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Control en espacio de estados

El estado de los sistemas • El estado de un sistema dinámico es un conjunto de variables (variables de estado 𝑥" 𝑡 ) tal que el conocimiento del valor de estas variables en el tiempo 𝑡 = 𝑡% más el conocimiento de la entrada 𝑢 𝑡 para 𝑡 ≥ 𝑡% determinan completamente el comportamiento dinámico del sistema para cualquier tiempo 𝑡 ≥ 𝑡% . 𝑥" 𝑡% ^𝑢 𝑡 ⇒ 𝑥 𝑡 ^𝑦 𝑡 • El vector de estados es el vector formado por las n variables de estado. 𝑥+ 𝑡 𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 = , ⋮ 𝑥. 𝑡

El estado de los sistemas La descripción en variables de estado está dada por 𝑥̇ 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡 + 𝐷𝑢 𝑡

𝐷 u(𝑡)

𝑥̇ (𝑡) B

6

𝐴

y(𝑡)

𝑥(𝑡) 𝐶

Solución a la ecuación de estados C

𝑥 𝑡 = 𝑒 BC 𝑥 0 + 6 𝑒 B

C:E

𝐵𝑢 𝜏 𝑑𝜏

%

Donde

𝑒 BC = ℒ :+ 𝑠𝐼 − 𝐴 Considere que :+

𝐴 𝐴𝑑𝑗

𝑎 𝑐

:+

𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐷𝑒𝑡(𝐴)

𝑏 𝑑 = 𝑑 −𝑐

−𝑏 𝑎

Solución a la ecuación de estados Desde la perspectiva de Laplace 𝑥̇ 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 = 𝐴𝑋 𝑠 + 𝐵𝑈 𝑠 𝑠𝑋 𝑠 − 𝐴𝑋 𝑠 = 𝑥 0 + 𝐵𝑈 𝑠 𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝑥 0 + 𝐵𝑈 𝑠 𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴

:+

𝑥 0 + 𝐵𝑈 𝑠

Estabilidad Los valores propios de la matriz 𝐴 determinan la estabilidad del sistema. Los valores propios de una matriz son constantes complejas 𝜆 tales que se cumple que 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 y son las raíces de su polinomio característico: 𝐷𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) Donde 𝐴 es la matriz de estados y 𝑣 es un vector (vector propio).

Controlabilidad Un sistema se dice controlable si a partir de una condición inicial 𝑥(𝑡% ) se puede diseñar una ley de control para alcanzar el un estado cualquiera 𝑥(𝑡+ ).

Controlabilidad Un sistema se dice controlable si a partir de una condición inicial 𝑥(𝑡% ) se puede diseñar una ley de control para alcanzar el un estado cualquiera 𝑥(𝑡+ ). Pero en realidad implica tambien que podemos: Modificar los valores propios del sistema. Y si modificamos los valores propios del sistema podemos: Estabilizar, inestabilizar o hacer oscilante el sistema. Cambiar el transitorio de sus estados o salida; que resulta, que tambien depende de sus valores propios.

Controlabilidad Un sistema se dice controlable si a partir de una condición inicial 𝑥(𝑡% ) se puede diseñar una ley de control para alcanzar el un estado cualquiera 𝑥(𝑡+ ).

¿Como evaluamos la controlabilidad?

Matriz de controlabilidad La matriz de controlabilidad permite evaluar si un sistema es controlable o no y se construye como sigue:

𝒞 = 𝑏 𝐴𝑏 𝐴, 𝑏 ⋯ 𝐴.:+ 𝑏 Donde 𝑛 es el numero de variables de estado; 𝐴 y 𝑏 son las constantes del sistema

Matriz de controlabilidad La matriz de controlabilidad permite evaluar si un sistema es controlable o no y se construye como sigue:

𝒞 = 𝑏 𝐴𝑏 𝐴, 𝑏 ⋯ 𝐴.:+ 𝑏 Donde 𝑛 es el numero de variables de estado; 𝐴 y 𝑏 son las constantes del sistema

Chido ! Pero sigo sin saber cuando un sistema es controlable

Matriz de observabilidad 𝒞 = 𝑏 𝐴𝑏 𝐴, 𝑏 ⋯ 𝐴.:+ 𝑏 Si la matriz de controlabilidad del sistema es de rango pleno (rango igual a 𝑛) el sistema es controlable. Si el sistema solo tiene una entrada entonces 𝑏 es un vector y por lo tanto 𝒞 es una matriz cuadrada de 𝑛×𝑛. Si 𝒞 es una matriz cuadrada las siguientes afirmaciones son equivalentes: • det 𝒞 ≠ 0 • 𝒞 es invertible • 𝒞 es de rango pleno

Controlabilidad Un sistema se dice controlable si a partir de una condición inicial 𝑥(𝑡% ) se puede diseñar una ley de control para alcanzar el un estado cualquiera 𝑥(𝑡+ ). Pero en realidad implica tambien que podemos: Modificar los valores propios del sistema.

¿Y como le hago para mover los desos?

Retroalimentacion de estados Una retroalimentación de estados es una ley de control que permite modificar los valores propios del sistema y se define así:

𝑢 = −𝑘𝑥 o así o así

𝑢 = − 𝑘+ 𝑘, ⋯ 𝑘. 𝑥 𝑢 = −𝑘+ − 𝑘, ⋯ −𝑘. 𝑥

Retroalimentacion de estados Una retroalimentación de estados es una ley de control que permite modificar los valores propios del sistema y se define así:

𝑢 = −𝑘𝑥 o así o así

𝑢 = − 𝑘+ 𝑘, ⋯ 𝑘. 𝑥 𝑢 = −𝑘+ − 𝑘, ⋯ −𝑘. 𝑥

¿Y como calculo 𝑘?

Retroalimentacion de estados Para calcular la 𝒌 de la retroalimentación de estados (𝑢 = −𝑘𝑥) usa en matlab la instrucción:

𝑘 = 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝐴, 𝑏, 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 Donde 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 se refiere a los nuevos valores propios que se desea asignar al sistema y como se puede observar deben ir dentro de un vector.

Retroalimentacion de estados Para calcular la 𝒌 de la retroalimentación de estados (𝑢 = −𝑘𝑥) usa en matlab la instrucción:

𝑘 = 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 𝐴, 𝑏, 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜𝑠 Por cierto, si observamos las diapositivas anteriores, si el sistema solo tiene una entrada, 𝑘 es un vector fila. Consecuentemente, un vector fila es la salida de la función 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒. Oh, otra cosa, la instrucción 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 no puede asignar valores propios repetidos al sistema, en ese caso puedes usar la instrucción 𝑎𝑐𝑘𝑒𝑟.

Forma canónica controlable Un modelo de espacio de estados muy sencillo y practico é x!1 (t ) ù é 0 ê x! (t ) ú ê 0 ê 2 ú ê ê # ú=ê # ê ú ê ! x ( t ) ê n -1 ú ê 0 êë x!n (t ) úû êë -an

y (t ) = [g 1 g 2

g3

1 0

0 1

# 0

# 0

-an -1

- an - 2

0 ù é x1 (t ) ù é0 ù 0 úú êê x2 (t ) úú ê0 ú ê ú $ # ú ê # ú + ê0 ú u (t ) úê ú ê ú " 1 ú ê xn -1 (t ) ú ê # ú " -a1 úû êë xn (t ) úû êë1 úû " "

é x1 (t ) ù ê x (t ) ú ê 2 ú " g n ] ê # ú + du (t ) ê ú x ( t ) ê n -1 ú êë xn (t ) úû

Forma canónica controlable ¿Como obtenerlo? é x!1 (t ) ù é 0 ê x! (t ) ú ê 0 ê 2 ú ê ê # ú=ê # ê ú ê ! x ( t ) ê n -1 ú ê 0 êë x!n (t ) úû êë -an

y (t ) = [g 1 g 2

g3

1 0

0 1

# 0

# 0

-an -1

- an - 2

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é x1 (t ) ù ê x (t ) ú ê 2 ú " g n ] ê # ú + du (t ) ê ú x ( t ) ê n -1 ú êë xn (t ) úû

Forma canónica controlable A partir de los coeficientes del polinomio caracteristico o de los valores propios del sistema. é x!1 (t ) ù é 0 ê x! (t ) ú ê 0 ê 2 ú ê ê # ú=ê # ê ú ê ! x ( t ) ê n -1 ú ê 0 êë x!n (t ) úû êë -an Donde

1 0 # 0

0 1 # 0

-an -1

- an - 2

ù é x1 (t ) ù é0 ù ú ê x (t ) ú ê0 ú úê 2 ú ê ú ú ê # ú + ê0 ú u (t ) úê ú ê ú x ( t ) ú ê n -1 ú ê # ú " -a1 úû êë xn (t ) úû êë1 úû

" " $ "

0 0 # 1

é x (t ) ù 𝑃𝑜𝑙𝑦 𝐴 = 𝜆. + 𝑎+ 𝜆.:+ +ê𝑎,1𝜆.:,ú + ⋯ + 𝑎.:+ 𝜆 + +𝑎. ê x2 (t ) ú y (t ) = [g 1 g 2 g 3 " g n ] ê # ú + du (t ) ê ú x ( t ) ê n -1 ú êë xn (t ) úû

Forma canónica controlable ¿Como obtener c y d? Lo veremos más adelante é x!1 (t ) ù é 0 ê x! (t ) ú ê 0 ê 2 ú ê ê # ú=ê # ê ú ê ! x ( t ) ê n -1 ú ê 0 êë x!n (t ) úû êë -an

y (t ) = [g 1 g 2

g3

1 0

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# 0 -an -1

# 0 - an - 2

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é x1 (t ) ù ê x (t ) ú ê 2 ú " g n ] ê # ú + du (t ) ê ú x ( t ) ê n -1 ú êë xn (t ) úû

Observabilidad Un sistema observable es aquel donde se pueden calcular todas la condiciones iniciales de un sistema (o el valor actual de las variables de estado), conociendo la salida y la entrada del sistema por un periodo de tiempo.

Observabilidad Un sistema observable es aquel donde se pueden calcular todas la condiciones iniciales de un sistema (o el valor actual de las variables de estado), conociendo la salida y la entrada del sistema por un periodo de tiempo.

¿Y ahora que?,

¿Otra matriz?

Matriz de observabilidad La matriz de observabilidad permite evaluar si un sistema es observable o no y se construye como sigue:

𝑐 𝑐𝐴 , 𝑐𝐴 𝒪= ⋮ 𝑐𝐴.:+ Donde 𝑛 es el numero de variables de estado; 𝐴 y 𝑐 son las constantes del sistema

Matriz de observabilidad La matriz de observabilidad permite evaluar si un sistema es observable o no y se construye como sigue:

𝒪 ` = 𝑐 ` 𝑐 ` 𝐴` 𝑐 ` 𝐴,` ⋯ 𝑐 ` 𝐴(.:+)` Donde 𝑛 es el numero de variables de estado; 𝐴 y 𝑐 son las constantes del sistema

¿Y que condiciones debe tener la matriz de observabilidad?

Matriz de observabilidad 𝒪 ` = 𝑐 ` 𝑐 ` 𝐴` 𝑐 ` 𝐴,` ⋯ 𝑐 ` 𝐴(.:+)` Si la matriz de observabilidad del sistema es de rango pleno (rango igual a 𝑛) el sistema es observable. Si el sistema solo tiene una entrada entonces 𝑏 es un vector y por lo tanto 𝒪 es una matriz cuadrada de 𝑛×𝑛. Si 𝒪 es una matriz cuadrada las siguientes afirmaciones son equivalentes: • det 𝒪 ≠ 0 • 𝒪 es invertible • 𝒪 es de rango pleno

Observabilidad Un sistema observable es aquel donde se pueden calcular todas la condiciones iniciales de un sistema (o el valor actual de las variables de estado), conociendo la salida y la entrada del sistema por un periodo de tiempo.

Bueno y ahora, ¿como calculo el estado?

Observador de estados Observador de Luenberger

El observador de estados es la herramienta matemática que permite calcular el estado del sistema de una manera precisa sin importa su valor inicial. El observador es:

𝑥ȧ = 𝐴𝑥a + 𝑏𝑢 + 𝑙(𝑦 − 𝑦a) 𝑦a = c𝑥a + 𝑑𝑢

donde, 𝐴, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son las constantes del sistema cuyas variables se desea observar; 𝑢 y 𝑦 son su entrada y su salida respectivamente. El modelo del observador se puede construir en matlab, simulink, arduino, labview, usando amplificadores operacionales, etc.

Observador de estados Observador de Luenberger El observador es:

𝑥ȧ = 𝐴𝑥a + 𝑏𝑢 + 𝑙(𝑦 − 𝑦a) 𝑦a = c𝑥a + 𝑑𝑢

Si es sistema no es observable (se dice NO OBSERVABLE) implica que no podemos modificar todos los valores propios del sistema del error de observacion lo que nos genera dos casos: 1. Los valores propios que no se pueden modificar son estables.

2.

Lo que implica que el modelo del error de observacion se puede estabilizar y por lo tanto se puede hacer que el error de observacion sea cero y por lo tanto se puede calcular todos los estados (SISTEMA DETECTABLE).

Si el error de observacion no se puede estabilizar no se puede usar un observador de Luenberger para calcular el estado.

Modelo de espacio de estados a partir de una FT Considere el sistema descrito por la función de transferencia

𝑌(𝑠) 𝑏% 𝑠 . + 𝑏+ 𝑠 .:+ + ⋯ + 𝑏.:+ 𝑠 + 𝑏. = . 𝑈(𝑠) 𝑠 + 𝑎+ 𝑠 .:+ + ⋯ + 𝑎.:+ 𝑠 + 𝑎.

Forma canónica controlable A partir de los coeficientes del polinomio caracteristico o de los valores propios del sistema. é x!1 (t ) ù é 0 ê x! (t ) ú ê 0 ê 2 ú ê ê # ú=ê # ê ú ê ! x ( t ) ê n -1 ú ê 0 êë x!n (t ) úû êë -an Donde

1 0 # 0

0 1 # 0

-an -1

- an - 2

ù é x1 (t ) ù é0 ù ú ê x (t ) ú ê0 ú úê 2 ú ê ú ú ê # ú + ê0 ú u (t ) úê ú ê ú x ( t ) ú ê n -1 ú ê # ú " -a1 úû êë xn (t ) úû êë1 úû

" " $ "

0 0 # 1

é x (t ) ù 𝑃𝑜𝑙𝑦 𝐴 = 𝜆. + 𝑎+ 𝜆.:+ +ê𝑎,1𝜆.:,ú + ⋯ + 𝑎.:+ 𝜆 + +𝑎. ê x2 (t ) ú y (t ) = [g 1 g 2 g 3 " g n ] ê # ú + du (t ) ê ú x ( t ) ê n -1 ú êë xn (t ) úû

Forma canónica controlable ¿Como obtener c y d? Lo veremos más adelante é x!1 (t ) ù é 0 ê x! (t ) ú ê 0 ê 2 ú ê ê # ú=ê # ê ú ê ! x ( t ) ê n -1 ú ê 0 êë x!n (t ) úû êë -an

y (t ) = [g 1 g 2

g3

1 0

0 1

# 0 -an -1

# 0 - an - 2

0 ù é x1 (t ) ù é0 ù 0 úú êê x2 (t ) úú ê0 ú ê ú $ # ú ê # ú + ê0 ú u (t ) úê ú ê ú " 1 ú ê xn -1 (t ) ú ê # ú " -a1 úû êë xn (t ) úû êë1 úû " "

é x1 (t ) ù ê x (t ) ú ê 2 ú " g n ] ê # ú + du (t ) ê ú x ( t ) ê n -1 ú êë xn (t ) úû

Forma canónica observable 𝑌(𝑠) 𝑏% 𝑠 . + 𝑏+ 𝑠 .:+ + ⋯ + 𝑏.:+ 𝑠 + 𝑏. = . 𝑈(𝑠) 𝑠 + 𝑎+ 𝑠 .:+ + ⋯ + 𝑎.:+ 𝑠 + 𝑎.

A partir de los coeficientes de la FT se puede obtener el siguiente modelo:

Comparación entre FT y espacio de estados El modelo entrada-salida (función de transferencia) describe como están relacionadas la entrada y la salida del sistema. • No es aplicable si el sistema no está relajado (condición inicial cero). • No proporciona información sobre el comportamiento interno del sistema. • Puede obtenerse por mediciones directas. • Diseño de control bastante sencillo. • Limitado desempeño del control en algunos casos.

Comparación entre FT y espacio de estados El modelo de espacio de estados describe el sistema a través de dos ecuaciones matriciales: La relación entre la salida, las variables internas (de estado) y la entrada del sistema. La relación de las variables de estado consigo mismas y con la entrada. • Es aplicable si el sistema no está relajado (cualquier condición inicial). • Proporciona información sobre el comportamiento interno del sistema. • Permite estudiar sistemas complejos (no lineales y variantes en el tiempo). • Para algunos sistemas, puede ser muy complicado obtener la descripción en espacio de estado. • Mejor desempeño del control respecto a controles diseñados bajo el paradigma de control clásico. • Un mayor análisis es necesario para el diseño de controladores.

Forma canónica controlable Usando una matriz de transformación para un modelo en espacio de estados controlable. Si el sistema tiene un modelo de un sistema en espacio de estados 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝑏𝑢 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑢 Su forma controlable será 𝑧̇ = 𝑇𝐴𝑇 :+ 𝑧 + 𝑇𝑏𝑢 𝑦 = 𝑐𝑇 :+ 𝑧 + 𝑑𝑢 Donde 𝑇 es una matriz de transformación (o cambio de base) y 𝑧 = 𝑇𝑥.