Espace

‫اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ‬ ‫اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬ ‫*‪ -‬ﺗﻌﺮف وﺗﻤﺜﻴﻞ أﺟﺰاء ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‪.‬‬ ‫*‪ -‬إدراك ﺣﺎﻻت اﻟﻤﻤﺎﺛﻠﺔ وﺣﺎﻻت اﻟﻼﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻔﺎهﻴﻢ وﺧﺎﺻﻴﺎت ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى وﻧﻈﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪.‬‬ ‫*‪ -‬ﺗﻮﻇﻴﻒ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺴﺘﻘﺎة ﻣﻦ اﻟﻮاﻗﻊ‪.‬‬

‫اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -I‬ﺗﺬآﻴﺮ‬ ‫‪ -1‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮي ﻟﻸﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫* اﻟﺮﺳﻮﻣﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻻ ﺗﺤﺘﺮم ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻷﺷﻜﺎل‬

‫* ﻟﺮﺳﻢ أﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﻘﻨﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﺮﺳﻤﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﺼﻠﺔ‬‫ اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﻘﻄﻌﺔ‬‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﻣﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ‬‫ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺑﻨﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ‪.‬‬‫‪ -‬ﻗﻄﻌﺘﺎن ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎن ﺣﺎﻣﻼهﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻧﻤﺜﻠﻬﻤﺎ ﺑﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺣﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬

‫‪ -2‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت و ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ ﺗﺴﻤﻰ ﻧﻘﻂ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ) ‪(E‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت أﺟﺰاء ﻓﻌﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫أ‪ -‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ‪1‬‬ ‫آﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻘﺘﻴﻦ ‪ A‬و ‪ B‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ‬

‫) ‪( AB‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ب‪ -‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ‪2‬‬ ‫آﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ‪ ( ABC‬أو‬

‫) ‪(P‬‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫* ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‪.‬‬ ‫* ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) أو ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ( أﻧﻬﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ) أو ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ( إذا آﺎﻧﺎ ) أو آﺎﻧﻮا ( ﺿﻤﻦ‬ ‫ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‪.‬‬

‫ج‪ -‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ‪3‬‬ ‫إذا اﻧﺘﻤﺖ ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (D‬إﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮى )‪ (P‬ﻓﺎن )‪ (D‬ﺿﻤﻦ )‪.(P‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ هﺎﻣﺔ‬ ‫ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻔﻀﺎء و آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻦ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺗﻪ‪.‬‬ ‫د‪ -‬ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ‪4‬‬ ‫إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ‪.‬‬

‫ذ‪ -‬ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‪1‬‬ ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرﺟﻪ ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‪2‬‬ ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -3‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ )‪ (D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و )‪ (P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث وﺿﻌﻴﺎت ﻣﻤﻜﻨﺔ‬ ‫اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ‪ (D) :1‬ﻳﺨﺘﺮق )‪(P‬‬

‫اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ‪:2‬‬

‫) ‪(D ) ⊂ (P‬‬

‫اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ‪ (D) :3‬و)‪ (P‬ﻣﻨﻔﺼﻼن ) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ(‬

‫‪ -4‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث ﺣﺎﻻت‬ ‫* ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫* ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﻨﻔﺼﻼن‬ ‫) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ(‬ ‫* ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‬ ‫‪ -5‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ‪ .‬هﻨﺎك ﺛﻼث ﺣﺎﻻت‬ ‫* ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﻨﻔﺼﻼن‬ ‫* ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬ ‫* ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ EFGH‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ I‬ﻣﻦ ] ‪ [ FG‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ‬

‫‪ F‬و ‪ G‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ J‬ﻣﻦ ] ‪ [ EG‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ ‪ E‬و ‪ G‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ K‬ﻣﻦ ] ‪ [ EH‬ﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ ‪ E‬و ‪H‬‬

‫هﻞ ) ‪ ( EI‬و ) ‪ ( JK‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ‪ ( ACG‬و‬

‫) ‪( BDG‬‬

‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻧﻘﻂ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ‪ ،‬ﻧﺒﺤﺚ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ و ﻧﺒﻴﻦ أن هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻂ ﻣﺸﺘﺮآﺔ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCD‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ و ‪ P‬و ‪ Q‬و ‪ R‬ﻧﻘﻂ ﻣﻦ ] ‪[ AB‬‬

‫و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [ AD‬ﺣﻴﺚ ) ‪ ( PR‬ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ ( BD‬ﻓﻲ ‪ J‬و ) ‪ ( PQ‬ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ ( BC‬ﻓﻲ ‪ K‬و ) ‪ (QR‬ﻳﻘﻄﻊ ) ‪ (CD‬ﻓﻲ ‪I‬‬

‫أﺗﺒﺚ أن ‪ J‬و ‪ K‬و ‪ I‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -1‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن‬ ‫‪-‬‬

‫أن ﻳﻜﻮن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ‬

‫‪-‬‬

‫أن ﻳﻜﻮن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻼن أو ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ‬

‫) ‪( ∆ ) // ( D‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻻ ﻳﻜﻔﻲ أن ﻳﻜﻮن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬ ‫ﻣﺜﺎل‬ ‫) ‪ ( AE‬و‬

‫) ‪ ( BC‬ﻣﻨﻔﺼﻼن و ﻟﻜﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‪.‬‬

‫) ‪( BC ) // ( AD‬‬ ‫) ‪( EF ) // ( DC‬‬

‫ب‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﺧﺎرج ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻳﻮازﻳﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫اﻟﺒﺮهﺎن‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ‪ A ∉ ( D‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫وﺣﻴﺪ ) ‪ ( P‬ﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ ‪ A‬و‬

‫) ‪(D‬‬

‫وﺣﺴﺐ ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ اﻗﻠﻴﺪس ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ، ( P‬ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ‬

‫) ∆ ( ﻳﻮازي ) ‪( D‬‬ ‫إذن ) ‪ ( D‬و ) ∆ (‬

‫ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫ج‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا‬ ‫د‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ )ﻧﻘﺒﻠﻬﺎ(‬ ‫إذا اﺣﺘﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺎن ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻬﺬﻳﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ‪.‬‬

‫ذ‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻦ آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCDE‬هﺮﻣﺎ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻟﺘﻜﻦ ' ‪ B‬و ' ‪ C‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪.‬‬ ‫أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪ -1‬أﺗﺒﺚ أن )' ‪( DE ) // ( B 'C‬‬ ‫‪ -2‬ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ‪ ( ABC‬و‬ ‫ﺑﻴﻦ أن‬

‫) ‪( ADE‬‬

‫)' ‪( ∆ ) // ( B 'C‬‬

‫‪ -2‬ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫أ‪-‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ) ‪ ( D‬و‬

‫) ‪ ( P‬ﻣﻨﻔﺼﻼن أو ) ‪ ( D‬ﺿﻤﻦ‬

‫ﻧﻜﺘﺐ ) ‪( D ) // ( P‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ‬

‫) ‪ ( P‬ﻳﻮازي‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺒﺎ ‪ I .‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪[ AB‬‬

‫و ] ‪ [ EF‬و ] ‪ [ HG‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬

‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪ ( HI‬ﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫‪ -3‬ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫أ‪ -‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ) ‪ ( P‬و‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ‬

‫) ‪( P ) // (Q‬‬

‫) ‪( JKC‬‬

‫) ‪ (Q‬ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ أو ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ‪.‬‬

‫) ‪(D‬‬

‫) ‪(P‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫إذا آﺎن ) ‪ ( P ) // (Q‬ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻳﻮازﻳﻴﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ‬

‫ج‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫إذا وازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺴﺘﻮى ﺛﺎﻟﺜﺎ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻧﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‬ ‫د‪ -‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى و ﺣﻴﺪ ﻣﻮاز ﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم‬ ‫اﻟﺒﺮهﺎن‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى و ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ‪ ( D‬ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻳﻮازي ) ‪( D‬‬ ‫ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ∆ ( ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻳﻮازي ) ∆ (‬ ‫)' ‪ ( D‬و )' ∆ ( ﻳﺤﺪان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ) ‪(Q‬‬ ‫) ‪ (Q‬ﻳﻮازي ) ‪( P‬‬ ‫ذ‪ -‬ﻧﺘﺎﺋﺞ‬ ‫ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﺨﺘﺮق أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺨﺘﺮق اﻵﺧﺮ‬‫ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ‬‫ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮ‬‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ‪ .‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪A ∈ ( P‬‬ ‫و ‪ BCD‬ﻣﺜﻠﺚ ﺿﻤﻦ ) ‪ . (Q‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [ AD‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪ .‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫) ‪ (CK‬ﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪. R‬‬ ‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪ -2‬أﺗﺒﺚ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫‪ -3‬أﺗﺒﺚ أن‬

‫) ‪ ( IJK‬ﻳﻮازي‬

‫) ‪(P‬‬

‫) ‪(CD ) // ( AR‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪[GH‬‬

‫‪ -1‬ﻟﺘﻜﻦ } ‪( EI ) ∩ ( FH ) = {M‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ‪ ( AEI‬و ) ‪( AFH‬‬

‫ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ) ‪( AM‬‬

‫‪ -2‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ E‬و ‪ F‬و ‪ D‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ‬ ‫ب‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪(CF ) // ( DE‬‬ ‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪ -4‬ﺑﻴﻦ أن‬

‫) ‪(CFH ) // ( BDE‬‬ ‫) ‪ (CI‬ﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( ADH‬‬

‫اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬

‫‪ -I‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -1‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﻮازﻳﺎن ﻟﻬﻤﺎ و اﻟﻤﺎران‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ‪ O‬ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ‪ .‬ﻧﻜﺘﺐ‬

‫)∆( ⊥ ) ‪(D‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫) ‪( AD ) ⊥ ( AE‬‬

‫) ‪( AD ) ⊥ (CG‬‬ ‫) ‪( EF ) ⊥ ( DH‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ ABCD‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ ‪ BD = DC‬و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬و‬ ‫ﺑﻴﻦ أن‬

‫] ‪ [CB‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬

‫) ‪( IJ ) ⊥ ( DK‬‬

‫‪ -2‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‪1‬‬ ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‪2‬‬ ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻷﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ أن ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺛﺎﻟﺚ دون أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪ -II‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء‬ ‫‪ -1‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻓﺎن ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى‬

‫) ‪(P‬‬

‫‪ -2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا‬

‫) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ‬

‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪. ( P‬‬ ‫‪ -3‬ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ‬

‫) ‪(P‬‬

‫إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪( P‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫) ‪( AD ) ⊥ ( ABE‬‬

‫) ‪( AD ) ⊥ (CHG‬‬ ‫‪ -4‬ﺧﺎﺻﻴﺎت‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‪1‬‬ ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‪2‬‬ ‫إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‪4‬‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻤﻮدﺑﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﺘﻀﻤﻦ اﻵﺧﺮ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‪5‬‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪ ( EB ) ⊥ ( DF‬ﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن ) ‪( EBG ) ⊥ ( DF‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬

‫) ‪ . ( P‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ] ‪ [ AB‬ﻗﻄﺮا ﻟـ ) ‪ (C‬و ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪. A‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ ‪ S‬ﺣﻴﺚ ‪ S ≠ A‬و ) ‪; M ∈ (C‬‬

‫أﺗﺒﺚ أن‬

‫)‬

‫‪M ≠B‬‬

‫‪. ( MB ) ⊥ ( SM‬‬

‫‪ -5‬ﻣﺒﺮهﻨﺎت‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪1‬‬ ‫ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻮم‪.‬‬

‫‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫) ‪(D‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪2‬‬ ‫ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم‪.‬‬

‫‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫‪ -III‬ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل ان اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﻧﻜﺘﺐ‬

‫) ‪(P‬‬

‫) ‪ ( P‬و ) ‪ (Q‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺘﻀﻤﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ‬

‫) ‪( P ) ⊥ (Q‬‬

‫ﻣﺜﺎل ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫) ‪( ADC ) ⊥ ( ABE‬‬

‫) ‪( ADF ) ⊥ (CHG‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫إذا ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻼ ﻳﻌﻨﻲ أن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ‬ ‫ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪S ≠ A‬‬

‫] ‪ . [ BC‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬

‫‪ -1‬أﺗﺒﺚ أن‬

‫) ‪(SAI ) ⊥ (SCI‬‬

‫‪ -2‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ‬ ‫أﺗﺒﺚ أن‬

‫) ‪(SI‬‬

‫) ‪( AH ) ⊥ (SC‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪( HEB ) ⊥ ( AGF‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫) ‪ . ( P‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ ، A‬و ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ‪ ( P‬ﺣﻴﺚ ‪ . SB = SD‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ‬ ‫] ‪ [SD‬و ] ‪ [ DC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن‬

‫) ‪( AB ) ⊥ (SAC‬‬ ‫) ‪( AB ) ⊥ ( IJ‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫) ‪( P ) ⊥ (SAC‬‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت و اﻟﺤﺠﻮم‬

‫‪ -1‬ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬ﻃﻮل و ﻋﺮض و ارﺗﻔﺎع ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ‪S = 2 ( ab + bc + ca ) :‬‬

‫اﻟﺤﺠﻢ‪:‬‬

‫‪V = a.b .c‬‬

‫‪ -2‬اﻟﻤﻜﻌﺐ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬ﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬

‫‪S = 6a 2‬‬

‫اﻟﺤﺠﻢ‬

‫‪V = a3‬‬

‫‪ - 3‬اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ‬ ‫أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ارﺗﻔﺎع ﻣﻮﺷﻮر ﻗﺎﺋﻢ و ‪ l‬و ‪ B‬ﻣﺤﻴﻂ و ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‪.‬‬ ‫* اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ‪S = l × h‬‬

‫* اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ‬ ‫‪S T = l × h + 2B‬‬

‫* اﻟﺤﺠﻢ‬

‫‪V = B ×h‬‬

‫‪ -4‬اﻟﻬﺮم‬ ‫أ‪ -‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ارﺗﻔﺎع هﺮﻣﺎ رأﺳﻪ ‪S‬‬

‫‪ h = SH‬ﺣﻴﺚ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ S‬ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬

‫اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة‪ .‬ﻟﻴﻜﻦ ‪B‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻬﺮم‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم‪V = B .h :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ - 5‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬ﻃﻮل ﺣﺮف رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﻣﻨﺘﻈﻢ‬

‫‪3 3 3‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ‪a‬‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ‬

‫‪2 3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪12‬‬

‫= ‪S‬‬

‫= ‪V‬‬

‫‪ - 6‬اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ h‬ارﺗﻔﺎع اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ و ‪ R‬ﺷﻌﺎع‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ ‪S L = 2π Rh‬‬

‫اﻟﺤﺠﻢ هﻮ ‪V = π R 2 h‬‬

‫‪ -6‬اﻟﻔﻠﻜﺔ‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ R‬ﺷﻌﺎع اﻟﻔﻠﻚ‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ هﻲ‪:‬ا ‪S = 4π R 2‬‬

‫‪4‬‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ هﻮ‪ :‬هﻲ ‪V = π R 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ - 7‬اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ اﻟﺪوراﻧﻲ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ R‬ﺷﻌﺎع اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ‬

‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ ‪S L = π R ⋅ SH‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ‪V = π R 2 h :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪h = OS‬‬

‫‪-----------------------------------------------------‬‬‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCD‬رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ ‪ BD = DC‬و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] ‪ [ AB‬و ] ‪ [ AC‬و ] ‪ [CB‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﺑﻴﻦ أن ) ‪( IJ ) ⊥ ( DK‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪ ( EB ) ⊥ ( DF‬ﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن‬

‫) ‪( EBG ) ⊥ ( DF‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ (C‬داﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ . ( P‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ] ‪[ AB‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ ‪ S‬ﺣﻴﺚ ‪ S ≠ A‬و ) ‪M ≠ B ; M ∈ (C‬‬ ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪. ( MB ) ⊥ ( SM‬‬

‫ﻗﻄﺮا ﻟـ ) ‪ (C‬و ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪. A‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬و ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪ . [ BC‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪S ≠ A‬‬

‫‪ -3‬أﺗﺒﺚ أن‬

‫) ‪(SAI ) ⊥ (SCI‬‬

‫‪ -4‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ H‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ ‪ A‬ﻋﻠﻰ‬ ‫أﺗﺒﺚ أن‬

‫) ‪(SI‬‬

‫) ‪( AH ) ⊥ (SC‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ‬ ‫أﺗﺒﺚ أن ) ‪( HEB ) ⊥ ( AGF‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ ‪ A‬ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫) ‪ . ( P‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ D‬ﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ‪ ، A‬و ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ‪ ( P‬ﺣﻴﺚ ‪ . SB = SD‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬ﻣﻨﺘﺼﻔﻲ‬ ‫] ‪ [SD‬و ] ‪ [ DC‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪ -4‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫) ‪( AB ) ⊥ (SAC‬‬ ‫) ‪( AB ) ⊥ ( IJ‬‬

‫اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫) ‪( P ) ⊥ (SAC‬‬

‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCD‬ﻣﻌﻴﻨﺎ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﺣﻴﺚ ‪BD = 3cm‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ‪ ( P‬ﻓﻲ ‪ A‬ﺣﻴﺚ ‪SA = 8cm‬‬

‫أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم ‪SABCD‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎوي ‪1m‬‬ ‫‪2‬‬

‫و ‪ . AC = 3cm‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬