Esercitazione 1

[email protected] Esercizio 1 Calcolo del numero di Mach al variare della quota e della velocità di volo. u con u velocità di volo e a velocità del suono alla data quota, e sapendo che a R J R' = = 286,76 a = γR ' T con γ aria = 1.4 e mol aria K Noti i valori della temperatura al variare della quota ricavo le corrispondenti velocità del suono e, infine i valori di Mach al variare della velocità di volo. Sapendo che M =

Nella seguente tabella riporto tali valori di Mach per velocità comprese tra 100 e 5000 km/h e per quote tra 0 e 10000m 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600

0 0,0817 0,1633 0,245 0,3266 0,4083 0,4899 0,5716 0,6532 0,7349 0,8165 0,8982 0,9798 1,0615 1,1431 1,2248 1,3064 1,3881 1,4697 1,5514 1,633 1,7147 1,7963 1,878 1,9596 2,0413 2,1229 2,2046 2,2862 2,3679 2,4495 2,5312 2,6128 2,6945 2,7761 2,8578 2,9394

1000 0,0819 0,1638 0,2457 0,3276 0,4095 0,4914 0,5732 0,6551 0,737 0,8189 0,9008 0,9827 1,0646 1,1465 1,2284 1,3103 1,3922 1,4741 1,5559 1,6378 1,7197 1,8016 1,8835 1,9654 2,0473 2,1292 2,2111 2,293 2,3749 2,4568 2,5387 2,6205 2,7024 2,7843 2,8662 2,9481

2000 0,0822 0,1644 0,2465 0,3287 0,4109 0,4931 0,5753 0,6575 0,7396 0,8218 0,904 0,9862 1,0684 1,1506 1,2327 1,3149 1,3971 1,4793 1,5615 1,6437 1,7258 1,808 1,8902 1,9724 2,0546 2,1368 2,2189 2,3011 2,3833 2,4655 2,5477 2,6298 2,712 2,7942 2,8764 2,9586

3000 0,0825 0,165 0,2474 0,3299 0,4124 0,4949 0,5773 0,6598 0,7423 0,8248 0,9072 0,9897 1,0722 1,1547 1,2371 1,3196 1,4021 1,4846 1,567 1,6495 1,732 1,8145 1,8969 1,9794 2,0619 2,1444 2,2268 2,3093 2,3918 2,4743 2,5567 2,6392 2,7217 2,8042 2,8866 2,9691

4000 0,0828 0,1655 0,2483 0,3311 0,4139 0,4966 0,5794 0,6622 0,7449 0,8277 0,9105 0,9932 1,076 1,1588 1,2416 1,3243 1,4071 1,4899 1,5726 1,6554 1,7382 1,821 1,9037 1,9865 2,0693 2,152 2,2348 2,3176 2,4003 2,4831 2,5659 2,6487 2,7314 2,8142 2,897 2,9797

5000 0,0831 0,1661 0,2492 0,3323 0,4153 0,4984 0,5815 0,6645 0,7476 0,8307 0,9137 0,9968 1,0799 1,1629 1,246 1,3291 1,4121 1,4952 1,5783 1,6614 1,7444 1,8275 1,9106 1,9936 2,0767 2,1598 2,2428 2,3259 2,409 2,492 2,5751 2,6582 2,7412 2,8243 2,9074 2,9904

6000 0,0834 0,1668 0,2502 0,3336 0,417 0,5004 0,5837 0,6671 0,7505 0,8339 0,9173 1,0007 1,0841 1,1675 1,2509 1,3343 1,4177 1,5011 1,5844 1,6678 1,7512 1,8346 1,918 2,0014 2,0848 2,1682 2,2516 2,335 2,4184 2,5018 2,5851 2,6685 2,7519 2,8353 2,9187 3,0021

7000 0,0837 0,1674 0,2511 0,3348 0,4185 0,5022 0,5859 0,6695 0,7532 0,8369 0,9206 1,0043 1,088 1,1717 1,2554 1,3391 1,4228 1,5065 1,5902 1,6739 1,7576 1,8413 1,9249 2,0086 2,0923 2,176 2,2597 2,3434 2,4271 2,5108 2,5945 2,6782 2,7619 2,8456 2,9293 3,013

8000 0,084 0,168 0,252 0,336 0,42 0,504 0,588 0,672 0,756 0,84 0,924 1,008 1,092 1,176 1,26 1,344 1,4279 1,5119 1,5959 1,6799 1,7639 1,8479 1,9319 2,0159 2,0999 2,1839 2,2679 2,3519 2,4359 2,5199 2,6039 2,6879 2,7719 2,8559 2,9399 3,0239

9000 0,0843 0,1686 0,2529 0,3372 0,4215 0,5058 0,5901 0,6744 0,7587 0,843 0,9273 1,0116 1,0959 1,1802 1,2645 1,3488 1,4331 1,5175 1,6018 1,6861 1,7704 1,8547 1,939 2,0233 2,1076 2,1919 2,2762 2,3605 2,4448 2,5291 2,6134 2,6977 2,782 2,8663 2,9506 3,0349

10000 0,0846 0,1692 0,2538 0,3384 0,4231 0,5077 0,5923 0,6769 0,7615 0,8461 0,9307 1,0153 1,0999 1,1846 1,2692 1,3538 1,4384 1,523 1,6076 1,6922 1,7768 1,8614 1,9461 2,0307 2,1153 2,1999 2,2845 2,3691 2,4537 2,5383 2,6229 2,7076 2,7922 2,8768 2,9614 3,046

3700 3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000

3,0211 3,1028 3,1844 3,2661 3,3477 3,4294 3,511 3,5927 3,6743 3,756 3,8376 3,9193 4,0009 4,0826

3,03 3,1119 3,1938 3,2757 3,3576 3,4395 3,5214 3,6032 3,6851 3,767 3,8489 3,9308 4,0127 4,0946

3,0408 3,1229 3,2051 3,2873 3,3695 3,4517 3,5339 3,616 3,6982 3,7804 3,8626 3,9448 4,027 4,1091

3,0516 3,1341 3,2165 3,299 3,3815 3,464 3,5465 3,6289 3,7114 3,7939 3,8764 3,9588 4,0413 4,1238

3,0625 3,1453 3,228 3,3108 3,3936 3,4764 3,5591 3,6419 3,7247 3,8074 3,8902 3,973 4,0558 4,1385

3,0735 3,1566 3,2396 3,3227 3,4058 3,4888 3,5719 3,655 3,738 3,8211 3,9042 3,9872 4,0703 4,1534

3,0855 3,1689 3,2523 3,3357 3,4191 3,5025 3,5858 3,6692 3,7526 3,836 3,9194 4,0028 4,0862 4,1696

3,0966 3,1803 3,264 3,3477 3,4314 3,5151 3,5988 3,6825 3,7662 3,8499 3,9336 4,0173 4,101 4,1847

3,1079 3,1919 3,2759 3,3599 3,4439 3,5279 3,6119 3,6959 3,7799 3,8639 3,9479 4,0319 4,1158 4,1998

3,1192 3,2035 3,2878 3,3721 3,4564 3,5407 3,625 3,7093 3,7936 3,8779 3,9622 4,0465 4,1308 4,2151

14000 0,0859 0,1718 0,2577 0,3436 0,4295 0,5154 0,6013 0,6871 0,773 0,8589 0,9448 1,0307 1,1166 1,2025 1,2884 1,3743 1,4602 1,5461 1,632 1,7179 1,8038 1,8896 1,9755 2,0614 2,1473 2,2332 2,3191 2,405 2,4909 2,5768 2,6627 2,7486 2,8345 2,9204 3,0063 3,0921 3,178

15000 0,0862 0,1724 0,2586 0,3449 0,4311 0,5173 0,6035 0,6897 0,7759 0,8621 0,9483 1,0346 1,1208 1,207 1,2932 1,3794 1,4656 1,5518 1,638 1,7243 1,8105 1,8967 1,9829 2,0691 2,1553 2,2415 2,3277 2,414 2,5002 2,5864 2,6726 2,7588 2,845 2,9312 3,0174 3,1037 3,1899

16000 0,0865 0,1731 0,2596 0,3461 0,4327 0,5192 0,6057 0,6923 0,7788 0,8654 0,9519 1,0384 1,125 1,2115 1,298 1,3846 1,4711 1,5576 1,6442 1,7307 1,8172 1,9038 1,9903 2,0768 2,1634 2,2499 2,3364 2,423 2,5095 2,5961 2,6826 2,7691 2,8557 2,9422 3,0287 3,1153 3,2018

17000 0,0869 0,1738 0,2607 0,3475 0,4344 0,5213 0,6082 0,6951 0,782 0,8689 0,9558 1,0426 1,1295 1,2164 1,3033 1,3902 1,4771 1,564 1,6509 1,7377 1,8246 1,9115 1,9984 2,0853 2,1722 2,2591 2,3459 2,4328 2,5197 2,6066 2,6935 2,7804 2,8673 2,9542 3,041 3,1279 3,2148

18000 0,0872 0,1744 0,2616 0,3489 0,4361 0,5233 0,6105 0,6977 0,7849 0,8721 0,9594 1,0466 1,1338 1,221 1,3082 1,3954 1,4826 1,5699 1,6571 1,7443 1,8315 1,9187 2,0059 2,0931 2,1804 2,2676 2,3548 2,442 2,5292 2,6164 2,7036 2,7909 2,8781 2,9653 3,0525 3,1397 3,2269

19000 0,0875 0,1751 0,2626 0,3502 0,4377 0,5253 0,6128 0,7004 0,7879 0,8754 0,963 1,0505 1,1381 1,2256 1,3132 1,4007 1,4883 1,5758 1,6633 1,7509 1,8384 1,926 2,0135 2,1011 2,1886 2,2761 2,3637 2,4512 2,5388 2,6263 2,7139 2,8014 2,889 2,9765 3,064 3,1516 3,2391

20000 0,0879 0,1758 0,2636 0,3515 0,4394 0,5273 0,6151 0,703 0,7909 0,8788 0,9666 1,0545 1,1424 1,2303 1,3181 1,406 1,4939 1,5818 1,6697 1,7575 1,8454 1,9333 2,0212 2,109 2,1969 2,2848 2,3727 2,4605 2,5484 2,6363 2,7242 2,812 2,8999 2,9878 3,0757 3,1636 3,2514

E per le quote da 11000 a 20000m 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 3700

11000 0,0849 0,1698 0,2548 0,3397 0,4246 0,5095 0,5944 0,6794 0,7643 0,8492 0,9341 1,0191 1,104 1,1889 1,2738 1,3587 1,4437 1,5286 1,6135 1,6984 1,7833 1,8683 1,9532 2,0381 2,123 2,208 2,2929 2,3778 2,4627 2,5476 2,6326 2,7175 2,8024 2,8873 2,9722 3,0572 3,1421

12000 0,0853 0,1705 0,2558 0,341 0,4263 0,5116 0,5968 0,6821 0,7673 0,8526 0,9379 1,0231 1,1084 1,1936 1,2789 1,3642 1,4494 1,5347 1,6199 1,7052 1,7905 1,8757 1,961 2,0462 2,1315 2,2168 2,302 2,3873 2,4725 2,5578 2,6431 2,7283 2,8136 2,8988 2,9841 3,0694 3,1546

13000 0,0856 0,1712 0,2567 0,3423 0,4279 0,5135 0,599 0,6846 0,7702 0,8558 0,9413 1,0269 1,1125 1,1981 1,2836 1,3692 1,4548 1,5404 1,6259 1,7115 1,7971 1,8827 1,9682 2,0538 2,1394 2,225 2,3105 2,3961 2,4817 2,5673 2,6528 2,7384 2,824 2,9096 2,9951 3,0807 3,1663

3,1306 3,2152 3,2998 3,3844 3,469 3,5537 3,6383 3,7229 3,8075 3,8921 3,9767 4,0613 4,1459 4,2305

3800 3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000

3,227 3,3119 3,3969 3,4818 3,5667 3,6516 3,7365 3,8215 3,9064 3,9913 4,0762 4,1611 4,2461

3,2399 3,3251 3,4104 3,4957 3,5809 3,6662 3,7514 3,8367 3,922 4,0072 4,0925 4,1778 4,263

3,2519 3,3374 3,423 3,5086 3,5942 3,6797 3,7653 3,8509 3,9365 4,022 4,1076 4,1932 4,2788

3,2639 3,3498 3,4357 3,5216 3,6075 3,6934 3,7793 3,8652 3,9511 4,037 4,1229 4,2088 4,2946

3,2761 3,3623 3,4485 3,5347 3,6209 3,7072 3,7934 3,8796 3,9658 4,052 4,1382 4,2244 4,3106

3,2883 3,3749 3,4614 3,5479 3,6345 3,721 3,8075 3,8941 3,9806 4,0672 4,1537 4,2402 4,3268

3,3017 3,3886 3,4755 3,5624 3,6493 3,7361 3,823 3,9099 3,9968 4,0837 4,1706 4,2575 4,3444

3,3141 3,4014 3,4886 3,5758 3,663 3,7502 3,8374 3,9246 4,0119 4,0991 4,1863 4,2735 4,3607

3,3267 3,4142 3,5018 3,5893 3,6769 3,7644 3,8519 3,9395 4,027 4,1146 4,2021 4,2897 4,3772

3,3393 3,4272 3,5151 3,6029 3,6908 3,7787 3,8666 3,9544 4,0423 4,1302 4,2181 4,306 4,3938

E facendo un grafico in 3D Mach in funzione della quota e della velocità

4,5 4 100 600

3,5 3

1100

2,5

1600 2

2100

1,5 1 0,5 0 20000

2600 3100 Velocità (Km /h)

3600

16000 12000

4100

8000 4600

4000 0

Quota (m )

Mach

Esercizio 2 Dato un ugello semplicemente convergente che elabora una portata di massa d’aria pari a 10 Kg/s e fornisce una spinta costante pari a 1000 kg, calcolare la temperatura del gas in uscita e nel serbatoio. Il Mach di volo è 1.4, la quota è 10000m La temperatura del gas nel serbatoio è facilmente calcolabile sapendo che la velocità del suono è calcolabile della relazione del Mach, imponendo come velocità di volo quella ricavata dalla tabella precedente a 10000m e a M=1.4 2

u a a0 = 0 = γR' T0 ⇒ T0 = 0 = 268,47 K M0 γR ' Sapendo che in un ugello semplicemente convergente il Mach di uscita è , al più, pari ad 1 posso scrivere la seguente relazione :

ue =1 ae

Me =

e, esplicitando l’espressione della velocità del suono e ricavando quella della velocità del gas in uscita dalla

ue =

F .

m

.

F = m(ue − u0 ) avremo :

+ u0 =

F .

m

Posso dunque ricavare

+ M 0 a0 ue

e sapendo che

ue = M e ae = γR' Te

ue2 Ricavo, infine Te = = 780,08 K γR ' A questo punto posso ricavare le temperature in uscita al variare del Mach di volo, in particolare analizzo i casi da M=1 a M=2 M

U0 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

Ue 328,3 361,13 393,96 426,79 459,62 492,45 525,28 558,11 590,94 623,77 656,6

428,3 461,13 493,96 526,79 559,62 592,45 625,28 658,11 690,94 723,77 756,6

Te (K) 456,9320595 529,6661711 607,769701 691,2426492 780,0850158 874,2968007 973,878004 1078,828626 1189,148666 1304,838124 1425,897001

E il conseguente grafico

Variazione T exhaust con Mach 1600 1400

T exhaust (K)

1200 1000 800 600 400 200 0 1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5 Mach

1,6

1,7

1,8

1,9