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Espacio de hilbert Introducción Como se explica en el artículo dedicado a los espacios de producto interior, cada producto interior <.,.> en un espacio vectorial H, que puede ser real o complejo, da lugar a una norma ||.|| que se define como sigue:

H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que la norma de las diferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de Banach (pero no viceversa). Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (tales como el espacio euclídeo con el producto escalar ordinario) son espacios de Hilbert. Esto permite que podamos extrapolar nociones desde los espacios de dimensión finita a los espacios de Hilbert de dimensión infinita (por ejemplo los espacios de funciones). Sin embargo, los ejemplos infinitodimensionales tienen muchos más usos. Estos usos incluyen:     

La teoría de las representaciones del grupo unitarias. La teoría de procesos estocásticos cuadrado integrables. La teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales parciales, en particular formulaciones del problema de Dirichlet. Análisis espectral de funciones, incluyendo teorías de wavelets. Formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica.

El producto interior permite que uno adopte una visión "geométrica" y que utilice el lenguaje geométrico familiar de los espacios de dimensión finita. De todos los espacios vectoriales topológicos infinito-dimensionales, los espacios de Hilbert son los de "mejor comportamiento" y los más cercanos a los espacios finito-dimensionales. Los elementos de un espacio de Hilbert abstracto a veces se llaman "vectores". En las aplicaciones, son típicamente sucesiones de números complejos o de funciones. En mecánica cuántica por ejemplo, un conjunto físico es descrito por un espacio complejo de Hilbert que contenga las "funciones de ondas" para los estados posibles del conjunto. Véase formulación matemática de la mecánica cuántica. Una de las metas del análisis de Fourier es facilitar un método para escribir una función dada como la suma (posiblemente infinita) de múltiplos de funciones bajas dadas. Este problema se puede estudiar de manera abstracta en los espacios de Hilbert: cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, y cada elemento del espacio de Hilbert se puede escribir en una manera única como suma de múltiplos de estos elementos bajos. Los espacios de Hilbert fueron nombrados así por David Hilbert, que los estudió en el contexto de las ecuaciones integrales. El origen de la designación, aunque es confuso, fue utilizado ya por Hermann Weyl en su famoso libro la teoría de grupos y la mecánica cuántica publicado en 1931. John von Neumann fue quizás el matemático que más claramente reconoció su importancia.