Estad Y Prob_5a_10.pdf

UNIDAD

10

Inferencia estadística Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: • • •

determinará si un estimador es sesgado o insesgado resolverá problemas de intervalos de confianza para la media, diferencia de medias, varianza y proporciones llevará a cabo pruebas de hipótesis para la media, diferencia de medias, varianza y proporciones en problemas de aplicación

Introducción En la unidad 9, se analizaron las bases para distribuciones muestrales, con las cuales se realizan estimaciones de parámetros en estudio; las multivariables aleatorias; se definió formalmente el muestreoaleatorio, y se estudiaron algunasdistribucionesmuestralesempleando el teorema central del límite. El objetivo general de dichostemasesla construcción de lasbases teóricas para la inferencia estadística. En esta unidad se analizará el proceso de inferencia estadística, el cual se puede hacer de tres maneras: por estimación puntual, intervalo de confianza o por prueba de hipótesis. Los estimadores puntuales, como se verá, tienen gran importancia teórica en la inferencia estadística, pero en la cuestión práctica no es apropiado llevarlosa cabo con base en un solo punto; por consiguiente se harán estimacionesbasadasen intervalos. La otra área de inferencia estadística que se analizará esla prueba dehipótesis. Esdecir, se formula una suposición del parámetro y bajo condiciones determinadas se comprobará si es válida o no. En la unidad 1 se determinó que la estadística descriptiva trabaja con todos los individuosdelapoblación o lamuestra. En estaunidad severáquelaestadísticainferencial se basa en el estudio de muestras, a partir de las cuales se pretende inferir aspectos relevantes de toda la población. En la unidad 9 se determinó que el método de seleccionar muestras tiene gran importancia en el desarrollo de la estadística. Cómo se realiza la inferencia y qué grado de confianza se puede tener en la muestra son aspectos fundamentales que se analizarán en esta unidad.

10.1 Inferencia estadística La inferencia estadística consiste en crear métodos con los cuales se puedan realizar conclusiones o inferencias acerca de la población, con base en información muestral o a priori. Tales métodos se dividen en dos grupos: 1. Clásico. 2. Bayesiano. En el método clásico la inferencia se realiza mediante los resultados de un muestreo aleatorio. Mientras que en el método bayesiano las inferencias se realizan (de forma análoga a la asignación de probabilidades en la corriente bayesiana) con base en el conocimiento previo sobre la distribución de los parámetros desconocidos. El desarrollo de la inferencia estadística en la presente unidad se hará sólo con el método clásico. El análisis comienza con la estimación de parámetros.

286

10.1.1 Estimación puntual Un estimador es un elemento descriptivo basado en las mediciones contenidas en una muestra. Por ejemplo, la media de la muestra x

1 n xi ni 1

es un estimador puntual para la media de la población 0. Supóngase que se quiere obtener una inferencia respecto de la calificación media de todos los alumnosque cursan la materia de cálculo, para esto se analiza una muestra aleatoria de diez de ellos, cuyas calificaciones son 8, 4, 9, 9, 6, 8, 2, 7, 3 y 6

Mediante el promedio de los datos de una muestra se calcula un valor para el estadístico X x

1 (8 4 9 9 6 8 2 7 3 6) 6.2 10

Con base en el valor calculado del estadístico X se puede llevar a cabo una inferencia respecto del parámetro , es decir, una estimación puntual del parámetro media respecto de las calificaciones de la materia de cálculo. En este caso la calificación promedio es 6.2. En general Definición 10.1 Dada una población en donde estimador puntual de

es un parámetro, y

a cualquier valor

ˆ

de

ˆ

su estadística correspondiente, se le llama

ˆ.

De la definición de estimador puntual no se puede esperar que dicho valor realice una estimación certera del parámetro, de hecho, ésta también depende del estadístico utilizado. Por ejemplo, si la población estudiantil de la materia de cálculo tiene calificación promedio = 6.5, y se considera una muestra al azar de tres estudiantescon calificaciones 3, 6 y 6, para realizar una estimación del parámetro, se tiene x

1 (3 6 6) 5 3

Es decir, el estadístico media difiere del parámetro en 1.5 unidades, mientras que el estadístico mediana x 6, difiere del parámetro en sólo 0.5. Por tanto, con lamuestra anterior, el estadístico medianaestima mejor el parámetro. Pero, qué pasará si en una segunda muestra aleatoria de tamaño tres, las calificaciones para la estimación del parámetro resultan 4, 4, y 10, se tiene x

1 (4 4 10) 6 3

Por tanto, para esta muestra el estadístico media difiere del parámetro en 0.5 unidades, mientras que el estadístico x 4, difiere del parámetro en 2.5. Es decir, con la muestra anterior el estadístico media estima mejor el parámetro. Por tanto, puede ser de interesqué estimador puntual para un mismo parámetro es mejor elegir. La respuesta se encuentra en las siguientes definiciones.

287

Definición 10.2 ˆ

El estadístico

Ejemplo 1

si E( ˆ

se llama estimador insesgado del parámetro

)=

.

Dadas X1, X2, . . ., X5 una muestra aleatoria de una población cuya distribución es normal, con media y varianza 2, considerando los estadísticos T1

X1 X 2 10

X , T2

X5

y T3

X1 X 2

X3 X4 3

X5

se comprueba cuáles son estimadores insesgados de . Para verificar qué estimadores son insesgados, se emplea la definición y la propiedad del valor esperado en variables independientes E(a1X1 a2X2

anX n ) a1E(X1 ) a2E(X 2 )

anE(X n )

Para el estadístico T1 E(T1 ) E(X ) E

X1 X2

X3 X4 5

X5

1 E X1 X 2 X 3 X 4 5

X5

1 E(X1) E(X 2 ) E(X 3 ) E(X 4 ) E(X 5 ) 5 1 ( 5

)

1 (5 ) 5

Se muestra que T1 es un estimador insesgado. Para el estadístico T2 E( T2 )

E

X1

X2

X3

X4

10

X5

1 E X1 X 2 10

1 E( X1) E( X 2 ) E( X 3) E( X 4 ) E( X 5 ) 10

X3 X4

1 (5 ) 10

X5

1 2

Se muestra que T2 es un estimador sesgado. Para el estadístico T3 E( T3 ) E

X1 X 2

X3 X4 3

X5

1 E X1 X 2 3

1 E( X1) E( X 2 ) E( X 3) E( X 4 ) E( X 5 ) 3

X 3 X4

X5

1 ( 3

)

1 (3 ) 3

Por tanto, T3 también es un estimador insesgado de la media. En el ejemplo anterior se apreciaquea un mismo parámetro le pueden corresponder varios estimadores insesgados. Por consiguiente, en el estudio de la estadística resulta de interés conocer el estimador insesgado que tenga la menor varianza, ya que en tal caso su distribución está más cercana al parámetro. Definición 10.3 Dado un parámetro

y un conjunto de estimadores insesgados de él, de al de menor varianza.

ˆ , ˆ , ,ˆ 1 2

m , se llama

288

Ejemplo 2

Dadalamuestra aleatoriadel ejemplo anterior X1, X2, . . ., X5 y considerando losestadísticos que resultaron insesgados de T1

X y T3

X1 X 2

X3 X4

X5

3

se comprueba cuál es más eficiente. Para esto se usa la definición y la propiedad de la varianza en variables independientes V (a1X1

anX n ) a12V (X1 ) a22V (X2 )

a2X 2

a2nV (X n )

Para el estadístico T1 V( T1)

X1 X 2

V

X3

X4

X5

1 52

5

V X1 X 2

1 V( X1) V( X 2 ) V( X 3) V( X 4 ) V( X 5 ) 25 1 (5 25

2

1 5

)

X3 1 ( 25

X4 2

X5 2

2

2

2

)

2

Para el estadístico T3 V( T3) V

X1 X 2

X3 X4

X5

1 32

3

V X1

X2

X3 X4

X5

1 ( 9

2

1 V( X1) V( X 2) V( X 3) ( 1)2 V( X 4 ) V( X 5 ) 9 1 (5 9

2

)

5 9

2

2

2

2

)

2

De los cálculos anteriores, resulta que el estadístico T1 es más eficiente que T3, puesto que 1/ 5 5/ 9. Entre los parámetros más comunes y sus estadísticos, existen los insesgados que se emplean con mayor regularidad:

Ejercicio 1 1. Dadas X1, X2, X3 y X4 una muestra aleatoria seleccionada de una población distribuida en forma normal con media y desviación estándar , considera los siguientes estimadores de T1

X1 X 2

X3 X4 6

T2

X1 X2

X3 X4 4

T3

X1 2X 2 3X 3 10

y determina cuáles son insesgados y entre éstos cuál es más eficiente.

4X 4

289

2. La lectura en un voltímetro conectado a un circuito depruebatiene una distribución uniforme en el intervalo de ( , + 1), donde es el parámetro para el voltaje del circuito. Supón que X1, X2, X3 y X4 es una muestra aleatoria de tales lecturas y verifica que ˆ X 0.5 es un estimador insesgado. 3. Dadas X1, X2 y X3 y Y1, Y2 y Y3 como muestras aleatorias independientes de dos poblaciones con medias 1 y 2 y varianza 12 y 22 , respectivamente a) comprueba que X Y es un estimador insesgado de b) calcula la varianza del estimador X Y

1

y

2

10.1.2 Estimación por intervalo Después de iniciado el estudio de los estimadores puntuales es lógico suponer que la inferencia realizada mediante un valor puntual no es la más adecuada, ya que puede variar considerablemente de muestra en muestra, por tanto, es preferible indicar un intervalo en el que se pueda estimar, con cierto grado de confianza, la localización del parámetro en estudio. Dada como parámetro, supóngase que, bajo ciertas condiciones (como se verá ( ˆi , ˆs), donde los puntos extremos en las siguientes subsecciones), se encuentra que ˆ y ˆ llamados extremo inferior y extremo superior, respectivamente, dependen del i s valor de la estadística ˆ para una muestra particular. Como los extremos ˆi y ˆ s del intervalo dependen de la muestra, resulta que sólo son valores de las variables aleatorias correspondientes ˆ i y ˆ s. Con base en las variables aleatorias anteriores y sus valores correspondientes, se calcula la probabilidad de que el parámetro se encuentre en el (0, 1) a la probabilidad mencionada intervalo establecido. Se simboliza por 1 – con P( ˆ

i

ˆ ) 1 s

Es decir, se tiene una probabilidad de 1 – de seleccionar una variable aleatoria que con base en una muestra produzca un intervalo que contenga a . Definición 10.4 El intervalo anterior en el que se localiza el parámetro de

(1 – )100%;

mientras que la fracción

y los extremos

ˆ yˆ, i s

,

1–

son los

ˆ

i

ˆ

s, se llama intervalo de se le llama o grado

inferior y superior,

respectivamente.

Por ejemplo, se tiene una muestra de 20 focos cuya duración promedio en horas es x 750 y con base en este valor se estima que el parámetro puede encontrarse con una probabilidad 1 – , establecida de antemano en el intervalo de confianza (740, 760), es decir P(740

760) 1

En las siguientes subsecciones se analizarán los intervalos de confianza más comunes para los parámetros, medias, diferencia de medias, varianzas y proporciones.

290

Intervalos de confianza para medias de poblaciones aproximadamente normales Establecidas las bases generales de los intervalos de confianza y utilizando el teorema del límite central, losconceptossobre estimadorespuntuales ylasdistribuciones determinadas en la unidad 9, se presentan métodos para el cálculo de intervalos de confianza. Uno de estos métodos se refiere a la media, y se divide en tres casos: 1. Intervalo de confianza para la media poblacional con distribución normal, cuando se conoce Dada x la media de una muestra aleatoria de tamaño n de una población con distribución aproximadamente normal, de la cual se conoce 2, el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para está dado por x z

n

2

x z

n

2

donde z / 2 es el valor de la distribución normal estándar, a la derecha del cual tiene un área de / 2. Se denota en este caso que para poder aplicar la fórmula, la distribución tiene que ser normal o aproximadamente normal y se debe conocer el parámetro . Ejemplo 3

Una máquina de refrescos está ajustada de tal manera que la cantidad de líquido suministrado se distribuye en forma normal con desviación estándar de 0.15 dl. Se calcula 95% de intervalo de confianza para la media de refrescosservidosde una muestra de 36 vasos tomada al azar con un contenido promedio de 2.25 dl. Se toman los datos: = 0.15 dl, el tamaño de la muestra es 36 con media muestral de x 2.25 dl. Para calcular el intervalo de confianza del parámetro media se emplea la fórmula anterior. Primero se calcula el valor de z / 2, con 1 – = 0.95. De las tablasporcentuales para la distribución normal estándar se tiene z / 2 = 1.96. Por tanto, 2.25 1.96

0.15 36

2.25 1.96

2.201

2.299

0.15 36

Es decir, con 95% de probabilidad se afirma que el parámetro media del líquido suministrado por la máquina de refrescos se encuentra entre 2.201 y 2.299 dl. 2. Intervalo de confianza para la media poblacional cuando se desconoce en muestrasgrandes. Dada x la media de una muestra aleatoria de tamaño n (n 30) tomada al azar de una población de la cual se conoce su desviación estandar s y se desconoce , el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para está dado por x z 2

s n

x z 2

s n

291

donde z / 2 es el valor de la distribución normal estándar, la cual tiene un área de / 2 y s es la desviación estándar obtenida del estadístico varianza insesgada. En este caso es posible notar que para poder aplicar la fórmula, a diferencia del anterior, se desconoce la distribución. Ejemplo 4

Setieneunamáquinaderefrescoscomo en el ejemplo anterior, pero delacual sedesconoce su desviación estándar. Para estimar la cantidad promedio de líquido suministrado por la máquina se toma una muestra al azar de 50 vasos, con media de 240 ml y desviación estándar de 20. Se calcula 99% de intervalo de confianza para la media de refrescos servidos. Se toman losdatos: el tamaño de la muestra es 50, x 240 y s= 20 ml. El intervalo de confianza del parámetro media se obtiene sustituyendo estos valores en la fórmula anterior. Se calcula primero el valor de z / 2, con 1 – = 0.99. De las tablasporcentuales para la distribución normal estándar se tiene z / 2 = 2.575. Por tanto, 20 50

240 2.575

232.72

240 2.575

20 50

247.28

Es decir, con 99% de probabilidad se afirma que el parámetro media del líquido suministrado por la máquina de refrescos se encuentra entre 232.72 y 247.28 ml. 3. Intervalo de confianza para la media poblacional cuando se desconoce en muestraspequeñas. Dada x la media de una muestra de tamaño n (n 30) tomada al azar de una población con distribución normal de la cual se conoce s2, y se desconoce 2, el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para está dado por x t 2

s n

x t 2

s n

donde t / 2 es el valor de la distribución t-Student con v = n – 1 grados de libertad, la cual tiene un área de / 2, y s es la desviación estándar obtenida del estadístico varianza insesgada. Se denota en este caso que la aplicación de la fórmula se puede realizar si la distribución de la población esnormal o aproximadamente normal, pero a diferencia del caso 1, no se conoce el parámetro , y del caso 2, el tamaño de la muestra debe ser pequeño. Ejemplo 5

Un fabricantedemáquinasderefrescosaseguraquesusmáquinassuministran en promedio 240 ml de refresco 99.9% de los casos. Un comprador decide verificar estos datos, por lo que toma una muestra al azar de 15 vasos, obteniendo los siguientes resultados 243 246 250

250 240 252

240 250 247

248 249 239

245 248 245

250 240 249

238 245 250

246 247 248

252 238 247

247 248 251

Se calcula con 99.9% de confianza si es válida la afirmación del fabricante. Para encontrar el intervalo de confianza se necesita calcular la media y la varianza insesgada de la muestra obtenida: x 246.27 y s2n 1 17.58, es decir, s = 4.19.

292

Siendo la muestra de 15 vasos, se aplica el caso 3, para lo cual se calcula el valor de t / 2, con v = 15 – 1 = 14 grados de libertad y 1 – = 0.999, donde = 0.001, es decir / 2 = 0.0005. Por tanto, aplicando las tablas porcentuales para la distribución t-Student se tiene t0.0005 = 4.14. En conclusión 246.27 4.14

4.19 15

246.27 4.14

241.79

4.19 15

250.75

Es decir, con 99.9% de probabilidad se determina que el parámetro media del líquido suministrado por la máquina de refrescos se encuentra entre 241.79 y 250.75 ml. Por tanto, la afirmación del fabricante no será válida con 99% de confianza, puesto que el valor 240 ml está fuera del intervalo.

Ejercicio 2 1. De la siguiente muestra aleatoria, tomada de un población normal 13

19

14

12

21

14

17

20

17

calcula 95% de intervalo de confianza para la media de la población a) si se sabe que la varianza poblacional es 4 b) si no se conoce el valor de la varianza poblacional 2. Un ingeniero de control de calidad midió lasparedes de 25 botellas de vidrio de dos litros. La media muestral fue 4.02 mm y la desviación estándar muestral 0.09, calcula 95% de intervalo de confianza respecto de la media del espesor de las paredes de las botellas. 3. Mientras se efectúa una tarea determinada en condiciones simuladas de ausencia de gravedad el ritmo cardiaco de 40 astronautas en adiestramiento se incrementa, 26.4 pulsaciones por minuto en promedio con desviación estándar de 4.28, calcula la verdadera media en el incremento del ritmo cardiaco si x 26.4 se utiliza como una estimación puntual del incremento medio en el ritmo cardiaco y se utiliza 95% de confianza. 4. Se realizan cinco mediciones en un medidor de volumen en la bomba de una estación de gasolina (10.5, 10.0, 9.90, 9.95 y 10.15), supón normalidad y calcula un intervalo de confianza para la media con = 0.05 5. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra al azar de piezas cuyos diámetros son 10, 12, 11, 11.5, 9, 9.8, 10.4, 9.8, 10 y 9.8 mm. Supón que los diámetros tienen una distribución aproximadamente normal y a) calcula 99% de intervalo de confianza para el diámetro promedio de todas las piezas b) calcula 99% de intervalo de confianza para el diámetro promedio de piezas si = 1.

293

Intervalos de confianza para la diferencia de medias en poblaciones aproximadamente normales Después de analizar los intervalos de confianza para la media poblacional, se continúa con el cálculo de intervalos de confianza para la diferencia de medias, el cual se divide en cinco casos. 1. Intervalo de confianza para 2 1

cuando se conocen

1

–

2

de poblaciones con distribuciones normales,

2 2.

y

Dadas x1 y x2 las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2, respectivamente, de poblacionescon distribucionesaproximadamente normales, de las cuales se conoce 12 y 22 , el intervalo de confianza de (1 – ) de 100% para y 2 está dado por 1 ( x1

x2 ) z 2

2 1

2 2

n1

n2

1

2

( x1

x2 ) z 2

2 1

2 2

n1

n2

donde z / 2 es el valor de la distribución normal estándar, el cual tiene un área de / 2. Ejemplo 6

Se comparan dos tipos de rosca de tornillos para determinar su resistencia a la tensión. Se prueban doce piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, obteniéndose los siguientes resultados (en kg) Tipo de rosca

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

68

70

72

69

71

72

70

69

75

69

70

71

2

75

73

73

68

68

67

69

75

74

68

73

74

Si 1 y 2 son resistencias promedio a la tensión de los tornillos tipo I y tipo II, respectivamente, con las variaciones a la tensión de los tornillos tipo I y tipo II 12 5 y 2 2 10, respectivamente, se calcula 90% de intervalo de confianza para 1 – 2. Primero se calculan las medias muestrales: x1 70.5 y x2 71.4 . Las muestras son de tamaño n1 = n2 = 12. Se calcula el valor para z / 2 con 90% de intervalo de confianza usando las tablas porcentuales, z / 2 = 1.645. (70.5 71.4) 1.645

5 10 12 12

1

2

(70.5 71.4) 1.645

2.74

1

2

0.94

5 10 12 12

Es decir, la diferencia de la resistencia promedio a la tensión al fabricar lostornillos tipos I y II se encuentra entre el intervalo (–2.74, 0.94), con 90% de confianza. Dado que en el intervalo se encuentra el 0, no hay diferencia significativa entre los dos tipos de rosca.

294

2. Intervalo de confianza para

1

–

2

de poblacionescuando se desconocen

2 1

y

2 2

en muestrasgrandes. Dadas x1 y x2 las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 (n1 30 y n2 30), respectivamente, de poblaciones de las cuales se desconocen 2 2 1 y 2 , el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para 1 – 2 está dado por ( x1

x2 ) z 2

s22 n2

s12 n1

1

( x1

2

x2 ) z 2

s22 n2

s12 n1

donde z / 2 es el valor de la distribución normal estándar, el cual tiene un área de / 2 y s12 , s22 son las varianzas insesgadas respectivas de las muestras 1 y 2. Ejemplo 7

Retomando el ejemplo 6, se prueban 40 tornillosde cada tipo de cuerda bajo condiciones similares y se obtienen los siguientes resultados (en kg). del tipo I x1 72.5 y s1 del tipo II x2

2.45, n1

69.8 y s2 1.75, n2

40 40

Si 1 y 2 son resistencias promedio a la tensión, de los tornillos tipo I y tipo II, respectivamente, se calcula 95% de intervalo de confianza para 1 – 2 con el fin de determinar con cuál tipo de tornillos es más resistente. Como ya se conocen los valores muestrales para la media y la desviación estándar, y siendo las muestras grandes (n1 = n2 = 40 30), falta únicamente encontrar el valor para z / 2 con 95% de intervalo de confianza. Usando las tablas porcentuales, z / 2 = 1.96 (72.5 69.8) 1.96

2.452 40

1.752 40 1.78

1

2

(72.5 69.8) 1.96

1

2

3.62

2.452 40

1.752 40

Puesto que el intervalo para la diferencia de las medias poblacionales siempre será positivo, se tiene 95% de confianza de que la resistencia a la tensión de los tornillos tipo I es mayor a la de los del tipo II 1

–

(1.78, 3.62) indica que

2

3. Intervalo de confianza para 2 1

y

2 2,

pero se sabe que

1

–

2 1

2

1

–

2

0, es decir

1

2

de poblacionesnormalescuando se desconocen

2 2

en muestraspequeñas.

Dadas x1 y x2 las medias de muestras aleatoriasindependientes de tamaños n1 y n2 (n1 30 y n2 30), respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales de 2 2 2 las que se desconocen 1 y 2 pero se conoce que 12 2 , el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para 1 – 2 está dado por ( x1

x2 ) t (sp ) 2

1 n1

1 n2

1

2

( x1

x2 ) t (sp ) 2

1 n1

1 n2

295

donde t / 2 es el valor de la distribución t-Student con v = n1 + n2 – 2 grados de libertad, el cual tiene un área de / 2 (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2

sp

esla estimación común de la desviación estándar poblacional y s12 y s22 son lasvarianzas insesgadas respectivas de las muestras 1 y 2. Ejemplo 8

Las pruebas de tracción en diez puntos de soldadura para un dispositivo semiconductor produjeron los siguientes resultados en libras requeridas para romper la soldadura 15.8

12.7

13.2

16.9

10.6

18.8

11.1

14.3

17.0

12.5

Un segundo conjunto de ocho puntos fue probado para determinar si la resistencia a la tracción se incrementa con un recubrimiento, produciendo los siguientes resultados 24.9

23.6

19.8

22.1

20.4

21.6

21.8

22.5

Se supone distribución normal, se calcula 90% de intervalo de confianza para 1 – 2, 2 considerando 12 2 , ambas desconocidas. Primero se calculan las medias y varianzas muestrales del conjunto 1 x1 14.29 y s12 7.50, n1 10 del conjunto 2 x2 22.09 y s22 2.68, n2 8

Con estos valores se calcula (n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2

sp

(10 1)7.50 (8 1)2.68 10 8 2

2..32

Falta determinar en las tablas porcentuales de la distribución t-Student el valor de t / 2 con 90% de confianza ( = 0.10 es decir, / 2 = 0.05) y v = n1 + n2 – 2 = 16 grados de libertad. Se determina en las tablas correspondientes que t 0.05 = 1.746. (14.29 22.09) 1.746 2.32

1 10

4. Intervalo de confianza para 2 1

y

2 2,

pero se sabe que

1 8

1

2

9.72

1

2

1

–

2

1 10

1 8

5.88

de poblacionesnormalescuando se desconocen

2 2

2 1

(14.29 22.09) 1.746 2.32

en muestraspequeñas.

Dadas x1 y x2 las medias de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 (n1 30 y n2 30), respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales 2 donde se desconocen 12 y 22 pero se sabe que 12 2 , el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para 1 – 2 está dado por ( x1

x2 ) t 2

s12 n1

s22 n2

1

2

( x1

x2 ) t 2

s12 n1

s22 n2

296

donde t

/2

es el valor de la distribución t-Student con s12 n1 s12 n1

2

s22 n2

2

s22 n2

1 n1 1

2

1 n2 1

grados de libertad, el cual tiene un área de / 2, y s12 y s22 son las varianzas insesgadas respectivas de las muestras. De la fórmula anterior se puede estimar que el resultado del cálculo de los gradosde libertad generalmente será una cantidad no entera, por lo que siempre sedebe redondear al entero más próximo (no al siguiente), por ejemplo, si v = 14.3 14; v = 14.7 15; v = 14.5 15. Ejemplo 9

2

2 Se retoman los datos del ejemplo 8, considerando que 1 2 y son ambas desconocidas. Se supone normalidad; se calcula 90% de intervalo de confianza para 1 – 2; se determina qué tipo de semiconductor sin recubrimiento (1) o con recubrimiento (2) tiene más resistencia a la tracción. Las medias y varianzas muestrales se calcularon anteriormente

del conjunto 1 x1 14.29 y s12 7.50, n1 10 del conjunto 2 x2 22.09 y s22 2.68, n2 8

Con estos valores se calculan los grados de libertad s12 n1 s12 n1

2

1 n1 1

s22 n2

2

s22 n2

7.50 10 2

1 n2 1

7.50 10

2

1 10 1

2.68 8

2

2.68 8

2

14.99 15 1 8 1

Falta determinar, usando las tablas porcentuales de la distribución t-Student, el valor de t / 2 con 90% de confianza ( = 0.10 es decir, / 2 = 0.05) y v = 15 grados de libertad. Se determina en las tablas correspondientes que t 0.05 = 1.753. (14.29 22.09) 1.753

7.50 10

2.68 8

1

2

9.63

1

2

(14.29 22.09) 1.753

7.50 10

2.68 8

5.97

Como el intervalo de confianza siempre resulta negativo (de –9.63 a –5.97), se tiene 90% de confianza de que la resistencia a la tracción con recubrimiento es mayor que sin recubrimiento. 5. Intervalo de confianza para = 1 – 2 de poblacionesnormales, cuando se desconocen 2 2 1 y 2, pero se sabe que son observaciones por pares en muestras pequeñas. Dadas xd y sd la media y la desviación estándar de las diferencias normalmente distribuidas de n pares aleatorios y dependientes de mediciones de muestras de tamaño n(n 30), respectivamente, de poblaciones aproximadamente normales

297

2

2 2,

donde se desconoce 1 y = 1 – 2 está dado por d

el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para sd n

xd t 2

sd n

xd t

d

2

donde t / 2 es el valor de la distribución t-Student con v = n – 1 grados de libertad, el cual tiene un área de / 2. Ejemplo 10

En un proceso químico se comparan dos catalizadores para comprobar su efecto en el resultado de la reacción. Se preparó una muestra de doce procesos utilizando el catalizador marca L y también doce de la marca M; a continuación se muestran los datos con los rendimientos. L

0.99

0.90

0.32

0.70

0.43

0.67

0.65

0.61

0.44

0.92

M

0.95

0.40

0.60

0.62

0.44

0.62

0.42

0.72

0.26

0.86

Se calcula 99% de intervalo de confianza para la diferencia de observaciones igualadas y se supone que los datos están distribuidos normalmente. Primero se determinan las diferencias de los datos de la muestra L

0.99

0.90

0.32

0.70

0.43

0.67

0.65

0.61

0.44

0.92

M

0.95

0.40

0.60

0.62

0.44

0.62

0.42

0.72

0.26

0.86

L–M

0.04

0.50

0.28

0.08

0.01

0.05

0.23

0.11

0.18

0.06

Con estas diferencias se calcula su valor medio y la desviación estándar xd

0.074 y sd

0.207

El tamaño de la muestra es diez, por consiguiente los grados de libertad v = 10 – 1 = 9. De las tablas porcentuales correspondientes a la distribución t-Student con 99% de con-fianza ( = 0.01 y / 2 = 0.005), se tiene que t 0.005 = 3.25. Por último el intervalo de confianza resulta 0.074 3.25

0.207 10 0.139

d

0.074 3.25

d

0.287

0.207 10

Ejercicio 3 1. Calcula si en una clase de diez estudiantes se tiene el mismo rendimiento en dos pruebas diferentes. Sus puntuaciones son Estudiante:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Prueba 1:

90

90

90

80

90

92

88

90

63

70

Prueba 2:

84

84

82

94

90

85

89

62

65

52

Considera 95% de intervalo de confianza para la diferencia de las puntuaciones igualadas y supón normalidad en las poblaciones.

298

2. Se aplicó un examen de matemáticas financieras a un grupo de alumnos (grupo A), el cual obtuvo las siguientes calificaciones 3.0

3.5

4.0

8.1

7.2

8.9

8.2

10.0

10.0

9.0

A otro grupo se le aplicó un examen de álgebra lineal con las siguientes calificaciones 2.0

3.0

3.7

8.0

5.0

4.0

3.0

8.0

9.0

10.0

7.0

7.0

6.0

Calcula un intervalo de confianza para la diferencia de medias con 90% de nivel de confianza. 3. Un centro de investigación en medicinadel deporte dio a conocer lasdiferenciasen las tasas de consumo de oxígeno para varonesuniversitariosentrenados con dosmétodos diferentes. Uno de ellos recibe entrenamiento continuo y el otro intermitente, los dos con igual duración. En la siguiente tabla se registran los tamaños de muestra, medias y desviaciones estándar respectivas, expresados en ml por kg/ min Entrenamiento continuo

Entrenamiento intermitente

nc = 9 xc = 43.71

ni = 7 xi = 39.63

sc = 4.87

si = 9.68

Calcula las medias de estas poblaciones con 99% de intervalo de confianza; supón que lasvarianzaspoblacionalesson diferentesy que su distribución esaproximadamente normal. 4. Los datosque se muestran a continuación son losgradosde dureza Brinell obtenidos para muestras de dos aleaciones de magnesio

Supón que provienen de poblaciones aproximadamente normales con varianzas que son distintas y considera 98% de intervalo de confianza para 1 – 2. 5. Se dice que una nueva dieta reduce el peso de una persona, 4.5 kg en promedio, en un periodo de dos semanas. Los pesos de siete mujeres que siguieron esta dieta fueron anotados antes y después de dicho periodo. Mujer

1

2

3

4

5

6

7

Peso anterior

58.5

60.3

61.7

69.0

64.0

62.6

56.7

Peso posterior

60.0

54.9

58.1

62.1

58.5

59.9

54.4

Determina la eficacia de la dieta considerando 95% de intervalo de confianza para la diferencia de media de los pesos; supón que su distribución aproximadamente normal. a) si b) si

2 1 2 1

2 2 2 2

299

Intervalos de confianza para la varianza de poblaciones aproximadamente normales Cuando se trata de intervalos de confianza para la varianza, se consideran dos casos, uno para las varianzas poblacionales y el otro para una razón entre varianzas. 2

1. Intervalo de confianza para

de poblaciones normalesen muestraspequeñas.

Dada s2 la varianza de una muestra aleatoria de tamaño n (n 30) de una población aproximadamente normal, el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para el parámetro 2 está dado por (n 1)s2

2

(n 1)s2 2 1

2 2

2

2 2 donde (ver tablas estadís2 y 1 2 son valores de la distribución ji cuadrada ticas correspondientes) con v = n – 1 grados de libertad, los cuales tienen áreas de / 2 y 1 – / 2, respectivamente.

2

Ejemplo 11

Un antropólogo midió el ancho (en centímetros) de una muestra tomada al azar de nueve cráneos de miembros de cierta tribu, y obtuvo los siguientes resultados 13.3

14.2

13.5

16.7

11.1

13.1

13.0

12.2

13.0

Se calcula 95% de intervalo de confianza para la varianza de dicha tribu. Primero se calcula la varianza insesgada de la muestra s2 = 2.33. El grado de confi anza est á dado por 1 – = 0.95, donde = 0.05, es deci r / 2 = 0.025 y 1 – / 2 = 0.975. Buscando en las tablas de la distribución ji cuadrada con v = 9 – 1 = 8 grados de libertad, se tiene 2 2

2 0.025

17.5345 y

2 1

2 0.975

2

2.1797

Por último, resulta (9 1)2.33 17.5345

2

(9 1)2.33 2.1797

1.06

2

8.55

2. Intervalo de confianza para 2

2 1

2 2

de poblacionesnormalesen muestraspequeñas.

2

Dadas s1 y s2 las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 (n1 30 y n2 30), respectivamente, de poblaciones normales, el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para la razón de las varianzas 12 22 está dado por s12 s22

1 f 2( 1,

2)

2 1 2 2

s12 s22

f

2( 2,

1)

donde f 2 ( 1, 2 ) es el valor de la distribución F (ver tablas correspondientes), con v1 = n1 – 1 grados de libertad del numerador y v2 = n2 – 1 grados de libertad del denominador el cual tiene un área de / 2, similarmente f 2 ( 2 , 1 ).

300

Ejemplo 12

2

2 Retomando los datos del ejemplo 8 se hizo la suposición de que 1 2 y se calculó un intervalo de confianza para la razón de varianzas y se determinó si fue válida la suposición, con 90% de confianza. Los resultados del conjunto 1 fueron

15.8

12.7

13.2

16.9

10.6

18.8

11.1

14.3

17.0

20.4

21.6

21.8

22.5

12.5

Los resultados del conjunto 2 fueron 24.9

23.6

19.8

22.1

Al calcular las varianzas muestrales, del conjunto 1 se obtuvo s12 7.50, n1 = 10, y del conjunto dos s22 2.68, n2 = 8. Falta determinar usando las tablas porcentuales de la distribución F los valores de f 2 ( 1, 2 ) y f 2 ( 2 , 1 ) con 90% de confianza ( = 0.10 es decir, / 2 = 0.05) y v1 = n1 – 1 = 10 – 1 = 9 y v2 = n2 – 1 = 8 – 1 = 7 grados de libertad. Se busca en las tablas de la distribución F y se obtiene f

2( 1,

2)

f 0.05 (9, 7) 3.677 y f

2 ( 2,

1)

f 0.05(7, 9) 3.293

El intervalo de confianza resulta 7.50 1 2.68 3.677

2 1 2 2

0.76

2 1 2 2

7.50 3.293 2.68 9.22

Del intervalo de confianza para la razón entre varianzas se determina que el valor 1 está contenido en el intervalo. Por tanto, con 90% de confianza se justifica la suposición de 2 2 2 2 que 12 2 1 (0.76, 9.22) y si se multiplican por 2 ambos miembros 2 , ya que 1 2 2 de la igualdad se obtiene 1 2.

Ejercicio 4 1. Un geólogo estudia el movimiento de los cambios relativos en la corteza terrestre en un sitio particular, en un intento por determinar el ángulo medio de las fracturas eligió n = 50 fracturas y determina que la media es de 39.8°y la desviación estándar muestral es de 17.20°. Considera 99% de intervalo d e confianza para estimar la varianza de la población (supón que la población está normalmente distribuida). 2. En un proceso químico se comparan dos catalizadores para verificar su efecto en el resultado de la reacción. Se preparó una muestra de diez procesos utilizando el catalizador marca L y diez con el de la marca M, a continuación se muestran los datos con los rendimientos L

0.99

0.90

0.32

0.70

0.43

0.67

0.65

0.61

0.44

0.92

M

0.95

0.40

0.60

0.62

0.44

0.62

0.42

0.72

0.26

0.86

301

Considera 99% de intervalo de confianza para razón entre varianzas de los rendimientos de los catalizadores; supón que los datos están distribuidos normalmente. 3. El espesor de las paredes de 25 botellas de vidrio de dos litros fue medido por un ingeniero de control de calidad. La media muestral fue de 4.02 mm y la desviación estándar muestral de 0.09. Considera 95% de intervalo de confianza con respecto de la varianza del espesor de las paredes de las botellas. 4. Se realizan cinco mediciones en un medidor de volumen en la bomba de una estación de gasolina (10.5, 10.0, 9.90, 9.95 y 10.15), supón normalidad y calcula un intervalo de confianza para la varianza con = 0.05.

Intervalos de confianza para las proporciones en muestras grandes 1. Intervalo de confianza para el parámetro p en muestrasgrandes. ˆ yq ˆ 1 ˆp son las proporciones respectivas de éxitos y fracasos en una muestra Si p aleatoria de tamaño n (n 30), el intervalo de confianza (1 – ) de 100% para el parámetro binomial p está dado por ˆp z 2

ˆpq ˆ n

ˆpq ˆ

p ˆp z 2

n

donde z / 2 es el valor de la distribución normal estándar, el cual tiene un área de / 2. Ejemplo 13

En una muestra aleatoria de cien posibles clientes, 70 prefieren determinado producto. Se considera 95% de intervalo de confianza para la proporción de todos los posibles clientes que prefieren tal producto. Para el intervalo de confianza de la proporción primero se determina el valor de ésta de personas que prefieren el producto ˆp

70 100

0.70 y ˆq

30 100

0.30

En este caso se tiene 95% de confianza, por tanto, 1 – = 0.95, y usando las tablas porcentuales de la distribución normal se tiene z / 2 = 1.96. Por último 0.70 1.96

0.70 0.30 100

p 0.70 1.96

0.70 0.30 100

0.6102 p 0.7898

2. Intervalo de confianza para p1 – p2 de poblaciones en muestras grandes. Dadas ˆp1 y ˆp2 las proporciones de éxitos de lasmuestras aleatorias de tamaños n1 y n2 ˆ1 y q ˆ 2 , el intervalo de confianza ˆ1 1 p ˆ2 1 p (n1 30y n2 30), respectivamente y q (1 – ) de 100% para la diferencia entre los dos parámetros binomiales p1 – p2 está dado por (ˆp1 ˆp2 ) z 2

ˆp1q ˆ1 n1

ˆp2q ˆ2 n2

p1 p2

(ˆp1 ˆp2 ) z 2

ˆp1ˆq1 n1

ˆ 2q ˆ2 p n2

donde z / 2 es el valor de la distribución normal estándar, el cual tiene un área de / 2.

302

Ejemplo 14

Una firma manufacturera de cigarros distribuye dos marcas. Si se encuentra que 56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150 fumadores prefieren la marca B, se considera 95% de intervalo de confianza para pA – pB; se determina si es válido suponer que la población de fumadores prefiere la marca B, sobre la marca A. Dada pA la probabilidad de que 56 de 200 fumadores prefieran la marca A, su estadístico resulta ˆpA

56 200

0.28

ˆ A 0.72 con n1 = 200. Asimismo la probabilidad de que 29 de 150 de tal forma que q prefieran la marca B resulta ˆpB

29 150

0.19

de tal formaque ˆqB 0.81 con n2 = 150. Por último parael intervalo de 95% de confianza, de las tablas porcentuales para la distribución normal resultaque z / 2 = 1.96, empleando la fórmula correspondiente para pA – pB (0.28 0.19) 1.96

0.28 0.72 200

0.19 0.81 150

pA

0.0018 pA

pB (0.28 0.19) 1.96 pB

0.28 0.72 200

0.19 0.81 150

0.1782

Como pA – pB 0 entonces pA pB. Por tanto, no es válida la suposición de que la población de fumadores prefiere la marca B sobre la A con 95% de confianza.

Ejercicio 5 1. Para estimar la propuesta de los trabajadores desempleados en Panamá, un economista toma una muestra al azar de 400 personas de clase obrera, donde 25 resultaron sin empleo. Calcula la proporción real de trabajadores desempleados en Panamá considerando 97% de un intervalo de confianza. 2. Un rector registró debidamente el porcentaje de calificaciones D y F otorgadas a los estudiantes por dos profesores universitarios de historia. El profesor I alcanzó 32% contra 21% del profesor II, con 200 y 180 estudiantes, respectivamente. Considera90% de intervalo de confianza para la diferencia de proporciones. 3. Un antropólogo está interesado en la proporción de individuos que presentan braquicefalia en dos tribus indígenas. Supón que se toman muestras independientes de cada una de las tribus y se descubre que 24 de cada 100 nativos de la tribu A y 36 de cada 120 de la tribu B poseen dicha característica. Considera 95% de intervalo de confianza para la diferencia p1 – p2 entre las proporciones de estas dos tribus.

10.2 Pruebas de hipótesis En la sección anterior se analizaron los intervalos de confianza para el cálculo de estimaciones sobre los parámetros y para tomar decisiones al trabajar con la población de interés. En esta sección se estudiará otro método estadístico que permita tomar decisionesen problemasrelacionadoscon poblaciones que resultan muy difícileso imposibles de analizar en su totalidad. Por ejemplo, para poder concluir con cierta veracidad sobre la

303

vida promedio de focos de cierta marca, se puede formular una hipótesis, la cual se debe comprobar, es decir, buscar evidencias que ayuden a decidir si la hipótesis se acepta o se rechaza. Definición 10.5 Se llama hipótesis estadística

La comprobación de una hipótesis estadística consiste en buscar evidencias para decidir sobre la aceptación o rechazo de la afirmación realizada. En el ejemplo de los focos se puede suponer que su vida promedio está por arriba de las 750 h de duración; después de elegir una muestra de tales focos, resulta que su vida promedio fue 730 h, con este análisis surge un cuestionamiento. En la comprobación de hipótesis, la manera óptima de tomar la decisión de aceptar o rechazar la afirmación realizada sólo se puede conocer cuando se analiza toda la población; sin embargo, en la práctica, una afirmación se acepta con base en una muestra aleatoria de la población que sólo indica que con los resultados obtenidos no existe evidencia para rechazarla. Asimismo, cuando se rechaza una afirmación formulada sólo significa que no existen evidencias suficientes de la muestra para aceptarla. Para formular unaafirmación sobre un suceso y realizar una prueba de aceptación o rechazo, surge la siguiente terminología: se llama hipótesisnula a la afirmación que se quiera probar y se simboliza por H 0. A la afirmación que es opuesta a la hipótesis nula se le llama hipótesisalterna, y se simboliza por H1. Cabe aclarar que la hipótesis nula siempre deberá ser establecida de tal forma que especifique un valor exacto del parámetro en estudio, mientras que la hipótesis alterna debe representar un valor diferente al de la hipótesis nula. Por ejemplo en el caso de la duración promedio de los focos la muestra tuvo una vida promedio de 730 h, 20 menos que la conjetura del fabricante, por tanto, 750, es decir, la vida promedio de los focos es se formula la hipótesis nula como H0: menor o igual que 750. La hipótesis alterna correspondiente se basa en la afirmación del fabricante, el cual asegura que la vida promedio de los focos está por arriba de las 750 h de duración, con lo que se establece la hipótesis alterna como H1: 750, es decir, la vida promedio de los focos es mayor a 750. Como se aprecia, el valor del parámetro en la hipótesis alterna puede elegirse dentro de una infinidad de posibilidades ya que no se establece un valor concreto, en este caso sólo debe cumplir con ser mayor a 750.

10.2.1 Tipos de errores en una prueba de hipótesis Al aceptar o rechazar una hipótesisnula se pueden cometer ciertoserrores, loscualesdeben ser mínimos. Definición 10.6 Se llama error tipo I cuando se rechaza la hipótesis nula, dado que ésta es cierta. Asimismo, se llama error tipo II cuando no se rechaza la hipótesis nula, dado que es falsa.

Dadas las definiciones de los dos errores que van implícitos al aceptar o rechazar una hipótesis nula, surge de nuevo un cuestionamiento.

304

La respuesta referente a la probabilidad de cometer un error tipo I o tipo II es fundamental en el desarrollo de la prueba de hipótesis. Definición 10.7 a la probabilidad de cometer un error tipo I y se simboliza por Se llama se comete un error tipo II, la probabilidad se simboliza por .

Ejemplo 15

; si

Se retoma el caso de la vida promedio de los focos y se consideran 49 focos de muestra y 750, H1: 750, la evidencia de la muestra establece 760 h de vida las hipótesis H 0: promedio, se calcula el nivel de significancia. = probabilidad de cometer un error tipo I = probabilidad de rechazar H 0 siendo verdadera

Es decir

P(X

760), cuando

750

Para calcular la probabilidad anterior se usa el teorema central del límite P(X

760) P

X n

760 750 25 49

P(Z 2.8) 0.0026

En tales condiciones, la probabilidad de cometer un error tipo I es pequeña; es decir, el nivel de significancia es 0.26%. Ejemplo 16

Se retoma el caso de la vida promedio de los focos y se calcula

para = 765.

= probabilidad de cometer un error tipo II = probabilidad de aceptar H 0, siendo falsa

Es decir, P(X 760 cuando

765)

se calcula la probabilidad anterior usando el teorema del límite central P(X

760) P

X n

760 765 25 49

P(Z

1.4) 0.0808

La probabilidad de cometer un error tipo II es pequeña, es decir, 8.08% para el caso en que la verdadera vida promedio de los focos sea igual a 765 horas.

305

Ejercicio 6 1. Se ha desarrollado una nueva preparación para cierto tipo de cemento con un coeficiente de compresión de 5 mil kg por cm2 y una desviación estándar de 120. Para comprobar la hipótesis de que = 5 000, en contraposición con la alternativa de 5 000 se verifica una muestra al azar de 50 piezas de cemento. Se determina que la región crítica es X 4 970. a) calcula la probabilidad de cometer el error tipo I cuando H 0 es verdadera b) evalúa para la alternativa = 4 960 2. Supón que X es una variable aleatoria normal con varianza 100. Si se toma una muestra al azar de tamaño 16 de X, comprueba la hipótesis H0: = 10 contra H1: 10. Si se determinó una media muestral de 12.5, calcula la probabilidad de error de tipo II. 3. Una lavandería afirma que un nuevo quitamanchas es efectivo en no más de 70% de los casos en que se utiliza. Para comprobar esta afirmación se aplica el producto en doce manchas tomadas al azar. Si menos de once son eliminadas se acepta la hipótesis nula de que p = 0.7; de otra forma se concluye p 0.7. a) evalúa , suponiendo p = 0.7 b) evalúa para la alternativa p = 0.9 Para la comprobación de hipótesis se tienen los mismoscasosque en los intervalos de confianza. La formulación de las hipótesis nula y alterna comúnmente causa cierto desconcierto. Para diferenciar a la hipótesis nula de la alterna y simplificar los ejemplos y ejercicios, el análisis delimita que las hipótesis a verificar siempre estén formuladas con , o =. De tal forma que en los dos primeros casos éstas serán las hipótesis alternas correspondientes, mientras que en el tercero se refiere a la hipótesis nula. Puesto que en la prueba de hipótesis y los intervalos de confianza se tienen los mismos casos y sus condiciones para la aplicación son las mismas, se simplifica el trabajo, resumiendo únicamente las fórmulas para las hipótesis nulas y sus hipótesis alternas respectivas con sus estadísticos y regiones de rechazo correspondientes, para cada uno de los diferentes temas: medias (tres casos), diferencia de medias (cinco), varianzas (dos) y proporciones (dos). Para la prueba de hipótesis se recomienda seguir los siguientes pasos: • • • • • •

establecer la hipótesis nula establecer la hipótesis alterna fijar el nivel de significancia elegir el estadístico para la prueba de hipótesis con base en lo anterior encontrar la región de aceptación y rechazo calcular el valor del estadístico correspondiente y, con base en éste, aceptar o rechazar la hipótesis nula

306

10.2.2 Pruebas de hipótesis para medias de poblaciones aproximadamente normales con valor crítico

Ejemplo 17

1. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica, se toma una muestra al azar de piezas cuyos diámetros son 9.8, 9.5, 9.8, 11.5, 9.0, 10.4, 9.8, 10.1 y 11.2 mm. Se supone que los diámetros tienen una distribución aproximadamente normal. Si el fabricante afirma que el diámetro promedio es 10 mm, se determina respecto de esta afirmación con 0.01 de nivel de significancia. Se pide una prueba de hipótesis para la media, comprobando que ésta es igual a 10 mm, en tal caso, de acuerdo con datos muestrales, la hipótesis alterna será el opuesto, es decir, diferente de diez. Se siguen los pasos para una prueba de hipótesis. a) b) c) d)

H0: = 10 H1: 10 nivel de significancia = 0.01 estadístico de prueba, primero se identifica a cuál de lostrescasosanteriorescorresponde, se indica que no se conoce sy que la muestra es pequeña; por tanto, t

x 0 s n

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de dos colas, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución t-Student, por lo que la región de rechazo está dada por t Región de rechazo, cola izquierda

Región de rechazo, cola derecha

–t

/2

yt

t

/2

Con base en el inciso c), se tiene = 0.01, donde / 2 = 0.005. Por otro lado, el tamaño de la muestra es n = 9, donde v = 9 – 1 = 8 grados de libertad. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución t-Student resulta la región de rechazo t

–t 0.005 = –3.355 y t

t0.005 = 3.355

307

f) para calcular el estadístico t, primero se determinan los datos de la media y la desviación estándar muestral calculando los nueve datos, se tiene x 10.1222 y s= 0.7981, donde t

10.1222 10 0.7981 9

0.4593

Como dicho valor se encuentra en la región de aceptación, la hipótesis nula se acepta y, por tanto, se determina que con nivel de significancia de = 0.01 es válida la afirmación del fabricante. 2. Se toma una muestra al azar de 36 vasos suministrados por una máquina de refrescos que sirve por vaso un contenido promedio de 21.9 dl, con desviación estándar de 1.42 dl. Se comprueba la hipótesis = 22.2 dl contra la hipótesis alterna 22.2 con nivel de significancia 0.05. a) b) c) d)

H0: = 22.2 H1: 22.2 nivel de significancia = 0.05 estadístico de prueba; primero se identifica a cuál de los tres casos anteriores corresponde, dado que no se conoce y la muestra es grande; por tanto x 0 s n

z

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de una cola, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución normal, por lo que la región de rechazo está dada por z

–z

Con base en el inciso c), se tiene = 0.05. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución normal la región de rechazo resulta z

–z = –1.6449

f) de la muestra aleatoria de 36 servicios de la máquina de bebidas se obtuvo un contenido promedio de 21.9 dl, con desviación estándar de 1.42 dl, donde z=

21.9 22.2 = –1.2676 1.42 36

Como dicho valor se encuentra en la región de aceptación, la hipótesis nula se acepta con un nivel de significancia de = 0.05. 3. De acuerdo con las normas establecidas para un examen de aptitud mecánica, las personas de 18 años deberían promediar 73.2 con desviación estándar de 8.6. Si de una toma al azar 45 personas promedian 76.7, se comprueba la hipótesis de que la media poblacional es mayor que 73.2. Se determina nivel de significancia de 2.5% y desviación estándar poblacional de 8.6.

308

Se pide una prueba de hipótesis para la media, donde se comprueba que la media poblacional es mayor que 73.2, según los datos anteriores; en tal caso, la hipótesis alterna será la afirmación que se quiere probar: la media poblacional es mayor que 73.2. a) b) c) d)

H0: = 73.2 H1: 73.2 nivel de significancia = 0.025 estadístico de prueba; primero se identifica a cuál de los tres casos corresponde, siendo que se conoce ; por tanto, z

x

0

n

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de una cola, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución normal, por lo que la región de rechazo está dada por z z. Con base en el inciso c), se tiene que = 0.025. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución normal la región de rechazo resulta z

z0.025 = 1.96

f) se calcula el estadístico z, x 76.7 y = 8.6, donde z

76.7 73.2 8.6 45

2.73

Como dicho valor se encuentra en la región de rechazo, la hipótesis nula se rechaza con nivel de significancia de 2.5%.

Ejercicio 7 1. Un fabricante de máquinas de refrescos asegura que sus máquinas suministran un promedio de 250 mm por vaso, pero debido a algunas quejas de los consumidores sobre una máquina en particular decide verificarla, para lo cual toma una muestra de 20 vasos, obteniendo 245 mm de media con desviación estándar de 11. Calcula con 0.10 de nivel de significación, si es cierta la afirmación del fabricante. 2. Compruebalahipótesisdequeel contenido promedio delosenvasesdeun lubricante es de diez litros si los contenidos de una muestra aleatoria de diez envases son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 l. Utiliza 0.01 de nivel de significancia y supón que la distribución de los contenidos es normal. 3. Un investigador afirma que el promedio de accidentes en una fábrica es inferior a once. Al tomar una muestra al azar de tamaño 36, se obtiene que X 10 y S2 = 9. Calcula si se puede apoyar al investigador con base en los resultados de la muestra a nivel de 1%.

309

4. Un investigador afirma que el promedio de accidentes en una fábrica es inferior a trece. Al tomar una muestra al azar de tamaño 36, se obtiene una media y una varianza de 10 y 9, respectivamente. Calcula si se puede apoyar al investigador con base en los resultados de la muestra a nivel de 1%.

10.2.3 Pruebas para la diferencia de medias de poblaciones aproximadamente normales con valor crítico

( x1 x2 ) d0 sp (1 n1) (1 n2 )

t

(n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2

sp

( x1

t

x2 ) d0

(s12 n1 ) (s22 n2 )

s12 n1 s12 n1

2

1 n1 1

t

s22 n2

2

s22 n2

d d0 sd n

2

1 n2 1

310

1. Para determinar el rendimiento de combustible en dos marcas de automóviles con características similares se experimentó con doce automóviles marca V y diez marca I en pruebas de velocidad fija de 90 kmph. Para los de la marca V se obtuvieron 16 kmpl con desviación estándar de1.0 kmpl y para losdela marcaI el promedio fue 11 kmpl, con desviación estándar de 1.8 kmpl. Se supone que la distancia por litro para cada modelo del automóvil se distribuye aproximadamente en forma normal con varianzas iguales. Se comprueba la hipótesis referente a que los automóviles marca V en promedio exceden a los de la marca I por 4 kmpl utilizando = 0.10 Las varianzas poblacionales son diferentes. Se pide una prueba de hipótesis para la diferencia de medias, donde se tiene que comprobar que el rendimiento promedio por litro de los automóviles marca V excede el rendimiento de los de la marca I en 4 kmpl. De tal forma que la hipótesis alterna queda de doscolas. Se representa por 1 el promedio del rendimiento por litro de los automóviles marca V y por 2 a los de la marca I. a) b) c) d)

H0: 1 – 2 = 4 H1: 1 – 2 4 nivel de significancia = 0.10 estadístico de prueba; primero se identifica a cuál de los cinco casos anteriores corresponde, dado que no se conoce la varianza poblacional y las muestras son pequeñas, con varianzas poblacionales diferentes, se tiene ( x1

t

(s12

x2 ) d0 n1) (s22 n2 )

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de dos colas, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución t-Student, por lo que la región de rechazo está dada por t

–t

/2

–t

yt

/2

Con base en el inciso c), se tiene que = 0.10, donde / 2 = 0.05. Los grados de libertad se calculan mediante s12 n1 s12 n1

2

1 n1 1

s22 n2

2

s22 n2

1 12 2

1 n2 1

1 12

2

3.24 10

1 12 1

2

3.2 24 10

2

13.4946 13 1 10 1

Por tanto, usando lastablas porcentuales de la distribución t-Student con 13 grados de libertad resulta la región de rechazo t

–t0.05 = –1.796 y t

t 0.05 = 1.796

f) se calcula el estadístico t con los datos que se tienen x1 16, s12 1 y n1 12; x2 11, s22

(1.8)2

3.24 y n2 10

311

t

( x1 (s12

x2 ) d0 n1 )

(s22

(16 11) 4 (1 12) (3.24 10)

n2 )

1.5668

Como dicho valor se encuentra en la región de aceptación, la hipótesis nula se acepta con nivel de significancia de 10%. Por tanto, el rendimiento por litro de los automóviles marca V sobrepasa en 4 kmpl a los de la marca I. 2. Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para determinar su resistencia a la tensión. Se prueban doce piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, obteniéndose los siguientes resultados (en kg) Tipo de rosca

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

78

76

80

79

78

80

82

81

79

83

80

82

2

83

80

82

83

81

80

79

80

82

78

79

81

Con 0.025 de nivel de significancia, se calcula que la resistencia promedio a la tensión de los tornillos tipo I es menor a la de los tipo II, Se supone que las varianzas poblacionales son iguales. Se pide una prueba de hipótesis para la diferencia de medias, donde se tiene que comprobar que la resistencia promedio a la tensión de los tornillos tipo I es menor que la de los tipo II. De tal forma que la hipótesis alterna es de una cola. Se representa por 1 la resistencia promedio a la tensión de los tornillos tipo I y por 2 la resistencia promedio a la tensión de los tipo II. a) b) c) d)

H0: 1 – 2 = 0 H1: 1 – 2 0 nivel de significancia = 0.025 estadístico de prueba; primero se identifica a cuál de los cinco casos anteriores corresponde, dado que no conoce las varianza poblacional pero se sabe que son iguales y las muestras pequeñas; por tanto ( x1 x2 ) d0 sp (1 n1 ) (1 n2 )

t

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de una cola, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución t-Student, por lo que la región de rechazo está dada por t

–t

Con base en el inciso c), se tiene que = 0.025. Los grados de libertad se calculan mediante v = n1 + n2 – 2 = 12 + 12 – 2 = 22. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución t-Student con 22 grados de libertad, resulta la región de rechazo t

–t0.025 = –2.074

312

f) se calcula el estadístico t con los datos de sus medias y varianzas x1 79.8333, s12 sp

80.6667, s22

3.9697 y n1 12; x2

(n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2

2.6061 y n2 12

(12 1)3.9697 (12 1)2.6061 1.8133 12 12 2

Se sustituye en la fórmula del estadístico t

( x1 x2 ) d0 sp (1 n1 ) (1 n2 )

(79.8333 80.6667) 0 1.8133 (1 12) (1 12)

1.1257

Como dicho valor se encuentra en la región de aceptación, la hipótesis nula se acepta, con 2.5% de nivel de significancia, por tanto, la resistencia promedio a la tensión de los tornillos tipo I no es menor a la de los tipo II. 3. Se comparan dos tipos de rosca de anillo para determinar su resistencia a la tensión. Se prueban cien piezasde cadatipo de cuerdabajo condiciones similares, obteniéndose los siguientes resultados, la tipo I, presentó resistencia promedio de 88 kg, con desviación estándar de 5; la tipo II presentó resistencia promedio de 83 kg, con desviación estándar de 9. Se calcula con nivel de significancia de 0.05 si la rosca tipo I tiene mayor resistencia promedio a la tipo II en más de 3 kg. Se pide una prueba de hipótesis para la diferencia de medias, donde se tiene que comprobar la resistencia a la tensión de la rosca de dos tipos de tornillos. De tal forma que la hipótesis alterna es de una cola. Se representa por 1 a la resistencia a la tensión de las cuerdas de los tornillos tipo I y por 2 a la de los tornillos tipo II; a) b) c) d)

H0: 1 – 2 = 3 H1: 1 – 2 3 nivel de significancia = 0.05. estadístico de prueba: primero se identifica a cuál de los cinco casos anteriores corresponde, dado que no se conoce la varianza poblacional y las muestras son grandes, se tiene z

( x1

x2 ) d0 s12 n1

s22 n2

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de una cola, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución normal, por lo que la región de rechazo está dada por z z

Con base en el inciso c), se tiene que = 0.05. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución normal resulta la región de rechazo z z = z0.05 = 1.6449

313

f) se calcula el estadístico z con los datos x1

88, s12

52 z

( x1

25 y n1 100; x2 x2 ) d0 s12

s22

n1

n2

83, s22

92

81 y n2 100

(88 83) 3 1.9426 25 81 100 100

Como dicho valor se encuentra en la región de rechazo, la hipótesis nula se rechaza con nivel de significancia de 5%, por tanto, la rosca de los tornillos tipo I tiene mayor resistencia promedio a la tipo II en más de 3 kg.

Ejercicio 8 1. Un grupo de personasrequiereprocesar trabajosde cálculo en un centro de cómputo para estimar la cantidad de tiempo requerida por la computadora para analizar el trabajo. Este tiempo se mide en una unidad central de procesamiento (UCP). Se decide comparar el tiempo estimado contra el tiempo real en la UCP para un cliente y se obtienen los siguientes datos

Calcula si esta evidencia es suficiente para señalar que, en promedio, el cliente tiende a subestimar el tiempo en la UCP necesario para los trabajos; realiza la prueba con = 0.10 y varianzas poblacionales diferentes. 2. Cierto metal se obtiene mediante un proceso estándar. Se desarrolla un nuevo proceso en el que se añade una aleación a la producción del metal. Los fabricantesse encuentran interesados en estimar la diferencia entre las tensionesde ruptura de los metales producidos por los dos procesos, el estándar y la aleación. Para cada metal se toman al azar ocho especificaciones, donde cada una se somete a tensión hasta que se rompe. La siguiente tabla muestra las tensiones de ruptura de los metales en kg/ cm2. 428 419 458 439 441 456 463 429 462 448 435 465 429 472 453 459

Supón que el muestreo se lleva a cabo sobre dos distribuciones normales e independientes con varianzas iguales. Con base en los resultados, calcula si existe una diferencia real entre e y n, con nivel de significancia de 5% y varianzas poblacionales iguales. 3. Se realizó un experimento para comparar los tiempos medios necesarios para que dos empleados (A y B), completen el trámite de las cuentas corrientes personales para nuevos clientes. Se toman al azar diezclientes para cada empleado y se registran los tiempos de servicio obteniéndose los siguientes resultados

314

A

B

Xi = 222

Yi = 285

Xi2= 5075.64

Yi2= 8292.78

Determina si existe evidencia suficiente para indicar una diferencia significativa en los tiempos medios requeridos para completar los trámites necesarios mencionados. Los parámetros de las varianzas son diferentes; usa = 0.10. 4. Los siguientes datos fueron recabados en un experimento que se diseñó para verificar si existe una diferencia sistemática en los pesos obtenidos con dos escalas diferentes

Suponiendo normalidad, ¿se puede concluir que la escala 1 da menor peso promedio que la 2?Considérese = 5% y que las varianzas son diferentes.

10.2.4 Pruebas para las varianzas poblaciones normales de muestras pequeñas con valor crítico

Ejemplo 19

1. Se determina que una máquina de refrescos está fuera de control si la varianza de los contenidos excede 1.15 dl. Se toma una muestra aleatoria de 25 refrescos con varianza de 2.03 dl. Se calcula con 0.05 de nivel de significancia si la máquina está fuera de control y se supone que los contenidos tienen una distribución normal. En este ejercicio la prueba de hipótesis se refiere a una varianza, se comprueba si ésta es mayor que 1.15 dl. a) H0: 2 = 1.15 b) H1: 2 1.15 c) nivel de significancia = 0.05

315

d) estadístico de prueba; aquí sólo se tiene un caso para la varianza; por tanto (n 1)s2

2

2 0

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de una cola, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución ji por lo que la región de rechazo está dada por 2

2

área derecha. Con base en el inciso c), se tiene = 0.05. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución ji2 con v = n – 1 = 25 – 1 = 24 grados de libertad, resulta la región de rechazo 2

2

Para calcular el estadístico y n = 25. 2

(n 1)s2 2 0

2 0.05

2

36.415

, se tiene, de los datos del enunciado, s2 = 2.03

(25 1) 2.03 1.15

42.365

Como dicho valor se encuentra en la región de rechazo, la hipótesis nula se rechaza con un nivel de significancia de 0.05, por tanto, la máquina está fuera de control. 2. Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para determinar su resistencia a la tensión. Se prueban doce piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, obteniéndose los siguientes resultados (en kg) Tipo de rosca

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

78

76

80

79

78

80

82

81

79

83

80

82

2

83

80

82

83

81

80

79

80

82

78

79

81

Con 0.10 de nivel de significancia, se comprueba si es justificable la suposición 2 de que 12 2. Como no se tiene ningún caso para diferencia de varianzas se puede dividir entre la varianza 2 y obtener una razón entre varianzas, de tal forma que a) H 0 :

2 1 2 2

1

b)

2 1 2 2

1

H1 :

c) nivel de significancia = 0.10

316

d) estadístico de prueba; aquí sólo se tiene un caso para la razón entre varianzas; por tanto 2 f

s1

s22

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de dos colas, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución F por lo que la región de rechazo está dada por f

1 f

2( 2,

1)

yf

f

2( 1,

2)

Con base en el inciso c), se tiene = 0.10, donde / 2 = 0.05. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución F con v1 = v2 = 11 grados de libertad, resulta la región de rechazo f

1 f0.05(11, 11)

1 2.818

0.355 y f

f0.05(11, 11) 2.818

Para calcular el estadístico f se determinan las varianzas insesgadas de los datos muestrales f

s12 s22

3.97 1.52 2.61

Como dicho valor se encuentra en la región de aceptación, la hipótesis nula se acepta con nivel de significancia de 0.10 y se justifica la suposición de que 2 2 1 2.

Ejercicio 9 1. Se conoce que la varianza de los puntajes de lectura para los estudiantes de sexto año de primaria es 1.44. Se toman al azar 21 estudiantes de sexto año a los que se les proporciona un curso especial de lectura, después del cual la varianza de los puntajes de lectura es 1.05. Calcula si ésta es suficiente con nivel de significación de 0.05 para determinar si el curso especial la reduce. 2. Una máquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de piezas al azar cuyos diámetros son 9.8, 9.8, 9.8, 11.5, 9.0, 10.4, 10.0, 10.0, 11.0 y 12.0 mm. Supón que los diámetros tienen una distribución aproximadamente normal. Si el fabricante de las máquinas indica que su máquina está desajustada cuando la varianza de los diámetros de las piezas metálicas producidas excede 0.5 mm, calcula con nivel de significancia de 0.01 si la máquina está desajustada. 3. Se sabe que el contenido de nicotina de una cierta marca de cigarrillos está normalmente distribuida con una varianza de 1.3 mg. Comprueba la hipótesis 2 = 1.3 en contra de la alternativa 2 1.3 , si una muestra aleatoria de ocho cigarrillos tiene desviación estándar de 1.8. Utiliza 0.05 de nivel de significancia.

317

10.2.5 Pruebas para muestras grandes

Ejemplo 20

1. Una firma manufacturera de cigarros distribuye dos marcas. Si se determina que 56 de 200 fumadores prefieren la marca A y que 29 de 150 fumadores prefieren la marca B, se calcula con nivel de significancia de 0.06 si la marca A aventaja en ventas a la B. Esto se puede comprobar mediante una diferencia de proporciones. a) b) c) d)

H0 : pA pB 0 H1 : pA pB 0 nivel de significancia = 0.06 estadístico de prueba; aquí sólo se tiene un caso para la diferencia de proporciones; por tanto

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de una cola, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución Z, por lo que la región de rechazo está dada por z z

Con baseen el inciso c), setiene = 0.06. Por tanto, delastablasporcentuales de la distribución Z, resulta la región de rechazo z z0.06 = 1.5548

318

Para calcular el estadístico z las variables son X A y X B, que representan a los fumadores en favor de las marcas A y B, respectivamente, de tal manera que las proporciones correspondientes están dadas por ˆA p

xA nA

56 200

0.28 y ˆpB

xB nB

29 150

0.193

mientras que ˆp

xA nA

xB nB

56 29 200 150

ˆ 1 0.243 0.757 ˆ 1 p 0.243 y q

Por tanto,

Como dicho valor se encuentra en la región de rechazo, la hipótesis nula se rechaza con un nivel de significancia de 0.06; por tanto, la suposición de que la marca A aventaja en ventas a la marca B se justifica. 2. Un canal televisivo asegura que la audiencia que mira cierto programa el sábado por la noche es 40%. Se tomo al azar una muestra de cien televidentes, a quienes se entrevistó, dando como resultado que 45 de ellos veían el programa. Con 2.5% de nivel de significancia se comprueba si la afirmación es válida. La prueba se trata de proporciones, donde se define una variable X = “cantidad de personas que miran dicho programa los sábados por la noche”.

a) b) c) d)

H0: p = 0.40 H1: p 0.40 nivel de significancia = 0.025 estadístico de prueba; aquí sólo se tiene un caso para las proporciones; por tanto, z

x np0 np0q0

e) para localizar la región de aceptación y rechazo del inciso b), se determina que se trata de una prueba de una cola, y del inciso d), que el estadístico de prueba está basado en la distribución Z, por lo que la región de rechazo está dada por z z

Con base en el inciso c), se tiene = 0.025. Por tanto, de las tablas porcentuales de la distribución z, resulta la región de rechazo z z0.025 = 1.96

f) se calcula el estadístico z con los datos que se tienen, la variable X representa a los televidentes que ven dicho programa los sábados por la noche: se entrevista a n = 100 televidentes de los cuales x = 45 ven el programa; por tanto

319

z

x np0 np0q0

45 100 0.40 100 0.40 0.60

1.02

Como dicho valor se encuentra en la región de aceptación, la hipótesis nula se acepta con nivel de significancia de 0.025, por tanto, se puede asegurar que la proporción de televidentesque ven el programa del sábado por la noche es menor que 40%.

Ejercicio 10 1. En un estudio para estimar la proporción de amas de casa que tienen una secadora automática, se determina que 63 de cada 100 residentes urbanos y 59 de cada 125 residentes suburbanos la tienen. Calcula si la proporción de amas de casa urbanas que tienen secadora exceden en más de 7% a la proporción de amas de casa suburbanas que también tienen. Considera = 4%. 2. La industria cervecera está interesada en comparar dos marcas de cerveza (A y B), puesto que se presume que la marca B es preferida sobre la marca A. De 200 personas entrevistadas, 116 prefieren la marca B; y de 150 personas, 78 prefieren la marca A. Determina la veracidad de la hipótesis de la industria. Considera = 10%. 3. Se realizó un estudio para determinar si másitalianosque estadounidensesprefieren el vino espumoso blanco que el vino espumoso rosado en lasbodas. De una muestra aleatoria de 300 italianos, 72 prefirieron el blanco; y de 400 estadounidenses, 70 también prefirieron el blanco. Calculasi másitalianosqueestadounidensesprefieren el vino espumoso blanco en las bodas. Utiliza 5% de nivel de significancia. 4. Un fabricante de cierto producto afirma que más de 40% de los consumidores prefiere su producto. Se entrevista a 60 personas al azar para verificar su afirmación. Si 28 personas de las entrevistadas prefiere dicho producto, entonces se considera válida la afirmación del fabricante, en caso contrario, se rechaza. Con un nivel de significancia de 5% prueba la afirmación del fabricante.

Autoevaluación 1. Dadas X1, X2, X3, y X4 variables de una muestra aleatoria tomada de una población distribuida en forma normal, de los siguientes estimadores indica cuál es un estimador insesgado de la media . a)

ˆ

X1 2X2

b)

ˆ

X1 2X 2 X 3 4

c)

ˆ

d)

ˆ

1

2

3

4

3X 3 4

4X 4 X4

X1 X 2 X 3 X 4 X1 2X2

3X 3 4X 4 10

2. De una máquina que produce piezas metálicas de forma cilíndrica, se toma una muestra al azar cuyos diámetros son 9.8, 10.5, 10.1, 9.9, 10.4, 10.6, 10.2, 10.8, 10.0,

320

10.7 y 9.8 mm. Supón que los diámetros tienen una distribución aproximadamente normal, considera 95% de intervalo de confianza para el diámetro promedio de todas las piezas de esta máquina. a) b) c) d)

(9.29, 11.29) (8.46, 10.36) (8.95, 11.06) (10.05, 10.55)

3. Supón que la vida promedio de los focos tiene 30 h de desviación estándar de vida, considerando una muestra de 50 focos y las hipótesis H0: = 750, H1: 750, con la región de rechazo establecida para medias mayores a 760, calcula el nivel de significancia. a) b) c) d)

0.0091 0.9919 0.0182 0.9818

4. El espesor de las paredes de 20 botellas de vidrio de dos litros fue medido por un ingeniero de control de calidad. La media muestral fue 3.98 mm y la desviación estándar muestral 0.09 mm. Considera 90% de intervalo de confianza respecto de la varianza del espesor de las paredes de las botellas. a) b) c) d)

(0.08, 0.010) (0.0051, 0.0152) (0.008, 0.010) (0.0152, 0.1520)

5. Se aplicó un examen de ecuaciones diferenciales a un grupo de alumnos (grupo A), obteniéndose las calificaciones 4.5, 3.5, 8.5, 9.5, 9.0, 6.0, 5.5, 7.5, 10, 4.0 y 8.0. A otro grupo de álgebra lineal se le aplicó otro examen obteniéndose las calificaciones 5.0, 6.0, 3.5, 8.0, 5.0, 7.0, 9.5, 8.0, 9.0, 10, 7.0, 4.5 y 6.5. Considera 95% de intervalo de confianza para la diferencia de medias, ¿existirá diferencia entre las medias de las calificaciones de los grupos? a) b) c) d)

(0.245, 3.562) (–2.476, 3.638) (–1.7673, 1.89325) (1.477, 4.604)

6. Un economista tomó al azar una muestra de 400 personas de clase obrera, de la cual 25 resultaron desempleadas. Calcula la proporción real de trabajadores desempleados considerando 97% de intervalo de confianza. a) b) c) d)

(0.018, 0.045) (0.360, 0.890) (0.036, 0.089) (0.046, 0.094)

321

7. Un investigador afirma que el promedio de accidentes en una fábrica es inferior a trece. Al tomar una muestra al azar de 36, se obtuvo media y varianza de 10 y 9, respectivamente. Comprueba la hipótesis del investigador con 1% de nivel de significancia. a) b) c) d)

se acepta la afirmación con z = –2.3263 se rechaza la afirmación con z = –6 se rechaza la afirmación con z = 2.3263 se acepta la afirmación con z = –4.569

8. Considera un medidor de volumen en la bomba de una estación de gasolina en la cual se realizan cinco mediciones, 10.5, 10.0, 9.90, 9.95 y 10.15. Supón normalidad, calcula un intervalo de confianza para la varianza con = 0.05. a) b) c) d)

(6.799, 13.401) (9.799, 10.401) (8.799,12.401) (8.946, 10.984)

Respuestas de los ejercicios Ejercicio 1 1. insesgados T2, T3, más eficiente T2 2. se comprueba que E( ˆ ) 3. a) se comprueba que E(X Y) b)

V (X Y)

2 1

2 2

n1

n2

Ejercicio 2 1. a) (15.03, 17.64) b) (13.84, 18.82) 2. (3.98, 4.06) 3. (25.07, 27.73) 4. (9.80, 10.40) 5. a) (9.40, 11.26) b) (9.52, 11.14)

1

2

322

Ejercicio 3 1. (–1.50, 12.70) 2. (–0.55, 3.28) 3. (–9.35, 17.51) 4. (–4.96, 1.60) 5. a) (–0.96, 8.08) b) (–0.51, 7.62)

Ejercicio 4 1. (132.24, 1016.46) 2. (0.17, 7.16) 3. (0.0049, 0.0157) 4. (0.021, 0.485)

Ejercicio 5 1. (0.036, 0.089) 2. (0.036, 0.184) 3. (–0.177, 0.057)

Ejercicio 6 1. a) 0.0384 b) 0.2776 2. 0.1587 3. a) 0.085 b) 0.341

Ejercicio 7 1. t = –2.033; no es cierta la afirmación del fabricante 2. t = 2.44; se acepta que el contenido promedio es 10.l

323

3. z = –4; el promedio de accidentes es menor que doce 4. z = –2, el promedio de accidentes es mayor o igual que once

Ejercicio 8 1. t = –0.408; el promedio real es mayor o igual al estimado 2. t = –1.456; los dos procesos son iguales 3. t = –0.18; los tiempos medios son iguales 4. t = 1.039; la escala 1 da un peso promedio mayor o igual que la 2

Ejercicio 9 1.

2

10.1273; los cursos disminuyen la varianza de los puntajes en la lectura

2.

2

29.76; sí, la máquina está desajustada

3.

2

7.45; la varianza es igual a 1.3

Ejercicio 10 1. z = 1.316; la proporción de amas de casa urbanas que poseen secadora no es mayor que la de las residentes suburbanas 2. z = 1.1176; la marca B no es preferida sobre la marca A 3. z = 5.2927; los italianos prefieren el vino espumoso blanco 4. z = 1.05; la afirmación no es válida

Respuestas de la autoevaluación 1. d) 2. d) 3. a) 4. b) 5. c); dado que el 0 está en el intervalo, no hay diferencia entre los grupos 6. c) 7. b) 8. b)

Apéndice A Uso de tablas alternativas para la distribución normal La unidad 8 abordó la distribución normal y en la sección 8.3.3 se estudió el uso de las tablas normales que se encuentran en el apéndice B. En su momento, se mencionó que la distribución normal juega un papel muy importante en el estudio de la probabilidad y la inferencia estadística; por consiguiente, en diferentes textos, la presentación de las tablas normales es variable, obviamente el valor de la probabilidad que se calcula no cambiará. A causa de dichas variantes en su presentación se decidió dar al alumno una explicación sobre el uso de otros dos tipos de tablas, las cuales están al final de la presente explicación.

A.1 Uso de tablas de la distribución normal estándar, cola derecha Las tablas de cola derecha tienen el siguiente aspecto:

En las tablas, los valores de Z varían de centésima en centésima desde 0 hasta 3.99. En la fila se ponen las décimas y en las columnas las centésimas. Por tanto, el cálculo de probabilidades con base en esta función y las propiedades de simetría y el complemento estudiadas en la subsección 8.3.2, se podrá efectuar de la siguiente forma, para losdiferentescasosque puedan ocurrir, y que ya se vieron en la sección 8.3.3:

326

1. P(Z Z0 ) 2. P(Z Z0 )

Fd( Z0 ), en caso de que Z0

0

1 Fd(Z0 ), en caso de que Z0 1 Fd( Z0 ), en caso de que Z0 Fd(Z0 ), en caso de que Z0

0 0

0

3. P( Z0 Z Z0 ) 1 2Fd(Z0 ) Fd(a) Fd(b), en caso de que a, b 0,

4. P(a Z b)

Fd( b) Fd( a), en caso de que a, b 0, 1 Fd(b) Fd( a), en caso de que a 0 y b 0

En los siguientes ejemplos se empleará la función Fd(z). Ejemplo

Dada Z una variable aleatoria continua con distribución normal estándar, se calculan las probabilidades indicadas en el ejemplo 4 de la sección 8.3.3: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

P(Z 1.25) 1 Fd(1.25) 1 0.1056 0.8944 P(Z 0.86) Fd( ( 0.86)) Fd(0.86) 0.1949 P( 2.97 Z 2.97) 1 2Fd(2.97) 1 2 0.0015 1 0.0030 0.9970 P( 0.67 Z 1.24) 1 Fd(1.24) Fd( ( 0.67)) 1 0.1075 0.2514 0.6411 P(0.06 Z 3.04) Fd(0.06) Fd(3.04) 0.4761 0.0012 0.4749 P( 1.34 Z 0.56) Fd( ( 0.56)) Fd( ( 1.34)) 0.2877 0.0901 0..1976

327

328

A.2 Uso de tablas de la distribución normal estándar, parte central Las tablas de la parte central tienen el siguiente aspecto:

En las tablas, losvalores de Z varían de centésima en centésima desde 0 hasta 3.99. En la fila se ponen las décimas y en las columnas las centésimas. Por tanto, el cálculo de probabilidades con base en esta función y las propiedades de simetría y el complemento estudiadas en la subsección 8.3.2, se podrá efectuar de la siguiente forma, para losdiferentescasosque puedan ocurrir, y que ya se vieron en la sección 8.3.3: 1. P(Z Z0 ) 2. P(Z Z0 )

0.5 Fc( Z0 ), en caso de que Z0 0.5 Fc(Z0 ), en caso de que Z0

0 0

0.5 Fc( Z0 ), en caso de que Z0 05 Fc(Z0 ), en caso de que Z0

0 0

3. P( Z0 Z Z0 ) 2Fc(Z0 ) Fc(b) Fc(a), en caso de que a, b 0,

4. P(a Z b)

Fc( a) Fc( b), en caso de que a, b 0, Fc(b) Fc( a), en caso de que a 0 y b 0

En los siguientes ejemplos se empleará la función Fc(z).

329

Ejemplo

Dada Z una variable aleatoria continua con distribución normal estándar, se calculan las probabilidades indicadas en el ejemplo 4 de la sección 8.3.3: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

P(Z 1.25) 05 Fc(1.25) 0.5 0.3944 0.8944 P(Z 0.86) 0.5 Fc( ( 0.86)) 0.5 Fc(0.86) 0.5 0.3051 0.1949 P( 2.97 Z 2.97) 2Fc(2.97) 2 0.4985 0.9970 P( 0.67 Z 1.24) Fc(1.24) Fc( ( 0.67)) 0.3925 0.2486 0.6411 P(0.06 Z 3.04) Fc(3.04) Fc(0.06) 0.4988 0.0239 0.4749 P( 1.34 Z 0.56) Fd( ( 1.34)) Fd( ( 0.56)) 0.4099 0.2123 0..1976

Apéndice B

332

Función acumulada de la distribución normal estándar

333

334

Tabla porcentual de la distribución normal estándar

335

Tabla t-Student

336

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución -cuadrada, área de cola derecha

337

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

338

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

339

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

340

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

341

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

342

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

343

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

344

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

345

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

346

Tabla de porcentajes de la función inversa acumulada, distribución F, área de cola derecha

Bibliografía Bibliografía básica Mendenhall, William, Richard L. Scheaffer y Dennis D. Wackerly, Estadística matemática con aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994. Por medio de esta obra se pueden ampliar los conocimientos sobre las multivariables y distribuciones muestrales (unidad 9), así como los modelos continuos y discretos (unidades 5 a 8). Meyer, Paul L., Probabilidad y aplicaciones estadísticas, Addison-Wesley Iberoamericana (edición revisada), 1992. Este texto es propicio para los estudiantesque quieran resolver problemasreferentes a los temas de las unidades 2-10 con mayor grado de dificultad. Montgomery, Douglas C. y George C. Runger, Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería, McGraw-Hill, México, 1996. Este texto es propicio para ampliar los conocimientos sobre estadística descriptiva e inferencial (unidades 1 y 10 del presente libro, respectivamente) y los modelos continuos y discretos (unidades 5 a 8). Walpole, Ronald E., y Raymond H. Myers, Probabilidad y estadística, Pearson Educación, 1998. Este texto es propicio para ampliar los conocimientos sobre estadística inferencial (unidad 10) y modelos continuos y discretos (unidades 5 a 8).

Bibliografía complementaria Devore, Jay L., Estadística matemática con aplicaciones, Thomson Editores, 1998. Gutiérrez González, Eduardo y Olga Vladimirovna Panteleeva, Fundamentosde la teoría de lasprobabilidadespara ingeniería y ciencias, Libudi, México, 2000. ________________ , Tablasy formulasestadísticas, Libudi, México, 2000. Mendenhall, William, y Terry Sincich, Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Prentice-Hall, 1997.