergente es acotada. b) Toda sucesión acotada es convergente. c) Si (a2n )n∈N es convergente entonces (an )n∈N es convergente. Ejemplo 2 : Demuestre que si una sucesión {an } satisface alguno de los siguientes criterios, entonces converge. 1. Existe q ∈ (0, 1) tal que para todo n |an+1 − an | < q n . 2. Existe q ∈ (0, 1) tal que para todo n ∈ N |an+2 − an+1 | < q|an+1 − an |. 3. Para todo n ∈ N |an+1 − an | <

1 . n(n + 1)

Indicador 4 : Demuestra resultados que relacionan la propiedad arquimediana, intervalos encajonados y convergencia de sucesiones. Ejemplo 1 : Utilice la propiedad arquimediana para demostrar que ningún número estrictamente positivo pertenece al conjunto \ · 1¸ 0, n n∈N\0

Ejemplo 2 : a) Demuestre que si dos números reales x, y están a distancia menor que 1, entonces hay un número natural N tal que N x y N y están a distancia mayor que 1. b) Demuestre que en todo intervalo no vacío ]x, y[ ⊆ R hay un número racional. Ejemplo 3 : Use la propiedad de intervalos encajonados para mostrar que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Indicador 5 : Comprende y aplica el concepto de la densidad de Q en R y propiedades relacionadas. 87

Ejemplo 1 : Considere las siguientes propiedades: (P ) Entre cualquier par de racionales distintos, siempre hay otro racional. Es decir, si s < t son racionales, siempre existe un racional q tal que s < q < t. (D) Entre cualquier par de reales x, y distintos siempre existe un racional. Es decir, si x < y son reales, siempre existe un racional q tal que x < q < y. a) ¿Qué relación de implicación hay entre (P ) y (D)? Explique. b) ¿Es alguna de las dos propiedades equivalente a la siguiente propiedad? Justifique. “Dado cualquier x ∈ R, existe una sucesión de racionales {qn }n∈N convergente a x” Ejemplo 2 : Muestre que las únicas funciones monótonas f : R → R tales que para todo s, t ∈ R, f (s + t) = f (s) + f (t) son de la forma f (t) = a · t, para a ∈ R fijo. Indicador 6 : Es capaz de calcular explícitamente algunas sumatorias usuales y de diseñar actividades para que sus alumnos deduzcan dichas fórmulas. Ejemplo 1 : Proponga una actividad cuyo objetivo sea que los alumnos y alumnas deduzcan la fórmula para la suma geométrica. Identifique qué conocimientos pertinentes deben poseer los estudiantes para realizar dicha deducción. Ejemplo 2 : DiseñePuna actividad para que sus alumnos deduzcan una fórmula compacta para ni=1 i2 . Ejemplo 3 : Utilizando convenientemente una serie telescópica deduzca una fórmula para µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 2 n n+1 4 +8 + ··· + 2 , 2·3 3·4 (n + 1) · (n + 2) y demuéstrela. Indicador 7 : Conoce dificultades que pueden tener los estudiantes de enseñanza media con la noción de infinito y desarrolla actividades para que puedan enfrentarlas. Ejemplo 1 : Un estudiante le pregunta a un profesor acerca de la convergencia de la sucesión an = n sen nπ para n un entero positivo. Como el profesor le 2 dice que no converge, pues no es acotada, el estudiante concluye erróneamente que la sucesión tiende a infinito. a) ¿Cree usted que este error puede ser frecuente entre los estudiantes? Describa una estrategia para introducir estos conceptos enfrentando estos errores. b) La sucesión (−1)n es también no convergente, pero en este caso es acotada. ¿Cree usted que puede confundir el lenguaje de “tener límite” y “tener cota”? Explique cómo introducir estos conceptos con la intención de no causar confusión. 88

Ejemplo 2 : En una guía de sucesiones, una alumna encuentra la sucesión an = (−1)n [n/2] para n un entero positivo y donde [x] denota la parte entera de x. La alumna indica que los primeros términos de la sucesión son 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, . . . y se da cuenta que se pueden recorrer todos los enteros sin repetir ninguno. Esto parece indicar que la cantidad de números enteros positivos es igual a la cantidad de números enteros, a pesar de que a su parecer deberían ser la mitad. El profesor le responde que esto sucede pues ambos conjuntos son infinitos. a) Comente la respuesta del profesor o profesora, respecto a la noción de cardinalidad. b) ¿Cree usted que la noción de proceso infinito o conjunto infinito es poco intuitiva? o, buscando los ejemplos apropiados, ¿se puede acercar a los estudiantes a la noción de infinito de manera intuitiva? Indicador 8 : Conoce dificultades que pueden tener los estudiantes de enseñanza media con la noción de convergencia de series y desarrolla estrategias para que puedan enfrentarlas. Ejemplo 1 : Una profesora discute sumas de series de números positivos y uno ∞ X 1 de sus alumnos dice que le parece raro que la serie geométrica converja 2n n=1 a 1, pues es una suma infinita de números positivos y si se suman infinitos números positivos uno esperaría que tal cosa “sume infinito”. Otro alumno, sin ∞ X 1 embargo, dice que es muy extraño que no converja, si, como en el caso n n=1 de la serie geométrica anterior, los números que se están sumando se hacen cada vez más pequeños y por lo tanto también debería haber una “suma total finita”. ∞ X n+1 a) ¿Cómo utilizaría la serie ln para ayudar al segundo alumno a n n=1 ∞ X 1 aceptar que es plausible que una serie como diverja? n n=1 b) ¿Qué estrategias utilizaría usted para trabajar el obstáculo que presenta ∞ X 1 el primer alumno respecto a la convergencia de ? 2n n=1 Ejemplo 2 : Un profesor dice al curso que la notación de la serie

∞ X

an represen-

n=0

ta el hecho de considerar todos los números (an )n∈N y sumarlos. Un estudiante se le acerca y le dice que tiene un problema, porque mirando de dos maneras ∞ X distintas la suma de todos los números involucrados en la serie (−1)n le n=0

da dos resultados distintos, 0 y 1. a) ¿Qué piensa que hizo el estudiante para llegar a esa conclusión? b) ¿Cree usted que esta idea intuitiva de convergencia de serie dada por el profesor puede llevar a esta idea errada del estudiante? 89

c) Indique una correcta presentación de la idea de convergencia de series, y explique cómo ello impide que se genere este error. Indicador 9 : Relaciona los contenidos de procesos infinitos con otros temas del currículo y con ejemplos provenientes de distintos contextos. Ejemplo 1 : Describa cómo se pueden aplicar las propiedades de sumatoria en los ejes: a) Probabilidades b) Geometría c) Álgebra Ejemplo 2 : Analice cómo aparecen las nociones de procesos infinitos en la paradoja de Zenón. ¿Qué aspectos de estos contenidos permiten ser ilustrados con esta paradoja? Indicador 10 : Diseña clases y unidades de aprendizaje referidas a progresiones. Ejemplo 1 : Planifique una unidad de aprendizaje centrada en progresiones cuyo objetivo sea: Analizar, confrontar y construir estrategias personales para la resolución de problemas o desafíos que involucren relaciones entre geometría y progresiones. La planificación debe contener al menos: a) Los aprendizajes que son pertinentes a los objetivos señalados. b) Los indicadores de logros que permitan verificar si los aprendizajes están logrados por los alumnos y alumnas. c) Los contenidos matemáticos que se relacionan con cada uno de los aprendizajes. d) Las actividades genéricas para cada uno de los aprendizajes. e) El tiempo estimado la unidad. Ejemplo 2 : Dado el siguiente contenido: Progresiones aritméticas y geométricas, suma de sus términos. Aplicación a la resolución de algunos problemas geométricos, de interés compuesto, de decaimiento radioactivo, de poblaciones. Planifique una clase considerando: a) Propósito de la clase. b) Indicadores de logro para verificar el aprendizaje declarado en el propósito. c) Los conceptos previos necesarios y pertinentes para el logro del propósito. d) Las actividades y su respectiva gestión, que se desarrollarán en cada uno de los momentos de la clase.

90

Indicador 11 : Elabora actividades para el aprendizaje de los conceptos fundamentales referentes a sumatorias. Ejemplo 1 : Describa una actividad cuyo propósito sea motivar la necesidad del uso de sumatorias. Ejemplo 2 : Se desea que los alumnos logren el siguiente aprendizaje: Reconozcan que una suma se puede representar en forma compacta por medio de la notación de sumatoria y que sean capaces de aplicar propiedades para calcular las sumas de algunas progresiones geométricas, aritméticas y telescópicas. a) Señale los contenidos matemáticos que están presentes en el aprendizaje esperado. b) Señale los contenidos matemáticos previos necesarios y pertinentes para que un alumno o alumna logre este aprendizaje. c) Diseñe una actividad que permita que los alumnos y alumnas trabajen con los conceptos previos necesarios. d) Indique cómo se aseguraría que los alumnos y alumnas dominan suficientemente los conocimientos previos para enfrentar el tema de progresiones. Indicador 12 : Planifica clases en las que contenidos de sucesiones y números reales, se presentan a alumnos y alumnas de enseñanza media desde un punto de vista intuitivo. Ejemplo 1 : A nivel escolar se pide que los alumnos y alumnas desarrollen una idea intuitiva de la convergencia de sucesiones. µ ¶n Planifique una clase con este −1 , para n ∈ N. La planificación propósito utilizando la sucesión an = 3+ 2 debe contemplar propósito de la clase, indicadores de logro para verificar el aprendizaje declarado en el propósito, los conceptos previos necesarios y pertinentes para el logro del propósito, las actividades que se desarrollarán en cada uno de los momentos de la clase. √ Ejemplo 2 : Considere que x = 2 se define como el número positivo que satisface x2 = 2 y que 1 < x < 2. El método de bisección permite aproximar √ 2 mediante una sucesión {xk }k∈N que se construye como sigue: a) Sea x0 = 32 , es decir, el centro del intervalo [1, 2]. Como x2 = 2 < (x0 )2 = 9 se concluye que 1 < x < 32 . 4 b) Con esta información se elige una nueva aproximación x1 como el centro 25 del nuevo intervalo [1, 32 ], es decir, x1 = 45 . Como (x1 )2 = 16 < x2 = 2, se concluye que 54 < x < 32 . c) Con esta información se elige una nueva aproximación x2 como el centro del nuevo intervalo [ 45 , 32 ] y se continúa razonando como en los pasos anteriores. √ √ √ d) Note que | 2 − x0 | < 12 , | 2 − x1 | < 14 , | 2 − x2 | < 18 , etc. Usando √ este procedimiento planifique una clase donde se aproxima el número real 2, acotando el error en cada paso y determinando el número de pasos necesarios para satisfacer una tolerancia dada. Indique posibles dificultades que enfrentarían los alumnos y cómo las abordaría. 91

Indicador 13 : Utiliza argumentos que involucran conocimientos escolares de matemática, para explicar a sus estudiantes propiedades de la descomposición decimal de números reales. Ejemplo 1 : Muestre que si (an )n∈N es una sucesión cualquiera de números nat∞ X an urales comprendidos entre 0 y 9, entonces la serie es siempre conver10n n=1 gente a un número real s en el intervalo [0, 1]. ¿Cómo utilizaría lo anterior para explicar a alumnos de 4° medio que la notación decimal de números reales involucra convergencia de series? ∞ X 1 Ejemplo 2 : Para k un número natural cualquiera, calcular , y utilizar k·n 10 n=1 dicho resultado para demostrar frente a sus estudiantes que un decimal periódico cómo 0, a1 a2 . . . ak es siempre un racional, expresándolo como fracción. Ejemplo 3 : Existen investigaciones que muestran que incluso alumnos universitarios no creen que 0, ¯9 = 1 aún después de que se ha justificado en clase. Demuestre la igualdad y realice una actividad tendiente a convencer a alumnos de enseñanza media de la misma. Indicador 14 : Utiliza argumentos que involucran límites para justificar y demostrar fórmulas de áreas y volúmenes a nivel escolar. Ejemplo 1 : El área de un círculo de radio r puede calcularse aproximándola desde el interior con polígonos regulares inscritos de n lados y desde el exterior con polígonos regulares circunscritos de n lados, cuyas áreas se pueden expresar en función de n, y luego haciendo n → ∞ para llegar a π · r2 . Haga una clase utilizando este procedimiento, con alumnos y alumnas de 4° medio, considerando que no manejan el concepto formal de límite. Ejemplo 2 : El volumen de una esfera de radio r se puede obtener aproximándola desde su interior por cuerpos inscritos y desde su exterior por cuerpos circunscritos construidos en base a cilindros, y luego haciendo que el número de cilindros crezca a infinito para llegar a 43 πr3 . Indique en detalle cómo usar este procedimiento y justifique las adecuaciones necesarias para poder ser utilizado en clase, con alumnos y alumnas de 4° medio. Ayúdese de sumatorias n−1 X n · (n − 1) · (2n − 1) conocidas, tales como k2 = . 6 k=0 Indicador 15 : Motiva el aprendizaje de procesos infinitos y límites utilizando recursos tecnológicos y poniendo énfasis en el descubrimiento de regularidades en secesiones. Ejemplo 1 : “Las Torres de Hanoi” es un juego matemático que consiste en tres varillas verticales y un número dado n de discos. No hay dos discos de igual diámetro, están originalmente ordenados de mayor a menor diámetro en una varilla ascendentemente, y en ningún momento se puede colocar un disco mayor sobre uno menor a él. El juego consiste en ir moviendo los discos de a uno para que finalmente queden todos en otra de las varillas, nuevamente ordenados de mayor a menor ascendentemente. 92

Haga una clase en torno al problema de las Torres de Hanoi, con número n de discos variable, que permita a) Que los estudiantes resuelvan el problema con un número pequeño de discos. b) Establecer un procedimiento recursivo para justificar que se puede se puede resolver el problema de n discos en 2n − 1 movimientos. c) Percibir cómo crece el número de movimientos para ordenar la torre cuándo n aumenta. d) Que los estudiantes simulen el proceso con algún simulador (applet) de las torres de Hanoi proporcionado por usted. Ejemplo 2 : Diseñe las actividades de una clase que combine sucesiones y TICs para la simulación de un modelo de población de bacterias que se describe a continuación. Una cierta población de bacterias se comporta como sigue. Al comienzo hay una cantidad inicial n0 de individuos y la población evoluciona de modo que la tasa de incremento de su tamaño en un breve período es proporcional a dicho tamaño, esto es, si estamos en el instante t y anotamos por ∆t la duración de un breve período, la fórmula para la tasa de variación quedaría: n(t + ∆t) − n(t) = λ · n(t), ∆t donde n(t) representa la aproximación del tamaño de la población en el tiempo t dada por el modelo y λ es la constante de proporcionalidad. Para el diseño de sus actividades le será útil: a) Considere primero, por simplicidad de los desarrollos, que n0 = λ = 1. b) Construya una planilla con ∆t = 0, 5, con columnas t y n(t), en la cual “t” varía desde 0 a 1 en intervalos de longitud ∆t, y n(t) es la aproximación de la población en el tiempo t de acuerdo al modelo previo. Si lo desea considere otra columna oculta de la exponencial n0 · eλ·t . c) Construya planillas para otros valores pequeños de ∆t (digamos, 0,1; 0,05; 0,01; 0,005; 0,001). d) Desde el punto de vista de las sucesiones, considere que para N natural se divide el intervalo entre 0 y 1 en N trozos de igual tamaño ∆t = N1 , y despejando de la fórmula para la variación de n(t) obtenga que n(k∆t + ∆t) = n(k∆t) · (1 + λ∆t), para k = 0, 1, . . . , N − 1 por lo que n(1) = n(0) · (1 + Nλ )N . Su actividad debe estar orientada a cumplir los siguientes objetivos: (i) Descubrir regularidades. (ii) Conjeturar relaciones entre el comportamiento de la población cuando (∆t → 0) y el límite de la sucesión (1 + Nλ )N . 93

(iii) Estimar el valor del número e. Indicador 16 : Diseña instrumentos evaluativos referidos a la resolución de problemas y descubrimiento de regularidades en sucesiones. Ejemplo 1 : Considere la siguiente actividad.

a) Identifique niveles de logro que se relacionan con el aprendizaje asociado a esta actividad. b) Elabore una rúbrica para evaluar logros de aprendizaje que considere habilidades de razonamiento matemático y de resolución de problemas. Ejemplo 2 : Diseñe una evaluación que le permita detectar que los alumnos comprenden que existen sucesiones de números racionales que convergen en R pero no en Q. Indicador 17 : Posee herramientas a ser utilizadas en la práctica profesional para observar distintos aspectos que influyen en la calidad de una clase de matemática. Ejemplo 1 : Para diseñar una actividad de clase es necesario considerar los tiempos adecuados para que los alumnos desarrollen la actividad, elaboren respuestas a las preguntas del profesor y además se mantengan involucrados en estas tareas. Elabore una pauta de observación que le permita aprender cuales son los tiempos apropiados para distintas actividades. Ejemplo 2 : Un aspecto importante de una buena clase es la interacción del profesor con los alumnos. Elabore una pauta que le permita observar cómo logra 94

el profesor tutor escuchar a sus alumnos y retroalimentarlos en actividades que involucren razonamiento matemático. Indicador 18 : El futuro profesor mantiene una actitud abierta frente a los diversos enfoques de la enseñanza de la matemática, analizando evidencia empírica a su alcance. Ejemplo 1 : Un estudiante de pedagogía en su práctica profesional es asignado a un profesor tutor muy efectivo y que sin embargo utiliza un enfoque de enseñanza de la matemática bastante tradicional y muy distinto del promovido en su carrera, que es el que el estudiante intenta utilizar. Esta diferencia provoca tensiones entre el estudiante y el profesor tutor. El estudiante observa que los demás profesores de matemática del mismo colegio tienden a coincidir más con el enfoque promovido por sus profesores universitarios que con el profesor tutor. Escriba un texto acerca de cómo debería proceder este estudiante en práctica para aprender de las prácticas utilizadas por su profesor tutor y contrastarlas con su formación académica. Ejemplo 2 : Un estudiante en práctica se ha propuesto fomentar la creatividad matemática de los alumnos a través de la promoción de métodos alternativos para resolver problemas para los cuales existen procedimientos rutinarios. El profesor tutor duda de esta propuesta y argumenta que los procedimientos de cálculo usuales se han impuesto justamente por su efectividad y porque nos ahorran tener que pensar en esos aspectos del problema, permitiéndonos concentrarnos en aspectos más interesantes que el procedimiento de cálculo. Escriba un texto que discuta estas dos visiones, que permita valorar ambas y decida cómo procedería usted a este respecto. ¿Promoverá usted los métodos alternativos?

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Estándar 6 : Demuestra competencia disciplinaria en cálculo diferencial y aplicaciones. El futuro profesor o profesora comprende el concepto de continuidad de funciones reales y aplica sus propiedades y teoremas relativos para analizar funciones. Comprende el concepto de derivada y sus interpretaciones usuales. Conoce reglas y propiedades de la derivación que le permiten relacionarla con la continuidad, calcular derivadas y modelar. Analiza crecimiento local y asintótico, valores extremos, puntos críticos y concavidad de funciones, y utiliza esta información para graficarlas. Utiliza métodos numéricos para aproximar raíces de funciones, controlando el error. Modela usando ecuaciones diferenciales. El futuro profesor o profesora conecta las ideas matemáticas de este estándar con aspectos relevantes del currículo escolar. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Analiza funciones del ámbito escolar desde el punto de vista del cálculo diferencial. Ejemplo 1 : Demuestre que un número α es raíz múltiple de un polinomio si y solo si es también raíz de su derivada. Ejemplo 2 : Argumente, usando conceptos de cálculo diferencial, que el vértice de una parábola de ecuación y = ax2 + bx + c es el punto correspondiente a b x=− . 2a Indicador 2 : Calcula límites y los utiliza para resolver problemas. _

Ejemplo 1 : Considere un sector circular P OR, con ángulo central θ y arco P R, como se muestra en la figura. Se traza una altura P Q del triángulo P OR. _

Sea A(θ) el área comprendida entre la cuerda P R y el arco P R y sea B(θ) el área del triángulo P QR. Encuentre l´ım+

θ→0

A(θ) . B(θ)

Ejemplo 2 : Calcule los siguientes límites: √ ³√ √ ´ a) l´ım x x+1− x x→∞ µ µ ¶¶x 9 b) l´ım 1 + x→∞ 11x 97

Indicador 3 : Establece y analiza la continuidad de funciones de una variable real. Ejemplo 1 : Estudie la continuidad de las siguientes funciones f : R → R definidas por: a) f (x) = x − [[x]], donde [[x]] representa la parte entera de x. b) ½ tan x si x 6= 0 x f (x) = 1 si x = 0. Ejemplo 2 : Sea f : R → R tal que la función |f | : R → R, definida por |f |(x) = |f (x)|, es continua. ¿Se puede afirmar que f es continua? Ejemplo 3 : Si una función f : R → R es continua en un punto a ∈ R, ¿es necesariamente continua en algún pequeño intervalo en torno a a? Justifique. Indicador 4 : Aplica el teorema del valor intermedio para demostrar propiedades de funciones continuas. Ejemplo 1 : Demuestre que la función f (x) = x3 + x + 1 tiene al menos una raíz real en el intervalo [−1, 1]. Ejemplo 2 : Sea f : [0, π2 ] → R la función definida por f (x) = que el conjunto imagen de f es el intervalo [0, 1].

cos(x) . x2 +1

Justifique

Indicador 5 : Comprende y aplica la propiedad de que las funciones continuas definidas en un intervalo cerrado y acotado alcanzan su máximo y su mínimo. Ejemplo 1 : Decida si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando su respuesta. Si f : [0, 1] → R es una función continua, entonces el gráfico de f no tiene asíntotas verticales. Ejemplo 2 : Dé ejemplos de: a) Una función continua definida en un intervalo no cerrado, que no tiene máximo. b) Una función definida en un intervalo cerrado y acotado que no tiene máximo. Indicador 6 : Comprende y utiliza el concepto de derivada como variación instantánea y conoce su interpretación geométrica. Ejemplo 1 : Utilice la definición de derivada como límite del cociente incremental para calcular f 0 (0), donde f es una función real definida como ( sen x x 6= 0 . f (x) = x 1 x=0 Ejemplo 2 : Si en la figura A (arriba a la izquierda) se muestra el gráfico de una df función f entonces, ¿cuál de las 5 figuras restantes muestra el gráfico de dx ?

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Ejemplo 3 : En el instante t (en segundos), la temperatura (en grados Kelvin) de un compuesto químico es de T (t) = 100[1 + 0,3t + 0,004t2 ]. ¿Cuál es la tasa de crecimiento instantánea de la temperatura cuando T = 200K? Indicador 7 : Relaciona los conceptos de continuidad y de diferenciabilidad. Ejemplo 1 : Sea f : R → R tal que l´ımx→0− f 0 (x) = l´ımx→0+ f 0 (x). ¿Es f necesariamente derivable en 0? ¿Es f necesariamente continua en 0? Ejemplo 2 : Si una función f de R en R es derivable en todo punto, ¿es su derivada f 0 necesariamente continua? Indicador 8 : Calcula derivadas usando las reglas usuales de derivación. Ejemplo 1 : Encuentre el máximo dominio de cada una de las funciones f y g, de modo que sean diferenciables y calcule su derivada. a) f (x) = sen2 (cos(x3 + x1 )). √ b) g(x) = cos(arctan(x2 )) + arc cos( x3 + 5). Ejemplo 2 : Denotando por g a la función inversa de la función f (x) = x3 − 5, calcule g 0 (−1). Indicador 9 : Usa derivadas para modelar problemas de razón de cambio. Ejemplo 1 : Un globo se eleva desde el suelo a 100m de un observador, a razón de 50m/min. ¿Con qué rapidez está creciendo el ángulo de elevación de la línea de visión del observador? ¿Cuál es esta rapidez cuando el globo se encuentra a una altura de 100m? Ejemplo 2 : El azúcar se disuelve en agua a una razón proporcional a la cantidad sin disolver. Si 25kg de azúcar se reducen a 7kg en 3 horas, entonces, ¿cuándo se disolverá el 20 por ciento del azúcar?

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Indicador 10 : Estudia crecimiento, valores extremos, concavidad de una función y grafica usando esta información. Ejemplo 1 : Grafique detalladamente las siguientes funciones indicando: los intervalos de crecimiento y de decrecimiento; los intervalos de concavidad y de convexidad; los puntos de inflexión y los puntos máximos y mínimos. a) f (x) = arc cos(x), x ∈ [0, π]. 1

4

b) f (x) = 4x 3 + x 3 , x ∈ R. 2

x , x ∈ R, x 6= 1. c) f (x) = x−1 Ejemplo 2 : Un problema importante en el estudio de estructuras cristalinas con dos tipos de átomos es la determinación de la “fracción de empaque”, que es la fracción de espacio ocupado por los átomos de la estructura, suponiendo que los átomos son esferas sólidas. En ciertas circunstancias, puede demostrarse que la fracción de empaque está dada por la fórmula:

f (x) =

K(1 + c2 x3 ) , (1 + x)3

donde x = Rr , es la razón de los radios R y r, de cada tipo de átomos de la estructura, (y por lo tanto, 0 < x ≤ 1), c y K son constantes positivas y se puede considerar el dominio de f como el intervalo [0, 1]. a) Pruebe que la función f tiene exactamente un valor t tal que f 0 (t) = 0. Encuentre el máximo y el mínimo de f en [0, 1]. √ y b) Para la sal gema ordinaria se sabe que c = 1, K = 2π 2 − 1 ≤ x ≤ 1. 3 Hallar los valores máximos y mínimos de f en [0, 1]. Indicador 11 : Reconoce y aplica el Teorema del Valor Medio. Ejemplo 1 : Sea f (x) una función dos veces continuamente derivable y sea p(x) = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ). Demuestre que |f (x) − p(x)| ≤ C|x − x0 |2 y encuentre un valor de la constante C en términos de la segunda derivada de f . Ejemplo 2 : Sea f una función dos veces continuamente derivable y sea p(x) un polinomio de grado 2 que interpola a f en los puntos x1 , x2 , x3 , es decir, p(xi ) = f (xi ), i = 1, 2, 3. Si e(x) = f (x)−p(x), demuestre que existe un punto t ∈ [x1 , x3 ], tal que e00 (t) = 0. Indicador 12 : Aplica el método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones mediante aproximaciones. Ejemplo 1 : Use el método de Newton-Raphson para aproximar una raíz de a) x5 + 3x + 2 = 0, b) ex − tan(x) = 0. Ejemplo 2 : Estudios sobre propagación del sonido en ciertas condiciones ambientales permiten establecer la siguiente relación entre el nivel del sonido en decibeles (db) y la distancia en metros a la fuente emisora: L(r) = L0 − 20 log10 (r) − βr, 100

donde L0 es el nivel de decibeles a un metro de la fuente y β es un coeficiente de atenuación, cuyo valor es determinado por las condiciones físicas del aire (temperatura, humedad, etc.). Dados L0 = 80db y β = 1, 15 × 10−3 db/m, determine el valor de la distancia r para la cual el nivel L es de 20db. Indicador 13 : Analiza la convergencia del método de Newton-Raphson para aproximar raíces de funciones no lineales. Ejemplo 1 : Sea f una función no lineal dos veces continuamente diferenciable en una vecindad I de α, donde α es una raíz de la función. En esta vecindad I, f 0 no se anula y además se encuentra xn , donde {xn }n∈N es la sucesión generada por el método de Newton. Demuestre que bajo estas condiciones existe una constante c, tal que |α − xn+1 | ≤ c|α − xn |2 . Explicite la relación de la constante c con las derivadas de f . Para c = 1, indique cómo mejora el número de cifras significativas correctas de la aproximación de α al pasar de xn a xn+1 . Ejemplo 2 : Discuta las siguientes afirmaciones: a) El método de Newton converge sólo si la primera aproximación es buena. b) Cuando la ecuación tiene dos soluciones, el método de Newton elige aquella que está más cerca de la primera aproximación. Indicador 14 : Compara el crecimiento asintótico de funciones mediante cálculo de límites. Ejemplo 1 : Compare el crecimiento al infinito de las siguientes funciones justificando su respuesta por medio del uso de límites. a) (ln x)3 y x2 , b) x2 y ex , √ c) ln x y e x . Ejemplo 2 : Muestre que la función real definida por la fórmula √ f (x) = x2 + x + 1. se comporta como una recta para valores grandes de x. Determine la ecuación de dicha recta. Indicador 15 : Modela usando ecuaciones diferenciales. Ejemplo 1 : Si en la caída libre se considera el roce del aire, aparece una fuerza contraria al movimiento que es proporcional al cuadrado de la velocidad. a) A partir de la segunda ley de Newton, ecuación que vincula la fuerza con la masa y la aceleración (F = ma), escriba la ecuación diferencial para el desplazamiento s en función del tiempo t que modela la caída libre de un cuerpo de masa m con aceleración de gravedad g, considerando el roce del aire. 101

b) ¿para qué valor de la velocidad se tiene que la aceleración es 0? A esta velocidad v∞ se le llama "velocidad límite". c) Considere que el cuerpo parte su caida con una velocidad inicial v0 en dirección al suelo. Discuta el comportamiento de la velocidad y de la aceleración en los casos: v0 < v∞ , v0 > v∞ y v0 = v∞ . Ejemplo 2 : Un estanque contiene S0 kilos de sal disuelta en 1000 litros de agua. Comenzando en t = 0, entra al estanque una solución que contiene 0, 1 kilo de sal por litro de agua a una tasa de 4 litros por minuto y sale por una válvula de escape a la misma tasa. Utilice derivadas para modelar la concentración de sal en cada instante. Haga explícitas las hipótesis para que su modelo sea válido. Discuta condiciones en las cuales esas hipótesis se cumplen. Ejemplo 3 : Las ecuaciones diferenciales se han usado para modelar crecimiento poblacional. Para ello se hacen supuestos, dependiendo del contexto, que se ven reflejados en la ecuación. a) Un modelo de crecimiento poblacional para bacterias se establece bajo el supuesto que el crecimiento es directamente proporcional al número de bacterias presentes en cada instante. Plantee la ecuación diferencial que modela esta situación. b) Otro modelo supone que el crecimiento de bacterias es directamente proporcional a la población presente en cada instante y a su diferencia con una población máxima M determinada por la capacidad de su habitat. Plantee la ecuación diferencial correspondiente a este modelo. Explique las diferencias con el modelo anterior y discuta en que condiciones eligiría cada modelo. Indicador 16 : Conecta contenidos de cálculo diferencial con la matemática escolar tales como aproximación de raíces, estudio de funciones. Ejemplo 1 : El método de Newton-Raphson para encontrar raíces consiste en linealizar la función localmente usando la derivada. En enseñanza media esta herramienta no está disponible. Explique cómo utilizar otro tipo de linealización local, que no utilice derivadas, para obtener estas aproximaciones. Ejemplo 2 : ¿Cómo pueden resolver problemas de minimización de funciones cuadráticas los estudiantes secundarios que no conocen el cálculo diferencial? Indicador 17 : Relaciona el tema de derivadas del currículo de matemáticas con el de cinemática del currículo escolar de física. Ejemplo 1 : En física se analiza la caída libre, y se llega a fórmulas del tipo h(t) = 21 gt2 , donde h(t) es la distancia recorrida hasta el tiempo t por un objeto que se deja caer desde el estado de reposo en t = 0, y g es la aceleración de gravedad. Explique, en términos del cálculo diferencial, por qué en un movimiento con aceleración constante, el desplazamiento resulta ser una función cuadrática en t. Deduzca la fórmula de h(t). Ejemplo 2 : En el pasado, la policía detectaba a los automovilistas que excedían el límite de velocidad en una carretera larga con el siguiente método: al entrar un auto a la carretera un policía tomaba la hora precisa y se la enviaba por 102

radio a otro que estaba a la salida de la carretera. Este segundo policía tomaba el tiempo en que el auto llegaba, y si la diferencia entre ese tiempo y el inicial era menor que uno tabulado, concluía que el automovilista debía haber ido a exceso de velocidad en algún momento. Argumente rigurosamente que el razonamiento es correcto.

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Estándar 7 : Demuestra competencia disciplinaria en cálculo integral y aplicaciones. El futuro profesor o profesora comprende el concepto de integral a través del límite de sumas de Riemann, evalúa integrales utilizando el teorema fundamental del cálculo, cálcula usando métodos de integración y estima integrales mediante el método del trapecio. Además utiliza integrales para calcular área y volumen de sólidos de revolución, longitudes de arco en curvas planas y resuelve problemas que involucran conceptos físicos de mecánica presentes en el currículo escolar. Estudia intervalos de convergencia de series de potencias y utiliza series de Taylor para aproximar funciones e integrales. El futuro profesor o profesora conecta las ideas de integración y series con aspectos importantes del currículo escolar tales como aproximación y cálculo de áreas y volúmenes. Lo que se manifiesta cuando:

Indicador 1 : Representa e interpreta gráficamente una suma de Riemann y la calcula en algunos casos simples. P Ejemplo 1 : Encuentre la suma de Riemann ni=1 f (wi )∆xi para f (x) = x2 + x en el intervalo [0, 1], donde la partición Pn consiste en n intervalos equiespaciados y f (wi ) es el máximo de f en el intervalo [xi−1 , xi ]. Ejemplo 2 : La velocidad de una corredora aumentó de manera paulatina durante los tres primeros segundos de una carrera. En la siguiente tabla se registra su velocidad a intervalos de medio segundo. Encuentre una estimación inferior y una superior de la distancia que recorrió durante estos tres segundos. t[s] 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 v[m/s] 0 1.9 3.7 4.7 5.7 6.1 6.3 Ejemplo 3 : El siguiente gráfico representa la velocidad de un automóvil que acelera pasando del reposo a una velocidad de 120km/h en un período de 30 segundos. Estime la distancia recorrida en ese período.

Indicador 2 : Calcula la integral definida usando sumas de Riemann en algunos casos simples. Interpreta la integral definida en términos de área. 105

Ejemplo 1 : Calcule usando sumas de Riemann el área de la región limitada por la parábola de ecuación y = x2 − x y la recta y = x. P π iπ Ejemplo 2 : Determine una región cuya área sea igual a l´ımn→∞ ni=1 4n tan 3n . Ejemplo 3 : Sin usar primitivas, evalúe la integral Z 0 √ (1 + 9 − x2 )dx −3

interpretándola en términos de área. Indicador 3 : Utiliza las propiedades de linealidad y orden de la integral definida para calcular y estimar integrales. Ejemplo 1 : Calcule: R3 a) 0 (|3x − 5| + x2 )dx. R2 √ b) −2 ( 4 − x2 + 6x)dx. Ejemplo 2 : Demuestre que: R2√ R2√ a) 1 5 − xdx ≥ 1 x + 1dx. R π/2 2 b) 1 x senxdx ≤ π8 . Indicador 4 : Utiliza el teorema fundamental del cálculo en diversas aplicaciones. Rx Ejemplo 1 : Sea g(x) = −3 f (t)dt, donde f es una función impar, cuyo gráfico se muestra en la figura.

a) b) c) d) e) f)

Evalúe g(−3), g(3). Estime g(−2), g(−1) y g(0). Determine dónde g es creciente. ¿Dónde alcanza g su máximo? Determine dónde g es convexa. Bosqueje el gráfico de g. 106

Ejemplo 2 : Determine

d dx

R ex lnx

sen u2 du.

Indicador 5 : Aplica integración por partes y cambio de variable para el cálculo de integrales. Ejemplo 1 : Calcule la integral Z x

√ 3

x − 4dx

haciendo la sustitución x = y 3 + 4. Ejemplo 2 : Encuentre una primitiva de f (x) = ex sen x. Ejemplo 3 : Sea Tn (x) el polinomio de Taylor de grado n que aproxima a f en torno del punto x = a. Demuestre que el error cometido al hacer esta aproximación es Z x (x − t)n n+1 f (x) − Tn (x) = f (t)dt n! a Indicador 6 : Resuelve ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y de variables separables. Ejemplo 1 : La ley de enfriamiento de Newton establece que la velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío, cuya temperatura Tm permanece constante, es proporcional, en cada instante, a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y el ambiente. Si T (t) representa la temperatura del cuerpo en el instante t, se tiene que d T (t) = −k(T − Tm ), dt donde k es una constante de proporcionalidad. Resuelva la ecuación suponiendo que la temperatura inicial del cuerpo es T (0) = T0 . Ejemplo 2 : Un modelo simplificado de la demanda D(t) y la oferta S(t) de un producto en función de su precio p(t) es D(t) = d0 − d1 p(t) + d2 p0 (t) S(t) = s0 + s1 p(t) + s2 p0 (t) donde las constantes d0 , d1 , d2 , s2 son positivas. a) Se llegará a un equilibrio económico si D(t) = S(t) y p0 (t) = 0. En ese (d0 − s0 ) caso pruebe que el precio de equilibrio es peq = . (d1 + s1 ) b) Otro caso que es interesante es cuando D(t) = S(t), pero no necesariamente p0 (t) = 0. Encuentre una fórmula para p(t) en términos de su valor inicial p(0) = p0 . Suponga s2 6= d2 . 107

(d1 + s1 ) < 0 entonces p(t) tiende al precio de equilibrio. (d2 − s2 ) Establezca condiciones sobre las constantes para garantizar que el precio de equilibrio es positivo. (d1 + s1 ) d) Muestre que si > 0 entonces p(t) crece sin cota. (d2 − s2 ) c) Muestre que si

Indicador 7 : Calcula áreas de regiones planas descritas en coordenadas cartesianas o polares. Ejemplo 1 : Determine el área de la región encerrada por las curvas de ecuación y = x(x + 1)(x − 3)

e

y = 5x.

Ejemplo 2 : Encuentre el área de la región exterior a r = 2 e interior a r = 2 + cos(α). Indicador 8 : Calcula el volumen y la superficie de sólidos de revolución y volúmenes de sólidos por secciones transversales. Ejemplo 1 : Determine área y volumen de: a) Una esfera de radio R; b) Un cono recto de altura h y base de radio r; c) Un toro de radios r y R. Ejemplo 2 : Encuentre el sólido generado al rotar la región R limitada por los gráficos de y = x e y = x2 − 2, en torno a la recta de ecuación x = 2. Bosqueje el sólido y determine su volumen. Ejemplo 3 : Un sólido tiene por base la región encerrada por la elipse x2 y 2 + = 1. 25 9 Sus secciones transversales perpendiculares al eje x son semicírculos. Encuentre el volúmen del sólido. Indicador 9 : Calcula la longitud de arco de curvas planas. Ejemplo 1 : Un halcón vuela con una velocidad de 15m/s a una altura de 180m y accidentalmente suelta a su presa. La trayectoria parabólica de la presa en caída libre hasta tocar tierra está dada por y = 180 − x2 /45, donde y es la altura sobre el suelo y x es la distancia horizontal, en metros. Encuentre una expresión para la distancia que recorre la presa entre el instante en que la sueltan y en el que toca la tierra. 3 1 Ejemplo 2 : Determine la longitud de arco de la curva f (x) = x6 + 2x sobre el 1 intervalo [ 2 , 2]. Indicador 10 : Utiliza el método del trapecio para aproximar integrales numéricamente y conoce cotas para el error. 108

Ejemplo 1 : Considere una función f definida en un intervalo [a, b]. Suponga que f es continua y considere una partición equiespaciada P = {a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b} en [a, b], donde xi+1 − xi = h es constante para todo i. a) Compare las sumas de Riemann superior SP e inferior sP con la suma TP que se obtiene al aplicar el método del trapecio. b) Para i = 0, . . . , n − 1 sea ζi ∈ [xi , xi+1 ]. Considere la suma Sζ =

n−1 X

f (ζi )(xi+1 − xi ).

i=0

Justifique que es posible elegir los ζi tal que TP = Sζ . c) Suponga que además f tiene derivada segunda continua, encuentre una cota del error del método del trapecio del orden de h2 . R1 Ejemplo 2 : Use el método del trapecio para aproximar la integral 0 sen(x2 )dx usando 6 intervalos equiespaciados, indicando una cota para el error. Indicador 11 : Aplica criterios de comparación para estudiar la convergencia de integrales impropias. Ejemplo 1 : Determine si las siguientes integrales impropias convergen o divergen: R∞ a) 0 √x12 +1 dx. b)

R π3 π 4

1 dx. tan2 (x)(tan(x)−1)

Ejemplo 2 : El sólido V se obtiene al rotar la región R = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 1/x} en torno al eje X. Demuestre que el volumen de V es finito. Pruebe que el área de la superficie de este sólido es infinita. Indicador 12 : Determina la convergencia de series mediante los criterios de comparación e integral. P P∞ 2 Ejemplo 1 : Suponga que ∞ n=1 |an | es convergente. Demuestre P∞ 2que n=1 an es también convergente. Encuentre un ejemplo donde n=1 an converge pero P∞ n=1 |an | diverge. Ejemplo 2 : Determine si las series que siguen son convergentes o divergentes: P∞ ln(i) a) i=2 i3 , P∞ 1 b) n=2 n(ln(n))3 . Indicador 13 : Aplica los criterios del cociente y la raíz para determinar si una serie es absolutamente convergente. Ejemplo 1 : Utilice el criterio del cociente para determinar la convergencia de las siguientes series: 109

a) b)

P∞ n=0

P∞ n=0

nn , (2n)! 4n + n . n!

Ejemplo 2 : Determine para cuál de las siguientes series el criterio de la raíz no es concluyente: P∞ 1 a) n=1 n3 , P∞ n b) n=1 2n , P ∞ √n c) n=1 1+n2 . Indicador 14 : Usa integrales impropias para estimar series. Ejemplo 1 : Sea sn =

Pn

1 i=1 i .

Pruebe que

ln(n + 1) ≤ sn ≤ 1 + ln n. Usando estas cotas, estime cuántos términos habría que sumar para garantizar sn > 10. P − 32 Ejemplo 2 : Estime ∞ con un error menor o igual a 0,01. n=1 n Indicador 15 : Utiliza series de Taylor para obtener aproximaciones de funciones. √ Ejemplo 1 : Considere el número real 1,1. a) Use un polinomio de Taylor de grado 4 para aproximarlo. b) Estime el error cometido. c) Estime el número de términos que requeriría el polinomio de Taylor para garantizar una exactitud de 10−10 . R1 Ejemplo 2 : Aproxime 0 1−cos(x) dx con una precisión de 10−5 . x2 Indicador 16 : Analiza la convergencia de series de potencias. 1 Ejemplo 1 : Considere la función real definida por la fórmula f (x) = 1−x . Exprésela en serie de potencias en torno a los puntos x0 = 0 y x0 = 3. Compare los radios de convergencia de las series obtenidas. Ejemplo 2 : Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencias ∞ X xn M . nen n=0

Indicador 17 : Entiende cómo ideas matemáticas provenientes del cálculo se interconectan y se apoyan con otras áreas de la matemática para formar un todo coherente. 110

Ejemplo 1 : Muestre ejemplos de cómo obtener aproximaciones del número π, primero usando series y luego usando probabilidades mediante el experimento de Bufón. Ejemplo 2 : Demuestre, usando series de potencias, la fórmula de Euler para la exponencial compleja: eiθ = cos θ + i sen θ Indicador 18 : Utiliza integrales para resolver problemas de física relacionados con conceptos tales como masa, distancia y trabajo. √ Ejemplo 1 : La densidad lineal ρ de una varilla de 4 m es ρ(x) = 9 + 2 x en kg/m, donde x se mide desde un extremo de la varilla. Encuentre la masa total de la varilla. Ejemplo 2 : Para sacar agua de un pozo de 3m de profundidad, se emplea un balde que pesa 2kg y una cuerda, cuyo peso será despreciado. El balde comienza con 20kg de agua y se eleva a una velocidad de 0,6m/s, pero el agua se sale por un agujero a una tasa de 0,1kg/s. Determine el trabajo necesario para llevar el balde hasta la boca del pozo. Ejemplo 3 : A una partícula de masa m que se mueve sobre una línea recta se le aplica una fuerza proporcional al tiempo transcurrido desde que se inició el movimiento. Encuentre la ecuación de movimiento suponiendo que en t = 0 la partícula está en x = 0 con velocidad inicial v0 .

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EJE DE ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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PRESENTACIÓN

Los temas de este eje se abordan en torno a la unificadora idea matemática de “estructura”. Si bien este eje tiene un carácter esencialmente disciplinar, se ha privilegiado un enfoque que vincule estos temas con la matemática de nivel escolar. Por ejemplo, se aborda la estructura algebraica de las transformaciones isométricas planas y las construcciones de elementos con regla y compás relevando su conexión con la teoría elemental de extensiones de cuerpos. Se ha querido plasmar en este eje la idea de que conocer ejemplos en profundidad permite comprender mejor aspectos generales de la teoría. Es así que los estándares e indicadores de los tópicos de grupos, anillos y cuerpos se han centrado en propiedades de algunos casos importantes, como el grupo simétrico o el anillo de polinomios, más que en ideas abstractas de grupos o anillos en general. Este eje se compone de tres estándares. En el Estándar 8 aparece la estructura de anillo como un marco general en el que, entre otras cosas, se pueden tratar algunos aspectos de divisibilidad de la matemática escolar o muy cercanos a ella, como lo son los elementos primos o irreducibles, el algoritmo de Euclides y el Teorema de Bezout, el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, todos ellos comunes a los enteros y los polinomios. Se ha evitado en este estándar incluir indicadores referidos a conceptos de anillos en total abstracción, prefiriendo hacer aparecer los conceptos ligados a estructuras que de algún modo se conecten con temas escolares. El Estándar 9 se hace cargo de las estructuras de grupo y cuerpo, que pese a ser un poco más lejanas a lo escolar que las presentadas en el estándar anterior, se abordan a través de los ejemplos más representativos. En el caso de grupos estos ejemplos son: el grupo simétrico, el grupo de simetrías de un polígono regular, el grupo general lineal y el grupo de isometrías del plano. En el caso de cuerpos, más que a las teorías generales los indicadores se refieren a extensiones finitas de cuerpos, privilegiando ejemplos tales como R, Q, C y los cuerpos de clases de congruencias Zp . Hay también indicadores referidos a resolubilidad de ecuaciones polinómicas por medio de radicales y el Teorema Fundamental del Álgebra, sin pretender un total dominio teórico del tema, sino más bien un conocimiento de las ideas involucradas y algunas consecuencias de esos resultados. El Estándar 10 aborda conceptos y construcciones fundamentales de la matemática que si bien en general no pertenecen propiamente al álgebra, resultan ser coherentes con la noción de estructura que subyace a los otros dos estándares. Este es un estándar más bien disciplinario debido al alto nivel de abstracción de los temas tratados, entre los que se cuentan nociones de lógica -destinadas a desarrollar la argumentación en matemáticas-, lenguaje y operatoria básica de conjuntos, cardinalidad, funciones -miradas como objetos matemáticos, a diferencia de su rol en el eje de sistemas numéricos y álgebra- y 115

relaciones, la inducción matemática, la noción de algoritmo matemático y las construcciones o presentaciones axiomáticas de los distintos sistemas numéricos. La ubicación de este estándar final es coherente con el enfoque del eje y de todos los estándares, y sugiere que estos contenidos más abstractos sean abordados después de varios cursos de matemática que provean de suficientes ejemplos particulares, familiaridad con diversos objetos matemáticos, experiencias concretas y las reflexiones previas que permitan hacer surgir su necesidad y apreciar la ordenadora síntesis que aportan.

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Estándar 8 : Es capaz de conducir el aprendizaje de la divisibilidad de números enteros y de polinomios y demuestra competencia disciplinaria en su generalización a la estructura de anillo. El futuro profesor o profesora reconoce la estructura de anillo y sus propiedades como un marco teórico común a una serie de sistemas matemáticos elementales, tales como los enteros, polinomios, clases residuales y matrices cuadradas. En dicho contexto, reconoce las similitudes y diferencias entre estos sistemas. Conoce además las conexiones entre estas estructuras con temas claves de la matemática escolar, como factorización y raíces de polinomios. El futuro profesor o profesora está capacitado para conducir el aprendizaje de sus alumnos y alumnas respecto de algunos temas aritméticos de divisibilidad, tales como elementos primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo y los algoritmos de la división y de Euclides. Intenciona la relación de estos conceptos con sus equivalentes en anillos de polinomios, promoviendo en sus estudiantes el desarrollo de habilidades de cálculo, de resolución de problemas y argumentación. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Utiliza el teorema del resto, del factor y de raíces racionales de un polinomio entero, para demostrar otros resultados. Ejemplo 1 : Muestre que si el polinomio x5 + 3x4 − 2x3 + 5x − 32 tiene raíces racionales, entonces esas raíces son enteras. Ejemplo 2 : Demuestre que un polinomio de grado 2 o 3 sobre el cuerpo Q es irreducible si y solo si no tiene raíces en Q. Muestre que el resultado es falso para grados mayores. ¿Es cierto el resultado si cambiamos Q por Zp ? Indicador 2 : Utiliza reglas de divisibilidad para 2, 3, 4, 5, 6, 9, y es capaz de justificarlas. Ejemplo 1 : ¿Qué valores puede tener el dígito X para que el número 898X0 sea divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 9 y 10 a la vez? Justifique la validez de su respuesta. Ejemplo 2 : Demuestre la regla de divisibilidad por 9. Indicador 3 : Utiliza el teorema fundamental de la aritmética para demostrar propiedades. Ejemplo 1 : a) Demuestre que si n es un entero libre de cuadrados, entonces n no es un cuadrado en Q. b) Demuestre que log10 2 es un número irracional. Ejemplo 2 : Demuestre que si a2 divide a b2 , entonces a divide a b. Indicador 4 : Utiliza el algoritmo de la división, el algoritmo de Euclides y el teorema de Bezout para demostrar resultados que involucren factorización, el cálculo de máximo común divisor (mcd) y de mínimo común múltiplo (mcm). 117

Ejemplo 1 : Utilice el algoritmo de la división para mostrar que todo número racional se puede escribir como un número decimal finito o como un número decimal periódico. Ejemplo 2 : Utilice el teorema de Bezout para demostrar que si a|bc y mcd(a, b) = 1 entonces a|c. Indicador 5 : Reconoce las similitudes de Z y K[x], donde K es un cuerpo, respecto al algoritmo de la división y las utiliza para adaptar demostraciones de propiedades de un anillo al otro. Ejemplo 1 : Considere la siguiente demostración del teorema “Todo ideal de R[x] es principal.” Demostración: El ideal {0} = (0) es principal. Sea I 6= {0} un ideal de R[x]. Sea d(x) 6= 0 en I, de grado mínimo entre los polinomios no nulos de I. Consideremos p(x) ∈ I, entonces por el algoritmo de la división tenemos que existen q(x) y r(x) en R[x], tales que p(x) = d(x)q(x) + r(x) donde r(x) es el polinomio nulo, o el grado de r(x) es menor que el grado de d(x). Como r(x) = p(x) − d(x)q(x), se tiene que r(x) ∈ I, pero como d(x) es de grado mínimo en I, necesariamente se tiene que r(x) es el polinomio nulo, por lo tanto (d(x)) = I. ¥ Modifique la demostración anterior para probar el resultado “Todo ideal en Z es principal”. En cada paso explicite las similitudes entre los algoritmos de la división en cada uno de los dos anillos que hacen posible que las demostraciones sean análogas. Ejemplo 2 : Considere la siguiente demostración del teorema “Si p(x) es irreducible en Q[x], entonces Q[x]/(p(x)) es un cuerpo.” Demostración: Como p(x) es irreducible, entonces p(x) no es una unidad de Q[x], por lo tanto 1∈ / (p(x)), así que el cuociente K = Q[x]/(p(x)) es un anillo conmutativo con neutro multiplicativo igual a [1] = {1+t(x)p(x) : t(x) ∈ Q[x]}. Consideremos una clase no nula de K, digamos [q(x)]. Como [q(x)] es no nula, se tiene que q(x) no es un múltiplo de p(x), por lo tanto un máximo común divisor entre p(x) y q(x) es 1, por lo que existen r(x) y s(x) en Q[x] tales que: r(x)p(x) + s(x)q(x) = 1, es decir, [s(x)][q(x)] = [s(x)q(x)] = [1]. Por lo tanto [q(x)] es unidad en K. Se concluye que K es un cuerpo.¥ Modifique la demostración anterior para demostrar que si p ∈ Z es primo, entonces Zp es cuerpo. Explicite como el teorema de Bezout hace similares ambas demostraciones. 118

Indicador 6 : Demuestra propiedades de funciones polinomiales utilizando el resultado que todo polinomio de grado n sobre un cuerpo tiene a lo sumo n raíces. Ejemplo 1 : Demuestre que dos polinomios en R[x] son iguales si y solo si sus funciones polinomiales asociadas son iguales. Ejemplo 2 : Es sabido que para dos parábolas que tienen su eje de simetría paralelo al eje Y, si coinciden en tres puntos, entonces son iguales. Más generalmente demuestre que si los gráfico de dos funciones polinomiales de grado menor o igual a n coinciden en n + 1 puntos entonces son la misma función. Indicador 7 : Reconoce consecuencias de la no conmutatividad y la existencia de divisores de cero en anillos sobre la validez de propiedades algebraicas y la resolución de ecuaciones. Ejemplo 1 : Si bien la ecuación x(x + 1) = 0 planteada en Z, en Q, en R, en C, o en Z5 tiene solo dos soluciones, hay otros anillos, como Z6 donde esta misma ecuación tiene más de dos soluciones. Explique que característica de Z6 [x] permite que esto ocurra. Dé otro ejemplo de anillo donde una ecuación de grado n tenga más de n soluciones. Ejemplo 2 : µ ¶ µ ¶ 0 1 0 0 a) Considere las matrices A = y B = . Muestre que 0 0 0 1 (A + B)2 6= A2 + 2AB + B 2 . b) Determine qué condiciones deben cumplir A, B en M2 (R) para que se satisfaga (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 Indicador 8 : Conoce el desarrollo histórico de la solución de ecuaciones, respecto a las técnicas de solución y respecto al conjunto solución, y explica los avances matemáticos en ese desarrollo. Ejemplo 1 : La ecuación cuadrática ha sido estudiada desde antiguo, por el pueblo babilónico, el pueblo egipcio, el pueblo chino y el pueblo indio, entre otros. Ellos usaron representaciones de áreas, pesos y monedas para resolver dicha ecuación. Fue Euclides quien mostró el método geométrico más general para encontrar la solución de la ecuación cuadrática. Otros aportes lo hicieron el matemático persa Al-Kwarizmi, el matemático indio Brahmagupta, hasta llegar a la fórmula como la conocemos hoy que fue presentada por Viète. Describa cuáles fueron los aportes y métodos de Al-Kwarizmi, Brahmagupta y Viète para encontrar la fórmula general de la ecuación de segundo grado. Ejemplo 2 : Describa las ecuaciones cuadráticas en dos variables que resolvía Diofanto en el siglo III D.C. y en qué dominio las resolvía. ¿Qué aspectos del conjunto solución preocupaban a Diofanto? ¿Existencia? ¿Unicidad? ¿Todo el conjunto solución? En el siglo XII D.C el matemático indio Bhaskara dio un método para deducir soluciones de la ecuación Cx2 + 1 = y 2 a partir de una solución dada. ¿Qué aspectos del conjunto solución preocupaban a Bhaskara? ¿Existencia? ¿Unicidad? ¿Todo el conjunto solución? En el siglo 119

XVIII Lagrange tomó las ecuaciones de Bhaskara y obtuvo nuevos resultados. ¿Cuáles fueron los resultados nuevos de Lagrange? ¿Qué aspectos del conjunto solución consideró Lagrange? ¿Cuál fue el avance matemático que significó el resultado de Lagrange respecto a los resultados de Bhaskara? Indicador 9 : Analiza los contenidos del currículo relativos a polinomios y los relaciona con contenidos previos. Ejemplo 1 : Un contenido de 4° medio es “Polinomios de una variable con coeficientes reales. Grado. Algoritmo de la división. Función polinomial asociada a un polinomio.” a) Relacione este contenido con otros del currículo. b) Muestre una secuencia de contenidos necesarios para alcanzar la comprensión de este contenido. c) ¿Qué objetivos de aprendizaje puede asociar al contenido “Función polinomial asociada a un polinomio”? Ejemplo 2 : Suponga que usted está enseñando la solución general de la ecuación cuadrática en 3° medio y le preguntan si existe una fórmula para la ecuación de grado 3. ¿Cuál sería su respuesta? ¿Haría un estudio al respecto, pese a que no es un contenido explícito del currículo, pues en 3° medio ya existen los números complejos y es esencialmente la única herramienta necesaria? Indicador 10 : Elabora actividades para desarrollar habilidades en sus estudiantes relativas a raíces y factorización de polinomios. Ejemplo 1 : Planifique una secuencia de actividades para cubrir el contenido relativo a “Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros”. Considere lo siguiente: a) ¿Cuál sería actividad de motivación? ¿Cómo introduciría el problema? b) ¿Cuál sería el cierre de su clase? c) Suponga que decide demostrar el teorema relativo a raíces racionales de un polinomio entero. Para ello se requiere el resultado previo “Si a, b son enteros con mcd(a, b) = 1 y a|bc, entonces a|c”, el cual sus estudiantes no lo conocen formalmente. ¿Sugiere usted demostrar este resultado previo? ¿o hacer que ellos lo infieran y no demostrarlo, pues es bastante intuitivo? Ejemplo 2 : Un alumno de su curso le dice que el polinomio x4 + 1 no tiene raíces reales, por tanto no se puede factorizar con uno de sus factores de grado 1. También le dice que el cree que tampoco se puede factorizar por dos polinomios de grado 2. Usted sabe que esto es falso pues por el Teorema Fundamental del Álgebra todo polinomio de grado mayor o igual a 3 es reducible en R[x]. Describa cómo guiar a ese alumno y al curso completo a descubrir una factorización de ese polinomio.

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Estándar 9 : Demuestra competencia disciplinaria en teoría de grupos y cuerpos. El futuro profesor o profesora conoce las estructuras de grupo y cuerpo. Conoce, opera y prueba propiedades de ejemplos clásicos de grupos tales como el simétrico, diedral, de las isometrías del plano y similares. Conoce y utiliza el Teorema de Lagrange, el concepto de acción de un grupo sobre un conjunto y algunas de sus aplicaciones. Conoce las ideas de extensión finita y algebraica de cuerpos, de clausura algebraica y de número y extensión trascendente y comprende el problema de resolubilidad por radicales de polinomios. El futuro profesor o profesora conecta los temas de este estándar con aspectos del currículo escolar, tales como construcciones geométricas con regla y compás, transformaciones isométricas, estructura multiplicativa de los números complejos,y ecuaciones polinomiales. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Comprende el teorema de Lagrange y lo utiliza para demostrar resultados aritméticos. Ejemplo 1 : Muestre un contraejemplo para el recíproco del Teorema de Lagrange. Ejemplo 2 : Demuestre el pequeño Teorema de Fermat: “Sea p un número primo y n un número natural no divisible por p entonces np − n es divisible por p” Indicador 2 : Opera con el grupo de permutaciones de un conjunto finito. Ejemplo 1 : Considere la permutación de S8 dada por µ ¶ 1 2 3 4 5 6 7 8 σ= . 2 3 4 5 1 7 6 8 Escríbala como producto de ciclos disjuntos y luego como producto de transposiciones. Ejemplo 2 : Dadas las siguientes afirmaciones, demuéstrelas si son verdaderas o dé un contraejemplo si son falsas: a) La inversa de una permutación par es par. b) Para toda σ, π ∈ Sn , |σ ◦ π| = |σ||π|, donde |σ| denota el orden de la permutación σ. c) Una permutación σ es una transposición si y sólo si σ 6= 1 y σ = σ −1 . Indicador 3 : Reconoce cuando dos grupos son isomorfos. Ejemplo 1 : La siguiente es una tabla incompleta de la multiplicación en un grupo de 3 elementos: a b c a a b b c 121

a) Complete la tabla. b) ¿Cuántas tablas encontró? Use ese resultado para mostrar que existe un único grupo de orden 3. Ejemplo 2 : Demuestre que Z4 y {(1), (14), (23), (14)(23)} no son isomorfos. Indicador 4 : Conoce el grupo de simetrías del n−ágono regular, del cubo y del tetraedro regular. Ejemplo 1 : Sea T un triángulo equilátero. Determine todas las simetrías de T y represéntelas como permutaciones de sus vértices. Compare el resultado con S3 . Ejemplo 2 : Pruebe que el grupo S4 es el grupo de simetrías de un tetraedro regular. ¿Es D4 subgrupo de A4 ? ¿Hay en D4 una copia isomorfa a {(1), (14), (23), (14)(23)}? Ejemplo 3 : ¿Cuál es el grupo de simetrías de un cubo? Indicador 5 : Demuestra propiedades de los grupos cíclicos. Ejemplo 1 : Demuestre que un grupo cíclico de orden n tiene sólo un subgrupo de orden m para cualquier m divisor de n. Ejemplo 2 : Considere las siguientes matrices ¶ ¶ µ µ 0 1 0 1 , y B= A= −1 −1 −1 0 elementos del grupo GL(2, Q) : a) Calcule el orden de A y el de B. b) Pruebe que el subgrupo generado por AB es un subgrupo cíclico infinito. Ejemplo 3 : Muestre que Zm es el único grupo cíclico de m elementos, salvo isomorfismos. Indicador 6 : Conoce el grupo de isometrías del plano y demuestra alguna de sus propiedades. Ejemplo 1 : a) Demuestre que si una isometría T fija un solo punto, entonces es una rotación. b) Demuestre que si una isometría fija tres puntos, entonces es la identidad. c) Demuestre que el conjunto que contiene todas las traslaciones, todas las rotaciones respecto a un centro fijo O y todas las reflexiones con eje de simetría que pasa por O, generan el grupo de isometrías del plano. Ejemplo 2 : Sea θ ∈ [0, 2π) interprete φθ : C → C definida por φθ (z) = eiθ z como la rotación con centro en el origen y ángulo θ. Considere la conjugación compleja e interprétela como la reflexión respecto al eje X. ¿Es cierto que el conjunto de todas las φθ , todas las traslaciones y la conjugación, generan el grupo de isometrías del plano? 122

Indicador 7 : Encuentra grupos cuocientes y utiliza el primer teorema del isomorfismo para grupos. Ejemplo 1 : Demuestre que GL(2, R)/SL(2, R) es isomorfo a R× . Ejemplo 2 : Encuentre todos los homomorfismos de Z2 en Z16 . Más generalmente, ¿que condiciones debe cumplir n y m para que exista homomorfismo de Zn en Zm ? Indicador 8 : Usa acciones de grupos y ecuación de clases para obtener resultados relativos a combinatoria. Ejemplo 1 : Considere un collar de seis piedras que pueden ser escogidas de dos tipos (rubíes y esmeraldas). Haga actuar D6 en el hexágono regular para calcular la cantidad de diferentes collares. Ejemplo 2 : Determine el número de maneras diferentes en que se puede pintar un cubo con a lo más tres colores. Indicador 9 : Extiende cuerpos agregando raíces de polinomios. √ Ejemplo 1 : Describa Q[ 3] como el cuociente de un anillo de polinomios por el ideal generado por un polinomio irreducible. Ejemplo 2 : Considere el anillo cuociente A = R[x] / < x2 + x + 1 > . a) Demuestre que A es un cuerpo. b) Demuestre que A es isomorfo al cuerpo de los números complejos. Indicador 10 : Demuestra resultados elementales de extensiones algebraicas de Q, de R y de cuerpos finitos. Ejemplo 1 número Ejemplo 2 Ejemplo 3

: Demuestre que un cuerpo finito tiene el orden una potencia de un primo. √ √ : Calcule el grado de la extensión Q( 3 2, 3) sobre Q. : ¿Cuántos cuerpos intermedios hay entre R y C?

Indicador 11 : Demuestra resultados relativos a números, ángulos y polígonos constructibles. √ Ejemplo 1 : Demuestre que si α > 0 es constructible, entonces α es constructible. Ejemplo 2 : Demuestre que el pentágono regular es constructible. Indicador 12 : Aplica resultados algebraicos para dar respuesta a los siguientes problemas clásicos de la geometría: duplicación del cubo, trisección del ángulo, cuadratura del círculo. 123

Ejemplo 1 : Problema de la duplicación del cubo. Demuestre que no es posible construir con regla y compás un cubo de volumen 2cm3 . Ejemplo 2 : Problema de la trisección de un ángulo. Pruebe que no es posible trisectar un ángulo que mida 40o . Ejemplo 3 : Problema de la cuadratura del círculo. Sabiendo que π es trascendente, pruebe que no es posible construir con regla y compás un círculo de área 4. Indicador 13 : Comprende el problema de resolubilidad por radicales de polinomios. Ejemplo 1 : Use la fórmula de Tartaglia para resolver la ecuación x3 −x2 −x−5 = 0. Ejemplo 2 : El polinomio x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 = 0 tiene a 1 como raíz. ¿Contradice esto el hecho de que la ecuación quíntica no tiene solución por radicales? Indicador 14 : Demuestra resultados relativos a clausura algebraica y al teorema fundamental del álgebra. Ejemplo 1 : Suponga que se tiene la siguiente versión del teorema fundamental del álgebra Todo polinomio con coeficientes reales tiene al menos una raíz en C Utilice ese resultado para demostrar que C es algebraicamente cerrado, esto es, demuestre que todo polinomio complejo tiene todas sus raíces en C. Ejemplo 2 : Demuestre que C no es la clausura algebraica de Q. Ejemplo 3 : Demuestre que todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito. Indicador 15 : Conoce los problemas que motivaron el estudio de estructuras algebraicas. Ejemplo 1 : Galois elabora la teoría de grupos como una herramienta para resolver un problema relativo a polinomios. Describa el problema que intentaba resolver Galois. Para esto considere las siguientes preguntas: ¿Los grupos nacen como conjuntos de números con una operación binaria o como grupos de automorfismos? En ese contexto, ¿cómo surge el grupo simétrico? Ejemplo 2 : Si bien se le atribuye a Gauss el haber sido quien formaliza las propiedades del cuerpo de los números complejos, habiendo incluso demostrado el Teorema Fundamental del Álgebra, hubo varios avances en esa dirección previos a Gauss. Por ejemplo, Cardano dice: “dejando de lado √ √ las torturas mentales podemos afirmar que (5 + −15) y (5 − −15) resuelven el problema encontrar dos números que sumen 10 y su producto sea 40” Describa un devenir histórico de ideas relativas a los números complejos, destacando los aportes de Cardano, Bombelli, De Moivre, Euler y Gauss. 124

Estándar 10 : Demuestra competencia disciplinaria en conceptos y construcciones fundamentales de la matemática. El futuro profesor o profesora analiza la estructura lógica de las proposiciones y argumentos matemáticos, siendo capaz de reconocer y producir argumentos válidos. Conoce la construcción de los números naturales a través de los axiomas de Peano, y construcciones o presentaciones axiomáticas de los números enteros, racionales, reales y complejos. Demuestra propiedades por inducción y comprende y utiliza la noción de algoritmo matemático. Dispone de una sistematización intuitiva que le permite operar y demostrar propiedades de los conjuntos y su cardinalidad, y conoce hitos históricos en el desarrollo de estas ideas. Sabe operar con funciones y sus inversas, utiliza propiedades de las funciones y de las imágenes y pre-imágenes de un conjunto vía una función. Conoce la importancia de las relaciones de equivalencia y de orden, sus principales propiedades y sabe operar con clases de equivalencia y conjuntos cuociente. Lo que se manifiesta cuando:

Indicador 1 : Determina el valor de verdad de proposiciones y puede expresar su negación. Ejemplo 1 : Considere la frase La función logaritmo es creciente y, si se evalúa en números mayores que 1, entonces sus valores son positivos. a) Determine el valor de verdad de la frase anterior. b) Niegue la proposición anterior. Ejemplo 2 : a) Determine el valor de verdad de la siguiente frase: para cualquier número real y hay al menos un número real x tal que x2 + y 2 ≥ 9.

b) Obtenga la negación de la proposición anterior. Ejemplo 3 : ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones describe la propiedad de inverso multiplicativo en Q? Existe y ∈ Q tal que para cada x ∈ Q× se cumple que xy = 1 Para cada x ∈ Q× existe y ∈ Q tal que xy = 1 Para cada x ∈ Q× existe y ∈ Q× tal que xy = 1 Donde Q× denota Q \ {0} = {r ∈ Q/ r 6= 0}. Indicador 2 : Reconoce cuando una proposición matemática es consecuencia de otra.

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Ejemplo 1 : Considere los siguientes teoremas: Teorema 1: Si f es diferenciable, entonces f es continua. Teorema 2: Si g es continua, entonces g es integrable. a) Consideremos la función f : [0, 1] → R, definida por f (x) = 0 si x ∈ Q y f (x) = 1 si x 6= Q. Dado que f no es integrable, ¿se concluye de estos teoremas que f no es diferenciable? b) Consideremos la función parte entera en el intervalo [0, 2]. Dado que esta función es integrable, ¿se concluye entonces que f es diferenciable? c) La función definida en [0, 1] por f (x) = 0 para x 6= 1 y f (1) = 2, no es continua. ¿Se concluye entonces que f no es integrable [0, 1]? d) ¿Se concluye de estos teoremas que como la función seno es integrable, entonces es diferenciable? Ejemplo 2 : Suponga que se ha determinado que la solución n ∈ N de una ecuación es par o mayor que 43 (o ambas). Además se sabe que existe m ∈ N tal que m · n = 1457, ¿se deduce de esto que n es mayor que 43? Indicador 3 : Comprende definiciones de objetos matemáticos usuales que involucran el uso de cuantificadores. Ejemplo 1 : Una definición de límite es: f tiene límite l en a si y sólo si (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ R)(0 <| x − a |< δ ⇒| f (x) − l |< ε) a) ¿Es posible cambiar en la definición anterior ∀ε > 0 por la condición: ∀ε ∈ (0, 1)? ¿Por qué? b) ¿Es posible cambiar en la definición anterior |f (x) − l| < ε por |f (x) − l| ≤ ε? ¿Por qué? Ejemplo 2 : Una función f : R → R se dice continua en a ∈ R si: ∀ε > 0, ∃δ > 0 |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε Se dice que f es continua en R, si es continua en a para cada a ∈ R. Considere la siguiente condición (U): (∀ε > 0) (∃δ > 0)(∀x, y ∈ R)(|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε) 126

a) Si f satisface la condición (U), entonces ¿es f continua en R? b) Si f es continua en R, entonces ¿satisface la condición (U)? Ejemplo 3 : Sea A un subconjunto no vacío de R, el cual es acotado superiormente. Considere las siguientes propiedades para un elemento s ∈ R Propiedad 1: s satisface las siguientes condiciones: 1. s ≥ a para todo a ∈ A. 2. Si t ≥ a para todo a ∈ A, entonces s ≤ t. Propiedad 2: s satisface las siguientes condiciones: 1. s ≥ a para todo a ∈ A. 2. Para cada número real t menor que s existe a ∈ A tal que a > t. Propiedad 3: s satisface las siguientes condiciones: 1. s ≥ a para todo a ∈ A. 2. Para cada ε > 0 existe a ∈ A tal que s ≤ a + ε. Muestre que las tres propiedades son equivalentes. Indicador 4 : Demuestra propiedades que involucran inclusión, igualdad, unión, intersección, complemento, diferencia, potencia y producto cartesiano de conjuntos. Ejemplo 1 : entera de Ejemplo 2 : Ejemplo 3 :

¥ ¦ Muestre que {(−1)n n2 /n ∈ N} = Z, donde bxc denota la parte x. Demuestre que A \ B = ∅ y B \ A = ∅ si y sólo si A = B. ¿Es cierto que si P(A) = P(B) entonces A = B?

Indicador 5 : Reconoce relaciones de equivalencia y determina sus clases. Ejemplo 1 : Para cada (a, b) ∈ R × R, diremos que aRb si y solo si bac = bbc , donde bxc denota la parte entera de x. a) ¿Es R una relación de equivalencia? Si lo es determine sus clases. b) ¿La suma de números reales es compatible con esta relación? Es decir, si aRb y cRd, entonces ¿es cierto que (a + c)R(b + d) ? Ejemplo 2 : En Z × Z × Z defina la relación (a, b, c) ∼ (a0 , b0 , c0 ) si y solo si a + b ≡7 a0 + b0 a) Determine la clase de (0, 0, 0) b) Determine la clase de (a, b, c) Indicador 6 : Conoce la noción de relación de orden y diferentes tipos de orden tales como orden total, orden denso y buen orden. Ejemplo 1 : Ud. sabe que los números naturales están bien ordenados por el orden estándar. a) Dé un ejemplo de un orden en N que no sea un buen orden. b) ¿Es el orden estándar en Q un buen orden? 127

Ejemplo 2 : a) Demuestre que cualquier orden total sobre un conjunto finito es un buen orden. ¿Es cierta la afirmación para órdenes totales sobre un conjunto infinito? b) Demuestre que si A es un conjunto con orden denso, entonces A es infinito. Ejemplo 3 : Describa todos los subgrupos de Σ3 . ¿Es la inclusión un orden total en esa colección de subgrupos? Indicador 7 : Demuestra propiedades de imagen y preimagen de conjuntos y las relaciona con los conceptos de inyectividad y sobreyectividad. Ejemplo 1 : Sean f : X → Y y g : Y → Z funciones: a) Demuestre que (g ◦ f )(X) ⊆ g(Y ) b) Demuestre que si (g ◦ f ) es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva. c) Dé un ejemplo de g ◦ f sobreyectiva, pero f no sobreyectiva. Ejemplo 2 : Considere f : X → Y inyectiva, demuestre que f : P(X) → P(Y ) definida por f (A) = f (A) = {f (a)/a ∈ A} es inyectiva. x Ejemplo 3 : Considere f : R \ {−1, 1} → R definida por f (x) = 1−x 2 a) Determine Y = f (R). b) Determine X ⊆ R maximal tal que f|X : X → Y sea biyectiva. Indicador 8 : Comprende la definición de N a partir de los axiomas de Peano, y comprende la relación entre estos y la aritmética elemental. Ejemplo 1 : Discuta acerca de la relación entre la suma de los números naturales dada por la axiomática de Peano, y la idea intuitiva de sumar con los dedos, muy común en niños pequeños que aprenden a sumar. Ejemplo 2 : Dos axiomas de Peano dicen: 1 no es sucesor de ningún número. A números distintos le corresponden sucesores distintos. Discuta sobre características intuitivas de los números naturales que reflejan esos axiomas. Indicador 9 : Comprende el Principio de Inducción Matemática y lo utiliza para demostrar propiedades que involucran números naturales. Reconoce errores en el uso de este principio y demuestra equivalencias en la presentación del principio. Ejemplo 1 : Considere la siguiente afirmación: En cualquier grupo de personas todos tienen el mismo sexo. Dicha afirmación se puede ‘demostrar’por inducción en el tamaño del grupo: Si el grupo tiene una sola persona el resultado es siempre cierto. Si en el grupo hay N personas, entonces extraemos una persona de éste, las N − 1 restantes tienen el mismo sexo por hipótesis de inducción. Ahora sacamos del grupo de N una persona distinta, de nuevo por hipótesis el grupo restante de N − 1 personas tiene el mismo sexo. Ambas personas que salieron tienen el mismo sexo y debe ser igual al de las N − 2 personas restantes.Luego todos tienen el mismo sexo. La afirmación es claramente falsa, ¿cuál es la falacia en el argumento? 128

Ejemplo 2 : Los números de Fibonacci satisfacen la relación de recurrencia Fn+1 = Fn−1 + Fn , n ≥ 1

F1 = F0 = 1.

a) Demuestre que para todo n ∈ N se tiene n X

Fi = Fn+2 − 1.

i=0

b) Demuestre que para todo n ∈ N se tiene ¶ n µ X n−j = Fn . j j=0 Ejemplo 3 : Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: Sea A ⊆ N tal que 1 ∈ A y cada vez que n ∈ A entonces el sucesor de n también está en A, entonces A = N. Sea A ⊆ N tal que 1 ∈ A y si todos los naturales menores que n están en A entonces n también está en A, entonces A = N. Sea P (n) una proposición en la variable n ∈ N tal que P (1) se verifica. Cada vez que se verifica P (n), implica que se verifica P (n + 1), entonces P (n) se verifica para cada n ∈ N. Indicador 10 : Conoce y utiliza los coeficientes binomiales tanto en su interpretación en combinatoria como en su rol en la fórmula del binomio de Newton. √ √ Ejemplo 1 : Demuestre que para todo n ∈ N, (1+ 2)n +(1− 2)n es un número natural. Ejemplo 2 : Demuestre que ¶ X ¶µ ¶ µ r µ n n 2n = . k r−k r k=0

Explique el resultado anterior combinatorialmente. Ejemplo 3 : Explique combinatorialmente la relación: µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n−1 n−1 = + k k−1 k Indicador 11 : Describe y analiza algoritmos relacionados con problemas matemáticos de nivel escolar. Ejemplo 1 : Describa un algoritmo para determinar si un número natural dado es primo. Demuestre que su algoritmo funciona. Ejemplo 2 : La versión original del algoritmo de Euclides usaba la sustracción repetida en lugar del residuo de la división. Éste puede describirse iterativamente como sigue: Se recibe (m, n) con m ≥ n ≥ 0, no ambos nulos. 129

Mientras n > 0, se asigna a (m, n) el par (m − n, n) si m − n ≥ n o (n, m − n) si n > m − n. El algoritmo entrega m como el máximo común divisor de los números originales. Demuestre que este algoritmo efectivamente entrega el mcd(m; n). Indicador 12 : Analiza y compara algoritmos recursivos e iterativos provenientes de diferentes áreas de la matemática y demuestra que los algoritmos funcionan. Ejemplo 1 : Calcule el número de operaciones requeridas por el método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales de n × n. Ejemplo 2 : Para evaluar un polinomio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · a1 x + a0 en x = α, considere el siguiente algoritmo. Defina cn por cn = an . Si ck ya está definido, defina ck−1 por ck−1 = αck + ak−1 , para k = n, n − 1, . . . , 3, 2, 1. Entonces c0 = p(α). a) Muestre que el algoritmo funciona. b) Sea bn el número de multiplicaciones requerido para calcular p(α) cuando el polinomio p tiene grado n. Encuentre una relación de recurrencia para determinar bn y resuélvala. c) Describa un segundo algoritmo que evalúe directamente el polinomio p en α multiplicando i veces α para calcular αi , para cada i. Determine el número de multiplicaciones para calcular p(α) en este caso. ¿Cuál algoritmo es más conveniente? Indicador 13 : Comprende construcciones de Z a partir N y de Q a partir de Z. Ejemplo 1 : Considere el conjunto N de los números naturales (con el cero) y denote por N+ al conjunto {(n, 1)/n ∈ N} y N− = {(n, 2)/n ∈ N, n 6= 0}. Defina Z = (N+ ∪ N− , +, ·) con la suma: (n, 1) + (m, 1) = (n + m, 1) (n, 2) + (m, 2) = (n + m, 2) (m, 2) + (n, 1) = (n, 1) + (m, 2) = (n − m, 1), si n ≥ m (m, 2) + (n, 1) = (n, 1) + (m, 2) = (m − n, 2), si n < m. y el producto: (n, 1)(m, 1) = (nm, 1) (n, 2)(m, 2) = (nm, 1) (m, 2)(n, 1) = (n, 1)(m, 2) = (nm, 2), si n 6= 0 (m, 2)(0, 1) = (0, 1)(m, 2) = (0, 1). a) Demuestre la propiedad distributiva del producto sobre la suma. b) ¿Qué ventajas y desventajas tiene esta construcción de Z respecto de la construcción de Z vía clases de equivalencia de N × N? 130

Ejemplo 2 : Recuerde la construcción de Z como el conjunto cuociente N × N/ ∼ con (a, b) ∼ (c, d) si y sólo si a + d = b + c. Según esta construcción: a) Indique cómo debe quedar definido el orden estándar entre clases, es decir, exprese [(a, b)] < [(c, d)] en términos de una expresión que involucre los números a, b, c y d. b) ¿Hace alguna diferencia sustancial en esta construcción el considerar N con o sin 0? Ejemplo 3 : Considere la construcción de Q como el conjunto cuociente Z × Z \ {0}/ ∼ con (a, b) ∼ (c, d) si y solo si ad = bc. Es decir, un número racional ab , con b 6= 0, es la clase de (a, b), es decir {(c, d)/ ad = bc}. La suma se define por a c ad + bc + = b d bd y el producto

a c ac · = b d bd

Según esta construcción: a) Se afirma que la multiplicación está bien definida. Explique que significa esa frase. b) ¿ 12 es igual o es equivalente a 24 ? c) Discuta la definición de denominador de un número racional en este contexto. Indicador 14 : Conoce la construcción de R vía cortaduras de Dedekind y su presentación axiomática. Ejemplo 1 : Utilice cortaduras de Dedekind para demostrar que existe x ∈ R tal que x2 = 5. Ejemplo 2 : En su presentación axiomática, se establece que R es un cuerpo ordenado. Más generalmente, un cuerpo ordenado K es un cuerpo que posee un subconjunto P tal que: Para cada x, y ∈ P, se cumple que x + y ∈ P. Para cada x, y ∈ P, se cumple que xy ∈ P. Para cada x ∈ R, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones: x ∈ P ∨ x = 0 ∨ −x ∈ P. a) Muestre que si K es un cuerpo ordenado y x ∈ K con x 6= 0, entonces x2 ∈ P. b) Muestre que en todo cuerpo ordenado, 1 ∈ P. c) Muestre que C no es un cuerpo ordenado.

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Indicador 15 : Comprende que N, Z, Q, R y C son únicos salvo isomorfismo. Ejemplo 1 : Sea K un cuerpo tal que existe un monomorfismo de anillos µ : Z → K. Demuestre que existe un único monomorfismo µ : Q → K, que hace n que el siguiente diagrama conmute, esto es, µ ◦ i = µ, donde i(n) = . 1 ÂÄ

µ

/ K ? Ä ÄÄ ÂÂ Ä i  ÄÄ Â² ² ÄÄ µ /Ä

ZÂ Ä _ ÂÂ

Q Explique por qué esto permite afirmar que Q es el menor cuerpo que contiene a Z, salvo isomorfismo. Ejemplo 2 : Use el Teorema Fundamental del Álgebra para probar que si K es un cuerpo que contiene propiamente a R, y K|R es una extensión algebraica, entonces K ∼ = C. Ejemplo 3 : Se dice que R es el único cuerpo ordenado completo. Explique el significado de esa frase. Indicador 16 : Comprende la noción de cardinalidad de conjuntos. Ejemplo 1 : Considere el Teorema de Cantor: El conjunto potencia de un conjunto tiene una cardinalidad estrictamente mayor que el propio conjunto. Para su demostración considere A un conjunto y suponga que existe una función φ : A → 2A , sobreyectiva, donde 2A denota el conjunto potencia de A. Considere el conjunto B = {a ∈ A/ a ∈ / φ(a)} ⊆ A, y suponga que existe b ∈ A tal que φ(b) = B. a) Demuestre que si b ∈ / B, entonces b ∈ B. b) Demuestre que si b ∈ B, entonces b ∈ / B. c) Concluya que no existe función sobreyectiva de A en 2A . Ejemplo 2 : Demuestre que todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito. Ejemplo 3 : a) Demuestre que [0, 1] no es numerable. b) Demuestre que si K|Q es algebraica, entonces K es numerable. c) Demuestre que R|Q es trascendente. Indicador 17 : Comprende la evolución del concepto de igualdad de cardinales y de infinito en matemáticas. Ejemplo 1 : Georg Cantor a finales del siglo XIX y comienzos del XX propone una teoría sólida de conjuntos infinitos y de cardinalidad. Sin embargo, ya en el año 1638 Galileo observó que existen tantos cuadrados (1, 4, 9, 16, . . .) como números naturales positivos. Describa otros hechos históricos significativos en matemáticas que abordan un concepto de conjunto infinito y de “misma cantidad de elementos”. 132

Ejemplo 2 : La Teoría de Cantor no fue fácilmente aceptada. Uno de los principales detractores de las ideas de Cantor fue Leopold Kronecker. ¿Cuáles fueron los principales argumentos de Kronecker en contra de las ideas de Cantor? Comente dichos argumentos.

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EJE DE GEOMETRÍA

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PRESENTACIÓN

La geometría ha contribuido desde sus inicios a la fundamentación del pensamiento matemático, en particular al desarrollo del concepto de demostración y a la necesidad de axiomatización. Debido a que es posible demostrar propiedades de figuras geométricas a partir de unos pocos conceptos y con herramientas elementales, en donde prevalecen la intuición y la visualización, la geometría ha tenido tradicionalmente un papel fundamental en el currículo escolar como el lugar donde se desarrolla la capacidad de realizar razonamiento deductivo. Actualmente, si bien este aspecto de las matemáticas aparece de manera transversal en el currículo, se ha creído necesario mantener un énfasis particular en lo que respecta a argumentación en este eje. Es en geometría donde primero es posible vislumbrar el carácter arbitrario que tienen las definiciones y cómo es necesario axiomatizar cosas que no se pueden demostrar a partir de otras propiedades. También permite explorar lo que sucede si se modifica alguno de estos axiomas, como por ejemplo la relación entre el V Postulado y las geometrías no euclidianas. Actualmente la visualización dinámica de la geometría mediante el uso de procesadores geométricos, facilita conjeturar propiedades y apoya el desarrollo de la intuición geométrica. Se espera que el futuro profesor sea capaz de diseñar actividades de aprendizaje referidas al eje de geometría del currículo escolar, usando de manera efectiva esta herramienta tecnológica. Este eje se compone de seis estándares. El Estándar 11 se dedica al conocimiento y habilidades que debe tener el profesor o profesora respecto de los elementos básicos de la geometría, tales como los conceptos de punto, recta, plano, espacio, trazo, ángulo, las figuras geométricas planas y de los poliedros y cuerpos redondos. En él, se enfatiza el análisis de enunciados de propiedades y definiciones sobre elementos primarios de la geometría plana y del espacio, y se abordan teoremas clásicos de la geometría euclidiana. El Estándar 12 está dedicado a las transformaciones isométricas, las homotecias y a las construcciones geométricas con regla y compás. Se enfatiza la justificación de los procedimietos usados, el desarrollo de habilidades de análisis, la resolución de problemas y la argumentación. Se aborda también el diseño de actividades de aula usando procesador geométrico y otros materiales de apoyo. El Estándar 13 corresponde a medida y trigonometría. El desarrollo de la geometría está íntimamente ligado al problema de medir longitudes, áreas, volúmenes y ángulos. En este estándar se abordan los temas de medida enfatizando la deducción de fórmulas y su aplicación a problemas provenientes de distintos contextos. También se trata el tema de trigonometría haciendo énfasis en su aplicación en la resolución de problemas geométricos proveniente de la vida real. 137

El Estándar 14 está dedicado al estudio de la geometría analítica en el plano. En particular, se trata la la enseñanza de la representación en coordenadas cartesianas, de puntos, rectas y circunferencias. Se aborda además el estudio de cónicas y lugares geométricos que las involucran, y el estudio de curvas parametrizadas. Se considera también el uso de geometría de coordenadas para la demostración de propiedades de la geometría euclidiana. El Estándar 15 está enfocado al tratamiento de elementos de geometría cartesiana y vectorial del espacio, en particular a la descripción y visualización de planos y rectas en el espacio, y sólidos generados por rotación y traslación, promoviendo el desarrollo de habilidades de visualización y de resolución de problemas. En este estándar también se aborda el estudio de las cuádricas y de algunas superficies parametrizadas elementales. El Estándar 16 tiene un carácter disciplinario, y está dedicado al estudio de aspectos fundantes e históricos de la geometría, en particular la independencia del V Postulado de Euclides y como surgen otros modelos geométricos. Se abordan conceptos básicos de la geometría proyectiva tales como punto al infinito, razón doble y cuaternas armónicas y su aplicación al arte. También se incluyen aspectos básicos de la geometría esférica, como son área y ángulo, y de la geometría hipérbolica a través del modelo de Poincaré, relevando sus similitudes y diferencias con la geometría euclidiana.

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Estándar 11 : Es capaz de conducir el aprendizaje de los conceptos elementales de la geometría. El futuro profesor o profesora está capacitado para planificar, conducir y evaluar el aprendizaje de alumnos y alumnas en temas referidos los elementos básicos de geometría tales como punto, recta, plano, espacio, trazo, ángulo; figuras planas tales como polígonos y circunferencia y cuerpos geométricos tales como prismas, pirámides y cuerpos redondos, así como las nociones de congruencia y semejanza. Es capaz de diseñar actividades para el aprendizaje usando procesador geométrico. Conoce y comprende la geometría del nivel escolar desde un punto de vista superior, analizando críticamente enunciados de propiedades y definiciones sobre elementos primarios de la geometría plana y del espacio. Sabe como promover en los estudiantes el desarrollo de habilidades de visualización, resolución de problemas, indagación y argumentación. Lo que se manifiesta cuando:

Indicador 1 : Demuestra propiedades referidas a la circunferencia y sus elementos, y las aplica en la resolución de problemas. Ejemplo 1 : Demuestre las siguientes propiedades: a) En toda circunferencia el ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. b) Un cuadrilátero es inscriptible en una circunferencia si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios. c) Los segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un mismo punto, son congruentes. Ejemplo 2 : Se traza una recta tangente por un punto T a una circunferencia de diámetro AB con centro C. Sobre la recta tangente se localizan los puntos D y P de modo que los segmentos AD y BP son respectivamente perpendiculares a esta recta tangente. Demuestre que CD = CP .

Indicador 2 : Demuestra propiedades de los triángulos y otros polígonos y las aplica en la resolución de problemas. 139

Ejemplo 1 : Demuestre que si Sn es el lado de un polígono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio R, entonces q p S2n = 2R2 − R 4R2 − Sn2 . Ejemplo 2 : Sea un triángulo ABC y M el punto medio del lado AC. Sea S un punto entre A y M . Determine bajo qué condiciones se puede afirmar que AB > SB y bajo qué condiciones esto no ocurre.

Indicador 3 : Utiliza un lenguaje preciso para establecer definiciones en geometría. Ejemplo 1 : Considere las siguientes definiciones de convexidad de un polígono. Definición 1: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera al interior del polígono queda también contenido en su interior, entonces el polígono es convexo. Definición 2: Si al prolongar cada uno de los lados del polígono según la recta que lo contiene, toda la figura queda al mismo lado de la recta, entonces el polígono es convexo. Definición 3: Si todas las diagonales del polígono quedan en su interior, entonces éste es convexo. Considerando las definiciones anteriores responda las siguientes preguntas: a) ¿Estas definiciones permiten decidir si un triángulo es convexo? b) ¿Es alguna definición un caso particular de otra? c) En el contexto de los polígonos, pruebe que las definiciones 2 y 3 son equivalentes. d) ¿Qué definición se puede extender para estudiar la convexidad de un círculo? Fundamente. e) ¿Cuáles definiciones son extendibles a una figura plana cerrada cualquiera? Ejemplo 2 : Algunas afirmaciones son verdaderas bajo ciertas definiciones y no lo son bajo otras. Por ejemplo, bajo la siguiente definición de rectángulo: “un rectángulo es un paralelogramo cuyos lados opuestos son congruentes y los ángulos formados por lados adyacentes son rectos”, resulta que un cuadrado es un caso particular de rectángulo. ¿Bajo que definiciones las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Un cuadrado es un rombo. 140

b) Un cuadrado no es un rombo. c) Un cuadrado no es un rectángulo. d) Dos triángulos congruentes son semejantes. e) Una circunferencia es una elipse. f) Una circunferencia no es una elipse. g) Dos triángulos congruentes no son semejantes.

Indicador 4 : Utiliza los criterios de congruencia y semejanza de figuras planas para resolver problemas, justificar procedimientos y demostrar propiedades geométricas. Ejemplo 1 : Pruebe que las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se cortan proporcionalmente, esto es, si ABCD es un cuadrilátero inscrito en una circunferencia cuyas diagonales se cortan en M, entonces AM · M C = BM · M D. Ejemplo 2 : Considere el cuadrado ABCD de la figura. En el lado CB se ubica un punto E y en el lado AB se ubica un punto F tal que el ángulo F DE es igual a 45° y DG es perpendicular a EF . Pruebe que DG es congruente con DC.

Indicador 5 : Conoce las demostraciones de los siguientes teoremas de geometría euclidiana: de Ceva, Menelao, Pappus, Desargues y Pascal. Ejemplo 1 : Demuestra el siguiente teorema utilizando relaciones entre las áreas de los triángulos involucrados: las transversales AL, BM , CK concurren en el punto P si y solo si AK BL CM · · =1 KB LC M A 141

Ejemplo 2 : A partir del siguiente diagrama describa los principales pasos de la demostración del teorema de Desargues.

Indicador 6 : Demuestra propiedades de planos y poliedros y las aplica en la resolución de problemas. Ejemplo 1 : ¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento? Indique ahora la respuesta a esta interrogante al cambiar “puntos del plano” por “puntos del espacio”. Ejemplo 2 : Se puede deducir el volumen de la pirámide que se indica en la red, a partir del volumen de un cubo.

a) Justifique que el cubo se puede construir con tres pirámides iguales. b) Calcule el volumen de la pirámide. 142

Indicador 7 : Conoce los cinco sólidos platónicos y sabe demostrar su unicidad usando la característica de Euler. Ejemplo 1 : Explique porqué no existe un sólido regular con caras hexagonales. Ejemplo 2 : Calcule la característica de Euler de un icosaedro. Ejemplo 3 : Considere algunos sólidos no platónicos y explique por qué no lo son. Indicador 8 : Conoce dificultades y errores frecuentes de los estudiantes respecto de ángulos y figuras geométricas, y propone formas de abordarlos para que puedan ser superados. Ejemplo 1 : Muchos alumnos y alumnas consideran que al aumentar la cantidad de lados en un polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores aumenta. Señale una actividad para ser trabajada en clase que permitan a los alumnos y alumnas comprender que la suma de dichas medidas es constante. Ejemplo 2 : Uno de los problemas que tienen los estudiantes para reconocer conceptos o propiedades geométricas, es la posición en que se suelen mostrar las figuras. Frecuentemente se dibujan los polígonos con un lado paralelo al borde del pizarrón o de la hoja de papel, con lo cual se tiende a incluir la orientación como una característica propia de la figura geométrica. a) ¿Cómo enfrentaría el problema descrito en sus clases de geometría? b) ¿Cuáles otras presentaciones prototípicas de figuras geométricas producen similares problemas que deban ser considerados en la enseñanza de la geometría escolar? Indicador 9 : Comprende la progresión con que se presentan contenidos referidos a figuras y cuerpos geométricos en el currículo de enseñanza media, e identifica aquellos conocimientos que son un enlace con la geometría de enseñanza básica. Ejemplo 1 : En el currículo de enseñanza media están presentes los siguientes temas: ángulo, triángulo y polígono. a) Complete la siguiente tabla utilizando la información que aporta el currículo. curso

Contenido del currículo

Conceptos matemáticos

Habilidad a desarrollar

ángulo polígono triángulo b) Mencione los contenidos geométricos de 7° básico que se relacionan en forma directa con los de 5° y 6° básico. Ejemplo 2 : Cuerpos geométricos es una temática que se extiende desde 1° básico hasta 4° medio. A continuación se presentan dos contenidos del currículo de 3° básico y 4° medio: 143

3° básico Exploración de pirámides, cilindros y conos para su caracterización en función de las superficies y líneas que los delimitan.

4° medio Formulación y verificación, en en casos pariculares, de conjeturas respecto de los cuerpos geométricos generados a partir de traslaciones o rotaciones de figuras planas en el espacio.

Responda las siguientes preguntas, considerando la información del cuadro anterior y el currículo escolar. a) Caracterice algunas diferencias entre ambos contenidos. b) Explique lo que debe saber hacer un alumno o alumna en ambos contenidos considerando el nivel escolar en cada uno de ellos. Indicador 10 : Elabora actividades referidas a figuras planas básicas, que promuevan el desarrollo del razonamiento matemático, incorporándolas en planificaciones de clase. Ejemplo 1 : Elabore una actividad que utilice material concreto (por ejemplo, plegado de papel) para que los alumnos y alumnas lleguen a conjeturar que al unir los puntos medios de los lados adyacentes de un cuadrilátero se obtiene un paralelogramo. Respecto a la actividad anterior: a) Señale aquellos conocimientos previos necesarios para implementar esta actividad. b) Considere las siguientes preguntas: ¿Ocurrirá esto siempre, cualquiera sea el cuadrilátero de partida? ¿Se producen diferencias si el cuadrilátero de partida no es convexo? en qué momento de la clase las incluiría y porqué. c) Elabore el propósito de la clase para la actividad señalada. Ejemplo 2 : Considere las siguientes propiedades geométricas: i) Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. ii) Un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares si y solo si la suma de los cuadrados de un par de lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados del otro par de lados opuestos. iii) Las diagonales de los rectángulos y trapecios isósceles son congruentes.

Elabore una planificación de clase que al menos incluya: conocimientos previos, propósito y materiales, momentos de la clase, que permita a los alumnos realizar razonamiento deductivo para demostrar las propiedades descritas. 144

Ejemplo 3 : Considere el siguiente problema: Dado un ángulo agudo y un punto M en el interior, trace las perpendiculares desde M a los lados del ángulo, responda las siguientes preguntas: i) ¿Qué figura se forma? ii) ¿Se puede determinar la medida del ángulo M? iii) ¿Es siempre obtuso el ángulo M? ¿Cree que sería apropiado para un trabajo de argumentación? Justifique.

Indicador 11 : Propone actividades basadas en la visualización que permitan a los estudiantes establecer conjeturas, verificarlas, justificarlas y probarlas, dependiendo del nivel escolar.

Ejemplo 1 : Los cuadriláteros circunscriptibles cumplen una propiedad respecto a las medidas de sus lados.

a) ¿En qué nivel escolar debiese ser tratada esta materia? b) ¿Cómo presentaría en clases la demostración de NM+KL=NK+LM ? c) Proponga una actividad utilizando un procesador geométrico que permita que los estudiantes conjeturen y verifiquen que en dichos cuadriláteros se tiene NM+KL=NK+LM.

Ejemplo 2 : Considere los siguientes hexaminós. 145

A partir de esta plantilla proponga una actividad para que los estudiantes reconozcan redes del cubo. Indicador 12 : Analiza la gestión de una clase que involucra conjeturar relaciones angulares en la circunferencia. Ejemplo 1 : Se dispone de la siguiente figura en un archivo de geogebra, referida a ángulos inscritos en una circunferencia donde el punto Q se puede mover libremente. Un profesor decide utilizarlo en clase para que los alumnos puedan establecer algunas conjeturas acerca de la relación entre las medidas de ∠AP B y ∠AQB.

a) Si usted fuese el profesor que realiza esta clase, ¿enunciaría en el momento de inicio de ésta la propiedad: dos ángulos inscritos en la circunferencia que subtienden el mismo arco tienen igual medida? Fundamente. b) Qué preguntas o indicaciones haría usted en la gestión de la clase y en qué momento de ella, para que los alumnos y alumnas realicen conjeturas acerca de las medidas de ∠AP B y ∠AQB, tomando en cuenta que se desea enfatizar la importancia de subtender el mismo arco. c) El profesor, en el cierre de su clase, establece con los estudiantes la propiedad han trabajado y su justificación. Para concluir, el profesor escribe: 146

Propiedad: dos ángulos inscritos en la circunferencia que subtienden el mismo arco tienen igual medida y dibuja la siguiente figura

Sin embargo, dos alumnas que estaban muy atentas a lo que sucedía cuando el profesor movía el punto Q, se dieron cuenta que los ángulos cambiaban de medida en algún momento y le preguntan a la profesora casi terminando la clase ¿por qué no siempre son iguales los ángulos?

Considerando lo anterior, responda las siguientes preguntas: i) ¿Es correcta la apreciación de las alumnas? o ¿ellas no entendieron la propiedad y sus restricciones? ii) Si usted fuese la profesora, ¿cómo respondería a las alumnas? Ejemplo 2 : Una profesora prepara la siguiente actividad de inicio de la clase: Observen la siguiente figura y respondan las preguntas que se hacen a continuación

i) ¿La medida del ángulo del centro ∠COD es igual a la medida del ángulo inscrito ∠AP B? Fundamente. 147

_

_

ii) ¿La medida del arco AB es igual a la medida del arco CD . Tomando en cuenta que en la clase anterior se trabajó la propiedad “la medida del ángulo del centro es el doble de la medida de un ángulo inscrito en un circunferencia, cuando ambos subtienden el mismo arco”, responda: a) ¿Qué haría usted en la clase si algunos alumnos plantean que el ángulo inscrito ∠AP B, mide la mitad del ∠COD? b) ¿Qué recursos utilizaría para que descubran que ambos ángulos tienen igual medida? c) Cómo gestionaría la clase para que los estudiantes comprendan que el teorema de la clase anterior no se aplica en el problema planteado? Indicador 13 : Analiza críticamente los enunciados de propiedades y definiciones geométricas elementales que aparecen en diversas fuentes, corrige las falencias detectadas o reconoce las condiciones que dan validez a dichos enunciados. Ejemplo 1 : En una página web sobre matemáticas se encuentra la siguiente afirmación: En todo cuadrilátero la suma de los ángulos exteriores es igual a 360 grados. Analice esta afirmación considerando alguna definición de ángulo exterior. ¿Es válida la afirmación en un cuadrilátero no convexo?

Ejemplo 2 : En algunos textos se presenta la siguiente definición: un ángulo recto es aquel que mide 90 grados. Muestre que esta definición es limitada y produzca una definición de modo que sea independiente del sistema de medición angular. Ejemplo 3 : En algunos textos se señala que todo cuadrado es un rectángulo y también que todo triángulo equilátero es un triángulo isósceles. a) Bajo que supuestos las afirmaciones anteriores son correctas. b) Las definiciones mencionadas anteriormente constituyen clasificaciones del tipo inclusivas. Busque otras definiciones inclusivas referidas a geometría en textos de enseñanza de 1° a 4° medio. Indicador 14 : Presenta demostraciones en clase para promover el uso de construcciones geométricas auxiliares. 148

Ejemplo 1 : Para demostrar que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° grados se traza una recta paralela a uno de los lados por el vértice opuesto. Describa cómo presentaría esta demostración a sus estudiantes y por qué es una estrategia adecuada. Ejemplo 2 : Una forma de demostrar que las alturas de un triángulo pasan por un mismo punto, es trazar rectas paralelas a los lados por vértices opuestos formándose así un nuevo triángulo en el cual las simetrales de los lados son iguales. Elabore un dibujo que ilustre lo anterior y describa cómo presentaría esta demostración a sus estudiantes.

Indicador 15 : Presenta demostraciones en clases para promover el razonamiento deductivo de los estudiantes.

Ejemplo 1 : Suponiendo que usted abordará la construcción de la circunferencia inscrita, responda las siguientes preguntas:

a) ¿Cómo demostraría a sus estudiantes que las tres bisectrices se intersectan en un único punto? b) ¿Cómo demostraría en clase que el incentro se encuentra a igual distancia de cualquier lado del triángulo? Justifique que sus argumentos son adecuados para el nivel al que se presentarán. Ejemplo 2 : En la clase posterior a la construcción de bisectrices, simetrales y sus propiedades, una profesora entrega a los estudiantes una hoja blanca con una parte de un triángulo ABC (vértice C fuera de la hoja) y solicitando que: i) Construyan un punto P tal que sea equidistante a los lados AC y BC, fundamentando sus procedimientos. ii) Construyan un punto Q tal que sea equidistante de los vértices B y C, fundamentando sus procedimientos. 149

Considerando lo anterior y respetando la condición que el vértice C no está en la hoja, responda las siguientes preguntas: a) ¿Qué propiedades piensa usted que podrían necesitarse para justificar la existencia de los puntos P y Q? b) Proponga una demostración de cada una de esas propiedades, tal como usted las haría en clases con los alumnos y alumnas del nivel correspondiente a las temáticas planteadas. c) ¿Es relevante la condición que el vértice C no esté en la hoja? Fundamente. Indicador 16 : Prepara evaluaciones que permitan identificar el logro de aprendizajes referidos a figuras planas. Ejemplo 1 : Para evaluar el logro del aprendizaje: “Conocen el Teorema de Thales sobre proporcionalidad de trazos y lo aplican en la resolución de problemas” un profesor utiliza la siguiente actividad: Determine la medida del ancho del río, sabiendo que CD=36 m, AB=20 m y AC=24 m, suponiendo que los bordes del río son paralelos.

a) ¿Usted considera que la actividad permite medir el logro del aprendizaje señalado? Fundamente. b) Elabore una pauta que permita asignar puntaje a un desarrollo completo de la actividad y poder calificarla con nota de 1 a 7. 150

c) Un profesor, al ver la actividad, plantea que es insuficiente para medir el logro del aprendizaje y sugiere hacer al menos dos problemas adicionales y pedir una demostración ¿usted está de acuerdo con la sugerencia dada? Fundamente. Ejemplo 2 : Para evaluar el logro del aprendizaje: “Conjeturan y demuestran propiedades geométricas asociadas a la proporcionalidad de trazos y a la semejanza de figuras planas, distinguiendo entre hipótesis y tesis” un profesor diseña la siguiente actividad: En la figura que se muestra a continuación se sabe que AB// CD

= CD . i) Demuestre que OC OA AB CA ii) Puesto que OC = OA + CA deduzca que OA = CD − 1. AB Respecto de la actividad planteada: a) Elabore una pauta que permita asignar puntaje a un desarrollo completo de la actividad y poder calificarla con nota de 1 a 7. b) ¿La actividad permite medir el logro del aprendizaje señalado? Fundamente. c) Al ver la actividad, otro profesor señala que es insuficiente para medir el aprendizaje declarado y sugiere hacer actividades adicionales ya que sólo con demostraciones no se cubre completamente lo trabajado en clases respecto al aprendizaje esperado. ¿Está usted de acuerdo con la sugerencia dada? Fundamente.

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Estándar 12 : Es capaz de conducir el aprendizaje de transformaciones isométricas y homotecias de figuras en el plano. El futuro profesor o profesora está preparado para planificar, conducir y evaluar procesos de aprendizaje de alumnos y alumnas en temas relativos a transformaciones isométricas y homotecias del plano. Es capaz de conducir el aprendizaje de los estudiantes en la realización de las construcciones geométricas con regla y compás de figuras elementales, justificando y explicando los procedimientos mediante lenguaje geométrico. Utiliza procesador geométrico para lograr la comprensión de los estudiantes en los temas de transformaciones del plano y construcciones geométricas. Sabe como promover en los estudiantes habilidades de análisis, resolución de problemas y argumentación. Lo que se manifiesta cuando:

Indicador 1 : Realiza construcciones con regla y compás que involucren los elementos secundarios de figuras geométricas, discutiendo la existencia y unicidad de las soluciones. Ejemplo 1 : Considere el triángulo ABC rectángulo en C:

Denotamos por ta , tb , tc a las transversales de gravedad también por ha , hb , hc a las alturas correspondientes a los lados a, b y c respectivamente y por bα , bβ , bγ a las bisectrices de los ángulos α, β, y γ. Construir los triángulos dados los siguientes elementos y analizando la existencia y unicidad de la solución: a) a, hc , ta b) p, β y tc c) a, bγ , α − β d) a + b + c, hc y γ. e) a, b, ha − hb . f) c, ha y tc . Ejemplo 2 : Considere el cuadrilátero de la figura: 153

Dados los siguientes elementos construir los cuadriláteros correspondientes analizando la existencia y unicidad de la(s) solución(nes). a) a, b, c, β, γ b) a, b, α, γ, δ c) a, b, e, α, δ Ejemplo 3 : Para un triángulo de lados a, b, c y ángulos α, β y γ, denotamos ta , tb , tc (ha , hb , hc ) las transversales de gravedad (alturas) correspondientes a los lados a, b y c respectivamente y bα , bβ , bγ las bisectrices de los ángulos α, β, y γ. Inscribir en una circunferencia dada un triángulo, dados los siguientes elementos y analizando la existencia y unicidad de la solución: a) a, hc b) α, β c) γ, tc . Indicador 2 : Utiliza transformaciones geométricas para la demostración de propiedades y la resolución de problemas. Ejemplo 1 : Considere el trapecio ABB 0 A0 con ABkA0 B 0 . Los lados AA0 y BB 0 se intersectan en I y los lados AB 0 y A0 B se intersectan en I 0 tal como se muestra en la figura:

a) Sea h la homotecia de centro I que transforma A en A0 , demuestre que h transforma B en B 0 . b) Sea k la razón de la homotecia h. Demuestre que la homotecia de centro I 0 de razón −k transforma A en B 0 y B en A0 154

c) Sean E y E 0 son los puntos medios de AB y A0 B 0 , demuestre que están alineados con I e I 0 . Ejemplo 2 : En un triángulo ABC denominamos G su centro de gravedad, H su ortocentro y O el centro de la circunferencia circunscrita. Los puntos medios de los lados AB, BC y CA son C 0 , A0 y B 0 respectivamente. Denotamos por O0 al centro de la circunferencia circunscrita a A0 B 0 C 0 .

a) Sea h la homotecia de centro G y razón −1/2. Pruebe que h transforma A en A0 , B en B 0 y C en C 0 , la circunferencia circunscrita a ABC en la circunferencia circunscrita a A0 B 0 C 0 y h(O) = O0 . b) Pruebe que h transforma a AH en la simetral de BC. c) Pruebe que h(H) = O. d) Concluya que G, H, O y O0 están alineados. La recta que los contiene se denomina recta de Euler. Indicador 3 : Relaciona conceptos de grupo, movimientos rígidos del plano, semejanza y congruencia. Ejemplo 1 : Demuestre, usando el teorema de congruencia LAL, que una rotación es un movimiento rígido, es decir que preserva distancia. Ejemplo 2 : utilizando teorema de Tales demuestre que toda homotecia lleva una recta a si misma o a una recta paralela. Ejemplo 3 : Demuestra que el grupo de movimientos rígidos no es conmutativo. Por ejemplo, considere dos reflexiones o una reflexión y una rotación. Indicador 4 : Conoce los grupos de frisos y teselaciones del plano. Ejemplo 1 : Sea t una traslación y s una simetría en el eje X. Determine las imágenes de una figura por t ◦ s. 155

Ejemplo 2 : El plano puede teselarse con triángulos equiláteros. Determine el grupo de movimientos rígidos asociados. Indicador 5 : Comprende que cualquier isometría del plano es una composición de reflexiones. Ejemplo 1 : Demostrar que la composición de dos reflexiones es o bien una traslación si las rectas son paralelas, o bien una rotación si las rectas se intersectan. Ejemplo 2 : Si B es el punto medio de AC, entonces qué tipo de isometría podría transformar: i) AB en CB, ii) AB en BC. Ejemplo 3 : Demuestre que la composición entre una rotación de 180◦ y una traslación es otra rotación en 180◦ . Indicador 6 : Conoce errores frecuentes y dificultades que presentan los alumnos y alumnas en las transformaciones isométricas y construcciones con regla y compás, y sabe como abordarlas. Ejemplo 1 : Un profesor o profesora preguntó a los alumnos y alumnas cuántos ejes de simetría tenía un rectángulo, a lo que la mayoría de ellos respondieron 4 ejes. a) Dibuje una posible respuesta de los alumnos y alumnas que pensaron en 4 ejes b) Escriba una definición de eje de simetría y relacione dicha definición con la respuesta de los alumnos y alumnas. Explique cuál aspecto de esta definición no está siendo considerado por ellos. Ejemplo 2 : Un estudiante plantea en clase: Profesor, si los triángulos isósceles son aquellos que tienen dos lados iguales entonces ¿por qué usted dice que el triángulo de lados 3cm, 3cm y 8cm no existe? ¿cómo no va a existir? A partir de esta situación indique, cuál es el error que presenta el alumno que le permite argumentar que el triángulo buscado no existe. ¿Cómo podría usted hacer que el alumno comprenda la no existencia del triángulo buscado? Indicador 7 : Comprende los contenidos del currículo escolar que se relacionan con los conceptos de congruencia y transformaciones isométricas de figuras planas. 156

Ejemplo 1 : Un objetivo de primero medio está dado por: Conocer y utilizar conceptos y propiedades asociados al estudio de la congruencia de figuras planas, para resolver problemas y demostrar propiedades. Considerando el objetivo anterior, responda: a) ¿Qué contenidos del eje geometría de sexto a 8° básico se relacionan con el objetivo fundamental dado? Fundamente la elección y secuencie los contenidos. b) ¿Qué contenidos de segundo a cuarto medio se relacionan con el objetivo fundamental dado? Fundamente la elección y secuencie los contenidos. Ejemplo 2 : Realice una secuencia de contenidos respecto a transformaciones isométricas que evidencie el progreso desde 7° básico hasta 4° medio. Fundamente por qué un contenido es prerrequisito de otro.

Indicador 8 : Diseña actividades que impliquen realizar contrucciones geométricas elementales, justificando y explicando los procedimientos realizados usando lenguaje preciso. Ejemplo 1 : Considere el siguiente contenido: “Construcción mediante regla y compás de ángulos y bisectrices, construcción de rectas paralelas y perpendiculares.” a) ¿Cómo explicaría la construcción de rectas perpendiculares y paralelas usando regla y compás, justificando la validez del procedimiento? b) A partir de la definición de bisectriz de un ángulo, ¿cómo justificaría a sus alumnos el procedimiento para bisectar un ángulo con regla y compás? Ejemplo 2 : Elabore una actividad cuyo objetivo sea construir con regla y compás un triángulo dados sus tres lados, considerando los siguientes aspectos: a) Ternas de longitudes que corresponden a los largos de segmentos que se quiere usar como lados de un triángulo. Incluya en su lista ternas que sirven y ternas que no sirven a este propósito, justificando su elección. b) Justificación del procedimiento. c) Conocimientos previos que deben tener sus alumnos.

Indicador 9 : Diseña actividades que impliquen realizar isometrías tanto con regla y compás como con un procesador geométrico, explicitando el aporte de estos medios a la comprensión de las características y propiedades de estos movimientos. Ejemplo 1 : Para reflejar un trazo L con regla y compás, considere el siguiente procedimiento: Desde A se traza la perpendicular AE al trazo L y se produce A0 con AE = EA0 . De igual forma se construye B 0 , tomando la perpendicular BF a L. 157

Usando lo anterior prepare una actividad de clase, cuyo objetivo sea deducir el procedimiento para reflejar polígonos con regla y compás. Indique que polígonos utilizaría en la actividad y en qué secuencia. Ejemplo 2 : Para componer reflexiones con un software se construye primero un polígono, por ejemplo un triángulo ABC, y una recta L. La instrucción “reflejar” el polígono con respecto a la recta L produce A0 B 0 C 0 . La reflexión de A0 B 0 C 0 con respecto a una segunda recta M produce un segundo triángulo A00 B 00 C 00 tal como se muestra en la figura:

Diseñe una actividad utilizando un software, cuyo objetivo sea que los alumnos conjeturen que al realizar la composición de reflexiones RM ◦RL se obtiene: a) Una traslación si L k M , indicando la distancia. b) Una rotación si M intersecta a L, indicando el ángulo de rotación y el centro.

Indicador 10 : Diseña secuencias de actividades para que los alumnos y alumnas comprendan el concepto de congruencia y sus criterios. Ejemplo 1 : Por el teorema de congruencia LLL sabemos que dos triángulos con lados iguales son congruentes. El siguiente procedimiento, puede ser utilizado para visualizar por que este criterio de congruencia es válido. Dados tres lados a, b, c construya dos triángulos con esos lados 158

Para superponer los dos triángulos, se puede realizar una traslación del triángulo A0 B 0 C 0 usando el vector A0 A. Luego, al coincidir A0 con A, se efectua una rotación de centro A y ángulo C 0 AC para superponer el triángulo A0 B 0 C 0 sobre ABC exactamente. A partir de este procedimiento diseñe una secuencia de actividades para el aprendizaje de los teoremas de congruencia. Ejemplo 2 : Un estudiante dice que los triángulos ABC y A0 B 0 C 0 de la figura no son congruentes porque no hay un criterio de congruencia que se pueda aplicar.

a) ¿Qué le respondería al estudiante sobre la congruencia de estos triángulos? b) Elabore una actividad que permita establecer esta situación de congruencia considerando las condiciones dadas.

Indicador 11 : Propone actividades para introducir el concepto de semejanza de figuras planas y sus criterios. Ejemplo 1 : Propone una actividad de clase considerando el uso de fotocopias ampliadas/reducidas para establecer con los alumnos y alumnas que dos segmentos son siempre semejantes explicitando la homotecia. Ejemplo 2 : Un estudiante al ver la figura de abajo, dijo que los triángulos ABC y ADE no son semejantes ya que tienen un lado que no es paralelo. 159

a) ¿Qué problemas de enseñanza pueden haber llevado a este error? b) Elabore una actividad de semejanza utilizando un procesador geométrico de manera tal que se visualice y jusfique la situación mostrada en la figura. Indicador 12 : Diseña actividades para promover la indagación, el planteamiento y análisis de conjeturas y discusión de soluciones a través de la construcción de triángulos. Ejemplo 1 : Elabore una actividad que permita a los alumnos y alumnas determinar las condiciones para construir triángulos a partir de los elementos primarios. Relacione las condiciones con los criterios de congruencia. Ejemplo 2 : Una guía contiene el siguiente problema en el que usted quisiera que trabajaran los alumnos y alumnas. Construir un triángulo dados el lado a, su proyección p sobre el lado c y la transversal de gravedad ta a) ¿Qué preguntas realizaría para que los alumnos y alumnas se dieran cuenta de las condiciones que surgen a partir de la longitud de los segmentos? b) Desarrolle una estrategia, para que los alumnos y alumnas puedan indagar posibles construcciones del triángulo a partir de los elementos dados. c) ¿Qué conjeturas podrían obtener los alumnos y alumnas de la construcción? Indicador 13 : Promueve en sus alumnos la capacidad de comprender un enunciado geométrico realizando figuras de análisis con los elementos involucrados. Ejemplo 1 : El siguiente enunciado tiene como objetivo construir la tangente a una circunferencia dada y que pasa por un punto exterior a ella. Sea O el centro de la circunferencia de radio r y P un punto dado fuera de ella. Sea A la intersección de OP con la circunferencia. La perpendicular a OP en A intersecta la circunferencia de centro O y radio OP en B. La recta OB intersecta la circunferencia dada en Q. La recta P Q es la tangente buscada. Explique a sus estudiantes la importancia de la figura de análisis en esta construcción y su incidencia en la discusión de la validez del procedimiento de las soluciones. 160

Ejemplo 2 : La siguiente construcción geométrica permite construir un cuadrado con igual área que un rectángulo dado. Sea ABCD un rectángulo dado como en la figura. Sea E un punto en la recta dada por BA tal que AE = AD. La perpendicular a AB en A intersecta la circunferencia de diámetro BE en X. Entonces 4AXE es semejante a 4ABX así AX/AE = AB/AX, es decir AX 2 = AB · AE = AB · AD. Diseñe una actividad para que los alumnos realicen esta construcción, explicitando como haría que sus alumnos relacionaran esta construcción con la de la raíz cuadrada.

Indicador 14 : Promueve el aprendizaje del teorema de Tales sobre trazos proporcionales y el teorema de Euclides en un triángulo rectángulo.

Ejemplo 1 : Determine los conocimientos matemáticos necesarios para que un alumno o alumna comprenda el teorema de Tales. Luego desarrolle una actividad declarando las preguntas que permitan a los estudiantes llegar a conjeturar el teorema. Ejemplo 2 : Un profesor propone a sus estudiantes el siguiente problema: En la figura BH k AE k CD k F G. Si BA = 6cm, AC = 4cm, CF = 5cm, AE = 28cm y CD = 44cm. Determine F G . 161

Al responder, unos alumnos suponen que así como los segmentos entre paralelas son proporcionales, también los segmentos determinados en las par6 alelas son proporcionales y plantean la proporción 28 = x5 de donde obtiene x = 23,33 cm. Al respecto, ¿qué preguntas haría al curso para promover la argumentación y la discusión acerca de la veracidad del valor de x y dar respuesta al problema planteado a través del teorema de Tales? Ejemplo 3 : En una clase de geometría, un profesor le pide a sus alumnos que realicen una figura geométrica que represente lo siguiente:En un triángulo rectángulo ABC, el cuadrado construido sobre la altura, es equivalente al rectángulo que tiene por lados las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. Si estuviera en esa situación, ¿qué preguntas realizaría a sus alumnos para que logren esa representación? ¿cómo utilizaría el teorema de Pitágoras para desarrollar la demostración de este teorema de Euclides?. Indicador 15 : Diseña instrumentos de evaluación referidos a la aplicación de isometrías a figuras geométricas planas y construcciones geométricas con regla y compás. Ejemplo 1 : Considere el siguiente objetivo: Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones. a) Elabore una tabla de especificaciones para diseñar una evaluación sumativa asociada a este objetivo. b) Construya ítemes de selección múltiple y de desarrollo que permitan medir el logro del objetivo propuesto. c) Para las preguntas de desarrollo diseñe las pautas de evaluación explicando la asignación de puntaje en cada una de ellas. Ejemplo 2 : El siguiente problema fue dado de tarea para que los estudiantes lo desarrollen grupalmente. Sea ABCD un cuadrado. En cada caso construya h(ABCD) donde h = g ◦ f . a) f es la reflexión en AB y g es la reflexión en CD. 162

b) f y c) f y

es la rotación de centro A y ángulo π/2 y g es la rotación de centro C ángulo π/2. es la rotación de centro A y ángulo π/4 y g es la rotación de centro C ángulo −π/4.

Considerando el problema anterior: a) Señale las habilidades involucradas en la resolución del problema planteado. b) Diseñe una rúbrica que permita evaluar el trabajo. Ejemplo 3 : Distribuya puntajes en una pauta de evaluación relativa al procedimiento de construcción del cuadrado, del triángulo equilátero, del hexágono regular, del dodecágono regular, dado el lado. Justifique cada uno de los puntos asignados.

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Estándar 13 : Es capaz de conducir el aprendizaje de los estudiantes en temas referidos a medida de atributos de objetos geométricos y el uso de la trigonometría. El futuro profesor o profesora está capacitado para planificar, conducir y evaluar procesos de aprendizaje de alumnos y alumnas en temas referidos a medida de atributos de objetos geométricos, así como la deducción y uso de fórmulas para su cálculo. Es capaz de promover el aprendizaje del teorema de Pitágoras y los teoremas básicos de trigonometría, enfatizando la resolución de problemas, el desarrollo de habilidades de cálculo, modelación y argumentación. Reconoce las complejidades conceptuales involucradas en estos contenidos y sabe dar explicaciones rigurosas pero adecuadas al nivel escolar de sus estudiantes. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Conoce aplicaciones de la trigonometría en la ciencia y la tecnología. Ejemplo 1 : Explique que significa triangular la posición de un objeto y como se usa este procedimiento para realizar mapas. Ejemplo 2 : Explique el procedimiento que realizó Eratóstenes para estimar el radio de la Tierra. Indicador 2 : Resuelve ecuaciones trigonométricas distinguiendo soluciones particulares de generales. Ejemplo 1 : Describa en detalle como utilizaría el círculo goniométrico para visualizar el conjunto solución de la ecuación 2 sen2 t − cos t − 1 = 0, primero con t ∈ [0, 2π) y luego con t ∈ R. Ejemplo 2 : Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica: sen(x) cos(x) −

1 sen(x) + 2 cos(x) − 1 = 0. 2

Indicador 3 : Presenta a los estudiantes actividades que permitan develar dificultades o errores frecuentes relacionados con el volumen de cuerpos geométricos. Ejemplo 1 : Una profesora propone la siguiente actividad a sus estudiantes: Tomen una hoja de papel tamaño oficio y hagan coincidir dos de sus bordes opuestos para formar un cilindro. Peguen los extremos yuxtapuestos. Ahora tomen otra hoja de papel del mismo tamaño y repitan la acción para formar otro cilindro pero empleando los bordes opuestos. ¿Tienen el mismo volumen estos dos cuerpos? ¿Qué error común pretende develar la profesora con esta actividad? 165

Ejemplo 2 : Considere el siguiente problema En un restaurante, Martín pide al mesero que "llene hasta la mitad"su copa de vino (que es perfectamente cónica). ¿Qué fracción de la capacidad de la copa es ocupada por esa cantidad de vino? Según este problema: a) ¿Qué podría anticipar cómo posibles respuestas de los estudiantes y por qué? b) ¿Cómo podría usted develar las posibles concepciones erradas que podrían tener los alumnos y alumnas en esta materia? Indicador 4 : Conoce dificultades que pueden tener los estudiantes al usar una calculadora para obtener valores de funciones trigonométricas. Ejemplo 1 : Explique como introduciría el uso de una calculadora científica para resolver ecuaciones del tipo cos x = 31 , anticipando los errores pueden cometer los alumnos al usar la calculadora. Ejemplo 2 : Un estudiante afirma que su calculadora le entrega que sen 30◦ = −0,98803. ¿Cuál cree que es el problema y qué indicaciones le entregaría?¿Cómo le explicaría al alumno en que contexo este número es correcto? Indicador 5 : Esta consciente de las dificultades que alumnos y alumnas pueden tener con la comprensión y uso del Sistema Internacional de Medidas y otros de uso corriente. Ejemplo 1 : A un estudiante le incomoda que se mida la capacidad de la maleta del automóvil en litros, ya que le parece que los litros miden cantidad de líquido. ¿Cómo aprovecharía éste conflicto para reflexionar, junto con sus estudiantes, acerca de las unidades patrón utilizadas? Ejemplo 2 : Proponga una actividad para que los alumnos perciban que significa 1m3 , calculando, por ejemplo el número aproximado de vasos de agua que hay en 1m3 de agua. Ejemplo 3 : En la clase se comenta la siguiente afirmación respecto al Metro de Santiago: Es tal el atochamiento de personas, que en cada metro cuadrado viajan 7 personas. Esto significa que cada persona tiene aproximadamente un espacio de aproximadamente 15 cm3 . ¿Qué preguntas haría a sus alumnos y alumnas para que comprendieran lo erróneo de la afirmación? Indicador 6 : Conoce las principales dificultades que se presentan en el aprendizaje del teorema de Pitágoras y su recíproco. Ejemplo 1 : Comente la relación entre el concepto de número irracional y el teorema de Pitágoras y cómo la introducción tardía de la raíz cuadrada puede afectar el tratamiento y la comprensión de dicho teorema. 166

Ejemplo 2 : Respecto del teorema de Pitágoras se conocen varios errores frecuentes. Para cada uno de los siguientes errores identifique un posible origen y proponga formas de abordarlos para evitarlos o superarlos: a) El teorema de Pitágoras no aplica a triángulos rectángulos isósceles. b) Confundir el teorema de Pitágoras con su recíproco y no reconocer su forma contrarrecíproca como equivalente. c) Reducir la validez del teorema de Pitágoras a triángulos cuyos lados tienen medidas de tríos pitagóricos. d) Aplicar incorrectamente el teorema de Pitágoras en triángulos rectángulos de lados a, b, c, cuando la hipotenusa no es c. Indicador 7 : Identifica conocimientos y habilidades necesarios para abordar la resolución de problemas geométricos. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: Una pita está enrollada de manera perfectamente simétrica en torno a una barra cilíndrica de 12cm de largo y 4 cm de contorno. La pita da exactamente 4 vueltas a la barra, tal como se muestra en la figura. Determine el largo de la pita.

a) ¿Qué contenidos previos deben tener los alumnos para abordar este problema? b) ¿En qué curso plantearía este problema? c) ¿Qué habilidades presentes en el currículo están en juego en la resolución de este problema? Ejemplo 2 : Considere el siguiente problema: En la pared interior de un vaso cilíndrico de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura, hay una gota de miel situada a 3 cm del borde del recipiente. En la pared exterior y en el punto simétrico, como se muestra en la figura, se encuentra una hormiga. ¿Cuál es el camino más corto que puede seguir la hormiga para llegar a la gota de miel?

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a) ¿Para qué curso es apropiado este problema? b) Identifique que conocimientos están involucrados en la resolución de este problema. c) ¿Cómo cree usted que los alumnos responderían a este problema? ¿qué dificultades podrían surgir? Indicador 8 : Diseña actividades de indagación que permitan estimar atributos de objetos que no sean posibles de medir directamente. Ejemplo 1 : A partir de los siguientes problemas: a) Determinar el espesor de la pared de una pompita de jabón, si se sabe que una gota de jabón con diámetro inicial de 2 mm produce una pompa de 15 cm de radio. b) Hallar el peso de una bola de madera de 30 cm sabiendo que metida en un recipiente con agua se sumerge 6 cm. proponga actividades para que alumnos y alumnas estimen atributos de objetos. Identifique posibles dificultades que pueden surgir. Ejemplo 2 : Proponga una secuencia de actividades que permita determinar el volumen del iceberg que flota por encima del nivel del agua y luego estimar la cantidad máxima de pinguinos de la especie "imperial"que pueden colocarse encima de ese iceberg, sin que se mojen, sabiendo que cada uno de ellos tiene un peso aproximado de 45 Kg. Para ello se entregan los siguientes datos: Un iceberg de volumen de 14.000 l, cuya densidad de 920 g/l, está flotando en el mar (agua salada) con densidad 1030g/l. Indique que supuestos habría que hacer y en qué orden entregaría los datos. Ejemplo 3 : Diseñe una actividad que le permita a sus estudiantes estimar la altura de un árbol, utilizando razones trigonométricas. Indicador 9 : Diseña actividades para ilustrar de qué manera un error en una medición lineal afecta el cálculo de áreas y volúmenes. Ejemplo 1 : Utilizando un mapa, proponga una actividad que tenga como objetivo que sus alumnos y alumnas aprecien como pequeños errores en la medición de longitud, pueden resultar en errores relativos significativos al calcular áreas. Ejemplo 2 : Considere la siguiente información: El volumen de los refrigeradores se mide en litros. Considere un refrigerador que el fabricante asegura que mide 80 cm de ancho, 90 cm de profundidad y 1, 7m de alto. Diseñe una actividad con esta información, para que sus estudiantes descubran que un error en las medidas lineales del refrigerador puede hacer una diferencia apreciable en el volumen de éste. Indicador 10 : Diseña actividades referidas a la deducción y aplicación de fórmulas de perímetro, área y volumen. 168

Ejemplo 1 : Proponga una actividad para que sus alumnos deduzcan la relación entre el área y el perímetro de una circunferencia, y estimen el perímetro de esta. Ejemplo 2 : Proponga una actividad cuyo objetivo sea que los alumnos deduzcan el volumen del cono truncado de radios circulares R y r y altura h, el cual está dado por 31 πh(R2 + Rr + r2 ). Ejemplo 3 : Considere el siguiente problema: En un cubo de arista a se inscribe un octaedro de tal manera que sus vértices están al centro de las caras del cubo. Obtenga la razón entre sus volumenes.

¿Cómo propondría este problema a sus alumnos? ¿Qué dificultades pueden tener para resolverlo? ¿Para qué nivel escolar es apropiado este problema?

Indicador 11 : Diseña actividades para la comprensión de las fórmulas de volumen. Ejemplo 1 : Diseñe una actividad para que los estudiantes comprendan la expresión del volumen de un cuerpo generado por traslación de una figura plana: V = hB, donde B es el área de la figura generadora y h la magnitud del vector de desplazamiento, donde este vector se considera ortogonal a la figura generadora. Ejemplo 2 : Diseñe una actividad para que los alumnos conjeturen el Principio de Cavalieri.

Indicador 12 : Diseña problemas y actividades cuya resolución involucre el teorema de Pitágoras Ejemplo 1 : Planifique √ actividad √ √ que permita a los estudiantes construir √ una geométricamente 2, 3, 4, 5, . . . utilizando la construcción sugerida en la siguiente figura. 169

Ejemplo 2 : Proponga un problema para sus alumnos y alumnas cuyo objetivo sea que demuestren que en el triángulo de la figura AC 2 −CE 2 = AB 2 −EB 2 ,

donde E es un punto cualquiera en la altura AD Identifique las posibles dificultades que podrían tener sus alumnos para resolver este problema.

Indicador 13 : Planifica actividades que permitan visualizar y demostrar el teorema de Pitágoras utilizando distintos medios. Ejemplo 1 : Explicite la discusión de la demostraciones del Teorema de Pitágoras que sugiere la figura, de modo que los alumnos y alumnas comprendan cuán genérico es el ejemplo utilizado, la necesidad de la hipótesis del ángulo recto, y se convenzan de la validez del teorema de Pitágoras. 170

Ejemplo 2 : Planifique una actividad, utilizando un procesador geométrico, cuyo objetivo sea que los alumnos visualicen el teorema de Pitágoras. Para esto considere las siguientes instrucciones:

a) Construya un triángulo rectángulo de vértices A, B y C, catetos a y b e hipotenusa c. Luego, construya cuadrados sobre los catetos y la hipotenusa tal como se muestra en la figura. 171

b) La demostración del teorema de Pitágoras consiste en cortar los cuadrados sobre los catetos y volver a reunir los pedazos de tal forma que configuren el cuadrado sobre la hipotenusa. c) Determine el centro X del cuadrado mayor (entre los construidos en los catetos) tomando la intersección de las diagonales. d) Por X construya la recta paralela a AB y obtenga el segmento HL. También construya la perpendicular por X a HL y obtenga el segmento KM , tak como muestra la siguiente figura:

e) Construya el cuadrilátero M CHX y trasládelo según el vector XA. Así 172

se obtiene una copia de este cuadrilátero en el cuadrado de lado C.

f) Haga lo mismo con los otros tres cuadriláteros trasladando el vértice X a los vértices G, F y B.

g) Traslade finalmente el cuadrado BCDE por el vector CY . Indicador 14 : Explica rigurosamente, con argumentos apropiados al nivel escolar, complejidades conceptuales involucradas en las definiciones de perímetro, área y volumen. Ejemplo 1 : ¿Qué propiedades de la suma y multiplicación son claves en la definición del área de una figura?¿Qué rol juega la propiedad distributiva? Ejemplo 2 : ¿Cómo explicaría a sus alumnos que el área de un polígono permanece invariante bajo movimientos rígidos? Indicador 15 : Explica rigurosamente, con argumentos apropiados al nivel escolar, complejidades conceptuales involucradas en trigonometría. 173

Ejemplo 1 : ¿Cómo explicaría a sus alumnos y alumnas que el seno de un ángulo es independiente del triángulo de referencia? Ejemplo 2 : ¿Cómo definiría a sus estudiantes el arc sen de un número? Indicador 16 : Dispone de estrategias para presentar y justificar las principales identidades trigonométricas. Ejemplo 1 : Explique de que manera justificaría a sus alumnos y alumnas que sen(x+y) = sen x cos y+cos x sen y. Plantee otras identidades que se obtengan a partir de esta y proponga una manera de presentarlas en una clase. Ejemplo 2 : Explique cómo expresar sen α en función de tan α2 . Indicador 17 : Analiza actividades de evaluación de aprendizaje referidas al uso de las razones trigonométricas y los teoremas del seno y del coseno para resolver problemas. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: El ángulo de elevación de un avión medido desde la cima de un edificio de 20 metros de alto es α y el ángulo medido desde la base del edificio es β. Encuentre la altura del avión en términos de α y β.

a) ¿Qué aprendizajes se pueden medir con este problema? b) ¿Qué habilidades están involucradas en este problema? c) Proponga una rúbrica para evaluar este problema. Ejemplo 2 : Considere el siguiente problema a ser utilizado en una evaluación: Para hallar la distancia entre dos puntos A y B en los márgenes opuestos de un río, un agrimensor traza un segmento de recta AC de d metros de longitud a lo largo de uno de los márgenes. También logra medir que ∠BAC = α y ∠ACB = β. Entregue una expresión que permita calcular la distancia entre A y B. 174

a) Encuentre valores específicos de d, α y β para que al plantear el problema a sus estudiantes, estos puedan resolverlo usando las funciones trigonométricas de ángulos notables. ¿Qué ventajas y desventajas puede tener plantear problemas con ángulos notables en lugar de usar ángulos arbitrarios? b) Determine los criterios de evaluación de este instrumento con los valores de d, α y β obtenidos en la parte anterior y proponga una pauta de solución. c) Proponga los criterios de evaluación cuando los valores de d, α y β hacen necesario el uso de una calculadora. Ejemplo 3 : Considere el siguiente problema: Un avión P de reconocimiento, que vuela a h metros del punto R sobre la superficie del mar, localiza una fragata S a un ángulo de depresión α y un buque tanque T a un ángulo de depresión β. El ángulo SP T se denota γ. Determine la distancia entre la fragata y el buque tanque en función de los parámetros h, α, β y γ.

A partir de este problema se desea diseñar una actividad de evaluación a ser trabajada en grupo. a) Proponga una secuencia de preguntas para esta actividad, indicando qué valores de parámetro entregaría para cada pregunta de la secuencia. b) ¿Cómo evaluaría esta actividad? Elabore una rúbrica para este fin. Indicador 18 : Prepara evaluaciones que permitan identificar el logro de aprendizajes referidos a volumen y área de cuerpos geométricos. Ejemplo 1 : Para el siguiente contenido: Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono. 175

a) Indique que aprendizajes espera que logren los alumnos y alumnas para este contenido. b) Diseñe una actividad utilizando un procesador geométricos para medir los aprendizajes indicados en la parte anterior. c) Señale indicadores que incluiría en una rúbrica para evaluar la actividad propuesta. Ejemplo 2 : Construya un instrumento de evaluación para el siguiente aprendizaje: Utliza estrategias para obtener el volumen en prismas rectos y pirámides en contextos diversos, y expresa los resultados en las unidades de medida correspondientes. Para este instrumento construya una pauta de desarrollo completo e indique niveles de logro y descriptores.

176

Estándar 14 : Es capaz de conducir el aprendizaje de la geometría analítica plana. El futuro profesor o profesora está capacitado para planificar, conducir y evaluar procesos de aprendizaje de alumnos y alumnas en temas de geometría analítica referidos a la descripción de lugares geométricos del plano tales como recta, circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Utiliza traslación y rotación de ejes, así como coordenadas polares y descripciones en ecuaciones paramétricas en el estudio de curvas planas y en la determinación de lugares geométricos. Sabe como promover en sus estudiantes el desarrollo de habilidades de visualización, indagación, argumentación y de resolución de problemas geométricos. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Resuelve problemas de geometría euclidiana con y sin coordenadas cartesianas, comparando ambos enfoques. Ejemplo 1 : Proponga dos demostraciones, una usando geometría euclidiana clásica y otra usando geometría analítica, para la propiedad Las bisectrices de un triángulo son concurrentes en un punto. Compare ambas demostraciones señalando ventajas y desventajas de ambos enfoques. Ejemplo 2 : Resuelva el problema siguiente con y sin empleo de coordenadas cartesianas. Localice el centro y radio de la circunferencia circunscrita en un triángulo ABC dado. Ejemplo 3 : Determine el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancia a dos puntos dados es constante. Observe que obtener la circunferencia de Apolonio como respuesta al lugar geométrico, es más sencillo con geometría analítica que con razonamiento euclidiano. Indicador 2 : Resuelve problemas que involucran lugares geométricos y cónicas en el plano. Ejemplo 1 : Determine el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una circunferencia y de un punto dado. Distinga los casos en que los puntos están en el interior y exterior. Ejemplo 2 : Dada la parábola de ecuación y 2 = 4ax, F su foco y un punto M = (x1 , y1 ) en ella: a) Demuestre que la tangente a la parábola en M tiene por ecuación: 2ax − y1 y + 2ax1 = 0. b) Emplee la ecuación de la tangente obtenida en a) para probar que la recta normal a la parábola es bisectriz del ángulo formado por la recta MF y la recta que pasa por M paralela al eje de simetría de la parábola. c) Usando el resultado obtenido en b) explique cómo funcionan las antenas parabólicas. 177

√ Ejemplo 3 : Pruebe que las rectas y = mx ± m2 a2 + b2 con m 6= 0 tienen sólo un punto en común con la elipse E : x2 /a2 + y 2 /b2 = 1, y son tangentes a ésta. Use este resultado para probar que si dos rectas tangentes a la elipse E son perpendiculares, entonces se intersectan en un punto de la circunferencia x2 + y 2 = a2 + b2 . Indicador 3 : Emplea coordenadas polares para el estudio de curvas y lugares geométricos. Ejemplo 1 : Describa en coordenadas cartesianas el conjunto: S = {(r, α) / −π < 4 π α < 4 , 2 < r < 4} descrito en coordenadas polares. Ejemplo 2 : Trace la gráfica de la curva descrita por la ecuación en coordenadas polares r = 2 + 2 cos α. Para ello, analice simetrías respecto al polo y al eje polar y las intersecciones con este eje. Indicador 4 : Resuelve problemas que involucran curvas planas parametrizadas. Ejemplo 1 : Dos partículas parten del instante t = 0 siguiendo las trayectorias indicadas por las curvas ½ ½ 8 x = 16 − t x = 2 sin π2 t 3 3 Partícula 1 Partícula 2 y = 4t − 5 y = −3 cos π2 t ¿Hay algún punto donde se intersectan las trayectorias de ambas partículas? ¿chocarán las partículas? Ejemplo 2 : Encuentre la ecuación de la cisoide de Diocles en coordenadas cartesianas, sabiendo que la ecuación polar de esta curva es ρ = 2r sin(φ) tan(φ). Indicador 5 : Utiliza rotación y traslación de ejes para estudiar cónicas. Ejemplo 1 : La cónica de la figura tiene ecuación u = 5 + v 2 donde u y v son variables en los ejes U y V . Encuentre la ecuación de la cónica anterior en las variables x, y (con respecto a los ejes X, Y de la figura).

Ejemplo 2 : Considere la curva de ecuación √ √ x2 − xy + y 2 − 2 2x + 2 2y = 0. Elimine el término en xy mediante una rotación apropiada de los ejes de coordenadas. Considere luego una traslación que le permita identificar la curva y todos sus elementos geométricos característicos. 178

Indicador 6 : Conoce las dificultades y errores frecuentes que cometen los estudiantes en geometría analítica, y posee estrategias para superarlos. Ejemplo 1 : Considere las siguientes afirmaciones erradas de estudiantes de enseñanza media: i) La pendiente de la recta de ecuación y = 2x + 6 es 2x. ii) La recta y = 3x + 4 corta al eje de las Y en el 4 y la recta y = 2x no lo corta. a) ¿Qué haría usted frente a las afirmaciones erradas señaladas? b) ¿Cuáles cree usted que son las causas de dichos errores? Ejemplo 2 : Considere la siguiente fórmula para hallar la ecuación de la recta y−y1 −y1 dados dos puntos de ella x−x = xy22 −x 1 1 Un estudiante señala que dicha fórmula, no sirve para los puntos (3, −1) y (3, 8). a) ¿Cómo explicaría usted al estudiante lo que allí está ocurriendo?. b) Si otro estudiante, plantea que para solucionar el problema basta con “dar −x1 1 vuelta la fórmula” es decir x−x = xy22 −y , ¿qué respondería usted respecto y−y1 1 al planteamiento del alumno? Indicador 7 : Articula los contenidos del currículo escolar referentes a geometría analítica y los relaciona con otros presentes en él. Ejemplo 1 : Explique cómo se articulan los contenidos del currículo referidos a Gravitación y Leyes de Kepler del plan diferenciado de física de 3º medio, con los contenidos de la unidad Lugares Geométricos. ¿Cómo podría aprovechar dichas conexiones en la enseñanza de lugares geométricos? Ejemplo 2 : Discuta qué contenidos del currículo en el eje de Álgebra son prerrequisitos para el estudio de la ecuación de la recta. Ejemplo 3 : Forme grupos con los contenidos del listado siguiente y explicite los criterios de agrupación usados. a) determinación de la ecuación de una recta dado un punto y su pendiente b) punto medio de un segmento c) condición de paralelismo de rectas d) coeficiente de posición e) determinación de la ecuación de una recta dados dos puntos de ella f) pendiente de una recta g) condición de perpendicularidad h) ángulo entre dos rectas i) determinación de la ecuación de una recta dados los interceptos con los ejes j) posiciones relativas de rectas en el plano k) determinación de la ecuación de la recta conocidos un punto y el ángulo que forma con el eje x l) distancia entre dos puntos del plano

179

Indicador 8 : Propone actividades para sus alumnos y alumnas en donde se emplean las coordenadas cartesianas para estudiar relaciones geométricas entre puntos y/o segmentos. Ejemplo 1 : En un libro de geometría se propone el siguiente problema: Dado un triángulo equilátero en el plano cartesiano, suponga que se conocen las coordenadas de dos de sus vértices. Desarrolle un método analítico que permita encontrar las coordenadas del tercer vértice. a) ¿Cómo cree usted que los estudiantes abordarían este problema? ¿Qué dificultades cree usted les podrían surgir a los estudiantes al resolverlo? b) Presente una solución de este problema, apropiada para ser presentada a los estudiantes. Ejemplo 2 : Proponga una actividad para que alumnos y alumnas deduzcan las fórmulas que permiten determinar la distancia entre dos puntos dados y las coordenadas del punto medio de un segmento dados sus extremos. Indicador 9 : Plantea actividades que estimulan a los alumnos y alumnas a realizar conexiones entre conceptos geométricos y otros conceptos matemáticos. Ejemplo 1 : Qué actividades podría elaborar para que sus estudiantes relacionen la noción de “pendiente entre dos puntos en el plano” con: 1. el concepto de razón de cambio. 2. la razón trigonométrica tangente. 3. el ángulo que forma una recta con el eje X. Ejemplo 2 : Considere las rectas de pendiente t para t ∈ R que pasan por el punto (−1, 0). Una de ellas intersecta a la circunferencia x2 + y 2 = 1 en un punto que depende de t. Muestre cómo esto se relaciona con los tríos pitagóricos tomando t = m/n. Indicador 10 : Propone problemas a los alumnos y alumnas que involucren representaciones cartesianas de rectas en el plano. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: Considere el triángulo ABC cuyos vértices están determinados por las intersecciones de las rectas x + 4y + 7 = 0, 6x + 5y − 15 = 0 y 4x − 3y + 9 = 0. i) Determine las coordenadas de los vértices del triángulo y el tipo de triángulo que es según las medidas de sus lados. ii) Localice el baricentro, ortocentro y circuncentro. iii) Demuestre que los tres puntos notables anteriores son colineales. Responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles cree usted que son las dificultades que pueden tener los alumnos y alumnas para resolver este ejercicio? b) ¿Cuáles son los conocimientos previos que los estudiantes deben tener para abordar este ejercicio? Ejemplo 2 : Proponga una actividad para que sus alumnos y alumnas demuestren que los segmentos de línea que unen los puntos medios de lados adyacentes de un cuadrilátero forman un paralelogramo, utilizano geometría analítica. 180

Indicador 11 : Planifica actividades orientadas a que los alumnos y alumnas analicen situaciones especiales al aplicar fórmulas de geometría analítica. Ejemplo 1 : Elabore una actividad para que sus estudiantes verifiquen que la expresión ax + by + c = 0 puede representar a cualquier recta en el plano, no así la expresión y = mx + n. Ejemplo 2 : Elabore una actividad para que los alumnos y alumnas reconozcan que para casos particulares de los parámetros A, B, C, D, E de la ecuación de la cónica Ax2 + Bx + Cy 2 + Dy + E = 0 puede representar un punto, una recta o el conjunto vacío Indicador 12 : Posee estrategias para promover la visualización y argumentación de los estudiantes referidas a la ecuación general de la recta y la noción de pendiente. Ejemplo 1 : Diseñe una actividad utilizando un procesador geométrico que permita a sus alumnos y alumnas visualizar las posiciones relativas de rectas y su pendiente

a) ¿Qué preguntas haría para que los alumnos y alumnas establezcan la caracterización de la perpendicularidad de las rectas en términos del producto de las pendientes?. Asegúrese de considerar el caso de una recta que es perpendicular a uno de los ejes coordenados. b) ¿Qué preguntas haría para que los alumnos y alumnas establezcan la caracterización del paralelismo de rectas en términos de sus pendientes? Ejemplo 2 : Explique como justificaría a sus estudiantes que si el producto de las pendientes de dos rectas es −1, entonces éstas son perpendiculares. Si un alumno o alumna le pregunta si se puede decir algo acerca de las rectas cuando el producto es 1, ¿qué le contestaría usted? Indicador 13 : Construye instrumentos para evaluar el aprendizaje referido a puntos, rectas y cónicas en el plano. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: Verifique que el largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio cuyos vértices son los puntos A=(-1,4), B=(-2,-5), C= (7,4) y D=(4,9), es igual a la mitad de la suma de los largos de los lados paralelos. Señale que logros de aprendizaje puede evaluar con este problema y construya una rúbrica que le permita medirlos. 181

Ejemplo 2 : Considere los gráficos siguientes de dos rectas en un plano cartesiano y describa una rúbrica que permita evaluar la obtención de un sistema de ecuaciones que represente a cada uno de ellos.

Ejemplo 3 : Considere el siguiente problema: Determine el valor de k tal que la recta de ecuación 2x + 3y + k = 0 sea tangente a la circunferencia unitaria. Encuentre los valores de k para los cuales se obtenga una recta secante y encuentre los valores para que sea una recta exterior. Considerando lo anterior, responda las siguientes preguntas: a) ¿Cuáles pueden ser las dificultades de los estudiantes para resolverlo? b) Diseñe una rúbrica para evaluar este problema.

182

Estándar 15 : Es capaz de conducir el aprendizaje de la geometría del espacio usando vectores y coordenadas. El futuro profesor o profesora está capacitado para planificar, conducir y evaluar procesos de aprendizaje de alumnas y alumnos, en temas referidos a elementos de geometría cartesiana y vectorial del espacio, tales como ecuaciones vectoriales y cartesianas de planos y rectas, promoviendo el desarrollo de habilidades de visualización, indagación, argumentación, y resolución de problemas. Es capaz de demostrar propiedades y resolver problemas que involucren rectas, planos, cuádricas, superficies regladas y de revolución. Conoce cómo se articulan los conceptos relacionados con vectores con otros contenidos presentes en el currículo escolar, particularmente en física. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Resuelve problemas de geometría en el plano y en el espacio utilizando vectores. Ejemplo 1 : Considere cuatro puntos no coplanares en el espacio, P , Q, R y S, los cuales definen un tetraedro. Se llaman medianas del tetraedro a los segmentos cuyos extremos son un vértice y el baricentro del triángulo formado por los restantes vértices. En total el tetraedro tiene cuatro medianas. Considere el segmento que va desde el baricentro M de QRS hasta el vértice P . Pruebe, usando vectores, que el punto del segmento M P que se encuentra a un cuarto de la distancia total del segmento partiendo de M tiene posición 1 (P + Q + R + S) 4 Deduzca que las cuatro medianas se intersectan en ese mismo punto. Ejemplo 2 : Considere un cuadrilátero ABCD. Si las diagonales AC y BD se cortan en sus puntos medios, demuestre utilizando vectores que el cuadrilátero es un paralelogramo. Indicador 2 : Comprende el concepto de producto punto entre dos vectores y lo relaciona con la noción de ángulo y proyección. Ejemplo 1 : Pruebe utilizando vectores que un paralelogramo es un rombo si y solo si las diagonales son perpendiculares entre sí. Ejemplo 2 : Encuentre las ecuaciones de los planos que bisectan los ángulos entre los planos x − 2y − 2z = 7 y 2x − 3y − 6z = −5. Ejemplo 3 : Calcule en cada caso la distancia del punto P a la recta y encontrar el punto Q de la recta donde se alcanza esa distancia. a) P = (3, 2, −1), recta: (x, y, z) = (2, 1, 3) + t(3, −1, −2). ½ x − 3y − 1 = 0 b) P = (1, −1, 3), recta 4y − z − 1 = 0 Indicador 3 : Comprende la noción de producto cruz entre dos vectores y lo interpreta geométricamente. 183

Ejemplo 1 : Sean V = (2, 1, −1), W = (−3, 2, 1) y Z = (−3, −2, 4). a) Calcule V × W b) Dibuje V , W y V × W en una figura c) Dibuje un paralelepípedo con volumen Z · (V × W ). Ejemplo 2 : Suponga que a 6= 0 con a ∈ R3 . a) Si a · b = a · c. ¿Es cierto que b = c? b) Si a × b = a × c. ¿Es cierto que b = c? c) Si a · b = a · c y a × b = a × c. ¿Es cierto que b = c? Indicador 4 : Resuelve problemas geométricos que involucran esferas, planos y rectas en R3 . Ejemplo 1 : Sean a, b ∈ R3 con a = 6 0 o b 6= 0. Demuestre que el conjunto solución de la ecuación (x − a) · (x − b) = 0 es una esfera y encuentre su radio y su centro. Ejemplo 2 : El punto P = (2, 3, 6) pertenece a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 49. Encuentre la ecuación del plano tangente a la esfera que pasa por P . Demuestre que cualquier recta que pasa por P corta la esfera en un punto Q 6= P , a menos que esté contenida en el plano tangente. Indicador 5 : Reconoce y parametriza algunas superficies regladas y de revolución. Ejemplo 1 : Considere la superficie formada por todas las rectas que pasan por 2 2 el punto P = (1, 1, 1) y algún punto de la elipse xa2 + yb2 = 1. Encuentre la ecuación de este lugar geométrico y determine las secciones definidas por los planos perpendiculares al vector (1, 1, 1). Ejemplo 2 : Parametrice la superficie de la figura, haciendo explícitos sus supuestos.

Indicador 6 : Relaciona superficies cuadráticas con su ecuación en forma canónica. Ejemplo 1 : Determine el lugar geométrico de los puntos P ∈ R3 para los cuales la distancia de P al eje X es el doble de la distancia de P al plano Y Z. Identifique esta superficie y bosquéjela. Ejemplo 2 : Clasifique y bosqueje las siguientes superficies cuadráticas: 1. x2 + 4y 2 + 2z 2 − 2x + 32y + 8z = 27. 184

2. 4x2 + y 2 − z 2 + 12x − 2y + 4z = 12. Indicador 7 : Utiliza coordenadas cilíndricas y esféricas para describir conjuntos en R3 . Ejemplo 1 : Describa las siguientes ecuaciones en coordenadas esféricas y cilíndricas: a) x2 − y 2 − 2z 2 = 4 b) x2 + y 2 = 2y Ejemplo 2 : Bosqueje el sólido descrito por las siguientes desigualdades: a) r2 ≤ z ≤ 2 − r2 , donde (r, θ, z) representan coordenadas cilíndricas, es decir x = r cos θ, y = r sen θ, z = z. b) −π/2 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ π/6, 0 ≤ ρ ≤ sec φ, donde (ρ, θ, φ) representan las coordenadas esféricas de un punto, es decir x = ρ sen φ cos θ, y = ρ sen φ sen θ, z = ρ cos φ. Indicador 8 : Conoce las dificultades y errores de los estudiantes con el concepto de vector, sus propiedades y operatoria y posee estrategias para superarlas. Ejemplo 1 : Una estudiante se siente confundida porque ha escuchado llamar a (1, 0, 0) el vector dirección de un recta y también decir que una recta pasa por el punto (1, 0, 0). Ella reflexiona ¿el vector es un punto o es una flecha? ¿Qué haría usted para resolver la duda de la alumna? Ejemplo 2 : Algunos profesores señalan que los vectores siempre comienzan en el origen del sistema de coordenadas. Sin embargo a veces, la diferencia de vectores genera un vector A que no parte del origen, tal como lo muestra la figura

¿Qué propondría usted para subsanar esta dificultad? Indicador 9 : Conoce la organización de los contenidos de geometría del espacio en el currículo escolar y su articulación con otros subsectores de aprendizaje. Ejemplo 1 : ¿En qué niveles del currículo escolar y en cuáles contenidos específicos aparece el tratamiento vectorial para trabajar en geometría del espacio, y con qué propósitos? 185

Indicador 10 : Conoce la articulación de los contenidos relacionados con vectores con otros presentes en el currículo escolar.

Ejemplo 1 : Indique qué contenidos del sector de física de primero y 2° medio, se relacionan con los contenidos acerca de vectores presentes en el eje de geometría en 1° medio. Ejemplo 2 : Indique una secuencia de contenidos que muestre la evolución de los temas referidos a vectores desde de la recta en el plano, hasta la descripción de rectas y planos en el el espacio.

Indicador 11 : Planifica actividades que permitan a los alumnos y alumnas visualizar y describir cuerpos geométricos generados a partir de traslaciones y rotaciones de figuras planas.

Ejemplo 1 : Diseñe una clase cuyo objetivo sea introducir cuerpos generados por rotación y traslación de figuras. Para esto aborde las siguientes preguntas: ¿qué dificultades cree usted que surgen al momento de describir cuerpos geométricos generados a partir de traslaciones o rotaciones de figuras planas? ¿cómo caracterizaría usted estos cuerpos?¿qué ejemplos utilizaría para ejemplificar cuerpos que no se generan por rotación o traslación? Ejemplo 2 : Planifique una actividad usando material concreto, que le permita caracterizar prismas usando traslaciones y cuerpos redondos usando rotaciones.

Indicador 12 : Diseña actividades que promuevan la visualización de rectas y planos en el espacio.

Ejemplo 1 : Diseñe una clase referida a la visualización de dos planos y tres planos en el espacio y sus posibles intersecciones utilizando un procesador gráfico. Ejemplo 2 : Proponga una actividad grupal para que alumnos y alumnas de 3° medio visualicen las figuras que se generan al intersectar un plano con un cubo, como muestra el ejemplo de la figura 1. En esta actividad los alumnos y alumnas deben describir condiciones que deben cumplir los planos para obtener cada una de estas figuras. 186

Indicador 13 : Posee estrategias para enseñar el concepto de vector en R2 y en R3 , sus propiedades y operatoria.

Ejemplo 1 : Planifique una clase en donde se aborde el contenido: Suma de vectores para describir traslación de figuras geométricas a) Construya los indicadores de logro que se relacionan con el contenido b) Diseñe una evaluación de proceso para evaluar los logros de aprendizaje referidos al contenido planteado. Ejemplo 2 : Diseñe una actividad para que los estudiantes relacionen la suma de vectores con el desplazamiento. Indicador 14 : Elabora instrumentos o actividades para evaluar los contenidos referentes a vectores y a la representación de planos y rectas en el espacio.

Ejemplo 1 : Indique qué distractores consideraría para la siguiente pregunta: El triángulo 4ABC de la figura se desplaza hasta el triángulo 4A0 B 0 C 0 . ¿Cuál es el vector desplazamiento? 187

Ejemplo 2 : Considere el siguiente aprendizaje: Identifican y describen puntos, rectas y planos en el espacio y deducen la ecuación vectorial de una recta y su relación con la ecuación cartesiana. a) Redacte dos indicadores de logro de este aprendizaje. b) Elabore tres preguntas para una prueba que mida el logro de los aprendizajes. c) Indique cómo asignaría los puntajes en cada una de las preguntas de la parte anterior.

188

Estándar 16 : Comprende aspectos fundantes de la geometría euclidiana y algunos modelos básicos de geometrías no euclidianas. El futuro profesor o profesora comprende la independencia del V Postulado de Euclides y como surgen otros modelos geométricos. Comprende aspectos básicos de la geometría proyectiva tales como punto al infinito, razón doble y cuaternas armónicas; aspectos básicos de la geometría esférica tales como área y ángulos y, de igual forma, elementos básicos de la geometría hiperbólica a través del modelo de Poincaré, relevando sus similitudes y diferencias con la geometría euclidiana. Conoce hitos importantes en la historia de las ideas geométricas y su relación con otros ámbitos de la cultura universal tales como el arte. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Comprende nociones básicas de geometría proyectiva: puntos al infinito, razón doble y cuaternas armónicas. Ejemplo 1 : Dados cuatro puntos sobre una misma recta r se define la razón doble de cuatro elementos por: (ABCD) =

AC AD : BC BD

a) Al permutar los puntos A, B, C, D tenemos 14 razones. Determine los valores de estas razones en términos de (ABCD). b) Dibuje una recta r0 y en ella los puntos A0 , B 0 , C 0 , D0 , como en la figura. Demuestre que (ABCD) = (A0 B 0 C 0 D0 ). Ejemplo 2 : Una cuaterna se dice armónica si (ABCD) = −1.

189

En la figura, si proyectamos desde M obtenemos que (ABCD) = (P QHD). Si proyectamos desde N tenemos (ABCD) = (QP HD). a) Pruebe que (P QHD) = −1. b) Explique cómo resolver el problema: dados tres puntos A, B y D encontrar el punto C tal que (A, B, C, D) = −1 el cual se denomina el conjugado armónico de D respecto a AB. c) ¿Por qué la construcción anterior no depende del punto M elegido? d) Dibuje esta configuración con AP k CH k BQ. e) Relacione esta construcción con el dibujo artístico del punto medio.

Indicador 2 : Conoce elementos de la geometría proyectiva en procesos artísticos y creativos. Ejemplo 1 : El desafío de representar objetos tri-dimensionales en una superficie de dos dimensiones, llevó a través de los tiempos al descubrimiento del arte de la perspectiva. Fue en el renacimiento italiano donde León Battista Alberti presentó el primer modelo de una representación en perspectiva en el año 1435, la cual puede ser descrita del modo siguiente: Dado un plano π y el ojo del observador en O cada punto A del espacio define una intersección A0 en el plano como se muestra en la figura: Cada punto de un objeto en el espacio define así una traza, una imágen, en el plano.

Los pintores del Renacimiento empezaron a usar estas técnicas geométricas: dibujaban primero un entramado de rectas y puntos que quedaría luego oculto por la pintura misma. a) Busque en internet o libros de arte los cuadros que se indican para observar los diseños de pisos, techos, mesas, etc. los que están dibujados en perspectiva: i) "La última cena"de Duccio di Buoninsegna (1310). ii) "La anunciación"de Ambrosio Lorenzetti (1344). iii) "Palazzo dei Signori"de Filippo Bruneschelli (1400). b) Un tratado teórico de estas técnicas fue escrito por Piero della Francesca alrededor de 1439 en Florencia cuando trabajaba con el pintor Domenico Veneziana. Este es un esquema geométrico para dibujar un embaldosado en perspectiva: 190

Dibuje postes de luz verticales en el embaldosado. Ejemplo 2 : Una de las construcciones fundamentales en la geometría proyectiva es dibujar el punto medio M de un segmento AB. Se utiliza las diagonales de un cuadrado en perspectiva (se reconoce aquí la configuración geométrica del conjugado armónico). Estas construcciones llevaron al nacimiento de la geometría proyectiva por Monge en 1810.

a) Al dibujar una circunferencia en perspectiva ¿qué figura queda? b) Dibuje rieles de ferrocarril en perspectiva. c) Dibuje un cubo en perspectiva.

Indicador 3 : Comprende conceptos básicos de la geometría esférica: área, ángulos y trigonometría.

Ejemplo 1 : Llamaremos Luna a la región de la esfera limitada por dos mitades de círculos máximos. 191

Si la luna cubre 1/8 de la esfera, el ángulo al vértice es de 360◦ /8 o bien 2π/8 radianes. Si suponemos que la esfera tiene radio 1, el área total de la esfera es S = 4π y entonces el área de la luna es 2α. Consideramos ahora un triángulo esférico de vértices A, B.C y ángulos α, β, γ (en radianes).

Observamos que hay dos lunas que pasan por A y A0 con ángulo α: una por el frente y la otra reflejada en el origen. De igual forma hay dos lunas por B y B 0 con ángulo β y dos lunas por C y C 0 con ángulo γ. Concluya que el área del 4ABC es α + β + γ − π. Ejemplo 2 : Considere en una esfera el triángulo rectángulo ABC.

Desde el vértice A tracemos el plano AP Q perpendicular al radio OB. a) Demuestre que P A ⊥ OB, P Q ⊥ OB y QA ⊥ OC. b) Observamos que ∠AP Q = B pues es igual al ángulo diedro B. Concluya que cos c = cos a cos b, es decir El coseno de la hipotenusa es igual al producto de los cosenos de los catetos que se denomina Teorema de Pitágoras en Geometría esférica. 192

Indicador 4 : Conoce aspectos básicos de la geometría hiperbólica a través del modelo de Poincaré. Ejemplo 1 : Demuestre que dos puntos en el plano de Poincaré determinan una única recta hiperbólica. Ejemplo 2 : Sean it, is dos puntos en el eje y. a) La distancia hiperbólica está dada por δ(it, is) = log

s t

si s > t.

b) Demuestre que el punto medio hiperbólico está dado por im con m =

√

st.

Indicador 5 : Comprende el problema de la independencia del postulado de las paralelas. Ejemplo 1 : Demuestre que por un punto fuera de una recta esférica no pasa ninguna paralela a esa recta que contenga al punto. Ejemplo 2 : Demuestre que por un punto fuera de una recta hiperbólica pasan infinitas rectas paralelas a ella. Indicador 6 : Conoce la historia del V Postulado y del surgimiento de la geometrías no euclidianas. Ejemplo 1 : Indique como a partir del V Postulado se demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo es 180◦ . Recíprocamente indique como con dos perpendiculares se puede construir por un punto P una paralela a una recta dada. Ejemplo 2 : Busque en interner o en libros de Historia de las Matemática las ideas respecto del V Postulado que tuvieron Karl Friedeirch Gauss, Nikolai Ivanivich Lobachevsky y Johann Bolyai. Muestre que si existen dos paralelas por un punto a una recta, existen necesariamente infinitas.

193

194

EJE DE DATOS Y AZAR

195

196

PRESENTACIÓN

La presencia de la estadística y las probabilidades en el currículo escolar es nueva, por lo que no existe tradición nacional en su enseñanza a nivel escolar ni en la formación de los profesores y profesoras. Así el eje de Datos y Azar del currículo escolar representa un enorme desafío tanto para el futuro profesor o profesora, como para las unidades formadoras. La introducción temprana de estas ideas corresponde a una tendencia mundial que reconoce su importancia en tres ámbitos relevantes: en la vida diaria de los ciudadanos para la comprensión de noticias, hechos y estudios y sus consecuencias en la toma de decisiones; como conocimiento de base de todas las disciplinas científicas y tecnológicas; y como herramienta para el desarrollo del pensamiento crítico. En este eje se han definido cinco estándares que describen los conocimientos, habilidades y competencias que el futuro profesor o profesora necesita para conducir con éxito el proceso de enseñanza y aprendizaje de los estudiantes de enseñanza media. En el Estándar 17 se consideran los aspectos básicos de estadística descriptiva, contemplando la identificación, concepción y formulación de problemas que requieren de la recolección de datos, su descripción y análisis, su comunicación gráfica y resumida. El futuro profesor o profesora conoce los principales esquemas muestrales y es capaz de representar y resumir los datos con diversas formas gráficas, medidas de tendencia y dispersión, tablas de dos variables, correlaciones y regresiones lineales. Integrando estos elementos queda capacitado para conducir el aprendizaje de la estadística descriptiva, incluyendo la familiarización con TIC y proporcionando criterios para una interpretación crítica de la información de los medios de comunicación. Los siguientes dos estándares están dedicados a las probabilidades y variables aleatorias discretas con una fuerte componente pedagógica. Es necesario que el futuro profesor o profesora tenga un dominio completo estos contenidos del currículo escolar, por lo que se le da una gran importancia a las representaciones y modelos para comprender técnicas de conteo e independencia. La aproximación empírica de las probabilidades es un elemento clave tanto desde el punto de vista conceptual, como pedagógico. El Estándar 18 está dedicado a las probabilidades y a las técnicas de conteo. Se refiere a las simulaciones e ilustraciones con materiales concretos de casos de eventos equiprobables así como no equiprobable. Trata también de las probabilidades condicionales y las relaciones de independencia y dependencia de eventos aleatorios, los teoremas de probabilidad total y de Bayes. Este estándar se refiere también a la modelización de fenómenos con incerteza, incluyendo técnicas de representación, de conteo y de cálculo de probabilidades. El estándar aborda las dificultades y errores frecuentes del aprendizaje de los conceptos de probabilidades discretas y de las técnicas de conteo. En el Estándar 19 aparecen las variables aleatorias discretas, cuestión de gran importancia en el currículo por sus conexiones con el eje de álgebra. Con énfasis en 197

los procesos de conteo, se introducen los conceptos de esperanza, varianza, esperanza condicionales. El Estándar 20 está centrado en la distribución normal y los teoremas límite. El futuro profesor o profesora conoce y aplica los conceptos básicos de variables aleatorias continuas, la funciones densidad y distribución, la esperanza, la varianza y los percentiles. Conoce la distribución uniforme, la exponencial y la normal y las aplica a la resolución de problemas. Conoce ley de los grandes números y el teorema central del límite y los aplica en la resolución de problemas. El futuro profesor o profesora es capaz de conducir el aprendizaje de las ideas de aproximación de la binomial por la normal y del teorema central del límite, ilustrándolos con simulaciones y motivando su utilidad en contextos relevantes para los estudiantes. El Estándar 21 trata de los elementos básicos de la inferencia estadística. El futuro profesor o profesora es capaz de construir e interpretar intervalos de confianza con varianza conocida y desconocida. Conoce dificultades típicas de los alumnos y alumnas en el aprendizaje de estos conceptos, conoce estrategias de motivación, de enseñanza y evaluación para intervalos de confianza, ligando con contenidos previos. El futuro profesor o profesora comprende el significado de los test de hipótesis en contextos decisionales y de reporte científico. También conoce los conceptos de p-valor y su interpretación, significancia estadística y su relación con tamaños muestrales.

198

Estándar 17 : Es capaz de motivar la recolección y estudio de datos y de conducir el aprendizaje de las herramientas básicas de su representación y análisis. El futuro profesor o profesora comprende que la estadística contempla la identificación, concepción y formulación de problemas que requieren de la recolección de datos, su descripción y análisis, su comunicación gráfica y resumida, junto a una medida de confiabilidad de los procedimientos. Para ello conoce los principales esquemas muestrales para la recolección de datos y es capaz de representar datos de diversas formas gráficas y proporcionar su descripción usando medidas de tendencia y dispersión, tablas de dos variables, correlaciones y regresiones lineales. Integra críticamente estos elementos, estando capacitado para conducir el aprendizaje de estas prácticas básicas de la estadística, incluyendo la familiarización con TIC, proporcionando criterios para una interpretación crítica de la información de los medios de comunicación. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Comprende la importancia que tiene la forma de presentar los datos de manera gráfica y conoce las precauciones que deben considerarse al utilizar estas herramientas.

0.010 0.005 0.000

Density

0.015

Ejemplo 1 : Para describir datos, como por ejemplo el ingreso familiar o los precios de bienes básicos, a menudo se utilizan diversos esquemas gráficos, como por ejemplo, histogramas, diagramas de torta y diagramas de cajas. a) Mediante ejemplos concretos, muestre la importancia que tiene la elección de las escalas para las variables cuando se desea describir correctamente los datos. b) Muestre cómo esto podría afectar la interpretación de la variabilidad de los datos. c) ¿De qué forma puede describirse la variabilidad de los datos de manera que dicha descripción sea invariante bajo transformaciones de escala? Ejemplo 2 : Se dispone de los resultados de la prueba SIMCE de matemáticas del año 2004, correspondientes al promedio por establecimiento educacional. Con el fin de analizar estos datos, y en particular tener una descripción de su variabilidad, se construyeron dos histogramas: el primero consideró 9 clases, mientras que el segundo consideró 50 clases.

200

250

300

Puntaje Promedio Matemáticas SIMCE 2004

199

350

0.020 0.015 Density

0.010 0.005 0.000 200

250

300

350

Puntaje Promedio Matemáticas SIMCE 2004

¿Cuántas subpoblaciones sugiere cada histograma? Discuta cómo el número de clases considerado en la construcción del histograma puede afectar la conclusión que se extrae del mismo. Ejemplo 3 : Se dispone de los puntajes de la prueba SIMCE de Matemáticas 2006, a nivel de cada estudiante. Con estos datos se han diseñado dos histogramas alisados (con 500 clases): en línea punteada se ha representado la distribución de puntajes de estudiantes que pertenecen establecimientos municipalizados; en línea continua, la distribución de puntajes de estudiantes que pertenecen a establecimientos particulares pagados.

0.006 0.004 0.000

0.002

Densidad

0.008

Histogramas alisados

100

200

300

400

Puntaje SIMCE Matemáticas 2006

a) De acuerdo a la información representada gráficamente, ¿cómo compararía los altos rendimientos SIMCE de estudiantes pertenecientes a establecimientos municipalizados, con bajos rendimientos de estudiantes pertenecientes a establecimientos particulares pagados? b) ¿Es correcto lo que la prensa podría afirmar, a saber que el rendimiento escolar en los establecimientos particulares pagados es mucho mejor que en los municipalizados? ¿Qué se puede afirmar a partir de la representación gráfica? c) ¿Qué importancia cree usted que tiene el tamaño relativo de cada población al momento de responder las preguntas anteriores? Indicador 2 : Conoce, calcula e interpreta los principales indicadores estadísticos de una muestra de datos numéricos. 200

Ejemplo 1 : El resumen de cinco números: valor mínimo, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y valor máximo, se usa a menudo para describir un conjunto de datos. a) ¿Cuáles son las razones para usar estos indicadores para representar un conjunto de datos? ¿Qué ventajas tienen frente a media y varianza? Justifique sus respuestas. b) Considere el resumen de cinco números: (3, 10, 15, 17, 27). Esboce distintos histogramas con datos que den origen al resumen de cinco números dado. Haga un análisis de las situaciones representadas, incluyendo en su discusión las precauciones que hay que tomar al momento de usar estos indicadores. Ejemplo 2 : Considere los resultados SIMCE de varios cursos paralelos de un mismo establecimiento educacional Curso

2o 2o 2o 2o 2o

A B D E F

N o De alumnos evaluados 43 43 39 35 43

Lenguaje Media 267 285 271 277 286

Matemática Desviación 30 35 34 31 32

Media 284 300 286 286 278

Desviación 39 42 41 38 36

a) Compare los rendimientos de Lenguaje de cada curso ¿podría decir que alguno de los cursos tiene rendimiento superior a otro? Justifique su respuesta. b) Se ha comparado los resultados del curso F y se indicó que Claramente les va mejor en Lenguaje que en Matemática ¿Qué reparos le merece esta comparación si el promedio nacional de Lectura fue 255 con desviación 53 y el de Matemática fue 250 con desviación 60?. Ejemplo 3 : En la realización de un experimento químico se toma la temperatura del reactor cada 10 minutos. Para este efecto se dispone de un termómetro digital que entrega los datos en grados Farenheit. Una vez finalizado el experimento se hace un informe destacando los siguientes estadísticos: primer quintil, desviación estándar, media, moda, valor mínimo, valor máximo y tercer quintil. Estos resultados deben presentarse en grados Celcius, grados Farenheit y grados Kelvin. Las transformaciones correspondientes son: C = (F − 32) ∗ 5/9 K = C + 273,15 donde C es la temperatura en grados Celcius, F es la temperatura en grados Farenheit y K es la temperatura en grados Kelvin. a) Indique la unidad de cada uno de los estadísticos considerados, si la temperatura se expresa en grados Celcius. b) Indique cuáles estadísticos permanecen invariantes cuando se cambian las unidades de medida de temperatura. 201

c) Encuentre la fórmula de transformación de los estadísticos que no se mantienen invariantes.

Indicador 3 : Utiliza diagrama de cajas para interpretar y comparar conjuntos de datos.

Ejemplo 1 : Con el fin de analizar el impacto de un programa de Aprender a comer sano, sobre el rendimiento físico de los escolares, se ha diseñado la Prueba de los 500 metros. Esta prueba consiste en una carrera de 500 metros en línea recta y en terreno plano, que se aplica en dos oportunidades a cada estudiante, una al iniciar el programa y la otra, tres semanas después, al finalizar el programa. En un establecimiento educacional se tomó la Prueba de los 500 metros a 100 estudiantes y los resultados se presentan en la siguiente tabla, donde se indica la diferencia entre el tiempo logrado en la primera medición y el tiempo logrado en la segunda medición, expresada en segundos, para cada uno de los 100 estudiantes:

0.047 -0.022 0.452 2.077 -0.623 -1.451 -0.214 1.685 -3.304 -0.070 1.813 0.883 0.761 -0.538 -0.512 18.273 0.552 3.483 0.269 -0.652 2.474 0.820 -0.560 -0.411 -1.920

0.081 -0.554 -7.489 1.661 -0.324 0.031 -2.256 -1.593 3.001 -3.484 1.397 -0.281 1.352 3.626 -0.819 1.539 -2.339 0.306 0.188 0.331 0.654 -0.283 2.545 7.941 -0.696

0.452 -0.954 0.465 -0.116 -1.305 -0.738 0.642 12.511 -1.293 1.487 0.376 0.912 0.716 0.569 0.418 0.733 0.179 1.146 2.078 -0.419 0.983 0.118 -0.220 -1.038 -0.892

-0.196 -0.810 -0.086 -2.766 -3.400 -0.297 -1.351 -0.156 2.026 -1.053 0.838 -0.344 2.406 -2.692 -1.688 -0.049 -1.188 -0.674 -1.001 -0.015 -0.332 9.671 -0.458 -1.160 0.043

A fin de analizar el impacto que tuvo el programa de alimentación sana sobre el rendimiento físico, el profesor de Educación Física obtuvo el diagrama de cajas correspondiente a dichos datos: 202

15 10 5 0 −5

350 300 250 200 150

Puntaje promedio SIMCE Matemáticas 2006

400

a) ¿Qué se puede concluir de la efectividad del programa sobre el rendimiento físico en relación al 75 % de los estudiantes? b) Los datos atípicos, ¿sustentan empíricamente una efectividad positiva o negativa del programa de alimentación sana sobre el rendimiento físico? c) ¿Es posible afirmar que la efectividad del programa sobre el rendimiento físico es positiva para el 50 % de los estudiantes, y negativa para el 50 % restante? d) ¿Cómo replantearía sus conclusiones si supiese que la diferencia de tiempos sigue una distribución t de Student de esperanza 0 y dos grados de libertad? Ejemplo 2 : Se dispone de los resultados, promedio por escuela, de la prueba SIMCE de matemáticas aplicada a los 2os años medios en el año 2006. A partir de estos datos se han construido 5 diagramas de cajas, cada uno correspondiente a los datos de las escuelas de un nivel socio-económico, como ha definido el Ministerio de Educación: A, B, C, D y E, donde el nivel A es el más bajo.

A

B

C

D

E

a) ¿Cuál de los cinco grupos socio-económicos muestra la mayor variabilidad de puntajes? b) ¿Qué se puede afirmar del grupo de escuelas de nivel A comparado con el grupo de escuelas de nivel B? 203

c) ¿Es correcto afirmar que todos los colegios de nivel E obtienen un puntaje SIMCE promedio mayor que los colegios de nivel D? Indicador 4 : Conoce diferentes esquemas muestrales y comprende la importancia de la elección de la muestra y del sesgo muestral. Ejemplo 1 : Para un estudio sobre obesidad infantil en una comuna del sur de Chile, se ha decidido realizar una encuesta entre los estudiantes de educación básica (primero a octavo año). Para ello se dispone de la lista de todos los colegios y escuelas de la comuna, con sus respectivos alumnos y alumnas, listados por cursos. Por motivos presupuestarios solo es posible encuestar a 2000 estudiantes del total de 35000 que atiende el sistema escolar, distribuidos en 200 establecimientos. Se han propuesto tres esquemas muestrales: (i) Esquema A: Elegir 100 establecimientos al azar y en cada establecimiento elegir al azar 20 estudiantes. (ii) Esquema B: Enumerar de 1 a 35000 todos los estudiantes de la comuna y elegir al azar los 2000 estudiantes de la muestra. (iii) Esquema C: Ordenar a los estudiantes de cada establecimiento de 1 a n (donde n es el número de alumnos del establecimiento) y elegir 10 alumnos al azar de cada establecimiento. a) Compare los tres esquemas propuestos, indicando ventajas y desventajas. Elija el que cree que es más conveniente para el estudio indicado arriba, justificando su respuesta. b) ¿Qué información adicional cree que sería conveniente tener para proponer un mejor esquema muestral? c) Haciendo supuestos sobre la información de la pregunta anterior, diseñe un esquema muestral que permita obtener una mejor muestra. Justifique su respuesta. Ejemplo 2 : Una cadena de supermercados está interesada en averiguar qué proporción de sus clientes prefiere comprar en sus establecimientos por razones económicas y qué proporción lo hace por razones de ubicación. Para los propósitos del estudio, un investigador debe diseñar un esquema muestral que permita obtener una muestra adecuada. La cadena consta de 20 establecimientos distribuidos en la ciudad y se dispone de los montos totales de ventas de cada uno. La muestra a elegir será de 2000 clientes. a) ¿Cuáles, cree usted, son los aspectos más importantes a considerar al elegir a los clientes a quienes se consultará? b) Si no dispone de información adicional ¿Qué esquema muestral propondría? c) Si se ha decidido que se consultará a 100 clientes de cada establecimiento ¿Cómo elegiría a cada encuestado? d) ¿Qué información adicional cree usted que podría ser útil tener con el fin de proponer un mejor esquema muestral? e) Haciendo supuestos sobre esta información adicional, proponga un nuevo esquema muestral.

204

Indicador 5 : Calcula e interpreta el coeficiente de correlación en regresión lineal y comprende el significado de punto influencial y de punto atípico. Ejemplo 1 : Ordene los siguientes gráficos de acuerdo al coeficiente de correlación.

Ejemplo 2 : Un estudio en desarrollo cognitivo pretende relacionar la edad (meses) a la cual un niño pequeño dice su primera palabra, con el resultado del test de Gessel tomado un tiempo más tarde. La siguiente tabla describe las observaciones hechas con 21 individuos. Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Edad 15 26 10 9 15 20 18 11 8 20 7

Test 95 71 83 91 102 87 93 100 104 94 113

Caso 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Edad 9 10 11 11 10 12 42 17 11 10

Test 96 83 84 102 100 105 57 121 86 100

a) Haga una regresión lineal con el objeto de explicar el resultado del test de Gessel con la edad de la primera palabra. En base a la regresión encontrada ¿Cuál sería el resultado del test de Gessel de un niño que dijo su primera palabra a la edad de 21 meses? b) Calcule e interprete el coeficiente de correlación entre las variables. c) Identifique los puntos influenciales y los puntos atípicos. ¿Es 18 influencial o atípico? d) Elimine la observación número 18. Calcule el nuevo coeficiente de correlación. ¿Cambiaría su respuesta en a)? ¿Cree usted que la edad de la primera palabra predice bien el resultado del test de Gessel?

205

Indicador 6 : Comprende el rol de la variable dependiente, de la variable independiente y de los errores en la regresión lineal simple. Ejemplo 1 : Explique el rol de la variable dependiente y de la variable independiente en una regresión lineal simple. ¿Son intercambiables? Indique el supuesto estadístico en esta elección, en cuanto a los errores en la variable independiente. Ejemplo 2 : Para estimar los parámetros de la recta yi = α + βxi , se minimizan los cuadrados de las distancias entre los valores observados yi y el valor predicho de la observación yi , denotada por yˆi , pero se podrían considerar otras opciones. a) ¿Explique cuál es la ventaja de minimizar los cuadrados de las distancias y no los módulos de las distancias, o las potencias cúbicas? b) ¿Por qué no considerar los cuadrados de las distancias entre los valores observados xi y el valor predicho en la variable xˆi , es decir diferencias horizontales en lugar de verticales? Indicador 7 : Conoce desarrollos históricos del coeficiente de correlación. Ejemplo 1 : En 1888, Francis Galton publicó un trabajo titulado Co-relations and Measurement, chiefly from Anthropometric Data (este texto está disponible en http://galton.org). En parte de este trabajo, Galton se interesa por estudiar la relación que hay entre el largo del dedo medio izquierdo de varones y sus alturas. Denotemos por Yi el largo del dedo medio izquierdo de un varón i, mientras que su altura la denotamos por Xi . A fin de estudiar la relación entre Yi y Xi , Galton considera los datos centrados por sus respectivas medias y normalizados por sus respectivas desviaciones, es decir, Y i − µY Yei = , σY

e i = Xi − µX , X σX

donde µY es la media de las mediciones Yi ’s, similarmente µX ; y σY es la desviación estándar de las mediciones Yi ’s, similarmente σX . Galton realiza la regresión lineal entre estas variables, lo cual le permite no sólo calcular el coeficiente de correlación, sino que además interpretarlo como una relación lineal. ei +²i , a) Estime los parámetros α y β de la regresión lineal simple Yei = α+β X donde ²i es un residuo o error de medición. ei = γ +δ Yei +ηi , b) Estime los parámetros γ y δ de la regresión lineal simple X donde ηi es un residuo o error de medición. c) Compare ambos resultados y relacione sus estimaciones con el coeficiente de correlación entre Yi ’s y Xi ’s. Discuta por qué el coeficiente de correlación debe interpretarse en términos de asociación lineal. d) ¿Cómo ayuda la comparación anterior a enfatizar el hecho que un coeficiente de correlación no debe interpretarse en términos causales? Ejemplo 2 : C. Spearman, psicólogo y estadístico, realizó importantes contribuciones a la teoría de correlación. Uno de los conceptos fundamentales desarrollados por Spearman es el de correlación parcial. En su trabajo titulado 206

Demonstration of Formulae for True Measurement of Correlation, publicado en 1907 en The American Journal of Psychology, encontramos la siguiente discusión, que resumimos así: sea X la capacidad que tiene una persona de discriminar el peso, Y la capacidad que tiene de discriminar el tono, y Z la edad de dicha persona. Spearman estaba interesado en analizar la correlación entre X e Y . Sin embargo, tanto X como Y están correlacionados con Z, y por lo tanto cabe preguntarse si la correlación entre X e Y se debe a Z o no. A fin de controlar el efecto de la variable Z, Spearman dedujo el coeficiente de correlación parcial entre X e Y , una vez que se controla por Z, el cual está definido como ρXY − ρXZ ρY Z ρXY.Z = p (∗), (1 − ρ2XZ )(1 − ρ2Y Z ) donde ρXY denota el coeficiente de correlación entre X e Y . De manera similar se definen ρXZ y ρY Z . a) Definamos U como la diferencia entre X y la recta de regresión entre X y Z que se obtiene por mínimos cuadrados ordinarios. Similarmente, definamos V como la diferencia entre Y y la recta de regresión entre Y y Z que se obtiene por mínimos cuadrados ordinarios. Las variables U y V se conocen como residuos de regresión. Demuestre que la correlación entre U y V coincide con ρXY.Z . b) Use la igualdad anterior para proponer una explicación del coeficiente de correlación parcial. En particular, discuta cuál es la relevancia de correlacionar los residuos U y V . Indicador 8 : Conoce los elementos básicos de las tablas de contingencia, y las utiliza para interpretar relaciones entre observaciones. Ejemplo 1 : El uso de Tablas de Contingencia constituye una herramienta valiosa que permite ilustrar la relevancia de la estadística en el análisis de fenómenos sociales. Consideremos el nivel educacional del padre y de la madre de los estudiantes chilenos de acuerdo a los datos del SIMCE aplicado el 2006 a los estudiantes que cursaban segundo año de Enseñanza Media. Las columnas de la siguiente Tabla de Contingencia corresponden a los niveles educacionales de la madre, y las filas corresponden a los niveles educacionales del padre: BI BC MI MC TPI TPC UI UC

BI 17278 4823 3844 2481 100 190 96 97

BC 5093 7407 3940 3683 147 306 145 166

MI 3447 4675 12091 7688 409 883 412 495

MC 2633 3837 7340 23785 1437 3281 1723 2911

TPI 123 179 416 1129 704 879 350 597

TPC 250 479 1126 3499 856 4087 1390 3646

UI 58 105 232 778 204 460 709 1325

UC 89 168 428 1766 388 1247 1030 7746

Los niveles educacionales son los siguientes: Enseñanza básica incompleta (BI); Enseñanza básica completa (BC); Enseñanza media incompleta (MI); Enseñanza media completa (MC); Enseñanza técnico profesional incompleta (TPI); Enseñanza técnico profesional completa (TPC); Enseñanza universitaria incompleta (UI); Enseñanza universitaria completa (UC). Responda las siguientes preguntas: 207

a) ¿Cómo se interpreta cada celda de la tabla de contingencia? b) ¿Cuál es el total de padres que tienen nivel educacional BI? ¿y BC, MC, etc? c) ¿Cuál es el total de madres que tienen nivel educacional BI? ¿y BC, MC, etc? d) ¿Es posible afirmar a partir de estos datos que las madres tienden a asociarse con padres de mayor o igual nivel educacional? Justifique. e) ¿Qué forma tendría la tabla de contingencia si no existiese asociación entre el nivel educacional del padre y el nivel educacional de la madre? f) ¿Qué podría concluir si la tabla de contingencia bajo análisis tuviese cantidades positivas en la diagonal, y fuera de ella sólo celdas nulas? g) ¿Considera importante para responder las preguntas anteriores representar la tabla de contingencia con porcentajes? Ejemplo 2 : Las Tablas de Contingencia son útiles para representar cierta dependencia entre dos variables. Considere la siguiente discusión (debida a Pearson): Sean X e Y dos variables, donde X tiene 4 niveles e Y tiene 6 niveles. Sea nij la cantidad de observaciones tales que para X se observa el nivel i, y para Y se observa en nivel j, donde i = 1, 2, 3, 4 y j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sea, finalmente, N el total de observaciones, es decir, N=

4 X 6 X

nij .

i=1 j=1

Diremos que X e Y no están asociados si: nij n•j = ni• N

pata todo i y j,

(∗)

o equivalentemente ni• n•j N

nij = donde ni• =

6 X

nij ,

pata todo i y j,

n•j =

j=1

4 X

nij .

i=1

En base a la definición anterior, se define una medida de asociación entre X e Y como: 4 X 6 ³ X i=1 j=1

ni• n•j ´2 . nij − N

(∗∗)

a) ¿Qué significa la falta de asociación entre X e Y ? Interprete la definición de falta de asociación en términos de probabilidades discretas y discuta qué ventaja tiene la definición original de Pearson, la cual se propone en términos no-probabilísticos. b) ¿Por qué resulta razonable medir la intensidad de asociación entre X e Y por medio de (**)? Relacione esta definición con la distancia euclideana entre dos vectores. 208

c) Ilustrar las consideraciones anteriores con datos simulados y con datos reales. Discuta el concepto de asociación entre dos variables en una Tabla de Contingencia de 2 × 2 y proporcione una interpretación en término de probabilidades discretas. Indicador 9 : Conoce las dificultades de los alumnos y alumnas con los conceptos: muestra, estadístico y tablas de frecuencias. Ejemplo 1 : Observe el siguiente problema. La edad media de los 175 alumnos y alumnas de una escuela es de 8 años, y la de los 12 adultos (profesorado y personal) es de 40 años. ¿Cuál es la edad media de todas las personas de la escuela? Un alumno plantea el siguiente procedimiento y respuesta. Fácil, sólo se suman y se dividen por 2 y listo! 40 + 8 = 24. 2 La media es 24 años a) ¿A qué cree que se debe el error que cometió el alumno? b) Determine una estrategia que permita al alumno encontrar el procedimiento correcto tomando como base el procedimiento errado propuesto por el alumno. Ejemplo 2 : Dado el siguiente problema: La mediana del siguiente conjunto de notas de una prueba: 1, 5, 1, 6, 1, 6, 7 es: a) 1; b) 4; c) 5; d) 6; e) otro valor. a) Una de las respuestas erroneas de los alumnos y alumnas es marcar d). ¿Cuál cree usted que es la causa? b) Indique otros errores que los alumnos y alumnas pueden cometer y mencione a qué se deben. c) Para cada uno de los errores determine una estrategia que permita subsanar el error partiendo de la respuesta incorrecta. Ejemplo 3 : Observe el siguiente problema que se aplicó a un curso: En un test aplicado a 30 personas y con puntajes de 0 a 60, se obtienen los siguientes puntajes: Puntuación Frecuencia

[0,10) 1

[10,20) 2 209

[20, 30) [30, 40) [50, 60] 8 15 4

1. Realiza un histograma y un polígono de frecuencia con los datos anteriores. 2. Calcula e interpreta el percentil 10. a) Uno de los alumnos realizó el siguiente histograma

¿A qué se deben los errores del alumno en el gráfico presentado? Elabore una estrategia que permita subsanar dichos errores. Determine otros dos errores que los alumnos y alumnas puedan cometer y para cada uno de ellos elabore una estrategia que permita corregirlos. b) Algunas respuestas observadas para la parte 2, fueron: El percentil 10 es 3 puntos. El percentil 10 es 20 puntos. Significa que el 10 % de los estudiantes obtuvo 20 puntos. ¿Qué errores están cometiendo los alumnos o alumnas? ¿Cómo se puede evitar que cometan estos errores? Indicador 10 : Identifica las dificultades de los alumnos y alumnas frente a distintos aspectos del muestreo y posee estrategias para superarlas. Ejemplo 1 : Un estudio realizado entre los estudiantes de una comuna del norte de Chile revela que la proporción de zurdos alcanza al 11 %. Este titular puede ser un buen punto de partida para la discusión de errores frecuentes en el uso de muestras. Para cada uno de los siguientes errores, dé un ejemplo que permita a sus estudiantes darse cuenta de ellos. a) Sacar una conclusión a partir de una muestra correspondiente a otra población. b) Sacar una conclusión sobre la población a partir de una muestra sesgada. c) Sacar una conclusión sobre la población a partir de una muestra muy pequeña. d) Sacar una conclusión sobre una población mucho más grande que la población a la que pertenece la muestra. e) A partir del resultado del estudio, sacar una conclusión sobre una muestra pequeña. Ejemplo 2 : Los alumnos y alumnas a menudo cometen los siguientes errores con respecto al significado de una muestra y de la media muestral: a) Piensan que: Aunque la muestra no sea muy grande, si está bien elegida entonces la media muestral estará muy cerca de la media de la población. b) Creen que: La media muestral es muy parecida a la media de la población, sin importar el tamaño de la muestra. 210

Proponga una estrategia para cambiar estas concepciones. Ejemplo 3 : En un colegio se quiere hacer cambios en el patio de recreos porque gran parte de éste está dedicado a una cancha de fútbol, que es utilizada por muy pocos. Por esta razón se quiere eliminar la cancha de fútbol y poner allí algunos árboles y plantas. Esta situación ha provocado cierta polémica entre los estudiantes y fue aprovechada por un profesor de matemática para proponer a su curso realizar un estudio para conocer la opinión de los estudiantes de todo el colegio. Les propuso al curso realizar un estudio que involucrara solo 10 estudiantes, porque era muy difícil preguntarle a todos y les pidió que decidieran a quienes preguntarle. Aquí se presentan algunas respuestas de los estudiantes: A los presidentes de los consejos de cursos, porque son los representantes elegidos por cada curso. A 5 mujeres y 5 hombres, para que sea equitativo y porque si no se eligen así vamos a tener reclamos. A los que juegan fútbol, porque a ellos les importa más. Habría que preguntarle a todos para saber realmente, no se puede preguntar sólo a unos pocos. Comente las respuestas de los estudiantes y a partir de ellas plantee preguntas que les haría para establecer una discusión que les permita comprender la importancia de la elección de una buena muestra. Indicador 11 : Articula los contenidos de estadística descriptiva con otros del currículo escolar. Ejemplo 1 : Considere el siguiente contenido de 7° básico Caracterización de la representatividad de una muestra, a partir del tamaño y los criterios en que esta ha sido seleccionada desde una población. Discusión acerca de cómo la forma de escoger una muestra afecta las conclusiones relativas a la población. a) Determine qué contenidos estadísticos debiera poseer un alumno o alumna para abordar el contenido declarado. b) ¿Qué relación tiene este contenido con el eje de Ciencias referido al Pensamiento Científico? c) ¿Qué contenidos de 3° y 4° medio están relacionados con éste? Ejemplo 2 : El siguiente diagrama muestra una secuencia para abordar una investigación.

211

Género Masculino Femenino Femenino . .

Edad en años 8 8 9 . .

Rendimiento Académico Regular Bueno Muy Bueno . .

Número de notas rojas a la fecha 0 3 4 . .

Cuadro 1: Rendimiento Académico a) Considere que sus alumnos quieren realizar un estudio de tipo experimental comparativo. i. ¿Qué conocimientos serían necesarios para poder desarrollarlo? ii. Si el experimento consiste en averiguar la capacidad de los estudiantes para recordar palabras, considerando dos grupos de distintas edades. ¿En qué curso se podría abordar?. Fundamente su respuesta. a) Elabore una secuencia de gráficos, desde 7° básico hasta 4° medio, que se puedan abordar en las fases análisis e interpretación de datos. Indicador 12 : Conoce y comprende la progresión en el currículo escolar de los conceptos de estadística descriptiva. Ejemplo 1 : Un Profesor entrega a sus estudiantes una base con datos de los alumnos de su curso: Les pide que realicen un análisis de los datos, el cual incluya medidas de resumen y gráficos adecuados. De acuerdo al currículo escolar: a) Indique qué conocimientos respecto a medidas de resumen deben tener los alumnos y alumnas para realizar el análisis solicitado. b) Indique qué conocimientos respecto a gráficos, deben tener los alumnos y alumnas para realizar el análisis solicitado. c) ¿En qué nivel escolar se podría realizar esta actividad? Ejemplo 2 : Considere el siguiente contenido curricular: Construcción de tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos. a) Indique cuáles son los conocimientos previos que debieran tener los estudiantes para afrontar con éxito el contenido. b) ¿Qué importancia cree que tiene el trabajo con datos agrupados en intervalos en el eje datos y azar? c) Indique el nivel escolar al que debería pertenecer el contenido dado. Indicador 13 : Es capaz de usar TIC en la enseñanza de conceptos de estadística descriptiva, reconociendo las dificultades que los alumnos pueden presentar con ellas. 212

Ejemplo 1 : Observe el siguiente contenido. Organización y representación de datos, usando histogramas, polígonos de frecuencia y frecuencias acumuladas, construidos manualmente y con herramientas tecnológicas. a) Señale qué TIC resultan adecuadas para tratar el contenido planteado. Utilícelas para diseñar una actividad que trate dicho contenido. b) Determine ventajas y desventajas asociadas al uso de TIC para la realización de las tareas que se mencionan en el contenido, en comparación a la realización de ellas de forma manual. c) ¿Qué ventaja tiene construir en un software el polígono de frecuencias acumuladas para la enseñanza de percentiles? d) Identifique posibles dificutades y errores que los alumnos pueden presentar al utilizar programas computacionales para realizar gráficos en una planilla de cálculo. Ejemplo 2 : Considere la siguiente actividad de una guía de estadística de 4° medio. La siguiente tabla muestra los niveles de lectura de tres cursos dados en porcentaje. Curso 1 Curso 2 Curso 3 Nivel 1 43 22 37 Nivel 2 17 36 29 Nivel 3 40 32 34 Elabore un gráfico con una planilla de cálculo que permita mostrar de mejor forma la información de la tabla. a) ¿Qué información se quiere comunicar con los datos de la tabla? b) ¿Qué gráfico permite representar de mejor forma la información de la tabla? Fundamente su respuesta c) Dos estudiantes mostraron los siguientes gráficos.

d) ¿Qué elementos no consideraron los alumnos o alumnas que permitieron a la planilla de cálculo mostrar dichos gráficos? e) ¿Qué elementos debe considerar un buen gráfico? Indicador 14 : Planifica clases y unidades de estadística descriptiva, considerando los conocimientos previos de los alumnos y alumnas. 213

Ejemplo 1 : En 1° medio los estudiantes deben ser capaces de analizar datos agrupados en intervalos, calculando e interpretando medidas de tendencia central y percentiles. Planifique una unidad para abordar estos temas con estudiantes de 1° medio: a) Indique qué conocimientos y habilidades previas deben tener los estudiantes para abordar esta unidad. b) Indique cuántas clases cree usted que son necesarias para completar esta unidad. c) Describa brevemente el propósito de cada clase. d) Describa brevemente las actividades que usted realizará en cada clase. e) Describa brevemente las actividades que realizarán los estudiantes en cada clase. f) Indique en qué elementos basará su estrategia de motivación a lo largo de la unidad. Justifique. Ejemplo 2 : Considere la siguiente actividad sobre el significado y uso de la desviación estándar: El profesor comienza la clase contando la historia de una persona que no sabía nadar y que murió ahogado en un canal de profundidad promedio 1,2 metros, aún cuando esta persona medía 1,8 metros. Luego explica a los alumnos que la varianza es una medida del riesgo: a mayor la varianza, mayor el riesgo. A continuación el profesor divide al curso en dos grupos y los invita a decidir sobre la apuesta para un juego. Se trata de una máquina que entrega un número N cuando se apreta un botón. El derecho de jugar, es decir, de apretar el botón, cuesta $ 3000 y el premio es N . Cada grupo jugará con una máquina distinta, de las cuales se conoce un conjunto de 100 valores de N que ha entregado la máquina en el pasado. A cada grupo le entrega una planilla de cálculo con sus correspondientes 100 datos. (Los datos de cada grupo han sido generados con una distribución normal. Los datos de ambos grupos tienen un promedio de $ 3200 y en el caso del grupo 1 tienen una desviación estándar $ 200, mientras los datos del grupo 2 tienen una desviación estándar de $1800). Después de un tiempo de trabajo se invita a un representante de cada grupo que diga cuál es la decisión del grupo: juega o no juega, y que justifique su elección. Planifique una clase a partir de esta situación. a) ¿Qué preguntas cree usted que harán los estudiantes sobre el significado y el valor que tienen los datos entregados? ¿Cómo responderá? b) Una vez que han analizado los datos ¿Qué respuestas posibles cree que pueden dar cada uno de los grupos? Prevea posibles justificaciones que tendrá cada uno de los grupos. Prevea posibles discrepancias que pueden producirse al interior de los grupos. c) ¿Cómo manejaría la discusión si los dos grupos llegan a la misma conclusión? d) ¿Qué variaciones a los datos introduciría para hacerlo más interesante? Justifique. e) ¿Cuál cree usted puede ser el efecto del siguiente cambio en las reglas: si la máquina entrega N menor o igual a $ 3000 entonces se pierden los $ 214

389 334 379

357 316 492

252 319 385

284 212 365

85 98 306

215 234

352 378

398 260

386 242

229 351

Cuadro 2: Octavo año A 445 332 416

376 316 345

497 323 442

524 534 401

248 242 512

586 410

520 462

535 473

428 435

257 326

Cuadro 3: Octavo año B 3000? f) Una vez que cada grupo ha respondido y ha justificado sus respuestas, usted muestra un histograma con cada conjunto de datos y hace un análisis de estos. ¿Qué enfatizaría? Justifique. g) Indique cómo organizaría una discusión final y a qué conclusión trataría de llegar. Indicador 15 : Analiza actividades para que los alumnos y alumnas reconozcan la importancia del análisis de datos con el fin de sustentar afirmaciones. Ejemplo 1 : Un profesor o profesora propone el siguiente problema a estudiantes de 8° básico: Un establecimiento educacional está interesado en analizar si el 8° básico A lee con mayor o menor precisión que el 8° básico B. Para ello, escogieron al azar 25 estudiantes de cada curso. Cada alumno y alumna leyó en voz alta un mismo texto, el cual era relativamente largo, y se contó el número de palabras erróneamente leídas. Los resultados se presentan en la siguientes tablas de frecuencias:

A partir de los datos obtenidos, la coordinadora de lenguaje de los 8° básicos concluye que el 8° año A tiene mayor precisión que el 8° año B. Para ello, la profesora calculó el promedio obteniendo para el octavo año A, 304,72 palabras erróneamente leídas y para el octavo año B, un promedio de 415,4 palabras erróneamente leídas. Ante esta evidencia, la directora del colegio felicita al octavo año A, diciéndole: “todos ustedes saben leer bastante bien en voz alta”. No estando conformes con la conclusión, los estudiantes del octavo B quieren estudiar si es posible corregirla, para lo cual quiere utilizar sus conocimeintos de análisis descriptivo de datos. ¿Qué tipo de análisis podemos sugerir, y cómo redactamos las conclusiones? a) ¿Considera que este es un problema adecuado para enfatizar la necesidad de hacer un análisis descriptivo de datos que vaya más allá de comparar dos promedios? Justifique. 215

b) Los estudiantes han decidido calcular la desviación estándar para cada conjunto de datos. ¿Qué otro análisis descriptivo de datos sugeriría para poder complementar (y eventualmente corregir) la conclusión que se ha extraído a partir de la comparación de medias? c) Los estudiantes deciden finalmente hacer gráficos. Usando una planilla de cálculo ellos producen varios gráficos, pero no logran obtener algo útil ¿Qué gráfico sugeriría? ¿Cómo se logra con la planilla de cálculo? d) ¿Cómo explotaría este problema para discutir el concepto de variabilidad muestral? ¿Cómo transmitiría a sus estudiantes que este concepto es importante para proporcionar una conclusión adecuada de los datos en el contexto de una comparación? Ejemplo 2 : Considere el siguiente texto: Repetidas veces se comparan dos o más poblaciones o grupos utilizando la media. Así, por ejemplo, en el año 2008, el ingreso per cápita de un chileno era de 10.000 dólares, mientras que el ingreso per cápita de un finlandés era de 52.000 dólares, y el de un coreano del sur de 20.000 dólares. Si se utiliza esta información, podríamos decir que un coreano tiene un ingreso equivalente al doble del de un chileno, y un finlandés tiene un ingreso igual al quíntuple del ingreso de un chileno. Suponga que usted está realizando una clase y que da a conocer este texto a sus estudiantes. a) Suponga que los estudiantes no entienden el significado de ingreso per cápita ¿Cómo lo explicaría? b) ¿Cuál cree usted que será la reacción a este texto? c) ¿Qué información adicional entregaría a los alumnos y alumnas estimular la discusión y para que vayan viendo la importancia del concepto de variabilidad al interior de cada grupo? d) Utilizando una planilla de cálculo simule otro conjunto de datos para continuar la discusión sobre variabilidad ¿Qué características deberían tener estos nuevos datos? e) Si usted quiere que sus alumnos y alumnas hagan un análisis usando diagramas de cajas ¿Cómo justificaría su uso? Indicador 16 : Analiza la pertinencia y la gestión de actividades cuyo objetivo es el cálculo e interpretación de los percentiles. Ejemplo 1 : Una profesora entrega a sus alumnos una tabla con percentiles: Percentil p Estatura (m)

10 1,50

25 1,54

30 1,55

40 1,57

50 1,59

65 1,63

75 1,65

80 1,67

85 1,68

y les pide que encuentren una distribución de datos compatible con estos valores. Cuando los estudiantes han producido una respuesta, les pide que produzcan otras distribuciones con las mismas propiedades. Teniendo en cuenta la situación descrita: a) ¿Qué cree que quiere lograr la profesora con sus alumnos? ¿Le parece importante que ella pida más de una distribución con las características dada? Justifique. 216

95 1,70

b) ¿Qué rol le daría a la determinación gráfica de percentiles? Justifique. c) ¿Qué rol le daría a la determinación manual de percentiles en el caso de datos no agrupados? ¿y en el caso de tablas de frecuencias? Fundamente. d) ¿Qué rol le daría al uso de tecnología? Justifique. e) ¿Qué ejemplos usaría para motivar el cálculo de percentiles tomando en cuenta los posibles intereses de sus alumnos y alumnas? Considere al menos dos escenarios distintos, indicando los supuestos que hace sobre los alumnos y alumnas a quienes estarían dirigidos los ejemplos. Ejemplo 2 : En el cálculo de percentiles para datos agrupados en intervalos a menudo se usa la siguiente fórmula: pk = Lk +

kN 100

− Fk−1 ak , fk

k = 1, 2, ..,99.

Dos profesores se encuentran discutiendo, ya por media hora, sobre el tema de la enseñanza de percentiles. José dice: -Yo pienso que esta fórmula no sirve para nada, en años anteriores mis alumnos se aprendieron de memoria la fórmula y nunca entendieron el concepto de percentil. A lo que replica Juanita: -No estoy de acuerdo, yo encuentro que la fórmula ayuda a comprender mejor el concepto de percentil. Yo le pido a mis estudiantes que cuando la usen, hagan un dibujito y con eso me aseguro que comprenden la fórmula. Jorge, que escuchaba la discusión, se acerca y dice: -Yo no les enseño fórmulas para el cálculo de percentiles, solo les pido que usen un software que bajé de internet cada vez que necesitan calcular uno. Me aseguro así que no pierdan el tiempo y comprendan el significado de un percentil. ¿Cuál cree usted es la posición más acertada? Justifique. Indicador 17 : Diseña instrumentos para evaluar el aprendizaje del concepto de muestra aleatoria. Ejemplo 1 : El tema de muestras aleatorias aparece en el currículo escolar en 7° y 8° básico, así como en 1° y 2° medio. Indique cuáles son los conceptos relativos a muestreo aleatorio que un alumno o alumna debe conocer y comprender al finalizar 2° medio. Diseñe un instrumento para evaluar el aprendizaje de éstos. Ejemplo 2 : Diseñe una actividad de evaluación mediante una estrategia de discusión considerando el siguiente problema: Un canal de televisión realiza encuestas de opinión durante la realización de un programa de debate que se transmite de 20 a 21 horas. Para ello se pone a disposición del televidente un número telefónico y este puede contestar SI o NO a una pregunta planteada durante el programa. En el desarrollo de un programa sobre la educación en Chile, se planteó la pregunta ¿Cree usted que la educación en Chile ha mejorado? un 70 % dice que NO y un 30 % dice que SI. Expliquen por qué este método de muestreo es sesgado. ¿Hacia dónde creen que está el sesgo? 217

a) ¿Cuál sería el objetivo de la evaluación, si se considera el problema como un item de éste? b) ¿Cómo organizaría la discusión, tomando en cuenta el objetivo de evaluación de este problema? c) Proporcione un tema de discusión alternativa, que según usted es más adecuado para alumnos y alumnas de 8° básico. Justifique. d) Discuta ventajas y desventajas de este método de evaluación frente a un método de evaluación individual. Ejemplo 3 : Se ha propuesto el siguiente problema para evaluar el aprendizaje sobre muestras aleatorias en 1° medio: Para determinar la proporción de piezas defectuosas, un inspector se ubica al final de la cadena de producción y escoge una cada 20 piezas. Una vez concluida la producción de 1000 piezas, ha obtenido una muestra de 50 piezas. Discuta si la muestra es aleatoria. ¿Cree usted que es un problema adecuado para evaluar el aprendizaje del concepto de muestras aleatorias? Justifique su respuesta. Indicador 18 : Diseña estrategias de evaluación para el aprendizaje del uso de TIC en estadística descriptiva. Ejemplo 1 : Un profesor plantea el siguiente problema como parte de una estrategia de evaluación para el aprendizaje del uso planilla electrónica en estadística descriptiva: Pedro se sacó un 3.1 en una prueba coeficiente 2. Sus padres estaban muy enojados, pero Pedro se defendía diciendo que a todos les fue mal. Las notas del curso fueron: 4,4; 4,5; 1,7; 4,1; 2,3; 3,1; 1,9; 5,8; 1,7; 2,0; 4,7; 4,3; 2,8; 5,7; 5,8; 1,6; 2,8; 2,5; 4,0; 4,5; 5,6; 5,4; 1,5; 3,6; 1,7; 2,9; 4,4; 3,1; 1,7; 2.9; 4,4; 5,1; 4,3; 3,6; 4,8; 5,4; 4,0; 3,0; 2,6; 5,4; 2,1; 4,4; 3,1; 1,9; 3,9; 4,4; 5,0; 4,4. ¿Tiene razón Pedro? Para responder, utilice sus conocimientos de estadística. Suponga que se dispone de un computador para cada cuatro estudiantes y que los datos están guardados en una en planilla electrónica en cada uno de los computadores. a) Indique qué tipo de análsis se puede hacer con la planilla electrónica y estos datos. b) Decida a qué curso (de 7° básico a 4° medio) puede estar dirigida esta evaluación. Justifique. c) ¿Qué tipo de preguntas haría durante el desarrollo del trabajo para averiguar el correcto uso de la planilla electrónica?¿Y de las ideas de estadística? d) Los alumnos y alumnas basaron sus discusiones solamente en el análisis de medidas de tendencia central ¿Qué acciones cree que hay que tomar para remediar esto? e) Indique de qué manera puede aprovechar esta actividad para evaluar alumnos con distintos ritmos de aprendizaje. Responda haciendo supuestos y justificando cada una de sus decisiones. 218

Ejemplo 2 : Una profesora está preparando un proyecto de investigación para sus alumnos de 2° medio con el objeto de evaluar el uso de TIC en estadística. La profesora pensó que sería buena idea ocupar tanto para la recolección de información como para el análisis y representación de ella, las herramientas de trabajo en línea que ofrece la red internet, ya que le permitiría evaluar el trabajo de cada uno de los alumnos como el de los grupos de trabajo. a) ¿Considera que la idea de la profesora es buena? Fundamente su respuesta. b) Pedro, un profesor amigo de la profesora, mencionó que los alumnos iban a ocupar la mayor parte del tiempo en aprender el programa, lo cual agregaba mayor dificultad a la actividad. ¿Le parece acertada la opinión de Pedro? Fundamente su respuesta. c) ¿Por qué la profesora considera que usando esa herramienta puede evaluar el trabajo de los grupos? d) ¿Qué dificultades podrían presentar los alumnos al ocupar este programa? e) ¿Cuánto tiempo debiera considerar la profesora para el desarrollo de la investigación por parte de los alumnos? Indicador 19 : Está consciente de las brechas de desempeño en pruebas estandarizadas entre alumnas y alumnos en matemáticas, y posee estrategias para contrarrestar esta situación. Ejemplo 1 : De acuerdo a la prueba PISA 2009, en matemáticas la brecha en el desempeño de alumnos y alumnas en Chile es de 28 puntos, la cual es la diferencia más grande entre los países participantes. a) ¿Por qué cree usted que esto ocurre? b) ¿En qué nivel escolar se acentúa la brecha en el desempeño de alumnas y alumnos en la prueba SIMCE? c) Si en su curso existe una brecha en rendimiento, ¿cómo tomaría esto en cuenta en el diseño de actividades de aprendizaje? ¿y en el diseño de las evaluaciones? Ejemplo 2 : En la PSU del año 2008, en matemáticas los hombres superaron por 25 puntos promedio a las mujeres, y por siete puntos en lenguaje. Más aún un 20 % de los hombres obtuvo en la PSU más de 600 puntos, mientras que esto fue logrado por sólo el 15 % de las mujeres. a) ¿Qué razones pueden haber detrás de este fenómeno? b) ¿Cómo tomaría en cuenta este hecho en la planificación de actividades y evaluaciones?

219

220

Estándar 18 : Es capaz de conducir el aprendizaje de las probabilidades discretas. El futuro profesor o profesora aplica técnicas de conteo y conoce la concepción de probabilidad en el caso equiprobable (modelo de Laplace) y también en el caso no equiprobable. Comprende el significado empírico de las probabilidades y es capaz de ilustrarlo con medios concretos y con simulaciones. Conoce y aplica las probabilidades condicionales y comprende la relación de éstas con la independencia de eventos aleatorios, integrando estos conceptos en los teoremas de probabilidades totales y el de Bayes. El profesor o profesora está preparado para conducir el aprendizaje de las probabilidades discretas, de la modelación de fenómenos con incerteza, incluyendo técnicas de representación, de conteo, de cálculo de probabilidades y el uso de simulaciones. Conoce dificultades y errores frecuentes en el aprendizaje de las probabilidades discretas y es capaz de evaluar el aprendizaje de los alumnos y alumnas. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Conoce el desarrollo histórico de la solución de problemas que originaron el cálculo de probabilidades. Ejemplo 1 : En el siglo XVII, entre los matemáticos que hicieron importantes contribuciones al cálculo de probabilidades hay que mencionar a Pascal, Fermat y Huygens. Estos matemáticos resolvieron un problema propuesto por un jugador, Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, quien en una carta dirigida al mismo Pascal, dice: Usted ha escrito sobre mis invenciones, lo mismo que el Señor Huygens, el Señor Fermat y tantos otros que la han admirado. El problema que se supone les propuso a estos matemáticos es el siguiente: Supongamos que juego contra otra persona a quién es el que gana cinco jugadas. Cada uno de nosotros ha apostado una determinada cantidad. Supongamos además que yo ya he ganado cuatro jugadas y mi contrincante sólo ha ganado tres. Quiero saber cuál es la fracción de la apuesta que me corresponde en el caso en que ambos queramos interrumpir el juego y dividir equitativamente la apuesta. Este problema se llama problema de la división de la apuesta. a) A pesar del relato historiográfico mencionado, matemáticos italianos como Pacioli y Tartaglia, propusieron soluciones a este problema. Estas soluciones pueden resumirse diciendo que el primer jugador debe llevarse 4/5 de la apuesta, mientras que el segundo solo se lleva 1/5. Discuta por qué este tipo de soluciones no es correcta. b) Para resolver este problema, Huygens introdujo el concepto de ganancia esperada. Discuta este concepto formalmente y utilícelo para resolver el problema de la división de la apuesta. c) Discuta cómo utiliza Pascal su Triángulo Aritmético para resolver el problema de la división de la apuesta. d) Proponga una solución a este problema usando una formulación recursiva. Refiérase a las contribuciones realizadas por Laplace en su Théorie Analytique des Probabilités en relación a este tipo de ecuaciones y su empleo para resolver variaciones del problema de la división de la apuesta. 221

Ejemplo 2 : Otro problema clásico que impulsó el desarrollo del cálculo de probabilidades es el llamado problema de los puntos, el cual se enunció de la siguiente manera: Se lanzan dos dados; si sale doble 6, se gana. ¿Cuál es la cantidad mínima de lanzamientos que se deben realizar para que haya más chances de ganar que de perder? a) Describa la solución proporcionada por Huygens a este problema, usado el concepto de ganancia esperada. b) ¿Cómo se relaciona este problema con los tiempos de espera en un Proceso de Bernoulli? Indicador 2 : Conoce distintas definiciones de ”probabilidad” a lo largo de la historia y explica sus diferencias. Ejemplo 1 : Compare las definiciones de probabilidad de Bernoulli relacionada a frecuencias relativas y la de Laplace respecto al cuociente entre casos favorables y casos posibles. Ejemplo 2 : Describa los aportes de Kolmogorov a la formalización de una definición de probabilidad. Indicador 3 : Usando estrategias de resolución de problemas emblemáticos de probabilidades, como el Problema de los Cumpleaños, el Problema de los Dados de Galileo, o el Problema de Ocurrencia del Primer Éxito, resuelve problemas relacionados. Ejemplo 1 : Supongamos que la probabilidad de nacer en un día del año es tan probable como nacer en otro día. Se seleccionan al azar 253 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad que ninguna persona del grupo seleccionado haya nacido el primero de enero? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos personas hayan estado de cumpleaños el primero de enero? c) ¿Cuál es la probabilidad que diez personas del grupo seleccionando hayan nacido en días distintos? Ejemplo 2 : Un juego típico consiste en lanzar tres dados y sumar los resultados que se obtienen en cada uno de ellos. Llamemos a esta suma, puntaje total. a) ¿Cuál o cuáles son los puntajes totales que tienen mayor probabilidad de ocurrir? b) Verifique que P (puntaje total > 10) = P (puntaje total ≤ 10) = 0,5. c) En lugar de lanzar tres dados, supongamos que lanzamos un número impar n de dados. Demuestre que P (puntaje total > (7n − 1)/2) = 0,5 Ejemplo 3 : Una persona quiere abrir su puerta y para ello tiene n llaves, de las cuales sólo una abre la puerta. a) Suponiendo que prueba las llaves al azar, se pide calcular la probabilidad de que el hombre acierte exactamente en el r−ésimo ensayo. 222

b) ¿Cómo cambia la probabilidad anterior, si cada vez que la persona prueba una llave y ésta no es la correcta, la deja fuera del llavero? Indicador 4 : Comprende el concepto de eventos aleatorios independientes y distingue entre eventos mutuamente independientes y eventos independientes dos a dos. Ejemplo 1 : Si al lanzar un dado, obtenemos 4, 5 ó 6, decimos que el dado cae en un puntaje alto; si sale otro valor, decimos que el dado cae en un puntaje bajo. Se lanzan dos dados. Definamos los siguientes eventos: A: El primer dado cae con puntaje alto. B: El segundo dado cae con puntaje alto. C: Un dado cae con puntaje alto y el otro con puntaje bajo. D: El total es 4. E: El total es 5. F : El total es 7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) A y F son dependientes. b) A y D son independientes. c) A y E son dependientes. d) P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C), por lo que A, B y C son mutuamente independientes. e) A y C son independientes. f) C y E son independientes. g) P (A ∩ C ∩ E) = P (A)P (C)P (E), pero no son independientes dos a dos. h) A, C y E son mutuamente independientes. Ejemplo 2 : Considere el espacio muestral Ω = {ξ1 , ξ2 , ξ3 , ξ4 } y los siguientes eventos aleatorios: A = {ξ1 , ξ2 }, B = {ξ1 , ξ3 } y C = {ξ1 , ξ4 }. Verifique que los eventos A y B son independientes; que los eventos B y C son independientes; y que los eventos C y A son independientes. ¿Aseguran estas tres relaciones de independencia, la independencia mutua de los eventos A, B y C? Ejemplo 3 : Sean A y B eventos aleatorios cuyas probabilidades de ocurrencia son estrictamente positivos. Pruebe que la independencia entre A y B es equivalente a la igualdad P (A | B) = P (A | B c ). Proponga una interpretación heurística de esta igualdad. Indicador 5 : Conoce concepciones equivocadas frecuentes sobre las probabilidades y propone estrategias para corregirlas. Ejemplo 1 : Muchas personas piensan que la probabilidad de que en el Loto 3 salgan los números 1, 1, 1 es mucho menor que otras configuraciones como 1,5, 8, por ejemplo (El juego del Loto 3 consiste en elegir 3 números entre 0 y 9). a) Diseñe una actividad para que los alumnos y alumnas vean que esta es una concepción errada. b) Indique los conocimientos previos para la actividad anterior. 223

c) ¿Cree que la actividad propuesta será suficientes para superar esta concepción errada? Ejemplo 2 : Muchas personas creen que un evento de baja probabilidad no debería ocurrir. Planifique una actividad en la que ocurren tres eventos mutuamente excluyentes. Asegúrese que la probabilidad de ocurrencia del primer evento es 1/2; del segundo es 9/20; y del tercero es 1/20. La idea de la actividad es que empíricamente puedan verificar que cada evento puede ocurrir, aunque en proporciones diferentes. Asegúrese que su actividad permita aproximar dichas proporcionalidades. Ejemplo 3 : Pablo es profesor de matemática. Se encuentra trabajando el tema de probabilidad condicional en 3° medio. Plantea a sus alumnos el siguiente problema: Se lanza un dado honesto una vez. Si la cara resultante es menor a cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que la cara obtenida sea par?. Los alumnos comienzan a dar sus respuestas y para sorpresa de Pablo muchos de los estudiantes señalan que la respuesta es 1/6. a) Identifique el error que están cometiendo los estudiantes que responden 1/6. b) Proponga una estrategia para explicar la diferencia entre lo calculado por los alumnos y la respuesta correcta. Indicador 6 : Comprende las dificultades que encuentra un alumno o alumna al enfrentar problemas de combinatoria y diseña actividades para que puedan superar estas dificultades. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: De cuántas maneras se pueden poner en un librero tres novelas, 2 libros de matemáticas y 1 libro de química si: a) Los libros pueden ser puestos en cualquier orden. b) Los dos libros de matemáticas tienen que estar juntos, a igual que las tres novelas. c) Las novelas deben estar juntas pero los otros pueden estar en cualquier orden. Utilice este problema para planear una actividad en un 1° medio que ayude a los alumnos y alumnas a lograr confianza en la solución de problemas de conteo. a) ¿Cómo presentaría el problema a los alumnos y alumnas? Fundamente de acuerdo a las dificultades que usted cree que encontrarán los estudiantes. b) ¿Qué indicaciones les daría? ¿Qué indicaciones alternativas piensa dar, si la inicial no permite resolver el problema? Diga por qué cree que estas indicaciones son adecuadas. c) ¿En qué cree usted que los estudiantes se pueden equivocar al intentar resolver el problema? d) ¿Qué importancia cree usted que tiene la reflexión que puedan hacer los estudiantes sobre lo que aprendieron en esta situación? ¿Cómo estimularía esta reflexión? ¿Cómo la organizaría? 224

Ejemplo 2 : Cuando los estudiantes son enfrentados a un problema de combinatoria, una pregunta al profesor que surge a menudo es: En este problema ¿Hay que usar permutaciones o combinaciones? a) ¿Cuáles cree usted son las posibles causas de la recurrencia de estas preguntas? Considere aspectos propios del contenido de combinatoria y también aspectos relacionados con las prácticas docentes. b) ¿Cuál cree usted es la mejor forma de enfrentar estas preguntas? c) Plantee un ejemplo (problema) que cree usted podría motivar a los alumnos a hacer esta pregunta al profesor y discuta sus respuestas a a) y b) con respecto a este ejemplo. Ejemplo 3 : Considere el siguiente problema: En cada uno de los siguientes números naturales 100100011, 666633333, 454545454 y 555555555, cada uno de sus dígitos aparece al menos cuatro veces. ¿Cuántos números naturales de nueve dígitos con esta característica existen? a) Dé una solución a este problema que pueda presentar a sus estudiantes. b) ¿Qué estrategias, adicionales a la usada por usted, cree que serían útiles para que sus estudiantes de enseñanza media puedan resolver el problema? Justifique su respuesta. c) ¿Qué dificultades cree que tendrían sus alumnos y alumnas al resolver este problema si se presenta en una guía? Indicador 7 : Conoce los objetivos y los contenidos de probabilidades discretas en el currículo escolar. Ejemplo 1 : Considere el siguiente contenido: Resolución de problemas de cálculo de probabilidades aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades. Se planteó el siguiente problema: La probabilidad de que un paciente no tenga una enfermedad es de un 60 %. Si el paciente tiene la enfermedad, la probabilidad de que un examen de laboratorio dé positivo para la enfermedad es de un 90 % ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad y que el examen salga negativo? a) ¿Cuáles son los contenidos tratados en la problema?. Identifique qué objetivos se pueden asociar a este problema. b) Determine los contenidos que los alumnos necesitan para resolver el problema dado. c) ¿Qué tipo de diagrama resulta adecuado para ilustrar este problema? Ejemplo 2 : Considere el siguiente aprendizaje esperado: Comprende que a través del modelo de Laplace es posible calcular el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas...

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a) De acuerdo al currículo vigente ¿En qué curso se debería lograr este aprendizaje? b) Determine los conocimientos necesarios para el logro de este aprendizaje. Indicador 8 : Comprende el rol de la resolución de problemas en el tema de datos y azar del currículo escolar. Ejemplo 1 : En el currículo escolar, correspondiente al eje de Datos y Azar en cada uno de los niveles de 1°, 2° y 3° medio, hay contenidos que mencionan explícitamente la resolución de problemas. Por ejemplo, en 1° medio: Resolución de problemas en contextos de incerteza aplicando el cálculo de probabilidades mediante el modelo de Laplace o frecuencias relativas, dependiendo de las condiciones del problema. Interprete este contenido en el contexto de una planificación anual para el eje de Datos y Azar de 1° medio. Ejemplo 2 : Considere los siguientes problemas: i) Calcule el número de manos de poker que se obtienen de un mazo de 52 cartas. ii) Justifique la fórmula µ ¶ µ ¶ n n = . r n−r iii) Encuentre el número de secuencias de largo 13 que contienen las letras A, B, C repetidas 4, 6 y 3 veces respectivamente. a) ¿Está de acuerdo con que estos problemas son buenos para implementar la resolución de problemas en el eje de Datos y Azar? Argumente para cada problema. b) Dé al menos un ejemplo de problema que podría interpretar la resolución de problemas como el planteamiento de situaciones que para su resolución no es suficiente la aplicación directa de conocimiento adquirido. Justifique su respuesta. Indicador 9 : Planifica experimentos y simulaciones para la enseñanza de los conceptos básicos de probabilidades. Ejemplo 1 : Planifique una unidad de 4 clases, para alumnos y alumnas de 8° básico, que incorpore los siguientes elementos: i) La confección de listados de posibles resultados de eventos, ii) La realización experimentos y simulaciones para determinar la probabilidad de eventos, y iii) La articulación de los anteriores. a) Fundamente por qué es importante que realicen experimentos y simulaciones para determinar la probabilidad de un evento. b) Fundamente por qué es importante que los alumnos y alumnas listen los posibles resultados de un evento. 226

c) Explique con detalle la articulación entre las actividades propuestas para i) y ii), y justifique la importancia de dicha articulación. d) Describa brevemente la estrategia de evaluación de esta unidad, justificando sus decisiones. Ejemplo 2 : Diseñe una actividad con material concreto para realizar simulaciones considerando: dados, ruletas, naipes y monedas. En cada caso describa el experimento que realizará, cómo estimulará y organizará a los estudiantes. Justifique su respuesta. Indicador 10 : Planifica actividades para la introducción de conceptos de probabilidades, considerando los conocimientos e ideas previas de los alumnos y alumnas. Ejemplo 1 : Para los siguientes contenidos: probabilidad de la unión e intersección de eventos. a) Elabore una actividad para que sus estudiantes calculen probabilidades usando propiedades de conjuntos y visualizando sus resultados en diagramas de Venn. b) Considere que al realizar la actividad anterior, usted se encuentra con que los alumnos no tienen los conocimientos previos necesarios. Desarrolle una estrategia que permita poder desarrollar la actividad de los contenidos dentro de los plazos establecidos. Ejemplo 2 : Teniendo como objetivo de aprendizaje que los alumnos y alumnas de su curso desarrollen la idea de probabilidad de ocurrencia de un evento y su relación con la frecuencia de ocurrencia de un evento cuando un experimento se repite muchas veces, se consideran las siguientes tres actividades: Actividad 1 : Listar los posibles resultados al tirar un dado. Realizar una simulación de tirar un dado muchas veces, registrando los resultados. Actividad 2 : Listar los posibles resultados al tirar dos dados. Realizar una simulación de tirar dos dados muchas veces, registrando los resultados. Actividad 3 : Listar los posibles resultados de la suma de números obtenidos al tirar dos dados. Realizar una simulación de tirar dos dados, sumando el resultado y registrándolo. La realización de estas actividades permite que los alumnos y alumnas realicen diversas tareas matemáticas de importancia: conjeturar, experimentar, organizar y registrar información y calcular. Planifique una clase con estas actividades y estas tareas y para ello: a) Indique los conocimientos previos necesarios para abordar estas actividades. b) Describa las dificultades que puede encontrar durante el desarrollo de las actividades. c) Describa tiempos y organización de los estudiantes. d) Indique cómo concluirá la clase. Ejemplo 3 : Una urna contiene 2 bolitas rojas, 4 bolitas verdes y 3 bolitas rojas. Considere el experimento que consiste en extraer al azar una bolita y observar su color. 227

a) Determine el espacio muestral asociado al experimento. ¿Es un espacio equiprobable? b) Considerando el uso de la regla de Laplace supone un espacio equiprobable. ¿Cómo podría calcular la probabilidad de extraer una bolita roja?. Justifique su respuesta. c) Proponga dos ejemplos en los que se deba tener cuidado al definir el espacio muestral para que éste sea equiprobable. Indicador 11 : Planifica actividades cuyo foco sea enfatizar el significado de una probabilidad condicional. Ejemplo 1 : La probabilidad de un evento corresponde al grado de certeza que se tiene de su ocurrencia. Este grado puede operacionalizarse por medio de la aproximación frecuentista de una probabilidad. ¿Cuál es la interpretación que se puede dar al concepto de probabilidad condicional? La probabilidad condicional del evento E2 dado el evento E1 se define como P (E2 | E1 ) =

P (E1 ∩ E2 ) P (E1 )

donde P (E1 ) > 0. A fin de relevar el significado que tiene el concepto de probabilidad condicional, se sugiere reescribir la igualdad anterior en los siguientes términos: P (E1 ∩ E2 ) = P (E1 ) P (E2 | E1 ). Esta última igualdad puede expresarse de la siguiente manera: La probabilidad de la ocurrencia del evento compuesto E1 ∩E2 es igual a la probabilidad de la ocurrencia del evento E1 , multiplicada por la probabilidad de la ocurrencia del evento E2 , bajo el supuesto que E1 ha ocurrido. Así, la probabilidad condicional representa la dependencia que hay entre los eventos E1 y E2 en el sentido de que E2 ocurre solo cuando se supone que E1 ocurre. A fin de enfatizar esta significación, se planifica una clase basada en la derivación que hizo Laplace de la descomposición anterior. Concretamente, la clase se planifica en torno a una serie de problemas: 1. Contexto: sea p el número total de casos posibles, y suponga que de este total hay p0 casos favorables al evento E1 . Supongamos también que de estos p0 casos, hay q casos favorables a la ocurrencia de E2 . 2. Problema 1: Verificar que la probabilidad de que ocurra E1 es igual a p0 /p. Solución: asumiendo equiprobabilidad, se utiliza la formulación de Laplace para calcular P (E1 ). 3. Problema 2: ¿Por qué la ocurrencia del evento E2 depende de la ocurrencia del evento E1 , pero que la ocurrencia de E1 no depende de la ocurrencia de E2 ? Solución: E2 depende de E1 pues del total p0 de casos favorables a la ocurrencia de E1 , hay q que son favorables a la ocurrencia de E2 . La relación de dependencia no es simétrica pues q es estrictamente menor que p0 y, por tanto, puede ocurrir un evento elemental favorable a E1 pero que no es uno de los q eventos elementales favorables a E2 . 228

4. Problema 3: Verificar que la probabilidad de que ocurra E2 suponiendo que E1 ocurrió es igual a q/p0 . Solución: usando nuevamente la formulación de Laplace y la discusión del problema anterior, se concluye que la probabilidad de que E2 ocurra bajo el supuesto que E1 ocurrió es q/p0 . 5. Problema 4: Verificar que la probabilidad de que ocurra E1 y E2 es q/p. Solución: hay q casos favorables a la ocurrencia simultánea de E1 y E2 , por lo que su probabilidad es igual a q/p. 6. Conclusión: Combinando los hallazgos anteriores, se deduce que q q p0 = 0· , p p p es decir, la probabilidad de E1 y E2 es igual a la probabilidad de E2 bajo el supuesto que E1 ocurrió, multiplicado por la probabilidad de que E1 ocurra. a) Basado en el contexto anterior, proponga una actividad concreta (por ejemplo, un juego de azar simple) que permita apreciar la dependencia de E1 y E2 , y en particular cómo dicha relación no es necesariamente simétrica. b) ¿Cómo explotaría esta derivación para enfatizar el hecho de que la probabilidad condicional permite modelar ocurrencias de eventos dependientes? c) A fin de ilustrar cómo la descomposición P (E1 ∩ E2 ) = P (E1 ) P (E2 | E1 ) es útil para modelar fenómenos dependientes, considere los siguienets ejemplos: 1. Modelar el número de accidentes que ocurre en la carretera que une Santiago y Rancagua. Para ello, considere que E1 representa la cantidad de automóviles que ingresa a la carretera en un día específico, y E2 representa el lugar de la carretera donde ocurre el accidente. 2. Modelar el crecimiento de una nueva especia de árboles en una parcela experimental. Para ello, considere que E1 representa el lugar de la parcela donde se planta el árbol, y E2 representa la altura que puede alcanzar el árbol. En estos ejemplos, proponga un diálogo que permita entender por qué los eventos E1 y E2 son dependientes. Proponga otros ejemplos similares. Ejemplo 2 : Para el contenido: Independencia de dos eventos aleatorios, planifique una unidad en la que discute con sus estudiantes los siguientes dos aspectos: cómo verificar que dos eventos A y B son independientes, y cómo interpretar la independencia entre A y B usando probabilidades condicionales. En su planificación enfatice la relevancia de este último aspecto para reconocer si dos eventos son efectivamente independientes o no, en especial de eventos cuya probabilidad es complicada de calcular; para ello, use ejemplos de la vida real. Ejemplo 3 : Para el mismo contenido anterior, incorpore los esquemas muestrales muestreo con reemplazo y muestreo sin reemplazo a fin de ilustrar la 229

diferencia que hay entre eventos independientes y eventos dependientes. En su planificación, relacione estos eventos con el concepto de falta de memoria y relaciónela con el de dependencia de eventos aleatorios. Indicador 12 : Utiliza recursos tecnológicos disponibles para la enseñanza y aprendizaje de las probabilidades Ejemplo 1 : Considere la siguiente situación: Un profesor utiliza una planilla de cálculo para tratar la equiprobabilidad con sus alumnos. Para esto les pide que entren a la planilla de cálculo y ejecuten el comando de números aleatorios, haciendo una lista de 100 números con la serie numérica del 1 al 6. Los alumnos ejecutan el programa pero se dan cuenta que hay números que se repiten más veces que los demás. a) ¿La actividad que propone el profesor es adecuada para tratar la equiprobabilidad? b) ¿Por qué aparecen más números de uno que de otro, realmente el comando usado es aleatorio? c) ¿Cómo se debe abordar la situación para cumplir el objetivo de la clase? Ejemplo 2 : Dado el siguiente contenido: Exploración de la Ley de los Grandes Números, a partir de la repetición de experimentos aleatorios, con apoyo de herramientas tecnológicas y su aplicación a la asignación de probabilidades. a) Explique por qué el contenido sugiere la incorporación de herramientas tecnológicas para la exploración de la Ley de Grandes Números. b) Determine que característica debe tener la herramienta tecnológica para cumplir lo que menciona el contenido respecto al la Ley de los Grandes Números. Ejemplo 3 : El siguiente applet simula la extracción de bolas de una caja.

1. Elabore una actividad que contemple el uso de applet y permita conjeturar el teorema de Bayes para la probabilidad condicional. 230

2. Comente las ventajas y limitaciones que tiene el applet sobre la utilización de una caja real con bolas reales. Indicador 13 : Es capaz de gestionar situaciones de aprendizaje para que los estudiantes logren resolver problemas que involucren el teorema de Bayes y problemas relacionados con los falsos positivos. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: Suponga que hay tres estantes con dos cajones cada uno. El primer estante tiene una moneda de oro en cada cajón, el segundo tiene una moneda de oro en un cajón y una de plata en el otro y el tercero tiene una moneda de plata en cada cajón. Un estante es elegido al azar y un cajón es abierto. Si el cajón contiene una moneda de oro ¿Cuál es la probabilidad de que el otro cajón también contenga una moneda de oro? Suponga que, como parte del diseño de una clase para abordar este problema con los estudiantes de su curso, usted ha considerado que en primer lugar ellos den una respuesta basados en su intuición: a) ¿Cuál cree usted será la respuesta mayoritaria? ¿Por qué? b) Suponga que hay varios estudiantes que han respondido correctamente. ¿Cómo se asegura que sus respuestas han sido fruto de un razonamiento correcto, de uno erróneo o de una simple adivinanza? Asegúrese que su estrategia de evaluación no altera la continuidad de la clases. c) La segunda parte consiste en realizar una simulación con un computador. Para ello tiene preparado un programa que permite realizar el experimento muchas veces y la actividad consiste en repetir el experimento para que los alumnos tomen nota de los resultados y conjeturen una respuesta despues de 10 jugadas. ¿Cómo plantearía esta actividad como juego en que los alumnos compitan por la respuesta correcta? d) Dé un esquema que permita demostrar (o desvirtuar) la conjetura que han hecho los estudiantes y que permita cerrar la actividad. e) La clase termina con una discusión final con los estudiantes. ¿Cuáles cree usted deben ser los principales puntos a discutir? Ejemplo 2 : Considere el siguiente problema de falsos positivos para sus estudiantes: El resultado de un examen de sangre puede ser positivo o negativo de acuerdo a la presencia o no de un cierto patógeno. Se sabe que un 95 % de los individuos que tiene presencia del patógeno en su sangre produce un resultado positivo, y que un 2 % de los individuos sanos también producen un resultado positivo, es decir el examen tiene un margen de error. Suponga que un 1 % de la población tiene la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga la enfermedad, dado que el resultado de su examen de sangre fue positivo? a) Una vez presentado el problema a los estudiantes ¿Cómo los induciría para que lo traduzcan a frecuencias naturales? ¿En qué momento lo haría? Justifique su respuesta. 231

b) Una vez que los estudiantes hayan entregado una respuesta en frecuencias naturales ¿Cómo haría para que vuelvan al lenguaje original? Proponga una discusión sobre las ventajas y desventajas que tiene utilizar porcentajes, frente a probabilidades y a frecuencias naturales, para describir este problema ¿Cómo iniciaría la discusión? ¿Cómo la cerraría? c) Es posible que a los alumnos y alumnas no les interese el contenido del problema (examen de sangre y enfermedad). Formule un problema similar, pero tomando en cuenta los posibles intereses de sus alumnos y alumnas. Justifique sus elecciones. Ejemplo 3 : Considere el siguiente problema: Suponga que de cada 10.000.000 de monedas hay una que tiene dos caras. Si una moneda, elegida al azar, es lanzada 10 veces y las 10 veces cae cara ¿Cuál es la probabilidad que la moneda tenga dos caras? a) Le han asignado a última hora un reemplazo para una clase de matemáticas de 3° medio, curso en el que han estado discutiendo probabilidades condicionales. Al último minuto usted decide plantear el problema de arriba. Los estudiantes trabajan por unos 15 minutos y ve mucha inquietud porque no avanzan ¿Cuáles cree usted serían las principales dificultades que estos tienen al enfrentar este problema? b) ¿Qué estrategia usaría para descubrir donde están las dificultades? ¿Cómo seguiría la clase? c) Indique de qué forma podría utilizar la reflexión metacognitiva al final de la clase. Indicador 14 : Utiliza los diagramas de árbol y otras representaciones para la enseñanza de las probabilidades. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: Un cierto procedimiento se realiza en tres etapas. Se sabe que: i) La probabilidad de que la primera etapa sea terminada en el tiempo planificado es 0.7. ii) Dado que la primera etapa fue completada a tiempo, la probabilidad de que la segunda etapa sea finalizada a tiempo es 0.8. iii) Dado que la primera y segunda etapa fueron completadas a tiempo, la probabilidad de que la tercera etapa sea finalizada a tiempo es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el procedimiento completo sea finalizado a tiempo? a) Este problema fue presentado a estudiantes que no habían sido expuestos a la representación de probabilidades con diagramas de árbol, pero tenían algunas nociones de probabilidades. El profesor organizó al curso en grupos de cuatro alumnos y les pedió que resolvieran el problema. b) El profesor observó que sólo un grupo hizo diagramas que asemejaban árboles, los demás grupos trataban de calcular directamente ¿cree usted conveniente que el profesor pida a este grupo pase a la pizarra a explicar su método?¿sería esta una buena oportunidad para explicar a todos el uso de diagramas de árbol? 232

c) ¿Cree usted que el problema planteado era adecuado para motivar el uso de diagrama de árbol? Justifique. d) Indique otros dos problemas que en su opinión sean apropiados para iniciar a los estudiantes en el uso de diagramas de árbol para representar y resolver problemas de probabilidades. Ejemplo 2 : El siguiente problema puede ser usado para hacer que los alumnos y alumnas inventen estrategias para la determinación de probabilidades: Un dado simétrico tiene p de sus caras pintadas blancas y 6 − p caras pintadas negras. El dado es lanzado hasta la primera vez que aparece una cara blanca ¿Cuál es la probabilidad de que sea lanzado a lo más tres veces? Una profesora diseñó una actividad para que los estudiantes encuentren probabilidades. Para comenzar dividió al curso en grupos de 4 estudiantes cada uno y pidió que cada grupo designe un representante. Le dijo a los estudiantes que tenía un dado con las características dadas arriba y con un computador empezó a simular lanzamientos del dado. El computador lanzaba el dado varias veces hasta que salía una cara blanca e indicaba cuántas tiradas habían sido hechas. Luego repetía los lanzamientos una y otra vez. El computador estaba programado para repetir esto durante toda la clase, lanzando un dado cada 10 segundos. Luego les planteó el desafío: Cada grupo tiene derecho a dar un valor de la probabilidad cada 5 minutos. Cada grupo tiene 10 puntos, por cada respuesta equivocada pierde un punto y si da el valor correcto de la probablidad gana siete puntos y se acaba el juego. Gana el grupo que tenga mayor puntaje al final, pero si hay dos o más mayores valores se acaba el juego sin ganadores. a) ¿Qué estrategias cree que utilizarán los estudiantes? b) ¿Qué haría si hay un grupo que da la respuesta pasados 10 minutos desde el comienzo de la clase? c) Contextualice el problema a la realidad de los estudiantes de modo que les parezca un problema más interesante (sin dados). Justifique sus elecciones. Indicador 15 : Utiliza juegos en procesos de enseñanza que faciliten y motiven el aprendizaje de las probabilidades. Ejemplo 1 : Para el juego del ludo, el monopoly u otro juego donde se avance lugares con el lanzamiento de dados: a) Considere las siguientes condiciones para el lanzamiento de los dados en el juego del Ludo: Lanzar solamente un dado, Lanzar dos dados de manera conjunta, lanzar un dado con la posibilidad de repetir el lanzamiento si sale el Chancho 6, Lanzar dos dados con la posibilidad de repetir el lanzamiento si sale un par (los dos dados con el mismo resultado). Utilice las situaciones anteriores para explicar a alumnos y alumnas la equiprobabilidad o no equiprobabilidad de resultados o eventos. b) Considere las siguientes preguntas que se realiza un alumno de 8° básico al estar jugando Ludo ¿Cuál será el mínimo número de lanzamientos que tengo que hacer con un dado para llegar a la base (sin contratiempos) si me encuentro a 12 pasos 233

de ella? ¿Qué probabilidad tengo de alcanzar la meta en ese número de lanzamientos?¿Cómo cambia la respuesta si me encuentro a 17 pasos de la meta? Elabore una estrategia para dar respuesta a las preguntas hechas por el alumno, considerando los conocimientos previos que debiera tener el alumno. Ejemplo 2 : El juego del ”Cachipún” da la oportunidad para discutir el concepto de independencia de eventos. Por ejemplo, si dos niñas están jugando al Cachipún de manera consecutiva y la primera ha ganado cuatro veces seguidas, uno podría preguntar: ¿Cuál es la probabilidad que la primera gane nuevamente? A partir de esta pregunta plantee una situación para discutir con sus alumnos el concepto de probabilidad e independencia de eventos. Considere afirmaciones tales como: El Lucho siempre me gana en el cachipún, para enriquecer la discusión. Indique claramente el objetivo que quiere lograr y cómo dirigirá la discusión para lograrlo. Haga los supuestos que estime conveniente y fundamente sus elecciones. Ejemplo 3 : Se ha propuesto usar naipes ingleses (52 cartas, 13 cartas de cada pinta) para discutir el concepto de probabilidades condicionales considerando la siguiente situación: Si se han sacado dos cartas de distinta pinta ¿Cuál es la probabilidad que las próximas dos sean de la misma pinta? ¿Cambia esto si las primeras dos cartas son de la misma pinta? a) Resuelva el problema. b) Este problema puede ser muy díficil para discutir probabilidad condicional por primera vez. ¿Qué conocimientos previos cree usted tienen que tener los estudiantes para poder dar una respuesta completa a esta situación? c) Suponga que usted planteó el problema a sus estudiantes y se dió cuenta que ellos estaban confundidos ante lo cual decide simplificar el problema ¿Cómo lo simplificaría? d) Con el problema simplificado que propuso arriba diga cómo pedirá a los estudiantes que lo resuelvan ¿De manera individual? ¿En grupos? e) ¿Cómo se asegurará que todos hayan comprendido la solución del problema simplificado? f) Una vez que todos han comprendido la solución del problema simplificado, indique cómo retomar el problema original. Indicador 16 : Elabora instrumentos para detectar errores frecuentes en conceptos de probabilidad discreta. Ejemplo 1 : Un profesor o profesora desarrolló un ítem con selección de alternativas para un test. En cada una de las alternativas incorrectas incluyó un posible error de los alumnos y alumnas. Observe el ítem y determine los posibles errores que el profesor o profesora plasmó en las alternativas incorrectas. Se extrae una carta al azar de una baraja española. Sea A el suceso “se extrae una carta de oro” y B el suceso “se extrae un rey”. ¿Los sucesos A y B son independientes?. 234

a) No son independientes, porque en la baraja hay un rey de oros. b) Sólo si sacamos primero un carta para ver si es rey y se vuelve a colocar en la baraja y luego sacamos una segunda carta para mirar si es oro. c) Si, porque P(rey de oro)= P(rey) · P(oro). d) No, porque P(rey | oros) 6= P(rey). e) No, porque P(rey de oros) 6= ∅. Ejemplo 2 : El profesor de un curso quiere incluir en un test el siguiente ejercicio: Una bola se suelta en E. Si sale por R. Sabiendo que pasar por un camino u otro tiene la misma probabilidad. ¿Cuál es la posibilidad que haya pasado por el canal I?

a) Ayude al profesor a diseñar la pregunta con formato de opción múltiple considerando que los distractores sean posibles errores que puedan cometer los alumnos y alumnas al responder la pregunta. b) Utilice el enunciado para elaborar otra pregunta de opción múltiple a incluir en el test. Indicador 17 : Construye instrumentos para evaluar conceptos básicos de probabilidad. Ejemplo 1 : Considere que se utiliza el experimento aleatorio: “Lanzar dos dados no cargados”. Para la construcción de un ítem para un test. a) ¿Qué conceptos básicos de probabilidad podría evaluar utilizando el experimento dado? b) Construya el ítem del test para evaluar los conceptos señalados en a). c) Para cada una de las preguntas incluidas en el ítem, señale su objetivo. Ejemplo 2 : Considere el siguiente contenido: Resolución de problemas de cálculo de probabilidad aplicando las técnicas del cálculo combinatorio, diagramas de árbol, lenguaje conjuntista, operatoria básica con conjuntos, propiedades de la suma y producto de probabilidades. a) Diseñe actividades que le permitan evaluar las partes de dicho contenido, a través de juegos o experimentos en aula. b) Proponga un instrumento para la evaluación de las actividades diseñadas arriba. c) Se han detectado importantes diferencias individuales respecto a los ritmos de aprendizaje de algunos de sus alumnos, razón por la cual se ha trabajado de manera especial con los estudiantes que van más lento. El objetivo es que finalmente todos manejen los contenidos. 235

i) Indique, cómo podría modificar el instrumento de b), tomando en cuenta esta última información. ii) En base a lo anterior, describa posibles pasos a seguir una vez concluida esta evaluación, suponiendo que en la evaluación estos alumnos lograron solo el 50 %. Indicador 18 : Reflexiona sobre sesgo y estereotipos de género que pueden estar presentes en distintos recursos utilizados en la enseñanza de las matemáticas. Ejemplo 1 : En muchos textos de matemática aparecen a menudo notas históricas donde los protagonistas son, en su gran mayoría, hombres. Discuta como podría enfrentar esta situación y qué recursos usaría. Ejemplo 2 : Diversos estudios muestran que los alumnos son más participativos en clases de matemáticas en cuanto a responder y formular preguntas, mientras que las alumnas toman un rol más pasivo. Cómo tomaría esto en cuenta en la planificación y evaluación de una actividad de resolución de problemas en la que los alumnos trabajen en grupo. Indicador 19 : Reflexiona sobre estrategias para contrarrestar conductas que obedezcan a estereotipos de género presentes en el aprendizaje de la matemática. Ejemplo 1 : En su curso de matemáticas son principalmente los alumnos quienes contestan las preguntas que surgen en la clase y también quienes formulan la mayoría de las preguntas ¿qué haría usted para involucrar a sus alumnas? ¿con qué estrategias las motivaría a participar en la clase? Ejemplo 2 : Su establecimiento educacional está participando en un campeonato de matemáticas y la participación es mayoritariamente masculina: ¿cuál cree usted que son las razones detrás de este fenómeno? ¿cómo motivaría una participación más igualitaria? Ejemplo 3 : Un apoderado le dice que a su hija le va mal en matemáticas, porque como la mayoría de las niñas, es buena para las letras. ¿cómo enfrentaría esta situación con el apoderado? ¿cómo enfrentaría esta situación con la alumna?

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Estándar 19 : Está preparado para conducir el aprendizaje de las variables aleatorias discretas. El futuro profesor o profesora conoce y aplica los conceptos básicos de variables aleatorias discretas, calcula probabilidades de eventos aleatorios, esperanza y varianza de variables aleatorias discretas. Conoce las distribuciones de Bernoulli, binomial y de Poisson y las aplica a la resolución de problemas. Comprende cómo se aproxima la distribución binomial por medio de la distribución de Poisson. El futuro profesor o profesora está capacitado para conducir el aprendizaje de los elementos de variables aleatorias discretas presentes en el currículo escolar, lo que incluye la planificación de clases y actividades, el conocimiento de las dificultades y errores frecuentes de los estudiantes y la evaluación de los aprendizajes. Comprende la importancia de la aproximación empírica de una probabilidad y las posibilidades que ofrecen los juegos de azar en el aprendizaje de las probabilidades. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Conoce la aproximación de la distribución binomial por la distribución de Poisson, y la usa para estimar probabilidades. Ejemplo 1 : Suponga que un profesor está usando una planilla de cálculo para trabajar con sus alumnos la aproximación de una variable aleatoria binomial por una Poisson. Para ello forma grupos de trabajo y les entrega ejercicios como el siguiente: Suponga que dos de cada n1 personas expuestas a un cierto virus desarrollan los síntomas que éste provoca. Se exponen al virus n2 personas. i) Identifique la variable aleatoria y su función de probabilidad. ii) Con apoyo de una planilla de cálculo realice la gráfica de la función de probabilidad para: n1 = 10, n2 = 20; n1 = 100, n2 = 300; n1 = 1000 y n2 = 2500. iii) En cada caso compare el gráfico obtenido con el gráfico de una variable Poisson de parámetro λ = n21 · n2 . ¿Qué observa? a) ¿Es adecuada la estrategia usada por el profesor para trabajar la aproximación de binomial a Poisson? b) ¿De qué otra forma sería adecuado trabajar este tema? c) Indique ventajas y desventajas al tratar este tema con apoyo de software Ejemplo 2 : Sea Sn una variable aleatoria que se distribuye según una binomial de parámetros n y pn . Demuestre que si l´ım npn = λ > 0,

n→∞

entonces

λk e−λ . n→∞ k! a) Considere la variable aleatoria: Número de caras en n lanzamientos de una moneda. Con ayuda de la función contar.si, determine el número de caras obtenidas para n=10, n=100 y n=1000. l´ım P [Sn = k] =

237

b) Señale cómo se podría utilizar esta simulación para mostrar la aproximación de una variable aleatoria binomial por una Poisson. Ejemplo 3 : Suponga que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n y p. Utilizando una planilla de cálculo encuentre P (X = 3), P (X ≤ 4) y P (x > 5) para: n = 50 y p = 0, 5; n = 100 y p = 0, 1; n = 1000 y p = 0, 002. En cada caso realice sus cálculos usando la distribución exacta y la distribución de Poisson. a) Compare los resultados de las aproximaciones respecto a los obtenidos con la aproximación. ¿Qué observa?. b) Pruebe con diversos valores de n y p para conjeturar qué condiciones deben cumplir estos parámetros para que la aproximación mejore. Indicador 2 : Resuelve problemas que involucran la distribución de Poisson. Ejemplo 1 : Usted recibe correos electrónicos durante una jornada que se define como el período de tiempo que va desde las 8 de la mañana a las 20 horas. Sólo en este período usted puede leer sus correos. Suponga que los correos se reciben de acuerdo a un proceso de Poisson a un tasa (o razón) de 0.2 mensajes por hora. a) Usted lee sus correos cada hora durante una jornada. ¿Cuál es la probabilidad de que en una hora dada no encuentre mensajes nuevos? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a lo más un mensaje nuevo en esa hora? b) Suponga que debido a un viaje usted no ha leído su correo durante toda una jornada. ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido exactamente 2 mensajes? c) Dado que en la última jornada usted ha recibido 7 correos en total, calcule la probabilidad de que entre las 8 y 10 de la mañana usted haya recibido exactamente 3 mensajes? Verifique que esta probabilidad es igual a P (X = 3) cuando X ∼ Bin(n, p), e identifique los parámetros. Ejemplo 2 : Una urna recibe una bola de color en cada momento de un proceso de Poisson con intensidad λ. El color de la bola se determina al azar lanzando una moneda equilibrada: si sale cara, se agrega una bola blanca a la urna; si sale sello, se agrega una bola azul. ¿Cuál es la distribución del número de bolas blancas en el instante t? Indicador 3 : Calcula esperanza, varianza y desviación estándar de variables aleatorias discretas. Ejemplo 1 : En un circuito con n interruptores, el interruptor i está cerrado con probabilidad pi , i = 1, ..., n. Sea X el número de interruptores que están cerrados. Calcule E(X) y V ar(X). Ejemplo 2 : El juego de San Petersburgo. Considere el siguiente juego: “El jugador lanza una moneda hasta que aparezca la primera cara. Si T es el número de tiradas hasta que aparezca la primera cara, entonces el jugador recibe un pago de 2T ”. Suponga que para jugar este juego debe pagar una entrada ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar? 238

Ejemplo 3 : Encuentre la varianza del número de caras obtenidos al lanzar n veces una moneda. ¿Cuál es la varianza de el número de sellos? Indicador 4 : Conoce elementos del desarrollo histórico del Teorema Central del Límite. Ejemplo 1 : Explique cómo la teoría de errores crea la necesidad de un Teorema Central del Límite. Explique los aportes de De Moivre, Laplace y Chevyshev en la demostración del teorema. Ejemplo 2 : Describa la máquina de Galton, explique cómo funciona y explique su relación con la distribución normal. Comente para qué Galton ideó esta máquina. Indicador 5 : Conoce dificultades y errores de los alumnos y alumnas en el aprendizaje del concepto de variable aleatoria. Ejemplo 1 : Dado el siguiente contenido: Utilización de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y establecimiento de la relación con la función de distribución. a) ¿Qué diferencias podrían observar los alumnos y alumnas entre la función de probabilidad y la función de distribución de una variable aleatoria discreta? b) Determine dos dificultades que los alumnos y alumnas pueden tener al tratar de establecer la relación entre la función de probabilidad y función de distribución. Ejemplo 2 : Se plantea el siguiente problema a los estudiantes de un curso: Un experimento aleatorio consistente en lanzar un dado tres veces se define la variable aleatoria X = "suma de los puntos obtenidos en los tres lanzamientos". Obtener la función de probabilidad de X. Hallar la media, varianza y desviación típica de esta variable aleatoria. Los alumnos disponen de computador con una planilla electrónica. a) ¿Qué dificultades cree usted tendrán los estudiantes al plantear el problema? b) ¿Qué dificultades tendrán con el uso de la planilla electrónica? Después de que los estudiantes han desarrollado el problema se plantea la siguientes pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de sacar 15 puntos o menos? c) ¿Qué errores cree usted que cometerán los estudiantes al contestar? Ejemplo 3 : La siguiente es la definición que se presenta a los alumnos y alumnas de un curso: Definición: Llamamos variable aleatoria o variable estocástica, X, a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral, E, un número real x. Se puede decir que es valor numérico que se asigna a un suceso. Al definir la función de probabilidad de una variable aleatoria se producen confusiones provenientes del hecho que se relacionan dos funciones: la variable aleatoria y la función de distribución. Más aun, una de estas funciones se llama variable aleatoria. 239

a) ¿Qué acciones tomaría para superar estas dificultades? b) ¿Es posible evitarlas o al menos minimizarlas? Indicador 6 : Articula los contenidos del currículo escolar relacionados a variables aleatorias y sabe como estos se relacionan con contenidos de otras áreas. Ejemplo 1 : Dado el siguiente contenido: Aplicación del concepto de variable aleatoria en diferentes situaciones que involucran azar e identificación de ésta como una función. a) Describa los contenidos del eje de datos y azar de currículo que son necesarios para la adecuada comprensión de este contenido? b) ¿Qué conocimientos previos de otros ejes podría identificar como necesarios o deseables para la para la comprensión de este contenido? c) ¿Qué conocimientos del currículo se basan, o tienen como prerrequisito, en este contenido? Explique brevemente la articulación de estos en una secuencia. d) Describa contenidos de otros ejes del currículo escolar (de áreas como física, química o biología) que pueden relacionarse con el contenido enunciado arriba, considerándolo como requisito o conocimiento previo ¿Podría relacionarlo con otra área, como historia o educación física? Ejemplo 2 : Dado el siguiente contenido: Determinación de la distribución de una variable aleatoria discreta en contextos diversos y de la media, varianza y desviación típica a partir de esas distribuciones. a) Describa los conocimientos previos necesarios y/o deseables para la adecuada compresión de estos contenidos. b) En la determinación (o cálculo) de la media o varianza de una variable aleatoria por parte de los estudiantes, el conocimiento sobre el cálculo y significado de la media o varianza ponderada, como naturalmente aparece con datos agrupados en tablas de frecuencias, puede ser especialmente útil. Explique las relaciones entre estos contenidos y la forma de aprovechar el segundo para introducir el primero. Indicador 7 : Utiliza simulaciones computacionales y con material concreto para la enseñanza y aprendizaje de las variables aleatorias. Ejemplo 1 : Dado el siguiente contenido Explorar la relación entre la distribución teórica de una variable aleatoria y la correspondiente gráfica de frecuencias, en experimentos aleatorios discretos, haciendo uso de simulaciones computacionales. a) Determine 3 experimentos aleatorios discretos que se puedan simular con material concreto y también con el uso de simulaciones computacionales. 240

b) ¿Por qué cree usted que el contenido pide explorar la relación usando simulaciones computacionales y no simulaciones con material concreto? ¿Qué ventajas tiene una sobre la otra? c) Considere que ya ha determinado el simulador computacional. Diseñe preguntas adecuadas que permitan a los alumnos y alumnas observar y verificar la relación solicitada en el contenido. Ejemplo 2 : Considere el siguiente paseo aleatorio: Una hormiga hace una caminata aleatoria según el siguiente patrón: -La hormiga, partiendo de la posición inicial, da pasos de longitud 1 en línea recta. - La hormiga da pasos a la izquierda o a la derecha con probabilidad 0, 5 en cada caso. -La caminata de la hormiga consta de 10 pasos. Diseñe una clase basada en el paseo a aleatorio anterior, que involucre la participación de dos equipos de trabajo en competencia. a) Proponga condiciones para que un equipo sea el ganador, explicando por qué interesará a los alumnos y alumnas. b) Si sugiere a sus estudiantes realizar simulaciones de la caminata ¿Cuántas de éstas cree serían necesarias? ¿Cómo podrían hacerlas? c) ¿Qué cálculo de probabilidades les pediría a partir de las simulaciones y teniendo en cuenta a)? Indicador 8 : Elabora actividades para el aprendizaje de los contenidos relacionados a distribuciones de probabilidad. Ejemplo 1 : Considere el siguiente problema: La variable aleatoria X tiene la siguiente función de probabilidad: xi 0 1 2 3 f (xi ) 0,15 0,40 0,30 0,15 1. Obtenga la función de distribución para la variable X. 2. Represente gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución de la variable X. 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener valores superiores a 1? ¿y menores que 3? ¿y entre 1 y 3 (ambos inclusive)? 4. Obtenga el valor esperado y la varianza de la variable X. 5. Obtenga el valor esperado y la varianza de las variables U = X + 2 y W = 3X. a) Indique los conocimientos previos necesarios para que los estudiantes aborden este problema. b) Indique posibles dificultades que pueden encontrar los estudiantes al resolver el problema. c) Identifique posibles errores que los estudiantes pueden cometer al resolver el problema. d) De acuerdo a lo anterior, proponga modificaciones al problema, si lo considera necesario. 241

e) Identifique preguntas que sus estudiantes pueden hacer y prevea una respuesta que enriquezca la comprensión. f) El problema planteado podría ser poco motivador. Modifíquelo de modo que cumpla con los propósitos originales, pero que sea más motivador para los estudiantes. Justifique su propuesta. Ejemplo 2 : Considere los siguientes dos problemas: 1. Una urna contiene 30 bolas rojas y 20 bolas verdes, de la cual se saca una muestra de 5 bolas al azar. Sea Y el número de bolas rojas en la muestra. i) Encuentre la función de probabilidad de Y explícitamente. ii) Grafique la función de probabilidad de Y e identifique la moda. iii) Encuentre P (Y > 3). 2. Se tira cinco veces una moneda que tiene una probabilidad de cara p = 0,4. Sea X el número de caras obtenidas. i) Encuentre la función de probabilidad de X explícitamente. ii) Grafique la función de probabilidad de X e identifique la moda. iii) Encuentre P (X > 3). a) Para el Problema 1: Indique los conocimientos previos necesarios para que los estudiantes aborden este problema. Indique posibles dificultades que pueden encontrar los estudiantes al resolver el problema. Identifique posibles errores que los estudiantes pueden cometer al resolver el problema. De acuerdo a lo anterior, proponga modificaciones al problema, si lo considera necesario. Identifique preguntas que sus estudiantes pueden hacer y prevea una respuesta que enriquezca la comprensión. b) Repita lo anterior para el Problema 2. c) Sugiera posibles actividades adicionales en torno a estos problemas, por ejemplo, cambiando las proporciones de bolas rojas y verdes en el problema 1 y cambiando la probabilidad p en el problema 2. d) Compare los problemas de acuerdo al nivel de las dificultades para los estudiantes. Indicador 9 : Planifica actividades para la enseñanza de las distribuciones de probabilidad que enfaticen su aspecto frecuentista. Ejemplo 1 : La distribución de Benford está determinada por la siguiente fórmula d+1 P (d) = log , d = 1, 2, ..., 9. d Se dice que esta distribución describe la probabilidad de que el dígito d aparezca en primer lugar en un número. Diseñe una actividad para que los estudiantes comparen la distribución de frecuencias empíricas con la distribución de probabilidad. Induzca a los estudiantes a explorar situaciones donde esta distribución se cumpla aproximadamente y otras donde no se cumpla. Prevea dificultades que los estudiantes tendrán e indique cómo las abordará e indique claramente los objetivos que se plantea con la actividad. 242

Ejemplo 2 : Los estudiantes disponen de un computador con una planilla de cálculo que tiene programada la función BINOMIAL(n, k, p), que entrega la probabilidad de obtener k éxitos en un experimento con n ensayos y probabilidad p de éxito. Planifique una actividad para que los alumnos y alumnas obtengan la distribución de probabilidad binomial en tablas y gráficos y la usen para resolver problemas. a) ¿Qué conocimientos previos deben tener los alumnos y alumnas? b) ¿Cómo evaluaría si tienen las suficientes habilidades para el uso de la planilla de cálculo? c) ¿Cómo motivaría la actividad? ¿la contextualizaría? ¿Cómo? d) Haga un esbozo de guía de trabajo (la actividad podría durar una o dos sesiones de hora y media). Indicador 10 : Elabora y analiza problemas para la enseñanza de la distribución Binomial. Ejemplo 1 : Considere el siguiente indicador que propuso una profesora. Los alumnos y alumnas grafican los resultados de un experimento aleatorio que puede ser modelado por una distribución binomial con parámetros (x, n, p). a) La profesora propone el siguiente problema para el logro del indicador: Se tiene una urna con bolitas blancas y negras en igual número. Un experimento consiste en extraer 1 bolita desde la urna, reponerla y sacar nuevamente otra bolita. Elabore el gráfico de distribución del experimento. b) ¿Cree usted que el problema propuesto cubre el indicador? c) ¿Es necesario otro problema o actividad para que se cubran los contenidos del indicador? Ejemplo 2 : Considere el siguiente contenido Uso del modelo binomial para analizar situaciones o experimentos, cuyos resultados son dicotómicos: cara o sello, éxito o fracaso o bien cero o uno. a) Un profesor considera pasar el contenido en una clase. ¿Cuál sería el aprendizaje que el profesor debería alcanzar al finalizar la clase? b) Si el profesor quisiera ir verificando durante la clase si el aprendizaje se está alcanzando, ¿Qué debe hacer? Indicador 11 : Utiliza juegos como herramienta de motivación en la enseñanza de la unidad de variables aleatorias discretas. Ejemplo 1 : Un profesor quiere introducir al concepto de esperanza y para ello propone el siguiente juego a sus alumnos y alumnas. Apostando Monedas: El juego consiste en lanzar una moneda y si se obtiene cara se gana, en caso contrario se pierde. Cada jugador tiene tres lanzamientos. Si se obtiene cara en el primer lanzamiento se gana el doble de lo apostado y el juego concluye; si se obtiene cara en el segundo lanzamiento, se gana 4 veces lo apostado y el juego también concluye; si obtiene cara en el 243

tercer lanzamiento se gana 8 veces lo apostado. En caso de no obtener cara en ninguno de los lanzamientos, el jugador deberá pagar 32 veces lo apostado. Luego de presentar el profesor el problema a los alumnos pregunta: ¿Quién quiere jugar el juego apostando monedas,... pero de verdad?, a lo cual los alumnos responden que no, ya que si no sale, hay que pagar mucho. a) ¿Qué debe hacer el profesor para que los alumnos se motiven a analizar el juego? b) ¿Qué tiene que hacer el profesor para que los alumnos argumenten matemáticamente la no conveniencia de jugar el juego? c) ¿Qué debiera hacer el profesor para que los alumnos y alumnas modifiquen el juego para que sea conveniente jugarlo? Ejemplo 2 : Considere la siguiente situación: Un profesor mediante la simulación del juego “lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos” quiere mostrar la esperanza matemática. Luego de que los alumnos simulan el lanzamiento y registran la frecuencia, el profesor comienza a preguntar sobre la probabilidades de cada uno de los resultados obtenidos, escribiendo la siguiente formula 2·

1 2 2 1 +3· + · · · + 11 · + 12 · 36 36 36 36

Luego de terminar de escribir la fórmula el profesor menciona, Esta fórmula corresponde a la esperanza del juego, lo que coincide con el resultado con mayor probabilidad. Terminando de hablar el profesor, un alumno menciona, pero profe sabe que calculé la fórmula para el lanzamiento de un sólo dado y la esperanza es 3,5 y este resultado ni siquiera está entre los resultados del experimento....además es como el promedio la esperanza a) ¿Es la situación presentada por el profesor adecuada y motivadora para conceptualizar la esperanza matemática?. Fundamente su respuesta b) ¿Qué le debe resonponder el profesor al alumno? c) Muestre una estrategia, la cual considere la situación anterior, para que los alumnos comprendan el concepto de esperanza matemática. Indicador 12 : Motiva el modelamiento de variables aleatorias discretas a través de experimentos aleatorios. Ejemplo 1 : Ha llegado el día de realizar experimentos en la sala, usando urnas, para ello el profesor ha pedido la clase anterior traer cajas tipo urnas y bolitas de colores. Da la siguiente instrucción a los grupos de trabajo, que en esta ocasión están constituidos por 3 estudiantes. Profesor: Supongan que cada urna contiene 15 bolitas, de ellas 5 son de un color x. Se extraen 6 bolitas al azar (una a una). Considere la variable aleatoria: Número de bolitas x en las seis extraídas. a) ¿Cuál es el recorrido de la variable aleatoria? b) ¿Cuál es la probabilidad asociada a cada elemento del recorrido de la variable aleatoria? c) Plantee una expresión matemática que permita modelar la variable aleatoria en estudio, es decir, la función de probabilidad de x. 244

d) Use el modelo propuesto en c) para calcular la probabilidad de extraer alguna bolita color x? Los alumnos muy motivados comienzan a poner las bolitas en las urnas y a registrar los posibles valores del recorrido, tratando de responder las preguntas planteadas. Josefa insegura de los resultados de su grupo se acerca al grupo vecino y dice: Chiquillos, nos dio un recorrido del cero al 6. ¿A ustedes qué les dio? Pedro le contesta: A nosotros nos dio del cero al cinco. ¡no puede ser!, dice Josefa, ¡Estás equivocado! Luego se acerca a otro grupo y pregunta lo mismo. De respuesta obtiene la misma que dijo Pedro. Obstinada, se acerca a un tercer grupo en el cual le dieron como respuesta, lo que ella quería escuchar. Comentó con sus compañeros de trabajo que otros grupos tenían otro recorrido, decidieron con buena intención avisarles del error, lo que generó un murmullo y discusión entre los grupos. El Profesor molesto por el desorden llama la atención a los estudiantes y les pregunta por qué discuten. Josefa explica lo sucedido. El profesor pide silencio e indica que procedan con el trabajo. Pedro con dudas dice: Pero Profe, por qué no nos dice cuál es el recorrido correcto porque varios grupos tienen un resultado distinto al de mi grupo. ¿Entonces estamos haciendo algo mal?. Ya lo revisamos muchas veces. El profesor les dice: No sean porfiados, que cada grupo siga trabajando con los resultados obtenidos hasta el momento, aunque hayan diferencias. a) ¿Por qué cree usted que hay dos respuestas para el recorrido? ¿Cree Ud. que el profesor debió señalar que esto podría ocurrir?. b) ¿Podría explotarse más la actividad con otro tipo de indicaciones?. Justifique. c) ¿Qué importancia da a la modelación de una variable aleatoria? Ejemplo 2 : Considere el experimento aleatorio de lanzar un dado de seis caras dos veces. Sea la variable aleatoria Y: “el menor número obtenido en los dos lanzamientos”. a) Diseñe una estrategia para que los estudiantes realicen el experimento y determinen el espacio muestral asociado al experimento. b) Proponga un método simple para que los estudiantes determine la función de probabilidad de la variable aleatoria Y c) Señale otros experimentos para los cuales los estudiantes puedan resolver a) y b ) Indicador 13 : Elabora distintas estrategias de evaluación del aprendizaje de los conceptos de variables aleatorias discretas. Ejemplo 1 : Suponga que a los estudiantes de un curso de 3° medio, se les ha pedido que simulen un experimento aleatorio sencillo en una planilla de cáculo, como por ejemplo, lanzar una moneda 100 veces. Para ello, se han formado grupos de trabajo y a cada grupo se le ha dado un experimento a simular. El objetivo de la actividad es asociar al experimento una variable aleatoria de interés, para la cual, determinen función de probabilidad y función de distribución acumulada con sus respectivos gráficos. Para evaluar la actividad, el profesor pide a cada grupo que exponga sus resultados al curso. 245

a) Proponga 4 indicadores para confeccionar una rúbrica que evalúe el trabajo dado a los estudiantes. b) Desagregue el indicador que considere más importante, señalando el puntaje asociado a cada parte desagregada. Ejemplo 2 : Considere el siguiente problema: Un jugador lanza un dado. Si sale número primo, gana tantos cientos de pesos como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de pesos como marca el dado. a) Un profesor usó el problema planteado para iniciar la discusión sobre el concepto de esperanza. Sin embargo hay algunos alumnos que no participaron de la discusión. ¿Qué debe realizar el profesor para saber si los alumnos que no participaron en la discusión tienen alguna idea de lo que es la esperanza? Fundamenta tu respuesta. b) Proponga una actividad de evaluación en la forma de un problema abierto a ser desarrollado en grupo, para evaluar el aprendizaje de los estudiantes de contenidos y habilidades similares al problema 2. Justifique. Ejemplo 3 : Se ha propuesto el siguiente problema para evaluar la unidad de variables aleatorias de 3° medio: Un juego de azar consiste en lanzar tres dados. El jugador elige un número entre 1 y 6. Recibe una cantidad a si su número aparece una vez, el doble si aparece dos veces y el triple si aparece tres veces. Si el número elegido no figura entre los resultados, pierde a. Calcula el beneficio esperado del jugador. a) Indique qué contenidos son necesarios para resolver el problema. b) ¿Le parece adecuado este problema para el propósito mencionado arriba? c) Prevea las dificultades que tendrán los estudiantes al resolver el problema. d) Elabore una pauta de corrección, asignando puntajes parciales. Justifique sus decisiones.

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Estándar 20 : Está preparado para conducir el aprendizaje de la distribución normaly teoremas límite. El futuro profesor o profesora conoce y aplica los conceptos básicos de variables aleatorias continuas, la funciones densidad y distribución, la esperanza, la varianza y los percentiles. Conoce la distribución uniforme, la exponencial y la normal, el significado de sus parámetros, y las aplica a la resolución de problemas. Conoce ley de los grandes números y el teorema central del límite y los aplica en la resolución de problemas. El futuro profesor o profesora es capaz de conducir el aprendizaje de las ideas de aproximación de la binomial por la normal y del teorema central del límite, ilustrándolos con simulaciones y motivando su utilidad en contextos relevantes para los estudiantes, de acuerdo al currículo escolar. Lo que se manifiesta cuando: Indicador 1 : Determina los elementos fundamentales de una variable aleatoria continua, tales como densidad, distribución, esperanza, percentil y varianza. Ejemplo 1 : La duración de cierto artefacto electrónico, en años, se puede modelar por una variable aleatoria asociada a la siguiente función de distribución: ½ 0 si x < 0 F (x) = 1 − e−0,1x si x ≥ 0. Calcule la duración media del artefacto. Ejemplo 2 : Suponga que la densidad de probabilidad de una variable aleatoria X es la siguiente: ½ x para 0 ≤ x ≤ 4 8 f (x) = 0 en otro caso. a) Determine el percentil 25, es decir, el valor de t tal que P (X ≤ t) = 1/4. b) Determine el valor de t tal que P (X ≥ t) = 1/2. Ejemplo 3 : Sea X una variable aleatoria, cuya densidad está dada por f (x) = λ −λ|x| e con λ > 0. Calcule la esperanza y la varianza de X. 2 Indicador 2 : Resuelve problemas de probabilidades que involucran la distribución uniforme. Ejemplo 1 : Suponga que se elige un punto al azar, es decir de acuerdo a una distribución uniforme, en el segmento determinado por los puntos A y B. ¿Cuál es la probabilidad de que la razón entre las distancias de dicho punto a A y a B sea mayor a 3? Ejemplo 2 : En una estación ferroviaria, los trenes con destino a A llegan en intervalos de 15 minutos desde las 7 A.M., mientras que los trenes con destino a B llegan en intervalos de 15 minutos desde las 7:05 A.M. Un pasajero llega a la estación de acuerdo a un tiempo uniformemente distribuido entre las 7 A.M. y 8 A.M. y toma el primer tren que llega. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el pasajero tome el tren con destino a A? 247

b) ¿Cómo cambia su respuesta si el pasajero llega a la estación en un tiempo uniformemente distribuido entre 7:10 A.M. y 8:10 A.M.? Indicador 3 : Conoce propiedades básicas de la distribución exponencial y resuelve problemas que la involucran. Ejemplo 1 : Explique por qué se dice que la distribución exponencial no tiene memoria. Establezca esta propiedad en términos precisos y demuestre su validez. Ejemplo 2 : Marta y Carmen son dos secretarias que comparten una oficina. Marta recibe en promedio 6 llamadas telefónicas por hora, mientras que Carmen recibe 10. a) Explique por qué la separación temporal entre dos llamadas consecutivas que recibe Marta se puede modelar con una variable aleatoria exponencial, ¿Cuál es el parámetro de la distribución? b) ¿Qué se puede decir de las llamadas que recibe Carmen? c) Si en un momento dado ambas secretarias están libres de llamadas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna reciba una llamada en las próximas t horas? Explique los supuestos y el rol de la propiedad de falta de memoria de la distribución exponencial en su cálculo. Indicador 4 : Comprende la Desigualdad de Tchebychev y su relación con la Ley de los Grandes Números. Ejemplo 1 : Una moneda cargada es lanzada repetidas veces, con p la probabilidad de obtener cara. Sean Cn y Sn el número de caras y sellos después de n lanzamientos de la moneda, respectivamente. Justifique que para δ > 0 µ ¶ 1 P 2p − 1 − δ ≤ (Cn − Sn ) ≤ 2p − 1 + δ → 1, n cuando n → ∞. Discuta el significado frecuentista de este resultado. Ejemplo 2 : La probabilidad de que un lanzador de dardos acierte en el blanco en cada tiro es 0,75. Muestre que cuando lanza 100 dardos, la probabilidad de que tenga más aciertos que yerros es mayor que 0, 97. Indicador 5 : Comprende la Ley de los Grandes Números y la aplica para resolver problemas. Ejemplo 1 : Una apuesta de $1000 sobre un juego de dados tiene una ganancia esperada de 0,0141.¿Qué afirma la Ley de los Grandes Números (LGN) si hace un gran número de apuestas de $1000? ¿Le asegura la LGN que si juega muchas veces sus pérdidas serán pequeñas o le asegura que usted perderá? Justifique sus respuestas. Ejemplo 2 : Sean {Xi }i≥1 los dígitos de un número N elegido al azar en [0, 1], es decir, el número puede ser expresado como N = 0, X1 X2 X3 .... a) Explique por qué los dígitos {Xi } son variables aleatorias independientes equiprobables en {0, 1, ..., 9}. 248

b) Usando la Ley de los Grandes Números, pruebe que la frecuencia relativa del dígito 1 en los primeros n dígitos de N es aproximadamente 1/10 para n grande. Indicador 6 : Conoce elementos del desarrollo histórico del Teorema Central del Límite. Ejemplo 1 : El Teorema Central del Límite fue primero demostrado por Abraham De Moivre y puesto como apéndice de su libro The Doctrine of Chances, publicado en 1718. Específicamente desarrolló un método para aproximar la suma de los términos de la expansión en serie del binomio (a + b)n . Contrariamente a las deducciones modernas de esta aproximación, De Moivre aproximó Ã n ! µ ¶ X n k P Xi = k = p (1 − p)n−k , k i=1 donde cada Xi sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p, y se asume que las variables aleatorias X1 , . . . , Xn son independientes entre sí. Específicamente, De Moivre obtiene la siguiente aproximación: Ã n ! µ ¶ X m2 P Xi = km´ax + m ≈ b(km´ax ) exp − 2np(1 − p) i=1 donde km´ax es el valor donde la distribución P binomial Bin(n, p) alcanza su valor máximo, b(km´ax ) corresponde a P ( ni=1 Xi = km´ax ) y m es un entero positivo mayor o igual a 1 y tal que km´ax + m ≤ n. a) Investigue los detalles de la demostración, indicando cómo se utiliza la fórmula de Stirling. b) ¿Cómo se deduce de esta aproximación el enunciado estándar del Teorema P central del Límite, a saber, la convergencia de la distribución de ni=1 Xi debidamente centrada y normalizada? Ejemplo 2 : En 1810, Laplace estudió la aleatoriedad de las órbitas de los cometas y para ello observó de 97 cometas. Bajo la hipótesis de una distribución rectangular para los ángulos de inclinación de las órbitas (con respecto al plano que contiene a la Tierra), con la ayuda del Teorema Central del Límite, calculó la probabilidad que la media aritmética de todos los ángulos pertenecían a un intervalo en torno a los 50G (que corresponden a nuestros 45°). La media de las observaciones fue de 51.827663G, y así Laplace consideró el intervalo [50G − 1,87663G; 50G + 1,87663G]. La probabilidad de este intervalo fue aproximadamente igual a 0.5, un resultado del cual Laplace infirió que no existía ninguna causa primitiva que afectara la posición de las órbitas de los cometas. a) Discuta cómo se utiliza el Teorema Central del Límite para calcular la probabilidad de 0.5 encontrada por Laplace. b) Discuta por qué Laplace centra su análisis sobre el intervalo [50G − 1,87663G; 50G + 1,87663G], y no sobre otro. 249

c) Básicamente Laplace deduce que los ángulos de las órbitas de los cometas es de 50G, salvo pequeñas fluctuaciones. Comente cómo se utiliza el Teorema Central del Límite para evaluar el grado de aleatoriedad de dicho error de medición. Indicador 7 : Conoce dificultades que tienen los estudiantes con conceptos de variables aleatorias y de aproximación para muestras grandes. Ejemplo 1 : Una dificultad frecuente que tienen los estudiantes tiene que ver con la confusión entre parámetro, estimador y estimación. a) ¿De qué manera explicaría a los estudiantes la diferencia entre parámetro y estimación? b) ¿Cuál cree que la mayor dificultad que tienen los alumnos y alumnas para comprender el hecho que el promedio es una variable aleatoria antes del muestreo y que después del muestreo es una estimación ? c) Describa un instrumento de evaluación para averiguar si sus estudiantes confunden los conceptos de parámetro, estimador y estimación. d) Desarrolle, en el caso de la media de una población normal, una actividad que tenga por objetivo que los alumnos y alumnas mejoren su comprensión de los conceptos de parámetro, estimador y estimación. Explique por qué su actividad contribuye efectivamente al fin para el que se ha diseñado. Ejemplo 2 : Se pide a los alumnos y alumnas de 3° medio que analicen gráficamente la distribución de una variable binomial de parámetro p = 0,5 y para valores de n = 10, 100, 500 y 1000, utilizando una planilla de cálculo. a) ¿Qué dificultades cree usted que encontrarán desde el punto de vista práctico en el manejo de la planilla de cálculo? b) ¿Qué tipo de preguntas haría a los estudiantes para guiarlos en las conclusiones esperadas a partir del análisis de los gráficos cuando n crece? c) ¿Qué dificultades cree usted que encontrarán los estudiantes con la idea de aproximación? y ¿la idea de límite? Explique. Indicador 8 : Comprende el currículo escolar en lo referente a distribuciones de probabilidad continua. Ejemplo 1 : Si tuviera que resumir en tres los requisitos para enfrentar con éxito la unidad de Datos y Azar en 4° medio ¿cuáles serían? Justifique su elección. Ejemplo 2 : La simulación de experimentos aleatorios usando herramientas tecnológicas juega un rol importante en el estudio de las distribuciones de probabilidad, como lo indica el currículo escolar. a) Mencione qué aspectos de simulación y de uso de herramientas tecnológicas le parecen más importantes en el estudio de distribuciones de probabilidad en enseñanza media. Dé ejemplos. b) El uso de planilla electrónica por parte de los alumnos y alumnas es importante para los propósitos indicados arriba. ¿Qué habilidades deberían tener los alumnos y alumnas para poder realizar simulaciones? Sea específico en cuanto a conocimiento y uso de comandos y funciones. 250

Ejemplo 3 : En el área de las Ciencias Naturales se encuentra el eje "Habilidades de Pensamiento Científico", el cual tiene un carácter transversal a todos los contenidos de ciencias, tanto de biología, química y física en 4° medio. a) Indique en qué contenidos de ciencias se pueden abordar las distribuciones de probabilidad. b) Elabore un proyecto de investigación para los alumnos que integre las áreas de matemática y ciencias, considerando a las distribuciones de probabilidad continua como uno de los contenidos a tratar. Indicador 9 : Elabora estrategias de enseñanza relacionadas con los contenidos de distribución normal. Ejemplo 1 : Suponga que en la dirección de su establecimiento se ha establecido priorizar los conocimientos clave para los alumnos y alumnas de 4° medio, debido a las actividades de fin de año, por lo cual se le solicita planificar nuevamente la unidad de Datos y Azar, la cual está al final del segundo semestre en el Plan y Programa Pedagógico de su departamento de matemáticas. a) ¿Qué criterios usaría para priorizar los contenidos? b) Indique los contenidos a priorizar. c) Liste los aprendizajes esperados de los contenidos priorizados y para cada uno de ellos estime el tiempo necesario para su enseñanza. Ejemplo 2 : Describa de qué forma introducirá el gráfico de la densidad y la distribución normale indique cómo motivará a los estudiantes a encontrar percentiles gráficamente. Ejemplo 3 : En la UTP de su establecimiento escolar se ha decidido que los alumnos y alumnas utilicen tablas para determinar los percentiles de la distribución normal. a) ¿Cómo explicaría a sus alumnos y alumnas el uso de la tabla normal, enfatizando la transformación a la normal (0, 1) y la simetría de esta distribución? b) Indique ventajas y desventajas de usar tablas frente al uso de una planilla de cálculo u otra herramienta computacional para encontrar percentiles de la distribución normal. Indicador 10 : Planifica actividades en base a problemas que permitan explicar e ilustrar la convergencia de la distribución de probabilidad binomial a la distribución de probabilidad normal. Ejemplo 1 : Para la realización de actividades con los contenidos escolares relacionados con la convergencia de la distribución binomial a la normal mediante el uso de TIC, se han planteado los siguientes problemas: Problema 1. a) Grafique la función de probabilidad binomial para n = 10 y n = 20 para los valores de probabilidad de éxito p = 0, 7 y p = 0, 5. b) Discuta los gráficos obtenidos en relación a la aproximación a la distribución normal por la Binomial. 251

Problema 2. Muestre, usando una secuencia de gráficos (5 ó 6) cómo la distribución binomial converge a la normal. Indique los parámetros que considera para la binomial y los correspondientes a la normal a que aproximan. Normalice si lo estima conveniente. Suponiendo que los estudiantes disponen de un computador con una planilla de cálculo en que se ha programado la distribución binomial de modo que, al ingresar los parámetros: n =número de experimentos y p = probabilidad de éxito se generan los valores correspondientes a la función de probabilidad en una tabla, planifique una actividad tomando en cuenta: a) Los requisitos que deben tener los estudiantes respecto del uso de TIC. b) Los conocimientos que deben tener los estudiantes para enfrentarlos con éxito. c) Las dificultades que podrían tener los estudiantes para responder estos problemas. d) Si los problemas son apropiados para un trabajo individual o grupal, que puede realizarse durante la clase, en la casa o ambas. Ejemplo 2 : Se han planteado los siguientes problemas para estimular el aprendizaje de los contenidos relacionados con la convergencia de la distribución binomial a la normal. Los estudiantes disponen de una tabla de la distribución normal y una calculadora. Problema 1. ¿Cuál es la probabilidad que salgan 25 o más caras si se lanza una moneda 100 veces? Problema 2. µ ¶ 15 Aproxime el número combinatorio . 6 Con respecto a estos dos problemas: a) Indique los conocimientos que deben tener los estudiantes para responder con éxito . b) Para cada problema mencione las dificultades que podrían tener los estudiantes para responder correctamente. c) Para cada problema indique si usted cree que es apropiado usarlo en un trabajo individual o grupal, si es apropiado usarlo durante la clase o para la casa? Justifique sus respuestas. d) Considerando que estos problemas están diseñados para el aprendizaje del siguiente contenido: Aproximación de la probabilidad binomial por la probabilidad normal, aplicación al cálculo de experimentos binomiales ¿cree usted que son adecuados? ¿cree usted que falta algún concepto o habilidad que no esté considerada? ¿hay redundancia? Indicador 11 : Utiliza estrategias de simulación que permitan a los estudiantes conjeturar la distribución de medias muestrales. 252

Ejemplo 1 : Usando una planilla de cálculo, proponga una actividad para que sus estudiantes conjeturen la distribución de la media muestral. Para ello considere lo siguiente: a) Generación de n números aleatorios entre 0 y 100, y calcular su promedio. ¿Qué estrategia utilizaría para que sus estudiantes comprendan que estos números son realizaciones de una variable aleatoria uniforme discreta? b) Estrategia para motivar la necesidad de repetir k veces la generación de números aleatorios anterior para así obtener k medias muestrales ¿Cómo apoyaría su estrategia en el análisis exploratorio de datos? c) ¿Cómo utilizaría diversas elecciones de n y/o k para ayudar a conjeturar la distribución de la media muestral por medio de histogramas? d) Estrategia para relacionar los histogramas encontrados en la parte anterior con una distribución normal. e) Formulación del Teorema Central del Límite a partir de este ejercicio de simulación. Ejemplo 2 : En el ejemplo anterior, los números aleatorios corresponden a realizaciones de una distribución uniforme discreta. Usando un software estadístico de libre acceso (como por ejemplo R, al cual puede acceder vía http://www.r-project.org/), proponga una actividad de simulación similar a la anterior, pero donde los números aleatorios correspondan a realizaciones de distribuciones diferentes a la uniforme discretal. El objetivo de la actividad es mostrar a sus estudiantes que la distribución de los promedios es aproximadamente una normal, independiente del hecho de que la distribución con la que se generaron los números aleatorios sea muy distinta a una normal. a) Es importante que los estudiantes vean varios ejemplos ¿Cómo haría para que los alumnos y alumnas propongan distintas distribuciones?, ¿Con qué criterio elegiría las propuestas de los alumnos y alumnas? b) ¿Cómo organizaría a los estudiantes para la actividad? c) ¿Qué dificultades podrían encontrar? Indicador 12 : Es capaz de conducir actividades para que los estudiantes comprendan la aproximación de la distribución binomial por una distribución Normal. Ejemplo 1 : Un profesor pide a sus estudiantes que realicen la siguiente actividad: Supongan que tienen una variable aleatoria X que sigue una distribución binomial con parámetros n y p. Con apoyo de una planilla de cálculo obtengan las siguientes probabilidades P (X ≤ 40) y P (X > 48) para p = 0, 6 y para n = 50, n = 90 y n = 1000. Realicen sus cálculos usando la distribución binomial de la planilla y la aproximación por una distribución Normal. a) ¿Qué preguntas sobre convergencia plantearía a los estudiantes después de que hayan obtenido los cálculos? b) ¿Qué rol da al uso de la planilla para trabajar el tema de aproximación de una distribución binomial a una normal? c) ¿Qué dificultades cree que puedan presentar los estudiantes? 253

d) Un estudiante pregunta al profesor: ¿Para qué nos sirve esto profesor? ¿qué le respondería al alumno? Ejemplo 2 : En un curso de 4° medio, el profesor está enseñando cuando es posible aproximar la distribución binomial por la normal. Les ha dejado de tarea, resolver el siguiente problema: Se sabe que la probabilidad de que una persona sea zurda es de un 10 %. ¿Cuál es la probabilidad de hallar 15 alumnos zurdos en un curso de 50 alumnos? Al iniciar la clase el profesor pregunta cómo les fue con la tarea. Juan dice que resolvió el problema y el profesor le pide que realice el ejercicio en la pizarra. Juan usa la aproximación a la normal en su explicación. Por otra parte Paola, una alumna que profundiza los conceptos y que siempre pregunta por qué, señala haber obtenido un resultado muy similar, pero con otro procedimiento bastante más engorroso y muy largo. El profesor se acerca al puesto de Paola para revisar el ejercicio. Después de mirar la gran cantidad de cálculos le dice a la alumna que la forma de desarrollar el ejercicio no es correcta ya que debía usar la aproximación a la normal y no usar la distribución Binomial. Paola molesta, le dice al profesor: pero profe, es más exacto mi resultado que el de Juan, no entiendo por qué usted dice que debo aproximar cuando n es grande? a) ¿Qué opina de la respuesta que le dió el profesor a la alumna? b) ¿Cómo le respondería usted a Paola? Indicador 13 : Diseña actividades de evaluación relacionadas con las propiedades básicas de la distribución normal y del Teorema Central del Límite. Ejemplo 1 : Una prueba de fin de año para evaluar el aprendizaje de los estudiantes de 4° medio en el eje de Datos y Azar tiene el siguiente ejercicio: Sea X una variable aleatoria normal de media 100 y desviación estándar 20 a) Si Z es una variable aleatoria normal de parámetros (0, 1), establezca una relación lineal entre X y Z. b) Verifique que la mediana de X es 100. c) ¿En torno a qué valor es simétrica la función de densidad de la variable aleatoria X? ¿Dónde alcanza su máximo la función de densidad de la variable aleatoria X? d) Usando una tabla para la distribución normal determine la probabilidad de que X se encuentre entre 90 y 110. e) Usando una tabla para la distribución normal determine la probabilidad de que X sea mayor que 150. ¿Cree usted que este problema es adecuado para el fin que se indica? Haga un análisis de la pertinencia de cada parte y luego su apreciación global. Justifique sus afirmaciones. Ejemplo 2 : Para el siguiente contenido: Realización de conjeturas sobre el tipo de distribución al que tienden las medias muestrales; verificación mediante experimentos donde se extraen muestras aleatorias de igual tamaño de una población, mediante el uso de herramientas tecnológicas. 254

a) Indique qué aprendizajes usted espera que logren los alumnos y alumnas para el contenido. b) Diseñe una actividad usando una planilla de cálculo para medir los aprendizajes esperados. c) Señale qué indicadores incluiría en una rúbrica para evaluar la actividad propuesta en b).

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256

Estándar 21 : Está preparado para conducir el aprendizaje de inferencia estadística. El futuro profesor o profesora es capaz de construir e interpretar intervalos de confianza y es capaz de formular y usar test de hipótesis para la media de una distribución normal en situaciones concretas. Comprende el significado de los test de hipótesis en contextos decisionales y de reporte científico, quedando capacitado para dar sustento al método científico y para realizar investigaciones en su contexto escolar. El futuro profesor o profesora es capaz de conducir el aprendizaje de los intervalos de confianza, comprendiendo las dificultades y errores típicos de los alumnos y alumnas en el aprendizaje de los conceptos involucrados. Conoce estrategias de motivación, considerando los conocimientos previos y los intereses de los estudiantes. Es capaz de utilizar diversos medios para apoyar la comprensión del significado estadístico de los intervalos de confianza. Lo que se manifiesta cuando:

Indicador 1 : Conoce la distribución t-Student y sabe construir intervalos de confianza para la media con varianza desconocida. Ejemplo 1 : Desde un punto de vista cualitativo, ¿cuál es la diferencia entre la distribución normal estándar y la distribución t-Student? ¿Qué sucede a medida que el grado de libertad de la t-Student crece? Ejemplo 2 : Se dispone de un mecanismo de medición de ciertas señales de sonido, cuya intensidad sigue una distribución normal. Se dispone de sólo 5 observaciones (pues son caras de obtener) con las cuales se construye un intervalo de confianza para la media con una confianza del 90 % Para estimar el ancho del intervalo se usó la distribución t-Student con 4 grados de libertad. ¿Cree usted que este procedimiento está justificado si sólo se cuenta con 5 observaciones? Explique. Ejemplo 3 : En un curso, una profesora midió las estatura de 25 estudiantes, obteniendo una media de 140,5 cm y una desviación estándar de 5 cm. Encuentre el intervalo de confianza del 95 % para la media e interprete. Justifique su procedimiento. Indicador 2 : Formula e interpreta test de hipótesis para la media de la población. Ejemplo 1 : En cada una de las siguientes situaciones se requiere de un test de hipótesis para la media µ. Establezca la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa Ha , justificando su elección: a) El área promedio de los departamentos de un conjunto habitacional de grandes proporciones (varios cientos de departamentos) se publicita como 75 metros cuadrados. Un grupo de futuros propietarios piensa que el tamaño promedio es mucho menor. Ellos contratan un ingeniero para que tome una muestra y pruebe su sospecha. 257

b) El auto de Juan recorre 17 kilómetros por cada litro de combustible en la carretera. Recientemente le cambió el tipo de aceite al motor, siguiendo una propaganda que anunciaba que su auto ganaría en eficiencia. Después de manejar 1000 kilómetros Juan tiene dudas si tomó una buena decisión y quiere chequear si efectivamente su auto es más eficiente. c) El diámetro del eje de un motor pequeño debe ser de 5mm. Si el diámetro es menor o mayor el motor no funciona correctamente. El fabricante mide el diámetro de una muestra de ejes para determinar si la media se ha movido del requerido 5mm. Ejemplo 2 : Un empresario envasador produce bolsitas de azúcar de 300 gramos. Cuando el proceso está bajo control, las bolsas producidas tienen en promedio 300 gramos. En ocasiones este promedio se desvía significativamente de este valor y entonces es necesario revisar el proceso. Para mantener la producción adecuada, se toma periódicamente una muestra de 9 bolsitas. En uno de estos controles periódicos se encontró una muestra cuya media muestral fue de 309 gramos y una desviación estándar de 13.5 gramos. En virtud de estos datos a) ¿Hay que rechazar la hipótesis H0 : µ = 300 versus Ha : µ 6= 300, con un nivel de significancia del 10 %? Indique los supuestos para tomar la decisión. b) ¿Y si se considera con un nivel de significancia del 5 %? c) Para recomendar al gerente de producción revisar el estado de las máquinas, qué otro tipo de factores cree que sería conveniente considerar. Ejemplo 3 : Un computador tiene un programa para generar números aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo [0, 1]. Si el programa efectivamente genera muestras aleatorias, la media de la población sería µ = 0,5 y la varianza σ 2 = 0,0833. Se generan 100 números, cuya media es x¯ = 0,4817. Suponiendo que la varianza permanece fija e igual a σ 2 = 0,0833, se desea testear la hipótesis: H0 : µ = 0,5 versus Ha : µ 6= 0,5. a) ¿Es el test significativo al 5 % (para rechazar H0 )? b) ¿Es el test significativo al 1 % (para rechazar H0 )? c) Calcule el p-valor e interprete. Indicador 3 : Formula e interpreta test de hipótesis para la diferencia entre dos medias. Ejemplo 1 : Para hacer un test de hipótesis para la diferencia entre dos medias se requieren ciertos supuestos sobre la distribución de las variables involucradas y los tamaños n1 y n2 de las muestras. En cada uno de los siguientes casos indique qué estadístico consideraría, qué distribución le asociaría y los supuestos que intervienen en su decisión. En todos los casos se supone que las muestras son aleatorias e independientes. 258

a) Si las varianzas son conocidas, n1 y n2 pequeños. b) Si las varianzas son desconocidas y n1 y n2 pequeños. c) Si las varianzas son desconocidas y n1 y n2 grandes. Ejemplo 2 : El investigador de un programa relacionado con hábitos alimenticios en escolares quiere comparar el peso corporal medio de los estudiantes que consumen colaciones saludables con los que no lo hacen. Para ello buscó dos cursos con alumnos de similares características y programó que los alumnos del curso 1 consumieran frutas y cereales en los recreos durante un mes, mientras que los alumnos del curso 2 mantenían sus colaciones no saludables. Luego extrajo muestras de peso de ambos cursos obteniendo los siguientes resultados en kg: Curso 1 Curso 2

32 38

35 39

36 39

37 40

38 44

41 46

43 47

El investigador quiere saber si estos datos dan evidencia sobre la eficacia del programa de hábitos saludables. Suponga que los datos provienen de muestras aleatorias, independientes, de distribuciones normales y con varianza común. a) Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. b) Calcule el valor del estadístico y su p-valor. c) Indique el resultado del test con significación del 5 %. d) Comente sobre la metodología usada, en particular sobre la elección y el tamaño de la muestra. Indicador 4 : Comprende los aspectos conceptuales asociados a los test de hipótesis. Ejemplo 1 : Se sospecha que un determinado tratamiento altera el rendimiento de una tarea. Para comprobar su sospecha usted compara las medias del grupo de control y del grupo experimental, donde cada grupo está compuesto por 20 individuos. Suponga además que usted utiliza un test-t para comparar las medias de cada grupo y encuentra el siguiente resultado: t = 2,55238, grados de libertad = 18; p-valor = 0,01. Para cada una de las siguientes afirmaciones, establezca si es verdadera o falsa, justificando su opción. a) Usted ha refutado de forma absoluta la hipótesis nula H0 : No hay diferencia entre las medias de cada población. b) Usted ha encontrado la probabilidad de que la hipótesis nula sea verdadera. c) Usted ha probado de forma absoluta su hipótesis experimental Ha : hay una diferencia entre las medias poblacionales. d) Usted puede deducir la probabilidad de que la hipótesis experimental sea verdadera. e) Si decide rechazar la hipótesis nula, usted conoce la probabilidad de tomar una decisión equivocada. f) Usted tiene un hallazgo experimental confiable en el sentido de que si, hipotéticamente, el experimento fuera repetido un gran número de veces, obtendría un resultado significativo el 99 % de las veces. 259

Ejemplo 2 : La teoría de tests de hipótesis ha sido esencialmente desarrollada por R. Fisher, J. Neyman y E. S. Pearson. El paradigma desarrollado por Fisher es distinto al desarrollado por Neyman y Pearson. Discuta en qué consisten las diferencias, para lo cual considere las siguientes preguntas: a) ¿Debe fijarse el nivel de significación del test con anterioridad a la aplicación del test? b) ¿Es el p-valor una propiedad de los datos o es una propiedad del test? c) ¿Cómo se interpreta un resultado significativo de acuerdo al paradigma de Fisher? ¿Y de acuerdo al paradigma de Neyman-Pearson? d) ¿Tiene sentido el concepto de potencia de un test en el paradigma de Fisher? ¿Cómo se interpreta este concepto en el paradigma de NeymanPearson? e) Discuta por qué el paradigma de Neyman-Pearson es coherente con un esquema decisional. ¿Para qué tipo de aplicaciones es pertinente el paradigma propuesto por Fisher? Ejemplo 3 : Las siguientes son posibles interpretaciones del p-valor. Determine cuál de ellas representa de mejor forma al p-valor, justificando cada una de sus respuestas. a) En los test de hipótesis, el p-valor es la probabilidad de obtener un test estadístico al menos tan extremo como el que se observó. b) El p-valor se usa para test hipótesis: "si p es bajo, entonces H0 se va". c) Generalmente se rechaza la hipótesis nula si el p-valor es menor o igual al nivel de significación. d) Es un estadístico que mide la posibilidad de que lo que se observó no sea ocurrencia casual. En general, mientras más bajo el p-valor mayor confianza en el hallazgo. e) La probabilidad que los resultados observados en un estudio puedan haber ocurrido por casualidad si la hipótesis nula fuera verdadera. Indicador 5 : Conoce algunas concepciones equivocadas de los alumnos y alumnas en temas de intervalos de confianza y define estrategias para cambiarlas. Ejemplo 1 : A un grupo de alumnos y alumnas se les planteó las siguientes afirmaciones con respecto a los intervalos de confianza y se les pidió indicar Verdadero o Falso: i) El intervalo de confianza contiene los valores plausibles de la media de una muestra. ii) El intervalo de confianza es el rango de los valores posibles. iii) El intervalo de confianza es el rango de los valores posibles entre una desviación estándar. iv) El ancho de un intervalo de confianza crece con el tamaño de la muestra. v) El ancho de un intervalo de confianza no se afecta con el tamaño de la muestra. vi) Un intervalo de confianza del 90 % es más ancho que un intervalo de confianza del 95 % (para los mismos datos). 260

a) ¿Cuáles esperaría que sean consideradas como verdaderas? ¿por qué? b) ¿Cómo corregiría cada uno de estos conceptos errados? Ejemplo 2 : Considere el siguiente problema planteado a estudiantes de 4° medio: Suponga que 36 estudiantes reportaron cuánto durmieron en la noche anterior. El resultado entregó una media muestral de 6,24 horas y una desviación estándar de 1,34 horas. a) Explique a qué se deben los errores en los cálculos de: (a) El intervalo de confianza, al 90 % para µ es de 6,24 ± 1,645 × ( 1,34 ). 36 (b) El intervalo de confianza, al 90 % para µ es de 6,24 ± 1,69 × (1,34). b) Discuta cada afirmación y explique por qué es incorrecta, en caso de serlo: (i) Estamos confiados en un 90 % que la media de la muestra cae entre 5,86 y 6,62 horas. (ii) Estamos confiados en un 90 % que si tomamos una nueva muestra aleatoria, la media muestral del número de horas de sueño caerá entre 5,86 y 6,62 horas. (iii) 90 % de los estudiantes en la muestra durmieron entre 5,86 y 6,62 horas. (iv) 90 % de los estudiantes en la población durmieron entre 5,86 y 6,62 horas esa noche. (v) De cien muestras, noventa tendrían su media entre 5,86 y 6,62. Indicador 6 : Describe y ordena los contenidos necesarios del currículo para que los alumnos y alumnas aborden el tema de intervalos de confianza. Ejemplo 1 : ¿Cuáles son los contenidos del currículo escolar necesarios para abordar los intervalos de confianza? ¿Cómo apoyaría su implementación en el aula usando simulación y análisis descriptivo de datos? Ejemplo 2 : Considere el siguiente objetivo de aprendizaje: Argumentar acerca de la confiabilidad de la estimación de la media de una población con distribución normal, a partir de datos muestrales. Como futuro profesor o profesora tendrá que interpretar objetivos de aprendizaje y a menudo deberá tomar decisiones al respecto. Tres posibles interpretaciones del objetivo son las siguientes: i) Se espera que los estudiantes sean capaces de explicar por qué la media muestral por sí sola no entrega información sobre su confiabilidad como estimación de la media de la población. ii) Se espera que los estudiantes sean capaces de encontrar intervalos de confianza para la media cuando se da un cierto nivel de confianza y que sean capaces de explicar el rol que tiene el tamaño de la muestra y del nivel de confianza en el ancho de intervalo. iii) Se espera que los estudiantes sean capaces de encontrar intervalos de confianza para la media, que sean capaces de explicar el rol de la hipótesis de normalidad en los datos y del tamaño de la muestra. Además son capaces de explicar el significado de un intervalo de confianza. 261

a) Discuta las interpretaciones anteriores: ¿cuál considera más apropiada? ¿Tiene usted otra interpretación? b) Indique los contenidos necesarios para abordar este objetivo de aprendizaje y ordénelos de acuerdo a su aparición en el currículo. Indicador 7 : Planifica actividades que tengan como objetivo reconocer la importancia de la inferencia estadística en la sociedad moderna y adquirir un espíritu crítico de su uso. Ejemplo 1 : Dada la siguiente noticia, diseñe un conjunto de actividades para que los alumnos y alumnas la analicen considerando elementos estadísticos: Los mejores 10 colegios de la PSU Pos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Colegio COLEGIO EL MORRO COLEGIO INTERNACIONAL VIAJEROS COLEGIO MINEROS DE CHILE COLEGIO LA SERENA COLEGIO PACIFICO METROPOLITAN SCHOOL COLEGIO CENTRAL COLEGIO LOS RIOS THE RIO BAKER SCHOOL COLEGIO ANTARTICA

Región XV II III III V XIII VII XIV XI XII

Rinden 26 30 60 8 65 123 78 30 85 37

Pom PSU 717.9 714.2 708.2 704.8 700.7 698.1 696.6 695.1 692.8 692.5

a) Pida a sus estudiantes qué información es necesaria para comparar los colegios entre sí. b) Pida a sus alumnos que expliquen cuál es el rol que jugaría cada columna de la tabla a la hora de interpretar los datos de la misma. c) Solicite a sus alumnos que analicen críticamente la siguiente noticia basada en la tabla anterior: La III región concentra los mejores puntajes PSU. Ejemplo 2 : Algunos autores sugieren las siguientes preguntas para realizar un análisis crítico de información estadística: i) ¿Quién dijo esto? ¿Cuál es la fuente de los datos? ¿Hay sesgo? ¿Son confiables los datos? ii) ¿Cómo saben? ¿Qué tamaño tiene la muestra? iii) ¿Qué falta? ¿Existe alguna información intencionalmente suprimida? iv) ¿Alguien cambió el tema de discusión? ¿Es válida la conclusión? ¿Es justa la comparación? v) ¿Tiene sentido todo esto? ¿Es razonable la inferencia? ¿Se mezcla causa y efecto? a) Discuta el valor de la lista, agregando preguntas y criticando aquellas que no le parecen razonables. b) Indique cómo usaría esta batería de preguntas, o alguna de ellas para ayudar a sus estudiantes a tener una actitud crítica y útil frente a la información estadística que aparece en los medios de comunicación. Construya un ejemplo.

262

Indicador 8 : Diseña y es capaz de conducir actividades para que los alumnos y alumnas construyan intervalos de confianza para la media de una población normal, conocida la varianza. Ejemplo 1 : Usted tiene el siguiente problema para estudiantes de 4° medio: Según estudios, los niños en edad de Kindergarten tiene una altura que sigue una distribución normal. Sin embargo no se conoce la media, pero sí su desviación estándar σ = 5,1cm. A través de un muestreo simple se obtuvo una muestra de 15 niños de Kindergarten y se encontró una media muestral x¯ = 103cm i) Construya un intervalo de confianza al 95 % para la media. ii) Como una manera de disminuir el largo del intervalo a la mitad, se puede cambiar el nivel de confianza. ¿Qué nivel de confianza debe elegir para conseguirlo? iii) Otra manera de disminuir el largo del intervalo a la mitad es aumentando el número de observaciones ¿Cuántas observaciones debe realizar para lograrlo? a) ¿Cómo organizaría a los alumnos y alumnas para que resuelvan este problema? ¿De qué manera y en qué momento de la actividad presentaría las preguntas? En su respuesta tome en cuenta que un aspecto importante para que los estudiantes saquen provecho de la actividad es su motivación. Justifique sus elecciones. b) ¿Qué dificultades cree que tendrán los estudiantes? c) ¿Qué preguntas sobre el significado de los intervalos de confianza plantearía una vez que los estudiantes lo hayan resuelto? d) Un estudiante hace el siguiente comentario: Profesor, encuentro arbitrario esto del ancho del intervalo, pues lo puedo cambiar simplemente cambiando el nivel de confianza. ¿Qué respondería a este alumno? Ejemplo 2 : El siguiente problema fue planteado por el profesor a estudiantes de 4° medio: Se obtiene una muestra aleatoria de 50 corredores olímpicos varones y se mide el peso de cada uno. Se obtiene una media muestral de x¯ = 60kg. Suponga que la desviación estándar de la población es σ = 5kg. i) Dé un intervalo de confianza para µ al 95 %. ii) Dé un intervalo de confianza para µ al 99 %. Cuando ya lo habían resuelto, Denisse preguntó: -¿Cuál de los dos intervalos es mejor? a lo que el profesor respondió: -El más preciso, por supuesto... Después de un rato Denisse se dirigió al profesor nuevamente y le dijo: -Profesor, entonces podríamos considerar mejor el intervalo del 99 % de confianza, es mucho más preciso. -No, quiero decir el más pequeño, dijo el profesor, lo que ella respondió, -ah, el más pequeño, o sea el de 95 %. Si usted tomara la clase en este momento a) ¿Cree usted que Denisee quedó conforme? 263

b) Denisse respresenta de alguna manera a la mayoría del curso ¿Cómo seguiría la clase, considerando que todavía tiene 40 minutos. c) ¿Cómo concluiría? Justifique sus respuestas. Indicador 9 : Diseña y analiza actividades de evaluación del aprendizaje de los alumnos y alumnas en el tema de intervalos de confianza. Ejemplo 1 : Un profesor propuso el siguiente indicador de aprendizaje: Encuentra intervalos de confianza al 95 %, usando calculadora, para el contenido: Estimación de intervalos de confianza, para la media de una población con distribución normal y varianza conocida, a partir de una muestra y un nivel de confianza dado. a) Discuta si el indicador de aprendizaje interpreta el contenido adecuadamente. b) Se propuso el siguiente ítem para una prueba de síntesis: Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución normal de media desconocida y varianza 3 600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6 ; 392,2). a. Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b. ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 87 % ¿Cree usted que el item propuesto se ajusta con el indicador de aprendizaje? De no estarlo, cómo debiera completarse para que si lo esté. Fundamente su respuesta. Ejemplo 2 : Observe el siguiente item de un test: Explica con tus propias palabras la diferencia entre: 1. Calcular la media y dar intervalo de confianza para la media. 2. Calcular la media muestral y la media poblacional. En a) b) c)

cada caso ¿Qué está evaluando el profesor? ¿Cuáles son las posibles respuestas que espera el profesor? Elabore una retroalimentación para cada una de las respuestas esperadas.

Indicador 10 : Diseña actividades para evaluar el aprendizaje de conceptos de inferencia estadística. Ejemplo 1 : Diseñe una actividad en la que sus estudiantes deban recolectar información por medio de una encuesta aplicada a una muestra de estudiantes del establecimiento educacional al cual pertenecen. El tema de la encuesta 264

debe ser definido por los mismos estudiantes. Una vez aplicada la encuesta, la misma debe analizarse para extraer conclusiones. ¿Qué tipo de indicaciones proporcionaría, para luego evaluarlas, a fin de saber si sus estudiantes comprenden la necesidad y utilidad de la estadística? Dichas indicaciones deben considerar al menos los siguientes aspectos: a) Cómo seleccionar la muestra. b) Cómo asegurar la generalización a toda la población del colegio de las conclusiones extraidas en base a la muestra? Ejemplo 2 : a) Diseñe una actividad para evaluar el aprendizaje de nociones explícitas de variabilidad muestral y del rol que dicha variabilidad juega a la hora de sacar conclusiones de los datos en cuestión. En particular, proponga una actividad en la que pueda recolectarse información repetida a nivel individual, como por ejemplo las notas que un estudiante obtiene a lo largo de un semestre. b) Diseñe una rúbrica para evaluar la actividad propuesta en a).

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TABLAS RESÚMENES

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Tabla de Indicadores del Eje de Sistemas Numéricos y Álgebra

Conocimiento Disciplinar Conocimiento de Alumnos y Matemática Conocimiento del Currículo Planificación Enseñanza Evaluación y Reflexion

Estándar 1 1-6

Estándar 2 1-4

Estándar 3 1-3

Estándar 4 1-11

7-8

5-6

4-5

12

9

7-8

6

13

10-12 13-16 17-20

9-11 12-13 14-18

7-8 9-10 11-12

14-16

269

17-18

Tabla de Indicadores del Eje de Cálculo

Conocimiento Disciplinar

Conocimiento de Alumnos y Matemáticas Conocimiento del Currículo Escolar Planificación Enseñanza Evaluación y Reflexión

Estándar 5 1, 2, 3, 4, 5, 6

Estándar 6 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16

7, 8

9

17

10, 11, 12 13, 14, 15 16, 17, 18

270

Estándar 7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,18

Tabla de Indicadores del Eje de Estructuras Algebraicas

Conocimiento Disciplinar Conocimiento de Alumnos y Matemática Conocimiento del Currículo Planificación Enseñanza Evaluación y Reflexion

Estándar 8 1-8 9

1 10

271

Estándar 9 1-15

Estándar 10 1-17

Tabla de Indicadores del Eje de Geometría

Conocimiento Disciplinar Conocimiento de Alumnos y Matemáticas Conocimiento del Currículo Escolar Planificación Enseñanza Evaluación y Reflexión

Estándar 11 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8

Estándar 12 1, 2, 3, 4, 5

Estándar 13 1, 2

Estándar 14 1, 2, 3, 4, 5

6

3, 4, 5, 6

6

Estándar 15 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8

9

7

7

7

9, 10

10, 11

8, 9, 10, 11, 12 13, 14

8, 9, 10, 11, 12, 13 14, 15, 16

8, 9, 10, 11

11, 12

12

13

15

17, 18

13

14

12, 13, 14, 15 16

272

Estándar 16 1, 2, 3, 4, 5, 6

Tabla de Indicadores del Eje de Datos y Azar

Conocimiento Disciplinar Conocimiento de Alumnos y Matemáticas Conocimiento del Currículo Escolar Planificación Enseñanza Evaluación y Reflexión

Estándar 17 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 9, 10

Estándar 18 1, 2, 3, 4

Estándar 19 1, 2, 3, 4

5, 6

11,12

13, 14 15, 16 17, 18, 19

Estándar 21 1, 2, 3, 4

5

Estándar 20 1, 2, 3, 4, 5, 6 7

7, 8

6

8

6

9, 10, 11, 12 13, 14, 15 16, 17, 18, 19

7, 8, 9, 10

9, 10

7

11, 12 13

11, 12 13

8 9, 10

273

5

274

Equipo Elaborador de Estándares de Matemática

Director: Patricio Felmer, Universidad de Chile. Equipo Central: Salomé Martínez, Universidad de Chile. Leonor Varas, Universidad de Chile. Equipo Ejecutivo: Eugenio Chandía, Universidad de Chile. Pablo Dartnell, Universidad de Chile. Ruth Galindo, Universidad de Playa Ancha Renato Lewin, Pontificia Universidad Católica de Chile. Alejandro López, Universidad Andrés Bello. Claudia Matus, Universidad de Santiago de Chile. Cristián Reyes, Universidad de Chile. Andrés Ortíz, Universidad de Concepción. Gonzalo Riera, Pontificia Universidad Católica de Chile Ernesto San Martín, Pontificia Universidad Católica de Chile Giovanna Ticchione, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Roberto Vidal, Universidad Alberto Hurtado Consultores nacionales: Ernesto Alabarce, Universidad Diego Portales. María Aravena, Universidad Católica del Maule. Ricardo Baeza, Universidad de Talca. Antonio Behn, Universidad de Chile. Gladys Bobadilla, Universidad de Santiago de Chile. Carlos Caamaño, Universidad Católica del Maule. Fernando Córdova, Universidad Católica del Maule y Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación Luis Dissett, Pontificia Universidad Católica de Chile. Jorge González, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Richard Lagos, Universidad de Magallanes. Rubén López, Universidad Católica de la Santísima Concepción. Eliseo Martínez, Universidad de Antofagasta. Elizabeth Montoya, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Astrid Morales, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Raimundo Olfos, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. Marcela Parraguez, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. 275

Alejandro Pedreros, Pontificia Universidad Católica de Chile. Carlos Pérez, Universidad de Concepción. Mario Ponce, Pontificia Universidad Católica de Chile. Osvaldo Rubilar, Universidad Católica de Temuco. Myriam Vicente, Universidad de Concepción. Eduvina Villagrán, Universidad de La Serena Consultores internacionales: Wong Khoon Yoong, National Institute of Education, Singapur. Lee Ngan Hoe, National Institute of Education, Singapur. Josefa Perdomo, Universidad de La Laguna, Tenerife, España

276