Espace
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Espace as PDF for free.
More details
- Words: 2,526
- Pages: 10
اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة * -ﺗﻌﺮف وﺗﻤﺜﻴﻞ أﺟﺰاء ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى. * -إدراك ﺣﺎﻻت اﻟﻤﻤﺎﺛﻠﺔ وﺣﺎﻻت اﻟﻼﻣﻤﺎﺛﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻔﺎهﻴﻢ وﺧﺎﺻﻴﺎت ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى وﻧﻈﻴﺮاﺗﻬﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء. * -ﺗﻮﻇﻴﻒ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻔﻀﺎﺋﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻣﺴﺘﻘﺎة ﻣﻦ اﻟﻮاﻗﻊ.
اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -Iﺗﺬآﻴﺮ -1اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮي ﻟﻸﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء * اﻟﺮﺳﻮﻣﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻻ ﺗﺤﺘﺮم ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻷﺷﻜﺎل
* ﻟﺮﺳﻢ أﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﻘﻨﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﺮﺳﻤﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﺼﻠﺔ اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﻣﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺑﻨﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ. -ﻗﻄﻌﺘﺎن ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎن ﺣﺎﻣﻼهﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻧﻤﺜﻠﻬﻤﺎ ﺑﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺣﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ
-2ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت و ﺗﻌﺎرﻳﻒ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ ﺗﺴﻤﻰ ﻧﻘﻂ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ) (E اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت أﺟﺰاء ﻓﻌﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء أ -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ1 آﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻘﺘﻴﻦ Aو Bﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ
) ( AB
ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ب -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ2 آﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ Aو Bو Cﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ( ABCأو
) (P
ﺗﻌﺮﻳﻒ * ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى. * ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) أو ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ( أﻧﻬﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ) أو ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ( إذا آﺎﻧﺎ ) أو آﺎﻧﻮا ( ﺿﻤﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى.
ج -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ3 إذا اﻧﺘﻤﺖ ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) (Dإﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮى ) (Pﻓﺎن ) (Dﺿﻤﻦ ).(P
ﻣﻼﺣﻈﺔ هﺎﻣﺔ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻔﻀﺎء و آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺗﻪ. د -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ4 إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ.
ذ -ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻧﺘﻴﺠﺔ1 آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرﺟﻪ ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﺘﻴﺠﺔ2 آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -3اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻟﻴﻜﻦ ) (Dﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ) (Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث وﺿﻌﻴﺎت ﻣﻤﻜﻨﺔ اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ (D) :1ﻳﺨﺘﺮق )(P
اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ:2
) (D ) ⊂ (P
اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ (D) :3و) (Pﻣﻨﻔﺼﻼن ) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ(
-4اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pو ) (Qﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء .ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث ﺣﺎﻻت * ) ( Pو ) (Qﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ * ) ( Pو ) (Qﻣﻨﻔﺼﻼن ) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ( * ) ( Pو ) (Qﻣﻨﻄﺒﻘﺎن -5اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ .هﻨﺎك ﺛﻼث ﺣﺎﻻت * ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﻨﻔﺼﻼن * ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن * ) ( Dو ) ∆ ( ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ EFGHرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ Iﻣﻦ ] [ FGﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ
Fو Gو اﻟﻨﻘﻄﺔ Jﻣﻦ ] [ EGﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ Eو Gو اﻟﻨﻘﻄﺔ Kﻣﻦ ] [ EHﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ Eو H
هﻞ ) ( EIو ) ( JKﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ( ACGو
) ( BDG
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻧﻘﻂ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ،ﻧﺒﺤﺚ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ و ﻧﺒﻴﻦ أن هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻂ ﻣﺸﺘﺮآﺔ ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ و Pو Qو Rﻧﻘﻂ ﻣﻦ ] [ AB
و ] [ ACو ] [ ADﺣﻴﺚ ) ( PRﻳﻘﻄﻊ ) ( BDﻓﻲ Jو ) ( PQﻳﻘﻄﻊ ) ( BCﻓﻲ Kو ) (QRﻳﻘﻄﻊ ) (CDﻓﻲ I
أﺗﺒﺚ أن Jو Kو Iﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -1اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ أ -ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن -
أن ﻳﻜﻮن ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ
-
أن ﻳﻜﻮن ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻼن أو ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن ﻧﻜﺘﺐ
) ( ∆ ) // ( D
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻻ ﻳﻜﻔﻲ أن ﻳﻜﻮن ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻣﺜﺎل ) ( AEو
) ( BCﻣﻨﻔﺼﻼن و ﻟﻜﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ.
) ( BC ) // ( AD ) ( EF ) // ( DC
ب -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﺧﺎرج ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻳﻮازﻳﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺒﺮهﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ) A ∉ ( Dو ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ) ( Pﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ Aو
) (D
وﺣﺴﺐ ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ اﻗﻠﻴﺪس ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ، ( Pﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ
) ∆ ( ﻳﻮازي ) ( D إذن ) ( Dو ) ∆ (
ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ج -ﻣﺒﺮهﻨﺔ آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا د -ﻣﺒﺮهﻨﺔ )ﻧﻘﺒﻠﻬﺎ( إذا اﺣﺘﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺎن ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻬﺬﻳﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ.
ذ -ﻣﺒﺮهﻨﺔ إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻦ آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮ ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDEهﺮﻣﺎ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻟﺘﻜﻦ ' Bو ' Cﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] [ ABو ] [ ACﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ. أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ -1أﺗﺒﺚ أن )' ( DE ) // ( B 'C -2ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ( ABCو ﺑﻴﻦ أن
) ( ADE
)' ( ∆ ) // ( B 'C
-2ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى أ-ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ) ( Dو
) ( Pﻣﻨﻔﺼﻼن أو ) ( Dﺿﻤﻦ
ﻧﻜﺘﺐ ) ( D ) // ( P ب -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pإذا و ﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ
) ( Pﻳﻮازي
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺒﺎ I .و Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ AB
و ] [ EFو ] [ HGﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
أﺗﺒﺚ أن ) ( HIﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى -3ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ أ -ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ) ( Pو ﻧﻜﺘﺐ
) ( P ) // (Q
) ( JKC
) (Qﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ أو ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ.
) (D
) (P
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎن ) ( P ) // (Qﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ. ب -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻳﻮازﻳﻴﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ
ج -ﻣﺒﺮهﻨﺔ إذا وازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺴﺘﻮى ﺛﺎﻟﺜﺎ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻧﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ د -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى و ﺣﻴﺪ ﻣﻮاز ﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم اﻟﺒﺮهﺎن ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pﻣﺴﺘﻮى و Aﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( P ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ( Dﻣﺎر ﻣﻦ Aو ﻳﻮازي ) ( D ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ∆ ( ﻣﺎر ﻣﻦ Aو ﻳﻮازي ) ∆ ( )' ( Dو )' ∆ ( ﻳﺤﺪان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ) (Q ) (Qﻳﻮازي ) ( P ذ -ﻧﺘﺎﺋﺞ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﺨﺘﺮق أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺨﺘﺮق اﻵﺧﺮ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pو ) (Qﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ .ﻧﻌﺘﺒﺮ ) A ∈ ( P و BCDﻣﺜﻠﺚ ﺿﻤﻦ ) . (Qﻟﺘﻜﻦ Iو Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ ABو ] [ ACو ] [ ADﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ .اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) (CKﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻓﻲ . R -1أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ -2أﺗﺒﺚ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى -3أﺗﺒﺚ أن
) ( IJKﻳﻮازي
) (P
) (CD ) // ( AR
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDEFGHﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت و Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [GH
-1ﻟﺘﻜﻦ } ( EI ) ∩ ( FH ) = {M ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ( AEIو ) ( AFH
ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ) ( AM
-2أ -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ Eو Fو Dو Cﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ب -ﺑﻴﻦ أن ) (CF ) // ( DE -3ﺑﻴﻦ أن -4ﺑﻴﻦ أن
) (CFH ) // ( BDE ) (CIﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( ADH
اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
-Iﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﻮازﻳﺎن ﻟﻬﻤﺎ و اﻟﻤﺎران ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ Oﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ .ﻧﻜﺘﺐ
)∆( ⊥ ) (D
ﻣﺜﺎل ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ) ( AD ) ⊥ ( AE
) ( AD ) ⊥ (CG ) ( EF ) ⊥ ( DH ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ BD = DCو Iو Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ ABو ] [ ACو ﺑﻴﻦ أن
] [CBﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
) ( IJ ) ⊥ ( DK
-2ﺧﺎﺻﻴﺎت ﺧﺎﺻﻴﺔ1 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﺧﺎﺻﻴﺔ2 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻷﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ أن ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺛﺎﻟﺚ دون أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ. -IIﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -1ﻣﺒﺮهﻨﺔ إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pﻓﺎن ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى
) (P
-2ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pإذا و ﻓﻘﻂ إذا
) ( Dﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ
ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى ) . ( P -3ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ
) (P
إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ
اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( P
ﻣﺜﺎل ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ) ( AD ) ⊥ ( ABE
) ( AD ) ⊥ (CHG -4ﺧﺎﺻﻴﺎت ﺧﺎﺻﻴﺔ1 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ
ﺧﺎﺻﻴﺔ2 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﺧﺎﺻﻴﺔ4 ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻤﻮدﺑﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﺘﻀﻤﻦ اﻵﺧﺮ ﺧﺎﺻﻴﺔ5 ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( EB ) ⊥ ( DFﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن ) ( EBG ) ⊥ ( DF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) (Cداﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
) . ( Pﻧﻌﺘﺒﺮ ] [ ABﻗﻄﺮا ﻟـ ) (Cو ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ . A
ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ Sﺣﻴﺚ S ≠ Aو ) ; M ∈ (C
أﺗﺒﺚ أن
)
M ≠B
. ( MB ) ⊥ ( SM
-5ﻣﺒﺮهﻨﺎت ﻣﺒﺮهﻨﺔ1 ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻮم.
Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ Mﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
) (D
ﻣﺒﺮهﻨﺔ2 ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم.
Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ Mﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى -IIIﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل ان اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﻧﻜﺘﺐ
) (P
) ( Pو ) (Qﻣﺘﻌﺎﻣﺪان اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺘﻀﻤﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ
) ( P ) ⊥ (Q
ﻣﺜﺎل ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ) ( ADC ) ⊥ ( ABE
) ( ADF ) ⊥ (CHG
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻼ ﻳﻌﻨﻲ أن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pو Iﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ Aﺣﻴﺚ S ≠ A
] . [ BCﻟﺘﻜﻦ Sﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ
-1أﺗﺒﺚ أن
) (SAI ) ⊥ (SCI
-2ﻟﻴﻜﻦ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Aﻋﻠﻰ أﺗﺒﺚ أن
) (SI
) ( AH ) ⊥ (SC
ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( HEB ) ⊥ ( AGF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) . ( Pﻟﺘﻜﻦ Dﻣﻤﺎﺛﻠﺔ Bﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ، Aو Sﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ( Pﺣﻴﺚ . SB = SDﻟﺘﻜﻦ Iو Jﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] [SDو ] [ DCﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ -1ﺑﻴﻦ أن -2ﺑﻴﻦ أن
) ( AB ) ⊥ (SAC ) ( AB ) ⊥ ( IJ
اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
) ( P ) ⊥ (SAC
اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت و اﻟﺤﺠﻮم
-1ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت ﻟﻴﻜﻦ aو bو cﻃﻮل و ﻋﺮض و ارﺗﻔﺎع ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ S = 2 ( ab + bc + ca ) :
اﻟﺤﺠﻢ:
V = a.b .c
-2اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﻴﻜﻦ aﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ
S = 6a 2
اﻟﺤﺠﻢ
V = a3
- 3اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ أ -ﻟﻴﻜﻦ hارﺗﻔﺎع ﻣﻮﺷﻮر ﻗﺎﺋﻢ و lو Bﻣﺤﻴﻂ و ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ. * اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ S = l × h
* اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ S T = l × h + 2B
* اﻟﺤﺠﻢ
V = B ×h
-4اﻟﻬﺮم أ -ﻟﻴﻜﻦ hارﺗﻔﺎع هﺮﻣﺎ رأﺳﻪ S
h = SHﺣﻴﺚ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Sﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى
اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة .ﻟﻴﻜﻦ B ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻬﺮم.
1 ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮمV = B .h : 3 - 5رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻟﻴﻜﻦ aﻃﻮل ﺣﺮف رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﻣﻨﺘﻈﻢ
3 3 3 اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ a 4 اﻟﺤﺠﻢ
2 3 a 12
= S
= V
- 6اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻟﻴﻜﻦ hارﺗﻔﺎع اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ و Rﺷﻌﺎع ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ S L = 2π Rh
اﻟﺤﺠﻢ هﻮ V = π R 2 h
-6اﻟﻔﻠﻜﺔ
ﻟﻴﻜﻦ Rﺷﻌﺎع اﻟﻔﻠﻚ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ هﻲ:ا S = 4π R 2
4 اﻟﺤﺠﻢ هﻮ :هﻲ V = π R 3 3 - 7اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ اﻟﺪوراﻧﻲ ﻟﻴﻜﻦ Rﺷﻌﺎع اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ S L = π R ⋅ SH 1 اﻟﺤﺠﻢV = π R 2 h : 3 h = OS
-----------------------------------------------------ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ BD = DCو Iو Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ ABو ] [ ACو ] [CBﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺑﻴﻦ أن ) ( IJ ) ⊥ ( DK ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( EB ) ⊥ ( DFﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن
) ( EBG ) ⊥ ( DF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) (Cداﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) . ( Pﻧﻌﺘﺒﺮ ] [ AB ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ Sﺣﻴﺚ S ≠ Aو ) M ≠ B ; M ∈ (C أﺗﺒﺚ أن ) . ( MB ) ⊥ ( SM
ﻗﻄﺮا ﻟـ ) (Cو ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ . A
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pو Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] . [ BCﻟﺘﻜﻦ Sﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ Aﺣﻴﺚ S ≠ A
-3أﺗﺒﺚ أن
) (SAI ) ⊥ (SCI
-4ﻟﻴﻜﻦ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Aﻋﻠﻰ أﺗﺒﺚ أن
) (SI
) ( AH ) ⊥ (SC
ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( HEB ) ⊥ ( AGF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) . ( Pﻟﺘﻜﻦ Dﻣﻤﺎﺛﻠﺔ Bﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ، Aو Sﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ( Pﺣﻴﺚ . SB = SDﻟﺘﻜﻦ Iو Jﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] [SDو ] [ DCﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ -3ﺑﻴﻦ أن -4ﺑﻴﻦ أن ﺗﻤﺮﻳﻦ
) ( AB ) ⊥ (SAC ) ( AB ) ⊥ ( IJ
اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
) ( P ) ⊥ (SAC
ﻟﻴﻜﻦ ABCDﻣﻌﻴﻨﺎ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pﺣﻴﺚ BD = 3cm
اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ Aﺣﻴﺚ SA = 8cm
أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم SABCD ﺗﻤﺮﻳﻦ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎوي 1m 2
و . AC = 3cmﻟﺘﻜﻦ Sﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ
اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -Iﺗﺬآﻴﺮ -1اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮي ﻟﻸﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء * اﻟﺮﺳﻮﻣﺎت ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻻ ﺗﺤﺘﺮم ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻷﺷﻜﺎل
* ﻟﺮﺳﻢ أﺷﻜﺎل ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺘﻘﻨﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﺮﺳﻤﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﺼﻠﺔ اﻟﺨﻄﻮط اﻟﻐﻴﺮ اﻟﻤﺮﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﺨﻄﻮط ﻣﺘﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ ﻓﻲ اﻟﻮاﻗﻊ ﻧﻤﺜﻠﻬﺎ ﺑﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﻣﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ اﻟﻨﻘﻂ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﺑﻨﻘﻂ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﺮﺳﻢ. -ﻗﻄﻌﺘﺎن ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎن ﺣﺎﻣﻼهﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻧﻤﺜﻠﻬﻤﺎ ﺑﻘﻄﻌﺘﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻳﺴﺘﻴﻦ ﺣﺎﻣﻠﻴﻬﻤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ
-2ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت و ﺗﻌﺎرﻳﻒ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻨﺎﺻﺮهﺎ ﺗﺴﻤﻰ ﻧﻘﻂ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻬﺎ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ) (E اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت و اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺎت أﺟﺰاء ﻓﻌﻠﻴﺔ ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء أ -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ1 آﻞ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻘﺘﻴﻦ Aو Bﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ
) ( AB
ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ب -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ2 آﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ Aو Bو Cﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﺗﺤﺪد ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ( ABCأو
) (P
ﺗﻌﺮﻳﻒ * ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻋﺪة ﻧﻘﻂ أﻧﻬﺎ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا آﺎﻧﺖ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ ﻧﻘﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى. * ﻧﻘﻮل ﻋﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) أو ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ( أﻧﻬﻤﺎ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ) أو ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ( إذا آﺎﻧﺎ ) أو آﺎﻧﻮا ( ﺿﻤﻦ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى.
ج -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ3 إذا اﻧﺘﻤﺖ ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﺎن ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) (Dإﻟﻰ ﻣﺴﺘﻮى ) (Pﻓﺎن ) (Dﺿﻤﻦ ).(P
ﻣﻼﺣﻈﺔ هﺎﻣﺔ ﺟﻤﻴﻊ ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﺔ ﺗﺒﻘﻰ ﺻﺎﻟﺤﺔ ﻓﻲ آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻮﻳﺎت اﻟﻔﻀﺎء و آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺗﻪ. د -ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ4 إذا اﺷﺘﺮك ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺨﺘﻠﻔﺎن ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻄﺔ.
ذ -ﻧﺘﺎﺋﺞ ﻧﺘﻴﺠﺔ1 آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرﺟﻪ ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﺘﻴﺠﺔ2 آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -3اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ وﻣﺴﺘﻮى ﻟﻴﻜﻦ ) (Dﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ) (Pﻣﺴﺘﻮى ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث وﺿﻌﻴﺎت ﻣﻤﻜﻨﺔ اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ (D) :1ﻳﺨﺘﺮق )(P
اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ:2
) (D ) ⊂ (P
اﻟﻮﺿﻌﻴﺔ (D) :3و) (Pﻣﻨﻔﺼﻼن ) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ(
-4اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pو ) (Qﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء .ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺛﻼث ﺣﺎﻻت * ) ( Pو ) (Qﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ * ) ( Pو ) (Qﻣﻨﻔﺼﻼن ) أي ﻟﻴﺴﺖ ﻟﻬﻤﺎ أﻳﺔ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺸﺘﺮآﺔ( * ) ( Pو ) (Qﻣﻨﻄﺒﻘﺎن -5اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﻴﻦ .هﻨﺎك ﺛﻼث ﺣﺎﻻت * ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﻨﻔﺼﻼن * ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﺎن وﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن * ) ( Dو ) ∆ ( ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮﺋﻴﻴﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ EFGHرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ Iﻣﻦ ] [ FGﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ
Fو Gو اﻟﻨﻘﻄﺔ Jﻣﻦ ] [ EGﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ Eو Gو اﻟﻨﻘﻄﺔ Kﻣﻦ ] [ EHﻣﺨﺎﻟﻔﺔ ﻋﻦ Eو H
هﻞ ) ( EIو ) ( JKﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻊ ) ( ACGو
) ( BDG
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ﻟﻠﺒﺮهﻨﺔ ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻧﻘﻂ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ،ﻧﺒﺤﺚ ﻏﺎﻟﺒﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ و ﻧﺒﻴﻦ أن هﺬﻩ اﻟﻨﻘﻂ ﻣﺸﺘﺮآﺔ ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ و Pو Qو Rﻧﻘﻂ ﻣﻦ ] [ AB
و ] [ ACو ] [ ADﺣﻴﺚ ) ( PRﻳﻘﻄﻊ ) ( BDﻓﻲ Jو ) ( PQﻳﻘﻄﻊ ) ( BCﻓﻲ Kو ) (QRﻳﻘﻄﻊ ) (CDﻓﻲ I
أﺗﺒﺚ أن Jو Kو Iﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ اﻟﺘﻮازي ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -1اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺘﻮازﻳﺔ أ -ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا ﺗﺤﻘﻖ اﻟﺸﺮﻃﺎن اﻟﺘﺎﻟﻴﺎن -
أن ﻳﻜﻮن ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ
-
أن ﻳﻜﻮن ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻼن أو ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن ﻧﻜﺘﺐ
) ( ∆ ) // ( D
ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻻ ﻳﻜﻔﻲ أن ﻳﻜﻮن ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ ﻟﻜﻲ ﻳﻜﻮن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻣﺜﺎل ) ( AEو
) ( BCﻣﻨﻔﺼﻼن و ﻟﻜﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ.
) ( BC ) // ( AD ) ( EF ) // ( DC
ب -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ﺧﺎرج ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻳﻮازﻳﻪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء اﻟﺒﺮهﺎن ﻟﺪﻳﻨﺎ ) A ∉ ( Dو ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ) ( Pﻳﺤﺘﻮي ﻋﻠﻰ Aو
) (D
وﺣﺴﺐ ﻣﻮﺿﻮﻋﺔ اﻗﻠﻴﺪس ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ، ( Pﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ
) ∆ ( ﻳﻮازي ) ( D إذن ) ( Dو ) ∆ (
ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ج -ﻣﺒﺮهﻨﺔ آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﺤﺪدان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪا د -ﻣﺒﺮهﻨﺔ )ﻧﻘﺒﻠﻬﺎ( إذا اﺣﺘﻮى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ ﻓﺎن ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻬﺬﻳﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ.
ذ -ﻣﺒﺮهﻨﺔ إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻦ آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮ ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDEهﺮﻣﺎ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻟﺘﻜﻦ ' Bو ' Cﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] [ ABو ] [ ACﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ. أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ -1أﺗﺒﺚ أن )' ( DE ) // ( B 'C -2ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ﺗﻘﺎﻃﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ( ABCو ﺑﻴﻦ أن
) ( ADE
)' ( ∆ ) // ( B 'C
-2ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى أ-ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pإذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ) ( Dو
) ( Pﻣﻨﻔﺼﻼن أو ) ( Dﺿﻤﻦ
ﻧﻜﺘﺐ ) ( D ) // ( P ب -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻣﻮازﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pإذا و ﻓﻘﻂ إذا وﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ
) ( Pﻳﻮازي
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺒﺎ I .و Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ AB
و ] [ EFو ] [ HGﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
أﺗﺒﺚ أن ) ( HIﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى -3ﺗﻮازي ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ أ -ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ) ( Pو ﻧﻜﺘﺐ
) ( P ) // (Q
) ( JKC
) (Qﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻣﻨﻄﺒﻘﻴﻦ أو ﻣﻨﻔﺼﻠﻴﻦ.
) (D
) (P
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا آﺎن ) ( P ) // (Qﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ. ب -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا اﺷﺘﻤﻞ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﻳﻮازﻳﻴﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ
ج -ﻣﺒﺮهﻨﺔ إذا وازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺴﺘﻮى ﺛﺎﻟﺜﺎ ﻓﺎﻧﻬﻤﺎ ﻳﻜﻮﻧﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ د -ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى و ﺣﻴﺪ ﻣﻮاز ﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم اﻟﺒﺮهﺎن ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pﻣﺴﺘﻮى و Aﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( P ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ( Dﻣﺎر ﻣﻦ Aو ﻳﻮازي ) ( D ﻳﻮﺟﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ )' ∆ ( ﻣﺎر ﻣﻦ Aو ﻳﻮازي ) ∆ ( )' ( Dو )' ∆ ( ﻳﺤﺪان ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ) (Q ) (Qﻳﻮازي ) ( P ذ -ﻧﺘﺎﺋﺞ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﺨﺘﺮق أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺨﺘﺮق اﻵﺧﺮ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﻘﻄﻊ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻘﻄﻊ اﻵﺧﺮ إذا ﺗﻮازى ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازي أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻮازي اﻵﺧﺮﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) ( Pو ) (Qﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻗﻄﻌﺎ .ﻧﻌﺘﺒﺮ ) A ∈ ( P و BCDﻣﺜﻠﺚ ﺿﻤﻦ ) . (Qﻟﺘﻜﻦ Iو Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ ABو ] [ ACو ] [ ADﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ .اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) (CKﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pﻓﻲ . R -1أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ -2أﺗﺒﺚ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى -3أﺗﺒﺚ أن
) ( IJKﻳﻮازي
) (P
) (CD ) // ( AR
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCDEFGHﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت و Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] [GH
-1ﻟﺘﻜﻦ } ( EI ) ∩ ( FH ) = {M ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ) ( AEIو ) ( AFH
ﻳﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﻓﻖ ) ( AM
-2أ -ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ Eو Fو Dو Cﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﺔ ب -ﺑﻴﻦ أن ) (CF ) // ( DE -3ﺑﻴﻦ أن -4ﺑﻴﻦ أن
) (CFH ) // ( BDE ) (CIﻳﺨﺘﺮق اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( ADH
اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء
-Iﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -1ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ) ( Dو ) ∆ ( ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﻮازﻳﺎن ﻟﻬﻤﺎ و اﻟﻤﺎران ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ Oﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ .ﻧﻜﺘﺐ
)∆( ⊥ ) (D
ﻣﺜﺎل ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ) ( AD ) ⊥ ( AE
) ( AD ) ⊥ (CG ) ( EF ) ⊥ ( DH ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان ﻳﻤﻜﻦ أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻮاﺋﻴﻴﻦ ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ BD = DCو Iو Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ ABو ] [ ACو ﺑﻴﻦ أن
] [CBﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ
) ( IJ ) ⊥ ( DK
-2ﺧﺎﺻﻴﺎت ﺧﺎﺻﻴﺔ1 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﺧﺎﺻﻴﺔ2 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ ﻓﻜﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻷﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻳﻤﻜﻦ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ أن ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺛﺎﻟﺚ دون أن ﻳﻜﻮﻧﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ. -IIﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ و ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء -1ﻣﺒﺮهﻨﺔ إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pﻓﺎن ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى
) (P
-2ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( Pإذا و ﻓﻘﻂ إذا
) ( Dﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ ﺟﻤﻴﻊ
ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮى ) . ( P -3ﻣﺒﺮهﻨﺔ ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﻴﻦ ﺿﻤﻦ
) (P
إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ( Dﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ
اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ( P
ﻣﺜﺎل ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ) ( AD ) ⊥ ( ABE
) ( AD ) ⊥ (CHG -4ﺧﺎﺻﻴﺎت ﺧﺎﺻﻴﺔ1 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ
ﺧﺎﺻﻴﺔ2 إذا آﺎن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﻓﺎن آﻞ ﻣﺴﺘﻮى ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﻜﻮن ﻋﻤﻮدﻳﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﺧﺎﺻﻴﺔ4 ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﻳﻦ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻤﻮدﺑﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻳﺘﻀﻤﻦ اﻵﺧﺮ ﺧﺎﺻﻴﺔ5 ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮﻳﺎن ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺎ ﻋﻤﻮدﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( EB ) ⊥ ( DFﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن ) ( EBG ) ⊥ ( DF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) (Cداﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى
) . ( Pﻧﻌﺘﺒﺮ ] [ ABﻗﻄﺮا ﻟـ ) (Cو ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ . A
ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ Sﺣﻴﺚ S ≠ Aو ) ; M ∈ (C
أﺗﺒﺚ أن
)
M ≠B
. ( MB ) ⊥ ( SM
-5ﻣﺒﺮهﻨﺎت ﻣﺒﺮهﻨﺔ1 ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻮى وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻮم.
Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ Mﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ
) (D
ﻣﺒﺮهﻨﺔ2 ﻣﻦ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻳﻤﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ وﺣﻴﺪ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻌﻠﻮم.
Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ Mﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى -IIIﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻧﻘﻮل ان اﻟﻤﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ ﻧﻜﺘﺐ
) (P
) ( Pو ) (Qﻣﺘﻌﺎﻣﺪان اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن أﺣﺪهﻤﺎ ﻳﺘﻀﻤﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎ ﻋﻤﻮدﻳﺎ
) ( P ) ⊥ (Q
ﻣﺜﺎل ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ ) ( ADC ) ⊥ ( ABE
) ( ADF ) ⊥ (CHG
ﻣﻼﺣﻈﺔ إذا ﺗﻌﺎﻣﺪ ﻣﺴﺘﻮﻳﻴﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻓﻼ ﻳﻌﻨﻲ أن آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺿﻤﻦ أﺣﺪهﻤﺎ ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻵﺧﺮ. ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pو Iﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ Aﺣﻴﺚ S ≠ A
] . [ BCﻟﺘﻜﻦ Sﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ
-1أﺗﺒﺚ أن
) (SAI ) ⊥ (SCI
-2ﻟﻴﻜﻦ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Aﻋﻠﻰ أﺗﺒﺚ أن
) (SI
) ( AH ) ⊥ (SC
ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( HEB ) ⊥ ( AGF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) . ( Pﻟﺘﻜﻦ Dﻣﻤﺎﺛﻠﺔ Bﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ، Aو Sﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ( Pﺣﻴﺚ . SB = SDﻟﺘﻜﻦ Iو Jﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] [SDو ] [ DCﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ -1ﺑﻴﻦ أن -2ﺑﻴﻦ أن
) ( AB ) ⊥ (SAC ) ( AB ) ⊥ ( IJ
اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
) ( P ) ⊥ (SAC
اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت و اﻟﺤﺠﻮم
-1ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت ﻟﻴﻜﻦ aو bو cﻃﻮل و ﻋﺮض و ارﺗﻔﺎع ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ S = 2 ( ab + bc + ca ) :
اﻟﺤﺠﻢ:
V = a.b .c
-2اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﻴﻜﻦ aﻃﻮل ﺣﺮف اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ
S = 6a 2
اﻟﺤﺠﻢ
V = a3
- 3اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ أ -ﻟﻴﻜﻦ hارﺗﻔﺎع ﻣﻮﺷﻮر ﻗﺎﺋﻢ و lو Bﻣﺤﻴﻂ و ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ. * اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ S = l × h
* اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﻜﻠﻴﺔ S T = l × h + 2B
* اﻟﺤﺠﻢ
V = B ×h
-4اﻟﻬﺮم أ -ﻟﻴﻜﻦ hارﺗﻔﺎع هﺮﻣﺎ رأﺳﻪ S
h = SHﺣﻴﺚ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Sﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى
اﻟﻤﺘﻀﻤﻦ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة .ﻟﻴﻜﻦ B ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻬﺮم.
1 ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮمV = B .h : 3 - 5رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ اﻟﻤﻨﺘﻈﻢ ﻟﻴﻜﻦ aﻃﻮل ﺣﺮف رﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﻣﻨﺘﻈﻢ
3 3 3 اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ a 4 اﻟﺤﺠﻢ
2 3 a 12
= S
= V
- 6اﻷﺳﻄﻮاﻧﺔ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻟﻴﻜﻦ hارﺗﻔﺎع اﻻﺳﻄﻮاﻧﺔ و Rﺷﻌﺎع ﻗﺎﻋﺪﺗﻬﺎ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ S L = 2π Rh
اﻟﺤﺠﻢ هﻮ V = π R 2 h
-6اﻟﻔﻠﻜﺔ
ﻟﻴﻜﻦ Rﺷﻌﺎع اﻟﻔﻠﻚ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ هﻲ:ا S = 4π R 2
4 اﻟﺤﺠﻢ هﻮ :هﻲ V = π R 3 3 - 7اﻟﻤﺨﺮوﻃﻲ اﻟﺪوراﻧﻲ ﻟﻴﻜﻦ Rﺷﻌﺎع اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻟﻤﺨﺮوط دوراﻧﻲ
اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ هﻲ S L = π R ⋅ SH 1 اﻟﺤﺠﻢV = π R 2 h : 3 h = OS
-----------------------------------------------------ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDرﺑﺎﻋﻲ اﻷوﺟﻪ ﺣﻴﺚ BD = DCو Iو Jو Kﻣﻨﺘﺼﻔﺎت ] [ ABو ] [ ACو ] [CBﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ ﺑﻴﻦ أن ) ( IJ ) ⊥ ( DK ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( EB ) ⊥ ( DFﺛﻢ أﺗﺒﺚ أن
) ( EBG ) ⊥ ( DF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ) (Cداﺋﺮة ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) . ( Pﻧﻌﺘﺒﺮ ] [ AB ﻟﻴﻜﻦ ) ∆ ( ∈ Sﺣﻴﺚ S ≠ Aو ) M ≠ B ; M ∈ (C أﺗﺒﺚ أن ) . ( MB ) ⊥ ( SM
ﻗﻄﺮا ﻟـ ) (Cو ) ∆ ( اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ . A
ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻟﻴﻜﻦ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pو Iﻣﻨﺘﺼﻒ ] . [ BCﻟﺘﻜﻦ Sﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ Aﺣﻴﺚ S ≠ A
-3أﺗﺒﺚ أن
) (SAI ) ⊥ (SCI
-4ﻟﻴﻜﻦ Hاﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدي ﻟـ Aﻋﻠﻰ أﺗﺒﺚ أن
) (SI
) ( AH ) ⊥ (SC
ﺗﻤﺮﻳﻦ ABCDEFGHﻣﻜﻌﺐ أﺗﺒﺚ أن ) ( HEB ) ⊥ ( AGF ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻓﻲ اﻟﻔﻀﺎء ﻧﻌﺘﺒﺮ ABCﻣﺜﻠﺜﺎ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ Aﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) . ( Pﻟﺘﻜﻦ Dﻣﻤﺎﺛﻠﺔ Bﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟـ ، Aو Sﻧﻘﻄﺔ ﺧﺎرج ) ( Pﺣﻴﺚ . SB = SDﻟﺘﻜﻦ Iو Jﻣﻨﺘﺼﻔﻲ ] [SDو ] [ DCﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ -3ﺑﻴﻦ أن -4ﺑﻴﻦ أن ﺗﻤﺮﻳﻦ
) ( AB ) ⊥ (SAC ) ( AB ) ⊥ ( IJ
اﺳﺘﻨﺘﺞ أن
) ( P ) ⊥ (SAC
ﻟﻴﻜﻦ ABCDﻣﻌﻴﻨﺎ ﺿﻤﻦ ﻣﺴﺘﻮى ) ( Pﺣﻴﺚ BD = 3cm
اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ) ( Pﻓﻲ Aﺣﻴﺚ SA = 8cm
أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم SABCD ﺗﻤﺮﻳﻦ أﺣﺴﺐ ﺣﺠﻢ ﻓﻠﻜﺔ ﻣﺴﺎﺣﺘﻬﺎ ﺗﺴﺎوي 1m 2
و . AC = 3cmﻟﺘﻜﻦ Sﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ
Related Documents
Espace
June 2020 11
Espace
December 2019 14
Espace
November 2019 12
Espace-europeen
May 2020 21
Espace 2009
November 2019 10