Est Amig Ger[1]

Ao amigo Gérson, espero contribuir p/teu êxito Exemplo –exerc.ger 1 - Foi aplicada para um grupo de alunos uma prova de matemática e se obteve os seguintes resultados: 7,0 4,5 5,5 6,0 3,5 2,0 5,0 6,0 4,0 5,5 7,0 6,5 6,0 8,0 7,5 8,0 4,5 6,5 7,5 8,0 9,0 8,5 8,0 7,0 6,5 7,0 6,5 5,5 4,5 5,0 6,0 7,0 calcule: a)A média aritmética ou média; b) A mediana; c) A Moda; d)O desvio padrão. e)A variância O que se observa? Que os dados não foram organizados numericamente. Estão na forma bruta. Portanto, há necessidade de arranjá-los em ordem de grandeza(crescente ou decrescente), isto é, rol. Como há vários dados a ser colocados na tabela, vamos verificar o significado de cada um deles. A diferença entre o maior e o menor número do rol chama-se amplitude. Como notas vão do valor zero ao valor 10, portanto têm-se: limite inferior= l = 0 limite superior = L =10 Escolhe-se uma amplitude conveniente para a classe(isto é, o comprimento das classe), por exemplo amplitude= c =2 Como começar? Primeiramente, monte uma tabela com todos os dados possíveis. Dado que há de se resumir os dados brutos e distribuí-los em classes e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma das classes, nós estamos definindo freqüência(fi), ou seja quantas vezes aconteceu tal nota. Também calcular-se-á as freqüências relativas(fr) de cada uma das classes. Ou seja a porcentagem. A freqüência acumulada(fac). O nº de classes= i =5 ,pois (L- l )/c=(10-0)/2=5 e ponto médio das classes = xi( i.e., notas de zero a dois, vem que : (2-0)/2=1 Agora, pode-se montar a tabela notas fi fr % fac xi=pm fi.xi xi²=(pm)² i classes 1 0 |....... 2 0 0,00 0% 0,00 1 0,00 1 2 2 |....... 4 2 0,06 6% 0,06 3 6,00 9 3 4 |....... 6 9 0,28 28% 0,34 5 45,00 25 4 5 TOTAL

6 |....... 8 |.......

8 10

Agora, é fácil efetuar os cálculos:

15 6 32

0,47 47% 0,19 19% 1,00 100%

0,81 1,00

7 9

105,00 54,00 210,00

49 81

fi.(xi)² 0,00 18,00 225,00 735,00 486,00 1464,00

a) média ⇒ x m =

∑ f .x ∑f i

i

⇒ xm =

i

210,00 ≅ 6, 6 32

A média é um valor típico ou representativo de um conjunto de dados. Com esse valor tende-se a localizar um ponto central, dentro de um conjunto de dados ordenados. b) A mediana; A mediana de um conjunto de números, ordenados em ordem de grandeza é o valor médio ou a média aritmética de dois valores centrais. Por ex.: dado cjto :: 5, 6, 8, 9, 9, 10, 3 , 4, 5. Primeiramente ordene o conjunto :3 , 4, 5, 5, 6, 8, 9, 9, 10. Têm-se um total de nove números(quantidade ímpar), portanto, o número central é 6(i.e. divide o cjto ao meio, há 4 números antes e 4 depois do nº 6). E quando a quantidade for par? Por ex.: 5, 5, 7, 9, 11,12,15,18. Têm-se um total de oito números(quantidade par), portanto, não existe um número que divide o conjunto ao meio. Para achar a mediana , soma-se o quarto e o quinto v e divide por dois. (9+11)/2=10. Para valores agrupados(nosso exemplo) , a mediana é dada por: Como a mediana é uma medida central, vem que: Esta está localizada na classe em que se tem 50%, no nosso exemplo, a classe destacada em cor amarela Das classe anteriores têm-se: 0%(0)+6%(2)+28%(9)=34%(11), logo faltam16%(5) para 50%(32:2=16) A classe é: 4 6 |....... 8 15 0,47 47%

47%

16%

3

31%

=

6 8 6 x 8 observe o retângulo, faça a proporcão entre as áreas do retângulo primitivo e o retângulo onde se localiza a mediana campl . da classe

8−6 x −6 b) mediana ⇒ = ⇒ 47% 16% ⇒ x = me =

6

linf da classe me

2 47

=

x−6  2   32  ⇒ 16   = x − 6 ⇒   = x − 6 16  47   47 

 32  +   ⇒ x = m e = 6 + 0, 68 ⇒ x = m e ≅ 6, 68 ≅ 6, 7 linf da classe me  47 

Ou pela fórmula

mediana ⇒ m e =linf da classe me

  ∑ fi  − ∑ f i < med    2   .c +    ampl . da classe f med    

  32    2 − (11)     .2 ⇒ m =6+  (16 − 11)  .2 ⇒ m =6+  ( 5 )  .2 m e =6+       e e 15    15   15    10  ⇒ m e =6+   ⇒ m e ≅ 6+ [ 0, 67 ] ⇒ m e ≅ 6+ [ 0, 7 ] ⇒ m e ≅ 6, 7 15  c) A Moda; Moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência. Pode ser: 1)Amodal, isto é, não possui elemento repetido. Não tem moda. Conjunto : 1, 3, 5, 7, 9 2) Modal Conjunto : 1, 1, 3, 5, 7, 9, 9, 9 Possui elemento repetido? Sim. Embora, haja dois elementos repetidos,1 e 9, lembre-se: moda é o elemento de maior freqüência, logo, a moda é o número 9. Portanto, modal e não bimodal. 3) Bimodal Conjunto : 1, 1, 1, 3, 5, 7, 9, 9, 9 Possui elemento repetido? Sim. Agora, há dois elementos repetidos,1 e 9, com a mesma freqüência, logo, a moda são os números 1 e 9. Portanto, bimodal. 4) Trimodal Conjunto : 1, 1, 1, 3, 5,5, 5, 7, 9, 9, 9 Sim. Agora, há dois elementos repetidos,1 , 5 e 9, com a mesma freqüência, logo, a moda são os números 1,5 e 9. Portanto, trimodal. 4) Polimodal Conjunto : 1, 1, 1, 3, 5,5, 5, 7,7, 7, 9, 9, 9 Sim. Agora, há mais de 3 elementos repetidos (isto caracteriza o polimodal), 1 , 5, 7 e 9, com a mesma freqüência, logo, a moda são os números 1,5,7e 9. Portanto, polimodal.

d) O desvio padrão Medida de dispersão. Indica em média qual será o “erro”(desvio) cometido ao tentar substituir cada observação pelo resumo do conjunto de dados(no caso, a média)

2  ∑ ( fi . ( xi ) ² )   ∑ ( fi . ( xi ) )   d) O desvio padrão Dp ⇒ Dp=     −  ∑ fi   ∑ fi    2  (1464 )   ( 210 )   1464 44100 46848 − 44100 Dp=  − =  =  −  32 1024 1024  32   32  

Dp =

46848 − 44100 2748 52, 42 = ≅ ≅ 1, 63 ⇒ Dp ≅ 1, 6 1024 1024 32

O que é a variância ? Outra medida de dispersão. É o quadrado do desvio padrão. Var=Dp² 2

2

e)var = ( Dp ) ⇒ var = (1, 6 ) = 2, 56 ≅ 2, 6

Odilthom ES Arrebola