Esfera

Esfera Francisco Ferreira Paulo Hállison Barreto Vieira Luiz Vicente Ferreira Neto Carlos Henrique de Sousa

1. Definição Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

O volume da esfera de raio R é dado por:

2. Volume

4 3 Ve = π R 3

3. Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno do seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

AS = 4π r

2

4. Secção plana A secção plana, produzida pela intersecção de um plano com uma esfera, é um círculo máximo. Quando esse plano intercepta a esfera no centro, temos uma secção circular de raio máximo. No caso de a intersecção acontecer em apenas um ponto, temos a tangência da esfera com o plano.

5. Fuso esférico Fuso esférico é a figura gerada pela rotação menor que 360º de uma semicircunferência em torno do eixo que contém o seu diâmetro. Uma esfera de raio r tem um fuso de ângulo α e, para determinar a área desse fuso, considerando α em radianos ou em graus, aplicamos uma regra de três simples.

Quando o ângulo α é igual a 2π rad ou a 360º, o fuso 2 corresponde à superfície da esfera, cuja área é 4π r .

 2π rad → 4π r 2 4π/ r 2α 2 ⇒ A = ⇒ A = 2 r α ( α em radianos )  FUSO FUSO 2π/ α rad → AFUSO ou

360º → 4π r 2 4π r 2α π r 2α ⇒ AFUSO = ⇒ AFUSO = ( α em graus )  360º 90º → AFUSO α º

5. Fuso esférico Cunha esférica é o sólido gerado pela rotação menor que 360º de um semicírculo em torno do eixo que contém o seu diâmetro. Um esfera de raio r tem uma cunha de ângulo α . Para determinar o volume da cunha, considerando α em radianos ou em graus, aplicamos uma regra de três simples.

π rad ou a 360º, o fuso Quando o ângulo α é igual a 2 4 corresponde à esfera cujo volume é π r 3. 3

4 3 4 3  πr α 3 2 r α 2π rad → π r 3 ⇒ V = ⇒ V = 3 ( α em radianos )  CUNHA CUNHA 2π 3 α rad → VCUNHA ou

4 3 4 3  πr α 3 πr π r α 360º → 3 ⇒ V = ⇒ V = 3 ( α em graus )  CUNHA CUNHA 360º 270º α º → VCUNHA