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9.2) movimiento del centro de masa de un sistema de partículas El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema sometido a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslación de un sistema de partículas. Vector de posición del centro de masas El vector de posición del centro de masas se define como:

𝑁

𝑁

𝑟𝐶𝑀 = ∑ 𝑚𝑖 𝑟1 / ∑ 𝑚1 𝑖=1

𝑖=1 𝑁

𝑟𝐶𝑀

1 = ∗ ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑀 𝑖=1

Donde M es la masa total del sistema de partículas. La posición del centro de masas no tiene por qué coincidir con la posición de ninguna de las partículas del sistema, es simplemente un punto en el espacio.

Velocidad del centro de masas La velocidad del centro de masas es la derivada de su vector de posición:

𝑁

𝑣𝐶𝑀

𝑑𝑟𝐶𝑀 1 = = ∗ ∑ 𝑚𝑖 𝑣1 𝑑𝑡 𝑀 𝑖=1

El segundo miembro de la ecuación anterior es el momento lineal total del sistema de partículas dividido por la masa total del sistema, por lo que este último puede obtenerse a partir de la velocidad del centro de masas: 𝑃𝑡𝑜𝑡 = 𝑀𝑣𝐶𝑀 = 𝑃𝐶𝑀 Este último resultado significa que el momento lineal total de un sistema de partículas es igual al momento lineal que tendría la masa total del sistema situada en el CM, por lo que el movimiento de traslación del sistema de partículas está representado por el de su centro de masas. Si el sistema de partículas está aislado, su momento lineal será constante, por lo que la velocidad de su centro de masas también lo será. Si colocamos un sistema de referencia en el centro de masas de un sistema de partículas aislado, dicho sistema de referencia (llamado sistema-C) es inercial. Resulta particularmente útil para estudiar las colisiones.

Aceleración del centro de masas Cuando un sistema de partículas no está aislado, sobre él actuarán fuerzas internas y externas, representadas respectivamente en la siguiente figura (a) en rojo y en verde; por tanto las partículas de dicho sistema tendrán en general aceleración, y el centro de masas también estará acelerado.

Sistema constituído por dos partículas. Sobre él actúan fuerzas internas y externas. En la parte (b) de la figura, se observan las fuerzas externas aplicadas en el centro de masas. Para calcular la aceleración del centro de masas del sistema, vamos a aplicar la segunda ley de Newton a cada una de las partículas del sistema: 𝑑𝑝1 = 𝐹1 + 𝐹12 𝑑𝑡 𝑑𝑝1 = 𝐹2 + 𝐹21 𝑑𝑡 Sumando ambas: 𝑑(𝑝1 + 𝑝2 ) = 𝐹1 + 𝐹2 𝑑𝑡 En el primer miembro aparece la derivada del momento lineal total del sistema (igual al momento de su centro de masas), y en el segundo miembro la suma de las fuerzas internas se anula puesto que cumplen la tercera ley de Newton. La expresión anterior queda entonces: 𝑑 (𝑃 ) = 𝑀𝑎𝐶𝑀 = 𝐹1 + 𝐹2 𝑑𝑡 𝐶𝑀 Para un sistema constituido por N partículas, el segundo miembro es la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema y por tanto: 𝑀𝑎𝐶𝑀 = ∑ 𝐹𝑒𝑥𝑡

Que no es más que la segunda ley de Newton para el centro de masas de un sistema de partículas. En la parte (b) de la figura anterior se observa el centro de masas del sistema con las fuerzas externas aplicadas en él. La aceleración del centro de masas de un sistema de partículas es debida únicamente a las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

Ejercicios: Se introduce    

m=4 kg M=1 kg k=50 N/m La longitud inicial del muelle sin deformar es l=1.0 m

Calcular las posiciones de las partículas y la del centro de masa en el instante t=1 s.

Las posiciones de las partículas son

Conocida la posición de las partículas de masas m=4 y M=1 kg calculamos la posición del c.m.

La posición inicial del centro de masa es

La posición del c.m. en el instante t=1 es

9.3) masa reducida Se introduce ahora una cantidad llamada masa reducida del sistema de dos partículas y designada por μ , que se define por : 1 1 1 𝑚1 + 𝑚2 = + = µ 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑚2 µ = (𝑚1 𝑚2 )/(𝑚1 + 𝑚2 ) Podemos escribir entonces la ecuación en la forma: 𝑎12 =

𝐹12 → 𝐹12 = µ𝑎12 µ

De donde podemos enunciar que el movimiento relativo de dos partículas sujetas únicamente a una interacción mutua es equivalente al movimiento, relativo a un observador inercial, de una partícula de masa igual a la masa reducida bajo una fuerza igual a la interacción. Por ejemplo, podemos reducir el movimiento de la luna relativo a la tierra a un problema de una única partícula usando la masa reducida del sistema luna-tierra y una fuerza igual a la atracción de la tierra sobre la luna. De la misma forma, cuando hablamos del movimiento de un electrón alrededor del núcleo, podemos suponer el sistema reducido a una partícula con masa igual a la masa reducida del sistema electrón-núcleo moviéndose bajo la fuerza entre el electrón y el núcleo. Por consiguiente, al describir el movimiento de dos partículas bajo su interacción mutua podemos separar el movimiento del sistema en el movimiento del centro de masa cuya velocidad es constante, y el movimiento de las dos partículas, dado por las ecuaciones desarrolladas anteriormente, referido a un sistema de referencia ligado al centro de masa. Cuando una de las partículas tiene una masa mucha más pequeña de la otra, por ejemplo la m1, la masa reducida se puede escribir:

𝜇=

𝑚1 𝑚1 ≅ 𝑚1 (1 − ) 𝑚1 𝑚2 1 + 𝑚2

Donde hemos empleado la aproximación (1 + 𝑥)𝑛 ≅ 1 + 𝑛𝑥( 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 << 1) Esto conduce a una masa reducida aproximadamente igual a la masa de la partícula más ligera. Por ejemplo, al discutir el movimiento de un satélite artificial alrededor de la tierra podemos usar, con muy buena aproximación, la masa del satélite y no la masa reducida del sistema tierra-satélite. Por otra parte, cuando las dos partículas tienen la misma masa (m1=m2) se tiene: 𝜇=

1 𝑚1 = 2

Esta ecuación se puede emplear para el caso de dos protones interactuando entre si y también, con muy buena aproximación para un sistema formado por un neutrón y un protón, tal como ocurre en el deuterón.

9.4) momentum angular de un sistema de partícula Momento lineal e impulso El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad p=mv Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante. El momento angular de un sistema de partículas se define como la suma vectorial del momento angular de cada una de ellas: 𝑁

𝐿 = ∑ 𝑟𝑖 𝑥𝑚𝑖 𝑣𝑖 𝑖=1

Supongamos un sistema formado por dos partículas sobre las que actúan fuerzas internas (en rojo) y fuerzas externas (en verde):

Teorema de conservación Para saber bajo qué condiciones se conserva L, expresamos su derivada aplicando los conceptos vistos en conservación del momento angular de una partícula:

𝑑𝐿 𝑑(𝐿1 + 𝐿2 ) = = 𝜏1 + 𝜏2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Es importante destacar que para calcular la suma de los momentos de las fuerzas externas es necesario calcular el momento de cada una de las fuerzas y luego sumarlos todos vectorialmente, es decir, no es válido sumar primero las fuerzas externas y luego calcular el momento de la resultante.

En el ejemplo siguiente se observa que la suma de las fuerzas externas es nula, pero los momentos ejercidos por ambas fuerzas con respecto a O van en el mismo sentido, por lo que no se cancelan y por tanto el momento angular del sistema no se conserva. En situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons.

9.5) Energía cinética de un sistema de partículas La energía cinética del sistema relativa al centro de masas.

Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo. Esta energía cinética intrínseca, K' es parte de la energía interna del sistema. Puede estar asociada a: Un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su eje. Un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta energía cinética es lo que llamamos agitación térmica. Una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes

del

sistema)

y

parte

en

movimientos

microscópicos caóticos. Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del sistema es normalmente desconocida. En su lugar nos limitamos a la suma del término Mv_C^2/2 con la suma de las energías cinéticas debidas a los movimientos macroscópicos.

Las definiciones de cantidades como posición, velocidad, aceleración y fuerza junto a principios como la segunda ley de Newton han permitido encontrar muchas soluciones. Sin embargo, algunos problemas, que podrían resolverse teóricamente con las leyes de Newton, son muy difíciles en la práctica, pero es posible simplificarlos con un planteamiento diferente. Otras cantidades pueden sonar familiares, pero adquieren significados más específicos en física que en la vida cotidiana. El análisis comienza al explorar la noción de energía. El concepto de energía es uno de los temas más importantes en ciencia e ingeniería. En la vida cotidiana se piensa en la energía en términos de combustible para transporte y calentamiento, electricidad para luz y electrodomésticos, y alimentos para el consumo. No obstante, estas ideas no definen la energía; sólo dejan ver que los combustibles son necesarios para realizar un trabajo y que dichos combustibles proporcionan algo que se llama energía. La energía está presente en el Universo en varias formas. Todo proceso físico que ocurra en el Universo involucra energía y transferencias o transformaciones de energía. Por desgracia, a pesar de su extrema importancia, la energía no es fácil de definir.

Energía cinética La energía cinética de un sistema de partículas respecto de un sistema de referencia inercial O es igual a la suma de las energías cinéticas individuales de cada partícula respecto de dicho sistema. 𝑛

𝐸𝑐𝑠 = ∑ 𝐸𝑐𝑠 = ∑ 𝑖

La energía cinética de un sistema es:

1 𝑚 𝑣 2 𝑖

𝑖

𝑁

𝑁

𝑁

𝑖

𝑖

𝑖

1 𝐸𝑐 = ∑ 𝐸𝑐𝑠 = ∑ 𝑚𝑖 𝑣 2 𝑖 = ∑ 𝑚𝑖 (𝑉𝑀 + 𝑢) 2 O sea, la energía cinética de un sistema respecto a O es igual a la suma de la energía del c.d.m. respecto a O (energía cinética de traslación del sistema) y de la energía cinética del sistema respecto del c.d.m.( energía cinética interna del sistema). La ecuación del movimiento de cada partícula es: 𝑑𝑃1 𝑑𝑡

𝑑𝑃 ⃗⃗⃗2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ 𝐹1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹12 ; 𝑑𝑡2 = 𝐹 𝐹21 ;

Ejercicio: Por el carril circular sin rozamiento de radio R de la figura se lanza una masa m de dimensiones despreciables con una velocidad v. En el tramo rectilíneo siguiente de longitud d el coeficiente de rozamiento cinético entre la masa y el suelo es μ. Suspendida de una cuerda y en reposo se encuentra una masa M = 2m. Datos: v = 10 m/s; μ = 0.6; R = 1 m; d = 4 m. Tomar g = 10 m/s2 Resultado: Determinar la velocidad de la masa m cuando ha recorrido el tramo horizontal de longitud d 1 1 𝑚𝑣𝐵 2 − 𝑚𝑣𝐴 2 = −µ𝑁𝑑 = −µ𝑚𝑔𝑑 2 2

𝑣𝐵 = 9.6𝑚/𝑠

9.6) Conservación de la energía de un sistema de partículas Sistema de dos partículas de masas m1 y m2, sujetas a las fuerzas externas 𝐹 1 y 𝐹 2 y alas internas 𝐹 12 y 𝐹 21. En cierto instante las partículas ocupan las posiciones indicadas, moviéndose con ⃗ 1y 𝑉 ⃗ 2 a lo largo de las trayectorias velocidad 𝑉 C1 y C2.

Donde: 𝑚1 ⃗⃗⃗⃗ 𝑎1 = ⃗⃗⃗ 𝐹1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹12 − −1 En un pequeño intervalo dt las partículas experimentan desplazamientos d𝑟1 y d𝑟2 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑎2 = ⃗⃗⃗ 𝐹2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹21 − −2 Tangentes a sus trayectorias.

De 1 y 2 tomando el producto escalar: 𝑚1 𝑎1 ∙ 𝑑𝑟1 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹1 ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹12 ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 − − 3 m2 𝑎2۰ d𝑟2 = 𝐹 2 ۰ d𝑟2 + 𝐹 21۰ d𝑟⃗⃗⃗2 − −4 Sabemos que 𝐹 12=-𝐹 21 Sumando 3 + 4: 𝑚1 𝑎1 ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 + 𝑚2 ⃗⃗⃗⃗ 𝑎2 ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗2 = ⃗⃗⃗ 𝐹1 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗ 𝐹2 𝑑𝑟⃗⃗⃗2 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹12 (𝑑𝑟⃗⃗⃗1 − 𝑑𝑟⃗⃗⃗2 ) − −5 Donde: ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑟 ⃗⃗⃗ 𝑉1 = 𝑑𝑡1 y ⃗⃗⃗ 𝑉1 ∙ 𝑑𝑣1 cos 0°=1 de 5:

𝑑𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 𝑎1 ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 = ( ⃗⃗⃗⃗ ) ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 = 𝑑𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 ∙ ( ) = 𝑣1 𝑑𝑣1 − −6 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 𝑑𝑟⃗⃗⃗2 𝑎2 ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗2 = ( ⃗⃗⃗⃗ ) ∙ 𝑑𝑟⃗⃗⃗2 = 𝑑𝑣 ⃗⃗⃗⃗2 ∙ ( ) = 𝑣2 𝑑𝑣2 − −7 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑟⃗⃗⃗1 − 𝑑𝑟⃗⃗⃗2 = 𝑑𝑟⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗ 𝑟2 ) − −8 12 = 𝑑(𝑟 Sustituyendo 6 7 y 8 en 5: 𝑚1 𝑣1 𝑑𝑣1 + 𝑚2 𝑣2 𝑑𝑣2 = 𝐹1 ∙ 𝑑𝑟1 + 𝐹2 ∙ 𝑑𝑟2 + 𝐹12 ∙ 𝑑𝑟12 − −9 Integrando de t0 hasta t: 𝑣1

𝑣2

𝐵

𝐵

𝑚1 ∫ 𝑣1 𝑑𝑣1 + 𝑚2 ∫ 𝑣2 𝑑𝑣2 = ∫ (𝐹1 ∙ 𝑑𝑟1 + 𝐹2 ∙ 𝑑𝑟2 ) + ∫ 𝐹12 ∙ 𝑑𝑟12 − −10 𝑣10

𝑣20

𝐴

𝑎

Donde A y B en posición t0 y t. Sabemos que 𝑣

1

∫𝑣 𝑣 𝑑𝑣 = 2 𝑣 2 − 0

1

1

𝑣 2 0 ∴ (2 𝑚1 𝑣 21 − 2

1

(2 𝑚1 𝑣 21 −

1 2

1

1 2

1

𝑚1 𝑣 21,0 ) + (2 𝑚2 𝑣 2 2 −

𝑚2 𝑣 2 2 ) − (2 𝑚1 𝑣 21,0 −

1 2

1 2

𝑚2 𝑣 2 2,0 ) =

𝑚2 𝑣 2 2,0 ) = 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘,0 − −11

Donde: 1

𝐸𝑘 = (2 𝑚1 𝑣 21 −

1 2

𝑚2 𝑣 2 2 ) — 12 Energia cinética total del sistema de dos

partículas en el instante t 1

𝐸𝑘,0 = (2 𝑚1 𝑣 21,0 −

1 2

𝑚2 𝑣 2 2,0 ) − −13 Energia cinética total del sistema de dos

partículas en el instante t0. Relativo al instante de referencia del observador. De 10: 𝐵

𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∫𝐴 (𝐹1 ∙ 𝑑𝑟1 + 𝐹2 ∙ 𝑑𝑟2 ) − −14 Trabajo total 𝑊𝑒𝑥𝑡 hecho por las fuerzas exteriores durante el mínimo intervalo que tiene Y 𝐵

𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫𝑎 𝐹12 ∙ 𝑑𝑟12 − − − 15 Trabajo interno 𝑊𝐼𝑁𝑇 hecho por las fuerzas interiores Donde: sustituyo 11,14 y 15 en 10: 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘,0 = 𝑊𝐸𝑋𝑇 + 𝑊𝐼𝑁𝑇 − −16 El cambio en la energia cinética de un sistema de partículas, es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores e interiores Para las fuerzas internas conservativas y 𝐸𝑃,12 dependientes de las coordenadas de 𝑚1 y 𝑚2 :

𝐵

𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ 𝐹12 ∙ 𝑑𝑟12 = 𝐸𝑃12,0 − 𝐸𝑃12 − −17 𝑎

𝐸𝑃12 = Energía potencial interna del sistema para 𝑡0 y 𝑡 Si las fuerzas interiores actúan a lo largo de la línea 𝑟12 que en las dos partículas: 𝐸𝑃 interna depende de la distancia 𝑟12 ∴ 𝐸𝑃 debida a una fuerza central depende de r, (r=distancia) Sustituyendo 17 en 16: 𝐸𝑘 − 𝐸𝑘,0 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 + 𝐸𝑃12,0 − 𝐸𝑃12 − −18 𝑊𝑒𝑥𝑡 = (𝐸𝑘 + 𝐸𝑃12 ) − (𝐸𝑘,0 + 𝐸𝑃12,0 ) − −19 Donde: 1

∪= 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃12 = 2 𝑚1 𝑣 21 −

1 2

𝑚2 𝑣 2 2 + 𝐸𝑃12 − −20 Energia propia para un sistema

de dos partículas 1

∪= 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃,𝐼𝑁𝑇 = ∑ 2 𝑚1 𝑣 2 𝑖 + ∑ 𝐸𝑃 𝑖𝑗 — −21 Energía propia para varias partículas Donde: 1

1

𝐸𝑘 = ∑ 2 𝑚1 𝑣 2 𝑖 = 2 𝑚1 𝑣 21 +

1 2

1

𝑚2 𝑣 2 2 + 2 𝑚3 𝑣 2 3 +. . . − − 22 Tiene un término por

cada partícula 1

𝐸𝑝𝑖𝑛𝑡 = ∑ 2 𝐸𝑃𝑖𝑗 = 𝐸𝑃12 + 𝐸𝑃13 + 𝐸𝑃14 + 𝐸𝑃21 +. . . − − 23 Si no hay fuerzas interiores, toda la energía propia es cinética Sustituir 20 en 19: 𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∪ − ∪0 − − − 24 El cambio de la energía propia de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas externas: ley de conservación de la energía. Para un sistema aislado en el cual 𝑊𝐸𝑋𝑇 = 0 ya que no hay fuerzas externas: ∪ − ∪0 = 0 ∴ ∪ = ∪0 − −25 La energia propia de un sistema aislado de partículas permanece constante suponiendo que las fuerzas internas son conservativas. Si 𝐸𝑘 de un sistema aislado aumenta, su 𝐸𝑃,𝐼𝑁𝑇 debe disminuir en la misma cantidad de masa para que la interna permanezca igual. 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝐸𝑃𝑒𝑥𝑡,0 − 𝐸𝑃𝑒𝑥𝑡 − −26 Cuando las fuerzas internas actúan sobre un sistema son conservativas.

∪ − ∪0 = 𝐸𝑃𝐸𝑋𝑇,0 − 𝐸𝑃𝑒𝑥𝑡 ∪ + 𝐸𝑃𝐸𝑋𝑇 = ∪0 + 𝐸𝑃𝑒𝑥𝑡,0 𝐸 = ∪ + 𝐸𝑃𝐸𝑋𝑇 = 𝐸𝑘 + 𝐸𝑃,𝐼𝑁𝑇 + 𝐸𝑃𝐸𝑋𝑇 − −27 Energía total del sistema

Ejercicio : Un sistema que está formado por tres partículas de masas m1 = m, m2 = 2m y m3 = 3m se ve sometido a la acción de una única fuerza externa conservativa F. La cantidad de movimiento total del sistema con respecto a O (origen de un sistema de referencia inercial) en función del tiempo viene dada por p = 3 t3 i - 6 t j, en kgms-1 . Dato: m = 0.5 kg. ¿Se conserva la energía total del sistema?. Expresar la velocidad y el vector posición del centro de masas del sistema en función del tiempo, suponiendo que la posición inicial del centro de masas es ro = - i + 3 j, expresado en m. Resultado Si se conserva ya que F es consecutiva

9.7) Colisiones Están presentes en un evento durante el cual dos o más partículas se acercan e interactúan mediante fuerzas, las cuales son mucho mayores que las fuerzas externas, durante un momento muy cortó.

Existen dos tipos de colisiones: Elásticas: La energía cinética “EK” se conserva. Inelásticas: La “EK” no se conserva.

Energía elástica: Es aquella en la que tanto la “EK” total, así como la cantidad de movimiento total del sistema antes y después de la colisión es igual. Energía inelástica: este tipo de colisiones la energía cinética “EK” total del sistema no es igual entes ni después de la colisión. Colisión inelástica Inelástica. Perfectamente inelástica

Colisión perfectamente inelástica: Esta presente cuidado los objetos quedan unidos es pues de un choque como cuando un meteoro choca con la luna.

Colisión inelástica: En esta colisión los objetos no se unen, si no que se puede parte de la energía cinética “EK” una pelota de hule choca con una superficie dura parte de la “EK” se pierde cuando la pelota se deforma al estar en contacto con la superficie.

COLISIONES ELÁSTICA: Colisión frontal entre dos partículas:

Sabemos que en la colisión elástica la “EK” y la cantidad de movimiento se conserva entonces: m1 v2i + m2 v2i = m1 v1F + m2 v2F − −1 Cantidad de movimiento 1

m v2 + 2 1 1i

1

m v2 = 2 2 2i

1

m v2 + 2 1 1F

1 2

2 m2 v2F − −2 Ek se conservan. Todas las

Velocidades son en la misma dirección. 1

2 (2 m1 v1i +

1 2

2 m2 v2i =

1 2

2 m1 v1F +

1 2

1

2 m2 v2F ) × 2 Para quitar el 2

2 2 2 2 ) = m1 (v2F ) − −3 Factorizando. m1 (v1F − v1i − v2i

m1 (v1F − v1i )(v1F + v1i ) = m1 (v2F − v2i )(v2F + v2i ) − −4 De 1: 2 2 2 ) 2 ) m1 v2i − m1 v1F = m2 v2i + m2 v2F ∴ m1 (v1i − v1F = m1 (v2i − v2F − −5

Dividiendo 4 entre 5: m1 (v1F − v1i )(v1F + v1i ) = m1 (v2F − v2i )(v2F + v2i ) 2 2 ) 2 2 ) m1 (v1i − v1F = m1 (v2i − v2F

v1i + v1F = v2i + v2F − − 6 v1i − v2i = −v1F + v2F ∴ v1i − v2i = −(v1F − v2F ) − −7

Suponiendo que se conservan las masas y las velocidades iníciales de ambas partículas, por la ecuación 1 y 2 se puede resolver la velocidad finales en términos de la velocidad inicial ya que existen dos ecuaciones y dos incógnitas. 𝑚1 −𝑚2 ) 𝑣1𝑖 𝑚1 +𝑚2

𝑣𝑖𝐹 = (

2𝑚1 ) 𝑣1𝑖 1 +𝑚2

𝑣2𝐹 = (𝑚

+(

2𝑚2 ) 𝑣2𝑖 𝑚1 +𝑚2

− −7

𝑚 −𝑚

+ (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑣2𝑖 − −8 1

2

Para 𝑚1 = 𝑚2 de 7: 𝑣1𝐹 = 𝑣2𝑖 y 𝑣2𝐹 = 𝑣1𝑖 − −9 las partículas intercambian sus velocidades

Si tienen masas iguale.

.

Si la partícula m2 está en reposo al inicio entonces v2i=0 y las velocidades 7 y 8 quedan: 𝑚 −𝑚

𝑣𝑖𝐹 = (𝑚1 +𝑚2 ) 𝑣1𝑖 − −10 1

2

2𝑚1

𝑣2𝐹 = (𝑚

1 +𝑚2

) 𝑣1𝑖 − −11

Para cuando una partícula muy pesada choca de frente con una muy ligera que inercialmente esta en reposo, la partícula pesada continua avanzando después de la colisión y la partícula ligera rebota con una rapidez casi al doble de la velocidad inicial de la partícula pesada: Si 𝑚1 > 𝑚2 y 𝑣2𝑖 = 0 → 𝑣𝑖𝐹 = 𝑣1𝑖 y 𝑣2𝐹 ≈ 2𝑣1𝑖

COLISIONES PERFECTAMENTE INELÁSTICA: Considerando dos partículas con masas m1 y m2: m1 + m2 Las dos partículas chocan de frente, quedan unidas y luego se mueven con velocidad común VF después de la colisión ya que la P de un sistema aislado se conserva en cualquier colisión. 𝑚1 𝑣1𝑖 + 𝑚2 𝑣2𝑖 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑣𝐹 ∴ 𝑣𝐹 = (

𝑚1 𝑣1𝑖 +𝑚2 𝑣2𝑖 𝑚1 +𝑚2

) − −1

Ejercicio: Una bala de 10 gramos choca contra un péndulo balístico de 2 kilos, en la primera oscilación el péndulo se eleva 16 cm. 1 – Calcular la velocidad de la bala antes del impacto. 2 – Calcular la energía cinética de la bala antes del choque. Resultado Dado que consideramos que no existe perdida de energía en el impacto y que la cantidad de movimiento se conserva podemos establecer la siguiente relación.

Donde m representa la masa de la bala y M la masa del bloque, v representa la velocidad de la bala antes del impacto y v’ la velocidad del conjunto después del impacto, esta velocidad es la velocidad tangencial del movimiento pendular. Ahora, con esto no es suficiente, necesitamos encontrar una ecuación mas, sabemos que si la cantidad de movimiento se conserva, también lo hace la energía del sistema, con lo cual podemos pensar el asunto como una relación de energías iniciales y finales.

Dicho esto podemos pensar la siguiente igualdad, inmediatamente después del choque la relación de energía es la siguiente.

Al relacionar estas dos ecuaciones, llegamos a que la velocidad del bloque inmediatamente después del choque es la siguiente.

Ahora al relacionar la velocidad final con la inicial obtenemos la siguiente ecuación, y ahí ya podemos reemplazar los valores para obtener el resultado.

Ahora que sabemos cuando es la velocidad que trae la bala podemos calcular su energía cinética en el estadio inicial.

Dicho esto podemos pensar la siguiente igualdad, inmediatamente después del choque la relación de energía es la siguiente.

Al relacionar estas dos ecuaciones, llegamos a que la velocidad del bloque inmediatamente después del choque es la siguiente.

Ahora al relacionar la velocidad final con la inicial obtenemos la siguiente ecuación, y ahí ya podemos reemplazar los valores para obtener el resultado.

Ahora que sabemos cuando es la velocidad que trae la bala podemos calcular su energía cinética en el estadio inicial.

Ejercicio 2: Un cuerpo de masa m = 4kg se mueve según una recta con velocidad de 6 m/s. Delante de el marcha otro de 6kg, con velocidad de 3 m/s, en el mismo sentido. siendo el choque plástico determinar

1 – la velocidad de ambos después del choque. 2 – La energía cinética perdida en el choque. Resultado: El enunciado nos dice, que el choque es plástico, lo que quiere decir que los dos cuerpos continúan unidos luego del choque. Como sabemos que la cantidad de movimiento en cualquier choque es conservativa podemos plantear las siguientes ecuaciones.

Reemplazando los datos obtenemos como resultado que la velocidad final del conjunto es 4,2 m/s.

Para calcular la energía perdida por el impacto solo tenemos que calcular la energía de cada cuerpo antes del impacto y compararla con la energía del conjunto luego del impacto.

La energía tanto antes como después del impacto es totalmente cinética, dado que los cuerpos están en movimiento pero en el suelo y no tienen energía potencia.

Reemplazando los valores en la formula obtenemos que como resultado del impacto, la perdida de energía fue de aproximadamente 10,8J.

Ejercicio 3: Una esfera de 2KG se mueve hacia la derecha a una velocidad de 5 m/s y choca contra otra de 3KG que se mueve a 2 m/s en igual dirección y sentido. Despues del choque la esfera de 3Kg se mueve a 4,2 m/s. Determinar. 1 – La velocidad de la otra esfera después del choque. 2 – El coeficiente de restitución K. Resultado Como siempre decimos, el impulso es conservativo en cualquier choque con lo cual siempre podemos plantear la siguiente ecuacion.

De la ecuacion solo tenemos que despejar v1′ que representa la velocidad del cuerpo 1 después del choque, si despejamos y reemplazamos los valores obtenemos como resultado lo siguiente.

Ahora tenemos que calcular el coeficiente de restitución, pero antes de calcularlo tenemos que comentar que el coeficiente de restitución es un coeficiente mayor a cero y menor que uno que indica una relación entre las velocidades de los cuerpos antes del choque con las velocidades de dichos cuerpos después del choque. Cuando el Coeficiente de restitución K es igual a 1, eso quiere decir que no existe perdida de energía en el choque (Choque perfectamente elástico), cuando el coeficiente es igual a 0, significa que existe perdida de energía en el choque y que el choque es (perfectamente plástico). Cuando el coeficiente es mayor que cero y menor que uno significa que existe perdida de energía en el impacto y que el choque es inelastico (no es ni perfectamente plástico ni perfectamente elástico)

La siguiente formula es la que nos permite calcular el coeficiente y según su resultado ya podemos catalogar el tipo de choque ocurrido.

Al reemplazar los valores de las velocidades de nuestro ejercicio obtenemos como resultado lo siguiente.

12.2) CINEMÁTICA DE UN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre -A y +A. La función seno es periódica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2p, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que w(t+P)+j=w t+j+2p . P=2π/ω Cinemática de un M.A.S. En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad. Dentro del movimiento armónico simple se está presente la ley de Hooke que dice que cuando aparece una fuerza dirigida en una deformación elástica dicha fuerza es proporcional a la deformación. 𝐹 = −𝐾𝑥 − −1

→ 𝐹 = 𝑚𝑎 ; 𝑎 =

𝑑2 𝑥

𝐹= 𝑚

𝑑𝑡 2

𝑑2 𝑥 −− 𝑑𝑡2

2

Igualando 1 y 2 𝑑2 𝑥

𝑚 𝑑𝑡 2 = −𝐾𝑥 →

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

=

−𝐾𝑥 𝑚

− −3

𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡 + 𝛼) − −4 Desplazamiento. (𝑤𝑡 + 𝛼) − − Ángulo. 𝛼 − −Finicial. 𝑃=

2𝜋 𝑤

− −5 Periodo de oscilación.

1

𝑣=𝑃=

1 2𝜋 𝑤

𝑤

= 𝑣 = 2𝜋 − −6 Frecuencia de oscilación.

Derivando 4 𝑉=

𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝐴𝑤 cos(𝑤𝑡 + 𝛼) − −7

Derivando 7 𝑎= 𝑎=

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

𝑤 2𝑥 =

= −𝐴𝑤 sin(𝑤𝑡 + 𝛼) − −8 = −𝑤 2 𝑥 − − 9

−𝐾𝑥 𝑚

𝑘

→ 𝑤 = √𝑚 − −10 Velocidad angular constante del resorte.

Ejercicio: Un móvil describe un mas entre los puntos P1 (1,0) y P2 (-1,0). La frecuencia del movimiento es 0,5 s-1 e inicialmente se encuentra en el punto P2. Hallar: a)

la pulsación del movimiento.

b)

La ecuación de la elongación en función del tiempo

c)

Posición del móvil 0,5 segundos después de comenzado el movimiento.

d)

Velocidad del móvil en función del tiempo.

e)

Velocidad del móvil en un punto de abscisa 0,5

f)

Velocidad máxima.

a) w = 2pu = 2p·0,5 s-1 = p rad/s. b) La ecuación general del mas escrita en función del seno es: s = A·sen (wt + j0). Considerando los valores de A = 1 y w = p rad/s, la ecuación anterior se convierte en: s = A·sen (pt + j0). Como en el instante inicial la elongación es máxima y negativa, sustituyendo estos datos, la ecuación se convierte en: -1 = sen j0 ; j0 = -p/2; Con esto la ecuación queda de la siguiente forma: s = sen(pt - p/2) (SI) c) Sustituyendo en la ecuación anterior t = 0,5 s , queda: s = sen(p·0,5 - p/2) = sen 0 = 0. El móvil se encuentra en la posición de equilibrio. d) Derivando la ecuación de la elongación obtenemos la velocidad: v = p·cos(pt - p/2) (SI) e) En el punto de abscisa 0,5, la velocidad será: La velocidad del móvil será positiva cuando pase por dicho punto moviéndose hacia la derecha, y negativa cuando se mueva hacia la izquierda. f) La velocidad máxima será:

.

13.3) Modelo de análisis: Partícula en un campo (gravitacional) Pues para responder la primera pregunta, debemos poner una partícula de prueba en el punto, Una partícula de prueba es algo que es sensible al espacio alterado alrededor de la fuente. En la atmosfera, imagine poner un globo con helio en algún punto del aire .debido a que hay un campo de presión en ese punto y la presión varia en la altura del globo, el globo se elevara hacia arriba .Por lo tanto el globo detecta la presencia del campo de presión .En el caso del campo gravitacional , la partícula de prueba es una segunda partícula ,con masa 𝑚0 , si esta partícula se coloca en el campo gravitacional , hay una fuerza gravitacional en la partícula de prueba, esta fuerza muestra que existe un campo gravitacional en ese punto. Para poderle asignar un valor numérico se representa de la siguiente manera: 𝑔=

⃗⃗⃗ 𝐹𝑔 −−−1 𝑚0

La partícula de prueba de masa 𝑚0 se coloca en el campo únicamente para determinar el valor del campo gravitacional, una vez determinado el valor cualquier partícula de masa m puede colocarse en el campo y experimentar una fuerza 𝑚𝑔 por lo tanto queda la ecuación seria asi: ⃗⃗⃗ 𝐹𝑔 = 𝑚𝑔 − − − 2 La Fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto tiene una magnitud 𝐺𝑀𝐸 𝑚/𝑟 2, el campo gravitacional 𝑔a una distancia r del centro de la Tierra, entonces sustituyendo en 1: 𝑔=

⃗⃗⃗ 𝐹𝑔 𝐺𝑀𝐸 = − 2 𝑟̂ − − − 3 𝑚0 𝑟

Donde 𝑟̂ es un vector unitario que apunta radialmente hacia afuera de la tierra y el signo negativo indica que el campo apunta hacia el centro de la Tierra La ecuación 3 es valida en todos los puntos externos ala superficie de la Tierra, si se supone que la tierra es esférica. En la superficie de la tierra ,donde 𝑟 = 𝑅𝐸 , 𝑔, 𝑔 tiene una magnitud de 9.80 N/kg(N/kg es la misma que m/𝑠 2 )