Essa Cahya Mas Bali, 1513011048, 2d (metode Iterasi Titik Tetap).docx

METODE ITERASI TITIK TETAP

OLEH :

ESSA CAHYA MAS BALI (1513011048) 4D

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN GANESHA SINGARAJA 2017

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, Ida Sang Hyang Widhi Wasa karena atas rahmat dan karunia-Nya lah penulis dapat menyelesaikan makalah terkait mata kuliah metode numerik, yang berjudul “Metode Iterasi Titik Tetap”. Makalah ini dibuat dengan tujuan agar mempermudah pembaca untuk lebih memahami tentang Pendekatan Akar Persamaan Linier khususnya pada metode iterasi titik tetap. Selama penulisan makalah ini, banyak pihak yang telah memberikan dukungan baik berupa moril maupun material kepada penulis. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan fisik maupun sumbangan pikiran guna menyempurnakan makalah ini. Penulis menyadari bahwa makalah ini jauh dari sempurna. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan saran dan kritik dari pembaca guna menyempurnakan makalah ini. Namun demikian, penulis berharap makalah ini bisa bermanfaaat bagi pembaca.

Singaraja, 20 Juni 2017 Penulis,

2

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR ................................................................................................................ ..ii DAFTAR ISI................................................................................................................................. iii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ...........................................................................................................4 1.3 Rumusan Masalah .....................................................................................................................4 1.3 Tujuan Penulisan ........................................................................................................................4 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian .................................................................................................................................6 2.2 Penurunan Rumus dan Kriteria Konvergensi ............................................................................6 2.3 Kekurangan dan Kelebihan ........................................................................................................9 2.4 Algoritma Pemrograman dan Pascal .........................................................................................9 2.5 Contoh soal ..............................................................................................................................13 BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan ..............................................................................................................................16 3.2 Saran ........................................................................................................................................16 DAFTAR PUSTAKA

3

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematis agar dapat diselesaikan dengan operasi hitung tambah, kurang, kali dan bagi. Dengan semakin canggihnya komputer pribadi, perhitungan yang memanfaatkan metode Numerik semakin cepat dan akurat sehingga perannya dalam penyelesaian masalah semakin meningkat. Perkembangan metode Numerik itu sendiri juga dipengaruhi oleh perkembangan komputer. Semakin hari semakin besar pekerjaan perhitungan terutama dalam teknologi tinggi, sejalan dengan tuntutan kemajuan teknologi tersebut. Kecepatan dan keandalan komputer memungkinkan penyelesaian praktis dan cepat hitungan dalam jumlah besar yang sebelumnya tak terjangkau dikerjakan secara manual. Akibatnya metode Numerik dituntut untuk berkembang memenuhi tuntutan yang semakin banyak. Perkembangan metode Numerik meliputi perbaikan metode lama agar lebih efisien dalam perhitungan dan penemuan metode baru. Salah satunya yakni Metode Iterasi Titik Tetap. Metode iterasi titik tetap merupakan salah satu metode untuk mementukan pendekatan akar – akar persamaan tak linier. Metode ini biasanya juga disebut dengan metode sederhana, langsung, atau metode sulih beruntun (substitusi beruntun). Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya yang mudah dibentuk, yaitu kita ubah persamaan f(x)=0 menjadi bentuk x = g(x), kemudian dibentuk menjadi prosedur iterasi. Dimana metode iterasi titik tetap adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x = g(x). Sehingga dikenal juga sebagai metode x = g(x). Adapun hal lebih lanjut mengenai Metode Iterasi Titik Tetap akan dibahas pada makalah ini dalam bagian pembahasan. 1.2 Rumusan Masalah Dari uraian di atas maka dapat di rumuskan beberapa masalah sebagai berikut. 1. Apa yang dimaksud dengan metode iterasi titik tetap? 2. Bagaimanakan penurunan rumus dan kriteria konvergensi dari metode iterasi titik tetap? 3. Apa kekurangan dan kelebihan dari metode iterasi titik tetap? 4. Bagaimana algoritma dari metode iterasi titik tetap? 5. Bagaimana cara penyelesaian sebuah soal dengan metode iterasi titik tetap? 1.3 Tujuan Dari uraian diatas , maka tujuan dari makalah ini yaitu : 1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode iterasi titik tetap. 4

2. 3. 4. 5.

Mengetahui bagaimanakan penurunan rumus dan kriteria konvergensi dari metode iterasi titik tetap. Mengetahui apa saja kekurangan dan kelebihan dari metode iterasi titik tetap. Mengetahui bagaimana algoritma dari metode iterasi titik tetap. Mengetahui bagaimana cara penyelesaian sebuah soal dengan metode iterasi titik tetap.

5

BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Metode terbuka dikembangkan utnuk mengantisipasi metode akolade yang harus menaksir dua titik yang mengapit nilai akar yang dicari, sehingga sering kali memerlukan metode grafik untuk mementukan dua titik taksiran tersebut. Pada metode terbuka diperlukan satu atau dua titik taksiran yang tidak harus mengapit nilai akar yang dicari. Konsekuensi dari metode terbuka ini sering kali nilai hasil iterasi menjauh dari nilai akar yagn dicari (bersifat divergen). Teapi apabila metode terbuka convergen akan diperoleh perhitungan yang lebih cepat dari metode akolade. Metode iterasi titik tetap biasanya juga disebut dengan metode sederhana, langsung, atau metode sulih beruntun (substitusi beruntun). Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur iterasinya yang mudah dibentuk, yaitu kita ubah persamaan f(x)=0 menjadi bentuk x = g(x), kemudian dibentuk menjadi prosedur iterasi. Dimana metode iterasi titik tetap adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x = g(x). Sehingga dikenal juga sebagai metode x = g(x). Dimana bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk: x(n + 1) = g(xn) Dimana: n = 0, 1, 2, 3, . . . . . . Teorema: Diketahui g(x) merupakan fungsi kontinu dan

x

n

adalah barisan yang terbentuk oleh Fixed

Point Iteration, maka: Jika

x

n

= x maka x adalah Fixed Point fungsi g(x).

2.2 Penurunan Rumus dan Kriteria Konvergensi Jika terdapat suatu fungsi f(x) dan kita akan mencari akar atau akar-akar dari fungsi tersebut berarti kita harus menetapkan f(x) = 0 sedemikian sehingga x = g(x). selanjutnya dilakukan langkah iterasi dengan menggunakan nilai harapan : . . . . . . . . . . . (4.4)  x r +1= g( x r) . Solusi sejati  s = g(s ) . . . . . . . . . . . (4.5) Dari nilai harapan dan solusi sejati didapat persamaan:  x r +1 - s = g( x r)  g( x s) . . . . . . . . . . . (4.6)

6

 x r +1 - s = Dimana Dan

g( x r )  g( x s) xr s

g( x r)  g( x s) 2 x r  s  xr s

g( x r)  g( x s) = g' ( ) xr s

. . . . . . . (4.7)

. . . . . . . . . . . (4.8)

adalah harga rata-rata yang menyatakan bahwa jika terdapat sebuah

fungsi f(x) dan turunan pertamanya kontinu pada selang a, b , maka terdapat sekurangkurangnya satu harga dari x =  dalam selang tersebut yang dilalui oleh sebuah garis yang sejajar yang menghubungkan s dan x. Kemudian substitusi persamaan (4.6) ke (4.8) didapat: . . . . . . . . . . . (4.9)  x r +1 - s = (x r  s)g' ( ) Karena x r - s =  r , maka:   r +1 =  r g' ( )

. . . . . . . . . . . (4.10)

Teorema: “Misalkan g(x) dan g' (x) di dalam selang a, b  = s  h, s + h  yang mengandung titik tetap s dan nilai awal

x

0

dipilih dalam selang tersebut. Jika g' (x) < 1 untuk semua

x  a, b maka iterasi xr +1 = g( x r ) akan konvergen ke s. Pada kasus ini s disebut juga titik atraktif. Jika g' (x) > 1 untuk semua x  a, b maka iterasi xr +1 = g( x r ) akan divergen ke s”. Perhatikan bahwa, galat sekarang akan menjadi: a) Lebih kecil dari galat sebelumnya jika g ' ( ) < 1 Artinya: Jika g ' ( ) < 1 dapat dipastikan bahwa iterasi konvergen. Dan jika positif maka galat akan berisolasi hingga iterasi monoton.

7

Untuk gambar 4.8 Mulai dari x 0 , anak panah menunjukkan gerakan yang makin lama mendekati titik potong antara y = x dan y = g(x). Ini berarti barisan x i konvergen ke akar persamaan yang dicari. Sedangkan untuk gambar 4.9 jelas bahwa anak panak yang menunjukkan hasil iterasi semakin menjauh dari titik potong antara y = x dan y = g(x). Hal ini menyatakan barisan yang dihasilkan oleh iterasi adalah divergen. Perhatikan gradien garis singgung di titik tabakan awal g ' ( x0) < -1. b) Lebih besar dari galat sebelumnya jika g ' ( ) > 1 Artinya: Jika g ' ( ) > 1 mungkin divergen untuk salah satu akar, tapi konvergen untuk akar lainnya. Dan jika positif, maka galat akan positif hingga iterasi monoton.

Dimana pada gambar 4.7 akar persamaan merupakan titik potong antara y = x dan y = g(x). Tebakan awal x 0 memberikan g( x 0 ) = x1 . Dari x 0 ke x1 arah perpindahan ke kanan menuju ke perotongan antara y = x dan y = g(x). Ini menunjukkan bahwa barisan yang terjadi adalah konvergen. Dalam hal ini kemiringan dari y = g(x) di titik x 0 antara 0 dan 1. 8

Dan pada gambar 4.10 gerak panah semakin jauh dari titik potong antara y= x dan y= g(x). Dalam hal ini g ' ( x0) > 1 , dan barisan hasil iterasi divergen. 2.3 Kekurangan dan Kelebihan a. Kekurangan dari metode iterasi titik tetap - Pada beberapa fungsi persamaan bisa terjadi kemungkinan bahwa harga pendekatan akar-akar persamaan hasil perhitungan pada iterasi-iterasi selanjutnya justru semakin menjauh dari harga penyelesaian yang dicari, dan pendekatan Metode Iterasi Titik Tetap tidak dapat diterapkan untuk menyelesaikan apa yang dicari. Hal ini berarti bahwa pendekatan metoda fixed point iteration tidak dapat diterapkan untuk semua fungsi persamaan. - Kurang praktis, bahkan tidak efisien dan juga lambat dalam mencapai konvergensi. - Galat yang dihasilkan lebih besar dari akarnya. - Banyak memiliki iterasi. b. Kelebihan dari metode iterasi titik tetap - Metode ini memerlukan 1 (satu) buah harga x (disebut sebagai xawal) sebagai ‘tebakan’ untuk memulai proses iterasi. - Konvergen dari solusi metode iterasi dapat dilacak dari perilaku turunan pertama fungsi. - Lebih mudah dalam melakukan pemrograman. 2.4 Algoritma Pemrograman dan Pascal 1. Adapun algoritma program dengan metode iterasi titik tetap: Diketahui suatu fungsi g(x), a) Tentukan x 0 , toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b) Hitung xbaru = g( x 0) c) Jika nilai x baru  x 0 < toleransi diperoleh

tulisan

x baru sebagai

hasil

perhitungan, jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d) Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum akhiri program. e) x 0 = x baru dan kembali ke langkah (b). Sehingga dari algoritma diatas dapat disimpulkan bahwa iterasi dihentikan ketika x baru  x 0 < toleransi atau bila galat relative hampirannya: g( x r )  g( x s) < g' ( ) xr s

Dengan toleransi dan g' ( ) telah ditentukan sebelumnya. 2. Pacsal dari metode iterasi titik tetap

9

Program Iterasi_Titik_Tetap; Uses crt; Var er, tolmax, tolmin, xbaru, xlama:real; i, max:integer; label 1,3; Function f(x:real):real; Begin f:=x*x-3*x+1; end; begin 1: Writeln(‘Program mencari nilai akar dengan metode iterasi titik tetap’); Writeln(‘_____________________________________________’); Writeln(‘mencari akar dari persamaan f:=x*x-3*x+1’); Writeln; Writeln(‘tebakan awal= ‘); Readln(xlama); Writeln(‘toleransi maksimal= ‘); Readln(tolmax); Writeln(‘toleransi minimum= ‘); Readln(tolmin); Writeln(‘iterasi maksimum= ‘); Readln(max); Writeln; Writeln(‘i= ‘,i,’x’,i,’=’,xlama:0:6); i:=1; repeat xbaru:=f(xlama); er:=abs(xbaru-xlama); writeln(‘i= ‘,i,’x’,i,’=’,xlama:0:6); if er>tolmax then goto 3; begin writeln (‘’); writeln(‘fungsi divergen’); end; xlama:=xbaru; i:=i+1; 10

until er
Screen shot dari turbo pascal:

11

12

2.5 Contoh soal Terdapat sebuah persamaan x 2 -3x +1= 0 , tentukanlah pendekatan akar persamaan tak linier menggunakan metode iterasi titik tetap!. Dimana secara aljabar akar persamaan tsb dapat dihitung menggunakan rumus abc yang hasilnya adalah : x1= 2,6180 dan x 2= 0,3819 a. Penyelesaian menggunakan rumus Persamaan x 2 -3x +1= 0 dapat dituliskan permisalah sebagai berikut: Dimana x = g(x), sehingga: 2 +1 x = g(x) = x 3 - Rumus iterasinya 2 ( x i + 1) xi +1 = 3 Misalkan tebakan awal yang dipilih adalah x 0 = 1 , maka: 2 ( x 0 + 1) = 0,667 i = 0, x1 =  3 (0,677 2 +1) = 0,481 i = 1, x 2 =  3

(0,482 2 +1) = 0,411 3 ……………………………… dst. Nampaknya barisan x i akan konvergen menuju ke akar yang terkecil yaitu



i = 2,

x3 =

0.3819. Kemudian pilih tebakan awal yang lainnya, misalnya x 0 = 3 , maka: (32 +1)  i = 0, x1 = = 3,333 3

 

(3,3332 +1) = 4,037 3 (4,037 2 +1) = = 11,415 i = 2, x 3 3 ……………………………………dst. i = 1,

x2 =

13

Nampaknya barisan x i tidak konvergen menuju ke salah satu akar. Tebakan awal x 0 = 3 mengakibatkan barisan x i divergen. Rumus iterasi dari persamaan di atas dapat juga ditulis: 3 -1 xi +1 = xi Dengan tebakan awal x0 = 1, diperoleh hasil sbb: (3-1) i = 0, x1 = = 2,000  1 1 i = 1, x 2 = 3 - = 2,500  2 (3-1)  i = 2, x 3 = = 2,600 2,5

(3-1) = 2,615 2,6 ……………………………dst. Dimana barisan x i nampaknya konvergen ke 2,618.



i = 3,

x4 =

Sehingga dapat disimpulkan bahwa pendekatan akar yang sesuai yakni ketika x 0 = 1 , maka diperoleh x1 akan konvergen menuju 0,3819. Dan ketika x 0 = 3 maka akan diperoleh x 2 akan konvergen ke 2,618. b. Penyelesaian menggunakan Algoritma (display Run Program) -

Saat x 0 = 1

14

-

Saat x 0 = 3

15

BAB 3 PENUTUP 3.1 Kesimpulan Metode iterasi titik tetap biasanya juga disebut dengan metode sederhana, langsung, atau metode sulih beruntun (substitusi beruntun). Dimana metode iterasi titik tetap adalah metode yang memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga diperoleh: x = g(x). Sehingga dikenal juga sebagai metode x = g(x). Dimana bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk: x(n + 1) = g(xn) Dimana: n = 0, 1, 2, 3, . . . . . . Jika g ' ( ) < 1 dapat dipastikan bahwa iterasi konvergen. Dan jika positif maka galat akan berisolasi hingga iterasi monoton. Jika g ' ( ) > 1 mungkin divergen untuk salah satu akar, tapi konvergen untuk akar lainnya. Dan jika positif, maka galat akan positif hingga iterasi monoton. Dan juga metode iterasi titik tetap memiliki kekurangan dan kelebihan. 3.2 Saran Sekian yang dapat penulis simpulkan terkait makalah metode iterasi titik tetap. Penulis memohon maaf apabila ada yang kurang berkenan. Semoga makalah metode iterasi titik tetap ini dapat membantu dalam kegiatan belajar mengajar.

16

DAFTAR PUSTAKA Teguh, Rizani dan Sudiadi. 2015. Yang berjudul “Diktat Metode Numerik”. STMIK GLOBAL INFORMATIKA-MDP. Waluyo, Djoko. 2017. Buku ajar yang berjudul “Metode Numerik”. Undiksha:Singaraja.

17