Erg Asia 5

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική – ΠΛΗ20 Εργασία 5η Αλγόριθμοι, Θεωρία Γραφημάτων Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περαιτέρω εξοικείωση με τις σημαντικότερες μεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφημάτων. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να σταλεί με e-mail στον Σύμβουλο Καθηγητή σας το αργότερο μέχρι την Παρασκευή 27 Απριλίου 2007, ώρα 13:00. Οδηγίες προς τους φοιτητές: 1. Προτού αποστείλετε την εργασία στο Σύμβουλο Καθηγητή σας, βεβαιωθείτε ότι έχετε συμπληρώσει το ειδικό έντυπο (ΕΝΤΥΠΟ Α) στην τελευταία σελίδα. Για να συμπληρώστε π.χ. το όνομα κάντε διπλό κλικ στο σκιασμένο μέρος <Όνομα> και στη φόρμα που θα εμφανιστεί, στη θέση του προεπιλεγμένου κειμένου, συμπληρώστε το όνομά σας. Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία για κάθε σκιασμένο μέρος. Τα άλλα πεδία στην σελίδα 2 ενημερώνονται αυτόματα (αν μαρκάρετε όλο πλαίσιο της σελίδας 2 και πατήσετε F9) 2. Στο αρχείο αυτό πρέπει να προσθέσετε τις απαντήσεις σας στο χώρο κάτω από το εκάστοτε ερώτημα εκεί όπου περιέχεται η φράση:

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)> την οποία μπορείτε να σβήσετε. Μπορείτε να διαμορφώσετε το χώρο όπως επιθυμείτε, και δεν υπάρχει περιορισμός στο πόσο χώρο θα καταλάβει η απάντησή σας.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Οδηγίες για τα ερωτήματα της εργασίας 5 Η εργασία περιλαμβάνει 4 βαθμολογούμενα ερωτήματα (1-4), στα οποία πρέπει να απαντήσετε εγκαίρως και όπως περιγράφεται παραπάνω καθώς και 5 μη βαθμολογούμενα (5-9) τα οποία έχουν συμπεριληφθεί για εξάσκηση και τα οποία δεν πρέπει να στείλετε στον Σύμβουλο Καθηγητή σας. Και τα 9 ερωτήματα όμως συνιστούν την εργασία και θα πρέπει να αξιολογείτε σαν ικανοποιητική την κατανόηση της ύλης από μέρους σας αν μπορέσατε να απαντήσετε ικανοποιητικά στο σύνολο της εργασίας. Μια ενδεικτική σειρά ενασχόλησης με τα ερωτήματα (από το πρώτο στο τελευταίο) είναι η ακόλουθη: 1, 5, 2, 6, 3, 7, 8, 9, 4.

Ερώτημα 1: Το ερώτημα αυτό αφορά τον αλγόριθμο του Dijkstra. Ξεκινά με μία άσκηση εξοικείωσης και στη συνέχεια εξετάζει μία θεμελιώδη ιδιότητα του αλγορίθμου Dijkstra. Σχετικά ερωτήματα: • • •

Ερωτήματα 1 και 2, Εργασία 5, 2005-06 Ερώτημα 1, Εργασία 3, 2004-05. Ερώτημα 1, Εργασία 3, 2003-04.

Ερώτημα 2: Το ερώτημα αυτό περιλαμβάνει μια άσκηση για μονοπάτια σε γραφήματα και μια άσκηση που χρησιμοποιεί τις έννοιες συνδεδεμένο γράφημα, διμερές γράφημα και πίνακας γειτνίασης. Σχετικά ερωτήματα: • • •

Ερώτημα 5β, Εργασία 5, 2005-06 Ερώτημα 3β, Εργασία 5, 2005-06 Ερώτημα 3β, Εργασία 3, 2004-05

Ερώτημα 3: Το ερώτημα αυτό περιλαμβάνει μια άσκηση που συνδυάζει βαθμούς κορυφών, ελάχιστο πλήθος κορυφών και ελάχιστο μήκους κύκλου και μια άσκηση για την ιδιότητα του σημείου άρθρωσης σε ισομορφικά γραφήματα. Σχετικά ερωτήματα: • • • •

Ερώτημα 5β, Εργασία 5, 2005-06 Ερώτημα 4β, Εργασία 3, 2004-05 Ερώτημα 6, Εργασία 5, 2005-06 Ερώτημα 5.2, Εργασία 3, 2003-04

Ερώτημα 4: Το ερώτημα αυτό περιλαμβάνει ασκήσεις για επίπεδα γραφήματα.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Σχετικά ερωτήματα: •

Ερώτημα 8, Εργασία 5, 2005-06

Ερώτημα 5: Στο ερώτημα αυτό ζητείται η εφαρμογή του αλγορίθμου Dijkstra ως υπορουτίνα για την επίλυση ενός σχετικού προβλήματος και η μελέτη της τριγωνικής ανισότητας σε γραφήματα.

Ερώτημα 6: Το ερώτημα αυτό περιλαμβάνει μια άσκηση για κανονικά γραφήματα και μια άσκηση που γενικεύει το ερώτημα 2β αυτής της εργασίας.

Ερώτημα 7: Το ερώτημα αυτό περιλαμβάνει μια άσκηση με χρωματισμό ακμών και μια άσκηση εξοικείωσης με τον ισομορφισμό γραφημάτων. Σχετικά ερωτήματα: • •

Ερώτημα 6, Εργασία 3, 2004-05 Ερώτημα 6, Εργασία 3, 2003-04

Ερώτημα 8:. Το ερώτημα αυτό περιλαμβάνει μια άσκηση εξοικείωσης με επίπεδα γραφήματα και μια άσκηση για ισομορφισμό και επίπεδα γραφήματα. Σχετικά ερωτήματα: • •

Ερώτημα 6β, Εργασία 5, 2005-06 Ερώτημα 7, Εργασία 3, 2003-04

Ερώτημα 9: Το ερώτημα αυτό περιλαμβάνει μια άσκηση για βαθμούς κορυφών σε επίπεδα γραφήματα και μια άσκηση για τη σχέση του ομοιομορφισμού γραφημάτων.

Υπενθυμίζεται επιπλέον ότι η σωστή και αποτελεσματική μελέτη απαιτεί οπωσδήποτε και την επίλυση και άλλων ασκήσεων από το βοηθητικό υλικό. Σε αυτό μπορούν να σας βοηθήσουν και οι ακόλουθες ασκήσεις από αυτό το υλικό: Προηγούμενες εργασίες: Εργασία 5 του ακαδημαϊκού έτους 2005-06, Εργασία 3 του ακαδημαϊκού έτους 2004-05, Εργασία 3 του ακαδημαϊκού έτους 2003-04. Προηγούμενα θέματα τελικών εξετάσεων: Θέματα της θεωρίας γραφημάτων στις εξεταστικές περιόδους Ιουνίου 2006, Ιουλίου 2006, Ιουνίου 2005, Ιουλίου 2005, Ιουνίου 2004, Ιουλίου 2004, Ιουνίου 2003, Ιουλίου 2003.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Το έντυπο αυτό που συμπληρώνεται και υπογράφεται από τον καθηγητή – σύμβουλο για κάθε γραπτή εργασία, αποστέλλεται στο φοιτητή μαζί με α) αντίγραφο της διορθωμένης εργασίας και β) ξεχωριστό φύλλο με Σχόλια προς τον Φοιτητή. Αντίγραφο του Δελτίου Αξιολόγησης και των Σχολίων στέλνεται και στο Ε.Α.Π. Επίσης, ο καθηγητής κρατά για το δικό του αρχείο: α) την διορθωμένη εργασία και β) το φύλλο με τα Σχόλια. Σε περίπτωση που υπήρξε καθυστέρηση μεγαλύτερη των 7 ημερών για την παράδοση της γραπτής εργασίας, επισυνάπτεται το γραπτό σημείωμα του Συντονιστή της Θ.Ε.

Ονοματεπώνυμο Φοιτητή <Όνομα> <Επώνυμο>

Ονοματεπώνυμο Καθηγητή

Προσωπικός Αριθμός Φοιτητή <ΑΜ>

Σχολή Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας

Ημερομηνία Αποστολής της Εργασίας από το Φοιτητή

Θεματική Ενότητα Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική

Ημερομηνία Αποστολής Εργασίας στο Φοιτητή

Κωδικός Θεματικής Ενότητας ΠΛΗ 20

Βαθμολογία 0 Υπογραφή Καθηγητή

Αύξων Αριθμός Γραπτής Εργασίας 5η Ακαδημαϊκό έτος 2006-2007

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Κ Ρ ΙΤΗ Ρ ΙΑ ΑΞ Ι ΟΛΟ Γ Η Σ Η Σ

Ερώτημα

Μέγιστος βαθμός

1

25

2

25

3

25

4

25

Συνολικός Βαθμός:

100

Βαθμός

0

Γενικά Σχόλια: <γενικά σχόλια για την εργασία από το Σύμβουλο-Καθηγητή>

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Ερωτήματα Ερώτημα 1. α) Να εφαρμόσετε στο γράφημα G1 τον αλγόριθμο του Dijkstra για την εύρεση μονοπατιού ελάχιστης απόστασης από την κορυφή v1 προς την κορυφή v8. Ζητείται να βρεθεί ένα συγκεκριμένο μονοπάτι και όχι μόνο η συνολική απόσταση του μονοπατιού. Να παρουσιάσετε αναλυτικά την εκτέλεση του αλγορίθμου, βήμα προς βήμα, καταγράφοντας τις ετικέτες των κόμβων σε κάθε βήμα.

v7 6

v4

G1

v8

1 v5

5 v1

3

v2

5

2 1

1

2 v3

9

v6

v9 2

β) Έχοντας απαντήσει στο υπο-ερώτημα 1α) παρατηρήστε ότι οι κόμβοι v2 και v9 εμφανίζονται στο μονοπάτι ελάχιστης απόστασης από την κορυφή v1 στην κορυφή v8. Έστω ότι ζητείται η εύρεση μονοπατιού ελάχιστης απόστασης μεταξύ των κορυφών v2 και v9. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το μονοπάτι από τη v2 στην κορυφή v9 που εμφανίζεται μέσα στο μονοπάτι της λύσης του 1α); Είναι δυνατό να βρούμε καλύτερη λύση και επομένως πρέπει να εκτελέσουμε ξανά τον αλγόριθμο του Dijkstra; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. γ) Να δείξετε ότι σε κατευθυνόμενο γράφημα, με θετικά βάρη, για οποιοδήποτε μονοπάτι P ελαχίστου μήκους, οποιοδήποτε τμήμα του μονοπατιού P είναι επίσης ελαχίστου μήκους.

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος <Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

]

1

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια> Αξιολόγηση Ερωτήματος :

/ 25

Ερώτημα 2. α) Έστω G(V,E) ένα συνδεδεμένο, μη κατευθυνόμενο γράφημα στο οποίο όλες οι ακμές έχουν βάρος 1. Το μήκος οποιουδήποτε μονοπατιού στο γράφημα G είναι ίσο με το άθροισμα των βαρών των ακμών του (και ουσιαστικά ίσο με το πλήθος των ακμών του μονοπατιού). Έστω Μ το μέγιστο μήκος μονοπατιού στο γράφημα G. Να δείξετε ότι δεν είναι δυνατό να υπάρχουν στο γράφημα G δύο μονοπάτια P και Q με μήκος ίσο με Μ, τέτοια ώστε τα P και Q να μην έχουν ούτε μία κορυφή κοινή. β) Δίνεται απλό διμερές γράφημα G(V,E). Κατασκευάζουμε από το γράφημα G ένα νέο γράφημα H, τέτοιο ώστε: • •

Το σύνολο κορυφών του H να είναι το σύνολο κορυφών του G. Δύο κορυφές ui, uj συνδέονται με ακμή εάν (Α2)i,j≠ 0, όπου Α είναι ο πίνακας γειτνίασης του γραφήματος G.

Να δείξετε ότι το γράφημα H δεν μπορεί να είναι συνδεδεμένο.

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια> Αξιολόγηση Ερωτήματος :

/ 25

Ερώτημα 3. α) Το ελάχιστο μήκος κύκλου ενός γραφήματος ονομάζεται girth του γραφήματος. Διευκρινίζεται ότι μια ανακύκλωση είναι κύκλος μήκους 1 και δύο παράλληλες μη-κατευθυνόμενες ακμές ορίζουν έναν κύκλο μήκους 2.

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

]

2

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έστω μη κατευθυνόμενο γράφημα G με girth 5. Να δείξετε ότι εάν κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k, τότε το γράφημα έχει τουλάχιστον k2+1 κορυφές. Για k = 2 και k = 3, βρείτε ένα τέτοιο γράφημα με ακριβώς k2 + 1 κορυφές. Συμβουλή: Χρησιμοποιήστε την ακόλουθη έννοια της γειτονιάς μιας κορυφής: N(x) είναι όλες οι κορυφές που απέχουν 1 βήμα από την κορυφή x. Υπολογίστε το μέγεθος της γειτονιάς Ν_2(x) που περιλαμβάνει τις κορυφές με απόσταση 2 από την x. β) Να δείξετε ότι ο ισομορφισμός γραφημάτων διατηρεί την ιδιότητα του σημείου άρθρωσης, δηλαδή εάν ένα γράφημα έχει σημείο άρθρωσης τότε και τα ισομορφικά με αυτό γραφήματα έχουν σημείο άρθρωσης. Χρησιμοποιήστε τον ορισμό του σημείου άρθρωσης από το ερώτημα 3, της εργασίας 4, 200607.

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια> Αξιολόγηση Ερωτήματος :

/ 25

Ερώτημα 4. α) Να δείξετε ότι αν G=(V,E) ένα συνδεδεμένο επίπεδο γράφημα με ελάχιστο μήκος κύκλου (girth) g>=3, τότε |Ε| <= g (|V|-2) / (g-2) . β) Κατασκευάστε ένα ΑΠΛΟ επίπεδο γράφημα 8 κορυφών, τέτοιο ώστε και το συμπλήρωμά του να είναι επίπεδο γράφημα. γ) Να δείξετε ότι αν Γ ένα ΑΠΛΟ επίπεδο γράφημα τάξης 11, τότε το συμπλήρωμά του ΔΕΝ είναι επίπεδο γράφημα.

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

]

3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Αξιολόγηση Ερωτήματος Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια> Αξιολόγηση Ερωτήματος :

/ 25

Ερώτημα 5. α) Χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Dijkstra ως υπορουτίνα, προτείνετε έναν αποδοτικό αλγόριθμο για την εύρεση ενός κύκλου ελάχιστου μήκους, σε συνδεδεμένο, μη κατευθυνόμενο γράφημα με μη αρνητικά βάρη. β) Έστω G κατευθυνόμενο γράφημα με μη-αρνητικά βάρη στις ακμές και έστω μια κορυφή s. Συμβολίζουμε με w(u,v) το βάρος της ακμής από την κορυφή u στην κορυφή v. Επιπλέον, για κάθε ζεύγος κορυφών s, v, συμβολίζουμε με d(s,v) την απόστασή τους (βλ. Ορισμό 2.4, τόμος Β, σελ. 148). Να δείξετε ότι για κάθε ακμή (u,v) ισχύει: d(s,v) ≤ d(s,u) + w(u,v)

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια>

Ερώτημα 6. α) Έστω απλό, μη-κατευθυνόμενο γράφημα G. Εάν το G είναι 5-κανονικό (για την έννοια του k-κανονικού γραφήματος δείτε τη σελίδα 69 του τόμου Β) να δείξετε ότι περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον 6.

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

]

4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Συμβουλή: Ξεκινήστε θεωρώντας ένα μεγιστοτικό μονοπάτι του γραφήματος G. Για την έννοια του μεγιστοτικού μονοπατιού δείτε τον Ορισμό 1.22, σελ. 63 του τόμου Β. β) Εξετάστε την ακόλουθη γενίκευση του ερωτήματος 2β): Δύο κορυφές ui, uj συνδέονται με ακμή εάν (Ακ)i,j≠ 0, όπου Α είναι ο πίνακας γειτνίασης του γραφήματος G και κ είναι άρτιος ≥ 2 . Ισχύει και σε αυτή την περίπτωση ότι το γράφημα H δεν μπορεί να είναι συνδεδεμένο ;

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια>

Ερώτημα 7. α) Οι ακμές ενός πλήρους γραφήματος με 6 κορυφές χρωματίζονται είτε κόκκινες είτε μπλε. Δείξτε ότι για οποιοδήποτε αυθαίρετο τρόπο χρωματισμού των ακμών, υπάρχει είτε ένα κόκκινο τρίγωνο (και οι τρεις ακμές του είναι κόκκινες) είτε ένα μπλε τρίγωνο στο γράφημα. Σημειώνουμε ότι ο χρωματισμός που εξετάζει το ερώτημα αυτό είναι χρωματισμός ακμών και δε σχετίζεται με το γενικό πρόβλημα του χρωματισμού κορυφών γραφημάτων, όπου γειτονικές κορυφές δεν επιτρέπεται να έχουν το ίδιο χρώμα. Πχ. Ερώτημα 3, Εργασία 4, 2005-06, επίσης τόμος Β, σελ. 23. β) Εξετάστε (ανά δυο) ποια από τα ακόλουθα γραφήματα είναι ισομορφικά.

Α

E

D

Α

B

D

Α

Β

C

C

B

F

C

E

F

F

E

D

(α)

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

(β)

(γ)

]

5

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια>

Ερώτημα 8. Είναι το ακόλουθα γραφήματα επίπεδα; Αν ναι, δώστε μια επίπεδη αποτύπωση, διαφορετικά αποδείξτε ότι δεν είναι. α)

8

8

1

7

2

6

3

5

1

7

2

6

3

5

4

4

G3

G2

β) Να δείξετε ότι εάν ένα γράφημα G(V,E) είναι επίπεδο (επιτρέπει δηλαδή επίπεδη αποτύπωση), τότε κάθε γράφημα Η ισομορφικό με το G είναι επίσης επίπεδο.

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)> Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια> Ερώτημα 9. α) Έστω G ένα απλό επίπεδο γράφημα με τουλάχιστον 4 κορυφές. Να δείξετε ότι το G έχει τουλάχιστον 3 κορυφές με βαθμό μικρότερο του 6.

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

]

6

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

β) Να δείξετε ότι ο ομοιομορφισμός γραφημάτων είναι σχέση ισοδυναμίας.

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

Αξιολόγηση Ερωτήματος Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή: <σχόλια>

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

]

7

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΝΤΥΠΟ Α ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ

Το έντυπο αυτό το συμπληρώνετε και το στέλνετε μαζί με τη γραπτή εργασία σας στον Καθηγητή – Σύμβουλο. Θυμηθείτε ότι θα πρέπει να κρατήσετε φωτοτυπία της γραπτής εργασίας σας.

< Συμπληρώστε τα στοιχεία σας μέσα στα σκιασμένα μέρη >

Συμπληρώνεται από το φοιτητή(-τρια) Στοιχεία Φοιτητή (-τριας) Όνομα: <Όνομα>

ΣΧΟΛΗ Πληροφορικής

Επώνυμο: <Επώνυμο>

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

Αριθμός Μητρώου Φοιτητή: <ΑΜ>

Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική (ΠΛΗ20)

Διεύθυνση Επικοινωνίας:

ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Οδός / Αριθμός: Περιοχή:

ΑΥΞΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Πόλη: Ταχ. Κώδικας:

5η

Νομός:

Ακαδημαϊκό έτος:

Τηλέφωνο:

2006-2007

Fax: e-mail:

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [

Ημερομηνία Αποστολής:

]

8