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determine the stability of a system. With which the use of the Nyquist criterion and the Nyquist trace, or the Nyquist criterion and bode traces, we can determine the stability of the system. INTRODUCCIÓN UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE EXTENSIÓN LATACUNGA INGENIERÍA ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN SISTEMAS DE CONTROL

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD SEGÚN NYQUIST Bejarano Rodríguez Alan Ricardo [email protected]

El criterio de Nyquist relaciona la estabilidad de un sistema en lazo cerrado puesta en frecuencia en lazo abierto y con la ubicación del polo en lazo abierto da información acerca de la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Este concepto es semejante al lugar geométrico de las raíces, donde empezamos con información sobre el sistema en lazo abierto, sus polos y ceros , y creamos información transitoria y de estabilidad sobre el sistema en lazo cerrado. DESARROLLO:

RESUMEN

Definición:

En el presente artículo se relatará el criterio de Nyquist que expone el fundamento teórico del cual se puede usar la respuesta en frecuencia para determinar la estabilidad de un sistema. Con el cual el uso del criterio de Nyquist y la traza de Nyquist, o el criterio de Nyquist y trazas de bode , podemos determinar la estabilidad del sistema.

El criterio de estabilidad de Nyquist determina la estabilidad de un sistema en lazo cerrado a partir de la respuesta en frecuencia en lazo abierto y los polos en lazo abierto.

ABSTRACT In this article we will describe the Nyquist criterion that sets out the theoretical basis from which the frequency response can be used to

Ilustración 1 Sistema Lazo Cerrado

Considérese el sistema en lazo cerrado de la Ilustración 1. La

función de transferencia en lazo cerrado es:

Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. [Se debe señalar que, aunque los polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano derecho del plano s, el sistema sólo es estable si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado (es decir, las raíces de la ecuación característica) están en el semiplano izquierdo del plano s.] El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jw)H(jw) con el número de ceros y polos de 1!G(s)H(s) que se encuentran en el semiplano derecho del plano s.

corresponde una curva cerrada en el plano F(s). El número y la dirección de los rodeos del origen del plano F(s) para la curva cerrada representan una función en particular importante en lo que sigue, pues después se correlacionará el número y la dirección de los encierros con la estabilidad del sistema. Por ejemplo se considera la siguiente función de transferencia en lazo abierto:

La ecuación característica:

La función F(s) es analítica en todas las partes del plano s, excepto en sus puntos singulares. A cada punto de análisis en el plano s le corresponde un punto en el plano F(s); por ejemplo, si s=2+j1, entonces F(s) se convierte en:

El criterio de estabilidad de Nyquist se basa en un teorema de la teoría de la variable compleja. Para comprenderlo, se analiza primero la transformación de los contornos en el plano complejo.

La ecuación característica de la Ilustración 1 es:

Se demostrará que para una trayectoria cerrada continua determinada en el plano s, que no pasa por ningún punto singular, le

Ilustración 2 Transformación conforme de las retículas en el planos dentro del plano F(s), donde F(s)=(s+1)/(s-1)

CASO ESPECIAL Criterio de estabilidad de Nyquist [para un caso especial cuando G(s)H(s) no tiene polos ni ceros sobre el eje jw]: en el sistema de la Ilustración 1, si la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) tiene k polos en el semiplano derecho del plano s y lim G(s)H(s) = constante, para la 𝑠→∞

estabilidad, el lugar geométrico G(jw)H(jw), conforme u varía de .ä a ä, debe rodear k veces el punto .1!j0 en sentido contrario al de las agujas del reloj. OBSERVACIONES SOBRE EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIS 1. Este criterio se expresa como Z=N+P Donde: Z =número de ceros de 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s N=número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj del punto 1+j0 P=número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s Si P no es cero, para un sistema de control estable, se debe tener Z=0 o N= -P, lo cual significa que se deben tener P rodeos del punto 1+j0 en el sentido de las agujas del reloj. Si G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho del plano s, entonces Z=N. Por tanto, para la estabilidad no se debe rodear el punto 1+j0 mediante el lugar geométrico G(jw)H(jw). En este caso, no es necesario considerar el

lugar geométrico para el eje jw completo, sino sólo para la parte de frecuencia positiva. La estabilidad de este sistema se determina observando si el punto 1+j0 se rodea mediante el diagrama de Nyquist de G(jw)H(jw). La región encerrada mediante el diagrama de Nyquist aparece en la Ilusstracion 2. Para la estabilidad, el punto .1!j0 debe encontrarse fuera de la región sombreada. 2. Debe tenerse cuidado en el momento de probar la estabilidad de sistemas multilazo, debido a que pueden incluir polos en el semiplano derecho del plano s. (Obsérvese que, aunque un lazo interno puede ser inestable, el sistema en lazo cerrado completo se estabiliza mediante un diseño adecuado.) Una simple revisión de los rodeos del punto 1+j0 mediante el lugar geométrico G(jw)H(jw) no es suficiente para detectar la inestabilidad en los sistemas multilazo. Sin embargo, en tales casos, si un polo de 1+G(s)H(s) está en el semiplano derecho del plano s, se determina con facilidad aplicando el criterio de estabilidad de Routh al denominador de G(s)H(s). Si se incluyen en G(s)H(s) funciones trascendentes, tales como el retardo de transporte 𝑒 𝑇𝑠 , deben aproximarse mediante una expansión en serie antes de aplicar el criterio de estabilidad de Routh. 3. Si el lugar geométrico de G(jw)H(jw) pasa por el punto 1+j0, entonces los ceros de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado, se localizan sobre el eje jw. Esto no es conveniente para sistemas

de control prácticos. Para un sistema en lazo cerrado bien diseñado, ninguna de las raíces de la ecuación característica debe encontrarse sobre el eje jw.

de lo contrario, el sistema es inestable. 2. El punto 1+j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de las agujas del reloj. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable. 3. El punto 1+j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujas del reloj. En este caso el sistema es inestable.

Ilustración 2 Region Cerrada mediante un diagrama de Nyquist

ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Si la trayectoria de Nyquist en el plano s encierra Z ceros y P polos de 1+G(s)H(s) y no pasa por los polos ni los ceros de 1+G(s)H(s) conforme un punto representativo s se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea en un círculo N=Z P veces el punto 1+j0 en el sentido de las agujas del reloj. (Los valores negativos de N implican rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj.) Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos. 1. El punto 1+j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s;

EJEMPLO: Considere un sistema en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo abierto se obtiene mediante y examine la estabilidad del sistema.

Solución: La Ilustración 3 contiene un diagrama de G(jw)H(jw). Debido a que G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho del plano s y el punto 1+j0 no está rodeado por el lugar geométrico G(jw)H(jw), este sistema es estable para cualquier valor positivo de K, T1 y T2.

 Este método es idéntico al lugar geométrico de las raíces y se analiza en lazo cerrado

 El criterio de Nyquist dará información de la estabilidad y además se tendrá error en estado estable y respuesta transitoria. Ilustración 3 Diagrama polar G(jw) H(jw)

BIBLIOGRÁFICA: CONCLUCIONES:

 Los métodos de respuesta en frecuencia nos da no solo información de la estabilidad, sino también información de la respuesta transitoria.

[1]J. Proakis, Tratamiento Digital De Señales, 4th ed. Mexico: Pearson Educación de México, SA de CV, 2011.

[2]Gdocu.upv.es, 2018. [Online]. Available: https://gdocu.upv.es/alfresco/service/api/ node/content/workspace/SpacesStore/ede a5442-cf02-4018-95e978a7ed411af9/TOC_0503_06_01.pdf?gues t=true. [Accessed: 16- Oct- 2018].